1/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Algoritmi numerici pentru analiza circuitelorelectrice liniare
(c.c. si c.a.)
Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Universitatea "Politehnica" Bucuresti, Facultatea de Inginerie Electrica,Departamentul de Electrotehnica
Suport didactic pentru disciplina Algoritmi numerici,Facultatea de Inginerie Electrica, 2017-2018
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
2/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Cuprins
1 IntroducereModelareSimulare
2 Analiza circuitelor rezistive liniare în c.c.Formularea problemeiMetoda nodala clasica
Algoritm - SRTTratarea SRCTratarea SICU
Metoda nodala modificata3 Analiza circuitelor liniare în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
3/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Circuitele electrice sunt modele ale realitatii
Circuitele electrice
modele ale realitatii;
contin elemente ideale, obtinute prin idealizareaelementelor reale;
reprezinta o multime de elemente ideale conectate întreele pe la borne (terminale).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
4/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Circuitele electrice sunt alcatuite din elemente ideale
Elementele ideale de circuit electric
sunt caracterizate de marimi electrice definite la borne(curenti, tensiuni sau potentiale);
se definesc functional, printr-o relatie caracteristica(constitutiva) între marimile definite la borne.
Modelarea nu este obiectul teoriei circuitelor, ea presupuneanaliza câmpului electromagnetic.
C = ε0As
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
5/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Exemple de elemente ideale
Cele mai frecvent folosite:
liniare dipolare: R, L, C, conductorul si izolatorul perfect;
parametrice: K (comutatorul);
neliniare rezistive : SIT, SIC, DP;
liniare multipolare: SICU, SUCI, SUCU, SICI, AOP, M;
neliniare multipolare: AOPn.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
6/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Exemple de elemente ideale
γu
u
αu
u
ρi
i
βi
i
−
+
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
7/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Modelarea componentelor din circuitele reale
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
8/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Determinarea raspunsului sub actiunea unei excitatii
Simulare = simulare numerica (cu ajutorul calculatorului)
Simularea
determinarea marimilor de interes (tensiuni, curenti) dincircuit;
determinarea raspunsului sub actiunea unui semnal deexcitatie cunoscut.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
9/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Determinarea raspunsului sub actiunea unei excitatii
O simulare facuta cu succes presupune
buna formulare a circuitului (solutia sa existe si sa fieunica); este echivalenta cu buna formulare a problemeimatematice asociate;
conceperea sau alegerea unui algoritm numeric robustpentru rezolvare.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
10/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Algoritmul de rezolvare
Algoritmul potrivit pentru rezolvare depinde de
caracteristicile elementelor de circuit (liniare/neliniare,rezistive/reactive);
tipul marimilor din circuit (constante - c.c., sinusoidale -c.a., periodice, oarecare).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
11/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Tipuri de circuite / probleme matematice
Tip de circuit
1 Circuite rezistiveliniare/neliniare în c.c.)
2 Circuite liniare în regimsinusoidal (c.a.);
3 Circuite liniare/neliniare înregim tranzitoriu;
4 Circuite liniare/neliniare înregim periodic;
5 Oscilatoare (frecvente derezonanta.)
Problema matematica1 Sisteme de ec. algebrice
liniare/neliniare, în IR;2 Sisteme de ec. algebrice
liniare, în complex.3 Sisteme ODE, lin./nelin. cu
conditii initiale.4 Superpozitie de c.a./ODE
cu conditii de periodicitate.5 Calcul de valori proprii
(analiza modala).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
12/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
ModelareSimulare
Scopul acestui curs
Întelegerea:
modului în care se dezvolta instrumentele software pentruanaliza circuitelor electrice;
importantei bunei formulari a problemei (circuitului) cetrebuie rezolvata;
modului în care se genereaza automat sistemele derezolvat;
faptului ca fundamentul simularii numerice a circuitelorelectrice îl constituie disciplina Metode numerice ⇒Algoritmi.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
13/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Problema fundamentala
Contin: rezistoare (R), surse ideale de tensiune (SIT) si curent(SIC), surse comandate liniar (SUCU, SUCI, SICU, SUCI).
Problema fundamentala a analizei acestor circuite
Se dau:
topologia circuitului (schema/tabel de descriere(netlist)/matrice de incidenta sau apartenenta);
valorile parametrilor (rezistentele, valorile surselor).
Se cer:
curentii si tensiunile din fiecare latura;
puteri.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
14/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Conditii de buna formulare
TeoremeTopologice:
Pentru ca circuitul sa fie bine formulat este necesar saexiste un arbore normal;
Daca circuitul nu are surse comandate si toate rezistoarelesunt strict pozitive, atunci este necesar si suficient saexiste un arbore normal.
Algebrice:
Pentru ca circuitul sa fie bine formulat este necesar sisuficient ca matricea sistemului de ecuatii algebrice liniare,asamblat printr-o metoda sistematica sa fie nesingulara.
Q1: Ce este un arbore normal?
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
15/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Metode de rezolvare sistematice
metoda ecuatiilor Kirchhoff :(
metoda potentialelor nodurilor :) (daca nu sunt sursecomandate matricea coeficientilor este simetrica sidiagonal dominanta)
metoda curentilor ciclici :| (daca nu sunt surse comandatematricea este simetrica, necesita definirea unui sistem debucle independente convenabil ales)
=⇒ metoda potentialelor nodurilor ("tehnica nodala")
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
16/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea SRT
Laturi standard: Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
Formularea problemei
Se dau:
topologia: N, L, (nik ,nfk , k = 1, . . . ,L);
toate rezistentele Rk , k = 1, . . . ,L, presupuse nenule,
toate t.e.m. ek , k = 1, . . . ,L
Se cer:
uk k = 1, . . . ,L
ik k = 1, . . . ,L
puterea consumata si puterea generata în circuit.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
17/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Ecuatii
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
Kirchhoff clasic:∑
k∈(n)
Aik = 0, n = 1, . . . ,N − 1, (1)
∑
k∈[b]
Auk = 0, b = 1, . . . ,L − N + 1, (2)
uk = Rk ik − ek , k = 1, . . . ,L, (3)
2L ecuatii cu 2L necunoscuteGabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
18/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Necunoscute
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
Schimbare de variabila - necunoscutele sunt:vk , k = 1, . . . ,N, vN = 0 (prin conventie)Kirchhoff II:
∑
k∈[b]
Auk = 0, b = 1, . . . ,L − N + 1, (4)
⇐⇒uk = vnik − vnfk
, k = 1, . . . ,L. (5)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
19/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Notatii
u = [ u1 u2 . . . uL ]T ∈ IRL×1
i = [ i1 i2 . . . iL ]T ∈ IRL×1
v = [ v1 v2 . . . vN−1 ]T ∈ IRN−1×1
e = [ e1 e2 . . . eL ]T ∈ IRL×1
R = diag([ R1 R2 . . . RL ]) ∈ IRL×L
(6)
Kirchhoff I:Ai = 0, (7)
A = (aij)i=1,N−1;j=1,L este matricea incidentelor laturi-noduri -matrice topologica, (N − 1)× L
aij =
0 daca nodul i nu apartine laturii j ;+1 daca nodul i este nod initial pentru latura j ;−1 daca nodul i este nod final pentru latura j .
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
20/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Ecuatii scrise compact
Kirchhoff I (KCL):Ai = 0, (8)
Kirchhoff II (KVL):u = AT v, (9)
Joubert (relatii constitutive):
u = Ri − e. (10)
Daca R este inversabila (Rk 6= 0, ∀k = 1,L)
i = R−1(u + e). (11)
AR−1AT v = −AR−1e. (12)
Gnv = jn. (13)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
21/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Sistem de ecuatii
Gnv = jn. (14)
Gn conductante nodale; jn injectii de curent în noduri.
Gn = AR−1AT ∈ IR(N−1)×(N−1) (15)
Gnii =∑
k∈(i)
1Rk
, Gnij = −∑
k∈(i);k∈(j)
1Rk
pentru i 6= j .
jn = −AR−1e ∈ IR(N−1)×1 (16)
jnk =∑
m∈(k)
A em
Rm
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
22/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Proprietatile matricei Gn
Gn: simetrica, diagonal dominanta si pozitiv definita dacarezistentele sunt pozitiveA ∈ IR
n×n este pozitiv definita daca ea este simetrica si daca xT Ax > 0 pentru orice vector real, nenul x ∈ IRn×1.
R−1 = diag([ 1/R1 1/R2 . . . 1/RL ]). (17)
Simetria:
GTn =
(
AR−1AT)T
=(
AT)T (
R−1)T
(A)T = AR−1AT = Gn
Pozitiv definire: Fie x vector coloana arbitrar, nenul.
xT Gnx = xT AR−1AT x = yT R−1y =L
∑
k=1
y2k
Rk> 0,
unde y = AT x are componentele yk , k = 1, . . . ,L.Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
23/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Etapele algoritmului
etapa de preprocesare în care se descrie problema si seasambleaza sistemul de ecuatii de rezolvat;
etapa de rezolvare în care se apeleaza o procedurapropriu-zisa de rezolvare a sistemului de ecuatii rezultat("solver");
etapa de postprocesare în care se calculeaza alte marimide interes.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
24/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Structuri de date
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
; declaratii date - varianta Aîntreg N ; numar de noduriîntreg L ; numar de laturitablou întreg ni[L] ; noduri initiale ale laturilortablou întreg nf[L] ; noduri finale ale laturilortablou real R[L] ; rezistentetablou real e[L] ; tensiuni electromotoare
În vederea obtinerii unui algoritm simplu, vom presupune ca:sensul de referinta al curentului unei laturi este identic cucel al t.e.m de pe latura;toate laturile sunt orientate cf. regulii de la receptoare.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
25/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Structuri de date
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
Se recomanda agregarea datelor:
; declaratii date - varianta Bînregistrare circuit
întreg N ; numar de noduriîntreg L ; numar de laturitablou întreg ni[L] ; noduri initiale ale laturilortablou întreg nf[L] ; noduri finale ale laturilortablou real R[L] ; rezistentetablou real e[L] ; tensiuni electromotoare
•
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
26/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Matrice rare
Gn si jn sunt foarte rare.
Exemplu:daca pp. 4 laturi care concura la un nod, atunci densitateamatriceid = 5n/n2 = 5/n, (pentru n ≈ 1000 ⇒ d = 0.5 %).
Pentru simplitate:
; declaratii variabile utiletablou real Gn[N, N] ; stocata rartablou real jn[N] ; stocat rartablou real v [N] ; vectorul potentialelor
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
27/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Citire date
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
functie citire_date_B (); declaratii...citeste circuit.N, circuit.Lpentru k = 1,circuit.L
citeste circuit.nik , circuit.nfkciteste circuit.Rk , circuit.ek
•
întoarce circuit
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
28/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Asamblarea sistemului de ecuatii
Orientata pe laturi:
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
nik nfk
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗nik ∗ +1/Rk ∗ ∗ −1/Rk ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
nfk ∗ −1/Rk ∗ ∗ +1/Rk ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗nik −ek/Rk
∗∗
nfk +ek/Rk
∗∗
Contributia unei laturi k la matricea conductantelor nodale (stânga) si la vectorul injectiilor de curent (dreapta).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
29/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Preprocesare
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
procedura nodalRE_v1 (circuit, Gn, t); asambleaza sistemul de ecuatii pentru un circuit; cu laturi de tip R,E folosind tehnica nodala; parametri de intrare:; circuit - structura de date ce descrie circuitul; parametri de iesire:; Gn - matricea conductantelor nodale si; jn - vectorul injectiilor de curent; declaratii....L = circuit.L ; pentru simplificarea scrierii algoritmuluiN = circuit.Nni = circuit.ninf = circuit.nfR = circuit.Re = circuit.e
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
30/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Preprocesare
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
procedura nodalRE_v1 (circuit, Gn, jn)....Gn = 0jn = 0; asambleaza sistempentru k = 1, L ; parcurge laturi
i = nik ; nodul initial al laturii kj = nfk ; nodul final al laturii kGnii = Gnii + 1/RkGnjj = Gnjj + 1/Rk
Gnij = Gnij − 1/Rk
Gnji = Gnji − 1/Rk
jni = jni − ek/Rkjnj = jnj + ek/Rk
•
retur
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
31/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Preprocesare
Observatii:
am folosit pseudocod simplificat pentru a scrie anulareacomponentelorAtentie! varianta
pentru i = 1,Npentru j = 1,N
Gnij = 0•
•scrisa pentru "instructiunea" Gn = 0 va umple completmatricea Gn.
pentru a evita repetarea unor calcule, se pot memoravalorile 1/Rk si ek/Rk .
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
32/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Preprocesare - varianta a II-a
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
procedura nodalRE_v2 (circuit, Gn, jn)....; anuleaza componentele:A = 0 ; matricei incidente laturi noduriG = 0 ; matricei diagonale R−1
; asambleaza sistempentru k = 1, L ; parcurge laturi
i = nik ; nodul initial al laturii kj = nfk ; nodul final al laturii kAik = −1Ajk = +1Gkk = 1/Rk
•
Gn = A ∗ G ∗ AT ; apel proceduri speciale pentru matrice rarejn = −A ∗ G ∗ eretur
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
33/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Rezolvare
Sistemul asamblat are dimensiunea N × N, nodul dereferinta nefiind tratat special.
Sistemul de rezolvat trebuie sa aiba dimensiunea N − 1.
Dupa rezolvare trebuie adaugata o componenta în plusvectorului potentialelor: vN = 0.
Exemplu:
Gauss (N − 1,G,t ,v)vN = 0
Q2: Cum implementati aceasta idee în Matlab/Octave ?
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
34/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Rezolvare
Metode posibile de rezolvare:
directe (Gauss, factorizare) - nu introduc erori detrunchiere, dar matricele se umple în cursul algoritmului;
iterative (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR) - matricele îsipastreaza gradul de raritate, dar apar erori de trunchiere sieventuale probleme de convergenta;
semiiterative (gradienti conjugati, GMRES, etc) -avantajoase daca matricea sistemului este simetrica sipozitiv definita (daca nu exista surse comandate).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
35/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Postprocesare
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
procedura postprocesare_circuitRE (circuit, v )...Pc = 0 ; puterea consumataPg = 0 ; puterea generatapentru k = 1, L ; parcurge laturi
u = vnik− vnfk
; tensiunea laturiic = (u + ek )/Rk ; curentul prin laturascrie "Latura" k "are tensiunea" u "si curentul" c
Pc = Pc + Rk c2 ; adauga contributia laturii la PcPg = Pg + ek c ; adauga contributia laturii la Pg
•
scrie Pc, Pgretur
Q3: Cum implementati postprocesarea în Matlab/Octavefolosind operatii cu matrice?
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
36/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor reale de curent
Sursele reale de curent (SRC)
ik
Gk
uk
(nik ) (nfk )jk
Gk 6= 0 se pot echivala în laturi de tip SRT
Rk ik
ek
uk
(nik ) (nfk )
Rk = 1/Gk si ek = jk/Gk Algoritmul se extinde f. usor.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
37/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor reale de curent
În general, daca laturile sunt de tip SRT sau SRC:
Ai = 0
u = AT v
i = Yu + j
⇒ A(Yu + j) = 0 ⇒ AYAT v = −Aj.
(18)SRC: Yk = Gk · SRT: Yk = 1/Rk · jk = ek/Rk
Yn = AYAT (19)
este operatorul matriceal al admitantelor nodale.
jn = −Aj (20)
este vectorul termenilor liberi ("injectii de curent în noduri").
Ynv = jn. (21)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
38/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor de curent comandate în tensiune
Metoda nodala = metoda în care necunoscutele sunt numaipotentialele nodurilor.
Metoda nodala permite si tratarea SICU.
Matricea îsi pierde proprietatile de simetrie (si deci pozitivdefinirea).
Structurile de date trebuie adaptate.SRC e caracterizata de
Gk (conductanta laturii);jk (curentul electromotor).
SICU e caracterizata deγk (conductanta de transfer);ncik , ncfk (noduri care indica tensiunea de comanda).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
39/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor de curent comandate în tensiune
1Ω
i1
13.5 V
0.4u
i5
0.5Ω
i4
2Ω
i3
−2 V1Ω
i2
0.3u
i6
u
(1)
(2) (3)
(4)
k tip nik nfk Gk jk γk ncik ncfk[S] [A] [S]
1 SRC 1 2 1 13.5 - - -2 SRC 2 3 1 0 - - -3 SRC 4 3 0.5 −1 - - -4 SRC 4 1 2 0 - - -5 SICU 1 2 - - 0.4 2 46 SICU 3 1 - - 0.3 2 4
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
40/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor de curent comandate în tensiune
Vom pp. numerotarea laturilor începând cu SRC.
i =
[
isrc
isicu
]
, u =
[
usrc
usicu
]
. (22)
Relatiile ce descriu starea circuitului:
Asrcisrc + Asicuisicu = 0
usrc = ATsrcv
usicu = ATsicuv
isrc = Gsrcusrc + jsrc
isicu = γSsicuv
⇒ Asrc(Gsrcusrc+jsrc)+AsicuγSsicuv = 0,
unde A =[
Asrc Asicu
]
. Ecuatia de rezolvat:
(AsrcGsrcATsrc + AsicuγSsicu)v = −Asrcjsrc, (23)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
41/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor de curent comandate în tensiunePentru exemplul considerat:
1 2 3 4
Asrc =
1
2
3
4
1 0 0 −1−1 +1 0 0
0 −1 −1 00 0 +1 +1
, Asicu =
1
2
3
4
1 −1−1 0
0 +10 0
,
1 2 3 4
Gsrc =
1
2
3
4
+1 0 0 00 +1 0 00 0 0.5 00 0 0 +2
, γ =5
6
[
0.4 00 0.5
]
,
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
42/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor de curent comandate în tensiune
Pentru exemplul considerat:
Ssicu =5
6
[
0 +1 0 −10 +1 0 −1
]
, jsrc =
1
2
3
4
13.50
−10
,
unde cifrele mici indica indicii corespunzatori de laturi (cualbastru) sau de noduri (cu rosu).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
43/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor de curent comandate în tensiune
Varianta "algoritmului cu stampile" - laturile SRC (contributiisimilare ca la SRT)
stampila laturii k de tip SRC la Yn este de tip AGAT
k nik nfk nik nfk
nik
nfk
[
+1−1
]
Gk
[
+1 −1]
=nik
nfk
[
+Gk −Gk
−Gk +Gk
]
,
stampila laturii k de tip SRC la vectorul jn este de tip −Aj
k k
nik
nfk
[
+1−1
]
jk =nik
nfk
[
−jk+jk
]
. (24)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
44/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor de curent comandate în tensiune
Stampila laturii k , de tip SICU, având:
nik si nfk (noduri considerate pentru latura de iesire, cea corespunzatoare sursei de curent -
marimea comandata),
conductanta de transfer γk si
nodurile ce indica tensiunea de comanda: ncik si ncfk
este de tip AγS adica
k ncik ncfk ncik ncfk
nik
nfk
[
+1−1
]
γk
[
+1 −1]
=nik
nfk
[
+γk −γk
−γk +γk
]
, (25)
si se aplica doar matricei coeficientilor.SICU nu contribuie la vectorul termenilor liberi.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
45/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Tratarea surselor de curent comandate în tensiune
Pentru exemplul simplu considerat:
+1 −1 0 0−1 +1 0 0
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 +1 −1 00 −1 +1 00 0 0 0
0 0.3 0 −0.30 0 0 00 −0.3 0 0.30 0 0 0
.
Stampila laturii 1 Stampila laturii 2 Stampila laturii 6
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
46/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Concluzii - Metoda nodala clasica
1 Poate fi aplicata doar în circuitele în care toate laturile suntcontrolabile în tensiune.
2 Necunoscutele sunt numai potentialele nodurilor.3 Sistemul de rezolvat este de tipul
Ynv = jn (26)
4 Daca circuitul este reciproc (nu contine surse comandate)atunci Yn este simetrica si pozitiv definita.
5 Algoritmul poate fi conceput folosind operatii eficiente cumatrice, caz în care este utila scrierea detaliata ca:
(AsrcGsrcATsrc + AsicuγSsicu)v = −Asrcjsrc. (27)
6 Algoritmul poate fi conceput si prin parcurgerea laturilor siadaugarea contributiilor la sistem, caz în care este utilastabilirea stampilelor fiecarei laturi:
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
47/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Concluzii - Metoda nodala clasica
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
48/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Metoda nodala modificata (Modified Nodal Analysis)
1 Se aplica analizei circuitelor care contin elementeincompatibile cu tehnica nodala clasica (elementecontrolate în curent):
surse independente de tensiune (SIT);surse de tensiune comandate (SUCU, SUCI);surse de curent comandate în curent (SICI).
2 Sistemul asamblat este extins fata de varianta clasica.3 Necunoscutele metodei nu sunt numai potentialele
nodurilor.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
49/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Metoda nodala modificata (Modified Nodal Analysis)
Necunoscutele: im
curentii din sursele ideale de tensiune (SIT);
curentii portilor de iesire la SUCU;
curentii portilor de iesire la SUCI;
Ecuatiile MNA au forma:[
Yn Bm
Am Zm
] [
v
im
]
=
[
jnem
]
(28)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
50/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Metoda nodala modificata (Modified Nodal Analysis)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
51/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Varianta a 2-a: Asamblarea blocurilor de matrice
Exemplu - cazul cu SRC, SIT si SUCU.Kirchhoff I:
Asrcisrc + Asitisit + Asucuisucu = 0, (29)
Kirchhoff II:
usrc = ATsrcv, (30)
usit = ATsitv, (31)
usucu = ATsucuv, (32)
relatii constitutive:
isrc = Gsrcusrc + jsrc (33)
usit = −esit, (34)
usucu = αSsucuv, (35)
α - diagonala, contine parametrii surselor comandate, SSUCU - topologica, selecteaza perechea de noduri
care determina tensiunea de comanda.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
52/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiMetoda nodala clasicaMNA
Varianta a 2-a: Asamblarea blocurilor de matrice
N − 1 + LE + Lsucu necunoscute:
x =
v
isit
isucu
. (36)
Mx = p (37)
M =
AsrcGsrcATsrc Asit Asucu
ATsit 0 0
ATsucu − αSsucu 0 0
, (38)
p =
−Asrcjsrc
−esit
0
. (39)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
53/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Formularea problemei
Contin:
rezistoare liniare (R);
bobine liniare (L);
bobine liniare cuplate (M);
condensatoare liniare (C);
surse ideale de tensiune (SIT);
surse ideale de curent (SIC);
surse comandate liniar (SUCU, SUCI, SICU, SUCI).
SIT sau SIC au variatii de forma:
y(t) = Y√
2 sin(ωt + ϕ). (40)
unde ω are aceeasi valoare pentru toate marimile.Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
54/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Formularea problemei
Problema fundamentala a analizei circuitelor de c.a.
Se dau:
topologia circuitului (schema/tabel de descriere(netlist)/matrice de incidenta sau apartenenta);
valorile parametrilor (rezistentele, bobinele, cuplajele,condensatoarele, valorile surselor: frecventa, valorileefective, fazele initiale).
Se cer:
curentii si tensiunile din fiecare latura (valori efective, fazeinitiale);
puteri (active, reactive, aparente, defazaje).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
55/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Similitudinea cu c.c.
Metoda de analiza se bazeaza pe reprezentarea încomplex.
y(t) = Y√
2 sin(ωt + ϕ) Y = Y ejϕ. (41)
Ideea: ecuatiile similare:Circuitul de c.c. Circuitul de c.a.
TK1∑(A)
k∈(n)ik = 0
∑(A)k∈(n)
Ik = 0
TK2∑(A)
k∈[b]uk = 0
∑(A)k∈[b]
Uk = 0
SRT uk = Rk ik − ek Uk = Z k Ik − EkSRC ik = Gk uk + jk Ik = Y k Uk + JkSUCI ek = rkm im Ek = zkm ImSICU jk = gkmum Jk = y
kmUm
SUCU ek = αkmum Ek = αkmUmSICI jk = βkm im Jk = β
kmIm
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
56/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Reprezentarea în complex a elementelor ideale
Rezistor (R) Bobina (L) Condensator (C)Impedanta complexa Z R jωL 1/(jωC)Admitanta complexa: Y 1/R 1/(jωL) jωC
Defazajul: ϕ 0 π/2 −π/2Impedanta: Z R ωL 1/(ωC)Admitanta: Y 1/R 1/(ωL) ωC
Rezistenta de c.a.: R R 0 0Reactanta: X 0 ωL −1/(ωC)
Conductanta de c.a.: G 1/R 0 0Susceptanta: B 0 −1/(ωL) ωC
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
57/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Algoritm
Similar cu cel din c.c.:
în loc de rezistente se lucreaza cu impedant complexe;
parametrii surselor sunt tot valori constante, dar complexe,obtinute din reprezentarea în complex a variatiilor care sedau.
Diferente fata de algoritmul din c.c.:
în etapa de preprocesare: citirea datelor de descriere sireprezentarea lor în complex;
în etapa de asamblare, apar în plus bobinele cuplate, carecontribuie la sistem cu urmatoarele stampile:
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
58/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Algoritm
Cuplaje
nij nfj nik nfk
Am
[
+1 −1 0 00 0 +1 −1
]
j k
Bm
nij
nfj
nik
nfk
+1 0−1 0
0 +10 −1
j k
Zm
j
k
[
−jωLjj −jωLjk
−jωLkj −jωLkk
]
em Nu contribuie
jn
[
ijik
]
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
59/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Caracteristici de frecventa
În multe aplicatii practice intereseaza reprezentareacaracteristicilor de frecventa: comportarea semnalelor de iesirepentru un interval al frecventelor semnalelor.Variante de implementare:
1 Se lucreaza simbolic, cu parametrul ω si se obtin expresiisimbolice ale marimilor de iesire care apoi se evalueazanumeric;
2 Se lucreaza numeric, pentru frecvente din intervalul deinteres se rezolva mai multe probleme de c.a.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
60/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Referinte
[Ciuprina13a] Gabriela Ciuprina - Algoritmi numerici pentrucalcule stiintifice în ingineria electrica , Editura MatrixROM,2013, pag. 121-141
disponibila la http://www.lmn.pub.ro/∼gabriela/books/AlgNr_MatrixRom2013.pdf
[Ioan12] Daniel Ioan, Teoremele fundamentale ale circuitelorelectrice, Notite de curs
disponibile online http://www.lmn.pub.ro/∼daniel/BazeELTH-6-Teoremele circuitelor.pdf 2012.
[Chua75] L.O. Chua and P.M. Lin, Computer-aided analysis of
electronic circuits: algorithms and computational techniques,Prentice-Hall. 1975.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
61/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit
Free and Open Source
NgSpice (are si varianta online), GnuCap, CircuitLogix,LTSpice, MultiSim, TopSpice, MacSpice, Xyce (open source,SPICE-compatible, high-performance analog circuit simulator)Licensed/Paid Circuit simulation software
Spectre (Cadence), PSpice, MultiSim, SiMetrix, TINAVedeti sihttp://www.circuitstoday.com/circuit-design-and-simulation-softwareshttps://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_circuit_simulation
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
62/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp
COMSOL - pentru probleme cuplate.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
63/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp
COMSOL - pentru probleme cuplate.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
64/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp
COMSOL - pentru probleme cuplate.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
65/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp
COMSOL - pentru probleme cuplate.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
66/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp
COMSOL - pentru probleme cuplate.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
67/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp
COMSOL - pentru probleme cuplate.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
68/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp
COMSOL - pentru probleme cuplate.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
69/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp
COMSOL - pentru probleme cuplate.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
70/70
IntroducereAnaliza în c.c.Analiza în c.a.
Formularea problemeiSimilitudinea cu c.c.Caracteristici de frecventa
Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp
COMSOL - pentru probleme cuplate.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)
Notes
Notes
Top Related