MATEMATICĂClasa a VII-a
ALGEBRĂSemestrul I
MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE
MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALEUn numar rational se poate exprima fie printr-un cat neefectuat, m:n, fie printr-o fractie ordinara, ,
n
m
fie printr-o fractie zecimala finita sau periodica (catul efectuat al numerelor naturale sau intregi m si n, n0).
AMPLIFICAREA
0,)
aan
am
n
ma
SIMPLIFICAREA
0,:
:(
aan
am
n
m a
Multimea numerelor rationale o notam cu Q.
*ZnşiZmn
mQ
Q+ = multimea numerelor rationale pozitive.
Unde a = c.m.m.d.c. a lui m si n..
SCRIEREA NUMERELOR RAŢIONALE SUB FORMA ZECIMALĂ SAU FRACŢIONARĂ
TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ORDINARE IN FRACTIE ZECIMALA
Se face prin efectuarea catului dintre numaratorul si numitorul fractiei:
EXEMPLE:
)3(1,215
32);3(,3
3
11;4,1
5
7
TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ZECIMALE IN FRACTIE ORDINARA:
EXEMPLE:
3
7
9
21
9
223)3(,2
3(
5
9
10
188,1
2(
15
32
90
192
90
21213)3(1,2
6(
110
467
990
4203
990
424245)45(2,4
9(
.
REPREZENTAREA PE AXĂ A NUMERELOR RAŢIONALE
Pentru a reprezenta pe o axa mai multe numere rationale, este indicat ca numerele rationale sa fie ordonate crescator. Pentru ordonarea acestora, aceste numere este necesar sa aiba aceeasi forma de prezentare – sub forma de fractii ordinare cu acelasi numitor.
EXEMPLU: Fie multimea A = {-1,5; 3,(3); 0; -2,2; 3,3; -2,(2); 1,5}Transform numerele date in fractii ordinare:
2
35,1;
9
20)2(,2;
10
333,3;
5
112,2;
3
10)3(,3;
2
35,1
Aducem fractiile la acelasi numitor (in cazul nostru acesta este 90):
90
135
2
3;
90
200
9
20;
90
297
10
33;
90
198
5
11;
90
300
3
10;
90
135
2
3
Acuma, dupa comparatia numerelor , le putem reprezenta pe o axa:
0 -1,5-1,5 3,3 3,(3)-2,2-2,(2)
Se poate aborda si o alta strategie..
OPUSUL, INVERSUL, MODULUL UNUI NUMĂR RAŢIONAL
OPUSUL UNUI NUMAR RATIONAL
Opusul lui a este –a, astfel incat a + (-a) = 0
Exemple: opusul lui 2,5 este -2,5; opusul lui -4,8 este 4,8.
INVERSUL UNUI NUMAR RATIONAL
Inversul lui a este a
1 astfel incat 11
a
a
Exemple:;2
5
5
2esteluiInversul ;
3
13 esteluiInversul
MODULUL UNUI NUMAR RATIONAL
0,
0,
adacăa
adacăaa
EXEMPLE:
5 = 5; -2 = 2
.
ADUNAREA/SCĂDEREA NUMERELOR RAŢIONALE
Adunarea/scaderea fractiilor ordinare:
-Se afla numitorul comun al fractiilor date; -Se amplifica corespunzator fractiile date; -Numaratorii amplificati se aduna/scad deasupra aceleasi linii de fractie.EXEMPLU:
12
17
12
6815
2
1
3
2
4
5 )6)4)3
Adunarea/scaderea fractiilor zecimale finite:
-Se aseaza numerele unul dedesubtul celuilalt, astfel incat virgulele sa fie una dedesubtul celeilalte; -Se face adunarea/scaderea conform algoritmului cunoscut; -Virgula se pune la rezulta, ,,coborand-o’’ pe verticala.
2,15+ 49,30 51,45
EXEMPLU:
.
PROPRIETATILE ADUNARII
IN MULTIMEA Q•Adunarea este asociativa:
•Adunarea este comutativa:
•Elementul neutru al adunarii este 0:
•Pentru orice a exista –a, opusul lui a, astfel incat:
(a + b) + c = a + (b + c)
a + b = b + a
a + 0 = 0 + a = a
a + (–a) = (–a) + a = 0
.
INMULŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE
Prin inmultirea a doua numere rationale reprezentate prin fractii ordinare se obtine o fractie ordinara unde numaratorul este produsul numaratorilor si numitorul este produsul numitorilor.
45
14
95
72
9
7
5
2
Inmultirea semnelor:
factor factor produs
+ + +
+ - -
- + -
- - +
Proprietatile inmultiriiEste comutativa
Este asociativa
Elementul neutru este 1
Este distributiva fata de adunare/scadere
a b = b a
a (b c) = (a b) ca 1 = 1 a = a
a (b+c)=a b+a c
.
IMPĂRŢIREA NUMERELOR RAŢIONALEPentru a imparti doua fractii ordinare, se inmulteste prima fractie cu a doua fractie inversata.
3
8
171
456
9
38
19
12
38
9:
19
12 57(
Impartirea semnelor este la fel ca la inmultirea semnelor.
TEOREMA IMPARTIRII CU REST:
d = i c + rUnde:d = deimpartitul i = impartitorul c = catul r = restul
r < i.
PUTEREA UNUI NUMĂR RAŢIONAL
Daca b
aeste un numar rational, atunci
m
mm
b
a
b
a
Atunci cand exponentul este un numar negativ, avem: m
mmm
a
b
a
b
b
a
Reguli de calcul cu puteri:
aman=am+n
am:an=am-n
(am)n=amn
(ab)m=ambm
1275
3
2
3
2
3
2
8715
3
2
3
2:
3
2
4276
3
2
3
2
888
3
2
5
4
3
2
5
4
(–a)n =
imparestedacaa
parestendacaan
n
,
,
.
ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILOR ŞI FOLOSIREA PARANTEZELOR
•Intr-un exercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu numererationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirilesi impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile siscaderile in ordinea in care sunt scrise.
•In exercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din parantezele mari (drepte) si apoi cele din acolade.
•Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau osuma de numere rationale se afla simbolul ,,–”, atunci se poateelimina acesta si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semnschimbat.
941012941012 .
ECUAŢII DE FORMA ax + b = 0•Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere rationale.
•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.
•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.
EXEMPLU:5
42
5
3
xxxRezolvati ecuatia
12542
5
3)12
)3)6)4
xxx
6033064 xxx
3060364 xxx
305 x
Stabilim cmmmc al numitorilor si amplificam fractiile:
Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara numitori:
Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat:
Efectuam operatiile de adunare/scadere:
Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei:
)5(:305 x
In final, aflam radacina ecuatiei: 6x
.
REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUAŢIILOR
Etape de rezolvare a unei probleme:1) Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.2) Notarea unei date necunoscute cu x si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de x.3) Scrierea unei ecuatii cu necunoscuta x, folosind datele problemei.4) Rezolvarea ecuatiei.5) Verificarea solutiei.
6) Formularea concluziei (raspunsului problemei).
EXEMPLU
Intr-un triunghi ABC, masura unghiului B este de doua ori mai mare decat masura unghiului A iar masura unghiului C este 75% din masura unghiului B. Aflati masura unghiului A.
REZOLVARE
1) Notam masura unghiului A cu x.2) Din datele problemei rezulta ca masura unghiului B este egala cu 2x.
La fel din datele problemei rezulta ca masura unghiului C este 75% din 2x, adica este egala cu 1,5x .
3) Daca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este egala cu 1800, atunci obtinem ecuatia:
4) x + 2x + 1,5x = 180In urma rezolvarii ecuatiei, obtinem x = 400.5) Verificam solutia: 40 + 80 + 60 = 180.
.
RAPOARTE ŞI PROPORŢIIRaportul numerelor rationale a si b, b0 este a:b si se scrie b
aa si b se
numesc termenii raportului.
Exercitiul 1. Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16.
Rezolvare:4
3
16
12 4(
b
asau 75,0
16
12
b
a
PROPORTIA este egalitatea a doua rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat:
d
c
b
a este o proportie, cu extremii a
si d si mezii b si c.
PROPRIETATEA FUNDAMENTALA A PROPORTIILOR:
d
c
b
a daca si numai daca
ad=bc
extremcelalalt
mezilorprodusulextremun
Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie:
EXEMPLU
Aflati x din: 3
5
9
x
.153
45
3
59
x
..
DERIVAREA PROPORŢIILORDerivarea unei proportii cu aceiasi termeni
a) Schimband extremii intre ei
b) Schimband mezii intre ei
c) Inversand rapoartele
2
8
3
12
12
3
8
2
8
12
2
3
12
8
3
2
12
8
3
2
12
8
3
2
Derivarea unei proportii cu alti termeni-se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul:
-se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul:
-se aduna/scad la numaratori numitorii:
-se aduna/scad la numitori numaratorii:
-se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea numaratorilor si respectiv a numitorilor:
d
c
b
a
d
kc
b
ka
d
c
b
a
d
c
kb
ka
d
dc
b
ba
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
cd
c
ab
a
db
ca
d
c
b
a
.
ŞIRUL DE RAPOARTE EGALEDaca avem:
p
c
n
b
m
a1.
2.
5.
4.
3.
p
c
n
b
m
a
p
c
n
b
m
a
p
c
n
b
m
a
p
c
n
b
m
a
atunci:
atunci:
atunci:
atunci:
atunci:
pnm
cba
p
c
n
b
m
a
ptnsmr
ctbsar
p
c
n
b
m
a tsr
)))
tpsnrm
tcsbra
p
c
n
b
m
a tsr
:::
:::(((
kkk
kkkkkk
pnm
cba
p
c
n
b
m
a
.;;; pkcnkbmkakp
c
n
b
m
a
.
Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi !
DIRECTA ŞI INVERSA PROPORŢIONALITATE
Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} si B = {l, m, n, p} atunci:
1. 2.Multimile A si B sunt in relatie de directa proportionalitate, si:
Multimile A si B sunt in relatie de inversa proportionalitate, si:
p
d
n
c
m
b
l
a
p
d
n
c
m
b
l
a1111
EXEMPLU:Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu: .
3
4
2
1;3 si
RE
ZO
LV
AR
E: Daca cele trei parti sunt invers proportionale cu numerele date,
atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date:
.3637
12111
1237111
43
12
31
43
12
31
cbacba
Atunci: ;12363
1a ;7236
1
2b .2736
4
3c
.
P R O C E N T ERapoartele de forma 100
p se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale.
EXEMPLE:
4
1
100
25%25
5
2
100
40%40
20(
4
5
100
125%125
25(
Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme:
1. Daca se cunosc p si a atunci b = p% a 33100
330055
100
6055%60 din
2. Daca se cunosc p si b, atunci a este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18?
;18%30 adin ;18100
30a .60
30
1800
30
10018
30(
a
3. Daca se cunosc a si b, atunci p este:
Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ? ;1664100
p
.2564
1600
64
10016
64(
p
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2008
O PROBLEMA CU PROCENTEPretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua
oara scade cu 25% din noul pret. a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial. b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final? c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret?
REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare:1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente:
Putem folosi formula:100
babap
unde a si b sunt valorile procentuale.
Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative.
.51015100
)25(402540
p Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%.
2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b).
Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%.
.60105
6300
105
10063;63
100
105 105(
leixx
3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial:
Daca pretul creste cu 40%, atunci el devine 140%
.84100
840060
100
14060%140 leidin
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2008
MEDIA ARITMETICĂ
MEDIA PONDERATĂ
Media aritmetica a doua sau mai multe numere rationale este numarul rational obtinut prin impartirea sumei numerelor respective la numarul lor.
Daca avem: a1, a2, a3, …., an, atunci:
n
aaaam na
...321
Exemplu: aflati media aritmetica a
numerelor: 3; 14; 20; 23.
.154
60
4
2320143
am
Daca se dau numerele a1, a2, a3, …,an iar
fiecare numar are respectiv ponderea p1, p2, p3, ….,pn atunci media
aritmetica ponderata va fi:
n
nnp ppp
papapam
...
...
21
2211
Exemplu: aflati media ponderata a numerelor 5, 12, 15 fiecare cu ponderile 20, 12 si 8.
.1,940
364
81220
8151212205
pm
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2008
Top Related