Binomul lui NewtonBinomul lui Newton
Se cunosc următoarele formule de calcul prescurtatSe cunosc următoarele formule de calcul prescurtat: (a+b): (a+b)11=a+b; (a+b)=a+b; (a+b)22=1=1··aa22+2ab+1+2ab+1··bb22; (a+b); (a+b)33= a= a33+3a+3a22b+3abb+3ab22+b+b3.3.
Acestea se pot scrie astfel: Acestea se pot scrie astfel:
(a+b)(a+b)11=C=C0011a+Ca+C111 1 b (a+b)b (a+b)22=C=C22
00aa22+C+C2211ab+Cab+C
2222bb22 (a+b)(a+b)33= C= C33
00aa33+C+C3311aa22b+Cb+C
3322abab22+C+C33
33bb33
Dacă generalizăm cele de mai sus obDacă generalizăm cele de mai sus obŃŃinem:inem:
(a+b)(a+b)nn=C=Cnn00aann+C+Cnn
11aann--11b+Cb+Cnn22aann--22bb22+...+C+...+Cnn
kkaann--kkbbkk+...+C+...+Cnnnn--11ababnn--11+C+Cnn
nnbbnn
cunoscută sub numele decunoscută sub numele de ““binomul lui Newtonbinomul lui Newton””..
Formula (Formula (dezvoltarea binomuluidezvoltarea binomului) lui Newton se mai scrie astfel: ) lui Newton se mai scrie astfel: ( ) kkn
n
k
k
n
n
baCba−
=∑=+
0
Termenul general al acestei sume , Termenul general al acestei sume , TTk++1k++1=C=Cnnkkaann--kkbbkk , k=0,...,n se nume, k=0,...,n se numeşşte termenul de rang te termenul de rang ““k+1k+1”” al al
dezvoltării binomuluidezvoltării binomului..
ObservaObservaŃŃie :ie : Dezvoltarea binomială con Dezvoltarea binomială conŃŃine ( n+1) termeni.ine ( n+1) termeni.
Numerele CNumerele Cnnkk se numesc se numesc coeficiencoeficienŃŃi binomialii binomiali ai dezvoltării ai dezvoltării..
ObservaObservaŃŃie:ie:
Să se facă distincSă se facă distincŃŃie ie îîntre ntre coeficientul unui termencoeficientul unui termen al dezvoltării al dezvoltării după formula lui Newtondupă formula lui Newton
şşi i coeficientul binomial al aceluiacoeficientul binomial al aceluiaşşi termeni termen. .
De exemplu, De exemplu, îîn dezvoltarea: (a + 2b)n dezvoltarea: (a + 2b)4 4 = a= a44 + 8a+ 8a33b + 24ab + 24a22bb22 + + 3232abab33 + 16b+ 16b44
coeficientul coeficientul celui decelui de--al patrulea termen al dezvoltării este al patrulea termen al dezvoltării este 3232, iar , iar coeficientul său binomialcoeficientul său binomial este este CC4433 = 4.= 4.
ExerciExerciŃŃiiii:: a)a) Să se pună Să se pună îîn evidenn evidenŃŃă ă termenii dezvoltăriitermenii dezvoltării
TT88 = T= T7+17+1 = = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (x(x33))1111= = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅xx33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅77 = = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ xx2121 = = 330x= = 330x1818. .
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ T8 = 330xT8 = 330x1818..
( x + 3y)( x + 3y)33..
(x + 3y)(x + 3y)33 = x= x33 + 3x+ 3x22⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3y + 3x(3y)3y + 3x(3y)22 +(3y)+(3y)33 = x= x33 + 9x+ 9x22y + 3xy + 3x⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9y9y22 +27y+27y33 = x= x33 + 9x+ 9x22y + 27xyy + 27xy22 +27y+27y33. .
b)b) Să Să se dezvoltese dezvolte după formula lui Newton după formula lui Newton :: (x + 2 )(x + 2 )77
Rezolvare:Rezolvare:
(x + 2 )(x + 2 )77 = x= x77+ 7x+ 7x66⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2 + 21x2 + 21x55⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2222 + 35x+ 35x44⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2233 + 35x+ 35x33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2244 +21x+21x22⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2255 + 7x+ 7x⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2266 + 2+ 277 ==xx77+ 14x+ 14x66 + 84x+ 84x55 + 35+ 35⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8x8x44 + 35+ 35⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅16x16x33+ 21+ 21⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅32x32x22 + 7+ 7⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅64x+ 132 = 64x+ 132 =
xx77+ 14x+ 14x66 + 84x+ 84x55 + 280x+ 280x44 + 560x+ 560x33+ 652x+ 652x22 + 448x+ 132. + 448x+ 132. ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒(x + 2 )(x + 2 )77 = x= x77+ 14x+ 14x66 + 84x+ 84x55 + 280x+ 280x44 + 560x+ 560x33+ 652x+ 652x22 + 448x+ 132. + 448x+ 132.
=
( )72 aba +
C47
447
aba2−
)!47(!4
!7
−
3
a2!3!4
765!4 ⋅⋅⋅
a6
765 ⋅⋅a a
a
c)c) Să se determine Să se determine termenul termenul al cincileaal cincilea al dezvoltării al dezvoltării
I. TI. T55 = T= T4+14+1 ==
⋅
= = a2b2 = 2aa2b2 ==
2a3b2 = 84 a3b2 ⇒ T5= 84 a3b2
d)d) AflaAflaŃŃi termenul i termenul al optulea al dezvoltăriial optulea al dezvoltării
11
3xx
1
+
C711
711
x
1−
)!711(!7
!11
−
3
x
1
!4!7
111098!7 ⋅⋅⋅⋅3x
1
4321
111098
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3
21
x
x
e)e) AflaAflaŃŃi termenul i termenul îîn care n care nu apare xnu apare x din dezvoltarea din dezvoltarea
21
5
x
1x
+
TTk+1k+1 ==k
k215k
21x
1xC
−=
k
2
1
k21
5
1
k21
x
1xC
−
=
k
2
1
k21
5
1
k21
x
1xC
−
=
2
k5
k21
k21
x
1xC
−
=
2
k
5
k21
k21
x
xC
−
= 2
k
5
k21
k21xC
−−
Cum x nu apare Cum x nu apare îîn termenul Tn termenul Tk+1k+1 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ x este o putere cu exponentul 0 x este o putere cu exponentul 0 şşi baza xi baza x
Pentru căPentru că: :
x0 = 1 ⇒ = x 0 ⇒ ⇒ k = 6k = 6. ⇒2
k
5
k21
x−
−
02
k
5
k21=−
−
Termenul Termenul îîn care nu apare x este termenul al n care nu apare x este termenul al şşaseleaaselea
f)f) AflaAflaŃŃi termenul care i termenul care îîl conl conŃŃine pe aine pe a4 4 ,,din dezvoltareadin dezvoltarea
13
3 a
3
3
a
+
TTk+1k+1 ==
k
3
k13
k13
a
3
3
aC
−
=
k
3
1
k13
2
1
k13
a
3
3
aC
−
=
k
3
1
k
k13
k13
2
1
k13
a
3
3
a
C
⋅
−
−
=
3
k
2
k13
k13
k
k13
a
a
3
3C
−
− ⋅ = 3
k
2
k13
)k13(kk13 a3C
−−
−− ⋅
3
k
2
k13
a−
−
43
k
2
k13=−
−
Cum aCum a44∈∈∈∈∈∈∈∈ TTk+1k+1 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
= a= a44 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ k k =3 =3 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
Termenul care Termenul care îîl conl conŃŃine pe aine pe a44 este termenul al treilea. este termenul al treilea.
BINOMUL LUI NEWTON-TEST-1 1. Binomul lui Newton are formula
(a+b)n = aCno
n + baC1n1
n− + baC
22n2n
− +…+ baCkknk
n− +…+ baC
1n1nn
−− + bCnn
n
2. Termenul general este: Tk+1 = baCkknk
n−
ExerciŃiu: 1 ( x + 3y)3.
R: (x + 3y)3 = x
3 + 3x
2⋅3y + 3x(3y)2 +(3y)3 = x3 + 9x2y + 3x⋅9y2 +27y3 = x3 + 9x2y + 27xy2 +27y3.
1. ( )4ba −
R: ( )4ba − = 4
a + 43
a (– b )+6 ( )22
ba − +4 a (–3
b )+ (–4
b ) =
a2 – 43
a b +6ab – 4 a3
b + b2
2. (x + 2 )7
R: x7+ 14x6 + 84x5 + 280x4 + 560x3+ 652x2 + 448x+ 132
EXERCITUL 2
. Să se determine termenul al optulea al dezvoltării ( )7aba2 −
R: 84 a3b2 a
Să se determine termenul al cincilea al dezvoltării
11
3xx
1
+
R: 330x18.
Să se determine termenul în care nu apare x din dezvoltarea
21
5
x
1x
+
R: k=6
Să se determine termenul din dezvoltarea
13
3 a
3
3
a
+ care îl conŃine pe a4.
R: k =3
Să se pună în evidenŃă termenii dezvoltării
Să se dezvolte după formula lui Newton următoarele binoame:
Dacă Dacă n este parn este par (n=2m) ,atunci termenul (n=2m) ,atunci termenul TTm+1m+1=C=Cnnmmaamm--nnbbmm ,este termenul situat ,este termenul situat îîn n mijlocul sumeimijlocul sumei
dezvoltării binomialedezvoltării binomiale,iar ,iar CCnnmm este cel mai mareeste cel mai mare dintre todintre toŃŃi coeficieni coeficienŃŃii binomiali.ii binomiali.
Dacă Dacă n este imparn este impar (n=m+1) ,atunci termenii (n=m+1) ,atunci termenii TTm+1m+1 şşi Ti Tm+2m+2 sunt termernii din mijloculsunt termernii din mijlocul dezvoltării dezvoltării
binomiale,iar binomiale,iar CCmm2m+12m+1 =C=Cm+1m+1
2m+12m+1 sunt coeficiensunt coeficienŃŃii binomiali ii binomiali cei mai mari.cei mai mari.
ObservaObservaŃŃie:ie:
Termenii consecutiviTermenii consecutivi TTk+1k+1= C= Cnnkkaann--kkbbkk şşi Ti Tk+2k+2=C=Cnn
k+1k+1aann--kk--11bbk+1k+1 sunt legasunt legaŃŃi de relai de relaŃŃia :ia :
CoeficienCoeficienŃŃii binomialiii binomiali ai termenilor ai termenilor egal depărtaegal depărtaŃŃii de capetelede capetele dezvoltării dezvoltării sunt egalisunt egali: : CCnnkk=C=Cnn
nn--kk
((conform formulei combinărilor complementareconform formulei combinărilor complementare.).)
121
++ ⋅+−
=kkTa
b
k
knT
IdentităIdentităŃŃi i îîn calculul cu combinărin calculul cu combinări
Numerele CNumerele Cnnkk au o serie de proprietă au o serie de proprietăŃŃi interesante.i interesante.
Indicăm mai jos c Indicăm mai jos cîîteva dintre acestea teva dintre acestea şşi stabilim o serie de identităi stabilim o serie de identităŃŃi pe care le verifică coeficieni pe care le verifică coeficienŃŃii binomiali. ii binomiali.
Amintim mai Amintim mai îîntntîîi următoarele formulei următoarele formule
CCnnkk = C= Cnn--kknn ,, (1)(1)
CCn+1n+1k k = C= C
nnk k + C+ Cnn
kk--11 ,, (2)(2)
CC°°nn++CCnn11 + ... + ... + C+ Cnn
nn= 2= 2nn,, (3)(3)
Suma coeficienSuma coeficienŃŃilorilor binomiali.binomiali.
Dacă Dacă îîn dezvoltarea binomială alegem an dezvoltarea binomială alegem a=b=1 =>=b=1 => CCnn0 0 +C+Cnn
11+C+Cnn22+...+C+...+Cnn
nn=2=2n n adică adică (3)(3)
((aa++bb))nn==CCnn00aann++CCnn
11aann--11bb++CCnn22aann--22bb22+...++...+CCnn
kkaann--kkbbkk+...++...+CCnnnn--11ababnn--11++CCnn
nnbbn n (*)(*)
Dacă Dacă îîn formula binomului lui Newton se pune n formula binomului lui Newton se pune a = a = 1, 1, b b = = ——1,se ob1,se obŃŃine egalitatea:ine egalitatea:
CCnn00 ––CCnn
11 + C+ Cnn22-- ... + (... + (--1)1)nnCCnn
nn= 0.= 0. (4)(4)
Pe baza egalităPe baza egalităŃŃilor (3) ilor (3) şşi (i (4) 4) rezultărezultă
CCnn00 + C+ Cnn
22 + C+ Cnn44 + ... = C+ ... = C
nn11 + + CCnn
33 + C+ Cnn55 + ... = 2+ ... = 2nn--11.. (5)(5)
Deci, Deci, suma coeficiensuma coeficienŃŃilor binomiali ai termenilor de rang impar este egală cu suma coilor binomiali ai termenilor de rang impar este egală cu suma coeficieneficienŃŃilor binomiali ai termenilor ilor binomiali ai termenilor
de rang parde rang par
Vom stabili Vom stabili îîn continuare alte cn continuare alte cîîteva formule combinatorii importanteteva formule combinatorii importante
Top Related