XII 2013-14 3 Inele de Polinoame

7/25/2019 XII 2013-14 3 Inele de Polinoame

1/10

SUPORT DE CURS XII / III. Inele de polinoame /P a g e | 30

III. Inele de polinoameCOMPETENE SPECIFICE1. Recunoastereastructurilor algebrice, a mulimilor de numere, depolinoame si de matrice2.2 Determinareasi verificareaproprietilor unei structuri3.2. Aplicareaunor algoritmi n calculul polinomial sau n rezolvareaecuaiilor algebrice

4. Explicareamodului n care sunt utilizate, n calcule specifice,proprietile operaiilor unei structuri algebrice5.2. Determinareaunor polinoame sau ecuaii algebrice care

ndeplinesc condiii date6.1 Exprimareaunor probleme practice, folosind structuri algebricesau calcul polinomial6.2 Aplicarea, prin analogie, n calcule cu polinoame, a metodelor delucru din aritmetica numerelorCONINUTURI Forma algebric a unui polinom , operaii ( adunarea , nmulirea ,

nmulirea cu un scalar ).

Teorema mpririi cu rest ; mprirea polinoamelor , mprirea cuX a , schema lui Horner .

Divizibilitatea polinoamelor , teorema lui Bezout , c.m.m.d.c. ic.m.m.m.c. al unor polinoame , descompunerea unui polinom nfactori ireductibili

Rdcini ale polinoamelor , relaiile lui Vite pentru polinoame degrad cel mult 4

Rezolvarea ecuaiilor algebrice cu coeficieni n , , , , ecuaii

binome , ecuaii reciproce , ecuaii biptrateBIBLIOGRAFIE

BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT2, programa M2 Mircea Ganga MATEMATIC-Manual pentru clasa a XII-a , profil

M2 , Editura MATHPRESS

Marius Burtea , Georgeta Burtea Clasa a XII-a , Culegere deexerciii i probleme , MATEMATIC M2 ,Editura CAMPION .


1.Forma algebric a unui polinom , operaii cu polinoame

BREVIAR TEORETICFie ( , , )K un corp comutativ .Un polinom de gradul n cu coeficieni n Kare forma

algebric 20 1 2 ... n

nf a a X a X a X sau

1 2

1 2 1 0...n n

n nf a X a X a X a X a

unde 0 1 1, , ..., na a a K in

a K se numesc coeficienii polinomuluif .

na este coeficientul dominantiar 0a este termenul liber.

Mulimea polinoamelor cu coeficieni n Kse noteaz K X .

Dou polinoame 20 1 2 ... n

nf a a X a X a X i

20 1 2 ...

m

mg b bX b X b X sunt egaledac au acelai grad n m

i 0 0a b , 1 1a b , 2 2a b ,..., m na b .

Numrul 2

0 1 2 ... n

nf a a a a

se numete valoareapolinomului f n K .Elementul K este o rdcina polinomului f dac 0f

Funcia :f K K , 20 1 2 ... n

nf x a a x a x a x se numete

funcia polinomialataat polinomului f .Polinomul cu toi coeficienii nuli se numete polinom nul.Suma a dou polinoamefigse efectueaz adunnd termenii

asemenea .Are loc relaia ( ) max( ( ), ( ))grad f g grad f grad g Produsula dou polinoame se efectueaz nmulind fiecare termen

din primul polinom cu fiecare termen din al doilea polinom .Are loc relaia ( ) ( ) ( )grad f g grad f grad g


2/10


EXERCIII PROPUSE

1) S se calculeze f g , f g , 3 2f g pentru polinoamele,f g X : a)

24 3 2f X X , 4 1g X ; b) 21 2 3f X X ,23 2X ; c) 2 43 2 4f X X X , 2 33 2g X X X ;

d) 2 42 2 4f X X X , 3 24 4g X X X ;

2) S se efectueze produsul polinoamelor ,f g K X i s sedetermine ( )grad fg :a) 2f X , 3 2g X , ,f g X ; b)

21 3f X X ,21 3 2X X , ,f g X ; c) 2f X ,

2 3 1g X ,

4,f g X ; d)2 1 6f X X , 2 3 4 5 2g X X , 12,f g X ;

3) Se consider polinomul 4 2f X mX n , unde ,m n . S sedetermine ,m n , tiind c polinomul f admite rdcinile 1 0x i

2 1x

.4) Se consider 3 2 5 14f X aX X X . S se determine

a astfel nct f s admit rdcina 1 2x .

5) Se consider 5 3 5 3 3 3 4f X X X X . S se calculeze

0 1f f .6) Se consider polinomul 3 21 3 3f X m X X X . S se

determine m astfel nct f s admit rdcina 1 3x .

7) Se consider polinomul4 3

1f X aX X , unde a . S sedetermine atiind c 1x este rdcin a polinomului f .8) Fie polinoamele cu coeficieni reali 4 3 228 96f X aX X bX , 2 2 24g X X i 2 22 24 4h X X X .a) S se scrie forma algebric a polinomului h;b) S se determine ,a b astfel nct polinoamele f i hs fie egale


2. Teorema mpririi cu rest , mprirea polinoamelor

BREVIAR TEORETICTEOREMA MPRIRII CU REST A POLINOAMELOR

Fie ,f g K X , 0g . Atunci exist polinoamele unice

,q r K X astfel nct f g q r i ( ) ( )grad r grad g .

Polinomul f se numete demprit, polinomul gestempritorul, polinomul qeste ctul, iar polinomul rse numeterestul.

Dac 0r adic f g q atunci spunem c polinomul f se divideprin polinomul g( sau c f este multiplu de g) sau gdivide f ( saugeste divizor al lui f )

Dac f se divide prin gatunci scriem f g sau g f .

OBSERVAIETeorema este adevrat i n A X

, unde A este inel comutativ

cu element unitate cu condiia cam

b , coeficientul dominant al lui g, sfie inversabil .EXEMPLE : 1)

2) mprire ntr-un inel cu coeficientul dominant al mpritoruluiinversabil .

3 2 2 3 2 1f X X X , 2 5 2g X X , 6,f g X


3/10


3)4 2

4 3 3 2f X X X

,

2

6

2 3 1g X X X

62mb U nu funcioneaz algoritmul de la teorema mpririi

cu rest cnd ctul i restul erau unice .Totui scriem egalitatea 4 2 2 4 3 3 2 (2 3 1)X X X X X q r unde ( ) ( ) ( ) 4 2 2grad q grad f grad g 2q aX bX c i

( ) ( ) 2rad r grad g r mX n , 6, , , ,a b c m n 4 2 2 2 4 3 3 2 (2 3 1)( )X X X X X aX bX c mX n 4 2 4 3 2 3 2 2 4 3 3 2 2 2 2 3 3 3X X X aX bX cX aX bX cX aX

bX c mX n Prin identificarea coeficienilor obinem sistemul :

4

3

2

0

2 4 2 3 0

2 3 3 3 3

2

aX

b aX

X c b a

X c b mX

c n

. Sistemul are cel puin dou soluii :

2, 3, 2, 0, 0a b c m n 2 (2 3 2)f g X X

2, 3, 5, 3, 3a b c m n 2 (2 3 5) 3 3f g X X X


EXERCIII PROPUSE

1) Se consider polinomul 3 29 9f X X X . S se determine ctuli restul mpririi polinomului f la 2 1X .2) n mulimea X se consider

4 3 2 1f X X X X i2 1g X X . S se determine ctul i restul mpririi lui f la g.

3) Se consider ,f g X ,10 10

( 1) ( 2)f X X i2 3 2g X X . S se determine restul mpririi lui f la g.

4) Fie 5 3 3 3 3 4f X X X , 3 2 5 3 3 2 3g X X X X . S

se determine ctul mpririi lui f la g.5) Se consider polinoamele 2 12 35f X X i

2009( 6) 6g X X . S se determine restul mpririi polinomuluigla polinomul f .

6) Se consider polinomul f X ,3 22 8f X X aX . Pentru

4a s se determine ctul i restul mpririi polinomului f lapolinomul 2 2 4g X X 7) Se consider polinomul 4 3 2f X X aX bX c , unde , ,a b c .a) Pentru 1a c i 1b s se determine ctul i restul mpririipolinomului f la 2 1X .b) S se determine numerele , ,a b ctiind c restul mpririi lui f la

2 1X este X iar restul mpririi lui f la 1X este 1 .8) Determinai ctul i restul mpririi polinomului f la gn inelulprecizat :

a) 4 3 2 1f X X X X , 2 1g X X n X ;b) 5 4 23 2 3 2 3f X X X X , 3 23 2 3 2g X X X X

c) 7 5 4 23 4 5 3 2f X X X X X , 3 1g X X ;

d) 3 22 4 (1 ) (1 )f iX X i X i , 2 (1 )g iX X i X

e) 7 6 5 4 3 2 2 2 2 2f X X X X X X X ,5 3

3g X X X X


4/10


3. mprirea cu X a , schema lui Horner ,

BREVIAR TEORETICTEOREMA RESTULUI

Restul mpririi polinomului f K X , 0f , prin polinomul

g X a K X este egal cu f a

SCHEMA LUI HORNERFie 11 1 0...n n

n nf a X a X a X a K X

, g X a K X

i 1 21 2 1 0...n n

n nq b X b X bX b

i r K ctul i respectiv restul

mpririi lui f la g.Ctul qi restul rse obin alctuind urmtoarea schem :


EXERCIII PROPUSE

1) Se consider polinoamele ,f g K X . S se determine restul

mpririi lui f la g, n cazurile :

a) 3 23 4 11f X X , 1g X , ,f g X ;

b) 4 23 1f iX X i , g X i , ,f g X ;

c) 4 3 3 2 2 1f X X X , 2g X , 5,f g X ;

2) S se determine restul mpririi polinomului3 23 7 2 3f X X X X la polinoamele 1X i 2X .

3) S se efectueze mpririle prin schema lui Horner :a) 3 25 6 11f X X X , 2g X , ,f g X ;

b) 4 3 23 3 3 9f X X X X , 3g X , ,f g X ;

c) 4 23 11 7 1f X X X , 1g X , ,f g X ;

d)4 3 2

(1 ) 2 2f X i X iX i , g X i , ,f g X .4) S se determine numerele reale , ,m n ptiind c polinomul

3 2f X mX nX p d acelai rest cnd este mprit cu 1X ,2X i 3X i ( 1) 0f .

5) Fie 3 2f mX X nX p . S se determine coeficienii reali, ,m n pastfel nct polinomul f mprit la 1X s dea restul 4 ,

mprit la 2X s dea restul 5 i mprit la 1X s dea restul 0 6) Efectuai folosind schema lui Horner mpririle de polinoame :

a) 3,f g X

,3 2

2 2 1f X X X ,1g X ;

b) 5,f g X ,4 2 2 3 4 2f X X X , 2g X ;

c) 5,f g X ,4 2 3 2 3f X X X , 2g X ;

d) 7,f g X ,6 5 2 6 2 6 5f X X X X , 2 1g X ;


5/10


4.Teorema lui Bezout , DivizibilitateBREVIAR TEORETICDEFINIIE

Conform teoremei mpririi cu rest f g q r , unde f estedempritul , geste mpritorul , qeste ctul i reste restul .Dac 0r adic f g q atunci spunem c polinomul f se divide

prin gi scriem f g .f se dividepring(f g ) f este multiplu deggdividepef (g f) geste divizor al luif .

TEOREMA FACTORULUI (BZOUT)Un element a K este rdcin a polinomului f K X

X a f

OBS. Dac ( )grad f n i ( ) 0i

f a adici

a rdcin a lui f , 1,i n ,atunci 1 2( )( )...( )nf a X a X a X a

DEFINIIEElementul a K este rdcin de ordin p pentru polinomulf K X dac ( )

pf X a dar 1( )pf X a .

TEOREMFuncia f are pe aca rdcin multipl de ordin p

( 1)( ) ( ) ( ) ... ( ) 0pf a f a f a f a dar ( )( ) 0pf a , p .TEOREM

Fie ,f g K X . f g orice rdcin a lui geste rdcin i

a lui f avnd i pentru acesta un ordin de multiplicitate cel puin egalcu cel pe care l are pentru polinomul g.


EXERCIII PROPUSE1) S se determine parametrul mastfel nct f s se divid prin g

folosind teorema lui Bzout n cazurile urmtoare :a) 3 2( 1) 2 3 1f X m X mX m , 1g X , ,f g X ;

b) 4 3(2 1) 3 2f mX m X mX m , 2g X , ,f g X ;

c) 3 2( 1) (2 )f m X m i X mX m i ,g X i , ,f g X ;

d) 3 2 1, , ,f X mX X g X i f g X ;

e) 6 24 , 2, ,f X X mX g iX f g X ;

f) 4 3 2 4 2 1, 2, ,f X X mX m g X f g X ;

g) 5 4 2 5 4 ( 1) 3 3, 3, ,f X m X X g X f g X ;

2) Fie polinoamele 3 2 1f X aX X i 3g X din inelul 5 X

S se determine 5a astfel nct polinomul f s fie divizibil cu g.

3) Se consider polinoamele ,f g X ,10 10( 1) ( 2)f X X i

2 3 2g X X . S se demonstreze c f nu este divizibil cu g.4) Se consider 4 3 2 5 6f X aX bX X X i

3 2g X X X . S se determine ,a b astfel nct f g .

5) Se consider polinomul 3 211 7f mX X X m X . S se

determine m astfel nct f s fie divizibil cu 1g X .6) Se consider f X ,

4 3 23 6 4f X aX a X X . S se

determine a astfel nct f s fie divizibil cu 2X .

7) Fie polinomul 3 2 4f X aX aX X . S se determine a astfel nct f s fie divizibil cu 2 2X .8) n mulimea X se consider polinomul

3 2 1f X pX . S se

determine p pentru care polinomul f este divizibil cu 1X .


6/10


5.Cmmdc , cmmmc , descompunerea n factori ireductibiliBREVIAR TEORETIC

1) Polinomul heste divizor comunal f i gdac h f i h g.

2)f este multiplu comunpentru gi hdac g fi h f .

3) Polinomul d K X se numete un cel mai mare divizor

comun al polinoamelor ,f g K X dac :

d este divizor comun al polinoamelor f i g.

d K X divizor comun pentru f i gatunci d d

4)Polinomul D K X se numete un cel mai mic multiplu comun

al polinoamelor ,f g K X dac :

Deste multiplu comun al polinoamelor f i g

D K X multiplu comun pentru f i gatunci D D

OBS. Are loc relaia . . . . .( , ) . . . . .( , )c m m d c f g c m m m c f g f g .

Dou polinoame ,f g K X se numesc relativ primedac. . . . .( , ) 1c m md c f g .

Cel mai mare divizor comun pentru dou polinoame se poate calculaprin algoritmul lui Euclid: . . . . .( , )c m m d c f g este ultimul polinom nenuldin irul 1 2, , , , ..., , 0nf g r r r unde 1reste restul mpririi lui f la g, 2r este restul mpririi lui gla 1r, etc .

1)Polinomul f K X se numete reductibilpeste corpul Kdac

exist polinoamele ,g h K X de grad cel puin 1, astfel nct

f g h .2)Un polinom f K X , ( ) 1rad f , care nu este reductibil

peste K , se numete ireductibilpeste K .CRITERII DE IREDUCTIBILITATE :I. Peste corpul K :

1)Orice polinom f K X , ( ) 1rad f este ireductibil peste K


2)Dac un polinom f K X , de grad cel puin 2 , este

ireductibil peste Katunci el nu are rdcini n K .3)Dac f K X are gradul 2 sau 3 i nu are rdcini n K

atunci el este ireductibil peste K .II. Peste corpul :

Polinomul f X este ireductibil peste ( ) 1rad f

III. Peste corpul :Polinomul f X este ireductibil peste ( ) 1rad f sau

( ) 2rad f dar 0 ( deci polinomul nu are rdcini reale )TEOREMA DE DESCOMPUNERE N PRODUS DE POLINOAMEIREDUCTIBILE :

Polinomul f K X se poate scrie ca produs de polinoame

ireductibile peste K .C:Dac f X , ( ) 1grad f n descompunerea ca produs de

polinoame ireductibile peste este 1 2 ...n nf a X x X x X x unde 1 2, , ..., nx x x sunt rdcinile lui f iar na este coeficientuldominant al polinomului f ..


7/10


8/10


EXERCIII PROPUSE1) S se arate c polinomul 4 3 22 10 18 9f X X X X admiterdcina 0 3x .2) Se consider polinomul 4 2f X mX n , unde ,m n . Rdcinilepolinomului sunt 1 2 3 4, , ,x x x x . S se determine m astfel nctrdcinile polinomului s verifice relaia 2 2 2 21 2 3 4 2x x x x .

3) Pentru ce valori ale parametrului real m, polinomul3 23 4 11f X X X m are rdcina 0 3x ?4) Se consider polinomul 3 29 9f X X X care are rdcinile

1 2 3, ,x x x . S se verifice c3 3 3 2 2 2

1 2 3 1 2 39( ) 18x x x x x x .5) Determinai ordinul de multiplicitate al rdcinilor indicate alepolinomului g: a) 3 26 12 8g X X X , 0 2x ;b) 4 3 22 3 4 4g X X X X , 0 1x ;

6) Se consider polinomul 3 211 7f mX X X m X . Pentru

9m s se calculeze suma ptratelor rdcinilor polinomului f .7) Se consider polinomul 3 2 5 14f X aX X X .

a) S se determine numrul raional aastfel nct f s admitrdcina 1 2x ;

b) Pentru 4a s se rezolve ecuaia 0f x .

c) Pentru 4a s se demonstreze egalitatea 3 2 142 4 5S S S unde 1 2 3

n n n

nS x x x

8) Determinai ,m n astfel nct polinomul 4 23h X X mX n s aib rdcina dubl 2x .

9) Se consider f X , 4 3 2( 3) 6 4f X aX a X X careare rdcinile 1 2 3 4, , ,x x x x . S se determine a astfel nct

1 2 3 4 3x x x x .

10) Se consider polinomul 3 2( 1) 3 3f X m X X X . S se

determine m astfel nct suma rdcinilor polinomului s fie egalcu 1 .


7.Rezolvarea ecuaiilor algebrice n , , , BREVIAR TEORETICTEOREM

Fie f X , 0f . Dac 0 , 0x a bi b este o rdcin ,

complex a lui f , atunci :1) 0x a bi este de asemenea o rdcin complex a lui f .

2) 0x i 0x au acelai ordin de multiplicitate .COROLAR

1) Orice polinom cu coeficieni reali are un numr par de rdcinicomplexe care nu sunt reale .

2) Orice polinom cu coeficieni reali de grad impar are cel puin ordcin real .TEOREM

Fie , 0f X f . Dac 0 , , , 0,x a b a b b b este

o rdcin ptratic a lui f , atunci :

1) 0x a b este , de asemenea , o rdcin a lui f ( numitconjugata ptratic a lui 0x );

2) 0x i 0x au acelai ordin de multiplicitate .TEOREM

Fie 0 1 ... , 0,n

n nf a a X a X a f X .

1) Dac 0x q ( p i qnumere prime ntre ele ) este o rdcin

raional a lui f, atunci :

a) pdivide termenul liber ( 0p a ) ;b) q divide coeficientul dominant al polinomului f (

nq a ) .

2) n particular , dac 0x p este o rdcin ntreag a lui f ,

atunci p este divizor al termenului liber ( 0a ) ;


9/10


EXERCIII PROPUSE

1) S se determine soluiile ale ecuaiilor i s se rezolve acesteecuaii :a) 3 22 5 6 0x x x ; b) 3 23 4 0x x ; c) 4 22 3 2 0x x x ;d) 4 29 4 12 0x x x ;2) S se determine parametrul a i s se rezolve ecuaia , tiind c

are soluii numere ntregi :a) 3 23 1 0x x ax ; b) 3 2 2( 1) 2 0x a x a x ;3) S se determine soluiile numere raionale ale ecuaiilor :a) 3 212 8 13 3 0x x x ; b) 4 3 22 1 0x x x x ;4) S se rezolve ecuaiile algebrice tiind soluia dat :a) 3 24 3 2 0x x x , 1 1 2x ;

b) 4 3 24 2 4 1 0x x x x , 1 2 3x ;5) S se rezolve ecuaiile n , n condiiile date :a) 3 22 2 1 0x x x ,

1x i ;

b) 4 3 23 5 3 4 2 0x x x x , 1 1x i ;6) S se determine ,a b pentru care 3 2f X X aX b X

a) are rdcina 1 1 2x ; b) are rdcina 1 1x i ;7) S se determine soluiile ntregi ale ecuaiilor :a) 4 3 25 6 0x x x x ; b) 4 3 2 2 0x x x x ;8) S se determine soluiile raionale ale ecuaiilor :a) 3 22 3 6 4 0x x x ; b) 5 4 3 22 4 4 5 6 0x x x x x ;c) 4 3 24 8 7 8 3 0x x x x ; d) 4 24 7 5 1 0x x x ;

e) 4 3 212 16 4 1 0x x x x ;9) S se rezolve ecuaia 3 2 1 0x ax bx tiind c ,a b i cadmite o soluie dubl numr ntreg .10) Fie 3 2 1f X X mX . S se arate c pentru orice numr parm , polinomul f nu are rdcini raionale .


8. Ecuaii reciproce i biptrateBREVIAR TEORETICDEFINIIE

O ecuaie de forma 2 0, , , , 0,n naz bz c a b c a n senumete ecuaie biptrat.Metod de rezolvare pentru ecuaia biptrat

Se noteaz nz t i se rezolv ecuaia 2 0at bt c . Se obin

soluiile 1 2,t t . Se revine la substituie i se rezolv ecuaiilebinome 1 2,

n nz t z t . Reuniunea acestor soluii constituie mulimeade soluii a ecuaiei date .DEFINIIE

O ecuaie de forma 11 1 0... 0n n

n na x a x a x a

, 0

na

pentru care , 0n i i

a a i n

( termenii egal deprtai de extremi aucoeficienii egali ) se numete ecuaie reciprocde gradul n.EXEMPLE

3 2 0, 0ax bx bx a a dac 3n ;4 3 2 0, 0ax bx cx bx a a dac 4n ;5 4 3 2 0, 0ax bx cx cx bx a a dac 5n ;

Metod de rezolvare a ecuaiilor reciproce

Dac gradul ecuaiei reciproce este impar atunci ea admitesoluia 1x .

Rezolvarea ecuaiei reciproce de gradul 4 se face mprindecuaia prin 2x ( se poate mpri deoarece 0x nu este soluie a

ecuaiei ) i obinem : 22

1 1 0a x b x c xx

.

Se noteaz 1x yx

2 22

1 2x yx

i se scrie ecuaia n

funcie de ycu soluiile 1 2,y y .

Revenim la substituie i rezolvm ecuaiile 11

x yx

i

21

x yx

. Toate soluiile acestor ecuaii sunt soluiile ecuaiei date .


10/10


EXERCIII PROPUSE

1) S se rezolve ecuaiile n mulimea :a) 4 24 13 9 0x x ; b) 4 29 25 16 0x x ; c) 4 216 65 4 0x x ;2) S se rezolve n mulimea , ecuaiile reciproce :a) 3 27 7 1 0x x x ; b) 3 22 3 3 2 0x x x ;c) 4 3 27 12 7 1 0x x x x ; d) 4 3 22 3 10 3 2 0x x x x ;

3) S se rezolve ecuaia reciproc de gradul 5 , n mulimea :5 4 3 22 2 0x x x x x ;

4) S se rezolve ecuaiile biptrate :a) 4 210 9 0x x ; b) 4 217 16 0x x ; c) 4 26 5 1 0x x ;d) 4 234 12 1 0x x ; e) 4 26 6 0x x ; f) 4 24 3 0x x ;5) S se rezolve n ecuaiile reciproce de gradul 3 :a) 3 22 3 3 2 0x x x ; b) 3 23 2 2 3 0x x x ;c) 3 25 5 1 0x x x ; d) 3 26 6 0x x x ;e) 3 24 3 3 4 0x x x ; f) 3 25 31 31 5 0x x x ;

g)3 2

2 2 0x x x ; h)3 2

5 31 31 5 0x x x ;6) S se rezolve n ecuaiile reciproce de gradul 4 :a) 4 3 22 7 9 7 2 0x x x x ; b) 4 3 22 2 0x x x x ;c) 4 3 24 1 0x x x x ; d) 4 3 218 1 0x x x x ;e) 4 3 23 2 3 1 0x x x x ; f) 4 3 22 6 2 1 0x x x x ;7) S se rezolve n ecuaiile reciproce :a) 5 4 3 22 3 2 2 3 2 0x x x x x ;b) 5 4 3 23 2 2 3 1 0x x x x x ;c) 5 4 3 25 4 5 5 4 5 0x x x x x ;d) 6 5 4 3 23 2 3 1 0x x x x x x ;

XII 2013-14 3 Inele de Polinoame

Documents

Transcript of XII 2013-14 3 Inele de Polinoame