Gheorghe M.Panaitescu

MODELAREA SI SIMULAREA SISTEMELOR DE PRODUCTIE

Note de curs

Universitatea “Petrol-Gaze” Ploiesti 2006

P R E F A

Lucrarea prezent este suportul de curs al disciplinei Modelarea si simularea sistemelor de productie si este destinat studentilor de la specializarea Inginerie economic în domeniul mecanic (IEDM), cursuri de zi dar si celor care urmeaz forma de înv t mânt la distant .

Exist si o versiune special a acestor Note de curs dedicat înv t mântului la distant , versiune care se aliniaz instructiunilor de redactare elaborate de CNEAA.

Versiunea curent a acestui curs cumuleaz o experient dinamic care se m soar în peste 10 ani de predare. An de an cursul a suferit modific ri, de aceea a fost mentinut în form electronic . Modific rile si îmbun t tirile cele mai recente constau în suplimentarea cu un num r de exemple de modele si de calcule de simulare a unor sisteme de productie sau a unor p rti ale lor.

Acest suport de curs este acompaniat de un volum separat de Aplicatii si teste,care contine un num r de teme si probleme propuse a fi solutionate în orele de aplicatii sau la preg tirea individual precum si câteva teste de autoevaluare.

Pentru efectuarea calculelor necesare rezolv rii unor aplicatii noi sau pentru verificarea exemplelor din corpul cursului, uneori este suficient un calculator de buzunar. Pentru calculele mai complexe autorul pune la dispozitia studentilor câteva programe de calcul (unele realizate chiar de autor) usor de instalat si de operat pe orice calculator personal. Cititorul g seste o prezentare a acestor programe în anexa volumului de Aplicatii si teste.

i

ii

C U P R I N S

INTRODUCERE 1

MODELE LINIARE DE TIP DETERMINIST 5

Programarea liniar

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILIT TILOR SI DE STATISTIC MATEMATIC 13

Spatiul evenimentelorProbabilit ti, probabilit ti conditionate Variabile aleatoare Generarea de numere aleatoare Raportul experiment-lege de repartitie teoreticO aplicatie la fiabilitatea sistemelor de productie Estimarea si verificarea parametrilor legii de repartitie teoretice Selectie, parametri de selectie Ipoteze asupra parametrilor unei legi de repartitie normalePrelucrarea datelor experimentale. Modele matematico-statisticeEstimarea de parametri în relatii-model algebrice Metoda celor mai mici p trateUtiliz ri ale modelelor de natur statistic

PROCESE MARCOV 37

O problem tipicProcedura de obtinere a solutiei Schimb riComportarea pe termen lung ComentariiSurse de date Estimarea matricei de tranzitie – dou perioade Estimarea matricei de tranzitie – perioade multipleUn exemplu mai complicat

iii

GRAFURI SI APLICATII ALE GRAFURILOR 49

Generalit ti si definitiiAnaliza drumului critic Metoda de analiz a drumului critic CPM cu reducere de durate. Problema drumului critic în conditii de incertitudine Fluxuri prin retele

ELEMENTE DE TEORIA DECIZIILOR 67

Algoritmi de decizie simpliArbori decizionali

SISTEME CU ASTEPTARE 77

Procesul sosirilor Mecanismul servirilor Caracteristicile cozilor Sistem cu sosiri simple si un unic post de servire Sistem cu sosiri multiple si nelimitate si o singur statie de servire Sisteme cu mai multe posturi de servire în paralel Siruri cu asteptare în serie Lucrul în ateliere, asteptarea serie si paralel

SIMULAREA 89

Un exemplu de simulareUn exemplu mai complicatSchimbarea sistemului

PROGNOZE 103

Tipuri de probleme si metode de prognozare Metode calitative Metode regresionale Metode cu mai multe ecuatii Serii temporale, analiz si metode

iv

RETELELE PETRI – MODELE PENTRU SISTEMELE DE PRODUCTIE FLEXIBILE 115

Introducere în teoria retelelor Petri Semantica retelelor Petri InvariantiInvarianti în pozitii Invarianti pentru tranzitii ConflicteParalelismViabilitateM rginire, sigurantMarcaje accesibile Timpi asociati cu pozitiile si tranzitiile Tranzitii de intrare si de iesire Reguli de functionare Competitie si sincronizare Mecanisme de control Retele Petri speciale. Asincronism, masini de stare si automateGrafuri cu evenimente temporizate

METODE NECONVENTIONALE ÎN MODELAREA SI SIMULAREA SISTEMELOR DE PRODUCTIE 135

Retele neuronale Retele neuronale artificiale stratificateProceduri de instruire pentru retelele neuronale cu baze de functii radiale Metode de stabilire a extremelor unei functiiAlgoritmi genetici

B I B L I O G R A F I E 151

v

vi

INTRODUCERE

Sistemele economice, la scar mic sau la scar mare au propriile lor legi cantitative care într-o economie normal , de piat nu pot fi ignorate si ar fi irational si contraproductiv s fie ignorate. Istoric, legile acestea, mai simple sau mai complicate au fost sesizate de timpuriu si au fost mai întâi obiectul observ rii experimentale în scopul acumul rii unor reguli empirice de a produce eficient, de a cheltui rezonabil si de a avea un profit bun în urma uneia sau alteia din activit tile de producere de bunuri destinate pietii sau de servicii. Mai apoi, în ultimii vreo 75 de ani, inginerii si economistii, pe baza unei matematici particulare si sustinuti uneori nemijlocit de matematicieni au trecut la studii sistematice asupra comport rii sistemelor economice, studii orientate în mare m sur spre crearea unor modele matematice care s cuprindfenomenele specifice si s permit anticiparea, eventual îmbun t tireaperformantelor economice.O parte din preocup rile acestea s-au desf surat în anii premerg tori si pe durata ultimului r zboi mondial, sub forma unor studii asupra eficacit tiiactiunilor de lupt . Ulterior, dar nu foarte târziu, s-a observat c multe din rezultatele de utilitate militar obtinute în acea perioad sunt utilizabile si în domeniul economic. De aceea multe subiecte din cele reg site în literatura din domeniu – la care cursul de fat încearc a face o referire concis si din care realizeaz si o sintez fatalmente partial – se înscriu sub genericul cunoscut ca Cercetarea operational , cuvântul al doilea al sintagmei provenind chiar de la operatii (militare) dar fiind nu mai putin adecvat unor operatii de natureconomic .Modelele prezentate în acest volum sunt în parte de tip determinist, în parte de tip stochastic, uneori un acelasi model continând în proportii variate atât aspecte deterministe cât si aspecte aleatoare, stochastice. Modele de tip determinist sunt f r îndoial utile si de aceea primul capitol al lucr rii are ca subiect central modelele liniare de tip determinist si mijlocul de tratare larg utilizat, metoda program rii liniare.Modelele deterministe sau p rtile deterministe ale modelelor hibride determinist-stochastice sunt mai degrab simplific ri ale realit tii. Nu pot fiignorate aspecte care în viata real sunt fluctuante, sunt înafara exprim rii prin numere exacte, sunt observabile dar trebuie tratate având în vedere mai multevalori pe care le pot lua aparent la întâmplare, incontrolabil. De aceea, în lucrare, urmeaz un capitol consistent de probabilit ti si de statisitic

1

matematic util în întelegerea capitolelor urm toare prin notiunile pe care le introduce sau le reaminteste.O serie de realit ti ale sistemelor economice tin seama de “istorie”: ce se întâmpl la un moment dat depinde într-o manier sau alta de ceea ce s-a întâmplat în perioada sau perioadele premerg toare. Procesele Markov sunt modele aproape ideale pentru aceste sisteme economice. Un capitol este consacrat model rii proceselor economice ca procese Markov. Grafurile sunt modele de mare utilitate în modelarea sistemelor de productie. Problemele de conducere eficient a execut rii unor lucr ri de amploare,problemele de administrare judicioas a retelelor de transport sunt mai usor de înteles si de solutionat dac se utilizeaz teoria grafurilor. Un capitol este dedicat aplicatiilor acestor obiecte matematice, grafuri si retele, în modelareasistemelor de productie. Procesele de productie necesit uneori parcurgerea unui proces decizional preliminar sau de etap . Un capitol al lucr rii contine câtiva algoritmi de

elaborare a deciziilor. O aplicatie în domeniu o are categoria special de grafuri numiti arbori, sub forma arborilor decizionali. În foarte multe sisteme economice relatiile sunt de natura client-server. Clientii solicitatori de un anumit serviciu sau de o sum de servicii, persoane dar si piese, subansamble, echipamente întregi se pot afla în situatia de a astepta obtinerea serviciului necesar. Sistemele cu asteptare sunt obiectul unui capitol tocmai datorit importantei echilibr rii costurilor astept rii cu costurile servirii. Între modalit tile de simulare a sistemelor de productie, simularea aleatoare este de foarte mare utilitate în întelegerea sistemelor care includ aspecte stochastice. Un capitol al lucr rii este dedicat simul rii Monte Carlo. Programarea judicioas a productiei necesit si unele proiectii în viitor ale conditiilor de desf surare a procesului productiv. Sunt necesare, asadar, prognoze economice. Prognozele sunt tratate într-un capitol aparte. În ultimii ani se vorbeste foarte frecvent de sistemele de fabricatie flexibile.Flexibilitatea se refer atât la alternativele multiple de implementare posibile ale tehnologiei unui produs cât si la rapiditatea trecerii de la un tip de produs la altul într-un sistem cu aceleasi dot ri materiale. Retelele Petri sunt un model de foarte mare utilitate în proiectarea si operarea controlat a sistemelor flexibile de fabricatie. Un capitol întreg face referiri suficient de ample la acest gen de modele.Nu s-au evitat nici metodele mai noi de modelare si simulare a sistemelorproductive. Un ultim capitol al acestei lucr ri contine referiri concise la modelele de tipul retelelor neuronale si la mijloacele de rezolvare a unor probleme de modelare si conducere a sistemelor de productie pe baz de model.Lucrarea contine un num r de exemple de modele si exemple de calcule pe baza acestor modele.Aproape fiecare capitol are în partea final un num r de probleme propuse studentului spre rezolvare. Unele dintre acestea se pot rezolva “în vârful creionului”, adic nu este nevoie de mai mult decât un calculator de buzunar, uneori nici m car de atât. Altele necesit programe de calcul mai rafinate si, de

2

aceea, autorul pune la dispozitia studentilor, concomitent cu textul lucr rii de fat , câteva programe de calcul cu care se pot rezolva problemele din aceastcategorie (SP01, SP04, SP07). Fiec rui capitol i s-au atsat exercitii de autoevaluare sub forma unor întreb riînsotite de mai multe r spunsuri din care trebuie ales cel corect. La sfârsitul lucr rii sunt date spre verificare r spunsurile corecte ale acestor exercitii. În completare, alte exemple numerice sunt propuse pentru orele de aplicatii. Ghidul de lucr ri la disciplina Modelarea si simularea sistemelor de productie reprezint o surs important de probleme de solutionat. Înc maibogate sunt sursele bibliografice indicate. În siteza celor scrise mai sus, se poate afirma c lucrarea prezent este un suport utilizabil în cunoasterea problemelor principale ale model rii si simul riisistemelor de productie si un start consistent în aprofundarea ulterioar a cunostintelor în domeniu.

3

4

MODELE LINIARE DE TIP DETERMINIST

Sistemele de productie sunt descrise adesea de sisteme de relatii liniare. Liniaritatea se refer la calitatea relatiilor constitutive de a contine variabilele modelului, adesea numite variabile de decizie, exclusiv la puterea întâia.Exist , desigur, si sisteme de relatii modelatoare care nu sunt liniare în variabilele lor. Ele se pot în general liniariza prin formula lui Taylor cunoscutde la matematici, limitat la termenii de gradul întâi. Singura conditie care trebuie îndeplinit de fiecare din functiile componente ale modelului este aceea de a fi derivabile pân la ordinul al doilea inclusiv. Atunci formula

F(x1, x2, …, xn) = F(x10, x20, …, xn0) + n

i

ii

i

xxx

F

10 )( + R2

cu derivatele partiale evaluate în punctul (x10, x20, …, xn0) liniarizeaz functia pe un domeniu în jurul acestui punct, domeniu în care restul formulei, R2 este contextual tolerabil de mic.Modelele liniare prin natura lor sau cele obtinute prin liniarizarea unor ecuatii neliniare fac adesea obiectul unor preocup ri de optimizare. De mare utilitate în optimizarea sistemelor economice este metoda program rii liniare prezentat în continuare. Se-ntelege aproape de la sine c rezultatele optimiz rii pe modelecare contin ecuatii obtinute prin liniarizare trebuie tratate cu prudent , în sensul de a vedea dac este asigurat compatibilitatea cu ecuatiile originare neliniare. Problema optimiz rii se pune si pentru modele neliniare. Aceasta va fi adus în discutie ceva mai departe.

Programarea liniar

În matematic , programarea liniar este o metod de localizare a posibilelor extreme ale functiilor liniare într-un spatiu delimitat de suprafete exprimate la rândul lor prin ecuatii liniare. Au fost create metode robuste de a rezolva problemele de acest gen si exist implement ri bine puse la punct ale algoritmilor de calcul corespunz tori. Inevitabil, trebuie amintit aici algoritmulsimplex.Cum s-a spus deja, multe dintre modelele sistemelor de productie sunt prin natura lor liniare, iar multe altele pot fi aproximate pe zone mai largi sau mairestrânse ale spatiului variabilelor care le descriu, prin relatii liniare. Este de asteptat, asadar, ca multe probleme de optimizare legate de activitatea economic s fie tratate cu mijloacele puse la dispozitie cu generozitate de programarea liniar .

5

Formularea general a problemelor de programare liniar are în vedere o functie

obiectiv

c0 + c1x1 + c2x2 + … + cnxn

care trebuie minimizat (sau alteori maximizat ) prin stabilirea unor valori adecvate ale variabilelor de decizie x1, x2, …, xn care s respecte în acelasi timpun set de restrictii de forma

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn bm

în num r de m si, foarte frecvent, conditia de nenegativitate a valorilor varibilelor de decizie: x1 0, x2 0, …, xn 0. Desigur, inegalit tile pot fi uneori egalit ti, alteori pot fi inegalit ti în sensul cel lalt, mai mare sau egal, dar prin înmultirea cu –1, operatie permis , se pot aduce la forma de mai sus. Este de retinut un fapt: utilizarea program rii liniare este în mare m sur o problem cu multe aspecte de ordin practic. De aceea, f r alt amânare, sunt prezentate în continuare câteva exemple de probleme ale c ror solutii se pot obtine prin programare liniar .Exemplul 1. O problem de planificare a productieiO societate comercial realizeaz un produs în patru variante si în partea finala procesului de productie sunt necesare operatii de asamblare, de vopsire-lustruire si de împachetare. Pentru fiecare variant a produsului, operatiile mentionate consum durate diferite de la caz la caz si profitul specific este diferit asa cum se poate vedea în tabelul care urmeaz .

Operatii si durate (min)Varianta

AsamblareVopsire-lustruire

ÎmpachetareProfit(u.m.)

1 2 3 2 1,50

2 4 2 3 2,50

3 3 3 2 3,00

4 7 4 5 4,50

Dat fiind starea curent a fortei de munc angajate, se estimeaz c anual sunt disponibile 100.000 de minute pentru asamblare, 50.000 de minutepentru operatia de vopsire-lustruire si 60.000 de minute pentru împachetare.Câte unit ti fizice trebuie produse anual din fiecare variant si care ar fi profitul realizat? Admitând c exist posibilitatea de a decide liber asupra timpului dedicat celor trei operatii, în interiorul timpului alocabil total de 210.000 (= 100.000 + 50.000 + 60.000) minute, câte unit ti fizice trebuie produse anual din fiecare variant si care ar fi profitul realizat?

6

Desigur, produc torul este interesat ca profitul s fie cât mai mare.Problema reformulat în relatii. Fie xi (i = 1, 2, 3, 4) productia anual în unit tifizice din fiecare variant a produsului, fie Ta, Tvp, Tp num rul de minuteutilizate anual pentru asamblare, vopsire-lustruire, respectiv împachetare. Toate variabilele definite aici iau obligatoriu valori pozitive sau nule xi 0 (i = 1, 2, 3, 4), Ta 0, Tvp 0, Tp 0 si între ele au loc urm toarele relatii: Ta = 2x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 (timpul total consumat anual cu asamblarea)Tvp = 3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 (timpul total consumat anual cu vopsirea-lustruirea) Tp = 2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 (timpul total consumat anual cu împachetarea)În primul caz timpul disponibil specific pentru cele trei operatii este limitat si de aici rezult restrictiile

Ta = 2x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 100.000 Tvp = 3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 50.000 Tp = 2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 60.000

În cazul al doilea suma Ta + Tvp + Tp este limitat si din aceast limitare rezultrestrictia

Ta + Tvp + Tp = 7x1 + 9x2 + 8x3 + 16x4 210.000 Profitul este functia obiectiv si depinde de valorile variabilelor de decizie xi (i = 1, 2, 3, 4) conform relatiei

P = 1,5x1 + 2,5x2 + 3,0x3 + 4,5x4

Se poate observa usor similitudinea enuntului prezentat în acest paragraf cu formularea general a problemei prezentat în partea introductiv a acestei sectiuni.Exemplul 2. O problem de planificare financiarO banc acord clientilor s i patru tipuri de credite care aduc anual urm toareledobâzi:

Credite ipotecare initiale: 14% Credite ipotecare secundare: 20% Credite pentru îmbun t tiri ale locuintelor: 20% Credite pentru acoperirea dep sirilor de disponibil în cont: 10%

Banca are o capacitate de creditare estimat la 250.000.000 u.m. si îsi propune s fac fat urm toarelor elemente de politic vis-à-vis de clienti:

Creditele ipotecare initiale trebuie s fie de cel putin 55% din totalul creditelor ipotecare acordate si cel putin 25% din totalul creditelor acordate Creditele ipotecare secundare nu pot dep si 25% din totalul creditelor acordatePentru a evita disconfortul clientilor si/sau introducerea unor taxe surprizpe parcursul derul rii creditelor, dobânda medie pentru toate creditele acordate trebuie s nu dep seasc 15%

Cu toate c aceste m suri limiteaz profitul pe care banca l-ar putea avea, ele au menirea de a proteja banca fat de riscurile excesive pe care un aspect particular le-ar putea crea. De aceea, interesul b ncii este s maximizeze veniturile din dobânzile pretinse la credite, în conditiile respect rii politicii de creditare enuntate mai sus.

7

Si în cazul acestei probleme trebuie definite variabilele de decizie, restrictiile si functia obiectiv.Variabilele xi (i = 1, 2, 3, 4) sunt sumele pe care banca le acord pe cele patru categorii de credite, în ordinea din enunt. Valorile acestora nu pot fi negative, asadar xi 0 (i = 1, 2, 3, 4). Restrictiile vin din:

Suma total a creditelor x1 + x2 + x3 + x4 250

Conditia prim din politica b nciix1 0,55(x1 + x2)

x1 0,25(x1 + x2 + x3 + x4)Conditia a doua din politica b ncii

x2 0,25(x1 + x2 + x3 + x4)Conditia a treia din politica b ncii

0,14x1 + 0,20x2 + 0,20x3 + 0,10x4 0,15(x1 + x2 + x3 + x4)Relatiile restrictive care cuprind politica b ncii nu sunt, dup cum se vede, în forma standard. Înainte de rezolvare efectiv a problemei, acestea trebuie s fieaduse la forma standard. La acest moment forma standard ar afecta semnificatiaconcret a acestor relatii. Este de observat îns forma lor liniar .Functia obiectiv exprim venitul total din dobânzi

0,14x1 + 0,20x2 + 0,20x3 + 0,10x4

care trebuie maximizat.O solutie a problemei este x1 = 208,33, x2 = 41,67 si x3 = x4 = 0. Rezultatul acesta este obtinut pe calculator prin executia unui anumit program. Despre solutie se poate spune mai întâi c satisface toate restrictiile problemeiformulate mai devreme. Dar solutia aceasta nu este unic . O a doua solutie, x1=62,50, x2 = 0, x3 = 100, x4 = 87,50 satisface si ea toate restrictiile si conduce la aceeasi valoare maxim (de 37,5) ca si solutia prim , dup cum se poate verifica. Este de retinut din acest exemplu c o problem de programare liniarpoate admite uneori mai multe solutii cu valori ale functiei obiectiv egale. Exemplul 3. O problem de realizare a unor amestecuriUn produc tor de furaje are de rezolvat probleme de genul care urmeaz .Pentru vacile de lapte trebuie s sintetizeze un furaj prin amestecarea a douingrediente active într-un furaj standard de baz , care constituie componentaprincipal . Un kilogram de furaj-amestec trebuie s contin cantit ti minime din patru principii nutritive, dup cum urmeaz :

Principiulnutritiv

A B C E

g/kg 90 50 20 2

Componentele active contin principiile nutritive în proportii date si au anumitecosturi. Aceste valori sunt prezentate în tabelul urm tor:

8

A B C D Cost/kgIngredientul 1

(g/kg)100 80 40 10 40

Ingredientul 2 (g/kg)

200 150 20 – 60

Care ar trebui s fie cantit tile componentelor active si ale adaosului de completare într-un kilogram de furaj?Aici, variabilele sunt în num r de trei: x1 = cantitatea (kg) din ingredientul 1 într-un kilogram de furajx2 = cantitatea (kg) din ingredientul 2 într-un kilogram de furajx3 = cantitatea (kg) de furaj de baz într-un kilogram de furaj Aceste cantit ti nu pot fi negative: x1 0, x2 0, x3 0 si formeaz un gen de retet a prepar rii furajului conform normelor enuntate mai sus. Restrictiile au sursa în continutul minim recomandat al furajului în fiecare din principiile nutritive A, B, C si D

100x1 + 200x2 90 (principiul A) 80x1 + 150x2 50 (principiul B) 40x1 + 20x2 20 (principiul C) 10x1 2 (principiul D)

si în conditia de normalizarex1 + x2 + x3 = 1

Functia obiectiv este dat de costul retetei 40x1 + 60x2

care trebuie minimizat.Solutia problemei este x1 = 0,3667, x2 = 0,2667 si x3 = 0,3667 exprimat cu patru cifre dup virgul .Problema are posibile extinderi prin cresterea num rului de principii nutritive, prin cresterea num rului de ingrediente amestecate, prin modific ri ale limitelorde continut în principii active, prin tratarea variatiilor de costuri, oricând posibile, prin tratarea unor dificult ti în aprovizionare, prin includerea costului furajului de baz .Problemele legate de dieta uman pot fi tratate într-o manier similar .Exemplul 4. O alt problem de planificare industrialÎn conditii normale, o fabric produce pân la 100 de unit ti fizice dintr-un anumit produs în patru intervale de timp succesive (de pild trimestre) la costuri care se modific de la interval la interval conform tabelului de mai jos. Prin utilizarea unor ore suplimentare de lucru, se poate obtine un plus de productie. Cantit tile maxime si costurile sunt prezentate tot în tabelul care urmeaz , al turi de prognoza asupra cererii în fiecare din cele patru intervale. Este posibil a se depozita pân la 70 de unit ti fizice de la o perioad la alta la un cost de 1,5 u.m. (unit ti monetare) pe perioad (Num rul 1,5 u.m./perioadeste cunoscut sub numele de cheltuieli de stocare).

9

IntervalulCererea

(u.f.)

Costurinormale

(u.m./u.f.)

Productiepeste

capacitate(u.f.)

Costuri cu productia

suplimetar(u.m./u.f.)

1 130 6 60 92 80 4 65 63 125 8 70 104 195 9 60 11

Se cere determinarea productiei si planului de stocare care se potrivesc cererii în cele patru perioade în conditii de cost total minim. La începutul primeiperioade exist un stoc initial de 15 unit ti fizice (u.f.). Formularea acestei probleme ca o problem de programare liniar parcurge etapele urm toare:Variabile.Num rul de unit ti produse prin efort normal în cele patru perioade, xt (t = 1, 2, 3, 4) , xt 0 Num rul de unit ti produse prin efort suplimentar în cele patru perioade, yt (t = 1, 2, 3, 4) , yt 0 Num rul de unit ti în stoc la sfârsitul fiec rei perioade, It (t = 1, 2, 3, 4) Restrictii.Din limit rile de productie: xt 100 (t = 1, 2, 3, 4), y1 60, y2 65, y3 70, y4

60. Din limitarea sapatiului de stocare: It 70 (t = 1, 2, 3, 4) Din conditia de continuitate: stocul de închidere = stocul de deschidere + productia – cererea Se presupune c stocul de deschidere a perioadei t este egal cu stocul de închidere a perioadei premerg toare si c productia în intervalul t este de naturs acopere cererea din perioada t. Se scriu relatiile: I1 = I0 + (x1 + y1) – 130 I2 = I1 + (x2 + y2) – 80 I3 = I2 + (x3 + y3) – 125 I4 = I3 + (x4 + y4) – 195 cu I0 = 15. Ecuatiile de continuitate a stocului srise mai sus sunt tipice pentru problemelede planificare care se refer la mai mult de un interval de timp. Variabilele de inventar It si ecuatiile de continuitate a stocului pun în leg tur intervalele avute în vedere si reprezint o evident fizic a stocului. Cererea trebuie totdeauna satisf cut . Nu este permis lipsa de stoc. Asta se poate spune si altfel, echivalent: stocul de deschidere pentru perioada t plus productia din acea perioad trebuie s fie cel putin cât cererea în perioada t,adic :I0 + (x1 + y1) 130 I1 + (x2 + y2) 80

10

I2 + (x3 + y3) 125 I3 + (x4 + y4) 195 Aceste ecuatii pot fi v zute si altfel. Luând în considerare ecuatiile de continuitate a stocului, ecuatiile de mai sus care asigur satisfacerea întotdeauna a cererii se mai pot scrie ca: I1 0 I2 0 I3 0 I4 0 Functia obiectiv. Costul are trei componente: costul productiei realizate în conditii normale, costul productiei realizate prin munc suplimentar si costul report rii de stocuri de la o perioad la urm toarea:

(6x1 + 4x2 + 8x3 + 9x4) + (8y1 + 6y2 + 10y3 + 11y4) + + (1,5I0 + 1,5I1 + 1,5I2 + 1,5I3 + 1,5I4)

Costul acesta trebuie minimizat.Rezultatele ar trebui s fie numere întregi, dar pot fi si numere reale. Dacnum rul de unit ti cerut în fiecare perioad este mare atunci fractiile s-ar putea s nu deranjeze prea mult.Solutia acestei probleme de programare liniar este

x1 = x2 = x3 = x4 = 100 y1 = 15, y2 = 50, y3 = 0 si y4 = 50

I0 = 15, I1 = 0, I2 = 70, I3 = 45 si I4 = 0. Valoarea minim a functiei obiectiv este 3865. Exemplele enuntate mai sus sunt propuse cititorului spre rezolvare în orele de aplicatii sau ca tem de cas pe calculatorul personal. Cu acest prilej se pot verifica si solutiile date mai devreme, dar si variatia rezultatelor în urma unor modific ri ale coditiilor din enunturi. Alte câteva probleme sunt propuse în continuare.

11

12

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILIT TILOR SI DE STATISTICMATEMATIC

Aproape toate fenomenele economice sunt însotite de aspecte aleatoare. Asadar, în particular, în modelele sistemelor de productie trebuie incluse elemente care s fac posibil interpretarea corect a efectelor pe care întâmplarea le poate avea asupra function rii unui sistem economic. De aceea, aceast a doua parte a cursului de Modelarea si simularea sistemelor

de productie contine un minim de referiri la teoria probabilit tilor si la statistica matematic .

Spatiul evenimentelor

Un experiment oarecare, provocat sau spontan poate avea rezultate diverse. Aceste rezultate sunt denumite mai departe evenimente. Astfel, rostogolirea unui zar corect pe o suprafat plan orizontal (exemplu foarte banal dar des utilizat de matematicieni) poate avea ca rezultat aparitia pe fata sa de deasupra a, s spunem, cinci puncte. S-a produs asadar evenimentul aparitiei pe feta de deasupra a cinci puncte. Tot asa, conform definitiei de mai sus, extragerea valetului de cup dintr-un pachet de c rti de joc bine amestecateste un eveniment.Dac E este multimea tuturor evenimentelor posibile relativ la un experiment, aceast multime poate fi numit , cum adesea se întâmpl ,spatiul evenimentelor. Evenimentele unui astfel de spatiu se pot g si în anumite relatii unul cu altul, cu evenimentele acelui spatiu se pot face unele operatii.O relatie important între evenimente este implicatia. Implicatia se noteaz

si se citeste evenimentul A implic evenimentul B, ceea ce înseamnc producerea evenimentului A conduce automat, implicit la producerea evenimentului B; implicatia reciproc , si este un mod de a exprima egalitatea (echivalenta) a dou evenimente.

A B

A B B A

Operatiile cu evenimente sunt unare, cu un singur eveniment ca operand, sau binare, cu dou evenimente ca operanzi. Operatia de luare a complementarului sau, ceea ce este totuna, a contrarului

unui eveniment este unar , opereaz cu un singur eveniment.Reuniunea si intersectia de evenimente sunt operatii binare, implic douevenimente.Luarea complementarului sau a contrarului unui eveniment const în luarea în considerare a acelui eveniment care se produce atunci când nu se produce evenimentul al c rui contrar se caut . Într-un exemplu foarte simplu,

13

aruncarea unei monede cu c dere pe o suprafat plan orizontal poate avea ca rezultat afisarea deasupra fie a unei fete, fie a celeilalte. Fiecare din cele dou evenimente generate de acest experiment simplu este contrarul celuilalt. Dac evenimentul asupra c ruia se opereaz este A atunci evenimentul contrar este notat cu A . De ce contrar si/sau complementar seva explica mai în detaliu dup definirea celor dou operatii binare anuntate. Reuniunea a dou evenimente se noteaz si este evenimentul care const în producerea a cel putin unuia din cele dou evenimente, adic sau a unui sau a celuilalt sau a ambelor evenimente.

A B

Intersectia a dou evenimente se noteaz si este evenimentulconstând în producerea ambelor evenimente, adic atât a unui eveniment cât si a celuilalt.

A B

Exist dou evenimente speciale care se includ în multimea E. Unul este evenimentul imposibil, notat cu , evenimentul care nu se produce niciodat . Cel lalt este evenimentul sigur, notat cu E, evenimentul care se produce de fiecare dat .O relatie de forma exprim incompatibilitatea reciproc a celor dou evenimente A si B, în alte cuvinte producerea unuia exclude producerea celuilalt.

A B

Acum se poate formula mai precis raportul între un eveniment si contrarul lui: A A , A A E . Într-o lectur în cuvinte a acestor relatii: un eveniment este incompatibil cu contrarul s u, producerea unui evenimentsau a contrarului s u este sigur . Este acum momentul s se aducprecizarea c contrarul contrarului unui eveniment este acel eveniment.

Simbolic, aceasta se scrie A A .Multimea E este partial ordonat , relatia de ordine este implicatia.Multimea E împreun cu operatiile de luare a complementarului unui eveniment, de reuniune si de intersectie a evenimentelor se organizeaz ca o algebr boolean .Între evenimentele dintr-o multime E se disting atomi (sau evenimenteelementare) si evenimente compuse. De pild , prin aruncarea zarului se pot produce între altele evenimentele si care constau în aparitia pe fatade deasupra a num rului de puncte trecut ca indice. Ambele sunt atomi sau evenimente elementare în sensul c nu sunt alte evenimente înc mai simpledecât ele. Reuniunea este îns un eveniment compus.

A2 A5

A2 A5

Fie acum multimea tuturor evenimentelor elementare dintr-o multimefinit E de evenimente. Evident . O submultime de p rti ale lui ,

se organizeaz ca un corp dac)(PK

KAKA

KBAKBA,KBAKBA,

În aceste coditii perechea ( , K) este un corp de evenimente si este un –corp sau corp borelian de evenimente dac orice reuniune sau intersectie finit sau infinit de evenimente din K apartine multimii K.Într-un spatiu E complet si atomic, orice eveniment se poate scrie ca o reuninune de elemente din

A

14

A i

i

Se numeste partitie a unui eveniment o multime de evenimente, care sunt mutual incompatibile, adic

pentru orice pereche u , astfel încât

KA

),...,2,1(, niKAi A Ai j

KAA ji , c ji

A Ai

i

n

1

Dac A = atunci evenimentele alc tuiesc un sistem

complet de evenimente.

),...,2,1(, niKAi

Probabilit ti, probabilit ti conditionate

Pe multimea evenimentelor din K se defineste o functie real P, numitprobabilitate, care are propriet tile:

1. ,0)(AP KA

2. P( ) 1

3. jiAAKAAPAP jiiii ,, ,)(

Dac ultima proprietate are loc si pentru reuniuni numerabile atunci probabilitatea P se numeste complet aditiv (sau –aditiv ) pe corpul (borelian) de evenimente ( , K).Tripletul ( , K, P) se numeste câmp (borelian) de probabilitate. Dac este o multime finit atunci ( , K, P) este un câmp de probabilitate discret. Din propriet tile de mai sus deriv alte câteva propriet ti importante ale probabilit tii P. Astfel

4. P( ) 0

5. )(1)( APAP

6. P A B P A P A B( ) ( ) ( )

)7. 0 1P A( )8. P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) (29. P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )

unde A B A B si sunt diferenta, respectiv diferenta simetric a dou evenimente. O extindere a relatiei ultime la reuniunea a n evenimente este

A B A B B A( ) ( )

nn

j

j

jn

i

i SAP1

1

1

)1( cu .S P A A jj i i

i i i nj

j

( ... ), ,...,

1

1 2

Dac este o familie numerabil de evenimente mutual

incompatibile, atunci .

IiiAF }{

0Ii

iAP

Dac familia este si exhaustiv , adic se constituie ca un sistem

complet de evenimente, atunci .

IiiAF }{

1Ii

iAP

15

Evenimentele se pot afla în relatie de conditionare reciproc în sensul c un eveniment odat produs poate modifica probabilitatea de producere a altui eveniment. Relatia de baz pentru calculul probabilit tilor conditionate este

P A P A B P A B P BB ( ) ( / ) ( ) / ( )cu evenimentul B, cel care conditioneaz producerea evenimentului A,trecut ca indice sau pe pozitia a doua, dup caracterul “/”, în argumentulfunctiei probabilitate. În general,

p A B P A( / ) ( ) si P B A P B( / ) ( )ceea ce indic o dependent , o conditionare între cele dou evenimente.Dac are loc egalitatea în ambele relatii atunci evenimentele nu se conditioneaz în nici un fel, sunt independente. Dac probabilitatea unei intersectii finite de evenimente este nenul

01

n

i

iAP

atunci probabilitatea respectiv se poate calcula cu formula

)()/(.../ 112

1

11

APAAPAAPAPn

i

in

n

i

i

care se demonstreaz inductiv pornind de la relatia pentru dou evenimentederivat din formula probabilit tii conditionate

P A B P A B P B P B A P A( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )

DacniiAF

,1}{ este o partitie a câmpului atunci probabilitatea unui

eveniment oarecare se poate calcula cu relatia

P A P A P A Ai i

i

n

( ) ( ) ( / )1

cunoscut sub numele de formula probabilit tii totale.Mai este de retinut formula lui Bayes

n

i

ii

iii

AAPAP

AAPAPAAP

1

)/()(

)/()()/(

care în aceleasi conditii, niiAF

,1}{ o partitie a câmpului , permite

calculul probabilit tii fiec rui eveniment al partitiei conditionat de evenimentul , altfel oarecare. KA

Exemplu. În cazul zarului corect enuntat mai devreme, multimea este alc tuit din evenimentele A1, A2, A3, A4, A5, A6. Multimea de p rti ale lui care se constituie în corp de evenimente este multimea tuturor reuniunilor de 2, de 3, de 4, de 5 sau de 6 evenimente la care se adaug evenimenteleatomice, elementare deja enumerate si evenimentul imposibil .Prin perceptie imediat se poate afirma c sansele de producere a celor sase evenimente sunt egale (sansa aceasta de producere a unui eveniment sau a altuia este m surat de probabilitate). Se poate scrie, asadar

P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = P(A5) = P(A6) = pEvenimentul sigur se poate scrie ca o reuniune

654321 AAAAAA

16

si deoarece evenimentele din reuniune sunt dou câte dou mutualincompatibile (nu pot ap rea deasupra dou fete diferite deodat ) conformpropriet tii 3 se poate scrie

1 = P( ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + P(A5) + P(A6) = 6p

adic p = 1/6. Acum se pot calcula probabilit ti diverse. a) Probabilitatea aparitiei unui num r par de puncte este

)( 642 AAAP = P(A2) + P(A4) + P(A6) = 3(1/6) = 1/2

ca probabilitate a unei reuniuni de evenimente dou câte dou reciproc incompatibile.b) Probabilitatea evenimentului A4 conditionat de evenimentul reuniune de la punctul precedent, A = 642 AAA

P(A4/A) = 3

1

2/1

6/1

)(

)(

)(

)]([

)(

)( 464244

AP

AP

AP

AAAAP

AP

AAP

etc.De retinut din acest exemplu o modalitate de a evalua probabilit ti prin raportarea num rului de situatii favorabile unui eveniment la num rul total de situatii. De pild , evenimentul A3 din cele de mai sus se produce în proportia 1 caz favorabil din 6 posibile, adic 1/6. La loteria “6 din 49”, se pot juca (combin ri de 49 de numere luate câte

6) variante distincte. Sansa (probabilitatea) unei variante particulare de a ficâstig toare a premiului cel mare este de 1/C , o probabilitate foarte, foarte

mic , desigur.

649C

649

Sansa de a câtiga la categoria a II-a este întrucâtva mai mare. Un bilet câtig tor poate contine una din cele C combinatii de 5 numere din cele

iesite din urn la extragerea duminical , la care se adaug unul din celelalte 43 de numere din afara extragerii. Num rul de situatii favorabile câstig riiunui premiu la categoria a II-a este, evident, 6x43 = 258 si probabilitatea este de 258/ , înc destul de mic dar mai mare decât cea de la categoria

I.

656

649C

La jocul de table (foarte cunoscut în toat lumea – backgammon), evolutia disputei dintre juc tori este hot rît pas cu pas prin aruncarea a dou zaruri. Într-o anumit faz a jocului, unul dintre juc tori are nevoie ca zarurile sproduc o sum a punctelor egal cu 5. Care este probabilitatea acestui eveniment? Num rul total de rezultate este 36: fiecare din cele sase fete ale unui zar poate ap rea combinat cu oricare din cele sase fete ale celuilalt zar. Suma punctelor este 5 în urm toarele 4 cazuri: (1, 4), (2, 3), (3, 2) si (4, 1). Prin raportarea num rului de cazuri favorabile (4) la num rul total de cazuri (36) se obtine r spunsul la întrebare: 4/36 = 1/9.

Variabile aleatoare

Formal, o variabil aleatoare este o functie definit pe o multime atomiccu valori reale, , care are proprietatea X : R

KxXxX })(/{}{ , Rx

17

În termeni mai putini rigurosi din punct de vedere matematic, o variabilaleatoare este o variabil care ia valori la întâmplare dar în nici un caz haotic. Explicit sau tacit, în spatele manifest rii varibilei aleatoare prin valori diverse se afl un câmp de probabilitate ( , K, P) definit de multimeaatomic , de corpul de p rti ale acesteia K si de probabilitatea P.Probabilitatea face ca unele valori pe care variabila aleatoare le poate lua sfie (eventual) mai probabile decât altele. Num rul de pucte afisate de un zar comun este o variabil aleatoare. Cu fetele zarului, care pot fi de pildcolorate, nu neap rat “punctate”, se pot asocia si alte numere printr-o functie X particular . Functia X este o alt variabil aleatoare definit pe câmpul ( , K, P).O variabil aleatoare simpl ia numai un num r finit de valori. De exemplufunctia indicator a unui eveniment , care se poate produce sau nu KA

A

AA 1

0

este o variabil aleatoare simpl care ia numai dou valori, 0 si 1. Variabilele aleatoare definite în relatie cu zarul sunt variabile aleatoare simple.Dac X este o variabil aleatoare definit pe câmpul ( , K, P) atunci pentru oricare dou valori toate intervalele finite sau infinitedelimitate de cele dou valori corespund unor evenimente din K si, prin generalizare, pentru orice multime I reuniune de intervale din R, se poate calcula .

x x R x x1 2 1 2, ,

X I P X( ) ] [ (1P I P IX ( ) [ )]P IX ( )

{K X

reprezint distributia de probabilitate a variabilei aleatoare X. Se poate vorbi de ca de o probabilitate definit pe câmpul (R, KPX

(1X

X) în care

este o multime de intervale ale multimiinumerelor reale R, intervale care sunt imagini prin X ale unor evenimentedin K.

})/ KIRI

Dac variabila aleatoare X ia valori într-o multime cel mult numerabil{ / , , }x x R i I I Ni i

atunci ea se numeste discret si P xX i

i I

( ) 1

X

Jx

iXX KJxPJPi

,)()(

Dac X poate lua toate valorile unui interval atunci probabilitatea asociat intervalului este

XKI

P I f x dxX X

I

( ) ( )

si este o functie absolut continu . Functia care apare în formul se numeste densitatea de probabilitate sau densitatea de repartitie a variabilei aleatoare X, este nenegativ pentru orice x si are proprietatea

f xX ( )

f x dxX ( ) 1

18

Functiax

XXX dxxfxPxXPxF )()],[(])([)(

se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare XFunctia de repartitie este nedescresc toare pe întreaga ax real

a b F a F b a b RX X( ) ( ) ,si este continu la stânga în fiecare punct

RaaFxFaxax

XX )()(,

lim

Valorea minim si valoarea maxim ale unei functii de repartitie sunt date de limitele

0)(lim

xFx

X , 1)(lim

xFx

X

Eventualele discontinuit ti sunt de speta prim si sunt cel mult numerabile.Reciproc, orice functie cu propriet tile de mai sus poate fi pus în corespondent cu un câmp de probabilitate. Pentru o variabil aleatoare discret

xx

iXX

i

xPxF )()(

iar pentru una continu înafar de relatia scris deja mai sus x

XX dxxfxF )()(

are loc si relatia

)()( xFdx

dxf XX

Pentru orice interval [ si pentru orice valoare a, .

, )a b R P a b F b F aX X{[ , )} ( ) ( )X

P aX ( ) 0În referirea f cut putin mai devreme la cazul zarului s-a semnalatposibilitatea ca pe acelasi câmp de probabilitate s se defineasc nu una ci mai multe variabile aleatoare. Se noteaz uzual cu V( , K, P) multimeatuturor variabilelor aleatoare definite pe câmpul de probabilitate trecut între paranteze.Dac ) atunci suma, diferenta, produsul celor douvariabile aleatoare, modulul, puterea, în general o functie m surabil Borel de oricare dintre ele sunt toate variabile aleatoare din multimea V( , K, P).

,,(, PKVYX

Ori de câte ori nu este pericol de confuzie, variabila aleatoare trecut pânacum ca indice al functiei de repartitie sau al functiei densitate de probabilitate/repartitie poate lipsi din acea pozitie. Dac se reia exemplul zarului, care la fiecare experient este f cut s se rostogoleasc pe o suprafat plan , orizontal , atunci multimeaevenimentelor elementare (atomi) este alc tuit din aparitiile deasupra a celor sase fete, marcate uzual cu unu pân la sase puncte. Multimea de p rtiale lui este alc tuit din evenimentele elementare si din toate reuniunile posibile de evenimente elementare la care se adaug evenimentul imposibil.

19

Multimea K organizat ca un corp de evenimente coincide chiar cu multimea de p rti P( ), iar functia numit probabilitate ia valoarea 1/6 pentru fiecare din evenimentele elementare deoarece fetele zarului au sanse egale de a ap rea deasupra.

-2 0 2 4 6 8 10 12

0

0.5

1

x

F(x

)

Functii de repartitie pentru doua variabile aleatoare definite pe acelasi camp de probabilitate

-2 0 2 4 6 8 10 12

0

0.5

1

x

F(x

)

Cum s-a mai spus, num rul de puncte observat pe fata de deasupra a zarului poate fi considerat o variabil aleatoare. În acest caz functia de repartitie se prezint ca în graficul superior din desenul de mai sus si este, ca pentru orice variabil aleatoare discret , o functie în scar .Dar pe acelasi câmp de probabilitate se pot defini si alte variabile aleatoare. Pe câmpul asociat zarului perfect se poate imagina, de pild , functia

definit astfel X : R

5,10862,35,11654321

( i Ai, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) si atunci functia de repartitie se prezint diferit,ca în graficul inferior din aceeasi figur . Asadar, multimea V( , K, P) este extrem de bogat .De variabilele aleatoare sunt legate câteva valori remarcabile. Una foarte important este media definit ca

dxxxfxM )()(

care face parte din lista nesfârsit a momentelor de diferite ordine ale variabilei, acesta fiind momentul de ordinul unu. Cu o relatie similar se poate calcula media unei functii g(x) de variabila aleatoare x având în vedere caracterul aleator al valorilor functiei

M g x g x f x dx[ ( )] ( ) ( )

20

si dac în particular avem tocmai momentul de ordinul r

despre care s-a amintit.Nrxxg r ,)(

În cazul particular se obtine o alt valoare important ,caracteristic variabilei aleatoare descrise de functia de repartitie F(x) sau de densitatea de repartitie f(x), si anume dispersia. R d cina p trat pozitiva dispersiei se numeste abaterea medie p tratic a variabilei aleatoare pentru care s-a executat calculul. Dispersia este momentul centrat de ordinul doi al variabilei aleatoare, unul din multiplele momente ale variabilei, centrate fat de medie, de ordine diferite.

g x x M x( ) [ ( )]2

Nu numai variabilele aleatoare continue au momente, medii, dispersii, ci si cele discrete. În cazul discret, formulele de calcul contin sume în locul integralelor si valorile variabilei parcurg întreaga list de valori posibile, iar densitatea de repartitie este înlocuit de probabilit tile asociate valorilor pe care variabila le poate lua efectiv. Câteva legi de repartitie teoretice foarte utilizate sunt prezentate pe scurt în continuare.Legea binomial (Bernoulli) este exprimat de relatia

P m C p pn

m m n m( ) ( )1cu si p un num r în intervalul [0, 1]. Legea binomial este de tip discret. Variabila aleatoare este m. Are media np si dispersia .Exist un model fizic legat de aceast lege de repartitie. Modelul îl constituie o urn cu bile de dou culori, iar evenimentele constau în rezultatele extragerii repetate a câte unei bile dup care bila extras este reintrodus în urn . Variabila m reprezint num rul bilelor de o anumitculoare din cele dou , în n extrageri succesive, conform schemei cu bila returnat . Num rul p reprezint proportia de bile de acea culoare în urn , cu alte cuvinte probabilitatea de extragere a unei bile de culoarea respectiv .

0 m n

np p( )1

Legea Poisson exprimat sub forma

P mm

m

( )!

exp( )

cu > 0 si m natural ca variabil aleatoare. Media variabilei m este ,dispersia ei este, de asemenea, . Un modelul fizic îl reprezint num ruldezintegr rilor radioactive, num rul de apeluri telefonice solicitate într-o central etc. într-un interval de timp precizat, (relativ) scurt. Legea normal (gaussian ) care este dat de densitatea de probabiltate

f x e

x m

( )( )

1

2

2

22

în care m este media variabilei x si este dispersia ei. Legea normal este considerat o lege limit pentru sumele de variabile aleatoare. Un fenomenafectat de foarte multi factori aleatori care actioneaz prin însumare se prezint de cele mai multe ori ca un fenomen aleator descris de o lege normal .

2

Variabilele aleatoare din expunerea teoretic sau din exemplele prezentate mai sus au fost pân acum simple, adic a fost vorba în toate cazurile de o singur aplicatie legat de un unic câmp de probabilitate ( , K,X : R

21

P). Se pot imagina variabile aleatoare cu mai multe componente, variabile aleatoare sub forma unor vectori cu componente aleatoare definite relativ la un acelasi câmp de probabilitate sau la câmpuri de probabilitate diferite. Astfel, legea urm toare se refer la o variabil aleatoare vectorial .Legea normal multidimensional dat de densitatea de repartitie

)()(2

1

2

1

det)2(

1)(

mxWmx

n

T

e

W

xf

cu media m, un vector cu n componente, si cu matricea de covariatie W, o matrice nxn pozitiv definit . Pentru ca expresia dat s aib consistenta necesar trebuie definit mai exact matricea W.Este de comentat mai întâi problema corelatiei a dou variabile aleatoare. Dou variabile aleatoare pot fi necorelate, caz în care valorile uneia nu influenteaz în nici un fel valorile pe care le poate lua cealalt , dar, alternativ, pot fi mai mult sau mai putin dependente ceea ce înseamn cdac una din variabile a luat o valoare atunci legea de repartitie a celeilalte se modific în functie de acea valoare a primei variabile. Fiind date dou variabile aleatoare x si y de medii nule, media produsului lor M(xy) se numeste covariatie. Dac covariatia este nul se poate spune în general c cele dou variabile nu sunt corelate. Dimpotriv , dac M(xy) 0 variabilele sunt corelate, exist o corelatie între ele, exist o dependentîntre valorile pe care ele le iau în sensul ar tat putin mai devreme. Dacmediile sunt diferite de zero, afirmatia si definitia se mentin pentru abaterile de la medie. Întrucât covariatia M(xy) poate lua valori foarte diferite, pentru o apreciere cantitativ mai riguroas a t riei corelatiei se utilizeazcoeficientul de corelatie

M xy

M x M y

( )

( ) ( )2 2

care ia valori în intervalul [–1, 1] si în expresia c ruia se disting dispersiile celor dou variabile, si . O valoare apropiat de extremeleintervalului indic o corelatie strâns , o valoare apropiat de zero exprim o corelatie slab .

M x( )2 M y( )2

Componentele unui vector aleator, privite ca variabile aleatoare simple sunt mutual mai mult sau mai putin corelate. Se defineste ca matrice a covariatiilor unui vector aleator x media produsului , adic mediaprodusului vectorului cu transpusul s u. Se obtine o matrice p tratsimetric care are pe diagonal dispersiile componentelor pure. Aceasta este matricea W utilizat în expresia densit tii de repartitie a variabilei aleatoare normale multidimensionale din discutia de mai sus. Dac matriceacovariatiilor este diagonal (are toate elementele nule cu exceptia celor de pe diagonala principal ) atunci componentele vectorului aleator sunt mutualindependente. Împ rtirea fiec rui element al matricei covariatiilor cu abaterile medii p tratice ale componentelor corespunz toare ale vectorului xproduce o matrice a coeficientilor de corelatie, cu 1 pe diagonal , cu valori in intervalul [–1, 1] în rest.

Txx

22

Generarea de numere aleatoare

În modelarea si mai ales în simularea sistemelor este necesar deseori generarea de numere aleatoare a c ror aparitie s se produc conform unei anumite legi de repartitie: unele valori mai frecvent, altele, eventual, maiputin frecvent. În sprijinul acestei cerinte, aproape toate limbajele de programare evoluate au în biblioteca lor, al turi de alte functii, functiigeneratoare de numere aleatoare uniform repartizate pe un interval precizat, de regul intervalul (0, 1). În PASCAL, de pild , exist functia random, cu sau f r argument, care genereaz astfel de numere. Subprogramulrandomize invocat înaintea primului apel la functia random asigursecvente de numere diferite la fiecare nou utilizare succesiv într-un program a functiei de bibliotec generatoare de numere aleatoare. Versiunea f r argument a functiei random produce numere reale în intervalul (0, 1), uniform repartizate pe acel interval.

-0.5 0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

f(x

)

Legea de repartitie uniforma

-0.5 0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

F(x

)

Versiunea cu argument de tip word, random(w), produce numerealeatoare de tipul word, cuprinse între 0 si w – 1. Pentru cazul continuu al functiei random f r argument, functia densitate de repartitie si functia de repartitie sunt figurate în graficele al turate.Cu generatorul de numere aleatoare random sau cu generatoarele similaredin alte limbaje se pot genera numere aleatoare repartizate dup alte legi, diferite de cea uniform . Pentru aceasta se pot utiliza metode analitice sau o metod direct care are în vedere functia de repartitie a variabilei care trebuie generat .Legea de repartitie normal normat (de medie nul si de dispersie 1) este legat de legea de repartitie uniform prin una sau alta dintre relatiile urm toare

23

u x1 12 2ln cos( )x2

u x2 12 2ln sin( )x2

în care x1 si x2 sunt dou numere aleatoare independente, cu repartitie uniform pe intervalul (0, 1). Este un exemplu de generare analitic a unor numere aleatoare supuse unei legi de repartitie diferit de cea uniform .Un alt exemplu este cel al gener rii de numere aleatoare uniform repartizate pe un interval finit (a, b) oarecare. Trecerea la noua variabil se realizeazprin mijlocirea relatiei

u a b a x( )cu x generat de functia de bibliotec random. Variabila u este uniformrepartizat pe intervalul finit specificat. Varianta analitic de generare a unor numere aleatoare repartizate conformunei legi particulare nu este totdeauna posibil . Modul de generare alternativ este descris în continuare. Se admite c este dat functia de repartitie F(u) a unei variabile u sau functia ei densitate de repartitie f(u) din care se poate calcula F(u). Se genereaz valori x uniform repartizate pe intervalul (0, 1) cu ajutorul functiei de bibliotec random sau similara ei din alte limbaje de programare. Se calculeaz de fiecare dat , unde este inversa functiei de repartitie a variabilei u care trebuie generat . Functia de repartitie este totdeauna o functie monoton , deci este inversabil pentru orice . Intervalul (0, 1) este multimea de valori comun tuturor functiilor de repartitie. Variabila aleatoare u este cu sigurant repartizatconform legii date de functia F(u) sau de derivata ei f(u).

u F x1( ) (.)1F

x ( , )0 1

Raportul experiment-lege de repartitie teoretic

Variabilele aleatoare pot fi observate prin valorile pe care ele le iau efectiv.Num rul observatiilor este inevitabil finit. Forma matematic a legii de repartitie precum si parametrii ei, inclusiv cei mai simpli cum sunt media si dispersia, sunt elemente care trebuie inferate, obtinute prin inferent din aceste observatii experimentale. Inferenta este operatia logic prin care se admite o judecat al c rui adev r nu este verificat direct ci în virtutea unei leg turi a ei cu alte judec ti considerate adev rate.Cu toate c ipoteza normalit tii unei variabile aleatoare este satisf c toareîn foarte multe cazuri, în special atunci când fenomenul este rezultatul actiunii întâmpl toare a unui num r mare de factori, uneori reprezentativitatea legii de repartitie îns si trebuie verificat . Verificarea se face, desigur, pe baza unui volum limitat de observatii experimentale.Observatiile experimentale, fie acestea , sunt mai întâi sortate pe m intervale în care este partitionat convenabil axa real .Sortarea se face în raport cu apartenenta lor la unul sau altul din acele intervale. Se calculeaz frecventele absolute pentru fiecare interval adic num rul de valori observate care apartin unuia sau altuia din intervalele . Cu aceste frecvente sau cu frecventele relative

x x xn1 2, ,...,I k mk ( , ,..., )1 2

Ik

n k mk ( , ,..., )1 2

24

obtinute prin împ rtirea lor la num rul total de valori observate n se poate trasa un grafic sub forma unor dreptunghiuri cu baza cât fiecare interval si în ltimea egal cu frecventa. Aceste grafice sunt denumite histograme ale frecventelor relative sau absolute. Prin cumularea ordonat a frecventelor se obtine un grafic numit poligonul frecventelor relative sau absolute cumulate.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

fre

ce

vnte

S tatis tica experimentala: histograma datelor, poligonul frecventelor cumulate

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

fre

cve

nte

cu

mu

late

Cele dou functii grafice sunt pentru colectia de date experimentale ceea ce pentru variabila aleatoare sunt probabilit tile sau densitatea de repartitie si functia de repartitie. În termeni de frecvente relative, functiile în formgrafic care au ca surs experimentul ar trebui s estimeze functiile teoretice corespondente. Dac ele sunt sau nu estimatii ale acelor functii teoretice, dac legea de repartitie teoretic reprezint într-adev r variabila aleatoare observat se apreciaz prin calculul unei valori

22

1

( )n np

npk k

kk

m

în care intervin atât frecventele experimentale cât si probabilit tile teoretice , si care este o variabil aleatoare deoarece,

evident, la un nou set de observatii se obtine aproape sigur alt valoare. p P x Ik k( ) ( , ,..., )k 1 2 m

Variabila este consacrat în statistica matematic si este definit ca o sum de p trate ale unor variabile aleatoare normale normate (de medie nulsi de dispersie egal cu unitatea). Variabila are un num r de grade de

libertate egal cu num rul de termeni din suma definitorie. Functia de repartitie a variabilei este tabelat sau se poate evalua numeric si este folosit în verificarea ipotezelor statistice de natura celei formulate maidevreme sau de alt natur .

2

2

Intuitiv, valoarea calculat din observatii experimentale ar trebui s fiecât mai apropiat de zero. Atunci, probabilit tile ar fi foarte apropiate de

2

pk

25

frecventele relative rezultate din experiment. Ipoteza modelul teoretic

este verificat de observatiile experimentale (Hn nk /

0) se opune ipotezei alternative (H1) modelul teoretic pe cale de a fi adoptat nu este verificat de

observatiile experimentale. Pragul discriminator între cele dou adev rurimutual exclusive este stabilit ca limit superioar a unui interval definit pentru un nivel de semnificatie sau pentru un nivel de încredere precizat q(uzual 0,95), interval care grupeaz 100q% din valorile firesti,plauzibile în cazul valabilit tii ipotezei H

2

2,1

0. Schema accept rii (sau respingerii) uneia sau alteia dintre ipoteze este

20

1

2

H

H

q

cu valoarea de provenient experimental în stâga semnului discriminator,cu valoarea teoretic (tebelar ) în dreapta acelui semn. Pe calea aceasta se poate selecta legea de repartitie adecvat .

O aplicatie la fiabilitatea sistemelor de productie

Problema sigurantei în functionare a unei masini, a unui agregat, a unui sistem în general, functionare raportat la îndeplinirea unui obiectiv tehnologic precizat este de foarte mare important economic atât pentru produc torul acelor sisteme cât si pentru utilizatorul lor. Produc torul trebuie s -si organizeze un serviciu în ajutorul clientului cel putin pentru perioada de garantie si s dimensioneze sitemul de service corespunz tor cu parametrii de fiabilitate ai sistemelor pe care le produce. Utilizatorul, în cazul în care isi asum mentinerea în functiune a respectivelor sisteme dup perioada de garantie prin forte proprii trebuie scunoasc elemente precum durata (aleatoare) pâna la prima (care poate fi si ultima în unele cazuri) defectare sau durata (tot aleatoare, desigur) între dou defect ri succesive pentru a-si dimensiona cât mai bine echipa de întretinere, pentru a face o aprovizionare cu piese înlocuitoare rational .Un studiu de fiabiliate la produc tor este necesar. Distributia duratei de viat a unui echipament, care este o variabil aleatoare se poate uneori deduce din carateristicile similare ale pieselor sau subansamblelorcomponente ale acelui echipament. În conditii de noutate total a produselor, produc torul trebuie s fac propriile sale studii de fiabilitate.Observarea sub aspectul fiabilit tii a mai multor produse identice conduce uzual la acumularea unor durate de functionare experimentale. Aceste durate, fie ele în num r de n, se pot folosi la aprecierea reprezentativit tiiunei anumite legi de repartitie. Dac axa timpului este împ rtit în m intervale, aceste durate pot fi sortate/num rate pentru fiecare din aceste intervale obtinându-se frecventele

si frecventele relative pentru fiecare interval .

Dac densitatea de repartitie avut în vedere este atunci se pot calcula probabilit tile

nk n nk / ),...,( mkI k

f t( )

26

p f tk

I k

( )dt

asociate fiec rui interval, valori care sunt, desigur, teoretice. Frecventele relative sunt estim ri experimentale ale acestor probabilit ti. Se constat ,desigur, diferente între probabilit ti si estim rile lor. Aceste diferente pot servi la formularea unor ipoteze privind adecvarea modelului teoretic la experimentul observat. O modalitate de decizie asupra acestei adecv ri se bazeaz pe retinerea diferentei celei mai importante ca valoare absolut si compararea ei cu anumite tabele care dau norme în ceea ce priveste abaterea maximîng duit . Este vorba aici de utilizarea testului Kolmogorov-Smirnov.O alt posibilitate mai larg utilizat este aceea care folseste o variabil ,asa cum s-a ar tat mai sus.

2

Estimarea si verificarea parametrilor legii de repartitie teoretice

Asa cum s-a ar tat, legea de repartitie cea mai frecvent utilizat în modelarea si simularea dinamicii sistemelor este legea normal . Ipotezele si verific rile parametrice discutate în cele ce urmeaz se refer în exclusivitate la variabile aleatoare repartizate normal sau, cum se mai spune, gaussian.

Selectie, parametri de selectie

O list de valori observate ale unei variabile aleatoare poartnumele consacrat de selectie. Numele ar putea p rea impropriu prin prismasensului uzual al cuvântului selectie si, de aceea, trebuie subliniat c valorile din lista de observatii nu comport nici un proces subiectiv de alegere. Prin selectie se întelege numai retinerea experimental a unui num r finit de valori ale variabilei aleatoare din num rul extrem de mare de valori pe care aceasta le poate lua.

x x xn1 2, ,...,

Se admite c variabila se distribuie normal cu media si dispersia .2

Se defineste ca medie de selectie media aritmetic a valorilor observate

n

x

x

n

i

i

1

Ea este o estimatie absolut corect a mediei si se repartizeaz ca si variabila x observat , normal, cu aceeasi medie dar cu dispersia .Din datele care alc tuiesc selectia se pot calcula dou dispersii de selectie

2 / n

s

x

n

i

i

n

2

2

1

( )

si

27

s

x x

n

i

i

n

2

2

1

1

( )

Ambele sunt estim ri absolut corecte ale dispersiei , prima cu n grade de libertate, a doua mai uzual deoarece nu necesit cunoasterea medieiteoretice , cu n – 1 grade de libertate.

2

Sintagma estimatie absolut corect exprim faptul c media unei astfel de etimatii este exact valoarea parametrului estimat.

Ipoteze asupra parametrilor unei legi de repartitie normale

Asupra mediei, ipoteza cea mai frecvent are forma si este notat cu . Opusa ei se noteaz cu . Uneori se formuleaz ipoteze în foma

unilateral , în care semnul egal este înlocuit cu un semn de inegalitate. Verificarea uneia sau alteia dintre ipoteze se face în baza unei selectii.

0

H0 H1

Dac dispersia este cunoscut atunci se poate calcula o valoare 2

zx

n

0

care este o variabil aleatoare repartizat normal si este în plus si normatadic are media nul si dispersia egal cu unitatea. Se stabileste un nivel de încredere sau de semnificatie q, uzual de 0,95 (95%), pentru care în tabele sau prin calcul se g seste un , în particular . Aceast valoare

delimiteaz un interval ( , numit interval de încredere, care contine

în mod normal 95% din valorile z calculate din datele selectiilor de tipul si de volumul specificat mai devreme. Prin urmare valorile din afara intervalului de încredere sunt cu totul improbabile, probabilitatea lor fiindcomplementara 1 – q. Aparitia unei valori z din aceast din urm categorie pune sub semnul îndoielii valabilitatea ipotezei formulate. Asadar, dacvaloarea z calculat apartine intervalului de încredere, z z ,

ipoteza se accept , în caz contrar se respinge sau, într-o exprimare care pune în evident ambele ipoteze, mutual exclusive

zq

)z

z0 95 196. .

,zq q

zq q( , )

z

H

H

zq

0

1

Dac dispersia nu este cunoscut se utilizeaz variabila Student, în care intervine radicalul pozitiv al dispersiei de selectie

2

tx

s

n

0

Variabila Student este o variabil aleatoare în leg tur cu care sementioneaz si un num r de grade de libertate, acelasi cu al estimatiei s .2

28

Se stabileste un nivel de încredere q si un interval de încredere .

Tabelele dau aceste valori pentru diverse niveluri de încredere, cel maiuzual fiind acelasi 0,95, dar si pentru grade de libertate diferite. Ipoteza se confirm dac valoarea Student calculat se situeaz în interiorul intervalului de încredere. Ipoteza se respinge în caz contrar. Sintetic

( ,t tq q

H0

s12

f 2

02

2

2

)

t

H

H

tq

0

1

Ipoteze se fac, de asemenea si asupra dispersiei. Ipotezele acestea trebuie si ele verificate. Astfel, fiind date dou estimatii ale aceleiasi dispersii si

, valoarea bazat pe experiments22

Fs

s12

22

are cracteristicile unei variabile aleatoare si se spune c are si grade de libertate, respectiv gradele de libertate ale celor dou estimatii raportate. Variabila este cunoscut in statistica matematic sub numele de variabila F(Fisher-Snedecor). În particular, gradele de libertate pot fi si si atunci

f1

f1

Fs1

2

2

este o variabil F cu si grade de libertate. O ipotez se poate

verifica prin calcularea unei valori F cu la numitor. Un nivel de semnificatie q delimiteaz si în acest caz un interval de încredere. Un F

calculat din date experimentale superior lui tabelar cu gradele de

libertate respective impune respingerea ipotezei formulate si acceptarea ipotezei alternative . Cazul contrar face ca ipoteza s fie acceptat .Schema global este cuprins în exprimarea

f1

H1

2

0

02

Fq

H0

H

F

H

H

Fq

0

1

Criteriul F se aplic de obicei unilateral. Variabila z normal normat si variabilele aleatoare t si F care sunt în conexiune direct cu legea de repartitie normal permit formularea si testarea unui num r important de ipoteze statistice. O alt variabil aleatoare important legat de variabila repartizat normal este variabila despre care s-a vorbit la verificarea calit tii de model al unei variabile aleatoare observate experimental, îndeplinit de o lege de repartitie teoretic .Variabila este o sum de p trate ale unor variabile normale normateindependente si are gradele de libertate egale cu num rul de termeni în sum . Variabila permite ea îns si verificarea de ipoteze asupra

dispersiei dat fiind faptul c într-o estimatie a dispersiei teoretice se poate separa o sum de p trate de variabile z normale normate independente

2

2

s2

29

si, implicit, o variabil . Tabele sau calculul direct dau si în cazul acesta

valori care constituie pragul discriminator de ipoteze la un nivel de

semnificatie q precizat.

2

q

2

Prelucrarea datelor experimentale

Modele matematico-statistice

Prin observarea concomitent a dou sau mai multe variabile afectate de componente aleatoare se poate stabili nu numai o corelatie calitativ dat de un coeficient de corelatie cum s-a explicat mai devreme ci se pot evalua uneori corelatii foarte asem n toare dependentelor functionale. Operatia este cunoscut sub denumirea generic de modelare statistico-matematic .Uzual forma leg turii functionale este cunoscut . Se pune numai problemaca pornind de la o list de observatii experimentale s se estimeze parametriidin acea functie, care fac “acordul” functiei cu rol de model pe datele experimentale la dispozitie. Evaluarea acestor parametri, întocmai ca evaluarea unor parametri ai legilor de repartitie normale discutat mai sus face parte dintr-un cadru mai larg de probleme cunoscut sub numele generic de estimarea parametrilor. Este o estimare pentru c parametrii au înc un caracter aleator. Relatiile-model stabilite pe calea estim rii de parametri pot fi utilizate în calcule tehnice diverse.

Estimarea de parametri în relatii-model algebrice

Un model algebric are în general formay f x a( , )

cu f o functie vectorial (mx1) de vectorul de variabile x (nx1) care contine vectorul de parametri a (px1).Problema estim rii parametrilor se pune în termenii urm tori: fiind dat o list de perechi de valori experimentale x si y se cere a se determinaparametrii a astfel încât s fie minimizat un criteriu de distant dintre modelsi experiment. Dintre criteriile posibile sunt frecvent utilizate cele mai micip trate cu sau f r ponderi, suma abaterilor luate în valoare absolut ca atare sau raportate la modulul valorilor experimentale. În toate aceste alegeri distanta dintre model si experiment se refer numai la valorile y cu acceptarea ipotetic , tacit sau explicit , a unei precizii mult mai bune în m surarea variabilelor x decât în observarea lui y. Uneori îns variabilele independente x sunt afectate ele însesi de erori de observare si de mentinerela anumite valori în cursul experimentelor, care nu pot fi ignorate. În cazul acesta în evaluarea acelei distante model-experiment intr si variabilele x

dup cum se va explica mai departe.

Metoda celor mai mici p trate

30

Parametrii a din relatia y f x a( , )

pot fi determinati din date experimentale având în vedere c în realitate relatia este îndeplinit sub forma aproximativ

y f x a( , )Scris pentru mai multe puncte experimentale

y f x a k Nk k k( , ) ( , ,..., )1 2aceasta permite constituirea unui criteriu de distant între model si experiment de forma

S QT

cu vectorul rezidualelor k si cu Q o matrice de ponderi pozitiv definit .Matricea Q este de cele mai multe ori diagonal si d ponderi diferite unor observatii yk afectate de erori variabile cu k. Dac erorile sunt constante si sunt descrise statistic de o aceeasi lege de repartitie admis a fi normal de medie nul , atunci matricea Q poate fi matricea unitate I multiplicateventual cu valoarea reciproc a dispersiei unice, caz în care metodacoincide cu metoda celor mai mici p trate clasic , cu ponderi constante pentru cele N observatii experimentale, de fapt f r ponderi. Parametrii a

c utati sunt aceia care minimizeaz pe S, care este o sum de p trate ale abaterilor model-experiment, ponderate sau nu. Cazul cel mai frecvent în aplicatii si în consecint cel mai pus la punct sub aspect teoretic este cel liniar în parametrii a, cu alte cuvinte cel în care coeficientii apar o singurdat fiecare la puterea întâia. Aparent particular, cazul devine destul de general dac se iau în consideratie posibilit tile de liniarizare fie prin substitutii adecvate fie prin dezvolt ri Taylor valabile pe regiuni limitate ale spatiului x. Prin urmare, merit o atentie aparte cazul liniar

axy T

în care vectorul x contine uzual si o prim component constant si egal cu unitatea, care corespunde coeficientului liber de orice influent datoratmodific rilor lui x. Vectorul a al parametrilor este (n + 1)-dimensional adicare n componente, câte una pentru fiecare component variabil a vectorului x si înc una ca termen liber. Dac yk sunt valorile observate si xk sunt valori particulare ale vectorului xîn experientele sau observatiile , atunci minimul sumei S se obtine pentru solutia sistemului în coeficientii necunoscuti a

k 1 2, ,..., N

Y

X a Y

solutie în sensul celor mai mici p trate. În relatia ultim , matricea X are ca linii vectorii , iar Y este vectorul observatiilor yxk

Tk. Sistemul este liniar în

componentele lui a si se poate rezolva, în etape, prin premultiplicarea maiîntâi cu transpusa matricei X

X X a X YT T

si, dup aceea, prin multiplicarea la stânga cu inversa matricei produs X XT

a X X XT T( ) 1

Matricea (XTX)–1

XT mai este numit si inversa generalizat sau

pseudoinversa matricei X, dac inversa matricei XTX exist .

31

Existenta inversei utilizate este un mod de a vorbi despre diversitatea punctelor xk. Desigur, în matricea X se pot încorpora valori ale vectorului xvariate, asa cum rezult din observarea curent a sistemului de modelat.Este vorba în acest caz de varianta experimentului pasiv, nedirijat. Experimentul se poate îns planifica, în primul rând pentru a asigura acea diversitate de valori ale componentelor vectorului x capabil s pun în evident efectele lor asupra valorilor y. Planificarea poate merge înc maideparte prin alegerea componentelor vectorului x în asa fel încât s aib loc relatia

x xik

k

N

jk

1

0

pentru oricare dou componente distincte i j. De pild , experimentul din tabelul urm tor

Experienta nr. x0 x1 x2

1 1 –1 –12 1 –1 13 1 1 –14 1 1 15 1 0 0

are aceast proprietate, numit proprietatea de ortogonalitate. Pare dificil de pus în aplicare un asemenea plan experimental. Dar în tabelul de mai sus nu este vorba de valori naturale ale variabilelor ci de valori legate într-un modadecvat de cele naturale. Mai explicit, dac variabilele din realitate sunt, de pild , o temperatur T si un debit d, care în cursul experiment rii iau valorile 50, 75, 100 oC, respectiv 1000, 1200, 1400 kg/or atunci variabilele

xT

1

75

25

xd

2

1200

200iau exact valorile din tabel. Coeficientii relatiei-model se estimeaz în raport cu aceste variabile si apoi se revine la variabilele T si d din realitate. Avatajul unui experiment planificat si, în plus, ortogonal este dublu. Pe de o parte matricea este diagonal si deci usor de inversat. Pe de altparte efectul fiec rei variabile, usor de calculat

X XT

a

x y

x

l nl

lk k

k

N

lk

k

N1

2

1

0 1 2( , , ,..., )

poate fi pus în evident separat, în deplina lui semnificatie (sau lips de semnificatie). În aceste conditii suma de p trate ale rezidualelor (un alt termen pentru diferentele dintre valorile experimentale yk si cele calculate cu relatia y = xT

a în acelasi conditii xk) se descompune sub forma

32

N

k

nkn

N

k

k

N

k

k

N

k

k

N

k

nknkkk

xaxaxay

xaxaxay

1

22

1

21

21

1

20

20

1

2

1

21100

...

)...(

care rearanjat duce la

N

k

nknkkk

N

k

nkn

N

k

k

N

k

k

N

k

k

xaxaxay

xaxaxay

1

21100

1

22

1

21

21

1

20

20

1

2

)...(

...

Aceast ultim expresie pune în evident o interesant descompunere a sumei p tratelor valorilor observate yk, din partea stâng a egalit tii.Descompunerea contine termeni legati clar de câte un efect al uneia sau alteia dintre variabile si un ultim termen care este îns si suma rezidualelor ridicate la p trat, minimizat . Cu terminologia sume de p trate si grade de

libertate asociate, termenii din dreapta semnului de egalitate au fiecare câte 1 grad de libertate, cu exceptia ultimului care are N – (n + 1) grade de libertate, adic diferenta dintre num rul de observatii asupra lui y si num rulde coeficienti cuprinsi în vectorul a. Dac nu exist nici un efect real, adicsemnificativ, al x-ilor asupra lui y atunci se poate considera c valorile

sunt datorate exclusiv zgomotului (termen care denot erorile care însotesc obisnuit m sur torile) care acompaniaz observatiile y si atunci termenii sumei de mai sus pot servi la calculul unor estimatii cu 1 sau N – (n + 1) grade de libertate ale dispersiei valorilor y. Cu aceste estimatii se pot calcula valori F (Fisher-Snedecor) cu gradele de libertate respective. De pild raportul

a a an0 1, ,...,

F

a x

y a x a x a x

N n

l lk

k

N

k k k n nk

k

N

2 2

1

0 0 1 12

1

1

( ... )

( )este o valoare F cu 1 si N – (n + 1) grade de libertate. Selectând un nivel de semnificatie q (uzual 0,95) tabelele indic o valoare critic . Un F

calculat care se situeaz sub valoarea critic arat c efectul variabilei l nu exist sau, în alti termeni, nu este semnificativ, valoarea a

Fq

l calculat fiind datorat exclusiv zgomotului. Dimpotriv , un F calculat care este mai maredecât valoarea critic indic un efect semnificativ: variabila y depinde efectiv de xl. Termenul legat de reziduale poate fi el însusi testat ca semnificatie dac este raportat la o estimare a dispersiei din puncte experimentale repetate în aceleasi conditii. Pentru fiecare punct x repetat astfel se calculeaz o dispersie s2. Se calculeaz apoi un s2 global ca o medieponderat cu gradele de libertate ale estimatiilor punctuale. Acest din urms

2 are ca grade de libertate suma gradelor de libertate ale estimatiilor s2

punctuale componente. Se poate calcula acum un F ca raport al estimatieidin reziduale la estimatia din experiente repetate. Dac acesta este sub

33

valoarea critic tabelar se constat o situatie normal : modelul reprezintexperimentul în limitele zgomotelor care afecteaz m sur torile y. Din contra, dep sirea valorii critice dezv luie relatii y x mai complicate,efecte ignorate cu voie sau f r voie, sau o inadecvare de alt natur a modelului la experimentul sau obiectul modelat. Valoarea F calculat în acest mod, sau numai termenul din suma p tratelor asociat rezidualelor când calculul unui F nu este posibil se poate constitui în criteriu de discriminareîntre dou sau mai multe relatii-model posibile pentru un acelasi obiect, pe baza acelorasi date experimentale. Este de preferat aproape totdeauna modelul cu F mai mic, asadar cu reziduale mai mici. Desigur, variabilele care pot fi modificate dup dorint într-un experiment planificat sunt cele de intrare, independente. Exist o variabil deosebit , timpul, care este mai putin planificabil . Cel mai curent mod de a trata timpul în observatiile experimentale este de al m sura si marca la intervale regulate. Pe o secvent de momente egal distantate este posibil o ortogonalizare a matricei X prin utilizarea unor polinoame ortogonale pe multimea de puncte de pe axa timpului. Asta presupune c sunt de calculat dependente de timp polinomiale,reprezentabile prin polinoame. Exist polinoame de grad 0, 1, 2 etc. care pe o retea de puncte echidistante { au proprietatea important, ,..., }t t tN0 1

P t P ti k j k

k

N

( ) ( ) 00

ori de câte ori gradele lor i si j sunt diferite. Aceste polinoame au expresiile urm toare

)1(

)1(660.1)(

20.1)(

0.1)(

2

1

0

NN

tt

N

ttP

N

ttP

tP

m

kk

kk

mN

t

kkkm

kmtP

NNN

ttt

NN

tt

N

ttP

0)(

)(

3

!!)!(

)!()1()(

...............

)2)(1(

)2)(1(20

)1(

)1(30120.1)(

în care s-a notat .x x x x x kk( ) ( )( )...( )1 2 1Multe functii pot fi aproximate prin polinoame de acest tip si în general prin polinoame. Pornind de la gradul zero, ad ugând treptat câte un polinom cu grad mai mare cu o unitate fat de etapa precedent se pot calcula coeficienti ai unui polinom-model global. Semnificatia acestor coeficienti poate fi judecat separat. Forma unor semnale (variatii în timp) primite de la (observate la) un sistemde productie poate fi modelat prin asemenea relatii polinomiale, deduse din esantioane prelevate la intervale de timp echidistante.

34

Utiliz ri ale modelelor de natur statistic

Modelele parametrice, adic relatiile între diferite variabile tehnologice stabilite prin metode statistice sunt utile în evalu ri ale comport riisistemului în conditii diferite de acelea care au servit la stabilirea relatiilor-model. Aceste evalu ri pot fi de interpolare ori de câte ori noua combinatiede conditii este situat în zona unde sunt localizate si punctele care au servit la calculul relatiilor-model. Dar pot fi utilizate si la extrapol ri dac aceleasi conditii noi sunt situate în afara domeniului efectiv explorat. Extrapol riletrebuie f cute cu prudent . De la interpol ri nu se asteapt niciodat valori sigure, certe; rezult uzual valori foarte probabile care nu exclud realizarea practic a altori valori ale variabilelor dependente apropiate îns de cele calculate. Interpolarea are rolul de a filtra semnificativul de nesemnificativ,de a face o util netezire a datelor. Dac variabila principal este timpul atunci o modelare permite elaborarea unor prognoze, ceea ce corespunde în timp extrapol rilor relative la variabilele de alt natur decât temporal . Prognozele au dedicat un capitol special în aceast lucrare.

35

36

PROCESE MARCOV

O problem tipic

Iat enuntul unei probleme: compania A, produc toare a unui tip de cereale pentru micul dejun are circa 25% din piat . Datele din anul precedent arat c88% dintre clientii companiei au r mas atasati produsului ei, dar 12% au schimbat pentru produsul similar al concurentei. Se stie, de asemenea, c 85% din clientii concurentei au r mas loiali dar 15% au trecut la consumulprodusului companiei A. Admitând stabilitatea acestor tendinte, s se determinepartea de piat a companiei A în 2 ani si pe termen lung. Aceast problem este un exemplu de problem de schimbare de brand, problem care apare adesea în leg tur cu bunurile de consum. Pentru a rezolva o problem de acest gen se recurge la lanturile (procesele) Markov, care sunt un gen aparte de procese stochastice. Procedura în cazul particular enuntat este dat mai departe.

Procedura de obtinere a solutiei

An de an, un client poate cump ra fie produsul A, fie produsul concurent. Pe baza acestei observatii se poate construi diagrama de mai jos unde cele doucercuri reprezint dou st ri ale clientului generic, statistic, iar arcele reprezinttranzitiile (anuale), cu probabilit tile ca un client s comute de la un produs la altul sau r mân fidel unuia dintre produse. Diagrama aceasta este cunoscut ca diagrama de tranzitie a st rilor. De notat c arcele sunt toate orientate. Dat fiind aceast diagram se poate construi o matrice de tranzitie, notatuzual cu P, care contine probabilit tile de a avea loc o tranzitie de la o stare la alta.

Punând starea 1 = consumul de produs A si starea 2 = consumul de produs al concurentei, matricea de tranzitie pentru problema formulat este

37

85,015,0

12,088,0P

cu numerele înscrise exprimând probabilit tile de tranzitie de la starea “indicele-liniei” la starea “indicele-coloanei”. Cum se observ , sumaelementelor pe oricare din liniile matricei de tranzitie este egal cu unitatea. Se cunoaste c firma A detine pentru produsul ei 25% din piat . Acest fapt se concretizeaz într-un vector linie care reprezint starea initial

s1 = [0,25 0,75] adic 25% din piat pentru produsul A si 75% pentru produsul concurent. Teoria lui Markov spune c în perioada (anul) t starea sistemului este dat de vectorul st dat de

st = st–1(P) =st–2(P)(P) = ... = s1(P)t–1

Pentru a evalua st se poate evalua direct puterea a t – 1 a matricei P. O alternativ este a calcula starea sistemului în ani succesivi 1, 2, …, t.Se cunoaste deja starea sistemului pentru anul 1 (s1). Starea sistemului în anul 2 este dat de

s2 = s1P = 6675,03325,085,015,0

12,088,075,025,0

O interpretare (partial ) a acestui rezultat este: din cei 25% consumatori curenti ai produsului A, 88% vor continua acest obicei si din cei 75% dintre cump r torii produsului concurent, 15% vor comuta la produsul A. Asta d un total (fractionar) de (0,25)(0,88) + (0,75)(0,15) = 0,3325 care vor cump ra în perioada urm toare produsul A.

0 5 10 15 20 2525

30

35

40

45

50

55

60Evolutia cotei de piata pe termen lung

Anul

Co

ta d

e p

iata

(%

)

38

Asadar, în anul 2, 33,25% din consumatori vor cump ra produsul A, vor fi în starea 1. Ca verifcare, suma componentelor vectorului st trebuie s fie de fiecare dat egal cu unitatea. Prin înc o multiplicare cu matricea P, starea sistemului în anul al treilea va fi

s3 = s2P = 607275,0392725,085,015,0

12,088,06675,03325,0

Prin urmare, 32,2725% dintre consumatori vor cump ra în anul trei produsul A. Sub aspect practic este un nonsens a crede c se poate anticipa cota procentualde piat pentru proudsul A la doi ani, cu patru zecimale. Dar evalu rile permit o privire asupra perspectivei produsului A pe piat , perspectiv care altminteri nu este accesibil .Cu un program de calcul adecvat se pot face evalu ri pentru perioade maiîndelungate. Iat mai sus graficul evolutiei cotei de piat a produsului A pe un interval de 25 de ani. Se observ o variatie rapid în primii ani, o plafonare în anii urm tori anului 12.

Schimb ri

Un avantaj al utiliz rii unui program este acela c efectele unei schimb ri pot fi investigate usor. De exemplu, admitând c printr-o campanie de marketing/publicitate compania A poate creste loialitatea clientilor ei, în particular prin cresterea probabilit tii de a trece de la satrea A la starea A (de a r mâne fideli) cu 0,01, adic la 0,89. Dac compania A face acest lucru, e de asteptat ca si concurenta s -si lanseze propria campanie de promovare ceea ce aduce probabilitatea de a trece de la Concurent la Concurent de la 0,85 la, de pild , 0,86. Dup aceste evenimente, schimb ri, compania A va avea o parte mai mare sau mai mic din piat (sau poate aceeasi). Prin calcul se poate anticipa rezultatul actiunii.Calculul indic nu o crestere a vânz rilor în doi ani, ci o sc dere: vechea sectiune de piat era 39,2725%, noua parte de piat este 38,5625%. A sti acest rezultat f r efortul si cheltuiala cu marketingul si cu publicitatea este un lucru foarte important.

Comportarea pe termen lung

Revenind la problema perspectivei pe termen lumg a produsului A, e necesar a calcula st pentru t foarte mare, a face o tentativ de a trece la limt (t ).Ideea se bazeaz pe b nuiala c la un moment în viitor sistemul va atinge un echilibru, o stare stationar , în sensul c st = st–1. Faptul acesta nu înseamn ctranzitiile între st ri nu mai au loc. Ele se produc dar se produce o balansare, o

39

echilibrare asa încât numerele în st corespunz toare fiec rei st ri r mânaceleasi. Starea aceasta se numeste starea stationar .Sunt dou posibilit ti de a sonda starea stationar : prin calcul direct sau apelând la algebr .Calculul direct înseamn repetarea evalu rilor pentru t = 1, 2, 3, … pân când st

si st–1 sunt aproape la fel. Este, evident, calea cea mai facil pentru calculator si este frecvent utilizat .Calea algebric evit calculele îndelungi. La starea stationar st = st–1 ( = [x1 x2],de exemplu) si st = st–1 P si, în particular si mai în detaliu

85,015,0

12,088,02121 xxxx

cu x1 + x2 = 1. Asadar, aparent sunt de rezolvat trei ecuatii. Aceste trei ecuatii nu sunt totdeauna rezolvabile. De pild sistemul pentru matricea de tranzitie

P = 01

10

nu are o stare stationar .Adoptând tratarea algebric în cazul produsului A, sistemul este

x1 = 0,88x1 + 0,15x2

x2 = 0,12x1 + 0,85x2

x1 + x2 = 1 care dup rearanjarea primelor dou ecuatii se transform în

0,12x1 – 0,15x2 = 0 0,12x1 – 0,15x2 = 0

x1 + x2 = 1 un sistem omogen si înc o ecuatie. Ecuatia ultim este esential . F r ea nu se poate obtine o solutie unic . Prin rezolvare se obtin valorile x1 = 0,5556 si x2 = 0,4444, astfel c pe termen lung produsul A va avea o parte de piat de 55,56%. O verificare numeric util – în particular pentru probleme de mai maridimensiuni – const în a substitui valorile finale calculate în ecuatiile initiale pentru a verifica compatibilitatea lor cu aceste ecuatii.

Comentarii

Analiza de mai sus este mai curând simplist . Nu se poate pretinde c predictia portiunii de piat viitoare este foarte precis . Schimbând circumstantele se schimb în timp si matricea tranzitiilor. Cu toate acestea analiza de mai sus d o oarecare anticipare asupra fenomenului inexistent înaintea calculelor. De pild :

s-a creat o idee cantitativ asupra rapidit tii cu care partea de piat pentru produsul A se asteapt a creste s-a creat o idee cantitativ asupra maximului asteptat al p rtii de piat a produsului A

40

s-a creat o idee cantitativ asupra efectului publicit tii asupra probabilit tilor de tranzitie si în ultim instant a efectului de crestere sau de sc dere a p rtii de piat pentru produsul A.

Asemenea evalu ri bazate pe o analiz cantitativ poate fi de mare ajutor în procesele decizionale. De exemplu, dac de doreste pentru A o sectiune de piatde 35% în doi ani, nu trebuie întreprins nimic dat fiind tendinta curent . Dacse doreste o proportie de 50% din piat în urm torii doi ani atunci tot tinând seam de tendintele curente trebuie întreprins ceva. Cât de mult trebuie schimbate probabilit tile de trecere pentru a atinge obiectivul de 50% din piatpeste doi ani se calculeaz usor. Aceste calcule sunt un suport de reflectie asupra efectului publicit tii. Pentru multe produse (deoarece cererea total este efectiv stabil , ceea ce se mainumeste uneori piat saturat , adic “toti oamenii care ies s cumperecump r ”) ceea ce face o campanie publicitar este a schimba probabilit tile de comutare (tranzitie) de la un produs la altul. De retinut c probabilit tile de tranzitie nu sunt numere fixe, ele pot avea propria lor evolutie.

Surse de date

În prezent, multe supermarketuri au introdus “carduri de fidelitate” care sunt prelucrate la iesire odat cu marcarea cump r turilor f cute de clienti. Acestea furnizeaz o cantitate de informatii detaliate, din care supermagazinele sau alte unit ti economice interesate pot deduce matrici de tranzitie a preferintelor. Asemenea informatii sunt interesante si pentru un produc tor de cereale pentru micul dejun. Cât ar costa un supermarketimportant colectarea continu pe cale electronic de informatii detaliate privind comutarea între brand-urile de cereale? Cât ar putea încasa suplimentar pentru drepturi exclusive asupra informatiilor recoltate de acel supermagazin astfel ca concurenta s nu aib acces la acele informatii? Cât de util este un flux permanent de astfel de informatii pentru a judeca efectul campaniilor de promotare/marketing? Sunt întreb ri care sunt proprii economiei de piat .Un supermarket vinde foarte multe produse diferite, de tipuri diferite. Datele pe care supermaketurile le colecteaz în bazele lor date prin cardurile de fidelitate pot fi extrem de valoroase pentru ele dar, poate mai ales, pentru produc tori.Accesul la asemenea date face posibil construirea unor modele înc maidetaliate. De pild , în problema cerealelor despre care s-a vorbit mai sus, concurenta a fost reprezentat printr-o singur (variabil de) stare. Cu date maidetaliate acea stare poate fi descompus într-un num r de st ri diferite – poate una pentru fiecare brand de cereale în competitie pe piat . Dac num rul de st ri este n, num rul tranzitiilor este n2 si sunt necesare tot atâtea probabilit tide tranzitie. Estimarea acestor probabilit ti nu este o treab foarte grea dac se acceseaz o baz de date a unui supermarket. Din datele consumatorilorindividuali se poate vedea dac oamenii comut sau nu de la un produs la altul si dac da, la ce anume comut .

41

Se pot imagina modele diferite pentru segmente diferite ale pietii. Poate cschimbarea dee brand-uri se face diferit în mediul rural si în mediul urban, de pild . Familiile cu cu copii de vârste mici pot constitui un segment separat în spectrul de consumatori de cereale. Este de retinut faptul c informatia cheie în investigarea numeric a comut riiîntre brand-uri o reprezint probabilit tile asociate tranzitiilor. F rasemenea date nici un calcul nu este posibil. Cum se pot obtine informatii relativ la probabilit tile de tranzitie dac accesul, costisitor de cele mai multe ori, la informatiile adunate de supermarketuri nu este posibil? O cale este cunoscut înc dinainte de introducerea de carduri de fidelitate: supravegherea individual a consumatorilor. Cineva se posteaz în iesirea supermarketului si chestioneaz cump r torii asupra cump r turilorcurente si asupra cump r turilor precedente. Si calea aceasta poate costa destul de mult deoarece e necesar a acoperi o arie geografic suficient si a face actualiz ri periodice ale acestor observatii. Ambele c i, si colectarea electronic a datelor, si colectarea lor “manual ” costbani.Exist o cale de a face supravegherea aceasta cu costuri mult reduse, cum se va vedea mai jos. Se iau în considerarea numai cotele de piat observate si putin tatea relativ a datelor se compenseaz cu o cantitate suplimentar de efort intelectual. Metoda realizeaz estimarea probabilit tilor de tranzitie – si a matricei de tranzitie – din împ rtirea curent , observat a pietei. Iatdezvoltarea imediat.

Estimarea matricei de tranzitie – dou perioade

Iat un exemplu simplu cu dou st ri, referitoare la dou companii. Se presupune c divizarea pietii în prima perioad este [0,3 0,7] si în perioada urm toare este [0,2 0,8]. Cum se estimeaz matricea de tranzitie? Fie aceast matrice

22

11

1

1

pp

pp

Se scrie ecuatia matricial

22

11

1

17,03,08,02,0

pp

pp

în necunoscutele p1 si p2 care se rescrie ca – 0,5 = 0,3p1 – 0,7p2

0,5 = – 0,3p1 + 0,7p2

Se vede c cele dou ecuatii sunt identice: una este cealalt multiplicat cu –1, asadar solutia în p1, p2 nu este unic . Pentru a dep si acest obstacol se tine seam de faptul c oricare ar fi matricea de tranzitie, elementele diagonale (p1 si p2) ar trebui s fie cât mai mari posibile. Asta este echivalent cu a spune c este

42

mai credibil constanta optiunilor si mai putin probabil comutarea la alt brand. Asadar, se poate formula o problem de forma:

A se maximiza p1 + p2

în conditiile – 0,3p1 + 0,7p2 = 0,5

0 p1 1 0 p2 1

cu includerea evident a restrictiilor uzuale asupra probabilit tilor, care trebuie s fie numere subunitare si pozitive. Aceast problem , în formularea nou este una de programare liniar usor de rezolvat. Solutia este p1 = 2/3 si p2 = 1, adic

10

3/13/2P

Este usor de verificat c valorile stabilite satisfac ecuatia matricial de maidevreme. De observat c exist multe matrici de tranzitie posibile care corespund exact cotelor de piat observate. Pe calea ar tat s-a ales una din acele matrici de tranzitie, poate nu cea mai potrivit .

Estimarea matricei de tranzitie – perioade multiple

Cercetarea cap t consistent dac datele culese din realitate sunt mai bogate, cum ar fi de pild în cazul de mai sus dac se presupune c observatiile asupra cotelor de piat pe perioade egale sunt: [0,3 0,7], apoi [0,2 0,8], apoi [0,15 0,85], apoi [0,13 0,87]. Primele dou perioade sunt cele utilizate în evalu rilede mai devreme. Cum se poate estima matricea de tranzitie în noile conditii? O cale imediat ar fi s se ia perechi succesive de vectori din secventa de maisus si s fie tratate prin metoda deja expus . Aproape sigur, matricile de tranzitie vor rezulta diferite si se vor aplica pentru fiecare pereche de vectori ai cotelor de piat în timpul une perioade. Stabilirea acestor matrici ar putea fi un exercitiu pentru cititor. Aceast variatie a matricei de tranzitie de la o perioad la alta scoate discutia din aria solidei teorii a lanturilor Markov. Gândul ar putea duce la formularea unei probleme de programare liniar maibogat în conditii restrictive: la relatia liniar din formularea de mai sus s-ar putea ad uga alte relatii liniare generate de perechile urm toare de vectori ai cotelor de piat . Problema ar fi atunci:

A se maximiza p1 + p2

în conditiile 0,3p1 + 0,7(1 – p2) = 0,2 0,3(1 – p1) + 0,7p2 = 0,8

0,2p1 + 0,8(1 – p2) = 0,15 0,2(1 – p1) + 0,8p2 = 0,85

0,15p1 + 0,85(1 – p2) = 0,13 0,15(1 – p1) + 0,85 p2 = 0,87

43

0 p1 1 0 p2 1

Evident, restrictiile-egalitate coincid dou câte dou , asadar sunt numai trei egalit ti distincte. Încercarea de rezolvare prin metodele program rii liniare este un esec: problema este infezabil , adic nu exist valori p1 si p2 care s satisfacconditiile de mai sus. Exist o alt cale de atac, care se constituie tot ca o problem de optimizare:minimizarea diferentelor la p trat dintre probabilit tile st rilor calculate pentru fiecare perioad si st rile corespunz toare observate, adic minimizarea sumeide p trate ale erorilor de predictie a cotelor de piat estimate cu modelulMarkov. Aceasta este o tratare uzual în estimarea de parametri.Asadar, este de rezolvat prolema:A se minimiza functia de p1 si p2

[0,3 p1 + 0,7(1 – p2) – 0,2]2 + [0,3(1 – p1) + 0,7 p2 – 0,8]2 + + [0,2 p1 + 0,8(1 – p2) – 0,15]2 + [0,2(1 – p1) + 0,8 p2 – 0,85]2 +

+ [0,15 p1 + 0,85(1 – p2) – 0,13]2 + [0,15(1 – p1) + 0,85 p2 – 0,87]2

în conditiile 0 p1 1 0 p2 1

Putin calcul algebric si eliminarea unor constante care nu influenteaz pozitia minimului în spatiul (p1, p2) aduc functia obiectiv de optimizat la forma de maijos si problema la a se minimiza

0,1525(p1)2 + 1,8525(p2)

2 – 0,995p1p2 + 0,776p1 – 2,964p2

în conditiile mentionate.Este vorba aici de o problem de programare neliniar (p tratic ) care se rezolv cu un program specializat. Rezultatul este p1 = 0,53, p2 = 0,94 si, în consecint , matricea de tranzitie este

94,006,0

47,053,0P

Cu aceste valori se pot calcula st rile succesive.

Timpul Starea Estimat Observat1 0,201 0,2

12 0,799 0,81 0,145 0,15

22 0,855 0,851 0,131 0,13

32 0,869 0,87

În tabel se remarc o estimare foarte bun prin matricea de tranzitie a cotelor de piat observate efectiv. Pentru claritatea lucrurilor: ceea ce s-a lucrat pân la acest punct a avut ca urmare g sirea într-o manier sistematic , consistent logic, a unei matrici de

44

tranzitie care se potriveste cel mai bine pe cotele de piat observate. Acea matrice de tranzitie poate s corespund sau nu probabilit tilor de tranzitie pe care le-am fi aflat prin monitorizarea clientilor sau prin colectarea electronic a informatiei din lumea real .Totusi, matricea de tranzitie stabilit mai sus d o imagine întrucâtva maicomplet asupra situatiei. Se poate observa fidelitatea clientilor companiei 2 (94% r mân cu compania 2, în starea 2, perioade la rând). Clientii companiei 1 (starea 1) nu sunt la fel de loiali: numai 53% r mân cu compania 1 perioaddup perioad , aproape echivalent cu a arunca cu banul pentru a alege între produsele companiei 1 si ale companiei 2. Aceast apreciere numeric a fidelit tii este ceva ce nu putea fi f cut privind pur si simplu la valorile cotelor de piat observate: [0,3 0,7], apoi [0,2 0,8], apoi [0,15 0,85], apoi [0,13 0,87]. Aceeasi evaluare sugereaz c ile spre câstigarea unei cote de piat ma ridicatsau de stopare a declinului eventual al cotei de piat .

Un exemplu mai complicat

Pentru consolidarea cunostintelor despre procesele Markov se propune exemplul urm tor. Se admite c piata pentru un anumit produs este alimentat /controlat de patru companii: A, B, C si D. Dac clientii cump rproduse de tipul A sau B ei nu mai cump r vreodat alt brand. Dac cump rC probabilit tile de a cump ra luna viitoare A, B, C sau D sunt 0,45; 0,4; 0,05 respectiv 0,1. Dac ei cump r D probabilit tile ca luna viitoare s cumpere A, B, C sau D sunt 0,1; 0,2; 0,3 respectiv 0,4. Situatia aceasta se prezint ca în diagrama de tranzitie a st rilor dat mai sus. Dac cump r torii sunt distribuiti initial în proportia 20%, 30%, 30% si 20% pentru A, B, C respectiv D, care va fi situatia dup dou luni?

Punând starea 1 = A, starea 2 = B, starea 3 = C si starea 4 = D, se poate scrie

45

2,03,03,02,01s

si

5,04,02,01,0

1,005,04,045,0

0010

0001

P

St rile 1 si 2 (A si B) sunt st ri absorbante, sunt st ri care odat atinse nu maipot fi p r site. St rile care nu sunt absorbante sunt numite st ri tranzitorii.Starea sistemului în luna a doua este dat de s2 = s1P

11,0075,046,0355,0

5,04,02,01,0

1,005,04,045,0

0010

0001

2,03,03,02,0

În luna a treia starea se se modific la s3 = s2P

5,04,02,01,0

1,005,04,045,0

0010

0001

11,0075,046,0355,0

0515,003675,0512,039975,0Se observ c pentru produsele A si B cotele de piat sunt în crestere, cotele de piat pentru produsele C si D sunt în sc dere de la perioad la perioad .Repetarea calcului pân la perioada a 20-a produce un rezultat asteptat: cump r torii migreaz treptat la produsele A si B. Starea dup 20 de perioade este

88 10.761,610.815,45593,04407,0Practic, toti consumatorii se adun , în cele din urm , în st rile absorbante. De observat c existenta unor st ri absorbante face matematica necesarcalculului evolutiei sistemului pe durat îndelungat mult mai complicat decât aceea utilizat mai devreme, în cazurile în care nu existau st ri absorbante. Programul de calcul obisnuit refuz s calculeze în acest caz un regim stationar. Pentru a vedea de ce, se încearc aceeasi metod ca mai devreme, utilizat în lipsa st rilor absorbante. Fie starea final a sistemului [x1 x2 x3 x4]. Atunci se caut solutia ecuatiei

5,04,02,01,0

1,005,04,045,0

0010

0001

43214321 xxxxxxxx

cu x1 + x2 + x3 + x4 = 1. Ultimele dou ecuatii din ecuatia matricial sunt

46

x3 = 0,05x3 + 0,3x4

x4 = 0,1x3 + 0,4x4

ceea ce conduce la x3 = x4 = 0, singurele valori care verific cele dou egalit ti(o b nuial în acest sens exista). Cu x3 = x4 = 0, ecuatiile care r mân devin

x1 = x1

x2 = x2

x1 + x2 = 1 ccea ce nu duce nic ieri.Orice problem pentru care se poate desena o diagram de tranzitie a st rii în genul figurat mai devreme poate fi analizat prin metoda dat mai sus. Avantajele si dezavantajele utiliz rii teoriei lui Marcov sunt:

Teoria markovian este simplu de înteles si de aplicat Calculele de sensibilitate (problemele de genul “dar dac ”) sunt usor de efectuatTeoria lui Markov d o privire asupra evolutiei sistemului în timpMatricea P poate fi dependent de starea curent a sistemului. Dac P

depinde atât de timp cât si de starea curent a sistemului, adic P este o functie de t si de st atunci ecuatia Markov de baz se complic . Ea devine st

= st–1P(t – 1,st–1)Teoria lui Markov este numai un model simplificat al proceselor decizionale reale.

O aplicatie interesant a proceselor Markov comentat în literatur se refer la industria petrolier off-shore norvegian . În Norvegia, un organism de stat, The the Norwegian Petroleum Directorate, împreun cu compania petrolier de stat STATOIL are un rol important în planificarea dezvolt rii facilit tilor petrol-gaze off-shore. Problema principal si esential pe care o are The Norwegian PetroleumDirectorate este cum s planifice conductele, pornirile din teren, productia astfel încât s maximizeze contributia la economia norvegian în timp. Scara de timpeste aici foarte îndelung , tipic de la 30 la 50 de ani. Exist flexibilitate în deciziile relative la un num r de aspecte cum sunt:

Rata productiei (cât de repede iese produsul din subsol) Initierea de noi exploat ri (când ar trebui pornite exploat rile)Constructia si capacitatea conductelor (unde s fie construite, când s fieconstruite si de ce capacitate ar trebui s fie.

Obiectivul este acela de a maximiza beneficiul economiei norvegiene în timp,peste ani. De important critic este pretul titeiului – desi nu poate fi prezis cu acuratete pe perioade lungi, de 30 la 50 de ani. Pentru a dep si aceast problem norvegienii modeleaz pretul petrolului ca un proces Markov cu trei niveluri (st ri), care corespund unor scenarii: unul optimist, unul care pare cel mai probabil si altul pesimist. Ei specific totodatprobabilit ti asociate tranzitiilor între st ri pentru fiecare perioad de timp (an). Se pot utiliza matrici de tranzitie diferite pentru sc ri de timp diferite (de pild

47

matrici diferite pentru viitorul apropiat, pe termen mediu si pe perspectivîndep rtat ).Desi tratarea este destul de simpl , ea prezint avantajul capt rii incertitudinii viitorului într-un model relativ simplu, usor de înteles si de aplicat. Studiile de modelare a populatiilor (cu obiecte care “îmb trânesc”) sunt si ele aplicatii interesante ale proceselor Markov. Un exemplu de gen este modelareapietii automobilelor ca proces Markov, în vederea prognoz rii “necesarului” de automobile noi pe m sur ce vehiculele vechi ies din uz. Pentru a vedea asta se poate încerca modelarea pietei de gen cu st ri corespunz toare num rului de proprietari/vechimea vehiculelor. Un alt exemplu este modelarea ca proces Markov a evolutiei clinice a unui pacient sub tratament cu diferite medicamente.

48

GRAFURI SI APLICATII ALE GRAFURILOR

Generalit ti si definitii

Grafurile sunt obiecte definite matematic ca perechi (X, ) cu X o multime si o aplicatie definit pe multimea X cu valori în multimea p rtilor lui X.

Dac X este o multime finit atunci unui graf i se poate asocia o reprezentare geometric prin puncte si segmente. Punctele, numite si noduri sunt elemente ale lui X, iar segmentele, numite si arce exprim aplicatia .Un arc (orientat) are ca origine un element din X si ca extremitate un nod din submultimea imagine prin a nodului de origine, parte a multimii X. Un graf poate fi definit si prin cuplul (X, U) cu U multimea arcelor. Structura grafurilor poate fi foarte diferit . Ele pot fi conexe sau neconexe

dup cum exist sau nu un drum între oricare dou noduri ale grafului. Drum este orice succesiune de arce cu extremitatea si/sau originea coincidente. Grafurile pot fi orientate sau nu dup cum sensul parcurgerii arcelor este important sau nu. Grafurile pot fi ciclice sau nu dup cum existsau nu un drum parcurs în sensul orient rii arcelor, care s porneasc într-un nod si s revin în acel nod. Frecvent, arcelor unui graf li se asociaz anumite numere care sunt cunoscute generic drept capacit tile acelor arce. Grafurile au aplicatii multiple în modelarea si simularea sistemeloreconomice. Câteva din aceste aplicatii sunt discutate în continuare.

Analiza drumului critic

Analiza drumului critic (ADC) este o aplicatie economic remarcabil a grafurilor. Aceasta este o metod de conducere stiintific a realiz riiproiectelor. Un proiect este un proces complex sau o actiune de mareamploare orientat spre atingerea unui scop bine precizat. Un proiect, în sensul acestei definitii are un obiectiv, un ansamblu de activit ti si o tehnologie.Activit tile sunt p rti determinate ale proiectului, care consum uzual timpsi resurse. Descompunerea unui proiect în activit ti componente permiteanaliza am nuntit a desf sur rii lui în conformitate cu tehnologia pe care el se bazeaz .A programa un proiect înseamn a stabili termenele de începere pentru fiecare activitate tinând seama, din nou, de logica tehnologiei proiectului. Din multitudinea programelor admisibile este de retinut un num r restrâns de programe optime, uneori unul singur. Un astfel de program asigur

49

optimizarea unui anumit criteriu de eficient economic f r a viola conditiile tehnologice. Ordinea si conditionarea tehnologic a activit tilor unui proiect se poate modela prin grafuri în cel putin dou feluri dup modul în care se plaseazactivit tile componente ale proiectului în graful-model. Sunt grafuri cu activit tile în noduri sau grafuri cu activit tile pe arce. În oricare din cele dou variante, începutul const în întocmirea unei liste a activit tilor care compun proiectul si cu stabilirea precedentelor. Operatia implic desigur o gândire care trebuie s tin seam de tehnologia realiz riiproiectului.Ca exemplu, se d imediat lista de activit ti în cazul unui proiect simplu,alc tuit din 11 activit ti cu duratele lor de executie trecute în tabelul al turat. Se presupune aici c trebuie f cut o reproiectare (minor ) a unui produs si a ambalajului s u. Intentia este a verifica piata pentru acest produs reproiectat si apoi a-l revizui în raport cu rezultatele testului de piat . În final, concluziile sunt prezentate în fata conducerii (colective a) companiei.Întrebarea cheie este: cât timp va consuma acest proiect cu întelesul cât de redus poate fi acest timp?

Num rulactivit tii

Scurt descriere Durata

1 Reproiectarea produsului 62 Reproiectarea ambalajului 2

3Comandarea si primirea componentelor

pentru produsul reproiectat 3

4Comandarea si primirea componentelor

pentru ambalajul reproiectat 2

5 Asamblarea produselor 46 Preg tirea ambalajului 17 Împachetarea produsului reproiectat 18 Testarea pe piat a produsului reproiectat 69 Revederea produsului reproiectat 310 Revederea ambalajului reproiectat 111 Prezentarea rezultatelor în fata conducerii 1

Relativ la alc tuirea acestei liste de activit ti se poate totdeauna pune în discutie gradul de detaliere a proiectului în timp (scara de timp). La o extrem se putea considera proiectul ca o activitate unic , “executarea proiectului”; la cealalt extrem proiectul se poate f râmita în activit ti pe ore. Scara de timp adecvat , care poate fi uneori diferit pentru activit tidiferite rezult din cunoasterea situatiei concrete combinat cu experienta. Al turi de aceast list trebuie preg tit o list secundar , dar nu mai putin important , cu relatiile de precedent , indicatoare ale logicii succesiunii activit tilor. Aceast list spune care activit ti trebuie încheiate înainte ca alte activit ti s poat începe. De pild , în lista de mai sus, înainte ca activitatea 3 s poat începe, trebuie finalizat activitatea 1. Pentru claritate, aceast list ar trebui mentinut la un minim de informatie, prin specificarea numai a relatiilor imediate, adic numai a relatiilor care implic activit ti

50

adiacente în timp. De exemplu, este evident c activitatea 1 trebuie finalizat înainte de începerea activitat tii 9, dar despre aceste douactivit ti cu greu se poate spune c au o relatie imediat , deoarece multe alte activit ti urm toare activit tii 1 trebuie s fie încheiate înainte de startul activitat tii 9. În schimb, activit tile 8 si 9 sunt activit ti care au o relatie imediat : activitatea 9 poate începe deîndat ce activitatea 8 este încheiat .Prin specificarea relatiilor care nu sunt imediate, lucrurile mai curând se complic , la fel calculele de executat, f r a afecta îns rezultatul final. Nu-i mai putin adev rat c în raport cu lumea real , consecintele omiterii unor relatii de precedent sunt mult mai serioase decât consecintele includerii unor relatii nenecesare, care nu sunt imediate.Iat acum lista precedentelor imediate pentru activit tile componente ale proiectului simplu exemplifucat:

Activit ti precedente Activitateaurm toare

1 32 43 54 6

5, 6 77 88 98 10

9, 10 11

De observat c :Activit tile 1 si 2 nu apar în coloana din dreapta a tabelului de precedente deoarece nu exist activit ti care trebuie încheiate înainte ca ele s poat fi începute. Activit tile 1 si 2 pot fi pornite imediatDou activit ti (5 si 6) trebuie finalizate înainte ca activitatea 7 s poatîncepeEste destul de clar în acest tabel c relatiile de precedent neimediate (de genul activitatea 1 trebuie încheiat înainte ca activitatea 9 s poat fiînceput ) nu trebuie incluse în list deoarece ele pot fi deduse din relatiile deja prezente în list .

51

În aceast faz , exist informatii suficiente pentru a construi un graf-modelal proiectului. În varianta cu activit tile pe arce acesta arat ca în figura al turat .Graful din figur este cunoscut în literatur ca un graf-retea sau, simplu, o retea CPM (de la Critical Path Method). Nodurile numerotate distinct marcheaz evenimente care constau în încheierea unor activit ti si crearea posibilit tii de începere a altora. Exceptii fac nodul de început (1 în exemplul în discutie) si nodul final (10). Ca regul general atât nodul de început cât si cel care marcheaz finalul proiectului sunt unice. Dup cum se va vedea în alt sectiune a acestei lucr ri, activit tile pot avea durate aleatoare. Nodurile sunt asociate atunci unor evenimente în sensul discutat în capitolul de probabilit ti. Este cazul retelelor PERT (de la Program

Evaluation and Review Technique).În cazul retelelor CPM duratele activit tilor sunt determinate. Nodurile (evenimentele) se nomeroteaz , cum s-a spus, cu numere naturale 1, 2, …, i,…, j, …, n, de preferint f r lacune. O pereche de astfel de numere, (i, j)marcheaz o activitate cu începutul în nodul i si cu sfârsitul în nodul j.Activit tile si termenele lor se reprezint dac este posibil pe graf. În rationamentele care urmeaz duratele si termenele se noteaz astfel:tij - durata activit tii (i, j);

ti - termenul cel mai timpuriu (minim) al unui eveniment/nod (i);

ti

* - termenul cel mai târziu (maxim) al unui eveniment/nod (i);t i js ( , ) - termenul minim de începere a activit tii (i, j);

t i js

*( , ) - termenul maxim de începere a activit tii (i, j);t i jf ( , )

*

- termenul minim de încheiere a activit tii (i, j);

t i jf ( , ) - termenul maxim de încheiere a activit tii (i, j);

T - durata total a proiectului; R i jt ( , ) - rezerva total a activit tii (i, j);R i jl ( , ) - rezerva liber a activit tii (i, j);R i ji ( , ) - rezerva intermediar a activit tii (i, j);R i js ( , ) - rezerva sigur a activit tii (i, j);Termenele cel mai timpuriu posibil si cel mai târziu admis pentru o activitate (i, j) se calculeaz din termenele evenimentelor care marcheazînceputul si sfârsitul ei, cu relatiile

t i j ts i( , )t i j t tf i( , )

* *

ij

ij

ij

ij

t i j tf j( , )

t i j t ts j

* *( , )

Rezervele de timp de cele patru tipuri ale unei activit ti (i, j) se obtin din termenele evenimentelor cu relatiile

R i j t t tt j i( , ) *

R i j t t tl j i( , )

52

R i j t t ti j i( , ) * *ij

ij

i

R i j t t ts j i( , ) *

Acestea sunt rezerve care pot fi consumate în amumite conditii f r a afecta durata total de executie a proiectului. Din secventa de relatii de mai sus pot rezulta uneori valori negative. Desigur astfel de valori nu au sens practic si de aceea se consider a fi semnul inexitentei acelor rezerve, nulitatea lor. În practic , foarte frecvent se utilizeaz drept criteriu de optimizare durata total a proiectului, care trebuie s fie, se întelege, cât mai scurt .Algoritmul de rezolvare a problemei în acest caz are dou etape. În primaetap , aceea a parcursului direct, se calculeaz termenele minime ale evenimentelor, iar în etapa a doua, cea a parcursului invers, se calculeaztermenele maxime ale evenimentelor. Formulele de calcul sunt

tt t

i j G

j

j nji ij

0 1

1

;

max( );( , )

respectiv

ni

ni

Gji

tt

t

tijj

n

i 1

),(

;)min(

;

**

Parcursul direct, de la nodul initial spre cel final reprezint un programminorant de executie a proiectului. Parcursul invers, de la nodul final spre cel initial este un program majorant. Încadrarea termenelor asociate nodurilor (evenimentelor) între cele dou programe nu modific termenulfinal si durata total a proiectului. Nodurile pentru care

t ti i

*

sunt noduri sau evenimente critice. Acestea sunt situate pe asa-numituldrumul critic si termenul unic, minim si maxim trebuie respectat riguros pentru fiecare nod. Toate celelalte evenimente admit o întârziere maxim de

. Acestea nu sunt situate pe drumul critic, sunt necritice. t ti

*

Activit tile critice sunt situate între noduri critice si în cursul execut riilucr rilor proiectului trebuie supravegheate îndeaproape deoarece orice prelungire a duratei unei activit ti critice produce o întârziere a finaliz riiproiectului.Despre rezervele de timp ale activit tilor trebuie spus c gestionarea lor trebuie f cut cu prudent . Epuizarea lor poate produce criticalizarea unor activit ti urm toare, ceea ce, evident, complic managementul proiectului în continuare. Singurele rezerve care pot fi consumate f r a modifica num rulde activit ti critice sunt rezervele sigure, adic cele din ultima categorie. Graful cu activit tile în noduri pentru problema enuntat mai devreme aratca în figura urm toare. Graful în aceast variant d expresie grafic maiclar relatiilor de precedent . Sunt noduri f re vreun precedent, care corespund activit tilor de început în desf surarea lucr rilor proiectului. Uzual, se mai introduce un nod (aici nodul 12) care este “activitatea” final

53

care marcheaz finalul punerii în oper a proiectului si nu consum timp(nodurile sunt numerotate cu numerele asociate activit tilor si între paranteze sunt înscrise duratele acelor activit ti).

Stabilirea termenelor celor mai timpurii posibile si a celor mai târzii admisepentru fiecare activitate urmeaz acelasi algoritm prezentat mai devreme,derivat din programarea dinamic .Rezultatele obtinute (de regul pe calculator) au forma din tabelul urm tor:

Act

ivit

ti

Dur

ate Startul

cel maitimpuriu

Finalulcel mai

timpuriu

Startulcelmai

târziu

Finalulcelmai

târziu Rez

erve

1* 6 0 6 0 6 02 2 0 2 8 10 83* 3 6 9 6 9 04 2 2 4 10 12 85* 4 9 13 9 13 06 1 4 5 12 13 87* 1 13 14 13 14 08* 6 14 20 14 20 09* 3 20 23 20 23 010 1 20 21 22 23 211* 1 23 24 23 24 0

Durata proiectului = 24 u.t. Num rul de drumuri critice = 1

(caracterul * marcheaz activit tile critice)

Tabelul rezultatelor evidentiaz lipsa oric ror rezerve de timp pentru activit tile situate pe drumul critic. Apar în schimb rezerve pentru activiut tile necritice. Aceste rezerve sunt gestionabile optim dacconduc torul lucr rilor de punere în oper a proiectului are în vedere, de pild , o nivelare a resurselor necesare realiz rii proiectului. Acest Subiect va fi discutat într-o alt sectiune a acestei lucr ri.

54

Lungimea drumului critic – suma duratelor ectivit tilor critice – este durata minim a execut rii proiectului în conditiile din enunt. Pot exista mai multe drumuri critice, dar toate au aceeasi lungime, aceeasi durat .

Metoda de analiz a drumului critic CPM cu reducere de durate.

În analiza drumului critic prin metoda CPM este posibil ca durata de executarea a proiectului rezultat s fie neconvenabil de lung . Este posibilaccelerarea executiei unui proiect? R spunsul este afirmativ dar, cum este de asteptat, costurile de executie cresc. Dac termenul de încheiere a proiectului trebuie redus, o seam de activit tiurmeaz a se executa în termene mai strânse. Desigur, candidatele prime la accelerare sunt activit tile de pe drumul critic: activit ti mai scurte pe drumul critic înseamn o durat însumat mai mic .Scurtarea duratelor pe drumul critic ar putea s fac critice alte activit ti,mai întâi dintre cele imediat adiacente drumului critic stabilit pentru durate normale dar nu numai. În faze mai avnsate ale evalu rilor poate deveni necesar scurtarea si a altor ectivit ti. Din acest motiv, în general trebuie analizat si stabilit în prealabil costul scurt rii oric rei activit ti critic sau necritic din proiect si reanalizat programarea lucr rilor pentru a cheltui cât mai putin cu accelerarea necesar . Pentru costul reducerii duratei unei activit ti, altfel oarecare, modelul cel mai frecvent utilizat este cel cu variatie liniar : se stabileste o durat limit sub care activitatea respectiv nu poate fi executat , tijmin si se exprim costul activit tii la durate intermediare,mai mari decât tijmin, mai mici în raport cu durata normal tijnormal. Relatia cost-durat nu poate fi decât cu pant negativ

)( normalnormalredus ttcCC ijijijij pentru t ],[ normalmin ijij tt

Minimizarea costului reducerii duratei de executie a proiectului parcurge un algoritm iterativ în care se alterneaz programarea liniar cu analiza drumului critic. La început se reduce durata acelei activit ti de pe drumulcritic, care are cea mai mic variatie cij, pân când rezerva de reducere a duratei acelei activit ti este epuizat sau pân când drumul critic se modificstructural prin includerea altor activit ti. Se reevalueaz drumul critic daceste cazul si se reia calculul cu o alt activitate de pe drumul critic (nou), care are rezerve de reducere a duratei si are cel mai mic cost specific cij. Se opreste calculul fie atunci când o conditie de durat este îndeplinit , fie când nu mai sunt posibile reduceri de durat .Iat , ca exemplu, elementele de calcul necesare unui astfel de calcul, sub form de tabel (cu referire la graful cu activit tile pe arce).

55

Noduri Durate Costuri

Act

ivit

atea

De

înce

put

De

fina

l

Nor

mal

e

Scu

rtat

e

Nor

mal

e

Cu

scur

tare

1 1 2 6 4 6000 80002 1 3 2 1 2000 50003 2 4 3 1 3000 70004 3 5 2 1 2000 40005 4 6 4 2 4000 90006 5 6 1 1 1000 10007 6 7 1 1 1000 10008 7 8 6 4 6000 75009 8 9 3 2 3000 450010 8 9 1 1 1000 100011 9 10 1 1 1000 1000

Mai devreme s-a v zut c durata normal a executiei proiectului este 24 de unit ti de timp (u.t.). Se cere o scurtare cu 4 unit ti de timp, adic la numai20 u.t. Rezultatele sunt cuprinse în tabelul imediat urm tor.

Noduri

Act

ivit

atea

De

înce

put

De

fina

l

Scu

rtar

e cu

:

Cos

tul

scur

tri

i

Dur

ata

acti

vit

tii

Cos

tul

acti

vit

tii

1* 1 2 2 2000 4 80002 1 3 - - 2 50003* 2 4 - - 3 70004 3 5 - - 2 40005* 4 6 - - 4 90006 5 6 - - 1 10007* 6 7 - - 1 10008* 7 8 2 1500 4 75009* 8 9 - - 3 300010 8 9 - - 1 100011* 9 10 - - 1 1000

Costuri: 3500 33500Durata normal a proiectului: 24 u.t. Durata scurtat a proiectului: 20 u.t.

Rezultatele din tabel contine politica de scurtare a duratei de la 24 la 20 de u.t. cea mai putin costisitoare.

56

Problema drumului critic în conditii de incertitudine

Asa cum s-a mentionat în treac t într-o sectiune a capitolului prezent, uneori, asupra duratelor de executie a activit tilor dintr-un proiect planeazincertitudinea. Nu se pot preciza valori sigure ci numai estim ri de încadrare: durata unei activit tii (i, j) poate avea orice valoare dintr-un interval compact delimitat de un minim care este asociat celor mai fericiteconditii de executie si de un maxim asociat cu cele mai adverse conditii în timpul executiei. Asemenea situatii se întâlnesc, de exemplu, atunci când una sau mai multe activit ti sunt de noutate absolut si lipsa experientei exclude orice posibilitate de normare clar sau când asupra ritmuluilucr rilor pentru ducerea la bun sfârsit a unor activit ti impieteaz factori aleatori naturali sau care apartin de ambianta economic .Pentru modelarea unor proiecte sub incertitudini de acest gen se utilizeazgrafuri de genul celor descrise mai sus. Metoda de tratare este diferit si este cunoscut sub numele prescurtat PERT (Program Evaluation and Review

Technique).Lucrurile stau întrucâtva diferit în cazul retelelor PERT unde duratele activit tilor sunt incerte. Pentru fiecare activitate din proiect, se estimeazpe o cale sau alta o durat optimist aij, o durat pesimist bij si o durat care pare a fi cea mai probabil mij. Cu aceste estim ri primare, în ideia c durata unei activit ti este o variabil aleatoare, se pot evalua mediile si dispersiile duratelor fiec rei activit ti, uzând de relatiile simplificate si aproximative

ta m b

ij

ij ij ij4

6

ij

ij ijb a2

2

6

Legea de repartitie cea mai potrivit pentru duratele activit tilor într-o retea PERT este o lege Beta cu densitatea de repartitie sau, cum i se mai spune, densitatea de probabilitate

bt

btaqpBab

tbatat

tfqp

qp

0)1,1()(

)()(0

)(1

Legea aceasta contine doi parametri, p si q, numere pozitive, iar B(p + 1, q + 1) este functia special eulerian de specia a doua definit ca

1

0

)1()1,1( dxxxqpB qp

Variabila aleatoare t are media

ta b p q m

p q

( )

2 în care m

aq bp

p q

si dispersia

t

b a p q

p q p q

22

2

1 1

3 2

( ) ( )(

( )(

)

)

57

Relatiile estimative date mai sus în functie de cele trei valori aij, bij si mij

sunt aproxim ri ale acestor valori exacte în expresia c rora constantele a, b,m sunt înlocuite aij, bij, respectiv cu mij, iar exponentii p si q nu sunt foarte diferiti.Algoritmul pentru stabilirea drumului critic este acelasi ca si în cazul determinist, numai c se folosesc duratele medii ale activit tilor evaluate aproximativ sau exact conform relatiilor deja prezentate. Desigur, durata proiectului este o variabil aleatoare. Media ei este suma duratelor medii ale activit tilor situate pe drumul (drumurile) critic(e). Se evalueaz o dispersie a valorilor pe care durata proiectului le poate lua prin însumarea dispersiilor duratelor aleatoare ale activit tilor critice. Cu toate c legile de repartitie ale duratelor necesare activit tilor sunt uzual de tipul Beta, teorema limitcentral a calculului probabilit tilor permite asimilarea legii de repartitie a duratei proiectului cu o lege normal cu media si dispersia calculate conform recomand rii de mai sus, prin însumare a valorilor analoge ale activit tilor critice. Aceast lege normal permite calculul unor probabilit ti asociate cu anumitevalori ale duratei proiectului recomandate sau chiar impuse.Structura drumului critic este si ea aleatoare. În raport cu realizarea efectiva duratelor mai scurte sau mai lungi ale activit tilor, drumul critic poate contine alte si alte submultimi ale multimii de activit ti. Exist , asadar totdeauna o diferent între calcul bazat pe durate medii si realitatea execut rii lucr rilor proiectului. Dac astfel stau lucrurile, este interesant pentru cel care conduce lucr rileproiectului o sortare a activit tilor în unele care sunt de regul critice, altele care sunt numai ocazional critice si altele care au sanse mici sau nule de a fi critice. Aceast util sortare se poate face pe baza unor simul ri.Simularea se execut prin generarea aleatoare repetat a unor durate posibile ale activit tilor conform legilor lor de repartitie, de pild conform unei legi Beta. Fiecare din aceste atribuiri pentru duratele activit tilor a unor valori posibile dar diferit probabile reprezint o “realizare” posibil . Pentru fiecare din aceste realiz ri ipotetice se stabileste drumul critic si se retine de fiecaredat structura drumului critic si lungimea/durata proiectului. În rezultatele acestor simul ri (de pild 100 de simul ri) activit tile se vor reg si pe drumul critic, unele mai frecvent, altele mai putin frecvent (altele, poate, deloc), în general cu frecvente diferite. Se poate spune c unele activit tisunt “mai” critice decât altele si acest “mai” care nuanteaz aprecierea se pune în relatie cu frecventele de situare a lor pe drumul critic. Dac o acitvitate apare pe drumul critic în 91% din simul ri, ea este dintre cele maicritice. Dac o acitivitate este critic în 47% din cazuri, ea este mediucritic . Dac procentul este 3%, este vorba de o activitate numai cu totul ocazional critic . Prin procente de genul exemplificat activit tile se pot ordona în raport cu criticalitatea lor: procentele dau acest grad de criticalitate. Se creaz astfel o posibilitate suplimentar de a gestiona maibine executarea proiectului: o concentrare a resurselor pe activit tile din partea de sus a topului criticalit tii si, gradual o tratare mai putin mobilizant pentru activit tile din partea de jos a topului.

58

Duratele de executie a proiectului, diferite de la simulare la simulare sunt un sondaj prin calcul al unei variabile aleatoare despre care s-a spus c în conformitate cu teorema limit central a calculului probabilit tilor ar fi o variabil aleatoare distribuit gaussian (normal), supozitie nu îndeajuns sustinut de realitate.

Fluxuri prin retele

Pentru a ilustra problema general a fluxurilor prin retele se considerdiagrama de mai jos în care se observ câteva surse si un num r de destinatii. Tipic, fiecare surs are o limit superioar de capacitate, fiecare destinatie are o limit superioar a cantit tii de “material” furnizat de surse pe care o poate absorbi.

Între surse si destinatii sunt noduri intermediare, în care materialul poate fiînc rcat pentru (sau prin care materialul poate curge spre) alte noduri intermediare sau noduri de destinatie, care pot fi, de pild , niste consumatori. Exist în graful prezentat arce, în general orientate, cum sunt figurate aici, dar pot fi si f r orientare si atunci fluxurile pot circula în ambele sensuri. Fiec rui arc îi sunt asociate:

O limit superioar (numit capacitate) a cantit tii de material care se poate scurge într-un mod sau altul pe acel arc Un cost asociat unit tii de material expediat pe arc

Se pune problema aliment rii consumatorilor de la surse, cu un cost minim.Problema este cunoscut ca problema costului minim asociat fluxului prin

retea.În anii ’60 timpurii ai secolului trecut, Ford si Fulkerson au dezvoltat un algoritm pentru aceast problem . Algoritmul original a fost de atunci revizuit si îmbun t tit de multe ori, a fost pus pe calculator în multiple editii si variante. Problema în sine este una de programare liniar cu o structuraparte. Astfel de algoritmi specilizati pot rezolva probleme variate. Orice problem care poate fi reprezentat în forma unui graf ca acela de mai sus poate fi privit ca o problem de cost minim al fluxului prin retea. Mai

59

departe sunt prezentate câteva probleme practice potrivite model rii printr-o retea ca aceea de mai sus. Problema aloc rii. Fie tabelul de mai jos care contine costurile aloc rii a 5 sarcini de productie pe 5 executanti.

ExecutantiA B C D E

1 26 16 22 25 302 21 29 33 23 253 28 20 27 32 294 30 19 24 26 24S

arci

ni

5 32 37 30 31 33

Graful asociat acestei probleme este dat în figura al turat . Pentru claritate, nu sunt cuprinse în graf toate arcele care unesc fiecare surs (sarcin ) cu fiecare destinatie (executant).Se pune întrebarea: care sarcini trebuie atribuite c ror masini pentru a minimiza costul total? Este destul de clar c aceast problem poate fi privit ca una de tipul costului minim al fluxului printr-o retea cu particularit tile:

Fiecare surs (sarcin ) poate furniza o unitate Fiecare consumator (executant) poate consuma/executa o unitate Fiecare arc are o capacitate de o unitate de flux si un cost conformtabelului de mai sus

Problemele de acest gen se numesc probleme de atribuire (assignare) deoarece ele implic atribuirea a n (aici n = 5) entit ti distincte altor m (aici m = 5) entit ti distincte. De pild , în domeniul planific rii productiei intereseaz uneori atribuirea de operatori unor masini sau atribuirea de operatori unor operatii sau, analog cu cazul de mai sus, atribuirea unor operatii unor masini.Problema formulat mai devreme este rezolvat cu calculatorul si solutia este dat mai jos:

60

SarcinaSe atribuie

executantului:Costul

1 C 222 A 213 B 204 E 245 D 31

Costul total (minim): 118

O problem de transport. Trei fabrici pot furniza clientilor, în num r de sase, un anumit produs. Cererea de la consumatorii 1, 2, 3, 4, 5 si 6 este de 40, 35, 25, 20, 60 respectiv 30 de tone. Productiile maxime ale celor trei fabrici A, B si C sunt 60, 70 respectiv 80 de tone. Costul de productie pe ton la cele trei unit ti este variabil: 11,3, 11,0 respectiv 10,8 u.m. Costul transportului este dat în tablelul care urmeaz tot î unit ti monetare (u.m.).

Costul transportului pe ton la clientul: 1 2 3 4 5 6

A 3,0 2,5 1,8 4,2 3,1 1,5B 4,0 1,8 4,6 2,4 3,5 2,2Fabrica:C 2,0 2,8 4,8 4,4 1,6 3,6

Se cere s se determine cantitatea de produs livrat de la fiecare fabric la fiecare client astfel ca costul total s fie minim. Graful asociat problemeieste cel al turat.

Pentru a trata aceast problem ca una de minimizare a costului de trecere prin retea este necesar a afla costul pentru fiecare pereche fabric -client,cost pentru producerea si transportul unei tone de material de la produc torla consumator. Aceste costuri sunt obtinute prin însumarea costului de productie variabil de la fabric la fabric cu costurile de transport. Rezultatele sunt tabelate mai jos:

61

Costul de productie si de transport pe tonla clientul:

1 2 3 4 5 6A 14,3 13,8 13,1 15,5 14,4 12,8B 15,0 12,8 15,6 13,4 14,5 13,2Fabrica:C 12,8 13,6 15,6 15,2 12,4 14,4

Acum este limpede c problema aceasta poate fi privit si tratat ca una de cost minim al trecerii prin retea:

Fiecare surs (fabric ) poate debita atât cât îi este productia Fiecare consumator (client) are o cerere fixatFiecare arc are o capacitate egal cu cererea clientului la care se adaugsi un cost conform tabelului de mai sus, care contine costul combinat de productie si de transport

Cu datele din tabelul din urm completate cu cererile clientilor si oferteleproduc torilor (însumate, acestea trebuie s fie egale) se obtine rezultatul:

Se transport (în tone) la clientul: 1 2 3 4 5 6

A 20 - 25 - - 15B - 35 - 20 - 15

De la fabrica:

C 20 - - - 60 -Costul total (minim): 2719,50 u.m.

O problem de transport cu tranzit. Frecvent, bunurile nu sunt transportate direct de la produc tor la consumator ci sunt manipulate în puncte intermediare (depozite, magazii). De pild , la problema precedent se poate ad uga informatia c s-a creat un depozit nou, intermediar, unde:

Costul tranzitului este de 0,7 u.m.

62

Costul transportului de la fabricile A, B si C la deposit este de 0,1, 0,3 respectiv 0,7 u.m./tonCostul expedierii de la depozit la clientii 1, 2, 3, 4, 5 si 6 este 0,7, 0,9, 1,1, 0,8, 0,6, respectiv 0,9 u.m./ton

Depozitul poate fi incorporat în retea ca în figura al turat . S-au ad ugatgrafului urm toarele:

Dou noduri noi, D1 si D2; D1 reprezint intrarea în depozit (“usa din fat ”), D2 reprezint iesirea din depozit (“usa din spate”) Un arc între D1 si D2 cu capacitatea egal cu capacitatea total de productie a fabricilor (maximul de flux ce poate veni de la fabrici la depozit) si cu un cost asociat de 0,7 u.m., care este costul trecerii prin depozitArce de la sursele (A, B, C) la D1, de capacit ti egale cu capacitatea de productie a sursei/fabricii si cu costul egal cu suma costurilor de productie si de transport de la fabric la depozit, adic :

o Arcul (A, D1) cu capacitatea 60 si cu costul 11,3 + 0,1 = 11,4 o Arcul (B, D1) cu capacitatea 70 si cu costul 11,0 + 0,3 = 11,3 o Arcul (C, D1) cu capacitatea 80 si cu costul 10,8 + 0,7 = 11,5

Arce de la D2 la clientii (1, 2, 3, 4, 5, 6), de capacit ti egale cu cererile clientilor si cu costul trimiterii de la depozit la fiecare client, adic :

o Arcul (D2, 1) cu capacitatea de 40 si cu costul 0,7 o Arcul (D2, 2) cu capacitatea de 35 si cu costul 0,9 o Arcul (D2, 3) cu capacitatea de 25 si cu costul 1,1 o Arcul (D2, 4) cu capacitatea de 20 si cu costul 0,8 o Arcul (D2, 5) cu capacitatea de 60 si cu costul 0,6 o Arcul (D2, 6) cu capacitatea de 30 si cu costul 0,9

Problemele de acest tip sunt probleme de transport cu depozitare intermediar . Fluxul de bunuri de la surse la destinatii comport o transbordare într-o locatie intermediar si nu o livrare direct de la produc tor la consumator.Problema se trateaz usor prin programare liniar . Dac variabilele de decizie sunt

xi (i = 1, 2, …, 18) cantit tile transferate nemijlocit de la fabrici la clienti pe traseele (A, 1), …, (A, 6), (B, 1), …, (B, 6), (C, 1), …, (C, 6) xi (i = 19, 20, 21) cantit tile transferate mai întâi de la fabrici la depozit (A, D1), …, (A, D1) xi (i = 22) cantitatea manipulat prin depozit, pe arcul (D1, D2) xi (i = 23, …, 28) cantit tile transferate de la depozit la clienti (D2, 1), …, (D2, 6)

atunci, functia obiectiv este functia cost si trebuie minimizat :Z = 12.8x1 + 13.x2 + 14.4x3 + 15.5x4 + 13.8x5 + 14.3x6 + 13.2x7

+ 15.6x8 + 14.5x9 + 13.4x10 + 12.8x11 + 15.0x12 + 14.4x13

+ 15.6x14 + 12.4x15 + 15.2x16 + 13.6x17 + 12.8x18 + 11.4x19

+ 11.3x20 + 11.5x21 + 0.7x22 + 0.7x23 + 0.9x24 + 1.x25 + 0.8x26

+ 0.6x27 + 0.9x28

Coeficienti pentru arcele emergente din nodurile surs (fabricile) reprezintcosturile de productie ale tonei (variabile de la un produc tor la altul) la care

63

se adaug costul transportului pe arcul respectiv. Coeficienti pentru arcele corespunz toare transferului de la depozit la clienti reprezint numai costul transportului unei tone. Coeficientul pentru arcul (D1, D2) este costul stoc rii/manipul rii în depozit, de asemenea la tona de produs. Restrictiile, înafara celor de nenegativtate, sunt în num r de 11. Primele sunt legate de capacit tile de productie ale celor trei fabrici: C1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x19 = 60 C2 x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x20 = 70 C3 x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x21 = 80 Urm toarele sase sunt legate de capacit tile clientilor de a consuma:C4 x1 + x7 + x13 + x23 = 40 C5 x2 + x8 + x14 + x24 = 35 C6 x3 + x9 + x15 + x25 = 25 C7 x4 + x10 + x16 + x26 = 20 C8 x5 + x11 + x17 + x27 = 60 C9 x6 + x12 + x18 + x28 = 30 La acestea se adug dou ecuatii de continuitate care exprim un fapt foarte natural: ce intr în depozit este exact cât se stocheaz (temporar) si ceea ce se stocheaz este exact ceea ceea ce iese din depozit cu destinatia clienti. C10 x19 + x20 + x21 – x22 = 0 C11 – x22 + x23 + x24 + x25 + x26 + x27 + x28 = 0 Iat aici un caz în care toate restrictiile sunt egalit ti.Solutia cea mai bun este compus din valorile x15 = 25, x18 = 30, x19 = 60, x20 = 70, x21 = 25, x22 = 155, x23 = 40, x24 = 35, x26 = 20, x27 = 60 si toate celelalte variabile de decizie la valori nule. Pentru aceast solutie functia obiectiv este minim în conditiile date în formularea problemei Z = 2676,50 u.m.Într-un tabel sintetic, transferurile au loc astfel:

C tre:D1 D2 1 2 3 4 5 6

A 60 - - - - - - -B 70 - - - - - - -C 25 - - - 25 - - 30

D1 - 155 - - - - - -De

la:

D2 - - 40 35 - 20 60 -

Se observ c prin deposit trec 155 unit ti (de la D1 la D2). Dac aceastcapacitate de depozitare/manipulare ar fi limitat , cum se întâmpl adesea, ar trebui introdus si aceast conditie restrictiv al turi de cele deja formulate.Se cuvine, poate, a face aici un comentariu. Problemele de transport si de tranzitare pot fi rezolvate relativ usor cu calculatorul. Uneori, se pot formulaîntreb ri suplimentare de genul “dar dac …” la care se poate r spunderelative rapid, atât la nivelul strategic cât si la cel tactic. Problema fluxului maxim. O variatie a problemei generale a costului minimal fluxului prin retea este problema stabilirii fluxului maxim care poate fi trimis între o surs unic (nodul 1) si un consumator unic (nodul 8), ca în

64

diagrama care urmeaz , în care fiecare arc are o capacitate (înscris în graful lâng arc) care limiteaz cantitatea scurs prin arc. De data aceasta nu existun cost asociat cu utilizarea arcului, partial sau la capacitate. Arcele sunt orientate în cazul în discutie, dar în general ele pot fi si f r orientare, ceea ce indic posibilitatea de curgere a fluxului în acel arc în ambele sensuri.

O retea de genul acesta poate modela realitatea constituit de un sistem de str zi, sosele sau c i ferate, de linii maritime sau aeriene, un sistem de conducte, poate fi considerat un graf în care nodurile sunt localit ti, noduri de comunicatii terestre, maritim-fluviale sau aeriene, puncte de aprovizionare sau de aprovizionat, statii de pompare, iar arcele pot fi tocmaistr zile, soselele etc. Capacit tile arcelor pot fi distante, durate necesare parcurgerii lor, costuri specifice de transport etc. Solutia problemei este reprodus în tabelul dat mai jos. Se observ un nod f r nici o sosire (1), acesta este nodul surs , se observ un nod f r nici o plecare (8), acesta este nodul de destinatie, nodul consumator.

Noduri de sosire 1 2 3 4 5 6 7 8

1 3 2 22 43 1 14 25 36 1 17 1 3N

odur

i de

plec

are

8

Valoarea maxim a fluxului prin retea este de 7 unit ti.Aceast valoare are proprietatea c se reg seste în bilantul (intr ri – iesiri al) oric rei sectiuni care determin de o partitie binar a grafului, partitie în care sursa si destinatia sunt separate. Pe figura de mai jos, în care sunt marcate fluxurile prin valorile-solutie, se poate verifica acest fapt.

65

Iat si o teorem , a t ieturii minime si a fluxului maxim, care spune cfluxul maxim posibil este egal cu capacitatea t ieturii minime care deconecteaz sursa de consumator. În figura de mai sus t ietura minimcorespunde section rii arcelor (1, 2), (3, 2), (3, 6) si (4, 5) – eliminareaacestor arce face ca sursa si destinatia s fie separate si capacitatea lor totaleste 7. Problema drumului minim într-un graf este de foarte mare actualitate în t rile cu un standard de viat ridicat. Este o problem de ordin public. Dupcum si numele problemei indic , este interesant pentru cel care c l torestesau transport bunuri sau persoane a alege din mai multe drumuri posibile între dou localit ti sau între dou puncte ale unei aceleiasi localit ti drumulcel mai scurt. Aceast optimizare este încurajat prin afisarea pe Internet a unor h rti care pot fi dilatate (zoom in) sau contractate (zoom out) la o m rime a detaliilor adecvat . În spatele acestor grafuri-h rti sunt algoritmide stabilire a drumului cel mai scurt între punctul de plecare si punctul de destinatie. Algoritmul Ford este unul dintre acestia. Este o problem clasic(re)adus în actualitate de mobilitatea foarte ridicat a omului contemporan.

66

ELEMENTE DE TEORIA DECIZIILOR

Algoritmi de decizie simpli

Se presupune c într-un context dat sunt m decizii posibile d1, d2, …, dm.Sistemul economic poate fi în n st ri distincte s1, s2, …, sn. Dac se ia decizia di si sistemul este în starea sj decizia este acompaniat de profitul sau de penalitatea r(i, j). Numerele r(i, j) se pot aseza într-o matrice cu mlinii si n coloane, numit si matricea de pl ti. Se pune problema lu riideciziei optime. Un exemplu e continut în tabelul care urmeaz :

Decizii\St ri s1 s2 s3 s4 s5

d1 3 1 3 2 6d2 6 7 –5 8 0d3 3 4 –1 –2 9d4 3 3 2 –2 –1

Exist mai multe metode de a decide. Metoda maxmin are în vedere câstigul sau profitul sigur. Pe baza tabelului de pl ti dat mai sus se calculeaz profitul minim pentru fiecare decizie în parte. Rezult ceea ce este scris în tabelul prezentat imediat.

Decizii Profitul minimd1 1d2 –5d3 –2d4 –2

Decizia vizeaz maximul profitului minim adic decizia d1.Metoda Laplace se bazeaz pe principiul asa-numitei motiv ri insuficiente. Oricare dintre st rile sistemului este posibil cu probabilit ti egale si se urm reste profitul maxim sau pierderea minim .O mediere pe orizontal produce tabelul urm tor.

Decizii Profitul mediud1 3,0d2 3,2d3 2,6d4 1,0

si decizia cea mai potrivit (d2) se vede imediat.

67

Metoda regretului minimax are în vedere diferenta dintre cel mai mare profit pentru o stare dat si profitul real pentru fiecare decizie luat . Decizia este luat pe principiul minimiz rii regretului maxim posibil. Pentru a decide se construieste urm toarea matrice de regret, care corespunde matricii de pl tide mai sus:

Decizii\St ri s1 s2 s3 s4 s5

d1 3 6 0 6 3d2 0 0 8 0 9d3 3 3 4 10 0d4 3 4 1 10 10

Decizia cea mai bun este d1 deoarece regretul maxim este cel mai mic fata cel de la celelalte decizii. Metoda Hurwicz introduce si o not subiectiv în procesul decizional, printr-un asa-zis grad de oprimism. Gradul de optimism este un coeficient subunitar si pozitiv, . În cazul unei decizii di optimismul se raporteaz la profitul maxim r(i, j), iar pesimismul la profitul minim r(i, j). Criteriul din metoda Hurwicz com bin liniar cu coeficientii , respectiv (1 – ) cele dou valori extreme ale profitului. Decizia se ia pe valoarea maxim a acestei combinatii liniare convexe. De pild , pe matricea de pl ti dat maidevreme si cu un coeficient de optimism = 0,8, se poate elabora tabelul de mai jos, care serveste la a decide.

DeciziiProfit maxim

rmax

Profit minimrmin

rmax+(1 – )rmin

d1 6 1 5,0d2 8 –5 5,4d3 9 –2 6,8d4 3 –2 2,0

Decizia optim este si de data aceasta imediat vizibil .O cuprindere într-un tabel unic a deciziilor si profiturilor obtenabile în fiecare caz, pentru fiecare din cele patru metode

Metoda Decizia optim ProfitMaxmin d1 1Laplace d2 3,2

Regret minmax d1 6Hurwicz d3 6,8

aduce o umbr de îndoial asupra procesului decizional: metode diferite duc la decizii diferite, cu valori ale profitului, de asemenea, foarte diferite.Aplicarea metodelor mentionate are îns totdeauna si o nuant strategic , de context economic. Acest element apare explicit în cazul metodei Hurwicz.

68

Arbori decizionali

În multe probleme din practica conducerii sistemelor de productie, sansa – un alt nume pentru probabilitate – joac un rol important. Analiza decizional este termenul general asociat metodelor de a analiza problemecare comport riscuri/incertitudini/probabilit ti. Arborii decizionali constituie una din metodele specifice analizei decizionale si un exemplu o va ilustra. Exemplu. O companie are de hot rît asupra unui produs dezvoltat într-unul din laboratoarele de cercetare proprii. Trebuie s decid dac va proceda sau nu la testarea pietii pentru acel produs, de aici încolo notat cu P. Se estimeaz c marketingul etapei de testare va costa 100.000 unit ti monetare(u.m.). În ceea ce priveste succesul produselor în testarea pietii, experienta anterioar indic o sans de (numai) 30%. Dac P are succes în etapa de testare a pietii atunci compania mai are de luat o hot rîre relativ la dimensiunea fabricii care urmeaz a produce noul produs. Construirea unei unit ti mici ar costa 150.000 u.m. si ar produce 2000 unit ti fizice (u.f.) pe an. O fabric mare ar costa ca investitie 250.000 u.m. si ar produce 4.000 u.f. pe an. Departamentul de marketing a estimat c sunt sanse de 40% ca concurenta s r spund cu un produs similar si c pretul pe fiecare unitate vândut (în u.m.) ar fi, dac productia se vinde integral, dup cum urmeaz :

Unitate mic Unitate mareCu r spuns al concurentei 20 u.m. 35 u.m.F r r spuns de la concurent 50 u.m. 65 u.m.

69

Se admite c cererea pentru P va exista pe o perioad estimat la 7 ani si canual, costul function rii unit tii productive este de 50.000 u.m., pentru a usura calculele, acelasi, indiferent de dimensiunea unit tii de productie. Întrebarea este dac compania trebuie sau nu s mearg înaite cu testarea pietii pentru P. Obtinerea r spunsului parcurge procedura prezentat în continuare.Cu toate c exemplul propus este în bun m sur simplificat, el reprezintdeplin tipul de decizii de luat adesea, când este vorba de produsele noi. În particular, este de observat c decizia de a testa piata nu poate fi separat de alte decizii viitoare asupra eventualei profitabilit ti dac testul de piatpentru P este un succes. Pentru a abilita decidentul (în particular, studentul) s vad ce se întâmpl ,se consider figura de mai sus în care este reprezentat arborele decizional al problemei. În graful de mai sus se disting dou tipuri de noduri: noduri decizionale (reprezentate prin dreptunghiuri) si noduri probabilistice (reprezentate prin cercuri). Mai sunt nodurile terminale care se reg sesc în partea cea mai din dreapta a grafului cu structur arborescent .Nodurile de decizie reprezint în parcurgerea de la stânga la dreapta puncte în care compania trebuie s aleag una din mai multe posibilit ti. La primulnod decizional, de pild , compania trebuie s decid “a renunta la produs” sau “a-l testa pe piat ”.Nodurile probabilistice reprezint puncte în care probabilit tile sau sansele (marcate pe arcele energente) joac un rol dominant si înm nunchiazsituatii, evenimente asupra c rora compania nu are efectiv nici un control. Nodurile terminale reprezint finalul drumurilor posibile de la stânga la dreapta prin arborele decizional. Partea dificil a acestei metode a arborelui decizional este aceea de a trasa o diagram de genul celei de mai sus pornind de la varianta scris , descriptiva problemei. Odat parcurs aceast etap , procedura este destul de simplsi direct . Trebuie spus c un arbore decizional nu începe totdeauna cu un nod decizional. La trasarea unui arbore decizional, cel care elaboreazarborele trebuie s se întrebe repetat “Ce se poate întâmpla în continuare?”, la fiecare nod al arborelui, pe m sur ce el este asezat pe grafic. Se observ în graf includerea posibilit tii “nici o fabric ” în nodul decizional relativ la dimensiunile fabricii. Aceasta incluziune este necesar

deoarece este posibil ca investitia într-o fabric mic sau mare s nu fie profitabil chiar dac testul de piat a fost un test reusit. Este o practicobisnuit în problemele tratate cu ajutorul arborilor decizionali s se includîn graf la nodurile decizionale, posibilitatea unei decizii de genul “a nu întreprinde nimic” care este totdeuna o alegere implicit .O atentie trebuie acordat structurii grafului: arborele de decizie trebuie desenat astfel ca de la nodul initial la oricare dintre nodurile terminale sexiste un drum unic. Pentru a facilita discutia pe arborii deicizionali, nodurile, fie ele decizionale, probabilistice sau terminale se numeroteaz . În exemplul curent, s-au numerotat cu 1, 2, …, 12. Pentru fiecare nod probabilistic se recomand o numerotare a posibilit tilor: la nodul 1 sunt posibile dou situatii, care ar

70

putea fi marcate cu 1 si 2, iar la nodul 5 sunt de luat în considerare trei posibilit ti, care ar putea primi numerele 3, 4 si 5. Arborele decizional ajut , f r îndoial la formarea unei viziuni mai clare asupra naturii problemei. Deocamdat , îns , nu a dat un r spuns la întrebarea prim , generatoare a problemei: a renunta sau a proceda la testarea pietei pentru produsul P. Pentru a obtine r spuns la aceastîntrebare sunt de parcurs în continuare înc doi pasi descrisi mai departe. În acesti pasi sunt necesare informatii numerice relativ la vânz rile viitoare, la preturi, la costuri etc., cu toate c nu totdeauna sunt accesibile numereexacte relativ la acestea. Decizia de a testa sau nu produsul pe piat s-ar putea schimba la modificarea acestor valori. O analiz a sensibilit tiideciziei poate si chiar trebuie s fie f cut de îndat ce s-au efectuat calculele de baz utilizând valori mai mult sau mai putin ipotetice. Pasul 1 este pasul în care, pentru fiecare cale prin arbore, de la r d cin(nodul intial) la un nod terminal (frunz ) al unei ramuri, se evalueazprofitul asociat acelei c i. În esent în acest pas se parcurge diagrama de la stâga la dreapta. Calea la nodul terminal 2 – se renunt la P.Recuper ri = 0 Costuri = 0 Profit = 0 Aici, ca si în continuare, se ignor orice sum cheltuit deja în faza de dezvoltare a produsului (acela este un cost care nu mai poate fi modificatindiferent ce decizii vor fi luate în viitor si, logic, nu joac nici un rol în procesul decizional. Calea la nodul terminal 4 – se testeaz piata pentru produsul P, se constatc nu este un succes si se renunt la el. Recuper ri = 0 Costuri = 100.000 Profit = – 100.000 Calea la nodul terminal 7 – se testeaz piata (cost 100.000 u.m.), P este un succes, se construieste o unitate de productie mic (cost 150.000 u.m.) si concurenta lipseste (venitul pe 7 ani la o productie de 2.000 unit ti fizice(u.f.) pe an, la un pret de 65 u.m. per bucat = 910.000 u.m.)Recuper ri = 910.000 Costuri = 250.000 + 7x50.000 (costul de operare) Profit = 310.000 Calea la nodul terminal 8 – se testeaz piata pentru P (cost 100.000 u.m.),produsul este un succes, se construieste o fabric mic (cost 150.000 u.m.)si concurenta este prezent (venitul pa 7 ani la 2.000 de u.f. anual, vândute cu 35 u.m. per bucat = 490.000 u.m.)Recuper ri = 490.000 Costuri = 250.000 + 7x50.000Profit = – 110.000 Calea la nodul terminal 10 – se testeaz piata (cost 100.000 u.m.), produsul este de succes, se construieste o fabric mare (cost 250.000 u.m.) si concurenta lipseste (venitul pe 7 ani la 4.000 de u.f. anual si la pretul de vânzare de 50 u.m. = 1.400.000 u.m.)

71

Recuper ri = 1.400.000 Costuri = 350.000 + 7x50.000Profit = 700.000 Calea la nodul terminal 11 – se testeaz piata (cost 100.000 u.m.), produsul este de succes, se construieste o fabric mare (cost 250.000 u.m.) si concurenta este prezent (venitul pe 7 ani la 4.000 de u.f. anual si la pretul cu am nuntul de 20 u.m. = 560.000 u.m.)Recuper ri = 560.000 Costuri = 350.000 + 7x50.000Profit = – 140.000 Calea la nodul terminal 12 – se testeaz piata (cost 100.000 u.m.), produsul este de succes, se decide a nu construi nici o capacitate de productie. Recuper ri = 0 Costuri = 100 Profit = –100 Aceast din urm cale include decizia “a nu întreprinde nimic” în ceea ce priveste investitia într-o capacitate de productie. Este o decizie justificat în multe împrejur ri.Cu rezultatele de mai sus se poate constitui tabelul urm tor care arat pentru fiecare ramur profitul asociat cu acea ramur , de la nodul initial (r d cin )pân la fiecare nod terminal (frunz ).

Nodul terminal Profit2 04 –1007 3108 –11010 70011 –14012 –100

Deocamdat probabilit tile nu au fost utilizate în rezolvarea problemei. Se va face aceasta în pasul al doilea în care se lucreaz pe arbore de la dreapta la stânga. Pasul 2. Se ia nodul 6, un nod cu probabilitate (evenimential) care are ramuri c tre nodurile terminale 7 si 8. Ramura la nodul terminal 7 se produce cu o probabilitate de 0,6 si aduce un profit total de 310.000 u.m., iar ramura la nodul terminal 8 se produce cu probabilitatea de 0,4 si profitul total este –110.000 u.m. În consecint , valoarea asteptat în bani (EVM – Expected Monetary Value), în sensul m ediei variabilei aleatoare profitul

dup nodul 6 este0,6 x (310.000) + 0,4 x (–110.000) = 142.000 u.m.În esent aceast valoare reprezint , asadar, profitul asteptat (mediu) din acest nod probabilistic. Aceast EVM asociat unui nod probabilistic este “suma pe toate ramurile cu originea în acel nod, a produselor dintre probabilit tile si valorile monetare asociate ramurilor respective”. Continuând, EMV pentru nodul 9 cu ramuri c tre nodurile terminale 10 si 11 este

72

0,6 x (700.000) + 0,4 x (–140.000) = 364.000 u.m.

Figura de mai sus reia nodul decizional unde se hot r ste dimensiuneafabricii. Se poate vedea cum nodurile probabilistice au fost substituite cu EMV-urile lor. Dup cum se vede, nodul decizional relativ la dimensiunea fabrici este ramificat pe trei posibilit ti: fabric mic , EMV = 142ku.m., fabric mare,EMV = 364ku.m. sau nici o fabric , EMV = – 100ku.m. Este limpede c în termeni monetari calea mijlocie este cea mai atractiv si, de aceea, se poate renunta la clelalte dou . Asfel modificat problema poate fi reprezentatprintr-o variant revizuit a arborelui decizional, care este reprezentat în figura care urmeaz .

Acum se poate repeta procesul efectuat mai devreme. EVM pentru nodul probabilistic 3, care se leag de succesul sau lipsa de succes a testului de piat este dat de 0,3 x (364.000) + 0,7 x (– 100.000) = 39.200 u.m.Asadar, în nodul de decizie referitor la a testa sau nu produsul pe piat , sunt dou posibilit ti: renutare la P, EMV = 0 sau testarea lui P pe piat , EMV = 39.200 u.m. Este clar c în termeni monetari alternativa a doua este preferabil celeilalte si se decizia este de a testa piata. În sumar, trebuie evidentiat clar ce s-a decis în urma procesului descris maisus: trebuie testat piata pentru P si aceast decizie are o valoarea în bani asteptat , medie (EVM) de 39.200 u.m.; dac P este un succes de piat

73

atunci se anticipeaz la aceast etap c este potrivit construirea unei fabrici mari (rezultatul deciziei din nodul relativ la dimensiunea capacit tiide productie). De retinut c EVM pentru decizia cerut de problem , 39.200 u.m. nu reflect valoric ceea ce se va întâmpla efectiv dac se continu cu constrirea unei fabrici etc. Aceast valoare este mai curând o medie sau o sperantmatematic , cum se mai spune, ca si când ar fi vorba de producerea maimulte ori a fiec reia din cele trei posibilit ti. De fapt, din cele trei posibilit ti poate ap rea numai una o singur dat . Dac se urmeaz calea de mai sus de a testa piata pentru P atunci rezultatul real în bani poate fi unul din sase, [–100, 310, –110, 700, –140, –100] (în mii de u.m.),corespunz toare nodurilor terminale 4, 7, 8, 10, 11 si 12 în functie de deciziile viitoare si de probabilitatea producerii unor evenimente.Conceptual, nodurile terminale sunt imaginate ca situatii care pot fi atinse ca urmare a deciziei de a testa piata, ca rezultate ale unui set de scenarii posibile. Ca urm ri ale deciziei de a testa piata, cel mai bun rezultat posibil este un plafon superior (upside) si cel mai slab rezultat posibil este o limitde jos (downside). Trebuie avut aici o oarecare grij deoarece, cum s-a spus, rezultatul real în bani va depinde atât de deciziile viitoare cât si de sansa de producere a unor evenimente viitoare. Dac se angajeaz investitia într-o fabric mare (presupunând c testul de piat a fost reusit) atunci multimii de scenarii posibile îi corespunde multimea de rezultate {–100.000, 700.000, –140.000} asociate nodurilor term inale 4, 10 si 11 si, deci, plafonul superior este de 700.000 u.m. iar limita minimal este de –140.000 u.m.Înainte de a decide asupra investitiei într-o fabric mare (tot în cazul testului de piat reusit), multimea de perspective în termeni b nesti este {–100.000, 310.000, –110.000, 700.000, –140.000, –100.000} corespunz toarenodurilor 4, 7, 8, 10, 11 si 12. Plafonul superior este de 700.000 u.m., iar limita minimal este de –140.000 u.m.În exemplul în discutie, plafoanele superioare si inferioare sunt la fel, indiferent dac se opteaz pentru o fabric mare sau nu. Difer numai lista de scenarii prin num rul de scenarii cuprinse. Deoarece calculul pe arborele decizional este atât de direct, este relativ usor a conduce o analiz a sensibilit tii pentru a vedea cum se schimbsuccesiunea actiunilor dac datele problemei se schimb .Analiza sensibilit tii. Se consider arborele decizional dat mai sus. Este evident c decizia de a testa piata este influentat de profitul de 700.000 u.m. obtinut dac testul de piat este un succes si dac se alege varianta de a construi o fabric mare si concurenta nu exist . Dar num rul 700.000 poate varia sau probabilitatea ca acest rezultat s se produc se poate modifica.Schimb aceste variatii decizia de a testa piata? Se poate presupune, de pild , c probabilitatea lipsei de concurent în conditiile construirii unei fabrici mari nu mai este 0,6 ci 0,45. Aceasta implic o probabilitate de prezent a concurentei de 0,55 = 1 – 0,45. Prin refacerea calculelor pe arborele decizional se obtin rezultate diferite, dar decizia de a testa piata este înc optim .

74

Analiza de sensibilitate se poate conduce într-un mod mai sistematic: se atribuie probabilit tii legate de absenta concurentei un simbol p si se lucreaz asupra expresiilor pentru EMV. Asadar, probabilitatea lipsei de replic din partea concurentei nu mai este 0,6 ci p. Complementara, 1 – peste probabilitatea de a avea concurent . Se presupune c , pentru o fabricmic , probabilit tile concurentei/lipsei de concurent r mân ca mai înainte. Este vizibil c pe m sur ce p descreste, la o anumit valoare este de preferat o instalatie mic în locul uneia mari (de pild , la extrem, dac p = 0 atunci o fabric mic cu EMV de 142.000 u.m. este preferabil unei fabricimari pentru care EMV este –140.000 u.m.). Prin urmare, se poate pune întrebarea legitim : “Cât de mic trebuie s fie probabilitatea p înainte de a

prefera o fabric mic ?”R spunsul îl d situatia în care optiunea între o instalatie mare si una miceste indiferent deoarece EMV-urile sunt egale, ceea ce se produce atunci când

p(700) + (1 – p)( –140) = 142 ceea ce-i tot una cu

840p – 140 = 142 o ecuatie simpl cu solutia p = 282/840 = 0,3357. Asadar, dac p scade sub 0,3357 capacitatea de productie mic va fi preferat celei mari. Acest tip de analiz sistematic a sensibilit tii poate fiîn anumite împrejur ri preferabil încerc rii simple a unor numere diferite si efectuarea de fiecare dat a calculelor pentru a vedea efectul. Variatiuni pe tema arborilor de decizie. Tehnica arborelui decizional prezentat mai sus poate fi aplicat si în alte împrejur ri, în raport cu alte principii si criterii. Exist câteva variante ale acestei tehnici dintre care unele sunt prezentate pe scurt imediat mai jos. În exemplul discutat mai sus, s-au estimat sume de bani primite pe durata a 7 ani. Este stiut c o sum primit în 7 ani este de regul mai putin valoroasdecât aceasi sum primit azi. O tehnic numit discounting sau discounted

cash flow (care se refer la valoarea net prezent a oric rei sume de bani) poate fi utilizat pentru a cuprinde si a dep si acest inconvenient. Aplicând discount-ul se modific de fapt numerele atasate arborelui decizional astfel ca evalu rile s se fac pe baza unui echivalent monetar actualizat. Aceasta nu afecteaz procesarea arborelui care r mâne exact cel de mai sus. Tot în exemplul dat mai sus s-a calculat o valoare pentru fiecare nod evenimential. S-a utilizat EMV ca valoare asociat nodului dar aceastvaloare este în unele privinte arbitrar . Specialistii au sugerat alte modalit tide a calcula valoarea atasat unui nod eveniment. În termeni mai clari, nu exist vreo lege care s garanteze c valoarea unui nod eveniment trebuie sfie egal cu valoarea EMV. Dimpotriv , EMV este o valoare medie si într-un nod eveniment nu se va observa niciodat media ci ceva care se întâmplnumai o dat deoarece în nodul eveniment 6 competitia exist sau nu exist .De aceea media poate fi însel toare si e necesar o tratare diferit a oric ruinod eveniment. Dac pierderea de bani ar putea fi inacceptabil si dacprocesul de decizie este afectat de un conservatorism de înteles, nodului eveniment i s-ar putea atribui rezultatul cel mai slab posibil. O asemenea

75

strategie este una pesimist (o astfel de tratare a problemei în nodul 6 ar aduce valoarea –110.000 si nu EMV-ul de 142.000). O strategie alternativ ar putea fi una optimist : calculul valorii din nodului eveniment i s-ar asocia rezultatul cel mai bun posibil (în nodul 6 s-ar pune valoarea 310.000 si nu EMV = 142.000). O alt strategie de luat în considerare ar consta în asocierea nodului eveniment cu valoarea cea mai probabil . O asemenea strategie ar atribui nodului 6 o valoare de 310.000 u.m. si nu aceea de 142.000 u.m. care este EMV.Ca strategie intermediar se poate lua ca valoare pentru un nod-eveniment o combinatie ponderat a EMV si a valorilor din strategiile optimist si pesimist . Literatura ofer o varietate mare de retete de asociere a unei valorii cu un nod-eveniment.În nodurile de decizie, mai sus se alege una din posibilit ti pe baza unei reguli implicite “se alege cel mai mare EMV”. Dar mai sunt si alte reguli bune, egal utilizabile, de pild “se alege cel mai bun raport profit/investitie” (ROI – return of investment).Iat ce se obtine dac se reiau în consideratie capacit tile de productie micsi mare din cazul de mai sus. O fabric mic conduce la o EMV (de fapt profitul net asteptat) de 142.000. Este implicat o investitie de 100.000 pentru testarea pietii si 150.000 pentru constructie, asa încât rezult un ROI = 142.000/(100.000 + 150.000) = 0,568. O fabric mare conduce la o EMV (iar si profitul net asteptat) de 364.000. Investitia de 100.000 pentru testarea pietii si de 250.000 pentru construirea unit tii face un ROI de 364.000/(100.000 + 250.000) = 1,04. Cu toate cnoul criteriu, ROI maxim, conduce la aceeasi decizie relativ la dimensiuneacapacit tii de productie, în alte situatii, schimbarea criteriului poate conduce la o decizie diferit . De pild , dac la nodul 9 ar fi trecut valoarea 175.000 atunci pe baza EMV la nodul decizional 5 s-ar alege tot o fabric mare. Dar pe baza ROI [175.000/(100.000 + 250.000) = 0,5] s-ar hot rî construirea unei fabrici mici.Un alt aspect care d relief utiliz rii arborilor decizionali este descris în continuare. Prin folosirea într-un arbore decizional a valorilor în bani se obtine, de pild , c o pierdere de 200.000 u.m. este de dou ori mai grea decât o pierdere de 100.000 u.m. Dac compania nu are de unde s piard200.000 dar are de unde acoperi 100.000 u.m. atunci este clar c pierderea de 200.000 este considerat mult mai grea decât una de 100.000 u.m. În supliment, deciziile sunt f cute de oameni din companie; compania face profitul si pierderile, nu oamenii care decid. Astfel, ideea de “utilitate” (utility) const în a înlocui valorile în bani la fiecare nod terminal în puncte de utilitate, care reflect vederile decidentului (sau companiei) asupra acelor sume de bani (de exemplu, o pierdere de 100.000 u.m. poate echivala cu –5 puncte de utilitate, iar o pierdere de 200.000 poate fi asociat cu –500 de astfel de puncte). În termeni directi, valorile b nesti sunt înlocuite cu puncte. Traducerea valorilor în puncte este un proces imprecis dar înlocuirea abiliteaz decidentul/decidentii a avea o a doua vedere asupra fondurilor în raport de important . Odat stabilite valorile utilitare, se procedeaz în continuare ca mai sus.

76

SISTEME CU ASTEPTARE

Un num r considerabil de sisteme de productie functioneaz în virtutea raportului client-server, adic sunt prestate anumite servicii în folosul unor clienti generici care pot fi persoane, echipamente, subansamble etc. Clientii solicit serviciul (uneori mai multe servicii) dup reguli aleatoare. Servirea îns si necesit de cele mai multe ori o durat de executare aleatoare, care nu poate fi anticipat decât în probabilitate. În sistemele cu asteptare se nasc uzual cozi sau linii (fire) de asteptare. În dimensionarea unui sistem cu asteptare trebuie s se realizeze pe criterii economice un echilibru între durata astept rii pentru obtinerea serviciului sau serviciilor solicitat(e) (asteptarea cost ) si num rul de posturi de servire (operarea fiec rui post de servire cost , de asemenea).În principiu, un sistem cu asteptare oricât de complicat poate fi descompus în subsisteme în care se rezolv o singur problem , un anumit gen de serviciu solicitat de client, din mai multe posibile. Schema acestui subsistem este ilustrat în figura imediat urm toare.

CoadPost de servire

Pentru a analiza un asemenea (sub)sistem sunt necesare informatii relativ la sosiri, la mecanismul servirilor si la caracteriticile cozii.

Procesul sosirilor

Procesul sosirilor se descrie prin: Modalitatea sosirii clientilor – individual sau în grup(e) Repartizarea în timp a sosirilor – o lege de repartitie a timpului între dousosiri consecutive Cardinalul multimii de clienti – num r finit sau infinit de clienti

Sosirile cele mai simple si mai comod de tratat sunt cele la intervale regulate, egale.Un flux de clienti poissonian corespunde unor sosiri aleatoare. În acest caz duratele între dou sosiri succesive se distribuie dup o lege exponential .Modelul Poisson este important deoarece se potriveste multor situatii din lumeareal . (Sub)sistemul este caracterizat pe deplin în ceea ce priveste sosirile prin rata medie a sosirilor.

77

Sosirile pot fi planificate, pot fi grupate, pot fi cu rat variabil în timp (de pildrate diferite în momente diferite ale zilei, ale s pt mânii, ale anului etc.). În cazul aleator, probabilitatea sosirii în sistem a unui client, în intervalul scurt

t este practic proportional cu timpul)( 2tOt

Factorul este o frecvent medie (rata medie) a sosirilor/solicit rilor, iar termenul O noteaz o corectie a valorii probabilit tii, care tinde c tre zero

la fel de repede ca si . Evenimentul contrar, non-sosirea are probabilitatea complementar

)( 2t2t

)(1 2tOt

Sosirea concomitent a mai multor clienti este considerat cu totul improbabil .De ce? Pentru c probabilitatea unei sosiri este un num r pozitiv subunitar ca orice probabilitate si este mic dac intervalul t este ales suficient de mic.Sosirile sunt evenimente independente si probabilitatea producerii a dou (sau mai multe) sosiri în intervalul t este produsul probabilit tilor individuale ale acelor sosiri, adic o putere a unui num r mic. Puterea (întreag su pozitiv a) unui num r subunitar mic este, desigur, un num r si mai mic. Probabilitatea aceasta foarte mic poate fi asociat practic cu imposibilitatea producerii concomitente a dou sau mai multe sosiri într-un acelasi interval t.Se pune acum problema a se calcula probabilitatea ca într-un interval maiîndelungat h = m t s se produc r (r m) sosiri în sistem. Cele r sosiri pot fi situate pe axa timpului în moduri variate în succesiunea celor m intervale de durat t, adic pot fi intercalate sau nu cu non-sosiri. Dac se iau în calcul toate posibilit tile de sosire (unic )/non-sosire în cele m intervale, se obtine

pm

r m rt tr

r m!

!( )!( ) ( )1 r

ceea ce dup înlocuirea t = h/m devine rm

r

r

rm

h

m

h

rmr

mp 1

)(

)!(!

!

Luând limita când , fapt echivalent cu trecerea , se obtine t 0 mrm

r

r

rm

h

rmm

m

mr

hp

m1

)!(

!lim

!

)(lim

Dar

11

1...1

1lim

)!(

!lim

m

r

mmrmm

m

m r

si

h

rm

em

h

m1

lim

Asadar, probabilitatea c utat este dat de expresia

78

ph

rer

rh( )

!care nu este altceva decât probabilitatea dat de o lege de repartitie poissonian .Între dou sosiri succesive se scurge un timp t în care nu are loc nici o sosire. Timpul acesta t este o variabil aleatoare descris de o lege exponential

tetp )(Cu aceste legi se pot calcula medii, dispersii etc. pentru variabila aleatoare discret r care ia numai valori naturale si pentru variabila aleatoare de tip continuu t.

Mecanismul servirilor

Pentru cuprinderea în model a mecanismului servirilor sunt necesare urm toarele:

O descriere a resurselor necesare pentru a realiza servirea O distributie a duratelor servirii Num rul de posturi de servire disponibile Pozitia cozii/cozilor fat de posturile de servire – fiecare post poate avea coada sa sau coada poate fi unic pentru toate posturile Dac este permis tratarea unor urgente – un post poate eventual întrerupe actiunea de servire curent pentru a servi un alt client care reprezint o urgent

Se admite uzual c durata de servire nu depinde în nici un fel de procesul sosirilor. Se admite, de asemenea, frecvent c durata servirii este o variabilaleatoare distribuit exponenetial.

Caracteristicile cozilor

Cozile sunt caracterizate prin: O disciplin a cozii care poate fi de tipul primul-sosit-primul-servit, de tipul ultimul-sosit-primul-servit sau cu servire la întâmplareTipul clientilor care pot renunta la serviciu dac coada este prea mare, sau care pot renunta dac timpul de asteptare a dep sit o anumit limit , sau care schimb coada dac au credinta c astfel sunt serviti mai repede Capacitatea cozilor – poate fi finit sau (practic) infinit

Schimbarea disciplinei în cozi, cu alte cuvinte a regulei dup care este ales clientul urm tor pentru a fi servit poate uneori s reduc congestia, aglomerarea. Adesea disciplina cozii serveste-mai-întâi-cazurile-simple (clientii care necesit un timp de servire mai scurt) produce un timp mai scurt de asteptare a clientilor în coad .În continuare sunt tratate mai în detaliu câteva sisteme cu asteptare.

79

Sistem cu sosiri simple si un unic post de servire

Sistemul este cu sosiri aleatoare si cu durata servirii, de asemenea aleatoare. Num rul mediu de sosiri (rata medie a sosirilor) si num rul mediu de serviri (rata medie a servirilor) în unitatea de timp se presupun cunoscute. Cum s-a spus, aceste numere determin procesul aleator în cadrul c ruia interactioneazclientii cu postul de servire. Sosirile sunt poissoniene de parametru , 1/ este timpul mediu de servire, media unor durate de servire aleatoare care se distribuie conform unei legi exponentiale de parametru .În intervalul se poate produce sau nu o sosire cu probabilit tile

aproximative t, respectiv 1 – t. Probabilit tile ca un client s fie servit (în sensul încheierii actiunii de servire) în acelasi interval sunt, pe acelasi principiu, t, respectiv 1 – t.

( , )t t t

Starea postului de servire la un moment dat poate fi ocupat (O) sau liber (L).Evolutia sistemului într-un interval de timp scurt, t este descris de urm toarele evenimente si tranzitii cu probabilit tile lor: 1. Sistemul este liber si nu se produce nici o solicitare/sosire nou ;2. Sistemul este ocupat si în intervalul respectiv are loc o servire; 3. Sistemul este liber si apare un client; 4. Sistemul este ocupat si nu are loc încheierea nici unei serviri. Primele dou situatii aduc sau mentin sistemul în starea L, asadar probabilitatea ca la sfârsitul intervalului t sistemul s fie în starea L este

))(()1)(()( ttpttpttp OLL

Ultimele dou situatii aduc sau mentin sistemul în starea O si probabilitatea ca la finele intervalului sistemul s fie în starea O este t

)1)(())(()( ttpttpttp OLO

În relatiile acestea se multiplic probabilit ti atunci când este vorba de intersectia a dou evenimente independente (“sistemul-este-liber” si “nu-se-produce-nici-o-sosire”, de pild ), se adun probabilit ti atunci când se iau în considerare reuniuni de evenimente mutual incompatibile [de pild , (“sistemul-este-liber” si “nu-se-produce-nici-o-sosire”) sau (“sistemul-este-ocupat” si “se-produce-încheierea-unei-serviri”), cu evenimentele compuse dintre paranteze reciproc exclusive]. Sistemul este considerat a fi f r asteptare: un client care soseste si g sestesistemul ocupat poate g si serviciul c utat în alt parte, deci p r seste imediatsistemul.Dac se trece la limit , , atunci cele doua ecuatii cu diferente de mai sus pot fi scrise ca un sistem de ecuatii diferentiale

0t

)()()( tptptpdt

dOLL

)()()( tptptpdt

dLOO

80

care descrie evolutia sistemului ca proces aleator. Dac se tine seam de faptul c cele dou st ri sunt mutual exclusive si una contrara celeilalte, atunci

, si sistemul de ecuatii diferentiale se reduce la una singur ,

pentru a face o alegere

1)()( tptp OL

)](1[)()( tptptpdt

dLLL

În regim stationar, regimul atins dup un timp îndelungat când derivatele temporale se anuleaz , ecuatiile de mai sus produc sistemul algebric

)()(0 tptp OL

)()(0 tptp LO

cu solutia

)(Lp )(Op

care se mai poate exprima si în functie de asa-numitul grad de înc rcare al sistemului sub forma/

1

1)(Lp

1)(Op

Se poate face acum o discutie relativ la modul cum depind cele douprobabilit ti de valorile parametrului . O înc rcare foarte redus ,

apropiat de zero prin raritatea clientilor ( mic) sau/si printr-un ritm foartesustinut al servirilor ( mare), face ca sistemul s fie mai ales liber, PL( ) = 1; o înc rcare foarte mare, mare prin solicit ri foarte frecvente din partea clientilor ( mare) sau/si printr-un ritm foarte lent al servirilor ( mic), face ca sistemul s fie mai ales ocupat, PO( ) = 1.

),0(

Sistem cu sosiri multiple si nelimitate si o singur statie de servire

Un asemenea sistem beneficiaz de un num r infinit de clienti. Sistemulcunoaste mai multe st ri: o stare corespunde situatiei cu nici un client în sistem,alte st ri sunt cu 1 client în sistem, care este si în curs de servire, cu 2, cu 3 etc. clienti în sistem, unul în curs de servire, ceilalti în asteptarea serviciului c utat.Se presupune c nu exist alternativ , nu exist un alt loc care s ofere acelasi serviciu, asadar clientii se înscriu în coad si asteapt s fie serviti. Situatiile posibile pentru un interval de timp scurt t sunt urm toarele:1. n clienti în asteptare, nici o sosire nou , nici un client servit, cu

probabilit tile multiplicate)1)(1)(( tttpn

2. clienti în asteptare, o sosire, nici un client servit, cu probabilit tile, tot asa, multiplicate

1n

81

)1)()((1 tttpn

3. clienti în asteptare, nici o sosire, un client servit care p r sestesistemul, cu probabilit tile multiplicate si de data aceasta

1n

))(1)((1 tttpn

A patra situatie nu exist sau, mai larg spus, alte situatii sunt practic excluse, cum ar fi de pild dou sau mai multe sosiri si/sau serviri în intervalul scurt t.Asadar, cele trei situatii enumerate sunt mutual exclusive si alc tuiesc un sistemcomplet de evenimente. Ele sunt premisa tranzitiei dup t c tre starea cu n

clienti în sistem. Se poate prin urmare scrie

))(1)(()1)(1)((

)1)()(()(

1

1

tttptttp

tttpttp

nn

nn

care exprim tocmai probabilitatea ca dup intervalul t sistemul s se afle în starea n. Trecerea la limit , t 0, si scrierea ecuatiei pentru toate valorile nposibile genereaz un sistem de ecuatii diferentiale

)()()()()( 11 tptptptpdt

dnnnn ( ,...)2,1n

la care se adaug varianta special pentru 0n

)()()( 100 tptptpdt

d

Desigur, regimul dinamic este interesant prin el însusi. El descrie evolutia sistemului pornind de la o stare dat , pân atinge dup un timp îndelungat un echilibru, o stare stationar . Starea stationar c tre care tinde sistemul este descris de probabilit tile

n

np )1( ,...)2,1,0(n

cu acelasi factor de înc rcare sau de utilizare, raportul între ritmul mediu a sosirilor si ritmul mediu al servirilor .Probabilit tile stationare trebuie s fie numere pozitive si subunitare. Aceasta se întâmpl numai dac 1. Calculul lungimii medii a firului de asteptare utilizeaz formula binecunoscut

10n

nnpm

Se observ c pe m sur ce factorul de înc rcare creste si se apropie de unitate, lungimea medie a sirului de clienti în asteptare creste. La limit , ,lungimea cozii tinde c tre , adic sistemul devine instabil. Pentru o înc rcaredat se poate calcula si o dispersie a lungimii sirului de asteptare. Aceasta este

1

2

2

0

2

)1(1 n

n

pn

O m rime important sub aspect economic este timpul mediu de asteptare a clientului generic. Expresia acestui timp este dat de relatia de mai jos, al turi de care este dat si formula pentru timpul mediu total de asteptare.

82

1

1w ,

2

1

1mw

Ce se întâpl dac ritmul sosirilor este mai mare decât ritmul servirilor? Evident, sunt necesare mai multe posturi de servire. De aceea sunt tratate în continuare sisteme mai complexe.

Sisteme cu mai multe posturi de servire în paralel

Coada pentru un astfel de sistem se presupune a fi unic . Clientii râmân si asteapt s fie serviti. Dac ritmul mediu al sosirilor este clienti în unitatea de timp si timpul mediude servire a unui client este 1 , atunci ritmul mediu de servire este variabil cu num rul de clienti prezenti în sistem. Dac num rul de posturi este m atunci ritmul mediu al servirilor pentru situatiile când un singur client este în sistemeste , dac sunt doi clienti în sistem ritmul mediu al servirii este

, si pentru k m clienti în sistem ritmul mediu de servire este

. Numai dac clientii în sistem sunt în num r mai mare decât num rul

posturilor de servire are loc o plafonare a ritmului mediu de servire la m

clienti în unitatea de timp si se formeaz un fir de asteptare.

/

1

2

k

2

k

Într-un interval de timp scurt t, probabilitatea sosirii unui client în sistem este, s-a mai spus, aproximativ egal cu , iar probabilitatea servirii unui client este, functie de num rul de posturi ocupate, circa . Dac probabilitatea

lipsei de clienti în sistem este notat cu atunci probabilit tile stationare ale

celorlalte st ri, cu 1, cu 2, cu 3 s.a.m.d. clienti în sistem se pot calcula din aproape în aproape cu relatiile

t

tk

0p

01 pp , 02

2

12 !22ppp , 01 !

pk

pk

pk

k

kk

atât timp cât k m.Ecuatia cu diferente

))(1)(()1)(1)((

)1)()(()(

11

11

tttptttp

tttpttp

kkkk

kkk

scris dup aceleasi reguli ca si ecuatia din cazul sistemului cu post de servire unic, prin trecere la limit pentru t, produce ecuatia diferential

)()()()()(

111 tptptpdt

tdpkkkkk

k

Aceasta, scris pentru toti indicii k , tinând seama de relatia cu num rultotal de posturi de servire, conduce la relatiile de calcul al probabilit tilorstationare date mai sus, la care se adaug probabilit tile st rilor cu k > m clienti în sistem

,...2,1

83

mm

m

m pm

pmm

p 01 !si, în general,

mii

i

im pm

p

pentru i .1Probabilitatea stationar a st rii cu toate posturile de servire libere (nici un

client în sistem) se calculeaz din conditia 0p

0

1k

kp

care este o ecuatie cu necunoscuta 0p

1)()!1()!1(

...!2!1

10

1

1

1

1

2

2

0i

i

i

m

m

m

m

mmmp

Cu notatia pentru factorul de înc rcare, în conditiile , sumadin expresia de mai sus este suma unei serii geometrice cu ratia subunitar , care are primul termen unitar. Suma respectiv este asadar 1 . Continutul parantezei drepte din relatia-ecuatie de mai sus este un num r finit si pozitiv, mai mare decât unitatea. Rezult c valoarea pentru are toate

caracterisiticile unei probabilit ti: este pozitiv si subunitar . Stabilitatea sistemului este posibil numai dac rata de utilizare/înc rcare este subunitar .

)/(m 1

)1/(

0p

Siruri cu asteptare în serie

Dac clientii solicit mai multe servicii într-o ordine tehnologic precis atunci acestia trebuie sa parcurg un sistem cu servire succesiv , sau serie. Dac , de pild , sistemul asigur unor clienti care sosesc într-un ritm mediu de în unitatea de timp, dou servicii serie cu ratele de servire medie si serviri pe unitatea de timp atunci starea sistemului este descris de dou variabile de stare: num rul clientilor în asteptare si în servire la postul 1 si num rulclientilor în asteptare si în servire la postul 2.

1 2

21n n

O enumerare a tranzitiilor si a evenimentelor posibile într-un interval scurt t

are urm toarea înf tisare:1. 0;0 21 nn

a) nici o sosire în sistem, dup t ;0

0

;0 21 nn

b) o sosire în sistem, dup t .;1 21 nn

2. 0;0 2011 nnn

a) nici o sosire, nici o servire, dup t ;0; 2011 nnn

b) nici o sosire, o servire la postul 1, dup t ;1;1 2011 nnn

84

c) o sosire în sistem, nici o servire, dup t .0;1 2011 nnn

3. 0;0 0221 nnn

a) nici o sosire, nici o servire, dup t ;0221 ;0 nnn

b) o sosire în sistem, nici o servire, dup t ;0221 ;1 nnn

c) nici o sosire în sistem, o servire la postul 2, dup t .1;0 0221 nnn

4. 0;0 022

011 nnnn

a) nici o sosire, nici o servire, dup t ;022

011 ; nnnn

0b) o sosire în sistem, nici o servire, dup t ;02211 ;1 nnnn

0c) nici o sosire, o servire la postul 1, dup t ;1;1 02211 nnnn

00d) nici o sosire, o servire la postul 2, dup t .1; 2211 nnnn

S-au omis cu bun stiint evenimentele constând în producerea concomitent a unei sosiri si a unei serviri sau a dou serviri, din cauza rarit tii lor relativ la intervalul scurt t luat în considerare. Ecuatiile-model ale sistemului se scriu în maniera obisnuit . În general

),1,())(1)(1(

),1,1()1)()(1(

),,1()1)(1)((

),,()1)(1)(1(),,(

2121

2121

2121

212121

tnnpttt

tnnpttt

tnnpttt

tnnptttttnnp

Trecerea la limit , , produce ecuatia diferential0t

),1,(),1,1(

),,1(),,()(),,(

212211

21212121

tnnptnnp

tnnptnnptnnpdt

d

care trebuie particularizat corespunz tor pentru primele trei cazuri enumeratemai devreme

),1,0(),0,0(),0,0( 2 tptptpdt

d

),1,(),0,1(),0,()(),0,( 121111 tnptnptnptnpdt

d

),1,0(),1,1(),,0()(),,0( 2221222 tnptnptnptnpdt

d

Probabilit tile corespunz toare regimului stationar sunt date de relatia general)0,0(),( 21

2121 pnnpnn

unde s-au notat cu , respectiv cu factorii de înc rcare ai sistemului, iar probabilitatea lipsei de clienti în sistem rezult din conditia

11 / 22 /)0,0(p

1)1)(1(

)0,0()0,0(

0 21021

1 2

21

n n

nn pp

adic .)1)(1()0,0( 21p

85

Probabilit tile pe cele dou siruri de asteptare se calculeaz cu relatiile )1()( 111

1nnp si )1()( 222

2nnp

cu interpretarea )()(),( 2121 npnpnnp

pentru dou siruri independente. O generalizare a acestei propriet ti la servicii serie cu mai multe (N) posturi de servire conduce la relatiile

N

i

i

n

iNinnnp

121 )1(),...,,(

Ninp i

n

iii ,...,2,1),1()(

Desigur, gama de sisteme de servire a unor clienti solicitatori de servicii este foarte variat . Un caz care merit atentie este cel al sistemelor serie cu depozitare (temporar ) al turi de firul conditionat tehnologic al serviciilor solicitate si oferite. Schema sistemului este dat mai jos si depozitarea este pentru clientii care dintr-un motiv sau altul nu mai pot fi serviti la unul din posturile de servire: fie pentru c servirea precedent a scos din parametrii de calitate produsul sau clientul respectiv, fie din alte motive.Sub aspect parametric, ritmul mediu al sosirilor la unul din posturile de servire pe firul tehnologic serie difer de la caz la caz, , deoarece exist

posibilitatea ca clientul generic s fie deviat c tre depozit cu o probabilitate . Dubla indexare a probabilit tilor exprim o tranzitie de la postul la

postul i sau de la postul i la depozitul . Desigur, . În aceste

conditii, coincide cu ritmul mediu al sosirilor în sistem si , iar

starea stationar a sistemului este descris de probabilit tile asociate lungimilorposibile ale sirurilor de asteptare de la fiecare post de servire,

cu , rata de înc rcare a postului i, raport între

rata medie a sosirilor si rata medie a servirilor la postul respectiv.

iiii p )1(1

)1(ii pp

iDp

(np

1i

1

D 1iD

p1

in

1(n

ii

01

)) ii iii /

Sunt situatii în care capacitatea sistemului este limitat , asadar exist o restrictie asupra sosirilor în sistem. În literatur se exemplific cu cazul unui laminor: este posibil o blocare a unit tii premerg toare ceea ce ar echivala cu riscul r cirii pronuntate a prefabricatului care urmeaz a fi laminat.În situatia satisfacerii cererii de un serviciu într-un singur punct de servire se admite c lugimea sirului de asteptare nu trebuie s fie mai mare decât q.

86

Ritmul mediu al sosirilor este pentru cazul prezentei în sistem a cel mult q

clienti, este nul pentru cazul prezentei în sistem a q clienti. Ecuatiile care descriu functionarea stationar a sistemului sunt

010 pp

0)( 11 nnn ppp pentru 1 qn

01qq pp

Din sistemul de mai sus si din conditia

10

q

n

np

rezult

11

1q

n

np

pentru toti , cu notatiile obisnuite. qn

Lungimea medie a sirului de asteptare este

)1)(1(

)1(1)(

1

1

0q

qqq

n

n

qnpnM

si timpul mediu de asteptare este ./)(nM

Asem n tor se pot trata si alte structuri de sisteme cu asteptare, structuri care pot fi o combinatie de substructuri serie si paralel.

Lucrul în ateliere, asteptarea serie si paralel

Se presupune existenta a M masini (sau sectii, unit ti de servire). La masina m,altfel oarecare, sosesc solicit ri din dou surse, una extern , cealalt intern , de la celelalte masini. Sosirile la masina m sunt aleatoare de ritm mediu care poate fi diferit pentru masini diferite. Timpii de servire sunt . La terminarealucr rii la masina m are loc un transfer f r consum de timp la alt masin

cu probabilitatea . Este de asemenea probabil ca obiectul servit sp r seasc sistemul.

m

m

k k m, pmk

Dac este frecventa medie de sosire la masina m, atunci în regim stationar gm

g qm m k k

k

p m

m

Se noteaz cu num rul de clienti de la masina m. Dac punctul m nu este o masin ci un centru de masini atunci sunt în servire, n sunt în asteptare. Se noteaz cu probabilitatea ca la momentul t, la punctul m s

fie exact clienti. Intrucât sunt M masini/centre, se spune c sistemul se aflîn starea dac clientii de la masina/punctulsunt în num r de .

nm

N n( ,

rm rm

m m,

P tnm( )

nM )nm

n ,...,1 2

nm

M, ,...,1 2

87

Ecuatia descriptoare este

)()()1()()()1()(}])([1{)(

2

11*

hotPhpn

tPhthPpn

tPhnhhtP

Njijjj

NiiNiiii

NiiiiN

cu notatiile aproape evidente.

88

SIMULAREA

În cadrul acestui curs si în general, termenul “simulare” are cel putin dousemnificatii. Una din semnificatii se leag de recursul la un model matematic de tip determinist scris pentru un sistem economic si efectuarea de evalu ri(repetate) ale comport rii si performantelor acelui sistem. Scopul unei astfel de simul ri acoper aspecte de proiectare a sistemelor noi, de ameliorare si de optimizare a sistemelor existente. Semnificatia cealalt se aplic sistemelor de productie marcate de puternice aspecte stochastice, sisteme în cazul c roracuprinderea în relatii matematice a tuturor fenomenelor aleatoare guvernante este din punct de vedere practic dificil sau imposibil . Aceast a doua semnificatie face obiectul capitolului prezent. De notat c “simulare” mai poate însemna si altceva. Se vorbeste, de pild , de simulatoare de zbor care reproduc comportarea unui avion în zbor dar în realitate simulatorul nu p r seste niciodat solul. Aceast simulare este utilizatpentru antrenament. Mai exist jocuri care simuleaz o afacere imaginar si juc torul este în rolul de conduc tor al afacerii respective cu tinta unor vânz ricât mai bune sau a unui profit cât mai consistent. Acestea sunt simul rile unor afaceri.În sectiunea referitoare la fenomenele de asteptare s-a ar tat c , în esent , un sistem cu asteptare oricât de complex poate fi divizat în subsisteme care constau într-un sir de asteptare si o anumit activitate, asa cum se vede în figuraal turat .

Se poate vorbi, asadar, de subsisteme care servesc clientii în asteptare, cu serviciul solicitat. Pentru a analiza un asemenea subsistem simplu sunt necesare unele informatii despre procesul de sosire, despre procesul de servire, despre caracteristicile disciplinare ale cozii, despre comportarea clientilor si despre num rul lor (finit sau infinit) etc. Aceste informatii au fost discutate mai în detaliu în capitolul referitor la sistemele cu asteptare. Se reiau aici câteva dintre ele.Procesul de sosire

Cum sosesc clientii, pe rând sau în grupuri

89

Cum sunt distribuite în timp sosirile, care este distributia statistic a timpilor dintre dou sosiri succesive Populatia de clienti este finit sau (practic) infinit

Procesul de servire O descriere a resurselor necesare ca servirea s înceapCât dureaz o servire, o distributie statistic a timpului de servire Dac sunt permise trat ri preferentiale (postul de servire ar putea opri servirea unui client pentru a se ocupa de un alt client, de o “urgent ”)

Caracteriticile cozii Cum sunt alesi pentru a fi serviti clientii, pe principiul FIFO (first-in first-

out) cunsocut si ca FCFS (first-come first served – primul venit primulservit), în maniera LIFO (last-in first-out) sau aleator (aceasta se numesteadesea disciplina cozii)Clientii sunt:

o Oportunisti, decid s nu r mân la coad dac coada este prea lungo Exploratori, p r sesc coada dac au asteptat deja prea multo Migratori, clientii schimb cozile dac ei cred c vor fi serviti mai

repede dac se duc la alt coadCoada este de capacitate finit sau (practic) infinit

De observat c la tot pasul apar situatii de incertitudine, inclusiv relativ la momentul sosirilor si la durata servirilor. Prin urmare, probabilit tile si statistica matematic sunt de neevitat în analiza sistemelor cu asteptare simplesau complexe.În timp ce teoria sistemelor cu asteptare poate fi utilizat pentru analiza sistemelor simple, sistemele mai complexe afectate de fenomene de asteptare sunt analizate mai curând pe calea simul rii, denumit uneori mai precis “simularea sistemelor cu evenimente discrete”. În modelarea sistemelor de productie se procedeaz frecvent la simulareasistemelor cu evenimente discrete.

Un exemplu de simulare

Ilustrativ pentru simularea evenimentelor discrete este exemplul simplu din figura de mai sus alc tuit dintr-un singur punct de servire si o singur coad .Se presupune c clientii sosesc la intervale de timp care sunt distribuite uniformîntre 1 si 3 minute, adic intervalele de timp dintre dou sosiri succesive pot lua orice valoare între 1 si 3 minute si valorile din acest interval sunt egal probabile. Se admite, de asemenea, c durata servirilor este tot o variabilaleatoare uniform distribuit pe intervalul 0,5 – 2 minute. Iat acum cum se analizeaz acest sistem simplu prin simulare.Conceptual, exist aici dou distributii statistice independente. Gândul simul riipoate duce la construirea a dou liste lungi de numere – una cu valori ale timpului scurs între dou sosiri succesive extrase aleator conform legii de repartitie uniforme pe intevalul (1, 3), cealalt cu duratele servirilor succesive

90

extrase aleator de un generator de numere aleatoare uniform repartizate în intervalul (0,5, 2). Limbajele de programare de nivel înalt ca si unele pachete de programe gen Matlab sau Excel dispun de facilit ti variate de generare a numerelor aleatoare. De exemplu în Excel, instructiunile 1+(3 – 1)*RAND() si 0.5 + (2 – 0.5)*RAND() sunt capabile a genera listele de valori necesare în simularea sistemului în studiu. Fie listele de valori din tabelul care urmeaz :

Intervale între sosiri Duratele servirii 1,9 1,71,3 1,81,1 1,51,0 0,9… …

Pentru usurarea calculelor s-a retinut numai o cifr zecimal din mai multeposibile.Se admite o stare initial (T = 0) cu nici un client în sistem. Se consult lista si se formuleaz întrebarea: “Ce urmeaz ?”.R spuns: dup 1,9 minute apare un (prim) client. Coada este vid , postul de servire este în asteptare (liber) si clientul intr imediat în procedura de servire. Din nou: “Ce urmeaz (a se întâmpla)?”R spuns: dup alte 1,3 minute, adic la T = 1,9 + 1,3 = 3,2, apare clientul urm tor. Deoarece postul de servire este ocupat clientul intr în asteptare. “Ce (eveniment/evenimente) urmeaz ?”R spuns: la momentul T = 1,9 + 1,7 = 3,6 clientul în servire va fi gata servit si va p r si sistemul. În acel moment clientul în asteptare intr în servire, servire care se va finaliza la T = 3,6 + 1,3 = 5,4. “Ce urmeaz ?”R spuns: dup 1,1 minute de la sosirea clientului anterior, adic la T = 3,2 + 1,1 = 4,3, apare clientul urm tor. Acest nou client se înscrie în coad deoarece postul de servire este ocupat. “Ce urmeaz ?”R spuns: dup 1 minut, adic la T = 4,3 + 1,1 = 5,3, apare clientul urm tor.Acest client se înscrie în coad – exist deja cineva în coad – asa c acumcoada contine doi solicitatori ai serviciului furnizat de posrtul de servire. “Ce urmeaz ?”R spuns: la T = 5,4 clientul în curs de servire va fi gata servit si va p r sisistemul. La acel moment sunt doi clienti în asteptare si, admitând c disciplina în firul de asteptare este de tipul FIFO, primul client din coad va intra în procedura de servire (care va consuma 1,5 minute si se va termina, asadar, la T = 5,4 + 1,5 = 6,9). “Ce urmeaz ?”R spuns: …… etc si se poate continua în aceast manier un num r de pasi oarecare functie de timpul disponibil si de r bdare… Calculele relativ la acest prces sunt f cute mai eficient de un calculator. O recapitulare a pasilor parcursi arat astfel:

91

Timpul T Evenimente

1,9Apare un client, începe servirea care se va terminala T = 3,6

3,2 Apare un client, se aseaz în coad

3,6Se încheie o servire. Clientul din coad intr la servire care se va termina la T = 5,4

4,3 Apare un client, se aseaz în coad5,3 Apare un client, se aseaz în coad

5,4Se încheie o servire. Primul client din coad intr la servire care dureaz pân la T = 6,9

etc.

Se poate observa din secventa de mai sus cum se simuleaz , cum se reproduce

artificial functionarea sistemului. Simularea, cum s-a ilustrat mai sus, este denumit mai precis simulare de evenimente discrete deoarece sunt urm rite în timp evenimente (sosiri de clienti, încheieri de serviri). Sunt interesante numaipunctele de pa axa timpului T=1,9; 3,2; 3,6; 4,3; 5,3; 5,4 etc. Simularea, odat oprit la un num r (mare) arbitrar de pasi poate servi la a calcula parametri statistici variati relativ la sistem. De pild , se poate evalua media timpului petrecut în sistem (în asteptare si în servire). Cei doi clienti care au fost serviti au petrecut 1,7 respectiv 2,2 minute în sistem (evalu ri f cuteprin luarea diferentei momentelor plec rii din si sosirii în sistem). Pe baza unui num r mai curând modest de observatii, timpul mediu se estimeaz a fi (1,7 + 2,2)/2 = 1,95 minute.Se poate face o statistic a lungimii cozii, cum ar fi lungimea medie a cozii. Dimensiunea cozii este 0 pentru T < 3,2, este 1 pentru 3,2 < T < 3,6, este din nou 0 pentru 3,6 < T < 4,3, este 1 pentru 4,3 < T < 5,3, este 2 pentru 5,3 < T < 5,4, asa încât media ponderat cu timpul este

[0(3,2 – 0)+1(3,6 – 3,2)+0(4,3 – 3,6)+1(5,3 – 4,3)+2(5,4 – 5,3)]/5,4 = = 0,296

Este de comentat aici starea sistemului la începutul calculelor: sistemul este f rclienti, este vid. Alegerea acestei st ri de pornire, una din mai multe posibile, poate produce rezulate eronate în ceea ce priveste valorile calculate si de aceea este o practic uzual ca la simulare s se astepte ceva timp pân sistemul “se umple”, pân când sistemul intr în regim si numai apoi începe colectarea date pentru calculul parametrilor statistici. Discutie. În simulare, teoria probabilit tilor si statistica joac un rol atât în datele de intrare cât si în rezultatele pe care simularea le genereaz . De exemplu, în simularea fluxului de clienti prin casele unui supermarket, date de intare precum num rul de cump r tori prelucrati este reprezentat prin distributii statistice. Rezultatele de genul timpul de asteptare al clientului, lungimeacozilor etc. sunt reprezentate tot de repatitii statistice. În exemplul de maidevreme s-a f cut apel la distributii statistice uniforme.Sunt câteva probleme de comentat despre simulare.

92

Tipic, modelul de simulare trebuie executat pe calculator pentru un timpapreciabil pentru ca rezultatele s fie semnificative statistic si de aceea poate fi costisitor sub aspectul timpului cât calculatorul este ocupat. Rezultatele simul rii pe model tind s devin puternic corelate ceea ce înseamn c estim rile evaluate pe baza acestor modele pot fi însel toare.Corelatia este un termen statistic care înseamn c dou (sau mai multe)variabile sunt dependente una de alta într-o anume manier descris în capitolul dedicat probabilit tilor si statisiticii matematice. Adesea, anumite tehnici de reducere a variantelor pot fi utile pentru a spori exactitatea cu care se facestim rile obtinute din simulare.În eventualitatea c se modeleaz un sistem existent pot ap rea dificult ti în a valida modelul (sau programul de calcul) pentru a avea siguranta c modelulreprezint realitatea. Dac modelul de simulare este foarte complex atunci este dificil a izola si a întelege ce se întâmpl în model si a deduce relatiile cauz -efect.Odat în posesia unui model adecvat, acesta poate fi utilizat în mai multedirectii.

Întelegerea function rii curente a sistemului, elaborarea de explicatii coerente ale comportamentului observat. De exemplu, dac se observîntârzieri inacceptabile în productia unei sectiuni productive, se pune întrebarea “de ce?”, “ce factori cotribuie la aceste întârzieri?” Explorarea extinderilor sau schimb rilor posibile ale sistemului, de obicei pentru a încerca a-l îmbun t ti. De exemplu, pentru a spori productia fabricii sunt necesare masini suplimentare? Este posibil o accelerare a lucrului pe masinile existente? Printr-o întretinere a masinilor se poate m rifactorul de utilizare? Calificarea personalului este cea potrivit ? Care din acesti factori (sau combinatie de factori) ar fi alegerea cea mai bun pentru a creste productia? De observat c uneori o schimbare care reduce congestionarea într-un punct poate fi însotit de o crestere a ei în alt punct. Astfel, trebuie avut în minte acest fapt atunci când se examineazpropunerile de schimbare.Proiectarea unui nou sistem de la zero sau încercarea de a reproiecta sistemul pentru a satisface (uneori statistic) anumite cerinte la cost minim.De pild , în (re)proiectarea unui terminal de pasageri dintr-un aeroport, ce niveluri ale resurselor (vam , posturi de verificare, facilit ti pentru bagaje etc.) sunt necesare si cum trebuie amplasate aceste resurse într-un perimetrunou sau într-unul existent.

Simularea a început a fi aplicat la situatii manageriale în anii 50 târzii ai secolului trecut pentru a examina probleme de asteptare si de stocare. SimulareaMonte-Carlo a fost utilizat pentru a modela activit tile legate de facilit ti cumsunt depozitele de m rfuri sau rezervoarele cu produse petroliere. Problemelede asteptare (de pild iesirile din supermarket-uri) sunt, de asemenea, printre cele simulate prin metodele Monte-Carlo. Sintagma Monte-Carlo vine de la orasul cu acelasi nume renumit pentru organizarea de jocuri de noroc. Ca si la

93

jocul de rulet , foarte popular printre cei care frecventeaz cazinourile si în operatiile de simulare se obtin numere aleatoare, dar nu prin rotirea unei rulete ci prin generare cu calculatorul. Avantajele simul rii, nu numai decât în opozitie cu teoria cozilor ci mai curând ca o metod complemetar , sunt enumerate imediat. Astfel:

Se pot trata mai direct si mai comod comportamentele dependente de timpMatematica asociat cu teoria cozilor este dificil si este valid numaipentru anumite dsitributii statistice pe când matematica simul rii este multmai accesibil si poate lucra cu orice distributie statisticÎn unele situatii, este practic imposibil a scrie ecuatiile pe care teoria cozilor o pretinde (de pild , aspecte de genul schimb rii între cozi, vitezele de lucru dependente de coad etc.) Simularea este mult mai usor acceptat si înteleas de manageri decât teoria cozilor

Un dezavantaj al simul rii este c este dificil a atinge o solutie optim cum, de pild , se obtine rapid si usor cu programarea liniar . O cale de a încerca optimizarea prin simulare ar putea fi alc tuit din etapele urm toare:

Se face o modificareSe face o simulare pentru a vedea dac modificarea aduce sau nu o îmbun t tireSe repet pasii anteriori.

E drept, procesul acesta este consumator de timp-calculator apreciabil.

Un exemplu mai complicat

Fie sistemul descris mai jos, în care sunt dou p rti X si Y care urmeaz a fi asamblate, puse laolalt . Înainte de asamblarea care are loc pe masina 3, atât X cât si Y trebuie s treac printr-o faz de preg tire pe masina 1, respectiv pe masina 2. Dup asamblare (X si Y se contopesc într-un ansamblu) mai este necesar un tratament pe masina 4. Evident, dac o masin este ocupat , p rtilesau ansamblul trebuie s astepte procesarea într-o coad sau alta.

O analiz a situatiei prin simulare se conduce având în vedere existenta celor dou componente X si Y si a celor cinci cozi care se pot forma în asteptarea a patru servicii-activit ti. Cozile au o disciplin de tipul FIFO – primul-sosit-primul-servit. Aceste elemente si ordinea tehnologic sunt elemente care trebuie clar specificate în orice situatie. O ordine de precedent arat modul cum

94

“clientii” (X si Y în cazul în discutie) circul în sistem. Aici X de cum intr în sistem merge mai întâi în coada 1. Coada 1 este urmat de masina 1 si masina 1 la rându-i de coada 3. Coada 3 este urmat de masina 3 si masina 3 este urmatde coada 5 format înaintea masinii 4. Regulile de servire spun fiec rui server, fiec rei masini cum s selecteze un client din coada/cozile premerg toare. Regula are semnificatie diferit dac un server are mai mult de o coad imediat precedent . În exemplul în discutie numai masina 3 este în aceast situatie: coada 3 contine X-i, coada 4 contine Y-i. Pentru a executa servirea la postul “masina 3” este necesar prezenta a cel putin unui X si a cel putin unui Y. Pentru fiecare din cozi sunt specificate regulile disciplinare. În cazul exemplificat toate regulile sunt de tipul FIFO (first-in-first-out) adic clientii sunt serviti în ordinea sosirii.Se mai definesc în mod necesar capacit tile cozilor. Dac o coad este plin si exist o activitatea precedent , atunci postul de servire care precede acea coadnu poate elibera un client procesat pân când nu se creaz loc în coada receptoare.Pentru clienti (aici, X si Y) este necesar specificarea unei distributii a timpuluiîntre sosiri. S-a presupus c pentru p rtile X timpii între sosiri sunt repartizati uniform între 0,4 si 0,7 ore. P rtile Y au timpii dintre sosiri distribuiti normal cu media 0,5 si abaterea medie p tratic de 0,2 ore. Pentru posturile de servire (masinile 1 – 5) este necesar a se specifica distributia duratelor de servire pentru clientii (p rtile) pe care îi (le) proceseaz . Aici masina 1 proceseaz p rtile X într-un timp distribuit normal cu media 0,1 ore si deviatia standard (abaterea medie p tratic ) de 0,03 ore. Masina 2 proceseazp rtile Y cu un timp de servire distribuit normal cu media 0,15 si cu deviatia standard de 0,04 ore. Masina 3 este masina care face asamblarea de X si Y si timpul de procesare este constant, de 0,3 ore. În final, masina 4 proceseaz ansambluri de p rti si, deoarece nu se poate sti cu sigurant care din cele dou p rti (X sau Y) dau numele ansamblului, se specific uzual o aceeasi distributia a timpilor de prelucrare pentru ambele p rti– o distributie normal cu media 0,6 ore si deviatia standard de 0,13 ore. Moduri mai rafinate si, implicit, mai scumpe de implementare a algoritmul de simulare pot evita mai riguros aceast posibil confuzie. Pentru sistemul mai complex adus în discutie, se prezint rezultatul simul riitimp de 100 de ore. Evident, asta nu înseamn c trebuie consumate 100 de ore reale pentru a obtine rezultatele simul rii. Este vorba de un timp el însusi simulat, care în timp-calculator poate fi de câteva secunde sau zeci de secunde. Colectarea datelor pentru evalu rile statistice începe dup 20 de ore, asadar dup un timp considerat suficient pentru “umplerea” sistemului, “asezarea” lui într-un regim considerat stationar. În aceste conditii, pe intervalul de timp în care se colecteaz date, de la T = 20 la sfârsitul simul rii, sunt 133 de observatii care urmeaz a fi supuse analizei. Simularea s-a încheiat la un moment T = 101.11, asadar ceva mai târziu fat de cele 100 de ore propuse pentru simulare. Explicatia acestei dep siri rezid în

95

faptul c pachetul execut calculele de simulare pân când întâlneste un eveniment (cum ar fi aparitia unei noi p rti componente, un final de servire, etc.) care provoac o schimbare în sistem si, de aceea, durata simul rii este maimare decât timpul de simulare specificat, T 100. Aici, primul eveniment de dup T = 100, care provoac o schimbare în sistem se produce la T = 101.11. Rezultatele analizei produse cu un anumit program de calcul arat ca în tabelul care urmeaz .Tabelul vorbeste prin numerele pe care le contine. Se poate citi num rul

X YNum rul de sosiri 148 163Num rul mediu în

sistem13,95 7,42

Num rul maxim însistem

21 17

Num rul de unit tiansamblate

133

Durata medie a proces rii

1,15

Abaterea mediep tratic a duratei de

procesare0,14

Timpul mediu de asteptare

9,50

Abaterea mediep tratic a timpului de

asteptare4,47

Durata medie a trecerii prin sistem

10,55

Abaterea mediep tratic a duratei trecerii prin sistem

4,46

Durata maxim a trecerii prin sistem

18,27

de subansambluri X si Y care au sosit în sistem în intervalul de peste 80 de ore simulate, de la T = 20 la T 100. Num rul mediu (ponderat cu durate) de unit ti X în sistem rezult a fi 13,95 si, similar, num rul mediu de unit ti Y în sistem, de 7,42. S-au finalizat 133 de articole, prin asamblare a câte unui X si a câte unui Y, urmat de procesarea executat pe masina 4. De îndat ce perechile de X si Y devin articole asamblate, care ulterior ies din sistem, valorile calculate sunt unice. Desigur, articolele asamblate pot purta numele X dacp rtile Y sunt relativ mai putin importante, mai putin voluminoase etc. (similardac Y este partea major a ansamblului).

96

Timpul mediu al proces rii reprezint un parametru important. Timpul (aleator) consumat cu procesarea unei p rti X (c reia i se adug la un moment dat o parte Y) pe m sur ce parcurge sistemul este în medie 1,15 ore si are o deviatie standard de cca. 0,14 ore. La prima vedere ar putea p rea de neînteles cum 133 de articole au putut fi terminate dac ele necesit în medie 1,15 ore fiecare si un total de 133.(1,15) = 152,95 ore. Consumul acesta dep seste cu mult cele 80 de ore pentru care s-a f cut simularea si s-au colectat date. Aceast posibil nedumerire se explicprin natura sistemului: procesarea se face simultan pe o bun parte a traseului tehnologic parcurs, adic în paralel pe masini diferite. Luând în considerare graful de mai sus, model al sistemului simulat, la fiecare moment masinile 1, 3 si 4 pot procesa articole X. Astfel, în cele 80 de ore pe parcursul c rora s-au cules datele, timpul disponibil este de cel mult 3.(80) = 240 de ore. Pentru timpul de asteptare a unui articol în sistem, media este 9,50 si deviatia standard este 4,47 ore. Teoretic, timpul mediu de procesare adunat cu timpulmediu de asteptare (aici 1,15 + 9,50 = 10,65) ar trebuie s coincid cu timpulmediu de trecere prin sistem (dat mai sus ca fiind 10,55). Aici exist o micdiferent datorat modului cum p rtile X si Y, separat. se misc în sistem.Din “observatiile” generate prin simulare se pot estima alti parametri cum ar gi gradul de ocupare a posturilor de servire, aici cele patru masini. Iat în tabelul urm tor aceste estim ri.

Factoride

utilizare

Duratamedie a

proces rii

Deviatiastandard a

duratelor de procesare

Durata de procesaremaxim

Clientiprocesati

Masina 1 18,1% 0,098 0,033 0,196 148Masina 2 29,9% 0,147 0,041 0,255 163Masina 3 55,5% 0,300 0,001 0,300 148Masina 4 100% 0,603 0,127 0,903 133

Se observ o folosire foarte intens a masinii 4. Fat de celelalte, masina 4 este de departe cea mai ocupat si, de aceea, aici apare o strangulare în ceea ce priveste capacitatea de productie a sistemului.Tot pe baza simul rii se poate face o analiz statistic a fiec rei cozi. Tabelul urm tor este o sintez a unei astfel de analize. Desigur, num rul de zecimale care apar în unele pozitii din tabel este discutabil. Calculatoarele pot da chiar mai multe cifre dup virgul , dar nu utilitatea lor este subiectul dicutiei curente. Tinând cont de toate zecimalele sau de mai putine rezult clar c C5 este coada cea mai important , ceea ce confirm observatia f cut mai devreme, c masina4 este un punct de strangulare în procesul de productie. Importanta comparativa cozilor poate fi cuprins si într-un grafic. Graficul cozilor din tabel este prezentat imediat.

97

CoadaLungimea

medieLungimeamaxim

Asteptareamedie(ore)

Deviatiastandard

aastept rii

Asteptareamaxim

C1 0 1 0 0 0C2 0,0115 2 0,0076 0,0434 0,3819C3 0 1 0 0 0C4 7,0778 17 3,4622 1,9881 7,5660C5 12,1586 20 6,6650 2,8512 10,9684

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5

Producerea unor grafice de acest gen este obisnuit în simularea sistemelor cu evenimente discrete. Graficul ofer o imagine a sistemului si a function rii lui uneori mai clar decât un tabel cu numere.

Schimbarea sistemului

Cu un model al unui sistem de productie, cum este modelul de mai sus, obtinut din date de simulare se poate percepe mai complet comportarea acelui sistem.Extinzând discutia la sistemele reale, posibil mai complexe si cu interactiuni mai complicate, f r explorarea numeric oferit de simulare acestea ar fi încmai dificil de înteles, date fiind variatiile statistice ale duratelor de procesare si ale momentelor de sosire, ale capacit tii cozilor etc. În cazul sistemului relativ simplu de mai sus, de pild , s-a evidentiat strangularea de la masina 4 în termeni de volum al productiei. De aici formularea si posibila rezolvare a unei probleme vizând îmbun t tireasistemului prin explorarea pe cale numeric a unor schimb ri ale sistemului.Examinarea datelor simulate îndeamn la optiunea de a schimba disciplina cozii C5, coada premerg toare masinii 4 unde apare strangularea. Rezultatul poate fi diferit de cel dorit/asteptat. Asa se întâmpl dac , de pild , disciplina FIFO (disciplina curent de tipul primul-venit-primul-servit) este schimbat în MaxWorkDone, care const în a alege ca articol urm tor la procesare pe acela

98

care are deja acumulat o durat maxim de procesare. Rezultatele sunt aproape identice: acelasi num r de articole procesate complet cu timpul mediu de asteptare usor modificat. Articolele stau în medie mai putin timp în sistem desi volumul total al productiei sistemului este neschimbat.O alt optiune care merit explorat pentru a încerca o sporire a iesirii sistemului este înlocuirea masinii 4: o masin mai productiv sau dou masinide acelasi tip în acel punct al sistemului de productie ar trebui s aduc un spor substantial în iesirea sistemului. Dac productivitatea în punctul sesizat ca fiind îngust se dubleaz , pare de bun simt a spera ca productia îns si s se dubleze. Dar: se va dubla productia sau nu, dac nu se dubleaz cu cât va creste? Aceastnou situatie se poate explora numeric uzând de modelul elaborat corectat cu actiunea diferit a sectiunii ultime a sistemului care arat acum ca în figura urm toare.

Coada C5 alimenteaz acum ambele masini (marcate cu 4a si 4b) în regimulFIFO. Vor trebui acum generate si introduse în calcul durate aleatoare de servire pentru fiecare din cele dou masini. Rezultatele evalu rilor prin simularea pentru aceeasi perioad de timp ca mai sus sunt sintetizate în tabelul care urmeaz .Se constat imediat c asteptarea de dublare a productiei a fost iluzorie: productia a crescut de la 133 de articole (aproximativ 133/80 = 1,7 articole pe or ) la numai 151 de articole (aproximativ 151/80 = 1,9 articole pe or ).Aceasta este o crestere cu circa 0,2 articole pe or , procentual cu circa 12%. Exist o explicati pentru asta?Este firesc a suspecta c durata prea scurt de simulare a sistemului ar putea deforma rezultatele. Rezultatul dup dublarea masinii 4 cu una similar este de 151 de articole în cca. 80 de ore, adic de 1,9 articole pe or . Ce se întâmpldac simularea se extinde pe o durat de 10 ori mai lung , de pild pe 1000 de ore, cu începerea colect rii de date la ora 200? Rezultatul simul rii: productia este în (aproximativ) 800 de ore de 1448 articole, adic este de 1,8 articole pe or . Este limpede, asadar, si din simularea pe o durat mai îndelungat cefectul angaj rii în procesul productiv a dou masini 4 nu dubleaz productia. De ce, oare? R spunsul este relativ simplu: sistemele cu cozi aleatoare si cu activit ti de durate aleatoare, cum este cazul aici, sunt notoriu dificile în a fi analizate prin recursul la “bunul simt”. Aceast situatie este obisnuit în simulare. Pentru a întelege ce se întâmpl , în loc de a folosi intuitia cu toate capcanele ei trebuie examinate pertinent si în detaliu rezultatelor simul rii.

99

X YNum rul de sosiri 150 168Num rul mediu în

sistem1,87 11,55

Num rul maxim însistem

3 20

Num rul de unit tiansamblate

151

Durata medie a proces rii

1,15

Abaterea mediep tratic a duratei de

procesare0,13

Timpul mediu de asteptare

5,45

Abaterea mediep tratic a timpului de

asteptare1,75

Durata medie a trecerii prin sistem

6,49

Abaterea mediep tratic a duratei trecerii prin sistem

4,46

Durata maxim a trecerii prin sistem

10,13

Înc dou tabele, cu înc rcarea masinilor si cu caracteristicile cozilor vor fi suportul altor consideratii si explicatii relativ la functionarea sistemului.

Factoride

utilizare

Duratamedie a

proces rii

Deviatiastandard a

duratelor de procesare

Durata de procesaremaxim

Clientiprocesati

Masina 1 19,2% 0,102 0,032 0,196 150Masina 2 32,1% 0,153 0,042 0,269 168Masina 3 56,3% 0,300 0,001 0,300 150Masina 4a 58,6% 0,594 0,122 0,851 79Masina 4b 53,4% 0,593 0,126 0,958 72

100

CoadaLungimea

medieLungimeamaxim

Asteptareamedie(ore)

Deviatiastandard

aastept rii

Asteptareamaxim

C1 0 1 0 0 0C2 0,0101 1 0,0048 0,0257 0,2297C3 0 1 0 0 0C4 11,2485 20 5,5158 1,7172 8,9479C5 0,0001 1 0,0001 0,0009 0,0116

Pentru exemplul particular prezentat, cu modificarea structural operat ,r spunsul la mirarea c sistemul nu produce dublu se afl în statistica cozilor. Coada C4 are acum de departe cea mai mare lungime medie: 11,2485 în simularea de 100 de ore. Prin examinarea portiunii din graful sistemuluireprezentat mai jos, se poate vedea ca în coada C4 p rtile Y asteapt s fieasamblate cu p rti X. Din ce cauz coada C4 este lung ?

Coada C4 este lung fie pentru c masina 3 este deplin utilizat , fie pentru c nu sunt p rti X gata pentru a fi asamblate cu p rti Y. Din datele despre utilizarea serverelor se vede c masina 3 nu este complet utilizat , astfel c problema este lipsa de p rti X în coada C3. Lipsa aceasta ar purtea fi cauzat de o strangulare pe masina 1, dar se vede în tabelul cu înc rcarea masinilor c nu este asa, la fel din statistica cozii C1. În final, se obtine r spunsul la întrebarea, de ce aducând în sistem înc o masin4 productia nu se dubleaz : în sistem nu intr suficiente p rti X pentru a face posibil m rirea înc mai important a productiei. Rationamentul sugerat mai sus pare a fi suficient de logic si poate fi un modelde utilizare a simul rii si în alte împrejur ri, chiar mai complexe decât aceasta.

101

102

PROGNOZE

Prognoza este estimarea valorilor pe care le poate lua o variabil sau un set de variabile într-un viitor mai apropiat sau mai îndep rtat. Capitolul prezent prezint câteva metode de prognozare utilizate în economie.Uzual, executarea unei operatii de prognozare este premerg toare lu riiunei/unor decizii, elabor rii unor planuri de viitor. Tipic, exercitiul prognozant lucreaz în ideea c dac se poate anticipa viitorul, atunci comportamentul individual sau al unui agent economic se poate modifica de pe acum, astfel ca la vremea când viitorul va deveni prezent, individul sau agentul economic s se afle într-o pozitie bun , mai bun decât ar putea fi f r o asemenea anticipare. Aplicatii ale prognozelor se reg sesc în împrejur rivariate. Iat câteva exemple:

Reglarea stocurilor/planificarea productiei – prognozarea cererii pentru un produs face posibil controlul stocurilor de materii prime si de produse finite, planificarea productiei etc. Politica de investitii – prognozarea unor informatii financiare de genul evolutiei dobânzilor, a ratelor de schimb, a valoarii actiunilor, a pretului aurului etc. Este vorba aici de un vast domeniu în care nimeni n-a dezvoltat înc metode de prognozare consistente si precise (sau cel putin, aceia care le detin nu le-au spus nim nui!)Politica economic – prognozarea informatiilor economice, cum sunt cresterea economic , somajul, rata inflatiei etc. este de important vital în planificarea viitorului, atât pentru guverne cât si pentru mediul de afaceri.

Imaginatia permite, cel putin pentru un moment, a accepta c autorul (sau cititorul) acestei lucr ri s-ar afla în fata unei bune prezic toare a viitorului, de pild o zân cumsecade, care îi spune c apreciaz bun tatea, virtutile si preg tirea exceptional în profesie (e doar un basm, desigur) si a decis s -ifurnizeze trei prognosticuri la alegere. Care trei lucruri în viata personal si/sau de om de afaceri ar fi cele mai interesante pentru omul obisnuit? Probabil c , în ordinea descrescând a importantei, acestea ar fi:

Data decesului Numerele câstig toare la tragerea urm toare a loteriei nationale Numerele câstig toare la tragerea de dup aceasta a loteriei nationale

Dup cum se observ din lista de r spunsuri anticipative propus , prognozele au leg tur cu probleme de viat si de moarte si au consecinte legate de viat si de moarte. Este de asemenea clar c pentru a face anumite previziuni, de pildasupra datei decesului, trebuie ca, în absenta ajutorului zânei celei bune, s se colecteze ceva date pentru a face posibil o prognoz mai documentat si, de

103

sperat, mai precis . De pild , autorul ca persoan ar trebui s afle speranta de viat a cadrelor didactice (care nu fumeaz , care beau moderat, care nu practicexercitiile fizice) din universit tile din România. Autorul ar putea s se supununui temeinic examen medical. Ideea general este c o colectie de date relevante poate duce la o prognoz acceptabil ca precizie. Se poate îns ca datele acestea s nu duc la o prognoz prea exact : autorul ar putea fi c lcat de o masin chiar mâine si ar fi transferat “dincolo” mult înainte de termenulprognozat…

Tipuri de probleme si metode de prognozare

O clasificare a problemelor de prognoz tine seam de scara de timp implicat ,adic orizontul de timp în viitor pentru care prognoza se sper a fi acoperitoare si valabil . Uzual, claselor de prognoze li se asociaz calificativele “pe termenscurt”, “pe termen mediu” si “pe termen lung”. Semnificatia acestor calificative este variabil în functie de contextul situatiei studiate. O prognoz asupra cererii de energie, care ajut la un program de constructie de centrale este “pe termen scurt” dac se refer la urm torii 5-10 ani, dar este “pe termen lung” dac se ocup de urm torii 50 de ani. În multe situatii, prognoza pe 6 luni asupra cererii consumatorilor de un anumit produs/serviciu este una “pe termenscurt”, dar extins la câtiva ani este “pe termen lung”. Tabelul urm tor aratcâteva sc ri de timp asociate cu decizii economice.

Scara de timp Tipul deciziilor Exemple

Pe termen scurt (pân la 3 - 6 luni)

OperationaleControlul stocurilor

Planificarea productiei, distributia

Pe termen mediu(între 3 - 6 luni si

2 ani) Tactice

Instalatii si echipamente în leasing

Variatia ofertei de fort de munc

Pe termen lung (dincolo de 2 ani)

Strategice

Cercetare si dezvoltare Achizitii de active, fuziuni

Schimb ri de profil al productiei

Ratiunea major a clasific rii de mai sus este aceea c pentru fiecare situatie se aplic un tip anumit de prognoz . Metoda de prognoz potrivit pentru a estimavânz rile de luna viitoare (tipic pentru termen scurt) va fi probabil inadecvatpentru a prognoza vânz rile pe urm torii cinci ani (termen lung). În afaceri volumul de date utilizat în metodele cantitative mentionate variaz de la foartemare pentru prognozele pe termen scurt, la foarte redus pentru prognozele pe termen lung. Metodele de prognozare pot fi clasificate în mai multe categorii:

104

Metode calitative – în care nu exist un model matematic formal, adesea deoarece datele disponibile nu par a fi reprezentative pentru viitor (pe termen lung) Metode regresionale – o extensie a regresiei liniare în care o variabil este considerat a fi corelat liniar cu un num r de alte variabile independente Metode cu mai multe ecuatii – când exist un num r de variabile dependente care interactioneaz una cu alta prin mai multe ecuatii (ca în modelele economice)Metodele seriilor temporale – unde o singur variabil se schimb în timp si valorile ei viitoare sunt dependente de valorile ei trecute.

Mai departe sunt expuse pe rând aceste metode.

Metode calitative

Metodele din aceast categorie sunt utilizate mai ales atunci când datele din trecut pe care s-ar putea baza prognoza sunt considerate irelevante. Aceste metode sunt utilizate aproape exclusiv pentru prognozele pe termen lung. O tratare a prognozelor din aceast clas o furnizeaz metoda Delphi.Vechii greci aveau o conceptie special asupra prognozelor si credeau c cele mai indicate persoane de consultat sunt zeii. La oracolul de la Delphi din vechea Grecie întreb rilor li se r spundea printr-un medium, o femeie de peste 50 de ani, separat de b rbatul ei si îmbr cat în rochii de fecioar . Dac cineva dorea un r spuns la o întrebare trebuia:

S îi ofere o pr jiturS ofere un animal pentru sacrificare S se îmb ieze cu medium-ul într-un izvor.

Dup aceste preliminarii medium-ul se aseza pe un trepied în subsolul templului, mesteca frunze de laur si r spundea la întreb ri, de obicei în cuvinte ambigue.Este asadar legitim a întreba dac în adâncimea unui subsol undeva, exist un functionar guvernamental care mestec frunze de laur si care este angajat pentru a prognoza crestrea economic , succesul în alegeri etc. Probabil exist !O clip de reflectie: sunt credibile prognozele f cute în aceast manier ?Oracolul din Delphi producea prognoze precise sau nu?O anchet stiintific recent , publicat în New Scientist din 1 septembrie 2001, arat c medium-ul delira din cauza inhal rii unor hidrocarburi (în particular etilen ) emanate dintr-o fisur geologic aflat sub templu.În zilele noastre metoda Delphi are o semnificatie diferit . Metoda implicchestionarea unui corp de experti pentru a ajunge la un consens asupra înf tis rii viitorului. În subtextul ideii de a apela la experti este credinta cvederea lor în viitor este mai bun decât aceea a unor non-experti (cum ar fi oamenii alesi la întâmplare pe strad ). Ce tipuri de experti trebuie alesi pentru o încercare de a face o prognoz pentru 50 de ani?

105

Într-un studiu Delphi expertii sunt consultati separat pentru a evita o parte din influentele care ar putea rezulta dac s-ar aduna laolalt , cum ar fi dominareadezbaterii de un individ cu personalitate puternic , vederile divergente (dar valide) ale multor altora nefiind exprimate de teama umilirii.O întrebare tipic ar putea fi “În ce an (dac se va întâmpla vreodat ) este de asteptat ca transportul rapid automatizat s devin obisnuit pentru orasele maridin Europa?”. R spunsurile sunt puse împreun sub forma unei distributii pe ani (cu comentarii atasate) si sunt eventual retrimise la experti pentru a obtine estim ri revizuite. Procesul este repetat pân când de obtine un (relativ) consens. Este clar c o astfel de metod are multe deficiente dar nu exist o cale mai bun de a avea o imagine asupra viitorului în conditiile în care datele relevante necesare pentru metode mai cantitative lipsesc. Ca un exemplu, în Science Journal din octombrie 1967 s-a publicat un studiu Delphi care încerca o privire în viitor. Au trecut suficient de multi ani de atunci pentru a putea aprecia cât de bun a fost prognoza. S-au formulat atunci multeîntreb ri despre orizontul de timp în care se va întâmpla ceva anume. În continuare se reproduc câteva r spunsuri. Pentru fiecare întrebare s-a acordat o cvartil superior de 75% pentru timpul în care expertii apreciau c acel ceva se va produce. Pentru tranzitul rapid automat cvartila superioar indica anul 1985, asadar expertii credeau în 1967 c în 1985 în cele mai multe zone urbane tranzitul rapid automatizat va fi larg r spândit. Realizarea unui sistem de acest gen va mai lua multi ani… R spândirea larg a masinilor de înv tat avea cvartila superioar de 75% situatla 1990, adic 75% din expertii chestionati în 1967 credeau c pe la 1990 masinile de înv tat rafinate vor fi la tot pasul. Evident, nu aceasta este situatia azi…Utilizarea pe scar larg a robotilor avea cvartila superioar stabilit la anul 1995: 75% din expertii întrebati în 1967 credeau c în 1995 robotii vor fi extrem de prezenti. Nici aceast prognoz nu exceleaz prin acuratete. Este clar c cel putin aceste prognoze sunt foarte inexacte. Privind critic toate cele 25 de predictii f cute atunci, mai ales cele legate de viat si societate dup1967, multe sunt v dit imprecise.Asta aduce în prim plan o problem cheie: diferenta dintre prognoz si

rezultatul observat în realitate sau eroarea de prognozare.Cu toate acestea, în 1967 când a fost f cut acest studiu Delphi, nu exista o altposibilitate care s r spund la acele întreb ri.În multe privinte problema ridicat relativ la calitatea prognozelor nu este daco metod particular d rezultate bune ci dac metoda selectat este cea maibun metod accesibil . Trebuie folosit cea mai potrivit , cea mai bunmetod de prognozare, chiar dac se cunoaste istoric c ea nu d prognoze precise.

106

Metode regresionale

Problema regresiei liniare este deja cunoscut : o dreapt de ecuatie Y = a + bX

este potrivit pe date, uzual prin metode celor mai mici p trate. Dac sunt k

variabile independente X1, X2, …, Xk atunci se caut o relatie de regresie de forma

Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bkXk

care este o regresie liniar multipl . Cunoasterea relatiei de regresie creazpremisa de a face prognoze prin introducerea unor valori Xi, i = 1, 2, …, k

pentru a produce un Y, o valoare prognozat .

Metode cu mai multe ecuatii

Metodele din aceast categorie sunt utilizate frecvent în modelarea economicdac exist mai multe variabile care interactioneaz una cu alta prin ecuatii de o form bazat uzual pe teoria economic . Teoria economic d o privire asupra structurii relatiilor între diferite variabile. Relatiile numerice exacte între acele variabile sunt deduse adesea din date observate experimental.Ca un exemplu, iat un model simplu. Fie X – venitul personal, Y – cheltuielile personale, I – investitiile personale si r – rata dobânzilor practicat de b nci.Din teoria economic se presupune c cheltuielile sunt o functie liniar de venitul disponibil

Y = a1 + b1(X – a1)investitiile sunt functie liniar de rata dobânzilor

I = a2 + b2r

si ecuatia de bilant este X = Y + I (venitul = cheltuieli + investitii)

a1, a2, b1, b2 sunt constante. Sunt aici trei ecuatii si patru variabile (X, Y, I, r) si pentru rezolvarea acestor ecuatii uneia dintre variabile trebuie s i se atribuie o valoare. Variabila aleasse numeste exogen deoarece valoarea ei este decis în afara sistemului;variabilele r mase sunt numite endogene si ele sunt determinate ca solutii ale sistemului de ecuatii. De pild , în modelul de mai sus rata dobânzilor se poate considera exogen si se poate urm ri cum variaz X, Y si I atunci când se modific r.De obicei, constantele a1, a2, b1, b2 nu sunt cunoscute exact si trebuie estimatedin date experimentale print-o procedur relativ complex . Aceste constante sunt diferite pentru grupe de oameni diferite si fac diferente de genul urban/rural, b rbati/femei, c s toriti/nec s toriti etc. Exist relatii-model care contin mai multe variabile decât în exemplul de maisus. Adesea, fiecare din variabile are un indice temporal, ceea ce face posibilcuprinderea a unor aspecte dinamice.

107

Metodele bazate pe relatii din econometrie au erori de prezicere mari atunci când sunt utilizate pentru prognoze economice la scar mare, de pild la scara unei natiuni si pe termen mediu. Cu toate acestea, o prognoz , fie ea si modestca acuratete este mai bun decât nici o prognoz si dac exist mai multemetode de prognozare trebuie aleas aceea care pare a fi cea mai potrivit .

Serii temporale, analiz si metode

Metodele din aceast sectiune se aplic variabilelor care se schimb în timp si despre care se poate spune c depind numai de timp si de valorile anterioare, adic ele nu depind de alti factori externi. Dac Yt este valoarea variabilei la momentul t atunci ecuatia pentru Yt este

Yt = f(Yt–1, Yt–2, ..., Y0, t)adic valoarea variabilei la timpul t este o functie exclusiv de valorile anterioare si de timp, nici un alt factor extern sau alt variabil extern nu are vreo relevant , vreo influent . Scopul analizei seriilor de timp este de a descoperi natura functiei f si prin aceasta a permite predictia, prognoza pentru variabila Yt.Metodele legate de seriile de timp sunt eficace mai ales pentru prognozele pe termen scurt unde în limite rationale comportarea trecut a unei anumitevaribile este un indicator bun asupra comport rii ei în viitorul apropiat. Un exemplu tipic îl constituie prognozarea cererii. Este necesar la acest punct o distinctie între cerere si vânz ri: cererea este ceea ce clientii vor, vânz rile sunt ceea ce se vinde efectiv si cele dou cantit ti pot fi diferite. Datele observate în decursul a sase luni sunt cuprinse în tabelul urm tor:

Luna 1 2 3 4 5 6Cererea (x 100) 42 41 43 38 35 37

În reprezentare grafic , relatia Yt – t este dat mai jos prin puncte.

30

32

34

36

38

40

42

44

0 1 2 3 4 5 6 7

108

Analiza care urmeaz are ca scop a discerne, a evidentia o relatie între valorile Yt observate pân la un moment dat pentru a face posibil o prognoz asupra valorilor viitoare. Sunt date imediat în detaliu dou tehnici de analiz a seriilor temporale si, maideparte, elementele principale ale unei metode mai rafinate. Metoda mediei mobile. O metod foarte simpl de prognozare în cazul seriilor temporale const în a lua o medie mobil , uneori o medie mobil ponderat si a o extinde, a o proiecta în viitor. Media mobil mt relativ la ultimele L perioade observate care se sfârsesc la momentul t se calculeaz ca media aritmetic a valorilor pentru perioadele t – L+ 1, t – L + 2, t – L + 3, ..., t – 1, t

mt = (Yt–L+1 + Yt–L+2 + Yt–L+3 + ... + Yt–1 + Yt)/LPentru a elabora prognoza pentru alte intervale ulterioare lui t, se ia ca valoare prognozat exact mt. Uzual se prognozeaz numai o perioad în viitor si se actualizeaz media mobil de îndat ce observatia relativ la perioada imediaturm toare lui t devine accesibil .Pentru exemplul din tabelul de mai sus care contine cererea de un produs de-a lungul a 6 luni, se poate calcula lunar o medie mobil pe trei luni si s se prognozeze cererea pe luna a 7-a. Evident, nu se poate calcula o medie (mobil )pe trei luni pân nu s-au acumulat date pentru cel putin trei luni succesive, adiceste posibil a se face aceste evalu ri numai dup ce datele pentru luna a treia sunt cunoscute. Media mobil la luna a treia este

m3 = (42 + 41 + 43)/3 = 42 si mediile mobile pentru lunile urm toare sunt

m4 = (41 + 43 + 38)/3 = 40,7 m5 = (43 + 38 + 35)/3 = 38,7 m6 = (38 + 35 + 37)/3 = 36,7

Ca predictie pentru luna a 7-a se utilizeaz valoarea m6. Asadar, cererea prognozat pentru luna a 7-a este de 3.670 u.f. Dar cât de bun este prognoza f cut ? Dac se folosesc medii pe dou luni, oare rezultatele nu sunt mai precise? R spunsul la aceste întreb ri se afl prin calcul. Pentru a genera o prognoz asupra cererii din luna a 7-a pe baza mediilormobile evaluate pe dou luni se evalueaz mai întâi

m2 = (42 + 41)/2 = 41,5 m3 = (41 + 43)/2 = 42

m4 = (43 + 38)/2 = 40,5 m5 = (38 + 35)/2 = 36,5 m6 = (35 + 37)/2 = 36

Este o predictie diferit de cea de mai devreme: 3600 u.f. fat de 3670 u.f., rezultatul calculului cu medii mobile pe trei luni. Care din cele dou valori este mai de încredere? Într-o logic simpl , alegerea prognozei celei mai bune se face printr-o interpretare a informatiei disponibile. Astfel, media pe primele trei luni, m3 = 42 se consider a fi o prognoz pentru luna a patra. Aceasta este prognoza pentru

109

luna a patra. Dar la finele lunei a patra se constat o cerere real de 38. Se poate calcula o eroare de predicitie

eroare = prognoz – observatie = 42 – 38 = 4 Eroarea poate fi definit si inversând ordinea termenilor în expresia de mai sus. Se obtin erori cu semn schimbat, valoarea absolut r mânând îns aceeasi (aceasta, de fapt, conteaz ).În luna a patra se poate face o prognoz pentru luna a cincea m4 = 40,7 dar rezultatul observat în luna a cincea este 35, ceea ce arat o eroare de 40,7 – 35 = 5,7.În luna a cincea prognoza pentru luna urm toare, a sasea, este m5 = 38,7 dar rezultatul efectiv pentru luna a sasea este 37 si eroarea rezultat este 38,7 – 37 = 1,7.Pe baza acestor rezultate se construieste tabelul urm tor:

Luna 1 2 3 4 5 6 7Cererea (x 100) 42 41 43 38 35 37 ?

Prognoza - - - 42 40,7 38,7 36,7Eroare - - - 4 5,7 1,7 ?

Dac se folseste media mobil pe dou luni se poate întocmi un tabel similar:

Luna 1 2 3 4 5 6 7Cererea (x 100) 42 41 43 38 35 37 ?

Prognoza - - 41,5 42 40,5 36,5 36Eroare - - –1,5 4 5,5 –0,5 ?

Aceste dou tabele sugereaz cât de bune sunt prognozele pe cele dou c i.Aprecierea se face prin compararea erorilor de predictie evaluate pe datele deja accesibile.La modul ideal, ar fi de dorit ca toate erorile s fie nule. Asta ar da încredere, poate excesiv încredere, c prognoza pentru luna a saptea este foarte probabil corect . Dar în realitate erorile nule sunt practic excluse. Este pe de alt parte dificil a privi cele dou secvente de numere reprezentând erorile si a le compara. Este mai convenabil si mai eficient a reduce fiecare secvent la o valoare sintetic , usor de obtinut, care s fie o m sur a erorilor, o m sur usor de comparat. O functie potrivit acestui scop este eroarea medie p tratic .Logica cere mai întâi lichidarea deosebirii dintre erorile în plus si erorile în minus: prin ridicare la p trat toate valorile, pozitive sau negative devin pozitive. Apoi erorile mari au p trate mai mari, cele mici au valori relativ înc mai miciîn urma ridic rii la p trat. O prognoz perfect ar avea eroarea medie p traticnul . Realitatea este diferit de idealitate si în orice împrejurare este de preferatmetoda care d cea mai mic eroare medie p tratic .În exemplul în discutie, dac de foloseste media mobil evaluat pe trei luni, eroare p tratic medie este

110

[4² + 5,7² + 1,7²]/3 = 17,13 si dac de foloseste pentru media mobil evaluat pe dou luni consecutive, eroare p tratic medie este

[(–1,5)² + 4² + 5,5² + (–0,5)²]/4 = 12,19 Cea mai mic dintre aceste dou valori este cea din cazul prognozei f cute cu media mobil pe dou luni consecutive si, de aceea, este de preferat metodeiceleilalte. În consecint este retinut pentru luna a saptea prognoza de 3600. Eroarea medie p tratic este cunoscut si sub denumirea de deviatia medie

p tratic sau, dup extragerea r d cinii p trate, sub numele de deviatie

standard.De retinut în final faptul c din rationamentul de mai sus rezult posibilitatea discrimin rii între dou prognoze diferite, una bazat pe media mobil pe trei luni consecutive, alta pe media mobil pe dou luni la rând. Criteriul este deviatia medie p tratic care trebuie s fie minim .O versiune modificat a metodei mediei mobile este metoda mediei mobile cu

ponderi. Deosebirea fat de original const în ponderarea diferit a observatiilor grupate în seria temporal de baz , de regul cu ponderi defavorabile pentru observatiile mai vechi. Aceast modificare poate fi de multe ori benefic .La dispozitia celor interesati de prognoze mai exist înc circa o duzin de alte metode, multe din ele implementate ca programe de calcul comerciale. În cele de urmeaz este adus în prim plan una din acestea.

Netezirea exponential simpl

Un dezavantaj al utiliz rii mediei mobile pentru prognozare este faptul c în calcule toate observatiile au ponderi egale, 1/L, desi este de asteptat ca observatiile mai recente s fie un indicator mai bun a ceea ce va fi în viitor si de aceea, acestea ar trebui s aib o pondere mai mare. Pe de alt parte, în metodamediei mobile se folosesc numai observatiile recente. Poate c ar trebui sconteze în oarecare m sur si alte observatii anterioare acestora. O metod cunoscut ca netezirea exponential sau, mai precis, netezirea

exponential simpl d o pondere mai mare observatiilor recente si ia în considerare toate observatiile anterioare. Pentru aceasta se precizeaz o constant pozitiv si subunitar si se calculeaz o medie mobil netezitpentru întreaga perioad t – notat în continuare cu Mt – cu relatia

Mt = µYt + µ(1– µ)Yt–1 + µ(1– µ)2Yt–2 + µ(1– µ)3

Yt–3 + ... Astfel, se iau în cosideratie cu anumite ponderi toate valorile observate, spre deosebire de metoda anterioar care uza numai de o parte din ele. Relatia de mai sus pare dificil sub aspectul calculelor dar ea se poate rescrie ca

Mt = µYt + (1– µ)[µYt–1 + µ(1– µ)Yt–2 + µ(1– µ)²Yt–3 + ...] adic sub forma

Mt = µYt + (1– µ)Mt–1

111

Asadar, media mobil netezit exponential referitoare la perioada t este o combinatie liniar (convex ) a valorii curente Yt si a mediei mobile precedente, Mt – 1, obtinut tot prin netezire exponential .Constanta este numit constant de netezire si valoarea ei reflect ponderea atribuit observatiei curente Yt în evaluarea mediei mobile netezite exponential pentru perioada t, Mt, care este prognoza pentru perioada urm toare t + 1. De pild , = 0,2 arat c ponderea ultimei observatii este de 20%, iar ponderea observatiilor anterioare este de 80%. O alt scriere a relatiei de mai sus este

Mt = Mt–1 – µ(Mt–1 – Yt)si lectura ei este: prognoza curent = prognoza anterioar – µ(eroarea în prognoza anterioar ) asa încât netezirea exponential poate fi interpretat ca o prognoz actualizat permanent prin eroarea de predictie cea mai recent .Urmeaz acum un exemplu de calcul pe aceleasi date referitoare la cererea de un anumit produs, utilizate mai sus. Se evalueaz succesiv media mobilnetezit exponential cu constanta de netezire = 0,2. Pentru prima pas, mediaM1 se ia totdeauna egal cu Y1.

M1 = Y1 = 42 M2 = 0,2Y2 + 0,8M1 = 0,2(41) + 0,8(42) = 41,80

M3 = 0,2Y3 + 0,8M2 = 0,2(43) + 0,8(41,80) = 42,04 M4 = 0,2Y4 + 0,8M3 = 0,2(38) + 0,8(42,04) = 41,23 M5 = 0,2Y5 + 0,8M4 = 0,2(35) + 0,8(41,23) = 39,98 M6 = 0,2Y6 + 0,8M5 = 0,2(37) + 0,8(39,98) = 39,38

Num rul de cifre semnificative este o problem de optiune contextual : aici este suficient a lucra cu 2-3 cifre dup virgul . Valoarea M6 este utilizat pentru a prognoza luna a saptea: 3938 u.f. Dac se modofic ponderea informatieie proaspete la µ = 0,9 se obtin succesiv valorile

M1 = Y1 = 42 M2 = 0,9Y2 + 0,1M1 = 0,9(41) + 0,1(42) = 41,10

M3 = 0,9Y3 + 0,1M2 = 0,9(43) + 0,1(41,10) = 42,81 M4 = 0,9Y4 + 0,1M3 = 0,9(38) + 0,1(42,81) = 38,48 M5 = 0,9Y5 + 0,1M4 = 0,9(35) + 0,1(38,48) = 35,35 M6 = 0,9Y6 + 0,1M5 = 0,9(37) + 0,1(35,35) = 36,84

Ca si mai devreme, M6 este prognoza pentru luna a saptea, adic 3684 u.f. Pentru a decide asupra celei mai bune valori pentru (între cele dou valori 0,2 si 0,9) se calculeaz valorile pentru eroarea/deviatia medie p tratic (EMP). Pentru = 0,2

EMP = [(42 – 41)2 + (41,80 – 43)2 + (42,04 – 38)2 + (41,23 – 35)2 + + (39,98 – 37)2]/5 = 13,29

Pentru = 0,9 EMP = [(42 – 41)2 + (41,10 – 43)2 + (42,81 – 38)2 + (38,48 – 35)2 +

+ (35,35 – 37)2]/5 = 8,52

112

Cazul cu = 0,9 apare a da prognoze mai bune decât cel cu = 0,2 deoarece EMP este mai mic dac = 0,9. Pentru a reduce secventa de valori ale erorii la o valoare unic , cuprinz toare s-a utilizat aici EMP. Mai sunt si alte modalit ti de a judeca nivelul încrederii într-o prognoz . O alt valoare sintetic pe baza c reia se pot face judecvti de acest gen este eroarea medie absolut (EMA), care este suma erorilor luate în valoare absolut , raportat la num rul de erori. Exist metode care permit stabilirea valorii optime pentru constanta de netezire, adic a valorii care minimizeaz criteriul ales pentru aprecierea acuratetei prognozei, fie c este vorba de EMP, fie c este în discutie vreun alt criteriu. Pentru EMP, valoarea optim în cazul datelor din aceast sectiune este = 0,86 la o valoare a EMP de 8,511. C utarea acestei valori se poate face în modurivariate. O posibilitate este calculul direct, repetat. Valorile optime ale constantei pot fi foarte diferite pentru criterii diferite. De pild pentru EMA minim se obtine = 0,59.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 18

10

12

14

16

18

20

Variatia EMP cu constanta de netez ire

miu

EM

P

Revenind la criteriul erorii medii p tratice (EMP), este dat mai sus un grafic al variatiei EMP cu constanta de netezire . Graficul imediat urm tor aceluia evidentiaz un fapt care nu poate fi trecut cu vederea: relativa stabilitate a valorii prognozate pentru o gam de valori ale constantei de netezire destul de larg . Pentru 0,6 1,0 prognoza se situeaz între 3675 si 3700 u.f. Curba este destul de plat în intervalul de valori mentionat. Faptul acesta arat cstabilirea unei valori potrivite pentru nu trebuie f cut foarte precis: a treia zecimal pare a fi aici de prisos.

113

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 136

37

38

39

40

41

42

Variatia prognozei cu constanta de netezire

miu

Pro

gn

oz

a p

en

tru

lun

a a

VII-a

Prognoze mai perfectionate prin serii temporale

Exist metode mai perfectionate de elaborare a prognozelor pentru seriile temporale. Acestea sunt bazate pe modelele ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average). În esent aceste metode presupun c seriile temporale sunt generate de un proces probabilistic cu valori viitoare dependente de valorile trecute si de erorile de predictie trecute. Pentru a aplica modeleleARIMA seriilor temporale, acestea trebuie s fie stationare. O serie temporaleste stationar dac propriet tile statistice de genul mediilor, dispersiilor, autocorelatiilor sunt constante în timp. Dac o serie temporal în forma initialnu este stationar , este posibil ca o functie de seria temporal s fie stationar :luând, de pild , diferenta dintre valorile succesive din serie se poate obtine uneori o alt serie temporal care este stationar .

114

RETELE PETRI – MODELE PENTRU SISTEMELE DE PRODUCTIE FLEXIBILE

Introducere în teoria retelelor Petri

Retelele Petri sunt un instrument matematic de natur grafic datorat lui Carl Adam Petri. Aceste grafuri cu structur special sunt utilizate la reprezentarea, modelarea si simularea unor sisteme foarte diverse în care dinamicaevenimentelor, evolutiile paralele, dependentele conditionate (cum este sincronizarea), competitia pentru resurse etc. sunt nu numai prezente dar sunt si determinante. Fenomene de aceste tipuri apar frecvent în sistemele de productie, în protocoalele de comunicare, în calculatoare si în retelele de calculatoare, în programele în timp real, în sistemele de transport etc. Toate aceste sisteme sunt cunoscute în prezent ca sisteme cu evenimente discrete.

Un punct de vedere din unghiul teoriei grafurilor

O retea Petri este o pereche (G, M) compus dintr-un graf bipartit orientat G = (E,V) si un marcaj initial M. Multimea nodurilor V este împ rtit în dousubmultimi disjuncte, P si T. Elementele din P se numesc pozitii, elementeledin T se numesc tranzitii. Pozitiile se noteaz Pi, i = 1,…, |P|, tranzitiile se noteaz Tj, j = 1,…, |T| (barele de modul exprim num rul de elemente din multimea scris între ele sau, cum se mai spune, cardinalul acelei multimi).Arcele cuprinse în multimea E merg de la pozitii la tranzitii si de la trazitii la pozitii. Graful este bipartit si un arc nu poate uni o pozitie cu o pozitie si nici o tranzitie cu o tranzitie. În reprezentarea grafic pozitiile se reprezint uzual prin cercuri, tranzitiile prin bare îngrosate (uneori prin dreptunghiuri). Arcelor li se atribuie ponderi, totdeauna numere întregi. Absenta grafic a ponderilor face subîntelese existenta unor ponderi unitare. Pentru o definire complet a unei retele Petri trebuie introdus notiunea de marcaj initial. Marcajul initial atribuie fiec rei pozitii Pi un num r nenegativ Mi. La reprezentarea grafic acele numere sunt trecute, dac e posibil, în cercurile care reprezint pozitiile (sau st rile). Vectorul coloan M cu componentele Mi se numeste marcajul initial al retelei. Se spune c pozitia Pi este anterioar tranzitiei Tj dac exist un arc de la Pi la Tj. Analog, se spune c pozitia Pi este ulterioar tranzitiei Tj dac existun arc de la Tj la Pi.Uzual, pozitiile reprezint conditii, iar tranzitiile reprezint evenimente. O tranzitie (un eveniment) implic un anumit num r de pozitii anterioare si

115

ulterioare, care reprezint pre-conditii si post-conditii pentru acel eveniment.Dac ponderile tuturor arcelor sunt egale cu unitatea, prezenta unui marcaj(denumit adesea si jeton) într-o pozitie se poate interpreta ca o conditie verificat asociat acelei pozitii. O alt interpretare mai general este: Mi

jetoane prezente în pozitia Pi indic o resurs disponibil în cantitatea Mi.Dintr-un punct de vedere clasic, marcajul unei retele Petri este identificat cu starea retelei. Schimbarea st rii se produce dup regulile care urmeaz :

O tranzitie Tj poate fi abilitat si eventual amorsat , activat dac orice pozitie anterioar acelei tranzitii contine atâtea jetoane cât este ponderea arcului care duce la tranzitia în discutie Când o tranzitie Tj este activat , din fiecare pozitie anterioar se consumun num r de jetoane si, în consecint , se diminueaz num rul jetoanelor din acea pozitie exact cu num rul pondere a arcului care conecteaz pozitia la tranzitia respectiv ; totodat , se adaug pozitiilor ulterioare tranzitiei Tj

atâtea jetoane câte sunt înscrise ca ponderi pe arcele emergente din Tj spre acele pozitii.

Observatie: în loc de a asocia ponderi arcelor, se poate face o reprezentare cu arce exclusiv cu pondere unitar ; atunci între pozitii si tranzitii apar arce multiple în paralel.

Un punct de vedere din algebra liniar

Într-o analiz a marcajului si a pozitiilor, dac se consider vectorul (coloan )M al marcajului, se spune ca mai sus c Mi este num rul de jetoane din pozitia Pi. Fie o matrice de dimensiuni |P| x |T| notat cu elementul generic

egal cu ponderea arcului care pleac din Pi si ajunge în Tj (arcele cu

sunt inexistente). Analog, fie matricea de dimensiuni |P| x |T| cu egal cu

ponderea arcului de la tranzitia Tj la pozitia Pi (din nou, semnaleaz

arce care nu exist ). Pornind de la aceste definitii se spune c tranzitia Tj este abilitat si este amorsabil dac si numai dac . Activarea tranzitiei

produce un marcaj nou care verific ecuatia:

D

M

ijd

0ijd

D ijd

0ijd

jD.

M~

jj DDMM ..

~

Dac se defineste matricea atunci se poate scrie DDD~

DuMM

în care u este vectorul coloan definit ca uj = 1, ui = 0 pentru i .j

Pentru mai multe tranzitii succesive, de pild pentru dou , se poate scrie

116

DuMuuDMuDDuMuDMM )~(~~~~~

cu un vector sum a vectorilor u asociati unor tranzitii simple, în particular dou , un vector care nu poate avea componente negative.

u

Observatie: Existenta unui vector de componente nenegative u astfel ca

nu implic obligatoriu posibilitatea de a obtine marcajul din marcajul M, prin una sau mai multe tranzitii. Conditia trebuie s se

verifice la fiecare pas intermediar când un marcaj trece la marcajulprin executarea unei anumite tranzitii Tj. În plus, în cazul succesiuni de tranzitii, vectorul u nu spune nimic relativ la ordinea în care tranzitiile trebuie s aib (au) loc, ceea ce este foarte important. Datorit acestor restrictii sistemul nu este realmente liniar si principiul suprapunerii efectelor nu se verific decât ocazional.

DuMM~

M~

jDM .

M M

Un exemplu: Pentru reteaua Petri din figura al turat , conform definitiilorenuntate

001

003

100

110

D , si

100

210

001

001

D

101

213

101

111

D

S getile (cenusii) din figur indic st rile succesive ale retelei dup executarea tranzitiilor înscrise pe acele s geti. Dup executarea secventei de tranzitii

toate executabile în ordinea mentionat , se obtine marcajul2123 TTTT

0

1

1

0

1

2

1

0

0

1

2

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

2

~DDM

117

Semantica retelelor Petri

Componentele diverse ale unei retele Petri au semnificatiile care urmeaz :Marcajele reprezint resurse în deplinul sens al cuvâtului. Poate fi vorba de resurse fizice, cum sunt cele materiale, sau de informatii, mesaje, conditii etc.Din pozitii se asteapt accesul la anumite resurse Tranzitiile reprezint actiuni consumatoare de resurse spre a fi prelucrate, tranzitiile sunt produc toare de alte resurse Ponderile arcelor care leag o pozitie cu o tranzitie reprezint num rulminim de resurse din categoria stocat în acea pozitie necesar pentru a executa tranzitia Ponderile arcelor care unesc o tranzitie cu o pozitie reprezint num rulexact de resurse noi din categoria celor stocate în acea pozitie, resurse produse prin actiunea definit de tranzitie Num rul total de marcaje, de jetoane dintr-o retea Petri nu se conservobligatoriu: se pot imagine actiuni de asamblare, se pot imagina actiuni de demontare a unor ansamble în p rti componente; mesajele pot fi combiantepentru obtinerea unui mesaj nou (cum este cazul însum rii a dou numere)sau un mesaj dat poate fi difuzat c tre mai multe pozitii

Invarianti

Invarianti în pozitii

Se admite c v este un vector linie de dimensiune |P| care verific relatia vD = 0. Atunci, produsul vM, produs care se poate interpreta ca o sum ponderat a valorilor marcajului cu ponderi egale cu componentele vectorului v se mentineconstant oricare ar fi secventa de tranzitii executat . De pild pentru un marcaj

rezultat din M are loc implicatia evidentM~

vMvDuvMMvDuMM~~

Exemplu. Pentru reteaua Petri dat mai devreme se observ c

0000

101

213

101

111

10101010 D

Asta se traduce prin aceea c num rul total al marcajelor din pozitiile P2 si P4

se mentine constant independent de tranzitiile executate.

Invarianti pentru tranzitii

118

Fie acum un vector coloan u de dimensiune |T| si cu componente nenegative care verific egalitatea Du = 0. Atunci, oricare secvent de tranzitii fezabilreprezentat de vectorul u conserv marcajul initial. Într-adev r

MDuMM~

Cum s-a discutat mai sus, secventa de tranzitii fezabile cuprins în u poate si snu existe. Exemplu. Pentru reteaua Petri din figura al turat

0

0

0

1

0

1

101

212

101

111

Du

Se poate verifica faptul c vectorul u = [1 0 1]T ar putea reprezenta fie secventa T , fie secventa T dar numai una din ele este fezabil .13T 31T

Conflicte

Definitie. Se spune c dou tranzitii diferite Ti si Tj sunt în conflict structural

dac0: kjki DDk

ceea ce înseamn c pozitia Pk premerge ambele tranzitii. Se spune despre un conflict structural c este si efectiv dac , în plus, la marcajul M ambele tranzitii pot fi activate, adic atât cât si .iDM . jDM .

Exemplu. În reteaua Petri de mai sus tranzitiile T2 si T3 sunt în conflictstructural (pozitia P1 este anterioar ambelor tranzitii). Acest conflict este si efectiv în prima parte a figurii (a), dar nu este efectiv dup ce tranzitia T3 s-a produs, în partea din dreapta a figurii (b). Termenul de conflict provine din aceea c dac tranzitiile Ti si Tj sunt în conflict structural efectiv atunci nu se poate produce, nu se poate amorsa decât una din aceste tranzitii si nu ambele deoarece nu sunt suficiente jetoane în pozitiile anterioare oricum s-ar succeda tranzitiile în discutie. În situatiile de acest gen este necesar o decizie: care din cele dou tranzitii se amorseaz .Altfel spus, dou tranzitii în conflict strucutural sunt în competitie pentru resusele accesibile cel putin într-o pozitie anterioar pe care o împart.

119

Paralelism

Definitie. Se spune c dou tranzitii Ti si Tj sunt în structural paralele dac0.. j

T

i DD

ceea ce înseamn c tranzitiile Ti si Tj nu au pozitii anterioare în comun. Se spune c paralelismul structural este efectiv la un marcaj M dac , în plus, ambele tranzitii pot fi activate (fiind deja abilitate), adic atât cât si

.

iDM .

jDM .

Exemplu. În reteaua Petri de mai devreme tranzitiile T1 si T2 sunt structural paralele. Acest paralelism este efectiv în cazul din figura secund , cea din dreapta (b), ceea ce nu este cazul cu prima figur (a).

Viabilitate

Definitie. Tranzitia Ti este viabil (sau vie) atunci când oricare ar fi marcajulaccesibil din marcajul initial, exist o secvent de tranzitii fezabile, care conduce la un marcaj pentru care tranzitia este abilitat pentru amorsare. O retea Petri se spune c este viabil dac toate tranzitiile ei sunt viabile. De notat c dac o tranzitie este viabil atunci ea poate fi amorsat indefinit (se zice c exist o suceesiune de tranzitii fezabile prin care acea tranzitie este vie la nesfârsit). Dac o tranzitie nu este viabil atunci exist posibilitatea ca reteaua Petri s functioneze numai un timp finit dar prin repetarea unei grupe de tranzitii poate fi în functiune si un timp indefinit.Exemplu. Reteaua Petri din figura cu cinci faze dat mai sus nu este vie deoarece secventa de tranzitii considerat conduce la un marcaj pentru care nici o tranzitie nu mai este abilitat pentru executie (situatie de blocaj, “dead-lock”).

M rginire, sigurant

Definitie. O pozitie Pi este k-m rginit dac marcajul ei nu este (nu poate fi) mai mare decât k, oricare ar fi marcajul (accesibil). O pozitie se numeste sigurdac este 1-m rginit . O retea Petri este sigur dac toate pozitiile sale sunt 1-m rginite (sigure). Not m c dac o pozitie este de tipul magazie, buffer cu o capacitate finit k

(un depozit, de pild ) atunci în mod necesar reteaua Petri trebuie s fie k-m rginit dac modelarea este corect f cut . Mai departe se va da o metodsimpl de asigurare a m rginirii corecte. Exemplu. Secventa de tranzitii T3, T1 din figura care urmeaz conduce la un marcaj care coincide cu cel initial cu exceptia celui pentru pozitia P3 care are un jeton în plus. Mai mult, dac secventa de tranzitii mentionat se repet de k

120

ori în pozitia P3 se acumuleaz k jetoane si, în consecint , pozitia nu este m rginit .Sub aspect matematic se scrie (cu u vectorul asociat secventei T3, T1):

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

101

211

101

111

Du

si atunci MDuMM

~

Prin repetarea secventei de tranzitii mentionate, permanent fezabil , se obtine o crestere a marcajului pozitiei P3 indefinit . Pornind de la acest exemplu se poate observa c ori de câte ori o retea Petri admite o secvent de tranzitii fezabil pentru care vectorul u verific relatia Du > 0, reteaua Petri este nem rginit (rationamentul pentru cazul general este similar celui din exemplulde mai sus).

Marcaje accesibile

Majoritatea propriet tilor de mai sus se pot verifica dac se cunoaste multimeamarcajelor accesibile pornind de la marcajul initial. Desigur, calculul tuturor marcajelor accesibile din marcajul initial nu este în general o sarcin usoar .Figura care urmeaz ilustreaz un asemenea calcul într-un caz simplu.

121

Timpi asociati cu pozitiile si tranzitiile

Teoria original a retelelor Petri trateaz ordinea evenimentelor si, în consecint , diamica retelei a fost considerat ca o succesiune de evenimente (de tranzitii) restrâns numai la considerente de logic (o tranzitie se poate desf sura numai dac este abilitat ). În acest context întrebarea “cât timpconsum un eveniment?” nu se pune. Dar pentru a r spunde la întreb ri relativ la performantele retelei si sistemului modelat cu reteaua (de pild , “cât de repede poate produce sistemul?”) este necesar a introduce în discutie timpul. Se pot într-adev r asocia cu pozitiile si cu tranzitiile durate pe calea urm toare:

Durate asociate cu pozitiile: duratele minime pentru ca jetoanele s devinpermanente într-o pozitie, înainte de fi capabile a contribui la abilitarea (si amorsarea) unei tranzitii urm toare. Duratele acestea se numesc timpi de

asteptare.Durate asociate tranzitiilor: durate care separ începutul (consumul de jetoane din pozitiile premerg toare) si finalizarea actiunii (producerea de jetoane destinate pozitiilor urm toare) corespunz toare tranzitiilor. Aceste durate au primit numele de timpi de actiune.

Duratele de executie pot fi utilizate, de pild , pentru a reprezenta timpul de productie în cazul sistemelor de productie (unde tranzitia reprezint timpuluzual consumat pe masina unealt ). Timpii de asteptare ar putea reprezenta timpii de transport (în cazul în care o pozitie reprezint o rut sau un canal prin care comunic dou procese) sau la fel de bine timpul minim de acces, necesar accesibilit tii (cum ar fi timpul de r cire al unei piese trecute printr-un cuptor, înainte de a i se putea aplica prelucrarea urm toare). Timpii, duratele de asteptare si de executie pot fi constante sau variabile, pot fi deterministe sau aleatoare. Nu trebuie ignorat nici timpul de constituire a num rului de jetoane dintr-o pozitie necesar abilit rii unei tranzitii. Observatie. În realitate, f r pierdere din generalitate, se poate admite c toate actiunile sunt instantanee (toate tranzitiile se petrec în timp nul). Tranzitiile cu

122

durat nenul se divid în dou tranzitii instantanee (începutul si terminareaactiunii) separate de o pozitie care are timpul de asteptare egal cu timpul de executie al tranzitiei originare (v.figura al turat ).

Tranzitii de intrare si de iesire

Tranzitiile care nu au pozitii premerg toare se numesc tranzitii de intrare sau surse. Actiunile de acest tip depind de decizii externe, sunt controlate din exterior. Tranzitiile care nu au pozitii urm toare se numesc tranzitii de iesire sau consumatori. Tranzitiile de acest gen indic producerea de jetoane destinate exteriorului.Aceleasi definiti se pot aplica si pozitiilor: pozititile de intrare trebuie aprovizionate cu jetoane din exterior. În realitate, cum se va vedea mai departe, în acord cu clasa particular a retelei Petri în studiu, poate rezulta mai potrivitutilizarea la periferie a tranzitiilor (si nu a pozitiilor de intrare si de iesire) sau a pozitiilor (si nu a tranzitiilor de intrare si de iesire).

Reguli de functionare

Pân aici s-au impus execut rii tranzitiilor numai restrictii de ordin logic f r a specifica momentul în care o tranzitie este si executat . Acum, c s-a adus în discutie timpul, se poate defini regula de functionare cunoscut ca regula timpului de actiune cel mai apropiat: tranzitiile se execut cât de promptposibil, adic deîndat ce sunt asigurate toate jetoanele necesare pentru a abilita trazitia.În imediat leg tur cu regula de mai sus se introduc reguli de prioritate,regulile de arbitraj în cazul pozitiilor implicate într-un conflict sau modalitateade a indica ce tranzitie trebuie s se execute atunci când apare un conflict si traiectoriile la intrare, functii (una pentru fiecare tranzitie de

intrare Ui) cu ui(n) instanta în care tranzitia de intrare Ui se afl la momentul n.

RNui :

Cu aceste reguli de functionare se pot determina toate momentele la care se produc evenimentele din retea ca, de exemplu, actiunile succesive, sosirea si plecarea unor jetoane într-o/dintr-o pozitie etc. În particular, se ajunge la momentele când se execut tranzitiile de iesire ceea ce constituie traiectoriile la

iesire.

Competitie si sincronizare

123

Competitia pentru a produce, reunirea într-o pozitie. Aceast situatie se întâlneste atunci când o pozitie are mai multe tranzitii premerg toare. În acest caz exist mai multe surse care produc jetoane destinate acelei pozitii (v.figura). Ca exemplu de acest tip poate servi cazul unei pozitii-depozit unde sosesc produse ale mai multor masini, tranzitiile reprezentând tocmai actiunile acestor masini.

Competitia pentru a consuma, ramificarea dintr-o pozitie. În acest caz o pozitie are mai multe tranzitii care o urmeaz (v.figura urm toare). Tranzitiile cunt în competitie pentru jetoanele acestei pozitii. Situatia se trateaz ca un conflict structural cum s-a discutat mai devreme.

Sincronizarea în a produce, ramificarea dintr-o tranzitie. Aici o tranzitie are mai multe pozitii urm toare (v.figura). În aceste cazuri jetoanele (resurse, p rticomponente, mesaje etc.) sunt emise simultan c tre pozitiile consumatoareurm toare.

Tranzitia ar putea corespunde, de pild , unei operatii de dezmembrare a unei pese în p rtile ei componente.Sincronizarea în consum, reunirea într-o tranzitie. Situatia corespunde cazului în care o tranzitie are mai multe pozitii premerg toare.

124

Jetoanele asteapt în acele pozitii momentul în care apare ultimul jeton care abiliteaz tranzitia (se spune c starea fiec rei pozitii dureaz cel putin cât durata de asteptare a celei pozitii). În acel moment se consum concomitenttoate jetoanele necesare pentru activarea tranzitiei.

Mecanisme de control

Prevenirea activ rii multiple simultane a unei tranzitii. În conformitate cu definitiile de mai devreme, nimic nu împiedic o tranzitie s devin activsimultan de mai multe ori: dac activarea unei tranzitii nu este instantanee atunci se poate întâmpla ca tranzitia s se amorseze da mai multe ori înainte ca actiunea determinat de prima activare s se fi ispr vit. Asta ar însemna ca o masin destinat efectu rii unei anumite operatii pe un tip de piese, pe rând pentru fiecare pies , s fie “inundat ” de alte piese similare care, evident, nu pot fi servite paralel. Pentru a preveni o situatie de acest gen se ataseaz acelei tranzitii o pozitie suplimentar . Aceast pozitie trebuie s aib ca unic tranzitie anterioar si unic tranzitie urm toare tranzitia în discutie. Figura care urmeazexplic metoda în dou variante echivalente. În varianta din stânga tranzitia are durata t, durat necesar execut rii actiunii c reia îi corespunde. Pozitia suplimentar are durata de punere în miscare a actiunii. În varianta din dreapta tranzitia a fost descompus în dou tranzitii instantanee cu o pozitie între ele cu durata de asteptare t. Pozitia suplimentar are aceleasi caracterisitici.

Agregatul mai simplu sau mai complex al buclei create se numeste reciclarea

tranzitiei. În plus, se poate atribui un timp de asteptare pozitiv pozitiei reciclante pentru a forta un timp minim între finalizarea unei actiuni si initierea urm toarei (se poate vorbi de un timp de punere în miscare/în functiune). Se observ c pozitia jetonului în bucl indic dac tranzitia este ocupat sau liber , ocupt atunci când jetonul din pozitia suplimentar lipseste. Controlul fluxului. O modificare similar permite limitarea fluxului de jetoane printr-o tranzitie cu timp de actiune nul. Se observ (v.figura urm toare) cdac marcajul initial al pozitiei suplimentare asociate tranzitiei (pozitie care, de asemenea, trebuie s aib ca unic tranzitie premerg toare si urm toare tranzitia considerat ) este m si timpul ei de asteptare t atunci fluxul maxim de jetoane prin acea tranzitie este de m jetoane la fiecare t unit ti de timp.

125

Figura indic un debit maxim de dou jetoane la fiecare trei unit ti de timp.Pozitii cu capacitate limitat . Modelarea unor sisteme fizice pune problemapractic a capacit tii limitate a unor pozitii. Exist firesc o limit superioar a num rului de jetoane pe care o pozitie le poate contine. M rginirea specificatsi sigur a unei pozitii se poate obtine pe baza urm torului algoritm:1. Pentru o pozitie p k-m rginit se adaug o pozitie suplimentar p’ cu

marcajul initial M(p’) = k – M(p)2. Între fiecare tranzitie t si pozitiile suplimentare de genul p’ se definesc arce

suplimentare cu ponderile w(t, p’) = w(p, t) si w(p’, t) = w(t, p) ceea ce face ca suma jetoanelor din pozitia p si din pozitia complementara p’ s fieaceeasi si înainte su dup executarea unei tranzitii.

Figura al turat este un exemplu.

Este aici vorba de un depozit intermediar între dou servicii marcate prin tranzitiile din figur . Capacitatea depozitului este de maximum 6 unit ti.Sincronizarea activ rii tranzitiilor. Uneori se poate întâmpla ca dou sau maimulte tranzitii s reprezinte aceeasi actiune fizic . Într-un asemenea caz tranzitiile trebuie s se sincronizeze pentru a se amorsa simultan. Asta se poate realiza cel putin în dou moduri care duc la un gen de “unire” a tranzitiilor considerate (Unul din cele dou moduri nu este deplin acceptabil sub incidenta teoriei clasice a retelelor Petri; cum se va ar ta mai departe, sub aspect matematic modul acela este totusi corect si adecvat în a exprimasimultaneitatea). Este vorba de a face s coincid începutul si sfârsitul unei etape pentru mai multe resurse implicate simultan într-o anumit etap . Se apeleaz la “circuite de sincronizare” f r temporizare si f r jetoane. Fiecare din cele dou arce ale circuitului de sincronizare include si impune câte o inegalitate, una de sens opus celeilalte, la momentele de activare a tranzitiilor,

126

de unde egalizarea momentelor de activare ale tranzitiilor. Aceste tranzitii pot apoi s fie puse laolalt , pot fuziona (v.figurile urm toare).

Existenta de circuite f r jetoane (si f r temporizare), acceptabil sub aspect matematic, este contrar regulilor ortodoxe ale retelelor Petri. Se poate justifica functionarea spunând c se “împrumut ” jetoanele (absente din circuitul de sinronizare) pentru a activa tranzitiile si c schema este în m sur a restitui aceste jetoane într-un timp nul. Fuziunea tranzitiilor sincronizate înl tur orice discutie.De notat c un num r egal de s geti intr în si ies din tranzitiile sincronizate. În consecint , num rul total de jetoane din graf (si nu numai din circuite) se conserv în timpul function rii. Se recupereaz de asemenea interpretarea de “resurse” a jetoanelor însesi. O alt solutie foarte diferit permite si aceasta sincronizarea a dou tranzitii. Aceast solutie evit circuitele de sincronizare cu pretul introducerii unor tranzitii fictive înaintea tranzitiilor adev rate. Solutia e ilustrat în figura al turat . Se poate verifica prin simularea function rii retelei Petri si, maideparte, prin ecuatii, c sincronizarea este efectiv .

127

Aceast diversitate de solutii grafice produs al aceleiasi ecuatii matematice este o ilustrare a interesului de a a pune în ecuatii grafurile de evenimente.

Retele Petri speciale. Asincronism, masini de stare si automate

Retelele Petri asincrone sunt acelea în care toate tranzitiile au cel mult o pozitie anterioar si cel mult o pozitie urm toare (v.figura care urmeaz ). În asemenearetele nu exist tranzitii de intrare si de iesire si, de aceea, “terminalele” sunt de tipul pozitiilor (ceea ce face ca fiecare tranzitie s posede exact o singurpozitie premerg toare si o singur pozitie urm toare).Retelele Petri cu toate tranzitiile având exact o pozitie premerg toare si exact o pozitie urm toare se numeste masin de stare. În masinile de stare asignarea timpului pentru tranzitii si pozitii nu este important . Singurul efect al atribuirii este de întârziere a execut rii tranzitiilor. Aici problema principal este cea logic (accesibilitatea marcajelor, eliminarea blocajelor etc.). În general efortul principal de control este orientat pe executarea tranzitiilor. Când num rul total de marcaje este unu, gândul poate duce la faptul c acel marcaj unic arat starea sistemului (pozitiile reprezint st rile posibile ale sistemului) si reteaua obtinutse poate interpreta ca fiind un automat. Dac în plus fiecare pozitie are exact o tranzitie urm toare acel automat rezult a fi determinist. Dac nu acesta este cazul automatul nu este determinist (v.figura) si atunci pentru fiecare stare sunt posibile traiectorii diferite. În cazul non-determinist se atribuie probabilit tiarcelor care pleac dintr-o pozitie atunci se obtine un automat stochastic. Partea pe fond cenusiu din figura de mai jos detaliaz c ile alternative de a ajunge de la pozitia P1 la pozitia P3.

128

Invarianti. Cum într-o masin de stare fiecare tranzitie are o pozitie premerg toare si una urm toare, matricea contine pe coloana asociat cu tranzitia un –1 si un 1 (dac arcele toate au ponderea unitar ). În realitate matricea D poate fi considerat o matrice de incident noduri-arcuri în graful orientat, care se obtine dac fiecare tranzitie se înlocuieste cu un arc care leag pozitia anterioar de pozitia urm toare acelei tranzitii (nodurile acestui graf sunt pozitiile grafului initial). Cu aceast observatie si cu rezultatele simpledin teoria grafurilor se obtin consecintele care urmeaz .

DDD

Invarianti pentru pozitii: deoarece matricea D are structura coloanelor ar tat (un –1 si un +1) rezult c

0)...1...1...( D

motiv pentru care num rul total de jetoane într-o masin de stare este permanent acelasi. Pentru ca o retea Petri s fie viabil este necesar ca marcajul initial s nu fie nul. Pentru o masin de stare aceast conditie este si suficient dac structura este conex .

Invarianti pentru tranzitii: dac u este un vector coloan caracteristic al unui circuit (matricea de incident arcuri-noduri este transpusa matricei de incident noduri-arce) se spune c componentele lui u care corespund arcelor (tranzitiilor) unui circuit au valoarea 1 si componentele celelalate sunt nule. Atunci se verific relatia

0Du

Grafuri cu evenimente temporizate

Se consider grafurile de evenimente temporizate (GET) cu ponderile arcelor unitare si temporizare constant si numai pentru pozitii. Se demonstreaz csistemele de acest gen pot fi modelate ca sisteme “liniare” într-o semnificatiediferit a termenului.Punctul de vedere “dater”. Este convenabil a se considera c GET sunt delimitate de tranzitii adic toate pozitiile au tranzitii premerg toare si urm toare. Aceast conventie nu implic vreo restricitie deoarece:

Orice pozitie de intrare îsi ia jetoanele din exterior si despre ele se poate gândi ca provenind de la o tranzitie premerg toare controlat dinafar .

129

Orice pozitie de iesire poate fi urmat de o tranzitie care se activeaz numaipentru jetoanele care sosesc la acea pozitie.

Se noteaz tranzitiile de intrare activate cu uj cu j = 1, . . . , m, etc. cu indicele j asociat unei ordon ri temporale. În form similar se noteaz tranzitiile de iesire activate cu yl, l = 1, . . . , p si tranzitiile interne activate cu xi, i = 1, . . . , n.Din cauza succesiunii lor în timp aceste numere functii de timp se numescdater-e (cele care dateaz , care fac calendarul). Cu adoptarea regulei c tranzitiile sunt amorsate imediat ce este posibil si cu mentiunea c orice conflict este absent, singurele elemente necesar a fi cunoscute pentru a realiza o simulare sunt:

Momentele când sunt activate tranzitiile de intrare (prin decizii externe) pe întreaga durat a simul riiMomentele când sunt disponibile jetoanele prezente în marcajul initial (se poate considera c aceste jetoane sunt prezente de un anumit timp, înainte de a începe simularea)

Cunoscând aceste informatii, este posibil a determina când se vor produce tranzitiile interne si tranzitiile de iesire. Ecuatiile dater. Se prezint dater-ele asociate cu fiecare tranzitie. Pentru o tranzitie xi, variabila asociat xi(k) se interpreteaz ca momentul în care se produce cea de a k amorsare. De la începutul simul rii activ rile succesive ale unei tranzitii sunt num rate secvential de la o origine general (uzual zero, dar poate fi si un num r negativ). Asadar, functia este nedescresc toare

(unele activ ri se pot produce simultan si, de aceea, functia poate s nu fie strict cresc toare).

)(kxk i

Timpul se poate observa pe o scar real , rational sau întreag , de la caz la caz, Q sau Z.,)( Rkx

Ecuatiile de datare (daters) rezult din consideratiile urm toare:Dac tranzitia xi este ulterioar tranzitiei xj si este separat de o pozitie notat Pij, atunci cea de a k executare a tranzitiei xi va consuma jetonul produs de executarea num rul k – Mij a tranzitiei xj cu Mij marcajul initial al pozitiei Pij.Dac timpul de asteptare în pozitia Pij este tij, executarea num rul k a tranzitiei xi nu se poate produce dac nu s-a scurs cel putin tij unit ti de timpde la amorsarea num rul k – Mij a tranzitiei xj.

Tinând cont de aceast relatie pentru toate tranzitiile xj anterioare tranzitiei xi, maximul tuturor acestor momente determin momentul amors riinum rul k a tranzitiei xi.

130

În final, ntând cu *i multimea de indici ai tranzitiilor anterioare tranzitiei xi,ecuatia fundamental pentru GET este

ijijji tMkxij

kx )(*

max)(

Ecuatiile sunt valide totdeauna, chiar si când jetoanele considerate au fostproduse prin activarea tranzitiilor în timpul simul rii. Dac num r toareaactiv rilor încep cu k = 0 ecautiile se valideaz pentru . Ecuatiile sunt

valide f r restrictii când jetoanele marcajului initial nu contribuie la operatia de luare a maximumului.

ijMk

Jetoanele marcajului initial este lista de utilizare la momentul acoperitor .Se vorbeste atunci de conditii initiale canonice.În continuare se expune cum actioneaz conditiile initiale arbitrare (nu neap ratcanonice).Din ecuatia generic de mai sus, valid cu restrictia din paragraful anterior, rezult în mod evident c forma general a ecuatiilor de datare pentru un GET complet este urm toarea (pentru explicatii privind operatorii din relatiile prezentate, a se citi NOTA de la sfârsitul acestei sectiuni) :

)1()()1()()( 1010 kuBkuBkxAkxAkx

)1()()1()()( 1010 kuDkuDkxCkxCky

în care x(.), u(.) si y(.) sunt vectori coloan de dimensiuni n, m, p

Ai, Bi, Ci, Di, sunt matrici de dimensiunile i .Num rul maxim de matrici (nenule) din fiecare tip este egal cu maximumulmarcajului initial al pozitiilor din GET, cum se explic în continuare

npmnnn ,, s mp

Regula c reia i se supune elementul (r, s) al matricei Ai este: dac r este o tranzitie intern imediat ulterioar tranzitiei interne s si dac are i jetoane în marcajul initial al pozitiei Prs atunci elementul (Ai)rs nu este nul (adic este distinct de ) si este egal cu timpul de asteptare al pozitiei Prs. Cu alte cuvinte dac se consider graful GET cu tranzitiile ca noduri si cu pozitiile ca arcuri si se mentin numai nodurile interne si arcele cu exact i jetoane initiale atunci acesta este graful de precedent al tranzitiilor, cu ponderi pe arce egale cu timpii de asteptare al pozitiilor corespunz toare.De o forma asem n toare, Bi se bazeaz pe un graf care mentine numainodurile corespunz toare tranzitiilor de intrare si interne si arcele cu exact ijetoane initiale dintre o tranzitie de intrare si o tranzitie intern ; de data aceasta este vorba de graful de tranzitie corespunz tor.De form analog , Ci se bazeaz pe un graf care mentine nodurile interne si de iesire si arcele cu exact i jetoane initiale dintre o tranzitie intern si o tranzitie de iesire fiind acesta graful de graful de tranzitie al acestei matrici.Matricea Di se defineste la fel cu cele precedente; se mentin numai graful cu nodurile de intrare si de iesire cu arce cu exact i jetoane initiale Algebra utilizat este algebra max-plus

131

Conditiile initiale sunt x(k) = pentru orice k negativ ceea ce reflectsupozitia c prima activare a fiec rei tranzitii care modific marcajul initial al pozitiei anterioare este zero.

O form canonic . Ecuatiile de mai sus sunt implicite deoarece variabilele x(k)sunt prezente în ambii termeni ai relatiei prime. Aceste ecuatii se pot rezolva. F r a intra în detalii, rezultatul este

)1()()1()( 101*0 kuBkuBkxAAkx

Aceast form permite o examinare mai atent din punct de vedere practic. S-a luat mai sus solutia minorant . Întrebare: dac aceasta nu-i unic , ce efect are aceast alegere? R spunsul este în relatie cu cele dou reguli ale jocului: 1. Tranzitiile se activeaz deîndat ce este posibil, ceea ce face compatibil

dater-ul cel mai mic posibil cu ecuatiile 2. Ecuatiile implicite sunt valide în virtutea influentei marcajului initial; se

selectioneaz conditiile initiale de asa natur încât oricare alt alegere poate numai s întârzie evenimentele ulterioare.

Relatiile de mai sus sunt foarte asem n toare cu ecuatiile care descriu un sistemîn varianta ecuatie-de-stare – ecuatie-de-observare si multe rezultate din teoria sistemelor se pot aplica aici schimbând doar regulile de calcul conform algebrei dioidului Rmax.

)() cbacba

abba

aa

)() cbacba

aeaa

)()()( cabacba

NOTA: Relatiile sunt scrise într-o algebr special , algebra dioizilor.

Pe multimea numerelor reale se defineste o structur algebric de dioid,

descris pe scurt imediat.

Definitie: Un dioid este o multime D dotat cu dou operatii notate “ ” si

“ ”, care se numesc respectiv “adunare” si “multiplicare” si care verific

axiomele:

Adunarea este asociativ : (

Adunarea este comutativ :

Adunarea admite un element neutru (notat si denumit “zero”):

Multiplicarea este asociativ : (

Multiplicarea admite un element neutru (notat e si denumit

“identitate”): e

Multiplicarea este distributiv fat de adunare:

si analog pentru multiplicarea sumei la dreapta

132

aa

aaa

max

min

“Zero”-ul este absorbant pentru multiplicare:

Adunarea este idempotent :

Ca si în algebra uzual , semnul de multiplicare este uneori omis. Dioidul este

comutativ dac operatia de multiplicare este si ea comutativ . Un sub-dioid este

o submultime de elemente ale unui dioid stabil la operatiile “ ” si “ ” si

care contine elementele speciale si e.

Câteva exemple.

(1) Nmax, Zmax, Qmax, Rmax: multimile N, Z, Q respectiv R (de numere naturale,

întregi, rationale, reale) completate cu elementul cu rol de “zero” ( ),

cu operatiile , , cu 0 ca element “identitate”

(2) Zmin: multimea Z completat cu si cu operatiile , .

Elemnetul “zero” este , elementul “identitate” este 0.

În formulele prezentate, algebra în care se fac calculele este aceea a dioidului

Rmax.

133

134

METODE NECONVENTIONALE ÎN MODELAREA SI SIMULAREA SISTEMELOR DE PRODUCTIE

Retele neuronale

O descriere fie si sumar a unui neuron natural nu poate ocoli caracterul lui de dispozitiv de calcul cu un num r de intr ri (stimuli) si o iesire unic pe un axon,iesire care uzual exist sau nu exist (este nul ) si care poate servi ca intrare pentru un alt neuron sau, în general, pentru alti neuroni în cadrul unor asa-zise sinapse.Intr rile unui neuron sunt combinate într-un gen de intrare unic prin însumareponderat dup anumite reguli a intr rilor propriu-zise. Exist un prag de sensibiltate sub care iesirea neuronului este nul . Dep sirea pragului produce o iesire, mereu aceeasi, asadar neuronul este principial un element cu iesire binar , pe numai dou niveluri. În general, functia care leag iesirea neuronului de intrarea lui sintetic se numeste functie de activare. Functia de activare tip prag asociat uzual cu neuronii naturali este ilustrat în figura al turat . Se observ pragul de sensibilitate nenul si se sugereaz o tranzitie în timp finit de la o stare, cea cu iesire nul , la cealalt stare cu iesire nenul . Ca deobicei, nici în cazul neuronilor nu este posibil variatia instantanee a unei m rimi, a iesirii lui.

Posibilitatea de interconectare a neuronilor este foarte divers si de aici structurile foarte variate si complexe ale sistemelor si subsistemelor nervoase precum si capacitatea lor de a executa calcule paralele de mare amploare.Sistemele neuronale au în plus capacitatea de a înv ta. Toate aceste caracteristici au atras atentia de timpuriu tehnicienilor în încercarea lor de a

135

simula prin elemente de calcul procesele inteligente care au loc în sistemelenervoase, deseori în leg tur direct cu sisteme tehnice foarte concrete. În contiunare discutia se limiteaz la retelele neuronale organizate în straturi, adic f r cicluri în care un neuron ar putea furniza siesi, pe o cale mai mult sau mai putin ocolit , intr ri.

Retele neuronale artificiale stratificate

Într-o retea neuronal artificial stratificat unit tile neuronale procesoare de informatie sunt dispuse într-o secvent de trei sau mai multe straturi de neuroni. Iesirile neuronilor dintr-un strat ponderate convenabil sunt intr ri pentru neuronii care apartin exclusiv stratului urm tor sau sunt iesiri ale retelei daceste vorba de stratul de iesire. Primul strat primeste intr rile (stimulii) din ambiant . Ultimul strat produce iesirile, în fond rezultatul unui calcul mai multsau mai putin complex. Intr rile neuronilor din straturile interioare, ascunse si ale ultimului strat, cel de iesire sunt combinatii liniare ale iesirilor produse de neuronii din stratul premerg tor. Coeficientii acelor combinatii liniare sunt numite ponderi si au un rol foarte importatnt în asa-zisa instruire a unei retele neuronale, într-un proces de înv tare care face o structur cu neuroni stratificat s fie adaptat unui anumit scop tehnic sau tehnologic. Rolul oric rui strat neuronal interior, ascuns este acela de a reformula si de a reaplica iesirile stratului anterior pentru a obtine o reprezentare mai capabil a separa, a clasifica datele de la intrarea retelei. Straturile interioare permit atasarea unei semantici particulare combinatiilor de intr ri ale retelei.

Structura retelelor neuronale stratificate poate fi foarte diferit dac se iau în considerare num rul de straturi si num rul de neuroni în fiecare strat. Figura de mai sus arat structura unei retele neuronale cu trei straturi, unul de intrare, unul ascuns si unul de iesire, cu l, m, respectiv n celule neuronale. Trebuie spus cstratul de intrare al unei retele neuronale artificiale are uzual numai rolul de a

136

preg ti intr rile stratului urm tor. Neuronii din primul strat au câte o singurintrare pe care o aduc prin translatie si prin scalare la valori potrivite pentru a fi stimuli valabili pentru celulele neuronale din stratul urm tor.Un r spuns la întreb rile posibile si legitime referitoare la structurarea unei retele neuronale artificiale a fost dat cu mult vreme în urm de matematicianulKolmogorov în cadrul teoriei aproxim rii functiilor. Astfel, fiind dat o functie continu , unde I = [0, 1] si, în consecint , Id este cubul

unitate d-dimensional, functia poate fi implementat într-o retea neuronal cu exact trei straturi, cu d unit ti în stratul de intrare, cu (2d +1) neuroni în unicul strat ascuns si cu c unit ti în stratul de iesire.

: , ( )I R xd c y

k

Stratul ascuns, interior realizeaz aplicatia

z x kk

k

j

j

d

( )1

în care xj sunt intr rile retelei, o constant real si o functie, ambeleindependente de functia de reprezentat , iar este un num r rational pozitiv, m rginit. Functia de activare a neuronilor din stratul ascuns trebuie s

îndeplineasc cunoscuta conditie a lui Lipschitz ( ) ( )u v c u

I d

v

zk

pentru

orice si pentru orice argumente .( , ]0 1 u v,Stratul de iesire face aplicatia

y gi i

k

d

( )1

2 1

unde functiile gi, i = 1, 2, ..., c sunt reale si continue si depind de si .Teorema dat de Kolmogorov este numai o teorem de existent . Construirea efectiv a functiilor si gi este deschis . Posibilit tile de aproximare a functiei

(x) cu functii de un gen sau altul r mâne de discutat în continuare. În procesul de instruire/înv tare pentru retelele neuronale artificiale stratificatese utilizeaz o multime de înv tare H alc tuit din perechi (ik, t

k), k = 1, 2, ..., Nde vectori de intrare (i de la input – intrare) si de vectori de r spuns asociati (tde la target – tint ) cu valori observate experimental. Operatiile de bazcunoscute si sub numele cuprinz tor de regula delta generalizat sunt:

Se aplic retelei neuronale intr ri (stimuli) ik din multimea de înv tare;

Se calculeaz pas cu pas iesirile tuturor unit tilor retelei neuronale, având în vedere functiile de activare specifice, în cele din urm iesirile ok (o de la output – iesire);Se compar pe baza unui criteriu prestabilit vectorul o

k (iesire a stratului ultim al retelei, stratul de iesire) cu vectorul de iesire tk pereche în multimeaH cu intrarea aplicat retelei; Se calculeaz eroarea si se propag m sura ei în sens invers, de la iesire c tre intrare; Se încearc minimizarera erorii la fiecare etap prin modificarea ponderilor retelei.

137

Pentru minimizarea erorii E de predictie a iesirilor tk prin iesirile calculate ok se poate utiliza orice metod de determinare a extremelor unei functii, în cazul în discutie functia care m soar eroarea de predictie. Metodele de gradient sunt desigur utilizabile dac functia care m soar diferentele (în sens larg) între tk si o

k este derivabil . Vectorul derivatelor partiale în raport cu ponderile

wij atasate intr rilor pentru celula j din stratul i d directia de modificare a ponderilor, care trebuie s fie în sensul invers al vectorului gradient. Asadar, modific rile wij trebuie s fie proportionale cu componentele vectorului gradient cu semn schimbat. Calculul acestor derivate contine o procedur de derivare a unor functii care la rândul lor au ca argumente alte functii. Intervin aici inevitabil functiile de activare ale celulelor neuronale. Dac acestea sunt de tipul prag teoretic (salt instantaneu), derivata lor este pretutindeni nul , iar în punctul corespunz tor pragului derivata nu exist . Pentru a evita acest inconvenient, pragul teoretic – salt pentru argument egal cu pragul de sensibilitate al neuronului – este înlocuit în aplicatii de functia sigmoidal care are expresia

E wji/

( )xe x

11

si înf tisarea din figura al turat .

Din coeficientul pozitiv se poate aranja ca panta de trecere de la nivelul minim la cel maxim (si invers) s fie oricât de abrupt : cu cât mai mare cuatât mai mare panta si, la limit , când este foarte mare, sigmoida devine pragul ideal. Avantajul functiei sigmoidale este acela c ea este derivabilpretutindeni, asadar metodele de minimizare a distantei dintre iesirile prezise si cele observate, bazate pe gradient sunt deplin abordabile. Retelele neuronale artificiale sunt deja larg utilizate pentru a rezolva problemede înv tare în diverse domenii. Prin utilizarea unor date experimentaleexistente, retelele neuronale învat în fond relatiile între intr ri si iesiri. Relatiile neliniare sunt cu totul empirice si nu sunt bazate pe vreo teorie din fundamentele fizicii etc. Sub acest unghi, retelele neuronale sunt pur si simplumodele regresionale complexe a c ror structur este determinat empiric. Desi retelele neuronale artificiale sunt inspirate de retelele de celule nervoase ale organismelor vii, dezvolt rile aplicative ulterioare, pân la cele mai evoluate ale

138

acestor retele numite si modele conexioniste sunt puternic influentate de dezvolt rile recente înregistrate de analiza functional .În domeniul ingineriei sistemelor, inclusiv al celor economice, se observ cu certitudine o explozie a interesului academic dar si industrial-comercial fat de retelele neuronale artificiale cu aplicatii în proiectarea de procese si de produse, în operarea si reglarea automat a proceselor, multe din ele de remarcabilcomplexitate. Câteva exemple:

Generarea de modele neliniare destinate proiect rii sistemelor de reglare predictiv , fixe sau adaptive Diagnoza function rii defectuoase a sistemelor si identificarea cauzelor Monitorizarea si interpretarea tendintelor proceselor continue si/sau discontinue, cu evaluarea performantelor tehnologice si a calit tiiproduselorModelarea comport rii haotice a sistemelor dinamice deterministe.

Varietatea de reprezent ri pe care retelele neuronale le pot cuprinde (booleene, calitative, semicantitative si/sau analitice/cantitative), gradul mare de paralelismal calculelor pe care retelele îl pemit si simplitatea structurii lor le-au transformat în instrumente de mare popularitate printre ingineri, cu utiliz ripentru rezolvarea unei variet ti largi de probleme.O retea neuronal tipic (din cele stratificate, deocamdat cele mai utilizate) este constituit din mai multe straturi de noduri interconectate, fiecare cu o functie de activare si ponderi pe fiecare arc care conecteaz nodurile retelei între ele. Iesirea fiec rui nod este o functie neliniar de toate intr rile sale. Astfel, reteaua este o dezvoltare a relatiei neliniare necunoscute între intr rile x

si iesirile F într-un spatiu generat de asa-numitele functii de activare ale nodurilor retelei. În particular, înv tarea prin propagare direct în retele stratificate poate fi privit ca sintetizarea unei aproxim ri a unei functiimultidimensionale în spatiul generat de functiile de activare i (x), i = 1, 2, ..., m, adic

F x c xi i

i

m

( ) ( )1

Cu date empirice la dispozitie, cu functiile de activare date si cu o topologie a retelei cunoscut , parametrii ci, i = 1, 2, ..., m sunt ajustati astfel încât eroarea aproxim rii s fie oricât de mic .S-au prezentat mai devreme dou functii de activare, functia prag ideal si functia sigmoidal . Ambele au r spunsuri pentru orice intrare, nu import cât de mare sau cât de mic este acea intrare. De aceea ele sunt calificate drept functii de activare globale si nu sunt singurele în genul lor. Ele sunt doar cele maicunoscute, prima utilizat pentru celulele neuronale din retelele numite si perceptroni si cealalt utilizat pe larg în retelele stratificate cu înv tare prin propagare secvential invers (BPN – BackPropagation Network). Asadar, în general, neuronii cu functii de activare globale sunt activi pe un domeniu larg de valori ale intr rilor si asigur o aproximare global a datelor empirice.

139

Cu functii de activare sigmoidale, cu retele neuronale de tipul stratificat,secvential cu un singur strat ascuns compus din m noduri, se pot aproximafunctii foarte diverse prin functii din multimea

S f x f x c xw w R c Rm i i i

i

n

i

d

i i( ) / ( ) ( ), , ,1

unde wi, ci, i sunt parametri ajustabili. Se poate ar ta c dac m este suficient de mare atunci orice functie continu poate fi aproximat oricât de exact conform cu formula de mai sus. O alternativ la functiile de activare globale o constituie functiile de activare locale. Acestea produc iesiri ale neuronului nenule cu prec dere într-o vecin tate restrâns a unor valori de intrare. Iesirea lor se estompeaz pentru valori situate departe de centrul de r spuns maxim al functiei de activare si, implicit, de centrul de maxim receptivitate a celulei neuronale c reia functia îi este atasat .Functiile de tipul radial de pild sunt în esent locale si sunt utilizate în retelele cu baze de functii radiale (RBFN - Radial Basis Function Network). Figura care urmeaz reprezint o asemenea functie, functia gaussian .

În general, o functie radial este o functie de o norm a diferentei dintre intrarea efectiv x a celulei si intrarea xi care maximizeaz iesirea acelei celule

i ix h x x( )

si este asociat unui nod sau centru de coordonate xi .Functia gaussian în varianta ei multidimensional

i n i

T

i

nxW

x x W x x x R( )det

( )

exp ( ) ( ) ,

2

12

2

cu W o matrice pozitiv definit (o matrice de ponderi în directii diverse din Rn)este de tipul radial. În cazul unidimensional ilustrat putin mai devreme, aceeasi functie se scrie sub forma

i

i

i

i

xx x

x R( ) exp( )

,1

2 2

2

2

140

Retelele de tipul RBFN pot si ele s aproximeze functiile continue cu o eroare oricât de mic . Retelele de acest tip necesit o prealabil sortare a intr rilor, o operatie de aglomerare (clustering) în clase de intr ri similare.

Proceduri de instruire pentru retelele neuronale cu baze de functii radiale

Proiectarea unei retele neuronale cu baz de functii radiale implicdeterminarea parametrilor ck , tk si k pentru fiecare celul neuronal în parte, care fac cât de mic posibil eroarea global de aproximare. Parametrii tk si k

exprim coordonatele punctelor de maxim receptivitate a celulei neuronale ascunse k, respectiv aria de sensibilitate acoperit de acea celul a c rei functiede activare este de tip radial. Parametrul ck este coeficientul din formula de interpolare implementat prin structura de neuroni proiectat .Problema stabilirii celor trei parametri pentru fiecare din celulele retelei neuronale poate fi rezolvat ca o singur problem de optimizare global prin instruire supravegheat , cu alte cuvinte pe baza unei multimi de înv tare. Se poate îns proceda si la o determinarea etapizat . Într-o prim atap se stabilesc centrele tk si deviatiile standard k în mod nesupervizat, pe m sur ce se acumuleaz date experimentale. În a doua etap se stabilesc coeficientii ck

printr-o procedur de optimizare prin instruire supravegheat . Aceastprocedur în dou faze este, se pare, mai eficient . Iat-o descris sumar maideparte.Faza I. Instruire pentru autoorganizare. În aceast faz se calculeaz centrele tk ale celor K functii de baz radiale si extinderea lor dat de k. Pentru a g sicele K centre de maxim receptivitate din setul de intr ri al exemplelor de instruire se foloseste un algoritm standard de aglomerare cu k medii (k-means

clustering algorithm). Fiecare grupare, aglomerare (cluster) se leag de un nod ascuns al retelei. Centrul grup rii determin valoarea tk a functiei radiale din baz . Pasul curent aloc noduri numai pentru regiunile unde exist date. L rgimea (sau dispersia) fiec rui câmp este apoi stabilit printr-o euristic a contiguit tii. Multe euristici de tipul vecinului celui mai p-apropiat (p-nearest

neighbor) pot fi utilizate. De exemplu, l rgimea poate fi dat de media

geometric d d1 2 unde d1 si d2 sunt distantele euclidiene de la centrul k la

dou centre cele mai apropiate. Aceast euristic asigur o oarecare suprapunere pentru fiecare unitate cu unit ti vecine ceea ce conduce la o interpolare neted pe spatiul intr rilor. Instruirea autoorganizant din faza de fat reduce efortul de instruire supervizat din faza a doua în care trebuie evaluate numai ponderile. Faza II. Minimizarea erorii medii p tratice. Ponderile ck ale functiilor de bazradiale sunt g site prin minimizarea erorii medii p tratice

E y F xk k

k

[ ( 2)]

141

Determinarea ponderilor este o problem liniar a c rei convergent este aproape sigur . S-au sugerat multe îmbun t tiri si alternative pentru instruirea retelelor cu baze de functii radiale. Unii autori si cercet tori au utilizat coeficienti care sunt functii liniare de intr ri, care permit functii gaussiene asimetrice si o functie p tratic de cost de forma

E y c y x c c xi

i

k i k i

ik

k l

lk

k i l i

i

1

2

1

22 ( ) ( ) ( )x

cu (xi , yi) perechi intrare-iesire si cu k(xi), l(xi) functii din baz . Metoda aceasta se arat a fi superioar precedentei la predictia seriilor de timp haotice. Faza prim , euristic , de instruire a retelelor cu baze de functii radiale necesitrelu ri cu diferite numere de unit ti ascunse pentru a obtine un optim structural al retelei. În cuprinsul acestei sectiuni s-a f cut referire la stabilirea extremelor unor functii care exprim distanta între observatii experimentale si iesirile calculate ale unui model cum este de fapt o retea neuronal . Metodele de stabilire a acestor extreme, parte a procesului de instruire au utiliz ri mai largi, în împrejur ri variate. De aceea, sectiunea urm toare este consacrat descrierii (uneori sumare a) acestor metode.

Metode de stabilire a unor solutii optime

Frecvent, în rezolvarea unor probleme de naturi foarte diferite inginerii au de ales între mai multe solutii posibile si fezabile. Alegerea nu se face niciodat la întâmplare ci pe baza unor criterii care presupun o optimizare.Câteva exemple de optimiz ri au fost deja parcurse în alte capitole ale acestei lucr ri ca si în cadrul lucr rilor aplicative de la aceast disciplin , Modelarea si

simularea sistemelor de productie: optimiz ri în cadru liniar, rezolvate prin metodele program rii liniare, optimiz ri pe grafice-retea etc. S-a retinut înc de atunci, dac faptul nu era cunoscut deja, c exist o functie obiectiv care trebuie maximizat /minimizat si un num r de variabile de decizie prin modificareac rora se obtine extremul urm rit dac acesta exist . Este de rememorattotodat faptul c variabilele de decizie trebuiau s satisfac un num r de restrictii. Fie si numai din acele exemple relativ simple parcurse în capitolele respective sau la lucr ri se poate extrage forma general a unei probleme de optimizare, componentele unei astfel de probleme:

Functie obiectiv Variabile de decizie RestrictiiAlgoritm de stabilire a extremelor

Varietatea mare de probleme de optimizare provine din: Particularit tile functiei obiectiv: liniaritate (neliniaritate), multime de valori compact sau discret , continuitate, derivabilitate, uni- sau multimodalitate.Num rul variabilelor de decizie si tipul lor

142

Num r de restrictii Caracterul determinist sau aleator al problemei

La capitolul algoritmi de optimizare varietatea este la fel de mare. F rpretentie de exhaustivitate se pot enumera:

Algoritmi cu evaluare directAlgoritmi bazati pe gradient Algoritmi de c utare aleatoare Algoritmi genetici

Desigur, exist algoritmi hibrizi, adic algoritmi de un gen din cele mentionate“contaminati” cu elemente specifice algoritmilor de alte genuri. În continuare se consider functii obiectiv de forma general f(x1, x2, …, xn) care pot include si anumite “penalit ti” la apropierea de vreuna dintre restrictii. Algoritmii cu evaluare direct constau în evaluarea functiei obiectiv într-un num r de puncte din spatiul variabilelor de decizie, denumit si spatiu de c utare(a optimului). Este o metod care se aplic la probleme cu dimensionalitateredus : spatiul de c utare cu maximum 2-3 dimensiuni. Din “ploaia” de evalu ri, de regul sistematic , se retine solutia cea mai favorabil . Eficientametodei este discutabil chiar la dimensiunile mentionate: consum de timp de calcul uneori mare, stabilirea optimului cu o precizie de cele mai multe ori îndoielnic . Are avantajul c nu cere calit ti speciale ale functiei obiectiv (continuitate, derivabiliate etc.) Algoritmii bazati pe gradient se aplic exclusiv în cazul functiilor obiectiv derivabile în raport cu fiecare dintre variabilele de decizie. Gradientul într-un punct din spatiul de c utare este vectorul de valori ale derivatelor partiale ale functiei obiectiv în acel punct (indicele superior T pentru operatia de transpunere).

T

nx

f

x

f

x

ffgrad

21

Directia lui indic directia în care functia obiectiv are cea mai rapid variatie. O deplasare în sensul vectorului gradient (deplasare care se obtine prin modific riale variabilelor de decizie proportionale cu valorile derivatelor componente ale gradientului) produce o crestere a functiei obiectiv. O deplasare în sens invers produce o sc dere a functiei obiectiv. Desigur, evaluarea derivatelor partiale consum timp dar pasii pe directia gradientului duc de cele mai multe ori la îmbun t tiri rapide ale functiei obiectiv. Se practic adesea proceduri de accelerare a deplas rii pe directia respectiv , dac îmbun t tirile sunt promit toare, sau de decelerare, dac îmbun t tirile s-au plafonat sau au devenit înr ut tiri. Asadar, gradientul nu se redefineste prin calcul dup fiecare evaluare a functiei obiectiv ci numai dup ce c utarea pe directia gradientului înceteaz a mai fi productiv , aduc toare de valori mai bune pentru functia al c rui extremse caut , maxim sau minim, de la caz la caz. Printr-o similitudine cartografic s-a reprezentat al turat o functie obiectiv de dou variabile, x1 si x2, prin curbe de nivel, locuri geometrice alc tuite din

143

puncte în care functia obiectiv ia aceleasi valori pentru multiple perechi de valori (x1, x2). Curbele centrale sunt din ce în ce mai apropiate de extrem, curba periferic este cea mai slab prin prisma valorilor functiei. Sunt reprezentate dou directii ale gradientului. Una este pentru gradientul evaluat în punctul 1, punct de initiere a c ut rii. Se observ c directia de cea mai rapid variatie a functiei nu poate fi decât transversal fat de curba de nivel care trece prin punctul respectiv. Ea este chiar perpendicular pe tangenta la curb : tangenta la curba de nivel este o directie în care functia are variatie nul (functia este constant , cel putin local). Un num r de evalu ri ale functiei în puncte situate pe directia gradientului aduce mai întâi o îmbun t tire a valorilor ei, apoi o înr ut tire. Punctul 2 din figur este ultimul punct bun de pe directia gradientului evaluat în punctul 1. Aici se reevalueaz gradientul si se stabileste o nou directie de c utare, reprezentat si ea în figur . Procedura se repet pâncând se atinge extremul c utat. Desigur, o reprezentare similar pentru functiide mai multe variabile nu este posibil dar principiile c ut rii si algoritmulr mân.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

x1

x2

CÃUTAREA EXTREMELOR PRIN METODA GRADIENTULUI

1

2

Metoda gradientului si numeroasele ei variante nu sunt totdeauna conduc toarec tre optimul functiei obiectiv. Dac functia este multimodal , adic are maimulte extreme, c utarea se poate opri într-un extrem local, îndep rtat de optim.Tot printr-o similitudine topografic /cartografic , un relief ondulat poate cuprinde mai multe în ltimi si mai multe v i închise (c ld ri) sau deschise. C utarea unui maxim de altitudine poate esua într-un vârf care nu este cel maiînalt în peisaj. C utarea unei cote minime se poate încheia într-o c ldare care nu-i cea mai adânc în regiunea explorat . Metodele de gradient au de

144

asemenea dificult ti în c utarea eficient când functia obiectiv are variatii rapide similare unor v i adâci si abrupte, ca într-un relief cu ravene. Dimensionalitatea mare a spatiului de c utare reduce aficienta c ut riiextremelor prin metodele care se bazeaz pe evaluarea gradientului. Metodele aleatoare de c utare prezint o protectie mai bun la extremelemultiple, la multimodalitatea functiilor obiectiv al optimiz rii. Mai au avantajul c merg si în cazurile în care functia obiectiv nu este derivabil . Este în fond o metod de evaluare direct numai c amplasarea punctelor în care functia obiectiv este calculat din nou si din nou este aleatoare. Figura al turat ilustreaz o c utare aleatoare a extremului aceleiasi functii despre care s-a discutat si la metoda gradientului. Metoda este aleatoare dar este si adaptiv . Ce înseamn adaptivitatea se întelege mai bine dac se retine faptul c orice c utare de extrem nu se întinde niciodat pe spatii nelimitate: spatiul de c utare este fatalmente finit. Finitudinea lui poate exclude îns zona unde se afl alte extreme, poate chiar extremul-optimul c utat.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

x1

x2

EXTREME PRIN CÃUTARE ALEATOARE SI ADAPTIVÃ

1

2

3

În exemplul din figur c utarea începe prin evalu ri ale functiei în puncte “sem nate” aleator în interiorul dreptunghiului cu centrul de simetrie în punctul 1. Evalu rile pot duce la valori ale functiei mai slabe decât cea din centrul dreptunghiului (un exemplu este punctul marcat cu un p trat). Primul puct maibun decât punctul 1 (marcat aici cu 2) este retinut si dreptunghiul se deplaseazprin translatie astfel încât acest punct s devin centrul lui de simetrie.Explorarea aleatoare continu în domeniul delimitat de acest dreptunghi în noua lui pozitie. Vor fi aproape sigur câteva valori care nu corespund (punctele respective nu sunt reprezentate), dar va ap rea si în acest caz un punct mai bun:

145

punctul 3. O nou deplasare a dreptunghiului, centrat de data aceasta pe cel mai recent punct bun aduce – se observ (ceea ce la o functie de mai mult de dou variabile din p cate este imposibil) – o zon bogat în puncte mai bune decât tot ce s-a obtinut pân acum. Perspectiva îmbun t tirii functiei obiectiv creste evident. Adaptare c ut rii se face prin aceast deplasare. Acum, dacpresupunem c dreptunghiul migrator atinge fie si numai cu un vârf vecin tateaunui alt extrem (local) exist sansa ca operatia de c utare s fie orientat c treacel extrem care poate fi mai bun decât alte extreme. Asta este o protectie la ignorarea unor extreme multiple pe care metodele de gradient nu o au. Sunt împrejur ri în care o combinare a metodelor de gradient cu cele de c utarealeatoare aduce o însumare a calit tilor celor dou metode. Desigur, functiileale c ror extreme se caut trebuie s fie derivabile. În aceast situatie o c utarebazat pe gradient, când d semne de stationaritate este oprit si o c utarealeatoare, uneori grosier ofer sansa unei iesiri dintr-un extrem local prin “nimerirea” vecin t tii unui alt extrem mai bun decât cel localizat prin utilizarea gradientului. Pentru problemele cu dimensionalitate foarte extins , acesta este cazul instruirii unei rete neuronale unde varabilele de decizie sunt ponderile, se recurge la metode împrumutate de la regnul viu. Sectiunea imediat urm toare contine un asemenea recurs.

Algoritmi genetici

Problemele ingineresti cu dimensionalitate mare sau foarte mare se pot trata prin metode bazate pe algoritmii genetici. Stabilirea extremelor unor functii multimodale, structurarea optim si instruirea retelelor neuronale sunt exemplede asemenea probleme. Algoritmii genetici sunt un împrumut din biologie si se bazeaz pe evolutionismul darwinian. Se consider o populatie alc tuit din indivizi descrisi de structuri numitecromozomi. Cromozomii sunt uzual structuri liniare, ansambluri de gene. Figura al turat ilustreaz doi indivizi prin cromozomii lor, genele fiind reprezentate prin culori.

Orice populatie este în evolutie. Indivizii care o alc tuiesc se combin în perechi pentru a genera urmasi. Procedeul curent este cel al combin rii-încrucis rii. Prin combinare rezult descendenti care sunt la rândul lor caracterizati de cromozomi. Cromozomii lor rezult printr-o lectur încrucisata cromozomilor parentali, în linii mari conform schemei din figura care urmeaz . În partea de jos sunt reprezentati prin cromozomii specifici descendentii rezultati.

146

Nu este obligatoriu ca din combinare s rezulte doi descendenti dar în multeaplicatii tehnice aplicarea operatorului de combinare produce doi descendenti. Desigur, punctul de comutare a lecturii de la un cromozom la cel lalt poate fipozitionat si altundeva. De asemenea, pot exista si mai multe puncte de traversare.

Lectura cromozomilor parentali se poate face corect dar se poate face si cu eroare. Dac s-a produs o eroare, se spune c a avut loc o mutatie. Asadar, exist un al doilea operator genetic, operatorul de mutatie. Figura urm toareilustreaz efectul unei mutatii. Sunt prezentati din nou descendentii rezultati prin lectura corect a genelor, apoi descendentii dintre care unul este afectat de o mutatie la gena marcat cu s geat .

În aplicatiile ingineresti se vorbeste de populatii de solutii ale unei probleme si de determinarea evolutiv a solutiei acelei probleme. Este vorba mai ales de probleme complexe, de dimensionalitate excesiv pentru care nu sunt c ianalitice de solutionare, iar enumerarea tuturor solutiilor acceptabile este o iluzie. Si aici, ca si în cazul populatiilor biologice se vorbeste de adecvarea maibun sau mai slab a solutiilor la problema tratat , întocmai cum indivizii unei specii sunt adecvati mai mult sau mai putin la problema supravietuirii într-un mediu generator de variate provoc ri. Si într-un caz si în altul principiul darwinian al selectiei naturale “supravietuiesc cei mai adecvati” lucreazsistematic pentru adaptarea solutiilor la problema fomulat , respectiv a indivizilor la problema supravietuirii si implicit a perpetu rii.Din expunerea general de mai sus rezult c problemele tehnice si economicese pot rezolva evolutiv dac exist o codare prin cromozomi adecvati a solutiilor admisibile si dac se defineste corespunz tor o functie de adecvare.

147

Cromozomii din aplicatiile ingineresti pot avea forme diverse. La fel functiilede adecvare. Cea mai frecvent codare este cea binar : cromozomii sunt siruri de biti, genele sunt bitii însisi. Orice form ar avea cromozomii, solutionarea unei probleme prin utilizarea algoritmilor genetici parcurge o cale evolutiv , solutia se obtine prin evolutie.Algoritmul porneste de la o populatie de solutii reprezentate prin cromozomi.Solutiile dintr-o populatie sunt utilizate pentru a forma o nou populatie de solutii. Motivatia este cât se poate de natural : speranta c noua populatie va fi mai bun decât populatia veche. Solutiile alese pentru a produce solutii noi, pentru a produce descendenti, sunt alese pe baza potrivirii lor cu mediulproblemei de solutionat: cu cât sunt mai adecvate, cu atât ele au mai mari sanse de a se reproduce.Procedura este repetat pân când s-a generat un num r dat de populatii succesive sau o anumit conditie de adecvare a fost atins .Algoritmii genetici (AG) cuprind în general pasii urm tori:1. Generarea aleatoare a unei populatii initiale de n solutii acceptabile ale

problemei, reprezentate de n cromozomi2. Evaluarea unei functii de adecvare f(x) pentru fiecare cromozom x din

populatie3. Crearea unei populatii noi prin repetarea pasilor urm tori pân ce populatia

nou este completa. Selectia: se selecteaz o pereche de cromozomi p rinti în acord cu

adecvarea lor (cu cât sunt mai adecvati cu atât au sanse mai mari de a fi alesi pentru reproducere)

b. Încrucisarea: cu o probabilitate de încrucisare dat se încruciseazp rintii pentru a genera o pereche de descendenti (dac nu are loc o încrucisare descendentii vor fi cópii identice ale p rintilor)

c. Mutatia: cu o probabilitate precizat se modific unele pozitii, unele gene din cromozomii descendentilor

4. Populatia generat înlocuieste populatia veche si este folosit pentru o nouparcugere etap cu etap a algortimului

5. Dac conditia de oprire este atins , algoritmul se încheie si se retine solutia cea mai bun din populatia curent , care este si ultima

6. Dac conditia de oprire nu este atins se reiau evalu rile de la pasul 2. Liniile generale ale algoritmilor genetici date mai sus au implement ri variate. Una din probleme este, asa cum s-a spus, cum s se creeze cromozomii, cum sse realizeze aceast codare a indivizilor dintr-o populatie. În functie de formacromozomilor se definesc cei doi operatori de baz ai algoritmilor genetici, combinarea-încrucisarea si mutatia.O alt problem este selectarea judicioas a p rintilor pentru încrucisare. Selectarea se poate face în moduri diferite dar ideea general este a retine p rintii dintre cei mai buni, în speranta c descendentii lor vor fi si mai buni. Poate interveni un dubiu si anume c alc tuirea populatiei noi numai din descendenti ar putea conduce la pierderea cromozomilor cei mai buni din generatia precedent . Asta se poate întâmpla si, de aceea, se foloseste uneori

148

asa-zisul elitism. Asta înseamn c cel putin una din cele mai bune solutii din generatia curent este retinut prin copiere în generatia urm toare ceea ce o face viabil poate pân în faza final a evalu rilor.Modul cel mai obisnuit de codare cromozomic const în constituirea unei secvente de valori binare. Cromozomii arat în acest caz astfel:

Cromozomul k 1101100100110110Cromozomul l 1101111000011110

Fiecare bit din secvent reprezint o anumit caracteristic a solutiei. Uneori secventa poate reprezenta unul sau mai multe numere. Desigur, sunt si alte modalit ti de codare. Codurile adoptate depind si de tipul problemei de rezolvat. Se pot coda, de pild , direct numere întregi sau reale, uneori anumitepermut ri, structuri grafice etc. Parametri pentru AG. Probabilit tile asociate încrucis rii si mutatiei sunt parametri de baz ai algoritmilor genetici. Probabilit tile referitoare la încrucis ri se asociaz cu frecventa cu care un individ sau altul este selectat în vederea încrucis rii: indivizii sau solutiile mai adecvate au probabilit ti maimari de a fi selectati pentru combinare, pentru aplicarea operatorului de încrucisare. Când punctul, altfel aleator, de comutare a lecturii de pe un cromozom pe cel lalt este situat chiar pe prima sau pe ultima gen din secventa cromozomial descendentii sunt cópii identice ale p rintilor. Încrucisarea este f cut în speranta cât se poate de natural conform c reia cromozomii noi vor contine genele asociate p rtilor bune din cromozomii parentali si acesti noi cromozomi vor reprezenta solutii mai bune ale problemei. Uneori se renunttotal la o generatie de solutii de îndat ce o nou generatie este complet .Alteori este îng duit ca o parte a populatiei s supravietuiasc si în generatia urm toare pentru a p stra solutiile cele mai perfectionate ca material genetic valoros pentru încrucis rile efectuate în etapa/etapele viitoare. La mecanismul încrucis rilor se recurge aproape în orice algoritm genetic cu o frecvent mare. Mutatia este folosit mai rar, mai curând ca accident. De aceea probabilitatea de aparitie a unei mutatii este fixat la valori mici, sub 0,1. Mutatia este folosit pentru a preveni stagnarea c ut rii într-o zon de adecvare bun numai relativ la o vecin tate restrâns , ceva analog unui extrem local în optimizare.Un alt parametru important este dimensiunea populatiei mentinut de regulconstant de la o generatie la urm toarea. Dac populatia este redus ,diversitatea cromozomial este modest si algoritmul genetic are posibilit tislabe de încrucisare ceea ce se traduce în conducerea explor rii pe un spatiu restrâns. Pe de alt parte populatiile prea numeroase fac ca algoritmii genetici s lucreze lent. O recomandare de luat în considerare are în vedere populatii de zeci de indivizi-solutii.

149

În una din lucr rile aplicative prev zute la disciplina Modelarea si simularea

sistemelor de productie se propune spre studiu si observare actiunea de c utarea extremului unei functii de o variabil cu foarte multe extreme, o functie multimodal a c rei expresie este

640

3.5sin1

640

30sin1

640sin

2.4

480)(

xxxxf

Populatia initial este de 20 de solutii. Dimensiunea populatiilor urm toare este aceeasi. Se practic elitismul total, adic la fiecare nou generatie clasamentuladecv rii solutiilor se întocmeste pe 40 de solutii vechi si noi. Sunt eliminate 20 de solutii din josul clasamentului indiferent dac sunt printre ele solutii abia generate. Algoritmul genetic foloseste parametrii pe care observatorul îi poate stabili el însusi. Acestia sunt num rul de generatii propus pentru stoparea automat a algoritmului, apoi raportul, supraunitar desigur, între probabilitatea de selectare în vederea încrucis rii a celei mai perfectionate solutii si a celei mai putin adecvate si în sfârsit, probabilitatea aparitiei unei mutatii.

150

B I B L I O G R A F I E

1. J.E.Beasley “OR-Notes”, http://mscmga.ms.ic.ac.uk/jeb/or/ , Imperial

College, Londra, 2002

2. R.E.Bellman si S.E.Dreyfus “Programarea dinamicã aplicatã” Editura

Tehnicã, Bucuresti, 1967

3. Gh.Boldur-Lãtescu, Gh.Ciobanu si I.Bãncilã “Analiza sistemelor

complexe” Editura Stiintificã si Enciclopedicã, Bucuresti, 1982

4. S.Cãlin, Th.Popescu, B.Jora si V.Sima “Conducerea adaptivã si flexibilã a

proceselor industriale” Bucuresti, Ed.Tehnicã 1988

5. G.Cohen “Théorie algébrique des systèmes à événiments discrets” Centre

Automatique et Système, École des Mines de Paris, Fontainbleau & INRIA

Rocquencourt, 1995

6. G.Cohen “Analysis y control de sistemas de eventos discretos: de redes

Petri temporizadas al algebra” Universidad de Rosario, Argentina, 2001

7. S.E.Elmaghraby “Proiectarea sistemelor de productie” Editura Tehnicã,

Bucuresti, 1968

8. A.Kauffmann “Metode si modele ale cercetãrii operationale” Editura

Stiintificã, Bucuresti, 1967

9. L.Lasdon “Teoria optimizãrii sistemelor mari” Editura Tehnicã, Bucuresti,

1975

10. S.Lazãr “Analiza drumului critic” Editura Stiintificã, Bucuresti, 1968

11. O.Pãstrãvanu “Sisteme cu evenimente discrete. Tehnici calitative bazate pe

formalismul retelelor Petri” Editura MATRIX-ROM, Bucuresti, 1997

151

152