Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
1
CUPRINS ALGEBRÃ ................................................................................................................ 5
I. Elemente de logicã matematicã ........................................................................... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie ................................................................................. 5 I.2. Operatori logici ............................................................................................ 5 I.3. Expresii în calculul propoziţiilor .................................................................. 7 I.4. Noţiunea de predicat .................................................................................... 7 I.5. Cuantificatori ............................................................................................... 7 I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd........................................... 7 I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici............................................ 8
II. Mulţimi.............................................................................................................. 8 II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: ........................................................................ 8 II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B: ....................................................... 8 II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B:...................................................................... 9 II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: ...................................................................... 9 II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B:........................................................................ 9 II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B:...................................................... 9 II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: ......................... 10
II.8. Formulele lui de Morgan (∀∀∀∀A, B⊂⊂⊂⊂E)........................................................ 10 II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: .............................................. 10
III. Relaţii binare .................................................................................................. 11 IV. Funcţii ............................................................................................................ 12
IV.1. Noţiunea de funcţie ................................................................................. 12 IV.2. Funcţii injective, surjective, bijective ...................................................... 12 IV.3. Compunerea funcţiilor............................................................................. 12 IV.4. Funcţia inversã ........................................................................................ 13
V. Operaţii cu numere reale.................................................................................. 13 V.1. Puteri naturale ale numerelor reale............................................................ 13 V.2. Identitãţi fundamentale ............................................................................. 14 V.3. Radicali. Proprietãţi .................................................................................. 14
VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi................................................................... 15 VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine ................................................... 15 VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine................................................... 15 VI.3. Modului unui numãr real ......................................................................... 16
VII. Numere complexe ......................................................................................... 17 VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe.................................................. 17 VII.2. Modulul unui numãr complex ................................................................ 18 VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe ......................................... 18 VII.4. Formula lui Moivre ................................................................................ 18 VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex..................... 18 VII.6. Ecuaţia binomã ...................................................................................... 19
VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea........................................................... 19 VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea..................................................................... 19 VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea ............................................. 22 VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali ............................. 22
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
2
IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V........................................................... 24 X. Logaritmi......................................................................................................... 24
X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale............................................ 25 X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale ......................................... 26
XI. Metoda inducţiei matematice.......................................................................... 26 XI.1. Axioma de recurenţã a lui Peano ............................................................. 26 XI.2. Metoda inducţiei matematice................................................................... 26 XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice ................................................. 26
XII. Analizã combinatorie .................................................................................... 27 XII.1. Permutãri ............................................................................................... 27 XII.2. Aranjamente........................................................................................... 27 XII.3. Combinãri .............................................................................................. 27 XII.4. Binomul lui Newton............................................................................... 27 XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale....................... 28
XIII. Progresii ...................................................................................................... 28 XIII.1. Progresii aritmetice ............................................................................... 28 XIII.2. Progresii geometrice ............................................................................. 29
XIV. Polinoame ................................................................................................... 29 XIV.1. Forma algebricã a unui polinom ........................................................... 29 XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor ................................................................. 30 XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor ....................................................................... 30 XIV.4. Ecuaţii algebrice ................................................................................... 30 XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z .................................................... 31
XV. Permutãri, matrici, determinanţi ................................................................... 31 XV.1. Permutãri ............................................................................................... 31 XV.2. Matrici ................................................................................................... 32 XV.3. Determinanţi .......................................................................................... 33 XV.4. Inversa unei matrici ............................................................................... 34
XVI. Sisteme lineare ............................................................................................ 34 XVI.1. Notaţii: ................................................................................................. 34 XVI.2. Compatibilitatea ................................................................................... 35 XVI.3. Sisteme omogene.................................................................................. 35
XVII. Structuri algebrice ...................................................................................... 35 XVII.1. Monoid................................................................................................ 35 XVII.2. Grup .................................................................................................... 35 XVII.3. Inel...................................................................................................... 36 XVII.4. Corp .................................................................................................... 37
GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE ..................................................................... 37 Notaţii: ............................................................................................................. 37
I. Triunghiul ......................................................................................................... 38 II. Poligoane convexe ........................................................................................... 38 III. Relaţii metrice în triunghi............................................................................... 38
III.1. Triunghiul dreptunghic ............................................................................ 38 III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c).......................................................... 39
III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥⊥⊥⊥BC) ............................................................... 39
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
3
III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice ........................................... 39 IV. Patrulatere ...................................................................................................... 40
IV.1. Paralelogramul ........................................................................................ 40 IV.2. Dreptunghiul D C......................................................................... 40 IV.3. Rombul ........................................................................................................... 40 IV.4. Pãtratul............................................................................................................ 41 IV.5. Trapezul D C.............................................................. 41
V. Poligoane înscrise în cerc ................................................................................ 41 V.1. Patrulaterul înscris în cerc A .................................................... 41
V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R.......................................... 41 VI. Cercul............................................................................................................. 41 VII. Complemente de geometrie planã ................................................................. 42 VIII. Poliedre ....................................................................................................... 43
VIII.1. Prisma................................................................................................... 43 VIII.2. Piramida ............................................................................................... 44 VIII.3. Trunchiul de piramidã........................................................................... 45 VIII.4. Poliedrul regulat ................................................................................... 46
IX. Corpuri rotunde .............................................................................................. 46 IX.2. Conul circular drept......................................................................................... 47 IX.3. Trunchiul de con ............................................................................................. 47 IX.4. Sfera................................................................................................................ 47
X. Funcţii trigonometrice ..................................................................................... 47 X.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice............................................................... 48
XI. Formule trigonometrice .................................................................................. 48 XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument:.......................... 48 XI.2. Formule de adunare:................................................................................ 49 XI.3. Formule pentru multiplii de argument ..................................................... 49 XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument:..................................................... 50 XI.5. Sume, diferenţe şi produse: ..................................................................... 50
XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice .............................................................. 50 XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple .................................................... 51
XIII.1. Ecuaţii fundamentale ............................................................................ 51 XIII.2. Tabele de valori: ................................................................................... 51
XIV. Elemente de geometrie analiticã .................................................................. 52 XIV.1. Segmente .............................................................................................. 52 XIV.2. Ecuaţia dreptei...................................................................................... 52 XIV.3. Cercul................................................................................................... 53 XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie .................................................... 53
ANALIZÃ MATEMATICÃ .................................................................................... 54 I. Şiruri................................................................................................................. 54
I.1. Şiruri şi limite ............................................................................................ 54 I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unui şir........... 55 I.2. Operaţii cu şiruri convergente .................................................................... 55 I.3. Operaţii cu şiruri care au limitã .................................................................. 55 I.4. Şiruri tip ..................................................................................................... 56
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
4
II. Limite de funcţii .............................................................................................. 56 II.1. Definiţii ale limitei.................................................................................... 57 II.2. Operaţii cu limite de funcţii ...................................................................... 57 II.3. Limite tip .................................................................................................. 57 II.4. Continuitatea funcţiilor ............................................................................. 58
III. Funcţii derivabile............................................................................................ 59 III.1. Definiţia derivatei într-un punct............................................................... 59 III.2. Reguli de derivare.................................................................................... 59 III.3. Derivatele funcţiilor elementare............................................................... 59 III.4. Derivata funcţiilor compuse..................................................................... 60 III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare.......................... 61 III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabile .......................................................... 61
IV. Asimptote....................................................................................................... 62 IV.1. Asimptote orizontale ............................................................................... 62 IV.2. Asimptote oblice ..................................................................................... 62 IV.3. Asimptote verticale ................................................................................. 62
V. Primitive.............................................................................................................. 62 Integrarea prin părţi .......................................................................................... 63 V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei.................................................... 63 V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei.................................................. 63 V.3. Tabel de primitive..................................................................................... 63 V.4. Primitivele funcţiilor raţionale .................................................................. 64
VI. Integrale definite ............................................................................................ 64 IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann) ........................................... 64
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
5
ALGEBRÃ
I. Elemente de logicã matematicã I.1. Noţiunea de propoziţie Definiţia I.1.1. Se numeşte propoziţie un enunţ despre care se poate spune cã este adevãrat sau fals, adr nu şi adevãrat şi fals simultan. Se noteazã cu p,q, P, Q Ex: 1) π∉Q : acesta este un enunţ care exprimã un adevãr, deci o propoziţie adevãratã. 2) x + 5 = 3, x∈N este o propoziţie falsã, pentru cã nu existã nici un numãr natural astfel ca x + 5 = 3 3) x ≤ y, x,y∈N este un enunţ despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o propoziţie. Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propoziţii. Dacã o propoziţie p este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a şi scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziţie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f şi scriem v(q) = 0 sau v(q) = f.
I.2. Operatori logici Negaţia Definiţia I.1.2. Negaţia unei propoziţii p este propoziţia care este falsã când p este adevãratã şi este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p, p, p . Tabela de adevãr a propoziţiei non p se întocmeşte be baza relaţiei v(non p) = 1 – v(p). p non p 1 0 0 1 Conjuncţia Definiţia I.2.2. Conjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã fiecare propoziţie p şi q este adevãratã. Se noteazã: p ∧ q
Tabela de adevãr a propoziţiei p ∧ q este: p q p ∧ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
6
Disjuncţia Definiţia I.2.3. Disjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã cel puţin una din propoziţiile p, qeste adevãratã. Se noteazã: p ∨ q
Tabela de adevãr a propoziţiei p ∨ q este: p q p ∨ q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Implicaţia Definiţia I.2.4. Implicaţia propoziţiilor p şi q este propoziţia care este falsã dacã şi numai dacã p este adevãratã şi q este falsã. Se noteazã: (non p) sau q, p→q şi se citeşte: “p implicã q” sau “dacã p, atunci q”. Propoziţia p este ipoteza, iar propoziţia q este concluzia. Tabela de adevãr a propoziţiei p→q este: p q non p (non p)∨q
1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Echivalenţa logicã Definiţia I.2.4. Propoziţiile p şi q sunt echivalente logic, dacã şi numai dacã p, q sunt adevãrate sau false simultan. Se noteazã (non p)∨q şi (non q)∨p; (p→q) şi (q→p); p↔q; se citeşte: “p echivalent cu q” sau “p dacã şi numai dacã q”, “p este condiţie necesarã şi suficientã pentru q”. Tabela de adevãr a propoziţiei compuse p↔q este:
p q non p non q p→q q→p (p→q)∧ (q→p) 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
7
I.3. Expresii în calculul propoziţiilor Propoziţiile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , ∨, ∧, →, ↔ putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziţii sau expresii logice. Ele se noteazã α sau α(p,q,r,…), β(p,q,r,…). Înlocuind în α pe p,q,r,… cu diferite propoziţii obţinem o altã propoziţie, adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se numeşte valoarea expresiei α, obţinutã pentru propoziţiile p,q,r,… respective. Definiţia I.3.1. O expresie logicã α care se reduce la o propoziţie adevãratã, oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… se numeşte tautologie. Definiţia I.3.2. Douã expresii logice α şi β se numesc echivalente dacã şi numai dacã pentru orice propoziţii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propoziţii care au aceeaşi valoare de adevãr. În scris se noteazã α ≡β.
I.4. Noţiunea de predicat Definiţia I.4.1. Se numeşte predicat sau propoziţie cu variabile un enunţ care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile şi are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se obţine o propoziţie adevãratã sau o propoziţie falsã. Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) şi pot fi unare (de o variabilã), binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luând valori în mulţimi date. Definiţia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul şi acelaşi domeniu, propoziţiile corespunzãtoare au aceleaşi valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…)⇔ q(x,y,z,…).
I.5. Cuantificatori Definiţia I.5.1. Fie p(x), cu x∈M, un predicat. Dacã existã (cel puţin) un element x’∈M, astfel încât propoziţia p(x’) este adevãratã, atunci scriem ∃xp(x),
(∃x)p(x) sau (∃x∈M)p(x). Simbolul ∃ se numeşte cuantificator existenţial şi se citeşte “existã”. Definiţia I.5.2. Fie p(x) cu x∈M, un predicat. Dacã p(x) este o propoziţie adevãratã pentru orice x∈M, atunci scriem ∀xpx, (∀x)p(x) sau (∀x∈M)p(x).
Simbolul ∀ se numeşte cuantificator universal şi se citeşte “oricare ar fi”. Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:
1. (∀x)(∀y)p(x,y) ⇔ (∀y)(∀x)p(x,y); 2. (∃x)( ∃y)p(x,y) ⇔ (∃y)( ∃x)p(x,y);
Reguli de negare:
1. ((∃x)p(x)) ⇔ ((∀x)(p(x)); 2. ((∀x)p(x)) ⇔ ((∃x)(p(x)); 3. ((∃x)(∃y)p(x,y))⇔((∀x)(∀y)p(x,y)); 4. ((∀x)( ∀y)p(x,y))⇔(( ∃x)( ∃y)p(x,y));
I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd Aceastã metodã se bazeazã pe tautologia (p→q) ≡ (non p→non q), care ne aratã cã pentru a demonstra cã p→q, este totuna cu a demonstra cã non p→non q.
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
8
I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici Oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… avem: 1. non(non p) ≡ p;
2. (p∧q) ≡ (q∧p) (comutativitatea conjuncţiei); 3. ((p∧q)∧r) ≡ (p∧(q∧r)) (asociativitatea conjuncţiei); 4. (p∨q) ≡ (q∨p) (comutativitatea disjuncţiei); 5. ((p∨q) ∨r) ≡ (p∨ (q∨r)) (asociativitatea discjuncţiei); 6. ((p→q)∧(q→r))→(p→r) (tranzitivitatea implicaţiei); 7. non(p∧q) ≡ (non p)∨(non q) legile lui de Morgan;
non(p∨q) ≡ (non p)∧(non q)
8. (p∧(q∨r)) ≡ ((p∧q)∧(p∧r)) conjuncţia este distributivã în raport cu disjuncţia şi (p∨(q∨r)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) disjuncţia este distributivã în raport cu conjuncţia
II. Mulţimi
Moduri de definire a mulţimilor. Mulţimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietãţi caracteristice a elementelor lor (de exemplu {x∈Rx2 – 3x + 2 = 0}).
Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,…
Apartenenţa unui element la o mulţime. Dacã un element a aparţine unei mulţimi A, acesta se noteazã a∈A şi se citeşte “a aparţine lui A”.
Definiţie. Mulţimea vidã este mulţimea care nu are nici un element. Se noteazã cu ∅.
II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: (A = B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x∈B) şi (∀y∈B ⇒ y∈A)
Proprietãţile egalitãţii:
1. ∀ A, A = A (reflexivitatea); 2. (A = B) ⇒ (B = A) (simetria); 3. (A = B ∧ B = C) ⇒ (A = C) (tranzitivitatea);
II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B: (A ⊂ B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x ∈B) Mulţimea A se numeşte o parte sau o submulţime a lui B. Proprietãţile incluziunii: 1. ∀ A, A ⊂ A (reflexivitatea); 2. (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ (A = B) (antisimetria); 3. (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (tranzitivitatea); 4. ∀ A, ∅ ⊂ A
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
9
Relaţia de neincluziune se noteazã A ⊄ B.
II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B: A ∪ B = {xx∈A ∨ x∈B} Proprietãţile reuniunii:
1. ∀ A, B: A ∪ B = B ∪ A (reflexivitatea); 2. ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) (asociativitatea); 3. ∀ A: A ∪ A = A (idempotenţa); 4. ∀ A: A ∪ ∅ = A; 5. ∀ A, B: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.
II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: A ∩ B = {xx∈A ∧ x∈B} Proprietãţile intersecţiei:
1. ∀ A, B: A ∩ B = B ∩ A (comutativitatea); 2. ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitatea); 3. ∀ A: A ∩ A = A (idempotenţa); 4. ∀ A: A ∩ ∅ = ∅ 5. ∀ A, B: A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B 6. ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (distributivitatea intersecţiei faţã
de reuniune); 7. ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distributivitatea reuniunii faţã de
intersecţie); 8. ∀ A, B: A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A (absorbţia).
Definiţie. Mulţimile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A ∩ B = ∅.
II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B: A \ B = {xx∈A ∧ x∉B} Proprietãţile diferenţei:
1. ∀ A: A \ A = ∅; 2. ∀ A, B, C: (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C); 3. ∀ A, B: A \ B = A \ (A ∩ B); 4. ∀ A, B: A = (A ∩ B) ∪ (A \ B); 5. ∀ A, B, C: A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C; 6. ∀ A, B, C: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); 7. ∀ A, B, C: (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C); 8. ∀ A, B, C: (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩ B.
II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B: A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) Proprietãţile diferenţei simetrice: 1. ∀ A: A ∆ A = ∅;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
10
2. ∀ A, B: A ∆ B = B ∆ A (comutativitatea); 3. ∀ A: A ∆ ∅ = ∅ ∆ A = A; 4. ∀ A, B, C: (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) (asociativitatea); 5. ∀ A, B, C: A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C); 6. ∀ A, B: A ∆ B = A ∪ B \ (A ∩ B)
II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: (A fiind o parte a lui E, adicã A⊂E) CEA = {xx∈E ∧ x∉A} Proprietãţi: (∀A, B⊂E) 1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii); 2. CEA = E \ A; 3. CE∅ = E; 4. CEE = ∅; 5. A ∪ CEA = A (principiul exluderii terţiului); 6. A ∩ CEA = ∅ (principiul necontradicţiei); 7. A ⊂ B ⇔ CEB ⊂ CEA; 8. A \ B = CE(A ∩ B).
II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E) CE(A ∪ B) = CEA ∩ CEB; CE(A ∩ B)= CEA ∪ CEB. II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: A x B = {(a,b)a∈A ∧ b∈B} Proprietãţile produsului cartezian (∀ A,B,C,D avem): 1. A x B ≠ B x A, dacã A ≠ B; 2. (A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C); 3. (A ∪ B) x C = (A x C) ∪ (B x C); 4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C); 5. (A \ B) x C = A x C \ B x C; 6. (A ∩ B) x (C ∩ D) = (A x C) ∩ (B x D)
Definiţia II.9.1. Mulţimile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijecţie de la A la B.
Definiţia II.9.2. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte finitã dacã E = ∅ sau dacã existã n∈N, astfel încât E este echipotentã cu mulţimea {1,2,…,n}.
Definiţia II.9.3. O mulţime E se numeşte infinitã dacã ea nu este finitã. Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R.
Definiţia II.9.4. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte numãrabilã dacã este echipoentã cu N. Exemplu: Mulţimea numerelor raţionale.
Definiţia II.9.5. O mulţime se numeşte cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã.
Definiţia II.9.6. Fie E o mulţime. Se numeşte cardinalul acestei mulţimi un simbo asociat ei, notat E sau card E, astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E este echipotentã cu F; cardinalul mulţimii vide se noteazã cu 0, cardinalul mulţimii
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
11
{1,2,…,n} cu n∈N, senoteazã cu n, iar cardinalul mulţimii N se noteazã cu x0 (alef zero).
Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mulţimi finite. Atunci: A ∪ B = A + B -A ∩ B Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mulţimi finite. Atunci: A ∪ B ∪ C= A +B +C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩C
III. Relaţii binare
Relaţia binarã pe o mulţime Definiţia III.1. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţia binarã R pe M o
parte a produsului cartezian MxM. Dacã x∈M este relaţia R cu y∈M, atunci scriem xRy sau (x,y)∈R. Deci o relaţie binarã se referã la perechile de elemente din M.
Proprietãţi ale relaţiilor binare pe o mulţime:
1. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte reflexivã dacã ∀ a∈M avem pe aRa. 2. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte simetricã dacã ∀ a,b∈M avem aRb
implicã bRa. 3. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte antisimetricã dacã ∀ a,b∈M, aRb şi bRa implicã a=b. 4. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte tranzitivã dacã ∀ a,b,c ∈M, aRb
implicã bRc implicã aRc. Definiţia III.2. Se numeşte greficul relaţiei R definitã pe M mulţimea G = {(x,y)xRy}. Definiţia III.3. O relaţie binarã R definitã pe o mulţime nevidã M se numeşte relaţie de echivalenţã dacã ea este reflexicã, tranzitivã şi simetricã. Exemplu: Fie N mulţimea numerelor naturale şi numãrul 3 fixat. Pe N stabilim urmãtoarea relaţie R: a şi b din N sunt în relaţie cu R, dacã a şi b împãrţite la 3 dau acelaşi rest. Scriem a ≡ b (mod 3); de pildã 4 ≡ 1 (mod 3). Aceasta este o relaţie de echivalenţã. Definiţia III.4. Fie M o mulţime. R o relaţie de echivalenţã pe M şi a un element fixat din M. Se numeşte clasã de echivalenţã corespunzãtoare elementului a mulţimea Ca = {x ∈∈∈∈M xRa}. Douã clase de echivalenţã Ca şi Cb sau coincid (când aRb) sau sunt disjuncte. Definiţia III.5. Fie M o mulţime şi R o relaţie de echivalenţã pe M. Se numeşte mulţimea cât a lui M în raport cu relaţia R şi se noteazã M/R mulţimea claselor de echivalenţã. Definiţia III.6. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţie de ordin pe M o relaţie binarã care este reflexivã, tranzitivã şi antisimetricã. Se noteazã: “<” sau “≤” De exemplu: relaţia cunoscutã de ordine naturalã “≤” pe N, Z, Q şi R este o relaţie de ordine.
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
12
Definiţia III.7. Fie M o mulţime nevidã şi “≤≤≤≤” o relaţie de ordin pe M. Aceastã relaţie de ordin se numeşte relaţie de ordine totalã dacã oricare douã elemente ale lui M sunt comparabile adicã ∀a,b∈M avem sau a<b sau b<a. Mulţimea înzestratã cu o relaţie de ordine totalã se numeşte mulţime total ordonatã. Definiţia III.8. Fie M o mulţime nevidã. O relaţie de ordine pe M se numeşte relaţie de bunã ordonare dacã orice parte nevidã a lui M are un cel mai mic element. Mulţimea M, cu aceastã relaţie de bunã ordonare, se zice bine ordonatã. O relaţie de bunã ordonare pe M este o relaţie de ordie totalã pe M.
IV. Funcţii IV.1. Noţiunea de funcţie Definiţia IV.1.1. Fie A şi B douã mulţimi. Prin funcţie definitã pe mulţimea A, cu valori în mulţimea B se înţelege orice lege (procedeu sau convenţie) f, în baza cãreia oricãrui element a∈A i se asociazã un unic element, notat f(a), din B. Mulţimea A se numeşte domeniu de definiţie, iar mulţimea B se numeşte codomeniu de definiţie sau domeniul valorilor funcţiei. Definiţia IV.1.2. Fie f:A→B o funcţie. Prin graficul acestei funcţii înţelegem submulţimea Gf a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)),
a∈A. deci Gf = {(a, f(a) a∈∈∈∈A} Definiţia IV.1.3. Se numeşte funcţie numericã o funcţie f:A→B, pentru care atât domeniul de definiţie A cât şi domeniul valorilor B sunt submulţimi ale mulţimilor numerelor reale (deci A, B⊂R).
IV.2. Funcţii injective, surjective, bijective Definiţia IV.2.1. Fie f:A→B o funcţie. Spunem cã f este o funcţie injectivã, dacã pentru oricare douã elemente x şi y ale lui A, x≠y, avem f(x) ≠ f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã şi altfel: ∀x,y∈A: f(x) = f(y) ⇒ x = y De exemplu: f:N→N, definitã prin formula f(x) = x2, este injectivã, dar g:Z→N, g(x) = x2 nu este o funcţie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4. Definiţia IV.2.2. O funcţie f:A→B este o funcţie surjectivã, dacã pentru orice b∈B existã cel puţin un element a∈A, astfel încât f(a) ≠ b. Deci f:A→B nu este surjectivã dacã ∃ b∈B avem f(a) ≠ b(∀)a∈A.
De exemplu: f:R→R, f(x) = ax, a ≠ 0 este surjectivã. Definiţia IV.2.3. O funcţie f:A→B care este simultan injectivã şi surjectivã se numeşte funcţie bijectivã. De exemplu: Fie A = {x∈Rx ≥ 0} şi f:R→R, f(x) = x2. Funcţia f este bijectivã.
IV.3. Compunerea funcţiilor Definiţia IV.3.1. Fie funcţiile f:A→B şi f:B→C (domeniul de definiţie al funcţiei g coincide cu codomeniul funcţiei f). Fie a∈A, atunci f(a)∈B, deci existã imaginea sa prin g, adicã g(f(a))∈C. Astfel putem defini o funcţie h:A→C unde
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
13
h(a) = g(f(a)) pentru ∀a∈A. Funcţia h astfel definitã se noteazã g◦f (sau gf) şi se numeşte compunerea funcţiei g cu funcţia f. Observaţii: 1. Dacã f:A→B şi g:C→D sunt douã funcţii, are sens sã vorbim de compunerea
funcţiei g cu funcţia f numai dacã B = C. 2. Dacã f:A→B şi g:B→A sunt douã funcţii, are sens g◦f:A→A şi f◦g:B→B. în
general f◦g ≠ g◦f. Teoremã. Fie f:A→B şi g:B→C şi h:C→D trei funcţii. Atunci fiecare din
funcţiile h◦(g◦f), (h◦g)◦f are sens şi existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
IV.4. Funcţia inversã Definiţia IV.4.1. Fie A o mulţime oarecare. Notãm cu 1A:A→→→→A funcţia definitã astfel: 1A(a) = a pentru ∀∀∀∀a∈∈∈∈A. 1A se numeşte funcţia identicã a mulţimii A. Propoziţie. Fie A o mulţime şi 1A funcţia sa identicã. Atunci: 1. Pentru orice mulţime B şi pentru orice funcţie f:A→B avem f◦1A= f 2. Pentru orice mulţime C şi pentru orice funcţie g:C→A avem 1A◦g = g
Definiţia IV.4.2. O funcţie f:A→B se numeşte inversabilã dacã existã o funcţie g:B→A astfel încât g◦f = 1A şi f◦g = 1B.
Teoremã. O funcţie este inversabilã dacã şi numai dacã este bijectivã.
V. Operaţii cu numere reale V.1. Puteri naturale ale numerelor reale 1. (+a)n = +an
2. (-a)2n = +a2n 3. (-a)2n+1 = -a2n+1 4. am⋅an = am+n 5. am:an = am-n, a ≠ 0 6. am⋅bm=(a⋅b)m
7. am:bm = m
b
a , b ≠ 0;
8. m
m
ma
a1
a1 −=
= , a ≠ 0;
9.(am)n = amn = (an)m; 10. a0 = 1, a ≠ 0; 11. 0n = 0, n ≠ 0, n∈N.
Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponenţi raţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru exponenţi reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale. Aceste puteri au proprietãţi identice cu exponenţi numere naturale.
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
14
V.2. Identitãţi fundamentale Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,c∈R şi n∈N, avem: 1. a2 – b2 = (a – b)(a + b); 4ab = (a + b)2 – (a – b)2; 2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2; 3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax – by – cz – bt)2 + (bx + ay – dz – ct)2 + (cx +
+ dy +az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2; 4. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2); 5. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2); 6. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz); 7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x); 8. a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2); 9. a4 + b4 = (a2 + b2 – ab 10. a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4); 11. a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4); 12. (1 + a)(1 + a2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5; 13. a6 + b6 = (a3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson); 14. an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1); 15. a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2); 16. a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + … + ab2n-1 +b2n); 17. (1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1.
V.3. Radicali. Proprietãţi
1. 0,1
>= aaa mm ;
2. 0,11 1
>==−
aaaa
m
m
m ;
3. ( ) 0, ≥= aaam
m ; 4. 0,, ≥=⋅ baabba mmm ;
5. 0,11
>=
a
aa
m
m ;
6. 0,,,, ≥=⋅⋅ cbaabccba mmmm ;
7. 0,0,: >≥= bab
aba mmm ;
8. 0, ≥=⋅ + + aaaa nm nmnm ;
9. 0,: >= + − aaaa nm nmnm ;
10. n mnmaaa 0, ≥= ;
11. ( ) 0, ≥== aaaa m
nn
mm n ;
12. 0, >= aaa n pmn mp ;
13. 0,, ≥⋅=⋅ bababa mn qmpnn qm p ;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
15
14. 0, ≥== aaaa n mmnm n ;
15. 0,0,:: >≥= bababa mn qmpnn qm p ;
16. ∈= aaa ,2 R;
17. 0,1212
112 ≥−=−=− +++ aaaa nnn ;
18. ( ) 0,1212 ≥−=−
++ aaan
n ;
19. 0,,2 ≥++=+ baabbaba ;
20.22
CACABA
−±
+=± , dacã şi numai dacã A2 – B = C2;
21.Expresia conjugatã a lui ba ± este ba + iar pentru 33 ba ± este 3 233 2 baba ++
VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine ax + b = 0, a,b,x∈R Fie S mulţimea de soluţii a acestei ecuaţii. Dacã
1. a ≠ 0, x = a
b− (soluţie unicã). S = {
a
b− }.
2. a = 0 şi b ≠ 0, ecuaţia nu are soluţii: S = ∅; 3. a = 0 şi b = 0, orice numãr real x este soluţie a ecuaţiei afine date; S = R.
Semnul funcţiei afine f:R→R, f(x) = ax + b, a ≠ 0 x
-∞ a
b− +∞
f(X) semn contrar lui a 0 semnul lui a
Graficul funcţiei de gradul întâi va fi o linie dreaptã. y A(0,b)
x
B(a
b− ,0)
VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine Cazul 1. ax + b > 0, a,b,x∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Dacã:
1. a > 0, S =(a
b− , + ∞);
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
16
2. a < 0, S = (-∞,a
b− );
3. a = 0, b > 0, S = R; 4. a = 0, b = 0, S = ∅. Cazul 2. ax + b = 0, a,b,x∈R. Dacã:
1. a > 0, S = (+∞,a
b− ]
2. a < 0, S = [a
b− ,+∞)
3. a = 0, b = 0, S = R; 4. a = 0, b > 0, S = ∅.
Inecuaţiile ax + b < 0 şi ax + b ≥ 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmulţirea inecuaţiei respective cu –1 şi schimbarea sensului inegalitãţilor).
VI.3. Modului unui numãr real
>
=
<−
=
0 xdaca x,
0 xdaca 0,
0 xdaca x,
x
Proprietãţi:∀ x,y∈R, avem: 1. 0=x ⇔ 0=x ;
2. xx =− ;
3. yx = ⇔ yx = sau yx −= ;
4. ax = ⇔ ∈==− aaxa , R;
5. xxx ≤≤− ;
6. yxyx +≤+ ;
7. yxyx +≤−
8. yxyx −≤− ;
9. yxyxyx +≤+≤− ;
10. yxxy ⋅= ;
11. 0, ≠= yy
x
y
x.
Ecuaţii şi inecuaţii fundamentale, care conţin modulul: 1. bax =− , (a,b,x∈R, S = mulţimea soluţiilor)
b S
b < 0 ∅ b = 0 a b >0 {a – b; a + b}
2. bax >−
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
17
b S
b < 0 R b = 0 R\{a} b >0 {-∞,a – b)∪{a + b,∞}
3. bax <−
b S
b < 0 ∅ b = 0 ∅ b >0 {a – b; a + b}
VII. Numere complexe Definiţia VII.1. Se numeşte numãr complex orice element z=(a,b) al mulţimii RxR = {(a,b)a,b∈∈∈∈R}, înzestrate cu douã operaţii algebrice, adunarea: ∀z=(a,b),
∀z’=(a’,b’)∈RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) şi înmulţirea: ∀z=(a,b),
∀z’=(a’,b’)∈RxR, z z’ = (aa’-bb’, ab’ +a’ b). Mulţimea numerelor complexe se noteazã cu C şi este corp comutativ.
VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe z = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) şi i = (0,1), respectiv i2 = -1. Egalitatea a douã numere complexe z şi z’: a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ şi b = b’ Adunarea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 şi orice numãr complex a + bi admite un opus –a – ib.
Înmulţirea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 şi orice numãr complex
a + bi nenul admite un invers ( )
+−
+=+ −
iba
b
ba
abia
2222
1 ; este distributivã faţã
de adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” ∀z,z’,z”∈C. Puterile numãrului i: ∀m∈N, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i. Definiţia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se numeşte conjugatul lui z şi se noteazã a – ib = ziba =+ . Au loc urmãtoarele proprietãţi, ∀z,z’,z”∈C. 1. z + z = 2a;
2. z - z = 2bi;
3. '' zzzz ±=± ;
4. '' zzzz ⋅= ;
5. ))((' 22 biabiabazz −+=+= ;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
18
6. zz
zz
z
z '
'= ;
7. ( )nn zz = ;
8. z
z
z
z ''=
.
VII.2. Modulul unui numãr complex ∀ z∈C
zzz = sau 22 baz +=
Avem apoi: 1. zz =
2. '' zzzz +≤+ ;
3. ''' zzzzzz +≤+≤− ;
4. '' zzzz = ;
5. 0,''
≠= zz
z
z
z.
VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe z = r(cos u + isin u) unde r = z , iar unghiul u∈[0,2π) este soluţia ecuaţiilor trigonometrice rcos u = a şi rsin u = b.
De exemplu: dacã z = -1 – i, atunci 4
5,2
π== uz şi z = )
4
5sin
4
5(cos2
ππi+ .
VII.4. Formula lui Moivre
∀u∈R şi ∀n∈N, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu) Consecinţele formulei lui Moivre cos nu = cosn u + C2
ncosn-2u sin2
u + C4ncosn-4
u sin4u + …;
sin nu = C1ncosn-1
u sin u + C3ncosn-3
u sin3u + …;
tg nu = ...1
...4422
55321
−+−−+−
utgCutgC
utgCutgCtguC
nn
nnn .
VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex z = r(cos u + isin u)
( )
( )
( ) 1,...,2,1,0,)12(
sin)12(
cos1
1,...,2,1,0,2
sin2
cos1
1,...,2,1,0,2
sin2
cos1
−=+
++
=−
−=+=
−=
++
+=
nkn
ki
n
k
nkn
ki
n
k
nkn
kui
n
kurz
k
n
k
n
n
k
n
ππ
ππ
ππ
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
19
Pentru simplificare folosim urmãtoarea notaţie:
( )kk
n ε=1 şi ( )kk
n ω=−1
−++
++±=+
22
2222aba
b
bi
abaiba
VII.6. Ecuaţia binomã xn – A = 0, A∈C, A = ρ(cos ϕ + isin ϕ) xk = A1/nωk, k = 1,0 −n , A∈R, A < 0;
xk = A1/nεk, k = 1,0 −n , A∈R, A > 0;
xk =
++
+n
ki
n
kpn
πϕπϕ 2sin
2cos , k = 1,0 −n , A∈C\R
VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a ≠ 0 1. Formule de rezolvare: ∆ > 0
a
bx
21
∆+−= ,
a
bx
22
∆−−= , ∆ = b2 – 4ac; sau
a
bx
''1
∆+−= ,
a
bx
''2
∆−−= , b = 2b’, ∆’ = b’2 – ac.
2. Formule utile în studiul ecuaţiei de gradul al II-lea: x1
2 + x22 = (x1 + x2)
2 – 2x1x2 = S2 – 2P x1
3 + x23 = (x1 + x2)
3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SP x1
4 + x24 = (x1 + x2)
4 – 2x12x2
2= S4 – 4S2P + 2P2
3. Discuţia naturii şi semnul rãdãcinilor în funcţie de semnele lui ∆ = b2 – 4ac, P = x1x2, S = x1 + x2.
∆ P S Natura şi semnul rãdãcinilor ∆ < 0 - -
Rãdãcini complexe: a
ibx
22,1
∆−±−=
∆ = 0 - - Rãdãcini reale şi egale
a
bxx
221 −==
P > 0 S > 0 Rãdãcini reale pozitive ∆ > 0 P > 0 S < 0 Rãdãcini reale negative
P < 0 S > 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea pozitivã este mai mare decât valoarea absoluta a celei negativi
P < 0 S < 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea negativã este mai mare în valoare absolutã.
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
20
4. Semnul funcţiei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R ∆ > 0: a ≠ 0, x1 < x2.
x -∞ x1 x2 +∞ f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a
∆ = 0
X -∞ x1 = x2 +∞ f(x) semnul lui a 0 semnul lui a
∆ < 0
X -∞ +∞ f(x) semnul lui a
5. Graficul funcţiei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R este o parabolã. Aceastã
funcţie se poate scrie şi sub forma aa
bxaxf
42)(
2∆−
+
+= , numitã formã canonicã.
y ∆ > 0 a > 0 A(x1,0) B(x2,0) C(0,c)
C V
∆−−
aa
b
4,
2
O A B x D 6. Maximul sau minimul funcţiei de gradul al doilea
1. Dacã a > 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cu a4
∆−, minim ce se
realizeazã pentru x = a
b
2
−
2. Dacã a < 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cu a4
∆−, maxim ce se
realizeazã pentru x = a
b
2
−
7. Intervale de monotonie pentru funcţia de gradul al doilea Teoremã. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a≠0
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
21
1. Dacã a > 0, funcţia f este strict descrescãtoare pe intervalul
−−∞
a
b
2,( şi strict
crescãtoare pe intervalul
+∞−
),2a
b.
2. Dacã a < 0, funcţia f este strict crescãtoare pe intervalul
−−∞
a
b
2,( şi strict
descrescãtoare pe intervalul
+∞−
),2a
b.
Observaţie: Intervalele
−−∞
a
b
2,( şi
+∞−
),2a
b se numesc intervale de
monotonie ale funcţiei f. Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,c∈R, a≠0, x1 şi x2 fiind rãdãcinile trinomului. 1. ∆ > 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2); 2. ∆ = 0, f(x) = a(X – x1)
2; 3. ∆ < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c
Construirea unei ecuaţii de gradul al doilea când se cunosc suma şi produsul
rãdãcinilor ei: x2 – Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 şi P = x1x2. Teoremã: Ecuaţiile ax2 + bx + c = 0 şi a’x2 + b’x + c’ = 0, ∀a,b,c,a’,b’,c’∈R,
a,a’≠0, au cel puţin o rãdãcinã comunã dacã şi numai dacã: a b c 0 0 a b c = 0 sau (ac’ – a’c)2 – (ab’ – a’b)(bc’ – b’c) = 0 a’ b’ c’ 0 0 a’ b’ c’
Condiţii necesare şi suficiente pentru ca numerele reale date α şi β sã fie în
anumite relaţii cu rãdãcinile x1 şi x2 ale ecuaţiei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,c∈R, a≠0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant ∀x,x∈R. Nr.crt. Relaţii între x1, x2, α şi β Condiţii necesare şi suficiente
1 α < x1 < β < x2 sau x1 < α < x2 <β
1. f(α )f(β) < 0
2
α < x1 ≤ x2 < β
1. ∆ = b2 – 4ac = 0 2. af(α) > 0 3. af(β) > 0
4. α < a
b
2
−
5. β > a
b
2
−
3
x1 < α < β < x2
1. af(α) < 0 2. af(β) < 0 ceea ce atrage dupã sine ∆ >0
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
22
4 x1 < α < x2 1. af(α) < 0 5
α < x1 ≤ x2
1. ∆ = 0 2. af(α) > 0
3. α < a
b
2
−
6
x1 ≤ x2 < α
1. ∆ = 0 2. af(α) > 0
3. a
b
2
− < α
7 f(X) = 0, ∀x, x∈R 1. ∆ ≤ 0
2. a > 0 8 f(X) ≤ 0, ∀x, x∈R 1. ∆ ≤ 0
2. a < 0
Observaţie: Rezolvarea ecuaţiei bipãtrate ax2n + bxn + c = 0, ∀n∈N, n > 2, prin substituţia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul al doilea în y, anume ay2 + by + c = 0 şi la rezolvarea a douã ecuaţii binome de forma xn = y1, x
n = y2.
VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea 1. ax2 + bx + c > 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor:
∆ a S ∆ > 0 ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ = 0 ∆ < 0 ∆ < 0
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
(-∞, x1)∪(x2, +∞) (x1,x2) R\{x1}
∅ R ∅
2. 2. ax2 + bx + c ≥ 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor: ∆ a S
∆ > 0 ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ = 0 ∆ < 0 ∆ < 0
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
(-∞, x1]∪[x2, +∞) [x1,x2]
R {x1}
R ∅
Inecuaţiile ax2 + bx + c < 0 şi ax2 + bx + c ≤ 0 se reduc la cazurile precedente (prin înmulţirea cu –1 şi schimbarea sensului acestor inegalitãţi).
VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali 1. Sisteme formate dintr-o ecuaţie de gradul al doilea şi una de gradul întâi
Aceste sisteme sunt de forma:
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
23
=+++++
=++
0
0)(
111
2
11
2
1 fyexdycxybxa
cbyaxS
Se rezolvã prin metoda substituţiei. În prima ecuaţie putem presupune cã sau a≠0 sau b≠0 (dacã a = b = 0 atunci prima ecuaţie dispare). Presupunând cã b≠0,
atunci ecuaţia ax + by + c =0 este echivalentã cu ecuaţia b
cx
b
a
b
axcy −−=
−−= .
Dacã substituim în y în cea de a doua ecuaţie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul:
=+
−−++
−−+
−−+
−−=
0
)'(
111
2
11
2
1 fb
cx
b
aexd
b
cx
b
ac
b
cx
b
axbxa
b
cx
b
ay
S
Rezolvând ecuaţia a doua a sistemului (S’) obţinem valorile lui x, apoi, înlocuind în prima ecuaţie din sistemul (S’) obţinem valorile lui y.
Discuţie. 1. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini reale, atunci sistemul (S) are o soluţie realã.
2. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini egale, sau în cazul când aceasta este o ecuaţie de gradul întâi, atunci sistemul (S) are douã soluţii reale.
3. Dacã ecuaţia a doua a sistemului (S’) nu are nici o rãdãcinã realã, atunci sistemul (S) nu are soluţii reale.
2. Sisteme de ecuaţii omogene Un astfel de sistem este de forma:
=++
=++
2
2
22
2
2
12
112
1)(dycxybxa
dycxybxaS
Sistemul (S) se numeşte omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y
2 şi a2X
2 + b2XY + c2Y2 sunt omogene, în sensul cã toate monoamele care apar în scrierea
lor au acelaşi grad. Presupunem mai întâi cã d1≠0 şi d2≠0. Existã în aces caz numerele reale α şi β diferite de zero astfel încât αd1 + βd2 = 0. Se înmulţeşte prima ecuaţie cu α şi cea de a doua cu β şi apoi se adunã. Se obţine sistemul echivalent:
=+++++
=++
0)()()()'(
2
2121
2
22
12
112
1
yccxybbxaa
dycxybxaS
βαβαβα
Notãm coeficientul ecuaţiei a doua din (S’) cu a3,b3,c3. Atunci:
=++
=++
0)'(
2
33
2
3
1
2
11
2
1
ycxybxa
dycxybxaS
Deoarece d1≠0 sistemul (S’) nu are soluţia x = 0 şi y = 0. Putem presupune cã x≠0. Împãrţim ecuaţia a doua din (S’) cu x2 şi obţinem ecuaţia de gradul al doilea în
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
24
x
y: c3
2
x
y+ b3
x
y + a3 = 0 care, rezolvatã, ne dã în general douã valori k1 şi k2 pentru
x
y adicã,
x
y= k1 şi
x
y= k2.
Rezolvarea sistemului (S) este echivalentã cu rezolvarea urmãtoarelor douã sisteme:
=++
=
12
112
1
1
1)(dycxybxa
xkyS şi
=++
=
12
112
1
2
2 )(dycxybxa
xkyS
Când d1 = 0 şi d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S’) şi rezolvarea se continuã ca pentru sistemul (S’). 3. Sisteme de ecuaţii simetrice
Definiţia VIII.3.3. O ecuaţie în douã necunoscute se zice simetricã dacã înlocuind x cu y şi y cu x, ecuaţia nu se schimbã.
Rezolvarea sistemelor de ecuaţii simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliare s şi p date de relaţiile: x + y = s şi xy = p.
Prin introducerea acestor noi necunoscute s şi p, în foarte multe cazuri sistemul se reduce la un sistem de ecuaţii format dintr-o ecuaţie de gradul întâi şi o ecuaţie de gradul al doilea în necunoscutele s şi p.
IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V IX.1. Ecuaţia reciprocã de gradul al treilea ax3 + bx2 ± bx ± a = 0, a,b∈R, a≠0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaţiei (x ± 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0
IX.2. Ecuaţia reciprocã de gradul al patrulea ax4 ± bx3 + cx2 ± bx + a = 0, a,b,c∈R, a≠0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaţii de gradul al doilea, prin
substituţia y = x + x
1: a(x2 +
2x
1) ± b(x +
x
1) + c = 0 sau ay2 + by + c – 2a= 0.
IX.2. Ecuaţia bipãtratã ax4 + bx2 + c = 0, a,b,c∈R, a≠0
Cu x = y2, rezultã ecuaţia ay2 + by + c = 0, decia
acbbx
2
42
4,3,2,1
−±−±=
X. Logaritmi Definiţia X.1. Fie a∈∈∈∈R*
+, a ≠≠≠≠ 1 şi b∈∈∈∈R*+ douã numere reale. Se numeşte
logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit bazã, pentru a obţine numãrul b. Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã logab
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
25
Evident baablog= . Pentru a = 10 obţinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e
obţinem logaritmi naturali. Proprietãţi: 1. logab = logac ⇔ b = c, (b,c > 0); 2. logaa = 1; 3. loga1 = 0
4. logaac = c; loga
b
1=- logab; logax
2n = 2n logax , x≠0
5. )2,,0(,log1
log ≥∈>= mNmbbm
ba
m
a;
6. logab logba = 1;
7. Formula de schimbare a bazei logaritmului: a
bb
c
c
a log
loglog =
8. x>0 şi y>0 ⇒ logaxy = logax + logay;
9. x>0 şi y>0 ⇒ logay
x = logax – logay; cologax = - logay
10. a>1 şi x∈(0,1) ⇒ logax < 0; a>1 şi x>1 ⇒ logax > 0; 11. 0<a<1 şi x∈(0,1) ⇒ logax > 0; 0<a<1 şi x>1⇒ logax < 0; 12. a>1 şi 0<x<y ⇒ logax < logay;
13. x>0, y>0, a>0, b>0, a≠1, b≠1 ⇒ y
x
y
x
b
b
a
a
log
log
log
log= ;
14. x>0, a>0, a≠1, n∈N ⇒ logax = logaxn;
15. x∈R, a>0, a≠1 ⇒ ax = exlna. Operaţii cu logaritmi zecimali
1. Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucât existã caracteristici pozitive şi caracteristici negative) şi separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi cele douã rezultate se adunã algebric. 2. Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului. 3. Înmulţirea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmulţirea se face în mod obişnuit; când caracteristica este negativã se înmulţeşte separat mantisa şi separat caracteristica şi se adunã algebric rezultatele. 4. Împãrţirea unui logaritm printr-un numãr întreg: în cazul când caracteristica este pozitivã, împãrţirea se face obişnuit. În cazul în care este negativã se împarte separat mantisa şi separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prin numãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitãţi negative câte sunt necesare pentru a avea un numãr divizibil prin împãrţitorul respectiv şi, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaugã şi mantisei tot atâtea unitãţi, dar pozitive. X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale 1. logax = b, a>0, a≠1, b∈R. Soluţia: x = ab. 2. logax > b, b∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
26
a S a > 1
0 < a < 1 (ab, +∞) (0, ab)
3. logax < b, b∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a S
a > 1 0 < a < 1
(0, ab) (ab, +∞)
X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale 1. ax = b, a>0, a≠1, b>0. Soluţia x = logab, b∈R 2. ax = b, a>0, a≠1, b≤0, nu are nici o soluţie realã 3. ax > b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:
a b S a > 1
0 < a < 1 a > 0 a ≠ 1
b > 0 b > 0 b < 0
(logab, +∞) (-∞, logab)
R
4. ax < b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a b S
a > 1 0 < a < 1
a > 0 a ≠ 1
b > 0 b > 0 b < 0
(-∞, logab) (logab, +∞)
∅
XI. Metoda inducţiei matematice XI.1. Axioma de recurenţã a lui Peano Fie A o parte a lui N astfel cã: 1. 0∈A 2. (∀n∈N), n∈A ⇒ n+1∈A. Atunci rezultã A = N.
XI.2. Metoda inducţiei matematice Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n. Dacã avem: 1. P(0) adevãratã; 2. ∀n∈N, P(n) adevãratã ⇒ P(n+1) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru
orice numãr natural n. În demonstraţie prin metoda inducţiei matematice (recurenţã) poate apãrea în
loc de 0, un numãr natural n0, dacã în propoziţia P(n) pe care vrem sã demonstrãm am constatat n≠n0.
XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n≠n0. Dacã avem: 1. P(n0) adevãratã;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
27
2. (∀m∈N, n0≤m≤k) P(m) adevãratã ⇒ P(k) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice numãr natural n≥n0.
XII. Analizã combinatorie XII.1. Permutãri
Definiţia XII.1.1. O mulţime împreunã cu o ordine bine determinatã de dispunere a elementelor sale este o mulţime ordonatã şi se notazã (a1,a2,…,an).
Definiţia XII.1.2. Se numesc permutãri ale unei mulţimi A cu n elemente toate mulţimile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numãrul permutãrilora n elemente, n∈∈∈∈N*, este Pn=1⋅⋅⋅⋅2⋅⋅⋅⋅3⋅⋅⋅⋅…⋅⋅⋅⋅n = n!; 0! = 1 (prin definiţie).
Factoriale (proprietãţi): n! = (n – 1)!n; n! = 1n
1)!(n
++
XII.2. Aranjamente Definiţia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate câte m (m≤≤≤≤n) ale unei mulţimi A cu n elemente, toate submulţimile ordonate cu câte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã Am
n. Numãrul aranjamentelor a n elemente luate câte m este:
Amn = n(n – 1)…(n – m + 1) =
m)!(n
n!
−, n≥m.
Proprietãţi: Ann = Pn; A
nn =
0!
n! sau An
n= n!; 1; 01 ==−n
n
n
n
nAAA .
XII.3. Combinãri Definiţia XII.3.1. Se numesc combinãri a n elemente luate câte m (m≤≤≤≤n) ale unei mulţimi A cu n elemente toate submulţimile cu câte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã m
nC .
Proprietãţi: 1. 1; 0
0
01 ==== CCCnCn
n
nn;
2. 1
11; −−−
− +== m
n
m
n
m
n
mn
n
n
nCCCCC ;
3. Numãrul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n; 4. 1
1
11
1
1
1
1
1 ... −−
−−+
−−
−− +++++= m
m
m
m
m
m
m
n
m
n
m
nCCCCCC ;
5. )...(
2111
2
1
1 ...!!...!
!−++−−=
mppn
p
pn
p
n
n
CCCppp
n unde p1 + … pm-1 < n
XII.4. Binomul lui Newton (x + a)n = nn
n
kknk
n
n
n
n
naCaxCaxCxC +++++ −− ......110
(x – a)n = nn
n
nkknk
n
kn
n
n
naCaxCaxCxC )1(...)1(...110 −++−++− −− unde n∈N
Proprietãţi: 1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k k
nC xn-kak;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
28
2. k
n
k
n
k
n
k
nC
k
knCC
k
knC
1;
111
1
+−
=+−
= ++
+ ;
3. Tk+2 = x
a
k
kn⋅
+−
1 Tk+1 sau Tk+2 =
x
a
k
kn⋅
+−
−1
Tk+1;
4. Numãrul termenilor dezvoltãrii (x ± a)n este n+1; 5. Coeficienţii termenilor egal depãrtaţi de extremi sunt egali.
Relaţii importante:
22120
2
15311420
1010
)(...)()(
;2...;2...
;0)1(...;2...
n
nnn
n
n
n
nnn
n
nnn
n
n
n
nn
nn
nnn
CCCC
CCCCCC
CCCCCC
+++=
=+++=+++
=−++−=+++−−
Dezvoltãri particulare uzuale: 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2; 2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac); 3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; 4. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3; 5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc; 6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale Dacã Sp = 1p + 2p + …+ np, p∈N, atunci avem:
12
)122()1(;
30
)196)(1(
2
1(;
6
)12)(1(;
2
)1(
222
5
23
4
2
321
−++=
−+++=
+=
++=
+=
nnnnS
nnnnnS
nnS
nnnS
nnS
O relaţie care permite calculul lui Sp, când se cunosc Sp-1, Sp-2,…, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+ nSCSCSC
p
ppPpp++++ +−++ 111
2
1
1
1 ...
XIII. Progresii XIII.1. Progresii aritmetice Definiţia XIII.1.1. Se numeşte progresie aritmeticã un şir de numere a1,a2,a3,…,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se obţine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit raţia progresiei. Se noteazã ÷a1,a2,a3,…an,… Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = an-1 + r, n≥2 (prin definiţie) an = a1 + (n – 1)r, n≥2 (prin definiţie)
Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = 2
)na(a n1 +
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
29
n2
1)r(n2aS 1
n
−+=
Termenii echidistanţi de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor
echidistanţi de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an.
Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un termen în mijloc, am+1, astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1.
Condiţia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.
XIII.2. Progresii geometrice Definiţia XIII.2.1. Se numeşte progresie geometricã un şir de numere a1,a2,a3,…,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se obţine din cel precedent prin înmulţirea acestuia cu un acelaşi numãr q (q≠≠≠≠0) numit raţie. Se noteazã ÷÷a1,a2,a3,…an,… Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = qan-1, n≥2 (prin definiţie) an = a1q
n-1, n≥2 (an în funcţie de a1, q şi n)
Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = 1q
1qa
n
1 −−
Sn = 1q,q1
qaa n1 ≠−−
Termeni echidistanţi de extremi. Într-o progresie geometricã, produsul a doi
termeni echidistanţi de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: apan-p+1 = a1an.
Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci existã un termen la mijloc, am+1, astfel încât 121
2
1 ++ =mm
aaa . Condiţia necesarã şi suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã
formeze o progresie geometricã este sã avem b2 = ac.
XIV. Polinoame XIV.1. Forma algebricã a unui polinom f∈C[x] este f = a0X
n + a1Xn-1 + a2X
n-2 + … + an, unde n este gradul, a0 – coeficientul dominant, an – termenul liber. Funcţia polinomialã asociatã lui f∈C[x] este f
~:C→C f
~(α) = f(α) ∀α∈C;
f(α) fiind valoarea polinomului f în α. Teorema împãrţirii cu rest: ∀f,g∈C[x], g≠0 existã polinoamele unice q,r∈C[x] astfel încât f = gq + r, grad r < grad g. Împãrţirea unui polinom cu X-a: Restul împãrţirii polinomului f∈C[x], f≠0 la X-a este f(a).
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
30
Schema lui Horner: ne ajutã sã aflãm câtul q = b0Xn-1 + b1X
n-2 + … + bn-1 al împãrţirii polinomului f = a0X
n + a1Xn-1 + a2X
n-2 + … + an la binomul X-a; precum şi restul acestei împãrţiri r = f(a);
a0 a1 … an-1 an
a b0 = a0 b1 = ab0+a1 … bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=abn-1+an
XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor Definiţia XIV.2.1. Fie f,g∈∈∈∈C[x], spunem cã g divide pe f şi notãm gf dacã ∃∃∃∃q∈∈∈∈C[x] astfel încât f=gq. Proprietãţi: 1. a f, ∀a∈C*, ∀f∈C[x]; 2. g f şi f≠0 ⇔ r = 0; 3. g f şi f≠0 ⇒ grad f ≥ grad g; 4. a∈C* ⇒ af f; 5. f f (refelexivitate); 6. f g şi g h ⇒ f h (tranzitivitate); 7. f g şi g f ⇒ ∃ a∈C* cu f = ag (f,g sunt asociate în divizibilitate).
Definiţia XIV.2.2. Un polinom d se numeşte cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) d f şi d g.
2) d’ f şi d’ g ⇒ d’ d şi notãm d=(f,g) Definiţia XIV.2.3. Dacã d=1 atunci f şi g se numesc prime între ele. Definiţia XIV.2.4. Un polinom m se numeşte cel mai mic multiplu comun
(c.m.m.m.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) f m şi g m. 2) f m’ şi g m’ ⇒ m m’
Teoremã. Dacã d=(f,g) atunci m = d
gf ⋅
XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor Definiţia XIV.3.1. Numãrul αααα∈∈∈∈C se numeşte rãdãcinã a polinomului f dacã şi numai dacã f
~(αααα) = 0.
Teorema lui Bezout: Numãrul α∈C este rãdãcinã a polinomului f≠0⇔(X-a) f. Definiţia XIV.3.2. Numãrul αααα se numeşte rãdãcinã multiplã de ordinul p a polinomului f≠0 dacã şi numai dacã (X-a) f iar (X-a)
p+1 nu-l divide pe f.
Teoremã: Dacã f∈C[x] este un polinom de gradul n şi x1,x2,x3,…,xn sunt rãdãcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1,m2,m3,…,mn atunci
nm
n
mm xXxXxXaf )...()()( 21
210 −−−= unde a0 este coeficientul dominant al lui f, iar m1 + m2 + … + mn = grad f. XIV.4. Ecuaţii algebrice Definiţia XIV.4.1. O ecuaţie de forma f(x) = 0 unde f≠≠≠≠0 este un polinom, se numeşte ecuaţie algebricã. Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaţiile algebrice de grad mai mare decât patru nu se pot rezolva prin radicali. Teorema lui D’Alambert-Gauss: Orice ecuaţie algebricã de grad mai mare sau egal cu unu, are cel puţin o rãdãcinã (complexã).
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
31
Formulele lui Viete: Dacã numerele x1,x2,…,xn sunt rãdãcinile polinomului f∈C[x], f = a0X
n + a1Xn-1 + …+ an, a0≠0 atunci:
−=
−=+++
−=+++
=+++++
−=+++
+−+−+−
−−
−
021
021112121
0
312421321
0
2132121
0
121
)1(...
.......................................................
)1(............
......................................................
...
......
...
a
axxx
a
axxxxxxxxxx
a
axxxxxxxxx
a
axxxxxxxx
a
axxx
nn
n
kk
mkmkmkkk
nnn
nnn
n
XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z Teoremã: Dacã f∈R[x] admite pe α = a + ib, b≠0 ca rãdãcinã atunci el admite ca rãdãcinã şi peα = a – ib, iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate.
Teoremã: Dacã un polinom f∈Q[x] admite pe α = a + b d (a,b∈Q, b≠0,
d∈R\Q) ca rãdãcinã, atunci el admite şi peα = a – b d , iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate.
Teoremã: Dacã un polinom f∈Z[x], grad f≥1, admite o rãdãcinã α = 2
p∈Q,
(p,q) = 1 atunci p an şi q a0. În particular dacã f∈Z[x] are rãdãcina α=p∈Z atunci p an.
XV. Permutãri, matrici, determinanţi
XV.1. Permutãri Definiţie XV.1.1. Fie A={1,2,…n}, ϕϕϕϕ se numeşte permutare de gradul n daacã ϕϕϕϕ:A→→→→A şi ϕϕϕϕ bijectivã.
ϕ =
(n) ... (2) (1)
n ... 2 1
σϕϕ
Sn – mulţimea permutãrilor de grad n; card Sn = n!
1A = e, permutarea identicã e =
n ... 2 1
n ... 2 1
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
32
Compunerea permutãrilor
Fie σ,τ∈Sn atunci σoτ =
(n))( ... (2))( (1))(
n ... 2 1
τστϕτϕ∈Sn
Transpoziţii Definiţia XV.1.2. Fie i,j∈∈∈∈A, i≠≠≠≠j, ττττij∈∈∈∈Sn, ττττij se numeşte transpoziţie dacã:
≠
=
=
=
ji,k daca k,
jk daca i,
ik daca j,
)(kij
τ
=
n ... i ...k ... j ... 2 1
n ... j ...k ... i ... 2 1)(k
ijτ
Observaţii: 1. (τij)-1 = τij;
2. Numãrul transpoziţiilor de grad n este 2
nC
Signatura (semnul) unei permutãri Definiţia XV.1.3. Fie (i,j)∈∈∈∈AxA, i<j, (i,j) se numeşte inversiune a lui ϕϕϕϕ dacã
ϕϕϕϕ(j)<ϕϕϕϕ(i), m(ϕϕϕϕ) numãrul inversiunilor lui ϕϕϕϕ: 2
)1()(0 2 −
=≤≤nn
Cmn
ϕ ;
ε(ϕ) = (-1)m(ϕ) se numeşte signatura lui ϕ. Observaţii: 1. Permutarea ϕ se numeşte parã dacã ε(ϕ) = 1, respectiv imparã dacã ε(ϕ) = - 1; 2. Orice transpoziţie este imparã;
3. ∏≤<≤ −
−=
nji ji
ji
1
)()()(
ϕϕϕε ;
4. ε(ϕ oσ) = ε(ϕ)ε(σ).
XV.2. Matrici Definiţia XV.2.1. Fie M = {1,2,…m} şi N = {1,2,…n}. O aplicaţie A:MxN→C A(i,j)=aij se numeşte matrice de tipul (m,n): cu m linii şi n coloane:
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
şi notãm Mm,n(C) mulţimea matricelor de tipul (m,n) cu
elemente numere complexe. Definiţia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se numeşte pãtraticã de ordinul n, iar mulţimea lor se noteazã Mn(C). Definiţia XV.2.3. Douã matrici A,B∈∈∈∈Mm,n(C) sunt egale dacã şi numai dacã aij = bij ∀∀∀∀(i,j)∈∈∈∈MxN. Operaţii cu matrici: 1. Adunarea
Fie A,B∈Mm,n(C) atunci C = A + B∈Mm,n(C) unde cij=aij + bij ∀ (i,j)∈MxN este suma lor.
Proprietãţi ∀A,B,C∈Mm,n(C): 1. A+B = B+A (comutativitate); 2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
33
3. A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0); 4. A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este –A).
2. Înmulţirea cu scalari Fie A∈Mm,n(C) şi λ∈C atunci B=λA∈Mm,n(C) unde bij=λij ∀(i,j)∈MxN este
produsul matricei A cu scalarul λ. Proprietãţi ∀A,B∈Mm,n(C) şi λµ∈C.
1. 1⋅A = A; 2. λ⋅A = A⋅λ; 3. λ(A+B) = λA + λB; 4. (λ+µ)A = λA + µA; 5. λ(µA) = (λµ)A = µ (λA).
3. Transpusa unei matrici
Fie A∈Mm,n(C) atunci tA∈Mm,n(C) unde taij = aji, ∀(i,j)∈MxN 4. Înmulţirea matricelor
Fie A∈Mm,n(C) şi B∈Mn,p(C) atunci C=A⋅B∈Mm,p(C) unde ∑=
=n
kkjikij
bac1
,
∀(i,j)∈MxN este produsul lor Proprietãţi:
1. (A⋅B) ⋅C = A⋅(B⋅C) (asociativitate);
2. A⋅In = In⋅A (element neutru-matricea unitate)
=
1...00
............
0...10
0...01
nI
3. (A+B)⋅C = A⋅C + B⋅C; 4. A⋅(B+C) = A⋅B + A⋅C.
XV.3. Determinanţi Fie Mn(C) – mulţimea matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din C:
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
, A∈Mn(C)
Definiţia XV.3.1. Se numeşte determinantul matricii A, numãrul det A = ∑
∈ nSnn
aaaσ
σσσσε )()2(2)1(1 ...)(
det A =
nmnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
34
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din matricea A:
Aij = (-1)i+j
a ... a a ... a a
... ... ... ... ... ... ...
a ... a a ... a a
a ... a a ... a a
... ... ... ... ... .... ...
a ... a a ... a a
a ... a a ... a a
nm1nj1-njn2n1
1ni11ji1-1ji12i11i
1n-i11j-i1-1j-i12-i11i
2n12j1-2j2221
1n11j1-1j 12 11
+
++++++
+−
+
+
Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,C∈Mn(C)) Determinantul de ordinul 2:
21122211
2221
1211aaaa
aa
aa−=
Determinantul de ordinul 3:
331221233211132231312312133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−++=
XV.4. Inversa unei matrici Fie A∈Mn(C), dacã det A≠0 existã A-1∈Mn(C) astfel încât AA-1 = In, In∈Mn(C), In – matricea unitate:
=−
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AA
...
............
...
...
det
1
21
22212
12111
1
XVI. Sisteme lineare
XVI.1. Notaţii: aij – coeficienţi, xI – necunoscute, bi – termeni liberi;
(S)
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
.......................................
...
...
2211
22222121
11212111
, m – ecuaţii, n – necunoscute;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
35
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
,
=
nmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
,
r – rangul matricii A = rangul sistemului
XVI.2. Compatibilitatea Sistemul (S) este compatibil determinat dacã:
1. r = m = n (sistem de tip Cramer) şi det A = ∆ ≠ 0, atunci xI = ∆
∆i , unde
=∆
nn
n
n
nnn
i
a
a
a
baa
baa
baa
...
...
...
...
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
2. r = n < m şi rang A= r. Sistemul (S) este incompatibil dacã r ≤ min (m,n) şi rang A = r + 1.
XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0) 1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = … = xn = 0) dacã r = n; 2. Sunt compatibile nedeterminate dacã r < n.
XVII. Structuri algebrice XVII.1. Monoid Fie (M,*), MxM→M, (x,y)→x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului: M1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈M (asociativitatea); M2. ∃ e∈M astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈M (e element neutru); dacã M3. x*y = y*x, ∀x,y∈M monidul este comutativ. Ex: 1. (N,+), (N,⋅) sunt monoizi comutativi; 2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:E→E, E – nevidã, o – compunerea funcţiilor).
XVII.2. Grup Fie (G,*), GxG→G, (x,y)→x*y, G-nevidã. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈G(asociativitatea); G2. ∃ e∈G astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈G (e element neutru); G3. ∀ x∈G ∃ x’∈G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, ∀x,y∈G grupul este comutativ (sau abelian). Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
36
2. (Rn,⊕) – grupul resturilor modulo n, comutativ; 3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z; 4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),
comutativ; 5. (σn, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este comutativ; Definiţia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, H⊂G, H este subgrup dacã ∀ x,y∈H ⇒ x*y∈H şi ∀ x∈H ⇒ x’∈H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *); Fie grupurile (G1,⊥), (G2,∆): Definiţia XVII.2.2. f:G1→G2 se numeşte morfism de grupuri dacã f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1. Definiţia XVII.2.3. f:G1→G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1. Definiţia XVII.2.4. f:G1→G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism).
XVII.3. Inel Fie (A,+,•), AxA→A, (x,y)→x+y şi AxA→A, (x,y)→x•y, A nevidã; Definiţia XVII.3.1. (A,+,•) este inel dacã: G. (A,+) este grup abelian; M. (A,•) este monoid şi D. • este distributivã faţã de +: x•(y+z) = x•y + y•z (y+z)•x = y•x + y•z, ∀x,y,z∈A dacã C. x•y = y•x ∀x,y∈A, inelul este comutativ. Exemple de inele: 1. (Z,+,⋅) – inelul numerelor întregi; 2. (Z[i],+, ⋅) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,b∈Z} 3. (Rn,⊕,⊗) – inelul resturilor modulo n; 4. (Mn(A),+,⋅) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A); 5. (Zn,+,⋅) – inelul claselor de resturi modulo n.
Fie inelele (A,⊥,*) şi (A’,∆,o): Definiţia XVII.3.1. f:A→A’ se numeşte izomorfism de inele dacã f este
bijectivã şi f(x⊥y) = f(x)∆f(y), f(x*y) = f(x)of(y), ∀x,y∈A. Definiţia XVII.3.2. (A,+,•) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x≠0, y≠0
implicã x•y≠0. Definiţia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel puţin douã elemente şi fãrã
divizori ai lui zero se numeşte domeniu integritate. Definiţia XVII.3.4. Dacã (A,+,⋅⋅⋅⋅) este inel, atunci (A[X],+ ,⋅⋅⋅⋅) este inelul
comutativ al polinoamelor cu coeficienţi în A. f∈A[X], f = a0 + a1X + a2X
2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom
de nedeterminatã X cu coeficienţi în A: - dacã an≠0, grad f = n (an – coeficient dominant);
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
37
- dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -∞. Proprietãţi: 1. grad (f+g) ≤ max{grad f, grad g}; 2. grad f⋅g ≤ grad f + grad g.
Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate şi grad f⋅g = grad f + grad g, ∀f,g∈A[X].
XVII.4. Corp Fie (K,+,•), KxK→K, (x,y)→x+y şi KxK→k, (x,y)→x•y, K – nevidã. Definiţia XVII.4.1. (K,+,••••) este corp dacã (K,+,••••) este inel, 0≠1 şi ∀x∈K, x≠0 ⇒ ∃ x-1∈K, astfel încât x•x-1 = x-1 •x = 1. Dacã x•y = y•x ∀x,y∈K, corpul este comutativ. Exemple de corpuri: 1. (Q,+,⋅) – corpul numerelor raţionale; 2. (R,+, ⋅) – corpul numerelor reale; 3. (C,+, ⋅) – corpul numerelor complexe; 4. (Q( d ),+,⋅) – corpul numerelor pãtratice (d∈Z, d – liber de pãtrate); 5. (Zp,+, ⋅) – corpul claselor de resturi modulo p (p∈N*, p >1, p – numãr prim).
Definiţia XVII.4.2. Fie corpurile (K,⊥⊥⊥⊥,*) şi (K’,∆∆∆∆,o), f:K→→→→K’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(x⊥y) = f(x) ∆ f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) ∀∀∀∀x,y∈∈∈∈R.
Teorema împãrţirii cu rest în mulţimea K[X], K corp comutativ şi g∈K[X], g≠0: ∀f∈K[X], existã polinoamele q,r∈K[X], unic determinate astfel încât f = q⋅g+r, grad r < grad g. GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE
Notaţii: - lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b; - lungimile segmentelor importante în triunghi:
� AD = ha (AD⊥BC, ha lugimea înãlţimii din A, D∈BC); � AD = ma (BD=BC, ma lugimea medianei din A, D∈(BC)); � AD = ba (∠BAD =∠CAD, ba lugimea bisectoarei din A, D∈(BC));
- 2
cba ++ = p (p – semiperimetrul triunghiului ABC);
- AABC – aria triunghiului ABC, notatã şi S; - R – raza cercului circumscris unui poligon; - r – raza cercului înscris într-un poligon; - ln – latura poligonului regulat cu n laturi; - an – apotema poligonului regulat cu n laturi; - P – perimetrul poligonului; - Alat – aria lateralã (prismã, piramidã, trunchi de piramidã); - Atot – aria totalã, notatã şi A; - V – volumul.
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
38
I. Triunghiul Inegalitãţi gemetrice: 1. m(∠MBA) > m(∠A), m(∠MBA) > m(∠C), ∠MBA este unghi exterior; 2. a+b > c, b+c > a, a+c > b 3. a > b-c , b > c-a , c > a-b A
4. ma < 2
cb +
5. p < ma + mb + mc < P Teorema bisectoarei (∠BAD ≡ ∠DAC) B C
cb
baDC
cb
caBD
AC
AB
DC
BD
+⋅
=+⋅
== ;;
Observaţii: 1. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecţie al
mediatoarelor; 2. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecţie al bisectoarelor; 3. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie al medianelor. 4. Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecţie al înãlţimilor.
II. Poligoane convexe
Suma Sn a mãsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi: Sn = (n – 2)⋅180°
Poligonul regulat este inscriptibil într-un cerc şi poate fi circumscris unui alt cerc.
III. Relaţii metrice în triunghi III.1. Triunghiul dreptunghic ABC (m(∠A) = 90°, AD⊥BC) 1. Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2; 2. Teorema catetei: b2 = a⋅CD, c2 = a⋅BD; 3. Teorema înãlţimii: 2
ah =BD⋅DC;
4. chbhcb
hcba
==⋅
= ,,2
;
5. 222222
4
3,
4
3,
2cambam
am cba −=−== ;
6. ca
abb
ca
acb
cb
cbb cba +
⋅=+
⋅=+⋅
=2
;2
;2 ;
7. 2
cbAABC
⋅= ;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
39
8. 2
aR = ;
9. cba
cbr
++⋅
= ;
10. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice: b = a⋅sin B, b = a⋅cos C, b = c⋅tg B, b = c⋅ctg C.
III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c)
1. 2
3abmh aaa ===
2. 4
32a
AABC = ;
3. 3
3aR =
4. 6
3ar =
III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥BC) 1. Teorema lui Pitagora generalizatã:
a) b2 = a2 + c2 – 2a⋅BD, dacã m(∠B)<90° ; b) b2 = a2 + c2 + 2a⋅BD, dacã m(∠B)>90° ;
2. Relaţiile lui Steward O∈(BC): b2⋅BO + c2⋅CO – a2⋅AO = a⋅BO⋅CO;
3. 4
)(2 2222 acb
ma
−+= ;
4. ))()((2
cpbpappa
ha −−−= ;
5. bcappcb
ba )(2
−+
= ;
6. Sha
A aABC =
⋅=
2;
7. ))()(( cpbpappS −−−= ;
8. S
abcR
4= ;
9. p
Sr = .
III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice
1. Teorema sinusurilor: RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin=== ;
2. Teorema cosinusului: bc
acbAAbccba
2cos;cos2
222222 −+
=−+= ;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
40
3. Teorema tangentelor: ba
baCtg
BAtg
+−
=−
22;
4. CBARSA
tgappSA
CBaS
CabS sinsinsin2,
2)(,
sin2
sinsin,
2
sin 22
=−=== ;
5. 2
cos2
cos2
cos4CBA
Rp = ;
6. CBRha sinsin2= ;
7. )sinsincos4(sin222 CBAARma += ;
8. 2
cos2 A
cb
bcba +
= ;
9. bc
appA )(
2cos
−= ;
10. bc
cpbpA ))((
2sin
−−= ;
11. )(
))((
2 app
cpbpAtg
−−−
= .
IV. Patrulatere IV.1. Paralelogramul ABCD (AB CD, BC AD, DE⊥AB) D C AC∩BD = {O} OA = OC, OB = OD O AABCD = AB⋅DE AABCD = AB⋅AD⋅sin A. A E B
IV.2. Dreptunghiul D C ABCD (AB CD, BC AD, ∠A = 90°) AC = BD O AABCD = AB⋅AD A B
IV.3. Rombul ABCD (AB CD, BC AD, AB = BC) AC = d1, BD = d2 AB = a A C AC⊥BD
AABCD = 2
dd 21 ⋅
B
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
41
IV.4. Pãtratul ABCD (AB CD, BC AD, AB = AC D C ∠A = 90°, AB = a, AC = d) AC = BD AC⊥BD O d = a 2 AABCD = a2. A B
IV.5. Trapezul D C ABCD (AB CD, AB = B, DC = b MN – linie mijlocie) M
MN = 2
bB + M N
A B
AABCD = hhbB
⋅=⋅+
MN2
)(
V. Poligoane înscrise în cerc V.1. Patrulaterul înscris în cerc A ∠BAD + ∠BCD = 180°; D ∠BAC ≡ ∠BDC; M Teorema lui Ptolomeu α AB⋅DC + AD⋅BC = AC⋅BD C AABCD = ½ AC⋅BD⋅sin α B V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R
1. Triunghiul echilateral: 4
33,
2,3
2
33R
SR
aRl === ;
2. Pãtratul: 244 2,
2
2,2 RS
RaRl === ;
3. Hexagonul regulat: 2
33,
2
3,
2
66R
SR
aRl === ;
4. Poligonul regulat cu n laturi: nnn apn
Rn
Sn
Ran
Rl ⋅====πππ 2
sin2
,cos,sin2 2
unde 2
nlnp
⋅= .
VI. Cercul Lungimi şi arii: lcerc = 2πR, Acerc = πR2;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
42
larcAB=180
απR; α - mãsura în grade; A
AsectorAB = 180
2απR α O
µ(∠AOB) = 180
πα ⋅(µ - mãsura în radiani) B
Unghi cu vârful în interiorul cercului: B m(∠AOB) = )Bm(A
� A
m(∠AMB) = 2
)Dm(C)Bm(A��
+ M
D C Unghi cu vârful pe cerc OM⊥MT M
m(∠AMB) = 2
)Bm(A�
T
m(∠AMT) = 2
)Mm(A�
A B
Unghi cu vârful în exteriorul cercului M OT⊥MT C
m(∠AMB) = 2
)Dm(C)Bm(A��
− D T
m(∠AMB) = 2
)Tm(D)Tm(B��
− A
B Puterea unui punct faţã de un cerc B M
OT⊥MT N ρ(M) = MA⋅MB = OM2 – r2 = MT2 T ρ(N) = NA⋅NB = r2 – ON2
A
VII. Complemente de geometrie planã Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înãlţimilor unui triunghi; dintre toate triunghiurile cu vârfurile respectiv pe laturile unui triunghi (sau pe prelungiri), triunghiul ortic are cel mai mic perimetru. Ceviana este dreapta determinatã de vârful unui triunghi şi un punct al laturii opuse. Teorema lui Ceva: Cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC sunt
concurente dacã şi numai dacã 1=⋅⋅PB
PA
NA
NC
MC
MB.
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
43
Teorema lui Menelaus: Pe dreptele BC, CA, AB, determinate de laturile triunghiului ABC, se considerã punctele M, N respectiv P situate douã dintre ele pe laturile triunghiului şi unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiri
de laturi. Punctele M, N, P sunt colineare dacã şi numai dacã: 1=⋅⋅PB
PA
NA
NC
MC
MB.
Dreapta lui Euler: Într-un triunghi oarecare, punctele H, O şi G (ortocentrul, centrul cercului circumscris şi centrul de greutate) sunt colineare. Dreapta lui Simson: Proiecţiile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe dreptele suport ale laturilor acestuia, sunt colineare. Cercul exînscris: unui triunghi este tangent la o laturã a triunghiului şi la prelungirile celorlalte douã laturi; centrul cercului exînscris este intersecţia bisectoarei unui unghi interior cu bisectoarele celorlalte douã unghiuri exterioare. Cercul lui Euler (cercul celor nouã puncte): picioarele înãlţimilor unui triunghi, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor determinate de ortocentru şi vârfurile triunghiului sunt conciclice.
VIII. Poliedre VIII.1. Prisma 1. Paralelipipedul dreptunghic Alat = 2(a + b)c; c Atot = 2(ab + ac + bc); d V = abc b d2 = a2 + b2 + c2 a 2. Cubul (de laturã a = b = c) A = 6a2 c V = a3 d a = a 3 a b 3. Paralelipipedul D’ C’ B’O⊥(ABC) A’ B’ B’O = h V = AABCD⋅h D O C
A B 4. Prisma C’ (dreaptã sau oblicã, de înãlţime h) A’ B’ V = Abazei⋅h h C
Prisma triunghiularã regulatã A B C’ (AB = a) O’ Alat = 3a⋅h A’ B’
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
44
Atot = 3a⋅h + 2
3a 2
V = 4
3a 2
⋅h C O
A B
VIII.2. Piramida 1. Tetraedrul regulat (toate muchiile sunt congruente, A AO⊥(BCD), AM⊥DC)
;2
3,
3
6 aAM
ah ==
B C 2. Tetraedul dreptunghic (OA⊥OB⊥OC⊥OA, OA = OB = OC = a, CM⊥AB) C
2;2
6,
2
2aAB
aCM
aOM ===
2
32a
AABC =
2
3
2
3 22aa
Atot +=
V = 6
3a
3. Piramida triunghiularã regulatã (AB = AC = BC = A, VA = VB = VC VM ⊥ BC, VM – apotemã)
34
3
2
3
4
3
2
312
2
2
22
haV
VMaaA
VMaA
ahVM
tot
lat
⋅=
⋅+=
⋅=
+=
12
2;3
3
22ˆsin,3
6ˆsin
32 a
VaA
OMAOBA
==
==
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
45
Piramida patrulaterã regulatã (ABCD–pãtrat de laturã a, VA = VB = VC = VD, VM⊥BC)
3
2
24
2
2
22
haV
VMaaA
VMaA
ahVM
tot
lat
⋅=
⋅+=
⋅=
+=
4. Piramida hexagonalã regulatã (ABCDEF – hexagon regulat VM ⊥ BC, VA = VB = VC = VD = VE = VF = a)
2
3
32
33
34
3
2
2
22
haV
VMaa
A
VMaA
ahVM
tot
lat
=
⋅+=
⋅=
+=
M
A B 5. Piramida regulatã (piciorul înãlţimii coincide cu centrul circumscris bazei):
3;
2hA
VAAA
apotemaPA
bazeilatbazeitot
bazeilat
⋅=+=
⋅=
6. Piramida (de înãlţime h):
3;
hAVAAA bazei
latbazeitot
⋅=+=
VIII.3. Trunchiul de piramidã (B – aria bazei mari, b – aria bazei mici, h – înãlţimea)
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
46
1. Trunchiul de piramidã oarecare:
bBbBh
V ⋅++= (3
2. Trunchiul de piramidã regulat P – perimetrul bazei mari, p – perimetrul bazei mici, ap – apotema
)(3
2
)(2
)(
bBbBh
V
apPbBA
apPA
p
tot
p
lat
⋅++=
+++=
+=
VIII.4. Poliedrul regulat Relaţia lui Euler: v-m+f = 2 (v – numal vârfurilor, m – numãrul muchiilor, f – numãrul feţelor) Tipurile de poliedre regulate: - tetraedrul regulat: f = 4, v = 4, m = 6;
- cubul (hexaedru regulat): f = 6, v = 8, m = 12;
- octaedrul regulat: f = 8, v = 6, m = 12;
- dodecaedrul regulat: f = 12, v = 20, m = 30;
- icosaedrul regulat: f = 20, v = 12, m = 30;
IX. Corpuri rotunde Notaţii: R – razã, G – generatoare, h – înãlţime IX.1. Cilindrul circular drept
hRV
GRRA
RGA
Gh
tot
lat
2
)(2
2
π
π
π
=
+=
=
=
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
47
IX.2. Conul circular drept
3
)(2
222
hRV
GRRA
RGA
RhG
tot
lat
π
π
π
=
+=
=
+=
IX.3. Trunchiul de con (r – raza bazei mici)
)(3
)()(
)(
)(
22
22
222
RrrRh
V
rRrRGA
rRGA
rRhG
tot
lat
++=
+++=
+=
−+=
π
ππ
π
IX.4. Sfera
2
1sferice
3
2
2
23
4
4
RhA
RhA
RV
RA
zonei
calotei
π
π
π
π
=
=
=
=
X. Funcţii trigonometrice X.1. Definiţii în triunghiul dreptunghic
a
bB =sin ,
a
cB =cos ,
c
btgB = C
b
cctgB = , CB cossin = , ctgCtgB = b a
A c B
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
48
X.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice 1. sin:R→[-1,1]
sin(-x) = -sin x, sin(x + 2kπ) = sin x, (k∈Z) 2. cos:R→[-1,1
cos(-x) = cos x, cos (x + 2kπ) = cos x, (k∈Z)
3. tg:R\{(2k+1)2
π}→R 4. ctg:R\{kπ}→R
tg(-x) = -tg x ctg(-x) = -ctg x tg(x+kπ) = tg x, (k∈Z) ctg(x + kπ) = ctg x, (k∈Z)
XI. Formule trigonometrice XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument: 1. 1cossin 22 =+ αα ;
αααα 22 sin1cos;cos1sin −±=−±=
2. αα
αcos
sin=tg
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
49
αα
α
αα
22 1
1cos;
1sin
tgtg
tg
+±=
+±=
3. ααπ
cos2
sin =
− ; ααπ
ctgtg =
−2
4. ααπ sin)sin( =− ααπ cos)cos( −=− ; ααπ tgtg −=− )(
5. ααπ
cos2
sin =
+
ααπ
sin2
cos −=
+ , ααπ
ctgtg −=
+2
6. ααπ sin)sin( −=+ ααπ cos)cos( −=+ ; ααπ tgtg =+ )(
7. ααπ sin)2sin( −=− ααπ cos)2sin( =− ; ααπ tgtg −=− )2(
XI.2. Formule de adunare:
βαβα
βα
βαβαβααββαβα
tgtg
tgtgtg
⋅±
=±
⋅⋅=±
⋅±⋅=±
∓
∓
1)(
sinsincoscos)cos(
cossincossin)sin(
XI.3. Formule pentru multiplii de argument:
...sincossincossincoscos
...sincossincoscossin
1
12cos;
1
22sin
cos3cos43cos
sin4sin33sin
22
12
2
1
22
1cos2sin21sincos2cos
cossin22sin
55533311
444222
2
2
2
3
3
2
2
2222
−⋅+⋅−⋅=
−⋅+⋅−=
+
−=
+=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=−=−=
⋅=
−−−
−−
ααααααα
αααααα
αα
αα
αα
ααα
ααα
ααα
αα
αααα
α
ααααα
ααα
nn
nn
nn
nn
nn
n
CCCn
CCn
tg
tg
tg
tg
tgctg
ctg
ctgctg
tgctgtg
tgtg
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
50
XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument:
αα
αα
ααα
αααα
cos1
cos1
sin
cos1
cos1
sin
2
2
cos1
2cos;
2
cos1
2sin
+−
±=−
=+
=
+±=
−±=
tg
XI.5. Sume, diferenţe şi produse:
2cos
2sin2sinsin
βαβαβα
−+=+
2cos
2sin2sinsin
βαβαβα
+−=−
2cos
2cos2coscos
βαβαβα
−+=+
2sin
2sin2coscos
αββαβα
−+=−
βαβα
βαβα
βαβα
coscos
)sin(;
coscos
)sin(
⋅−
=−⋅+
=+ tgtgtgtg
−=
+=+ απ
απ
αα4
cos24
sin2cossin
−−=
+−=− απ
απ
αα4
cos24
sin2cossin
βαβα
βα
βαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
ctgctg
tgtgtgtg
++
=⋅
−++=⋅
−++=⋅
+−−=⋅
)]sin()[sin(2
1cossin
)]cos()[cos(2
1coscos
)]cos()[cos(2
1sinsin
XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice
XII.1. arcsin:[-1.1]→[-2
π,
2
π], arcsen y = x sin x = y
arcsin (-x) = - arcsin x XII.2. arcos:[-1,1]→[0,π], arcos (-x) = π - arcos x
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
51
XII.3. arctg:R
−→2
,2
ππ, arctg (-x) = -arctg x
XII.4. arctg:R→(0,π), arctg (-x) = π - arctg x
XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple
XIII.1. Ecuaţii fundamentale
}{,.4
{,.3
}2arccos{]1,1[,cos.2
}arcsin)1{(]1,1[,sin.1
ZkkaccctgaxRaactgx
ZkkarctgaxRaatgx
Zkkaxaax
Zkkaxaax k
∈+∈⇒∈=
∈+∈⇒∈=
∈+±∈⇒−∈=
∈+−∈⇒−∈=
π
π
π
π
XIII.2. Tabele de valori: x
funcţia 0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
2
3π
2π
sin x 0
2
1
2
2
2
3
1 0 -1 0
cos x 1
2
3
2
2
2
3
0 -1 0 1
tg x 0
3
3
1 3 / 0 / 0
ctg x / 3 1
3
3
0 / 0 /
x funcţia
-1
2
3−
2
2−
2
1−
0
2
1
2
2
2
3
1
arcsin x
2
π−
3
π−
4
π−
6
π−
0
6
π
4
π
3
π
2
π
arcos x π
6
5π
4
3π
3
2π
2
π
3
π
4
π
6
π
0
x functia
3− -1
3
3−
0
3
3
1 3
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
52
arctg x
3
π−
4
π−
6
π−
0
6
π
4
π
3
π
arcctg x
6
5π
4
3π
3
2π
2
π
3
π
4
π
6
π
XIV. Elemente de geometrie analiticã XIV.1. Segmente 1. Distanţa dintre douã puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB = 2
122
12 )()( yyxx −+−
2. Panta dreptei AB: 12
12
xx
yymAB −
−=
3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB: 2
,2
2121 yyy
xxx
+=
+=
4. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k:
2,
12121 kyy
yk
kxxx
+=
++
=
XIV.2. Ecuaţia dreptei 1. Drepte paralele cu axele de coordonate:
(d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox) 2. Dreapta determinatã de punctul Mo(xo,yo) şi vectorul nul atrrdvua o +=:)(:),( ,
t∈R, or -vectorul de poziţie a lui Mo; r-vectorul de poziţie a unui punct M al dreptei d.
+=
+=
vtyy
utxxd
o
o:)( , t∈R, ecuaţiile parametrice;
3. Ecuaţia explicitã: y =mx + n (m∈R*, n∈R, m – panta, n – ordonata la origine);
4. Ecuaţia prin tãieturi: *);,(,01 Rbab
y
a
x∈=−+
5. Ecuaţia dreptei de pantã m, prin punctul Mo(xo,yo): y – yo = m(x – xo), (m≠0); 6. Ecuaţia dreptei determinatã de punctele A(x1,y2), B(x2,y2):
),(,),( 212112
1
12
11
12
121 yyxx
xx
xx
yy
yyxx
xx
yyyy ≠≠
−−
=−−
−−−
=− sau
0
1
1
1
22
11 =
yx
yx
yx
7. Ecuaţia generalã: ax + by + c = 0;
8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC = ∆2
1, unde
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
53
1
1
1
22
11
yx
yx
yx
=∆ , dacã ∆ = 0 atunci A, B, C sunt colineare
9. Poziţia relativã a dreptelor (d1) şi (d2): 0:)( 1111 =++ cybxad şi 0:)( 2222 =++ cybxad
d1 = d2, dacã 2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a==
d1 d2, dacã 2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a≠= ;
d1 ≠ d2 şi d1 ∩ d2 ≠ ∅, dacã 2
1
2
1
b
b
a
a≠
10. Distanţa de la punctul Mo(xo,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0
22
00),(ba
cbyaxhMd
+
++=
11. Unghiul α determinat de dreptele:
111 :)( nxmyd += şi 222 :)( nxmyd +=
)1(,1 21
21
12 −≠+
−= mm
mm
mmtgα
d1 ⊥ d2, dacã m1m2 = -1
XIV.3. Cercul Cercul C de centru M(a,b) şi razã r: 1. Ecuaţia cercului (x – a)2 + (y – b)2 = r2; dacã M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2;
2. Ecuaţia generalã: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde 2
ma −= , b =
2
n− şi
r2 = 4
1(m2 + n2) – p.
XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie 1. Elipsa E: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b), MF + MF’ = 2a, M∈E
Ecuaţia elipsei: 2222
2
2
2
,01 acbb
y
a
x=+=−+
B M
A’ F’ F A O
B’
Ecuaţia tangentei în punctul M(xo,yo), M∈∈∈∈E:
0122
=−+b
yy
a
xx oo
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
54
2. Hiperbola H: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), MF – MF’= 2a, M∈H.
Ecuaţiea hiperbolei: 2222
2
2
2
,01 abcb
y
a
x=−=−−
Ecuaţia tangentei în Mo(xo,yo), Mo∈∈∈∈H.
0120
20 =−−
b
yy
a
xx
3. Parabola P: F(2
p,0), h:x = -
2
p (h – dreapta directoare): d(M,h) = MF, M∈P.
Ecuaţia parabolei P: y2 = 2px
Ecuaţia tangentei în Mo(xo,yo), Mo∈∈∈∈P: yyo = p(x + xo) ANALIZÃ MATEMATICÃ
I. Şiruri I.1. Şiruri şi limite Definiţia I.1.1. Se numeşte şir de numere reale o funcţie f:N→→→→R, f(n) = an. Definiţia I.1.2. Şirul (an)n≥≥≥≥0 se numeşte crescãtor (respectiv descrescãtor) dacã an ≤≤≤≤ an+1, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N (respectiv an ≥≥≥≥ an+1, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N). Şirurile crescãtoare şi şirurile descrescãtoare se numesc şiruri monotone. Definiţia I.1.3. Şirul (an)n≥≥≥≥0 este mãrginit dacã şi numai dacã ∃∃∃∃M>0 astfel încât an≤≤≤≤ M, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N. Notaţie: (an)n≥0, an∈R, R =R ∪ {-∞, +∞}. Definiţia I.1.4. Şirul (an)n≥≥≥≥0, an∈∈∈∈R are limita a şi scriem aan
n
=∞→
lim , a∈R
dacã în orice vecinãtate a punctului a se aflã toţi termenii şirului începând de la un anumit rang. Definiţia I.1.5. Şirul este convergent, aan
n
=∞→
lim , a∈R, dacã ∀ε>0, ∃Nε∈N
astfel încât ∀ n> Nε, an - a<ε. Definiţia I.1.6. aan
n
=∞→
lim dacã ∃ε>0, ∃Nε∈N astfel încât an > ε, ∀ n > Nε.
Definiţia I.1.7. −∞=∞→
nn
alim dacã ∀ε>0, ∃Nε∈N astfel încât an < -ε, ∀ n > Nε.
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
55
Dacã ±∞=∞→
nn
alim , atunci şirul este divergent.
I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unui şir 1. dacã 0lim =
∞→n
n
b , bn≥ 0 şi an - a≤ bn atunci aann
=∞→
lim ;
2. dacã ∞=∞→
nn
blim şi an ≥ bn atunci +∞=∞→
nn
alim ;
3. dacã −∞=∞→
nn
blim şi an ≤ bn atunci −∞=∞→
nn
alim ;
4. orice şir monoton şi mãrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass); 5. dacã bn ≤ an ≤ cn şi acb n
nn
n
==∞→∞→
limlim atunci aann
=∞→
lim ;
6. criteriul lui Stolz:
- dacã (bn)n≥0 crescãtor: ∞=∞→
nn
blim şi existã nn
nn
n bb
aa
−
−
+
+
∞→ 1
1lim , atunci
nn
nn
nn
n
n bb
aa
b
a
−
−=
+
+
∞→∞→ 1
1limlim ;
- dacã (an)n≥0, an > 0 şi existã n
n
n a
a 1lim +
∞→ atunci n
nn
alim∞→
=n
n
n a
a 1lim +
∞→ (Cesaro);
- - dacã (bn)n≥0 crescãtor: 0limlim ==∞→∞→
nn
nn
ba şi existã nn
nn
n bb
aa
−
−
+
+
∞→ 1
1lim , atunci
nn
nn
nn
n
n bb
aa
b
a
−
−=
+
+
∞→∞→ 1
1limlim ;
I.2. Operaţii cu şiruri convergente aan
n
=∞→
lim , bbnn
=∞→
lim , a,b∈R
)0 daca(,lim.3
;,lim.2
;)(lim,)(lim.1
≠=
∈=
−=−+=+
∞→
∞→
∞→∞→
bb
a
b
a
Raa
babababa
n
n
n
nn
nnn
nnn
ααα
I.3. Operaţii cu şiruri care au limitã aan
n
=∞→
lim , bbnn
=∞→
lim , a,b∈ R
1. dacã ∞=∞→
nn
alim şi bbnn
=∞→
lim , b∈R atunci 01
lim,)(lim =+∞=+∞→∞→ nn
nnn a
ba ,
<∞−
>∞+=⋅
∞→ 0 daca ,
0 daca ,lim
b
bba nn
n
2. +∞==∞→∞→
nn
nn
ba limlim atunci +∞=+∞→
)(lim nnn
ba , +∞=⋅∞→
)(lim nnn
ba ;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
56
3. dacã −∞=∞→
nn
alim şi bbnn
=∞→
lim , b∈R, atunci −∞=+∞→
)(lim nnn
ba
<∞+
>∞−=⋅
∞→ 0 daca ,
0 daca ,lim
b
bba nn
n
;
4. −∞==∞→∞→
nn
nn
ba limlim atunci −∞=+∞→
)(lim nnn
ba , +∞=⋅∞→
)(lim nnn
ba ;
5. dacã ∞=∞→
nn
alim şi −∞=∞→
nn
blim atunci −∞=⋅∞→
)(lim nnn
ba ;
6. dacã 0lim =∞→
nn
a atunci ∞=∞→ nn a
1lim dacã an > 0 şi −∞=
∞→ nn a
1lim dacã an < 0.
I.4. Şiruri tip
.!
1...
!2
1
!1
11lim.9
;1
1lim.8
;1,1...21lim.7
;0,1lim.6
;)1
...3
1
2
11(lim.5
;1 daca ,1
1)...1(lim.4
daca ,
0 si daca ,
0 si daca ,
daca ,0
...
...lim.3
0 daca ,
0 daca ,lim)...(lim.2
1 daca exista,nu
1 daca ,
1 daca ,1
11 daca ,0
lim.1
2
0
01
110
11
10
0
001
110
en
en
pn
aa
n
qqq
pkb
a
papk
papk
pk
nnbnbnb
ananana
a
anaananana
q
q
q
q
q
n
n
n
n
n ppp
n
n
n
n
n
n
oo
oo
pppp
kkkk
n
k
nkk
kk
n
n
n
=
++++
=
+
≥∀=+++
>∀=
+∞=++++
<−
=++++
=
<>∞−
>>∞+
<
=++++
++++
<∞−
>∞+==++++
−≤
>∞+
=
<<−
=
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
−−
−−
∞→
∞→−
−
∞→
∞→
II. Limite de funcţii Notaţii: f:D→R, D⊂R, α - punct de acumulare a lui D;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
57
II.1. Definiţii ale limitei Definiţia II.1.1. R,)(lim ∈=
→llxf
x α, dacã pentru orice vecinãtate V a lui l
existã o vecinãtate U a lui α astfel încât ∀ x∈D∩U, x≠α, sã rezulte f(x)∈V. Definiţia II.1.2. R,)(lim ∈=
→llxf
x α, dacã pentru orice şir (xn)n≥≥≥≥0, xn∈D\{α},
având α=∞→
nn
xlim rezultã lxfn
=∞→
)(lim (criteriul cu şiruri);
Definiţia II.1.3. R,)(lim ∈=→
llxfx α
, dacã ∀ε>0, ∃δε >0 astfel încât ∀x∈D\{α}
şi x - α< δε rezultã f(x) - l< ε; Definiţia II.1.4. lxf
x
=→
)(limα
, dacã ls = ld = l, unde )(lim xfl
xx
s
αα
<→
= şi
)(lim xfl
xx
d
αα
>→
= .
II.2. Operaţii cu limite de funcţii f:D→R, g:D→R, α - punct de acumulare a lui D, 1)(lim lxf
x
=→α
, 2)(lim lxgx
=→α
, l1,l2∈R;
.)(
)(lim,0 daca.4
;)(lim.3
;)()(lim.2
;))()((lim.1
2
12
1
21
21
l
l
xg
xfl
laxaf
llxgxf
llxgxf
x
x
x
x
=≠
⋅=
⋅=⋅
+=+
→
→
→
→
α
α
α
α
II.3. Limite tip
nnn
nnn
x
aaaaxaxa +++=+++ −−
→...)...(lim.1 1
101
10 ααα
;lim)...(lim 01
10n
xn
nn
x
xaaxaxa±∞→
−
±∞→=+++
mmm
nnn
mmm
nnn
x bbb
aaa
bxbxb
axaxa
+++
+++=
+++
+++−
−
−
−
→ ...
...
...
...lim.2
110
110
110
110
αααα
α
;lim...
...lim
0
01
10
110
m
n
xm
mm
nnn
x xb
xa
bxbxb
axaxa
±∞→−
−
±∞→=
+++
+++
2,,,lim.3 ≥∈∈= +→
nNnRx nn
x
ααα
∞=∞→
n
x
xlim , −∞=+
−∞→
12lim n
x
x ;
4. }1{\,,lim*+
→∈∈= RaRaa x
x
αα
α
∞=∞→
x
x
alim , 0lim =−∞→
x
x
a , dacã a > 1;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
58
0lim =∞→
x
x
a , ∞=−∞→
x
x
alim , dacã 0 < a < 1;
4. }1{\ finita, 0,logloglim*+
→∈>= Rx aa
x
αααα
−∞=
>→
xa
xx
loglim00
şi +∞=∞→
xax
loglim dacã a > 1;
+∞=
>→
xa
xx
loglim00
şi −∞=∞→
xax
loglim dacã 0 < a < 1;
6. αα
sinsinlim =→
xx
, αα
coscoslim =→
xx
Ztgtgxx
ππ
ααα
+∉=→ 2
,lim , Zctgctgxx
πααα
∉=→
,lim
∞=
<
→
tgx
x
x
lim
2
2π
π, −∞=
>
→
tgx
x
x
lim
2
2π
π
7. ∞=
>→
ctgx
xxlim
00
, −∞=
<→
ctgx
xxlim
00
]1,1[,arcsinarcsinlim −∈=→
ααα
xx
, ]1,1[,arccosarccoslim −∈=→
ααα
xx
Rarctgarctgxx
∈=→
ααα
,lim , Rarcctgarcctgxx
∈=→
ααα
,lim
2lim
π−=
−∞→arctgx
x
, 2
limπ
=∞→
arctgxx
π=−∞→
arcctgxxlim , 0lim =
∞→arcctgx
x
;
8. 1sin
lim0
=→ x
x
x
, 1lim0
=→ x
tgx
x
, 1arcsin
lim0
=→ x
x
x
, 1lim0
=→ x
arctgx
x
;
9. ;1,,0lim >∈∀=∞→
aZna
xx
n
x
10. ;)1(lim,1
1lim1
0exe
xx
x
x
x
=+=
+→±∞→
11. ;1)1ln(
lim0
=+
→ x
x
x
12. 0,ln1
lim0
>=−
→aa
x
a x
x
,
13. Rrrx
x r
x
∈∀=−+
→,
1)1(lim
0.
II.4. Continuitatea funcţiilor Definiţia II.4.1. Fie f:D→R, xo∈D, xo – punct de acumulare a lui D, f este continuã în xo, dacã )()(lim 0
0
xfxfxx
=→
, xo se numeşte punct de continuitate.
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
59
Definiţia II.4.2. Fie α∈D, α este punct de discontinuitate de prima speţã dacã existã şi sunt finite limitele laterale în α, dar funcţia nu este continuã în α.
Definiţia II.4.3. Fie α∈D, α este punct de discontinuitate de speţa a doua dacã nu este de prima speţã. Teoremã. Dacã f:I→R, I – interval şi f continuã pe I, atunci J = f(I) este interval ( o funcţie continuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).
III. Funcţii derivabile III.1. Definiţia derivatei într-un punct f:E→R, xo∈E, xo – punct de acumulare a lui E:
� f’(x0) = h
xfhxf
xx
xfxf
Ehxhxx
)()(lim
)()(lim 00
00
0
0
0
−+=
−
−
∈+→→
� fs’(x0) = 0
0 )()(lim
0
0 xx
xfxf
xxxx −
−
<→
, fd’(x0) = 0
0 )()(lim
0
0 xx
xfxf
xxxx −
−
>→
� f’(x0) = fs’(x0) = fd’(x0) Interpretarea geometricã: - dacã f’(x0)∈R, y - f(x0) = f’(x0)(x – x0) este ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în
punctul A(x0,f(x0)); - dacã f este continuã în x0, fd’(x0) = +∞, fs’(x0) = -∞, sau invers, x0 este punct de
întoarcere al graficului; - dacã f este continuã în x0 şi existã derivatele laterale în x0, cel puţin una fiind
finitã, dar f nu este derivabilã în x0, x0 este punct unghiular al graficului.
III.2. Reguli de derivare f,g:E→R, f,g derivabile în x∈E:
1. (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x);
2. (cf)’(x) = cf’(x), c∈R; 3. (f⋅g)’(x) = f’(x)⋅g(x) + f(x)⋅g’(x)
4. dacã g(x)≠0, )(
)(')()()(')(
2
'
xg
xgxfxgxfx
g
f −=
;
5. dacã f:I→J, g:J→R, f derivabilã în x0∈I şi g derivabilã în y0 = f(x0), atunci (gof)’(x0) = g’(y0)f’(x0);
6. dacã f:I→J continuã, bijectivã şi derivabilã în x0 cu f’(x0)≠0, atunci f-1:J→I este
derivabilã în y0, y0 = f(x0) şi f-1
(y0) = )('
1
0xf.
III.3. Derivatele funcţiilor elementare Funcţia (condiţii) Derivata (condiţii) C 0
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
60
xn, n∈N* nx
n-1
xr, r∈R, x>0 rx
n-1
0, ≥xx 0,2
1>x
x
logax, a≠1, a>0, x>0
xa
1
ln
1⋅
ln x, x>0
x
1
ax, a≠1, a>0, x>0 a
x ln a
ex
ex
sin x cos x
cos x -sin x
tg x, x Zkk ∈+≠ ,2
)12(π
x2cos
1
ctg x, x Zkk ∈≠ ,π
x2sin
1−
arcsin x, x∈[0,1] )1,0(,
1
12
∈−
xx
arcos x, x∈[0,1] )1,0(,
1
12
∈−
− xx
arctg x 21
1
x+
arcctg x 21
1
x+−
III.4. Derivata funcţiilor compuse Funcţia (condiţii) Derivata (condiţii) u
n, n∈N* nu
n-1⋅u’
ur, r∈R, u>0 ux
n-1⋅u’
0, ≥uu 0,2
'>u
u
u
logau, a≠1, a>0, u>0
u
u
a
'
ln
1⋅
ln u, u>0 '
1u
u⋅
au, a≠1, a>0 a
u ln a⋅u’
eu
eu⋅u’
sin u cos u⋅u’
cos u - sin u⋅u’
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
61
tg u, cos u≠ 0 '
cos
12
uu
⋅
ctg u, sin u≠ 0 '
sin
12
uu
⋅−
arcsin u, u∈[-1,1] )1,1(,'
1
12
−∈⋅−
uuu
arccos u, u∈[-1,1] )1,1(,'
1
12
−∈⋅−
− uuu
arctg u '
1
12
uu
⋅+
arcctg u '
1
12
uu
⋅+
−
uv , u>0 u
v⋅v’⋅ ln u + v⋅uv-1⋅u’
III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare Funcţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f
(n))
xm, m∈N, m≥n m(m-1)…(m-n+1)x
m-n
Nmxm
∈,1
(-1)nm(m-1)…(m+n-1)
nmx +
1
ex
ex
ax (ln a)n⋅ax
ln x (-1)
n-1(n-1)!
nx
1
Funcţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f(n)
)
sin x
+2
sinπn
x
cos x
+2
cosπn
x
Formula lui Leibniz:
ffgfC
gfCgfCgfCgfCgfgf
n
k
kknkn
nnn
nnn
nn
nn
nn
=∑ ⋅=
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅
=
−
−−−−
)0(
0
)()(
)()1(1)2(2)1(1)()(
,
'...''')(
III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabile Teorema lui Fermat: Fie f:I→R derivabilã pe I. În orice punct extrem local din interiorul lui I, f’ este nulã. Teorema lui Rolle: Dacã funcţia continuã f:[a,b]→R este derivabilã pe (a,b) şi f(a) = f(b) atunci existã c∈(a,b) astfel încât f’(c) = 0.
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
62
Teorema lui Lagrange: Dacã funcţia continuã f:[a,b]→R este derivabilã pe (a,b), atunci existã c∈(a,b)
astfel încât )(')()(
cfab
afbf=
−−
.
Teoremã. Dacã funcţia f este continuã şi derivabilã pe I (I – interval deschis), atunci: 1. între douã rãdãcini consecutive ale funcţiei existã cel puţin o rãdãcinã a derivatei; 2. între douã rãdãcini consecutive ale derivatei existã cel mult o rãdãcinã a funcţiei. Teorema lui Cauchy: Dacã f,g:[a,b]→R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi g’(x)≠0, ∀x∈(a,b)
atunci ∃c∈(a,b) astfel încât )('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf=
−−
IV. Asimptote IV.1. Asimptote orizontale (f:D→R) Definiţia IV.1.1. Dacã 1)(lim lxf
x
=+∞→
sau 2)(lim lxfx
=−∞→
, l1,l2∈R, dreptele y=l1
şi y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre +∞∞∞∞, respectiv -∞∞∞∞ IV.2. Asimptote oblice (f:D→R)
Definiţia IV.2.1. Dacã 0)(
lim ≠=∞→
mx
xf
x
şi Rnmnmxxfx
∈=−+∞→
,,])([lim
dreapta y = mx + n este asimptotã oblicã a lui f spre +∞∞∞∞.
Definiţia IV.2.2. Dacã 0')(
lim ≠=∞→
mx
xf
x
şi Rnmnxmxfx
∈=−+∞→
',',']')([lim
dreapta y = m’x + n’ este asimptotã oblicã a lui f spre -∞∞∞∞.
IV.3. Asimptote verticale (f:D→R) Definiţia IV.3.1. Dacã ±∞=
<→
)(lim xf
xx
αα
, α - punct de acumulare a lui D,
dreapta x=α este asimptotã verticalã la stânga a lui f. Definiţia IV.3.2. Dacã ±∞=
>→
)(lim xf
xx
αα
, α - punct de acumulare a lui D,
dreapta x=α este asimptotã verticalã la dreapta a lui f. V. Primitive (integrale nedefinite)
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
63
Definiţia V.1. Fie funcţia f:J→R, J – interval, F:J→R este primitiva lui f, dacã F este derivabilã pe J şi F’(x) = f(x), ∀x∈J. Se noteazã: ∫ += cxFdxxf )()( Proprietãţi ale primitivelor:
1. [ ] ∫ ∫+=∫ + dxxfdxxfdxxfxf )()()()( 2121 ; 2. ∫ ∫= dxxfadxxaf )()( ;
Integrarea prin părţi ∫ ∫−= dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')( .
V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei Dacã ϕ :I→J, f:J→R,ϕ derivabilã pe I, f admite primitive (F), atunci
∫ +=⋅ ctFdtttf )()('))(( ϕϕϕ �
V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei Dacã ϕ :I→J, f:J→R,ϕ bijectivã, derivabilã, cu derivata nenulã pe I,
')( ϕϕ ⋅= �fh admite primitive (H) atunci ∫ += − cxHdxxf )()( 1ϕ� . V.3. Tabel de primitive: (I – interval, I⊂R)
1. NnRxcn
xdxx
nn ∈∈+
+=∫
+
,,1
1
;
2. ∫ −∈+∞∈++
=+
}1{\),,0(,1
1
Rxcx
dxx αα
αα ;
3. 1,0,,ln
≠>∈+=∫ aaRxca
adxa
xx ;
4. RIIxcxx
dx⊂∈+∫ = ,,ln ;
5. },{\,,ln2
1122
aaRIIxcax
ax
adx
ax−⊂∈+
+−
=∫−
;
6. 0,,11
22≠∈+=∫
+aRxc
a
xarctg
adx
ax;
7. Rxcxxdx ∈+−=∫ ,cossin ; 8. Rxcxxdx ∈+=∫ ,sincos ;
9.
∈+⊂∈+=∫ ZkkRIIxctgxdx
x 2)12(\,,
cos
12
π;
10. { }ZkkRIIxcctgxdxx
∈⊂∈+−=∫ π\,,sin
12
;
11. ∫
∈+⊂∈+−= ZkkRIIxcxtgxdx
2)12(\,,coslnπ
;
12. { }∫ ∈⊂∈+= ZkkRIIxcxctgxdx π\,,sinln ;
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
64
13. ( ) Rxcaxxdxax
∈+++=∫+
,ln1 22
22;
14. 0),,(sau ),(,ln1 22
22>−−∞∈+∞∈+−+=∫
−aaxaxcaxxdx
ax;
15. 0),,(,arcsin1
22>−∈+=∫
−aaaxc
a
xdx
xa
V.4. Primitivele funcţiilor raţionale
1. 0,1,,)()1(
1)( 1 ≠−≠∈++
+=∫ + +
anNncbaxan
dxbaxnn ;
2. ∫ ≠++=+
0,)ln(1
acbaxabax
dx;
3. ∫ ≠≠∈++−
−=+ −
0,1,,)()1(
1
)( 1anNnc
baxanbax
dxnn
;
4. bacax
bx
babxax
dx≠+
++
−=∫
++,ln
1
))((;
5. ∫ ∫ ≠−=∆+∆
−
+
=++
0,4b unde ,
42
1 22
22
aacc
aa
bx
dx
acbxax
dx.
Substituţiile lui Euler:
1. 0 daca ,2 >±=++ aaxtcbxax ;
2. 0 daca ,2 >±=++ cctxcbxax ;
3. 12
12 si 04 daca ),( xacbxxtcbxax >−−=++ este o rãdãcinã a ecuaţiei
ax2 + bx + c = 0.
VI. Integrale definite IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann) Notaţii: f:[a,b]→R, ∆ = (a = x0, x1, x2, …, xn = n) diviziune, xi-1 ≤ ξi ≤ xi , ξi – puncte
intermediare, σ∆(f, ξ) – suma Riemann: ∑ −==
−∆
n
iiii xxff
11))((),( ξξσ
Definiţia VI.1.1. f se numeşte integrabilã dacã existã numãrul real If cu proprietatea: ∀ε > 0, ∃ηε >0 astfel încâtr pentru orice divizune ∆ a lui [a,b] cu
εη<∆ şi orice puncte intermediare ξi are loc εξσ <−∆ fIf ),( unde
)(max 11
−≤≤
−=∆ iini
xx
Se noteazã: ∫=b
af dxxfI )(
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
65
Proprietãţi ale integralei definite:
1. ∫ ∫ ∫+=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( βαβα ;
2. ∫ ∫ ∫+=b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()( ;
3. ∫−=∫a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ;
4. 0)( =∫a
a
dxxf .
Formula lui Leibniz-Newton:
)()()( aFbFdxxfb
a
−=∫ (F – primitivã a lui f)
Teorema de medie:
Dacã f continuã pe [a,b], atunci ∃ξ∈[a,b] astfel încât: )()()( ξfabdxxfb
a
−=∫
Formula de integrare prin pãrţi:
∫−=∫b
a
ba
b
a
dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(
Formula de schimbare de variabilã: Dacã ϕ :[a,b]→J, f:J→R, f continuã pe J, ϕ derivabilã cu derivata continuã pe
[a,b], atunci ∫=∫ ⋅)(
)(
)()('))((b
a
b
a
dxxfdtttfϕ
ϕϕϕ
Proprietãţi de paritate:
Dacã f:[-a,a]→R continuã atunci:
∫=∫
−
a
a
a fdxxf
f
dxxf
0
para daca ,)(2
impara daca ,0
)(
VI.2. Aplicaţii ale integralei definite 1. Aria subgraficului Γf, f:[a,b]→R+, f continuã:
aria ∫=Γb
af dxxf )(
Aria subgraficului Γf,g, f,g:[a,b]→R şi f(x) ≤ g(x) ∀ x∈[a,b]
aria ∫ −=Γb
agf dxxgxf )]()([,
2. Volumul corpurilor de rotaţie, f:[a,b]→R+, f continuã:
∫=b
af dxxfCvol )()( 2π
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
66
3. Lungimea graficului f:[a,b]→R+, f derivabilã cu derivata continuã:
∫ +=b
a
dxxffl2))('(1)(
4. Aria suprafeţelor de rotaţie:
∫ +=b
a
f dxxfxfA2))('(1)(2π
Top Related