Revista Romn de Statistic Trim. I/2012 - Supliment236
Rezultate din teoria regresiei utile pentru asigurrile non-via i pentru contabilitatea actuarial
Prof. univ. dr. Gheorghe LEPDATU Universitatea Cretin Dimitrie Cantemir Bucharest
[email protected] Lector univ. dr. Virginia ATANASIU
Academia de Studii Economice, Bucureti e-mail: [email protected]
Prep. univ. Iacob Emanuel BACIU Prep. univ. Dominic Perez DANIELESCU
Universitatea Cretin Dimitrie Cantemir Bucharest
Abstract: The idea of considering regression credibility models originated from
Hachemeister. Just like in the case of classical credibility models, we will obtain a credibility solution in the form of a linear combination of the individual estimate (based on the data of a particular state) and the collective estimate (based on aggregate USA data). This idea is worked out in regression credibility theory. Mathematics Subject Classification: 62P05.
Key - words: credibility regression models, the classical regression result, the credibility estimates for the parameters of the linear model, the collective result.
Introducere n modelul de regresie a credibilitii prezentat de seciunea 1., se va permite
variaia lui jXM ( 1j ). Modelul de regresie a credibilitii a fost introdus pentru prima dat de actuarul de
marc Hachemeister. Acesta considera portofolii din mai multe state ale U.S.A.. Fie, aadar, unul dintre aceste portofolii i fie jX suma medie a preteniilor (solicitrilor) de despgubire din anul j , pentru portofoliul considerat. Datorit inflaiei, nu se presupune c
jXM este independent de j , ci se face presupunerea de regresie: ~~' jj YXM
,
unde ~
'jY
este un vector cunoscut, iar ~
un vector necunoscut. Estimnd vectorul ~
pentru diferite state, Hachemeister a descoperit diferene mari, fapt care l-a determinat s admit c fiecruia dintre state i era asociat un parametru de risc aleator necunoscut ,
Revista Romn de Statistic Trim I/2012- Supliment 237
coninnd caracteristicile de risc ale acestui stat i c aceti din diferite state erau independeni i identic distribuii. innd seama de cele afirmate anterior, Hachemeister a
introdus ipoteza de regresie:
~~
' bYXM jj , viznd un stat particular, unde ~
'jY
este
un vector nealeator cunoscut de dimensiune q1 , iar ~b un vector aleator necunoscut de dimensiune 1q , coninnd variabilele aleatoare necunoscute de regresie, cu
~~ bM
, pentru ca
~~
' jj YXM ( j s-a interpretat ca timp calendaristic, adic
s-a considerat inflaia pentru acelai timp calendaristic). Dup aceste remarci introductive privind necesitatea considerrii modelului de regresie a credibilitii, prezentm ipotezele de lucru ale modelului lui Hachemeister.
1. Modelul de regresie a credibilitii
Fie '21~ ,...,, tXXXX un vector 1t aleator al observaiilor i un
parametru de risc aleator neobservabil, ce caracterizeaz riscul considerat.
1) Se face supoziia de regresie:
~~~bYXM
, unde: ~Y
este o matrice
nealeatoare cunoscut de ordinul qt i de rang tq , iar ~b este un vector aleator necunoscut, de dimensiune 1q , coninnd variabilele aleatoare necunoscute de regresie (constantele n raport cu timpul, de regresie necunoscute);
2)
~
.
~bCov
not (matrice pozitiv definit);
3)
~
.
~XCovM
not
(matrice pozitiv definit);
4)
~
.
~bM
not;
5) n cadrul acestui model, se definete prima net de risc, dup cum urmeaz: ~~
'ba (1.1),
unde: ~a
este un vector nealeator cunoscut de dimensiune 1q . Scopul propus este acela al determinrii unei expresii ct mai simple pentru
~ , estimatorul liniar i neomogen de credibilitate al lui bazat pe ~X . Din acest motiv, este necesar lema de mai jos:
Revista Romn de Statistic Trim. I/2012 - Supliment238
Lema 1.1: Fie ~A
o matrice de dimensiune sr i ~B o matrice de dimensiune rs . Atunci, are loc identitatea: ~
1
~~~~~
1
~~~BABIAIBAI
(1.2), cu condiia ca inversele de mai sus s existe.
Demonstraia aferent lemei 1.1 este prezentat n continuare. Avem: ~~~~
1
~~~~~~~~~~~~
1
~~~~~~~~~~~BAIBABIABAIABAIBABIABIABAII
~~~~~~
1
~~~~~~~~~~~
1
~~~~~~~~AIBAIBABIABAIBAIBABIABAAI
~
1
~~~BABI
. Prin urmare, a rezultat:
~
1
~~~~~~~~~BABIAIBAII
.
~
1
~~~~~
1
~~~BABIAIBAI
, adic exact (1.2).
Rezultatul urmrit de noi, este obinut n teorema 1.2:
Teorema 1.2: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate ~ pentru ,
bazat pe ~X
are expresia: ~~~^~~~'~ ZIbZa (1.3), unde:
~
1
~
'
~
1
~
1
~
'
~
^
~XYYYb
(1.4)
i: 1~
1
~
'
~~~~
1
~
'
~~~
YYIYYZ (1.5).
Demonstraia aferent teoremei 1.2 este prezentat n continuare.
Fie: ~~0
~' X
(1.6),
unde: 0 este o constant scalar, iar ~ este un vector constant, de dimensiune 1t , alei astfel nct ecuaiile normale s fie satisfcute (
~ fiind estimatorul liniar i neomogen
Revista Romn de Statistic Trim I/2012- Supliment 239
de credibilitate al lui , bazat pe ~X are forma liniar-neomogen de tipul celei scrise la (1.6), conform definiiei i verific ecuaiile normale (4.1) i (4.2) din capitolul 4., conform teoremei 4.1 prezentate acolo; a se vedea, n acest sens, cartea [1], de la
bibliografie, capitolul 4., pag. 45-62). n continuare, vom determina pe 0 i '~ din condiia ca ecuaiile normale s fie ndeplinite. n cazul de fa, ecuaiile normale (4.1) i (4.2)-a se vedea teorema 4.1 din cadrul capitolului 4. (cartea [1], de la bibliografie, pag. 45-62)-se scriu dup cum urmeaz:
MM
~ (1.7),
i respectiv:
tjXCovXCov jj ,1,,,~ (1.8).
Se observ c, ecuaiile (1.8) sunt echivalente cu ecuaia:
~~
~',', XCovXCov
(1.9). ntr-adevr:
.18.1~1~.~~
,,...,,,,...,,',def
tt
defXCovXCovXCovXCovXCov
~', XCov
.
2. Aplicaii ale modelului de regresie a credibilitii Aplicaiile considerate de noi, n cadrul acestei seciuni sunt urmtoarele:
Aplicaia 2.1: Dac interpretm pe ca vector, notndu-l n acest caz, ~ , atunci definiia (1.1) se transpune astfel:
~~~bA
(2.1),
unde: ~A
este o matrice nealeatoare cunoscut de ordinul qp . Aplicaia 2.2: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate al unui vector se
introduce ca fiind vectorul estimatorilor liniari i neomogeni de credibilitate pentru fiecare component n parte a vectorului ce se estimeaz.
Revista Romn de Statistic Trim. I/2012 - Supliment240
innd seama de acesta, precum i de teorema prezentat mai sus, rezult c ~
~
,
estimatorul liniar i neomogen de credibilitate al vectorului
~ este dat de relaia urmtoare: ~~~^~~~~~ ZIbZA (2.2).
Aplicaia 2.3: Un caz special, interesant al lui (2.1) este acela n care ~~ IA ,
cnd
~~~
1.2
~bbI
i deci, estimatorul liniar-neomogen de credibilitate al vectorului
~b
este:
~~~
^
~~~~~
^
~~~
2.2~
~ ZIbZZIbZIb
(2.3).
Dac dorim s mbuntim pe ~ sub aspectul calitilor pe care acesta trebuie s
le posede pentru a fi un estimator ct mai bun (ct mai fidel) al lui , atunci impunem ca
~ s fie nedeplasat pentru , i astfel obinem urmtoarea aplicaie: Aplicaia 2.4: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate nedeplasat
pentru , bazat pe ~X este: ^
~~
^'ba
(2.4). Determinarea estimatorului liniar i neomogen de credibilitate nedeplasat
pentru , bazat pe ~X revine la rezolvarea urmtoarei probleme de minim:
2
~~''
~~
XgMMing
(2.5)
Din acest motiv, aplicm metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Fie funcia lui Lagrange:
12.211
2
~~11 2':,...,,,...,
t
jjiji
q
iiqt YgaXgMggQQ
Revista Romn de Statistic Trim I/2012- Supliment 241
t
jjiji
q
ii
t
jjj YgaXgM
11
2
1
12.22
(2.6),
unde q ,...,1 sunt multiplicatorii lui Lagrange. Are loc irul de egaliti:
i
q
ii
t
jjj
tjjjjjj
t
jjj aXgXXggXgMQ
11'1''
1
22215.2
222
MgXXMggXMgMYg
tjj
t
jjjjjjj
t
jj
t
jjij
'1 1''
2
1
22
122
'
'1'
1
222
1122 jj
tjjjj
t
jjj
t
jjiji
q
iij XXMggXMgMYgaX
2......22 222
111kk
t
jjiji
q
ii
t
jjj XMgMYgaXMg
...XMg...2...XXMgg... kkt
kj1j
kjjk
+ kikiq
1ii Yg...a2 ... (2.7). Impunnd condiiile:
tkgQ
k
,1,0
(2.8),
obinem: tkYXMXXMgXMg kiq
iikkj
t
kjj
jkk ,1,0222211
2
(2.9), sau (mprind cu 2 i grupnd convenabil termenii):
tkYXMXXMg kiqi
ik
t
jkjj ,1,0
11
, relaie, pe care o numerotm cu (2.10), sau nc:
tkYXXgM qi
kiik
t
jjj ,1,0
11
, adic: tkYXXgCov q
ikiik
t
jjj ,1,0,
11
(2.11),
Revista Romn de Statistic Trim. I/2012 - Supliment242
deoarece:
tkXXgMXXgCov ktj
jjk
t
jjj ,1,,
11
(2.12).
Aplicaia 2.5: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate nedeplasat al vectorului
~~
1.2
~bA
(2.13), este dat de relaia de mai jos:
^
~~
^
~bA
(2.14).
Aplicaia 2.6: Un caz special, interesant al lui (2.13) este acela n care ~~ IA ,
cnd
~~~
38.2
~bbI
i deci, estimatorul liniar-neomogen de credibilitate
nedeplasat al vectorului ~b este ^
~
^
~~
39.2^
~bbIb
. Acest ultim rezultat conduce la urmtoarea interpretare a relaiei (2.3), redat sub
forma aplicaiei de mai jos: Aplicaia 2.7: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate pentru ~b , adic,
~
~b
, este o medie aritmetic ponderat a estimatorului liniar-neomogen de credibilitate
nedeplasat pentru ~b , adic a lui ^
~b
, cu valoarea medie a lui
~b
, adic cu ~
. Remarca 2.8: Hachemeister a introdus modelul de regresie a credibilitii, n
cadrul ipotezei speciale c, dat fiind , observaiile anuale tXXX ,...,, 21 sunt independente condiional, cu varianele condiionate:
j
j PsXVar
2
(2.15),
unde jP
reprezint numrul preteniilor (solicitrilor) de despgubire din anul j . Acest numr este presupus a fi cunoscut i este considerat nealeator.
n concluzie, cele opt exemple considerate, reprezint cazuri speciale din perspectiva teoriei regresiei a credibilitii, precum i a teoriei contabilitii actuariale.
Concluzii Teoria matematic a credibilitii mpreun cu teoria contabilitii actuariale
realizate de noi, n cadrul acestui articol este fundamental pentru a demonstra utilitatea
Revista Romn de Statistic Trim I/2012- Supliment 243
modelelor de regresie a credibilitii i respectiv a calculului de contabilitate actuarial, pentru portofolii de asigurri non-via. Aducnd la cunotin aceste rezultate remarcabile ale regresiei credibilitii asigurrilor non-via, relevm faptul c ele reprezint cu certitudine, singura soluie posibil, atumci cnd domeniul asigurrilor non-via este confruntat cu riscuri ale cror caracteristici elementare de risc nu pot fi determinate pentru nici un colectiv (portofoliu) de contracte bine definit, sau cu o acoperire a riscului n circumstane nemaintlnite pn acum, situaii n care actuarii trebuia s ia decizii cu date puine sau cu nici o dat colectiv. Articolul nostru prin elementele noi abordate i corelate aparatului matematic, reliefeaz factorii i condiiile care pot concura, sprijini i mbuntii situaia asigurrilor non-via i a contabilitii actuariale. Modelele de credibilitate abordate n toat complexitatea lor i ncorporate aparatului matematic las s se ntrevad valoarea lor pentru practica asigurrilor non-via.
Un aspect important al articolului, l constituie modul n care matematicile, prin teoria probabilitilor i prin statistica matematic, intervin n soluionarea problemelor dificile cu care se confrunt actuarii n analiza i soluionarea asigurrilor non-via, relev i ntrete convingerea c, instrumentul matematic se extinde la problemele practice de via i ajut la rezolvarea lor cu maximum de eficien. n acelai timp, subliniem faptul c teoria riscului i a contabilitii actuariale, se fac simite n abordarea problemei asigurrilor non-via, din perspectiva credibilitii, cu aspectele ei aplicative i care rentregesc problematica existent. Regresia credibilitii n industria asigurrilor non-via rmne o tem deschis, nou, original i care aduce contribuii utile n acest domeniu. Bibliografie selectiv Atanasiu, V., Useful applications of the credibility theory, Metalurgia International
(journal ISI), no. 4 special issue, vol. XIV(2009), pp. 22-28, 2009. Atanasiu, V., Techniques for estimating the premiums for the risks of the insurance
companies in Romania, Metalurgia International (journal ISI), no. 7, vol. XIV (2009), pp. 61-66, 2009.
Atanasiu, V., The calculations of credibility in the hierarchical model with two-levels, Metalurgia International (journal ISI), no. 4 special issue, vol. XIV(2009), pp. 118-123, 2009.
Gerber, H.U., Credibility for Esscher premiums, Mitteilungen der VSVM, 80, 307-312, 1980.
Hogg, R.V. & Klugman, S.A., Loss distributions, John Wiley and Sons, New York, 1984. Sundt B., An Introduction to Non-Life Insurance Mathematics, volume of the Mannheim
Series, 22-54, 1984.
Top Related