S.S.M.R. FILIALA CORABIA INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂDANUBIUS

EDIŢIA a XI-a – 6 mai 2017Clasa a V-a

Problema 1.

a) Calculati : 2017 ∙2018−2017 ∙2016−2 ∙2016. b) Scrieti numarul 20172017 ca o suma de doua patrate perfecte. c) Scrieti numarul 20172017ca o suma de 2017 numere naturale consecutive.

***

Problema 2..Determinati numerele naturale ab pentru care numarul A=ab+2 ∙ ba+3a+4b este patrat perfect.

Gazeta matematica 3/ 2017

Problema 3Pe o tabla sunt scrise numerele 20,21,22,… ,22017. Un elev sterge la intamplare doua numere de pe tabla si le inlocuie cu suma lor.Repeta procedeul pana cand pe tabla ramane scris un singur numar. Demonstrati ca numarul ramas pe tabla este divizibil cu 3.

Nicolae Tomescu, Corabia

Problema 4.Aratati ca exista o infinitate de numere de forma 7a+7b+7c+7dcu a ,b , c , d∈N care sunt patrate perfecte,si ca niciun numar de forma 9x+9y+9zcu x , y , z∈N nu este patrat perfect.

Daniel Cojocaru, Slatina

Nota-Toate subiectele sunt obligatorii -Timp de lucru 2 ore 30 minute -Fiecare problema este notata de la 0 la 7

S.S.M.R. FILIALA CORABIA INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂDANUBIUS

EDIŢIA a XI-a – 6 mai 2017Clasa a V-a

Problema 1 a) Calculati : 2017 ∙2018−2017 ∙2016−2 ∙2016.

b) Scrieti numarul 20172017 ca o suma de doua patrate perfecte.c) Scrieti numarul 20172017ca o suma de 2017 numere naturale consecutive.

***

Barem de corectare:a) Avem: 2017 ∙ (2018−2016 )−2∙2016=2017 ∙2−2∙2016=2 (2017−2016 )=2

………………………………………………………………………...1p

b) 20172017=20172016∙2017=20172016 ∙ (1936+81 )=20172016 (442+92 )=¿

20172016 ∙442+20172016 ∙92=( 20171008 ∙44 )2+( 20171008 ∙9 )2……….3p

c)

20172017=20172016∙2017=20172016+20172016+…+20172016⏟de 2017ori

=( 20172016−1008 )+(20172016−1007 )+…+(20172016−1 )+20172016+(20172016+1 )+…+ (20172016+1007 )+(20172016+1008 )

…………..3p

Problema 2 .Determinati numerele naturale ab pentru care numarul A=ab+2 ∙ ba+3a+4b este patrat perfect.

Gazeta matematica 3/ 2017

Barem de corectare:Descompus in baza 10, numarul A se mai poate scrie: A=15a+25b=5 (3 a+5b ) …..…2p

Cum A este patrat perfect, avem A=5k2 , k∈ N ¿ rezulta ca 3a=M 5 si a cifra nenula, de unde a=5………………………………………………………………………………………………2p

Avem A=25(3+b ) este patrat perfect,rezulta 3+b este patrat perfect ,rezulta b∈ {1,6 }… ….2p

Am obtinut ab∈ {51,56 } ……………………………………………………………………....1p

Problema 3

Pe o tabla sunt scrise numerele 20,21,22,… ,22017. Un elev sterge la intamplare doua numere de pe tabla si le inlocuie cu suma lor.Repeta procedeul pana cand pe tabla ramane scris un singur numar. Demonstrati ca numarul ramas pe tabla este divizibil cu 3.

Nicolae Tomescu, Corabia

Barem de corectare:Numarul ramas pe tabla este S=20+21+22+…+22017. ………………………………2p

El se mai poate scrie:S= (1+2 )+ (22+23 )+ (24+25 )+…+(22016+22017 )=¿…....1p

(1+2 )+22 (1+2 )+24 (1+2 )+…+22 ;016 (1+2 )=3 (1+22+24+…+22016)….3p

De unde S ⋮ 3………………………………………………………………………………….1p

Problema 4.Aratati ca exista o infinitate de numere de forma 7a+7b+7c+7dcu a ,b , c , d∈N care sunt patrate perfecte,si ca niciun numar de forma 9x+9y+9zcu x , y , z∈N nu este patrat perfect.

Daniel Cojocaru, Slatina

Barem de corectare:Luam a=2k, b=2k+1, c=2k+2, d=2k+3,k∈N………………………………………………. 1p

Avem :

7a+7b+7c+7d=7k+72k+1+72k +2+72k+3=72 k ( 1+7+72+73 )=72k ∙400=(7k ∙20 )2

……………………………………………………………………………………. 2p

Cum k∈N , avem o infinitate de numere care sunt patrate perfecte………………………….1p

9x+9y+9z= (8+1 )x+ (8+1 ) y+ (8+1 )z=M 4+3……………………………….2p.

Cum niciun patrat perfect nu poate avea forma 4k+3 rezulta ca nu exista patrate perfecte de forma 9x+9y+9z………………………………………………………………………….. 1p