CAPITOLUL IX
CAPITOLUL IX
CALCULUL DEPLASRILOR LA NCOVOIERE PRIN
METODE ENERGETICE
La solicitarea de ncovoiere (ca i la solicitarea la ntindere compresiune), dac asupra unui corp elastic se aplic sarcini statice, corpul se va deforma, iar punctele de aplicaie ale forelor vor avea deplasri i legat de aceasta forele externe execut un lucru mecanic, numit lucru mecanic al forelor externe. Se poate admite, c acest lucru mecanic se acumuleaz integral sub form de energie potenial de deformaie n corpul solicitat.
n capitolul 3 s-au prezentat teoremele importante pentru calculul deplasrilor, dezvoltate pe baza noiunilor de lucru mecanic al forelor externe i energiei poteniale de deformaie.
Aceste teoreme rmn valabile i pentru solicitarea de ncovoiere (dar i pentru celelalte solicitri), motiv pentru care n acest capitol ele se vor prezenta n mod succint.
9.1. Lucrul mecanic al forelor externe
Dac asupra grinzilor din figura 9.1.a i b se aplic n mod static fora F i respectiv cuplul M0, acestea se deformeaz realizndu-se pentru cele dou situaii lucrul mecanic exterior:
(9.1)
(9.2)
9.2. Lucrul mecanic al forelor interne. Energia potenial de deformaie
S-a artat c, corpurile elastice se deformeaz sub aciunea sarcinilor externe aplicate, iar lucrul mecanic exterior se regsete n energia potenial de deformaie. n acelai timp, forele interne execut i ele un lucru mecanic, numit lucrul mecanic al forelor interne Li < 0, care se regsete n energia potenial de deformaie Li = W.
n cazul solicitrilor simple, expresiile energiei poteniale de deformaie au expresiile:
(9.3)
Aplicnd principiul suprapunerii efectelor, pentru cazul cel mai general de solicitare, se obine energia potenial de deformaie prin sumarea relaiilor (9.3):
(9.4)
n relaiile (9.3) i (9.4), k este coeficientul de form al seciunii transversale al barei.
9.3. Teorema reciprocitii lucrului mecanic i al deplasrilor
n capitolul 3 ntindere i compresiune, subcapitolul 3.12 Teoreme i metode energetice, s-a artat c lucrul mecanic al unui sistem primar de sarcini cu deplasrile provocate de un sistem de sarcini secundar, este egal cu lucrul mecanic al sistemului secundar de sarcini cu deplasrile provocate de sistemul primar de sarcini, adic:
(9.5)
sau
(9.6)
n (9.6), S1 i S2 reprezint sistemul primar i respectiv secundar de sarcini. Dac S1 = S2 se obine teorema reciprocitii deplasrilor:
(9.7)
n cazul solicitrii la ncovoiere, deplasrile 12 i 21 sunt deplasri liniare (sgei) sau deplasri unghiulare (rotiri).
Relaia (9.7) arat c deplasarea punctului 1 de aplicaie al sistemului S1 pe direcia sa, produs de sistemul S2 aplicat n punctul 2, este egal cu deplasarea punctului 2 de aplicaie al sistemului S2 pe direcia sa, produs de sistemul S1 aplicat n punctul 1.
9.4. Calculul deplasrilor la ncovoiere prin metoda Castigliano
Se consider grinda din figura 9.2 solicitat la ncovoiere de sistemul de fore F1, F2, .., Fn. Se noteaz cu y1, y2, ..., yn, sgeile (deplasrile liniare) punctelor de aplicaie al forelor pe direcia lor. Energia potenial de deformaie acumulat n bar la sfritul procesului de deformaie, egal cu lucrul mecanic exterior al forelor externe va fi:
(9.8)
Dac presupunem c ntr-o prim faz grinda se ncarc mai nti n punctul k cu o for elementar dFk, energia potenial de deformaie acumulat n bar la sfritul procesului de deformaie, cnd punctul k s-a deplasat cu dyk, va fi:
(9.9)
Aplicnd n continuare pe grinda deformat de fora dFk (faza a doua de ncrcare), sistemul de fore F1, F2, ..., Fn, aceasta se deformeaz mai departe i n ea se mai acumuleaz nc o cantitate de energie potenial de deformaie i anume:
(9.10)
n faza a doua de ncrcare, fora dFk existnd deja pe grind, aceasta parcurge cu ntreaga ei intensitate deplasarea yk produs de sistemul de fore, realiznd lucrul mecanic .
Energia potenial de deformaie la sfritul procesului de deformaie va fi:
(9.11)
Fora elementar dFk poate fi considerat ca o cretere a forei Fk.
Termenul din (9.11) este un infinit mic de ordinul doi i el poate fi neglijat n raport cu ceilali termeni din aceast relaie, obinndu-se:
(9.12)
Dac inem seama c W reprezint energia potenial de deformaie corespunztoare numai sistemului de fore, fr creterea dFk, se gsete c energia potenial de deformaie are pe seama existenei lui dFk o cretere:
(9.13)
Conform relaiei (9.8), energia potenial de deformaie produs de sistemul de fore F1, F2, ..., Fn este o funcie de toate forele sistemului:
,
(9.14)
a crei diferenial este:
(9.15)
Dac variaz numai Fk iar celelalte fore sunt constante, derivatele pariale ale acestora din relaia (9.15) sunt nule, rezultnd:
(9.16)
Egalnd relaia (9.13) cu (9.16) se obine:
(9.17)
Relaia (9.17) formeaz teorema I-a a lui Castigliano pentru sgei i arat c sgeata n dreptul unei fore externe Fk, pe direcia acesteia este egal cu derivata parial a energiei poteniale de deformaie n raport cu fora extern respectiv.
Printr-un raionament asemntor, se obine:
,
(9.18)
care reprezint teorema I-a a lui Castigliano pentru rotiri i aceasta arat c rotirea unei seciuni a grinzii n care este aplicat un cuplu Mk este egal cu derivata energiei poteniale de deformaie n raport cu acest cuplu.
Dac yk i k rezult pozitive, ele se vor produce n sensul lui Fk i respectiv Mk, iar dac rezult negative, ele se produc n sens invers.
Se poate demonstra i viceversa relaiei (9.17):
,
(9.19)
care formeaz teorema a II-a a lui Castigliano i care arat c derivata energiei poteniale de deformaie n raport cu proiecia deplasrii pe direcia unei fore Fk, aplicat n punctul k, este egal cu aceast for.
n mod analog, se obine teorema a II-a pentru cupluri
,
(9.20)
adic derivata energiei W n raport cu rotirea k a seciunii k, n care este aplicat cuplul Mk, este egal cu acest cuplu.
Se nlocuiete sgeata yk cu o deplasare k i innd seama de (9.4), relaia (9.17), n cazul cel mai general de solicitare al unei bare devine:
(9.21)
n cazul cnd k reprezint k din (9.18), n (9.21) n locul lui Fk se introduce momentul Mk ce acioneaz n punctul k unde se determin rotirea.
Relaia (9.21) este valabil i pentru bare curbe de mic curbur, dac lungimea elementar de bar dx se nlocuiete cu un arc elementar de bar , n care este unghiul ce definete poziia seciunii curente n care s-au scris expresiile eforturilor, iar R reprezint raza de curbur.
(9.22)
Cnd k reprezint o rotire k, n (9.22) se nlocuiete Fk cu momentul Mk, ce acioneaz n punctul k unde se determin rotirea.
Dac n punctul k, n care se determin k nu sunt aplicate ncrcrile Fk i respectiv Mk pe direcia acestor deplasri, n mod fictiv pe grind n punctul k se aplic Fk = 0 i respectiv Mk = 0, care se anuleaz n expresiile eforturilor dup efectuarea derivatelor pariale.
n cazul solicitrii monoaxiale (la ntindere compresiune) a unei bare, cnd , din relaia (9.21) se obine:
,
(9.23)n care k este deplasarea punctului de aplicaie al forei Fk pe direcia acesteia, adic n lungul axei barei.
Pentru o bar solicitat la rsucire pur, cnd , mrimea k din relaia (9.21) reprezint unghiul de deformaie al barei n seciunea n care acioneaz cuplul Mk, care nlocuiete fora Fk din ultimul termen al acestei relaii:
(9.24)
n cazul barelor solicitate la ncovoiere simpl, cnd planul forelor coincide cu planul xy, caz n care , din (9.21) se obine sgeata i rotirea dintr-o seciune n care acioneaz fora Fk i respectiv cuplul Mk:
(9.25)
(9.26)
Pentru barele solicitate la ncovoiere simpl, cnd forele acioneaz n planul xz, caz n care , din (9.21) se obine sgeata i rotirea dintr-o seciune n care acioneaz fora Fk i respectiv cuplul Mk:
(9.27)
(9.28)
n cazul barelor solicitate la ncovoiere dubl, sgeata rezultant ntr-un punct k se obine din (9.25) i (9.27)
(9.29)
Uneori n cazul barelor solicitate la ncovoiere, n calculul sgeii i al rotirii se neglijeaz termenii n care intervin eforturile N, Txy i Txz, care contribuie cu o pondere mic la valoarea deplasrilor.
9.5. Calculul deplasrilor prin metoda Mohr Maxwell
Cu ajutorul metodei lui Castigliano putem calcula cu uurin deplasrile (sgei, rotiri), dac cunoatem expresiile de variaie a eforturilor. Expresia deplasrii dup Castigliano capt o interpretare simpl dup concepia Mohr Maxwell, care permite determinarea pe cale expeditiv a acesteia.
Pentru simplificare, n expresia sgeii i rotirii, considerm numai termenul n care intervine momentul ncovoietor Mz
(9.30)
(9.31)
i cutm o interpretare pentru derivata .
Pentru aceasta ne referim la cazul grinzii din figura 9.3, la care se scrie momentul ncovoietor n seciunea c de abscis x, dup care se deriveaz acesta n raport cu Fk.
(9.32)
Derivata poate fi privit ca fiind un moment mz din seciunea curent c (n care s-a determinat i Mz), produs de o for unitar , aplicat n dreptul forei Fk, pe direcia sgeii cutate (pe direcia forei Fk).
nlocuind (9.32) n (9.30) se obine:
(9.33)
Dac pe grinda considerat se urmrete determinarea rotirii k n punctul k, n aceast seciune trebuie s acioneze un moment Mk, caz n care momentul ncovoietor n seciunea c are expresia:
Derivata lui Mz n raport cu Mk este:
,
(9.34)care arat c derivata este egal cu momentul mz produs n seciunea c, de un moment unitar aplicat n seciunea k unde se caut rotirea. nlocuind (9.34) n (9.31) se obine:
,
(9.35)
Relaiile (9.33) i (9.34) pot fi unificate ntr-o singur relaie dac deplasrile yk i k se noteaz cu k
,
(9.36)
cu specificaia c k reprezint sgeata yk (din punctul k), dac momentul mz se obine din ncrcarea grinzii cu o for unitar n punctul i pe direcia sgeii cutate, i c k reprezint rotirea k (din punctul k), dac mz se obine din ncrcarea grinzii cu un moment unitar n punctul i pe direcia rotirii cutate.
Dac deplasrile yk i k obinute din calcul sunt pozitive, rezult c ele se produc n sensul forei unitare i respectiv a momentului unitar.
Relaii analoage (cu 9.36) pentru deplasri se obin i pentru celelalte eforturi, astfel c n cazul cel mai general de solicitare al unei bare drepte expresia deplasrii are forma:
(9.37)
Din relaia (9.37), se obin prin particularizri i expresiile deplasrilor pentru solicitri simple ca i n cazul metodei lui Castigliano. Pentru bare curbe de mic curbur, deplasarea k se obine nlocuind dx cu n relaia (9.38).
9.6. Regula lui Veresciaghin pentru calculul deplasrilor
Aceast regul reprezint o interpretare grafo-analitic a metodei Mohr Maxwell. Pentru prezentarea concis a acestei reguli se consider cazul unei bare solicitat la ncovoiere simpl n planul xy, la care deplasarea ntr-o seciune k este dat de relaia (9.36). n figura 9.4 sunt prezentate diagramele Mz i mz, pentru o bar de lungime l i rigiditate EIz. n timp ce diagrama momentului ncovoietor Mz, rezultat din ncrcarea grinzii cu forele externe este reprezentat printr-o curb oarecare, diagrama mz rezultat din ncrcarea grinzii cu o for unitar sau un moment unitar, care acioneaz n punctul i pe direcia deplasrii cutate este totdeauna liniar. De acest lucru ne putem convinge pe cazuri concrete.
n figura 9.4 s-a notat: Mz, mz momentele ncovoietoare din diagramele Mz i mz, n seciunea de abscis x a barei; aria diagramei de momente Mz; d o arie elementar din aria , delimitat de abscisele x i x+dx; valoarea momentului din diagrama mz, msurat n dreptul centrului geometric c al ariei ; xc abscisa centrului geometric al ariei ; unghiul de pant al diagramei mz.
ntr-o seciune x a barei, msurat de la centrul sistemului cartezian ales ca n figura 9.4, momentul mz se poate scrie
,
(9.38)
cu care relaia (9.36) devine:
(9.39)
Integrala din relaia (9.39) reprezint momentul static Sy al ariei diagramei Mz, fa de axa y, care se mai poate scrie sub forma:
(9.40)
Substituind (9.40) n (9.39), rezult
,
(9.41)
n care .
Pentru o grind cu mai multe intervale distincte, relaia (9.41) se scrie sub forma
,
(9.42)n care p i q sunt punctele ce delimiteaz un interval al grinzii.
Relaia (9.42) poate fi aplicat i n cazul cel mai general de solicitare, caz n care p-q se determin din diagramele N, Txy, Txz, Mz, My i Mx, iar p-q sunt ordonatele din diagramele n, txz, txy, mz, my i mx, msurate n dreptul centrului geometric al ariilor p-q.
Dac din calcul deplasarea k rezult pozitiv, ea se va produce n sensul ncrcrii cu sarcina unitar sau i se va produce n sens invers acestor ncrcri, dac din calcul rezult negativ. n relaia (9.42), aria p-q i ordonata p-q se introduc cu semnul lor.
Deoarece relaia (9.42) s-a dedus din condiia de pant constant a diagramei mz, aria p-q se calculeaz din diagrama Mz, pe intervalele p-q, pe care n diagrama mz avem pant constant.
Dac pe intervalul p-q i diagrama Mz i diagrama mz au pant constant, se poate lua aria din diagrama mz i ordonata din diagrama Mz.
Exemple1. O grind cotit spaial (fig.9.5) are seciunea circular avnd diametrul d, aria A i momentul de inerie I. Materialul din care este confecionat grinda are modulul de elasticitate longitudinal E i modulul de elasticitate transversal G. Se cere s se determine: a) sgeata y1 a punctului 1, pe direcia axei y; b) sgeata x1 a punctului 1, pe direcia axei x; c) sgeata z1 a punctului 1, pe direcia axei z. Axele x, y i z pe direcia crora se cer sgeile, sunt axele sistemului cartezian de pe intervalul 1-2; d) sgeata rezultant.
Rezolvare
Se aplic metoda Mohr-Maxwell. n calcul se va ine seama de toate eforturile ce rezult din solicitarea grinzii cu fora F.
a) Se centralizeaz eforturile de pe cele trei intervale rezultate din ncrcarea grinzii cu fora F, n tabelul 9.1, iar n tabelul 9.2 sunt centralizate eforturile rezultate din ncrcarea grinzii cu o for unitar , aplicat n punctul 1 pe direcia sgeii y1.
Tabelul 9.1
Domeniu
Efort1 2
2 3
3 4
N00-F
Txy-F-F0
Txz000
Mz-Fx-Fx-2Fa
My00-Fa
Mx0Fa0
Tabelul 9.2 Domeniu
Efort1 2
2 3
3 4
n00-1
txy-1-10
txz000
mz-x-x-2a
my00-a
mx0a0
Cu eforturile din tabelele 9.1 i 9.2, considernd c grinda este din oel cu E/G=2,6 i cum la seciunea rotund k=10/9, iar Ip = 2I, se obine sgeata y1 conform relaiei (9.37).
b) Se centralizeaz eforturile de pe cele trei intervale n tabelul 9.3, rezultate din ncrcarea grinzii cu o for unitar , aplicat n punctul 1 pe direcia sgeii x1 (fig.9.6.b)Tabelul 9.3
Interval
Efort1 2
2 3
3 4
n-100
txy000
txz0-1-1
mz000
my0xx
mx002a
Cu eforturile din tabelele 9.1 i 9.3 se obine sgeata x1 conform relaiei (9.37).
(9.44)
c) Eforturile pe cele trei intervale din ncrcarea grinzii cu o for unitar , aplicat n punctul 1 pe direcia z1, sunt centralizate n tabelul 9.4.
Tabelul 9.4
Interval
Efort1 2
2 3
3 4
n0-10
txy001
txz100
mz00x
my-x-a0
mx00-a
Cu eforturile din tabelele 9.1 i 9.l4 se obine sgeata z1 conform relaiei (9.37).
(9.45)
Din (9.43), (9.44) i (9.45) se obine deplasarea total a punctului 1:
(9.46)
Aplicaie numeric: F = 0,5 kN; a = 1 m; d = 80 mm.
.
n relaia (9.46), primul termen din parantez , rezultat din eforturile N, Txy i Txz, este neglijabil n raport cu ceilali termeni de sub radical, care sunt dai de eforturile Mz, My i Mx. Din acest motiv, la calculul deplasrilor (sgei, rotiri), n majoritatea cazurilor, eforturile N, Txy i Txz se neglijeaz.2. Bara cotit n spaiu din figura 9.7 este solicitat de forele F1=F2=F. Se cere deplasarea vertical a punctului 1 i deplasarea orizontal a punctului 2 (pe direcia barei 2 3), dac se consider n calcul numai solicitrile de ncovoiere i rsucire. Pe cele trei intervale bara are lungimile l12 = a; l23 = 2a i l34 = 2a i are seciunea ptrat de latur b, circular de diametru d = b i respectiv dreptunghiular cu laturile b i 2b.
Rezolvare
Pentru determinarea celor dou deplasri se utilizeaz metoda Castigliano.
n tabelul 9.5 sunt centralizate eforturile Mz, My i Mx din ncrcarea barei cu forele F1 i F2, iar n tabelul 9.6 sunt centralizate derivatele acestor eforturi n raport cu fora F1 ce acioneaz n punctul 1 pe direcia deplasrii cutate y1.
Tabelul 9.5
Interval
Efort1 2
2 3
3 4
Mz-F1x-F1x-F12a
My00-F1a-F2x
Mx0F1a0
Tabelul 9.6
Interval
Derivat1 2
2 3
3 4
-x-x-2a
00-a
0a0
Deplasarea y1 a punctului 1 pe direcia forei F1 va fi:
n tabelul 9.7 sunt centralizate eforturile Mz, My i Mx, rezultate din ncrcarea grinzii cu forele F1, F2 i cu fora Fk = 0, aplicat n punctul 2 pe direcia deplasrii cutate, iar n tabelul 9.8 sunt prezentate derivatele acestor eforturi n raport cu Fk.
Tabelul 9.7
Interval
Efort1 2
2 3
3 4
Mz-F1x-F1x-F12a+Fkx
My00-F1a-F2x
Mx0a0
Tabelul 9.8 Interval
Efort1 2
2 3
3 4
00x
000
000
Deplasarea x2 a punctului 2, pe direcia forei Fk, va fi:
Valoarea pozitiv a deplasrii y1 arat c aceasta se produce n sensul forei F1, iar valoarea negativ a deplasrii x2 arat c aceasta se produce n sens invers forei Fk.3. Se consider grinda din figura 9.8, avnd pe intervalul 1 2 seciunea dreptunghiular cu laturile b i 2b, iar pe intervalul 2 3 este rotund cu diametrul d = 2b. Se cere deplasarea vertical y1 a punctului 1, rezultat din solicitarea de ncovoiere i rsucire.
Rezolvare
Pentru calculul deplasrii se va folosi regula lui Veresciaghin.
n figura 9.9.a, b i c sunt prezentate diagramele Mz, My i Mx din ncrcarea grinzii cu sarcinile externe, iar n figura 9.9.d, e i f diagramele mz i mx, rezultate din ncrcarea grinzii n punctul 1 cu o for unitar pe direcia deplasrii cutate.
Deplasarea punctului 1 va fi:
4. Cadrul din figura 9.10.a, avnd momentul de inerie I pe panoul 12 i 1,5I pe panourile 23 i 24 este acionat de fora F. Se cer: a) deplasarea punctului 4; b) rotirea seciunii 2; c) deplasarea pe vertical a punctului 3.
Rezolvare
a) Se folosete metoda Mohr Maxwell i regula Veresceaghin. n figura 9.10.b este prezentat diagrama mpmentului ncovoietor din fora F. n figura 9.10.c este prezentat diagrama mi din ncrcarea cadrului cu o for virtual F =1.
Deplasarea punctului 4 este:
b) Se introduce n 2 un moment virtual unitar M =1 (fig.9.10.d), din care se obine diagrama mi.
Rotirea seciunii 2 este:
c) Se introduce n 3 o for virtual unitar i se obine diagrama mi (fig.9.10.e). Deplasarea pe vertical a punctului 3 este:
5. Pentru grinda din figura 9.11 se cere: a) s se traseze diagramele T, M; b) s se determine rotirea n reazemul 2.
Rezolvare
a) Rezultanta sarcinii q este:
Poziia rezultantei este determinat de abscisa:
Integrala , se obine utiliznd integrarea prin pri:
, n care:
,
,u = x,
du = dx
Se obine:
Reaciunile din reazeme sunt: ; .
ntr-o seciune oarecare fora tietoare i momentul ncovoietor sunt:
Se caut punctul n care se anuleaz fora tietoare, punct n care momentul ncovoietor are valoarea de extrem:
;
;
;
;
.
b) La ncrcarea grinzii cu un moment unitar n reazemul 2, momentul ncovoietor n seciunea oarecare este .
Rotirea n punctul 2 va fi:
Integrala I2 are valoarea:
Se obine:
.
6. O bar n form de sfert de cerc ca n figura 9.12 este solicitat de o for vertical uniform distribuit de intensitate p. Se cere s se calculeze deplasarea pe vertical a punctului 1.
Rezolvare
Pe un element de arc ds din bar acioneaz fora elementar .
ntr-o seciune oarecare c, corespunztoare unghiului , momentul ncovoietor dat de fora elementar dF din seciunea oarecare B corespunztoare unghiului va fi:
Pentru calculul deplasrii pe vertical a punctului (1) se aplic metoda Castigliano. Cum n seciunea (1) pe direcia deplasrii cutate nu acioneaz o for concentrat exterioar, se aplic n aceast seciune fora fictiv Fk=0.
Momentul n seciunea C i derivata parial a lui n raport cu Fk vor fi:
;
Se obine:
Cunoscnd soluia unei integrale de forma:
,
se obine:
7. Pentru bara curb cu seciune ptrat din fig. 9.13, ncrcat cu sarcina distribuit uniform p, se cere s se calculeze deplasarea vertical a punctului A. Bara are seciunea ptrat de latur b i se cunoate G = 2E/5.
Rezolvare
Pe un arc elementar de bar ds acioneaz fora elementar dF = pds = pRd.
ntr-o seciune definit de unghiul , fora elementar dF d un moment ncovoietor elementar dMi i un moment de torsiune elementar dMt.
Momentul ncovoietor i de torsiune n seciunea definit de unghiul , se obine integrnd din relaiile de mai sus n limitele (0-).
Calculul deplasrii verticale a punctului A, se face prin metoda Castigliano. Pentru aceasta n seciunea A se introduce fora fictiv Fk = 0.
n seciunea definit de unghiul momentul ncovoietor i momentul de torsiune dat de sarcina distribuit i fora fictiv vor avea expresiile:
;
.
Deplasarea pe vertical a punctului A datorit momentului ncovoietor i momentului de torsiune va fi:
8. Pentru bara curb cu seciune rotund din fig. 9.14 se cere s se calculeze deplasarea pe vertical a punctului A. ntre modulul de elasticitate transversal i longitudinal exist relaia G = 2E/5.
Rezolvare
Pentru rezolvare se aplic metoda Castigliano. ntr-o seciune definit de unghiul , momentul ncovoietor i momentul de torsiune au expresiile:
Derivatele acestora n raport cu fora F ce acioneaz n seciune i pe direcia sgeii cutate sunt:
Deplasarea pe vertical a punctului A va fi:
9. Pentru bara curb din fig. 9.15 se cere s se calculeze deplasarea pe vertical, pe orizontal i rotirea captului liber (2). Se consider c bara are rigiditatea la ncovoiere constant pe lungime (EI = const.).
Rezolvare
Pe arcul elementar de bar ds acioneaz fora elementar:
Momentul ncovoietor elementar dMi, produs de fora elementar dF, ntr-o seciune curent c va fi:
Momentul ncovoietor total, produs de sarcina specific p ce acioneaz pe poriunea 2-c este:
Pentru calculul deplasrii pe vertical v2 a punctului (2), se aplic n acest punct fora fictiv Fk = 0. Momentul ncovoietor n seciunea c i derivata parial a acestuia n raport cu Fk vor fi:
Deplasarea vertical a punctului 2 este:
Pentru calculul deplasrii pe orizontal a punctului (2), n acest punct se aplic fora fictiv orizontal Pk = 0. Se obine succesiv:
Pentru calculul rotirii seciunii (2) se introduce n aceast seciune momentul Mk = 0, rezultnd:
10. S se determine expresia deplasrii orizontale i verticale a captului B al barei din fig. 9.16, aflat sub aciunea unei fore uniform distribuite p i a unei fore verticale F. Rigiditatea la ncovoiere este constant n lungul segmentului.
Rezolvare
Se scrie momentul elementar al forei elementare dF = p ds = pRd, n raport cu o seciune curent definit de unghiul .
Momentul ncovoietor dat de sarcina p de pe panoul cB, n raport cu seciunea c este:
Momentul ncovoietor total din seciunea c, pentru calculul lui uB (innd seama de sarcinile p i F, dar i de fora fictiv Fk) i derivata sa parial n raport cu Fk sunt:
Se obine:
Momentul ncovoietor total n seciunea c, pentru calculul deplasrii pe vertical a punctului B i derivata sa parial n raport cu F sunt:
Se obine:
11. Pentru sistemul spaial din figura 9.17.a se cere deplasarea vertical a punctului 4. Grinzile i stlpul au seciunea rotund de diametru E/G = 2,6.
Rezolvare
n figura 9.17.b, c, d, e sunt prezentate diagramele de eforturi din ncrcarea exterioar. n figura 9.17.f, g, h, i sunt prezentate diagramele de eforturi din ncrcarea sistemului cu o for unitar n punctul i pe direcia deplasrii cutate.
Deplasarea pe vertical a punctului 4 este:
Fig.9.1
Fig.9.2
Fig.9.3
Fig.9.4
Fig.9.5
Fig.9.6
Fig.9.7
Fig.9.9
Fig.9.8
Fig.9.10
Fig.9.11
Fig.9.12
Fig.9.13
Fig.9.14
Fig.9.15
Fig.9.16
Fig.9.17
PAGE 262
_1180341829.unknown
_1181118783.unknown
_1181982879.unknown
_1181985898.unknown
_1182059369.unknown
_1182059562.unknown
_1182059700.unknown
_1182059764.unknown
_1182059871.unknown
_1182059889.unknown
_1182059897.unknown
_1182060220.unknown
_1182059881.unknown
_1182059851.unknown
_1182059863.unknown
_1182059772.unknown
_1182059734.unknown
_1182059751.unknown
_1182059718.unknown
_1182059673.unknown
_1182059686.unknown
_1182059563.unknown
_1182059412.unknown
_1182059425.unknown
_1182059434.unknown
_1182059561.unknown
_1182059418.unknown
_1182059394.unknown
_1182059406.unknown
_1182059377.unknown
_1182057977.unknown
_1182058963.unknown
_1182059084.unknown
_1182058471.unknown
_1182057272.unknown
_1182057922.unknown
_1182057161.unknown
_1181985237.unknown
_1181985370.unknown
_1181985534.unknown
_1181985770.unknown
_1181985494.unknown
_1181985299.unknown
_1181985333.unknown
_1181985270.unknown
_1181983522.unknown
_1181984978.unknown
_1181985223.unknown
_1181983929.unknown
_1181983323.unknown
_1181983470.unknown
_1181982965.unknown
_1181455792.unknown
_1181975255.unknown
_1181982599.unknown
_1181982800.unknown
_1181982852.unknown
_1181982739.unknown
_1181975592.unknown
_1181980357.unknown
_1181975456.unknown
_1181456456.unknown
_1181974923.unknown
_1181975124.unknown
_1181974823.unknown
_1181455883.unknown
_1181456004.unknown
_1181455810.unknown
_1181119617.unknown
_1181119922.unknown
_1181120362.unknown
_1181120590.unknown
_1181119627.unknown
_1181118970.unknown
_1181119607.unknown
_1181118810.unknown
_1180427297.unknown
_1181108759.unknown
_1181113776.unknown
_1181114229.unknown
_1181118753.unknown
_1181114101.unknown
_1181111205.unknown
_1181112409.unknown
_1181110770.unknown
_1181110788.unknown
_1181110735.unknown
_1181108313.unknown
_1181108385.unknown
_1181108742.unknown
_1181108326.unknown
_1181107923.unknown
_1181108091.unknown
_1181107808.unknown
_1180424753.unknown
_1180425350.unknown
_1180425590.unknown
_1180425771.unknown
_1180425438.unknown
_1180425229.unknown
_1180425286.unknown
_1180424911.unknown
_1180424009.unknown
_1180424251.unknown
_1180424492.unknown
_1180424077.unknown
_1180342298.unknown
_1180342449.unknown
_1180341975.unknown
_1179564577.unknown
_1180339822.unknown
_1180341327.unknown
_1180341556.unknown
_1180341698.unknown
_1180341391.unknown
_1180340697.unknown
_1180341170.unknown
_1180340039.unknown
_1180173256.unknown
_1180173707.unknown
_1180174392.unknown
_1180173549.unknown
_1179564846.unknown
_1179564921.unknown
_1179564661.unknown
_1179559924.unknown
_1179561546.unknown
_1179561631.unknown
_1179561784.unknown
_1179561560.unknown
_1179560884.unknown
_1179561094.unknown
_1179560200.unknown
_1179558259.unknown
_1179559129.unknown
_1179559279.unknown
_1179559111.unknown
_1179557480.unknown
_1179558242.unknown
_1179557458.unknown
Top Related