Calcul Numeric
Cursul 2
2010-2011
Anca Ignat
1
Tipuri de matrici
Definiţii
O matrice n nA R se numeşte simetrică dacă A = AT .
O matrice n nA C se numeşte autoadjunctă dacă A = AH.
O matrice n nA C se numeşte unitară dacă AHA = A AH = In.
O matrice n nA C se numeşte ortogonală dacă
ATA = A AT = In.
2
O matrice n nA C , A=(ai j ) se numeşte matrice
triunghiulară inferior (sau inferior triunghiulară) dacă
ai j = 0 pentru j > i
11
21 22
1 2
0 .....................0..................0
n n nn
aa a
A
a a a
3
O matrice n nA C , A=(ai j ) se numeşte matrice
triunghiulară superior (sau superior triunghiulară) dacă
ai j = 0 pentru j < i
11 12 13 1
22 23 2
33 3
. . . . . . . . . .00 0
0 0 0 ...........
n
n
n
nn
a a a aa a a
A a a
a
4
Notăm cu In matricea unitate:
1 0 0 0 00 1 0 0 0
,0 0 00 0 0
n nn nI I
R
5
Matrice diagonală D=diag[d1, d2,…,dn]
1
2
1
0 0 0 00 0 0 0
,0 0 00 0 0
n n
n
n
dd
D Dd
d
R
6
Norme
Definiţie Fie X un spaţiu vectorial peste corpul K. Se numeşte normă aplicaţia:
. : X R care îndeplineşte condiţiile:
(1) 0; 0 0;(2) , , ;(3) , , .
x x xx y x y x y X
x x x X K
Vom numi norme vectoriale normele definite pe spaţiile
saun nX C R .
7
Exemple Fie spaţiile vectoriale saun n C R . Pe aceste spaţii următoarele aplicaţii sunt norme vectoriale:
11
22
1
;
;
max{ 1.. }.
n
ii
n
ii
i
x x
x x
x x i n
8
Dacă v
este o normă vectorială şi n nP R este o matrice
nesingulară atunci aplicaţia
: ,nP P v
x Px
este de asemenea o normă vectorială.
Definiţie
Se numeşte produs scalar în spaţiul vectorial X aplicaţia:
, : X X K
care satisface condiţiile :
9
( ) , 0 , , , 0 0;
( ) ( , ) , , , ,( ) , , , , ,( ) , , , , , .
a x x x X x x x
b x y y x x y Xc x y x y x y X Kd x y z x z y z x y z X
Inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz:
, , , ,x y x x y y x y X
10
Într-un spaţiu vectorial dotat cu produs scalar se poate induce
o normă numită euclidiană:
2 | | : ,x x x x .
Reaminitm definiţia produselor scalare pe nC şi pe nR
introduse anterior:
1 1
, , ,n n
n n
i i i ii i
x y x y x y x y
C R
11
Obţinem norma euclidiană (valabilă în ambele spaţii nC şi nR ):
22
1| |
n
ii
x x x
.
12
Norme matriciale
Definiţie
Aplicaţia : n n R Rse numeşte normă matricială dacă:
(1) 0 ; 0 0.
(2) .
(3) , , .
(4) * , , .
n n
n n
n n
n n
A A A A
A A A
A B A B A B
A B A B A B
R
R R
R
R
nn
13
Exemple
Norma Frobenius definită de relaţia 2
1 1
n n
i jFi j
A a
este
o normă matricială.
Aplicaţia max
, ,max{ ; 1, , 1, }ij
A a i n j n NU este o
normă matricială.
14
Pentru n = 2 fie:
1 1 1 12 2 2 2,
1 1 1 12 2 2 2
TA B A
2 max max
max max max
1* ,2
1* 1 .2
A B I A B
A B A B
15
Norme matriciale naturale
- : nv o normă vectorială → || || : n n
i
R R
normă matricială naturală sau indusă.
vi
v
max{ ; , 0}nAxA x x
x R
Definiţii echivalente :
i v v
v v
max{ ; , 1}
max{ ; , 1}
n
n
A Ax x x
Ax x x
R
R
16
iA se numeşte normă matricială naturală sau normă
indusă de norma vectorială v
Avem următoarea relaţie:
v i v , ,n n nAx A x A x R R .
Norma Frobenius F nu este o normă naturală.
vi
v
max{ ; 0 } 1, || ||nn i
I xI x
x ,
12(1 1 1) 1 pentru 2.n FI n n
17
Pentru 11
n
ii
x x
norma matricială indusă este:
11
max{ ; 1,2, , }n
iji
A a j n
Pentru max{ 1, , }ix x i n norma matricială indusă
este:
1max{ ; 1,2, , }
n
ijj
A a i n
.
18
- v
şi v,P
- norme vectoriale → i
şi respectiv i,P
normele matriciale induse
1
v,P v i,P ix Px A PAP
19
Valori şi vectori proprii Definiţii
Fie n nA R . Se numeşte valoare proprie (autovaloare) a
matricii A un număr complex C pentru care există un
vector nenul , 0nx x C a.î.:
Ax x .
Vectorul x se numeşte vector propriu (autovector) asociat
val. proprii .
( ) 0, 0 det( ) 0n nAx x I A x x I A
20
Matricea nI A este singulară.
Polinomul: 1 2
1 1( ) det( ) ...n n nA n n np I A a a a a
se numeşte polinom caracteristic asociat matricii A.
grad pA = n → are n rădăcini care sunt valorile proprii
ale matricii A.
Se numeşte rază spectrală a matricii A:
max{ , 1, , , valorile proprii ale matriciii iA i n
21
22
1
n
ii
x x
norma indusă este
2 | | ( )TAA A A se numeşte norma spectrală.
22
Propoziţia 1
Fie o normă matricială naturală. Atunci:
( ) , n nA A A R .
Fie ş, { }un ir de matrici.n n kA A R
0 , 0 ,k kn nA k A k .
23
Propoziţia 2
Fie n nA R . Atunci:
0 , ( )kA k A
Dacă există o normă matricială naturală pentru care ||A|| < 1
atunci:
0 pentru .kA k
( 1 0 pentru 1.kn a a k a R )
24
Propoziţia 3
Fie n nA R . Seria 0
k
kA
converge dacă şi numai dacă raza
spectrală a matricii A este subunitară:
1.n
k
kA S A
Dacă există o normă a matricii A astfel încât ||A|| < 1 atunci
seria converge. În cazul convergenţei avem :
1
0( ) .k
kA S I A
25
Propoziţia 4
Fie n nA R pentru care există o normă matricială naturală
astfel ca 1A . Atunci există matricile 1( )nI A şi avem
evaluările:
11 1( ) .1 1
I AA A
26
Surse de erori în calculule numerice
1. Erori în datele de intrare:
- măsurători afectate de erori sistematice sau
perturbaţii temporare,
- erori de rotunjire: 1/3 , , 1/7,…
2. Erori de rotunjire în timpul calculelor:
- datorate capacităţii limitate de memorare a datelor,
- operaţiile nu sunt efectuate exact.
27
3. Erori de trunchiere:
- limita unui şir , suma unei serii , funcţii neliniare
aproximate de funcţii liniare, aproximarea derivatei
unei funcţii
4. Simplificări în modelul matematic
- idealizări , ignorarea unor parametri.
5. Erori umane şi erori ale bibliotecilor folosite.
28
Eroare absolută , eroare relativă
a – valoarea exactă,
ã – valoarea aproximativă.
Eroare absolută : a- ã sau |a - ã | sau a ã
a = ã ±Da , |a - ã | Da
Eroare relativă: a 0 sau saua aaa a
ã ããa
aa
ã
a ( a se exprimă de regulă în %).
29
În aproximările 1kg ≤5g, 50g≤5g erorile absolute sunt egale
dar pentru prima cantitate eroarea relativă este 0,5% iar
pentru a doua eroarea relativă este 10%.
1 2
1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
, ,
( )
.
a a
a a
a a a a
a a
a a
ã ã
ã ã
a1 cu eroare relativă 1a şi a2 cu eroare relativă
2a :
a = a1 * a2 sau 1
2
aa
rezultă 1 2a a a .