Versiune revãzutã la 20 februarie 2004

GHEORGHE M.PANAITESCU

PROCESAREA NUMERICÃ A SEMNALELOR

Note de curs

Universitatea “Petrol-Gaze” Ploiesti 2004

MESAJ CÃTRE CITITOR Lucrarea de fatã reprezintã suportul cursului Procesarea numericã a semnalelor, tinut pe durata unui semestru, câte trei ore pe sãptãmânã, pentru anul III de la specializãrile Automaticã si informaticã industrialã si/sau Calculatoare din cadrul Facultãtii de inginerie mecanicã si electricã a Universitãtii “Petrol-Gaze” Ploiesti. Este a doua versiune, aproape completã, a acestui curs. Textul care urmeazã nu se constituie într-un manual. Dupã cum aratã si subtitlul, el este nu mai mult decât Notele de curs menite a ghida expunerile celui care predã disciplina Procesarea numericã a semnalelor sau, în cel mai bun caz, o referintã concisã a initiatilor în domeniu. Nu sunt continute toate explicatiile si comentariile care cu sigurantã ar fi necesare pentru ca textul sã devinã un manual, comentarii care se fac de obicei la expunerea oralã. Asadar, pentru studenti, lectura fie si foarte atentã a celor ce urmeazã nu poate suplini audierea cursului. Dacã într-o formã sau alta aceastã lucrare se difuzeazã, se difuzeazã numai ca un ajutor în întelegerea lecturii notitelor proprii în vederea pregãtirii examenelor si/sau verificãrilor. Studentii sunt îndemnati sã consulte concomitent bibliografia indicatã, atât pentru subiecte care nu se regãsesc în continuare decât ca sugestie, uneori vagã, dar si pentru subiectele care sunt preluate din literaturã si reformulate în aceste Note de curs. Un Ghid de lucrãri la disciplina Procesarea numericã a semnalelor este alãturat prezentelor Note în scopul accesului “on line” în timpul aplicatiilor la acest curs. Autorul subliniazã continutul provizoriu al Ghidului, lãsând astfel posibilitatea completãrii aplicatiilor continute în Ghid cu altele noi precum si îmbunãtãtirii celor existente.

Autorul

i

ii

C U P R I N S

INTRODUCERE 1

SEMNALE 5

• Semnale de tip determinist periodice o Fenomenul Gibbs o Functii speciale de douã semnale de aceeasi perioadã

• Semnale de tip determinist aperiodice • Teorema de esantionare

o Compensarea fenomenului Gibbs • Interpolarea idealã de bandã limitatã

o Interpolarea sinc cu fereastrã • Semnale de tip aleator

o Procese si semnale aleatoare o Semnale gaussiene o Secvente aleatoare discrete

• Efectul cuantificãrii semnalelor TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETÃ 27

• Definitii si proprietãti • Transformarea Fourier rapidã • Transformarea Fourier rapidã prin decimare în frecventã

FILTRE CU RÃSPUNS IMPULSIONAL FINIT (FIR) 33

• Generalitãti • Filtre cu fazã liniarã si functiile lor de transfer • Calculul coeficientilor prin dezvoltãri Fourier în conditiile specificãrii în

frecventã • Coeficientii filtrelor numerice prin metoda celor mai mici pãtrate • Calcularea coeficientilor unui filtru cu fazã liniarã prin iterare

o O teoremã (Cebîsev) o Algoritmul Remez

FILTRE CU RÃSPUNS IMPULSIONAL INFINIT (IIR) 45

iii

• Sisteme de ordinul întâi • Sisteme de ordinul al doilea pur recursive • Filtre IIR de ordinul II generale • Proprietãti generale ale filtrelor IIR • Calculul direct al coeficientilor filtrului din functii model • Proiectarea filtrelor IIR cu functiile Butterworth • Alte functii model utilizate la proiectarea filtrelor IIR • Procedura generalã de proiectare a filtrelor IIR prin functii model • Calculul filtrelor de alte tipuri prin transformarea unui filtru trece-jos • Metode de calcul direct al filtrelor IIR numerice

o Aproximarea Padé o Cele mai mici pãtrate si filtre numai cu poli

REPREZENTAREA TIMP-SCARÃ CU FUNCTII WAVELET 65

• Introducere în reprezentarea prin functii wavelet • Functii wavelet • Detalii cu functii wavelet

FILTRAREA MULTIRATE (CU DEBITE MULTIPLE) 77

• Completare la teoria esantionãrii • Filtre FIR multirate • Filtre FIR de bandã înjumãtãtitã • Filtre cu întâzieri de grup fractii ale perioadei esantioanelor

FILTRE ADAPTIVE 87

• Configuratii ale sistemelor în filtrarea adaptivã o Configuratia adaptivã pentru identificarea sistemelor o Configuratia adaptivã de anulare a zgomotului o Configuratia de predictie liniarã adaptivã o Configuratia adaptivã a sistemului invers

• Performantele sistemelor adaptive ALTE TRANSFORMÃRI ALE SEMNALELOR 91

• Transformarea cosinus • Transformarea sinus

iv

ANEXA 1. Complemente de teoria probabilitãtilor si de statisticã matematicã 95 ANEXA 2. Ferestre utilizate în interpolarea semnalelor esantionate 105

v

vi

Introducere Procesarea numericã a semnalelor (prescurtatã adesea PNS) este o tehnologie dintre cele mai puternice, care este pe cale sã dea un contur nou stiintelor si ingineriei secolului curent aflat abia la început. S-au semnalat deja schimbãri revolutionare în variate domenii. Comunicatiile, investigarea medicalã prin imagini, localizarea tintelor în aer si în apã, reproducerea muzicalã de înaltã fidelitate, prospectarea geologicã, pentru a enumera numai câteva, au dezvoltat o seamã de algoritmi proprii, au pus laolaltã o matematicã adecvatã si anumite metode specifice, elemente de remarcabilã profunzime si de mare acoperire ale unor tehnologii particulare de procesare numericã a semnalelor. Aceastã dublã dimensiune, pe orizontalã si pe verticalã face dificilã cuprinderea de cãtre o singurã persoanã a tuturor aspectelor tehnologice legate de procesarea numericã a semnalelor. În etapa educatiei universitare se acoperã uzual douã obiective: învãtarea conceptelor generale care sunt utilizate aproape cu orice prilej si învãtarea unor metode particulare asociate unui domeniu de interes relativ restrâns. Sectiunea aceasta introductivã este o scurtã incursiune în materie cu evidentierea efectelor dramatice pe care procesarea numericã a semnalelor le-a introdus în domenii diverse, dintre care unele au fost enumerate. Se poate spune nu numai cã revolutia a început deja, ci si cã ea este în plinã desfãsurare. Originile procesãrii numerice a semnalelor Procesarea numericã a semnalelor se distinge de alte zone ale stiintei calculatoarelor prin tipul unic de date pe care le utilizeazã: semnalele. În marea majoritate a cazurilor aceste semnale provin de la sensori din lumea realã, sensori care creazã semnale legate de sunete, de imagini, de vibratii seismice etc. Procesarea numericã a semnalelor este matematica, algoritmii si metodele de manipulare a acestor semnale dupã ce au fost convertite în formã numericã. Acestea au o varietate largã de obiective. Ameliorarea imaginilor, recunoasterea si generarea vorbirii, comprimarea datelor în vederea stocãrii si transmiterii eficiente sunt printre aceste obiective. Atasarea la un calculator a unui convertor analog-numeric si uitilizarea lui pentru a achizitiona în formã numericã un segment de date din lumea realã este un fapt obisnuit. Procesarea numericã a semnalelor ca disciplinã de sine stãtãtoare rãspunde la întrebarea: “Ce urmeazã?” Istoria procesãrii numerice a semnalelor începe cu adevãrat prin anii 1960–1970 când calculatoarele numerice au devenit cât de cât accesibile. Calculatoarele

1

erau scumpe în acea epocã si procesarea numericã a semnalelor se limita la câteva aplicatii critice. Se fãcea un asiduu pionierat în patru domenii cheie: locatia cu sistemele radar si sonar – erau în joc probleme de securitate militarã, explorarea zãcãmintelor de petrol – era aici interesul de a face bani, explorarea spatiului – unde transferul de date este însusi miezul problemei si imagistica medicalã – prin ea se puteau salva vieti.

Aplicatii spatiale

Prelucrarea imaginilor spatiale Compresia de date Analiza inteligentã a datelor de la sensori amplasati la distantã

Medicinã

Imagistica de diagnosticare (tomografie computerizatã, imagini prin rezonantã magneticã, imagini cu ultrasunete etc.) Eletrocardiograme si electroencefalograme Stocarea si regãsirea imaginilor

Aplicatii comerciale

Compresia de imagine si de sunet pentru multimedia Efecte speciale în cinematografie Realizarea de videoconferinte

Telefonie Compresia de date si voce Reducerea efectului de ecou Multiplexarea semnalelor Filtrarea

Aplicatii miltare

Locatia prin radar Locatia prin sonar Ghidarea tirului armelor Siguranta comunicatiilor

Aplicatii industriale

Prospectarea petrolierã si minierã Supravegherea si conducerea proceselor Instrumente de proiectare si proiectare asistatã de calculator

Proc

esar

ea n

umer

icã

a se

mna

lelo

r (P

NS)

Stiinte Înregistrarea si analiza cutremurelor Achizitia de date Analize spectrale Modelare si simulare

Revolutia calculatoarelor personale din anii 1980 si 1990 au fãcut ca procesarea numericã a semnalelor sã explodeze pur si simplu în aplicatii noi. Dincolo de ratiunile militare si necesitãtile guvernelor câtorva tãri avansate tehnologic, procesarea numericã a semnalelor a început a fi împinsã înainte de piatã. Oricine s-a gândit cã ar putea face bani într-un domeniu atât de dinamic a devenit un producãtor de tehnici de procesarea numericã a semnalelor pentru marele public: au apãrut telefoanele mobile, discurile compacte si cititoarele

2

specializate, posta electronicã vocalã si câte altele. Mai sus este dat un tabel care ilustreazã câteva din aceste multiple si variate aplicatii ale procesãrii numerice a semnalelor. Revolutia tehnologicã consecutivã dezvoltãrii procesãrii numerice a semnalelor s-a produs de la vârf spre bazã. În anii 1980, anii de început, procesarea numericã a semnalelor se preda la nivelul universitar în ultimii ani de specializare de la ingineria electricã si electronicã. Un deceniu mai târziu procesarea numericã a semnalelor a devenit o parte standard a programelor de pregãtire pentru anii incipienti. Azi, procesarea numericã a semnalelor este o parte a pregãtirii de bazã a inginerilor si a celor care se pregãtesc în stiinte foarte diverse. Se poate face o analogie între procesarea numericã a semnalelor si o altã ramurã, care s-a constituit ca premisã a unei revolutii precedente, si anume electronica. Desi electronica este încã un domeniu care apartine preponderent ingineriei electrice, aproape orice inginer sau licentiat în stiinte capãtã o dozã de cunostinte privind structura de bazã a circuitelor. Fãrã aceste cunostinte ei ar fi pierduti în si pentru lumea preponderent tehnologicã contemporanã. Procesarea numericã a semnalelor are un viitor similar.

3

4

SEMNALE Într-o definitie foarte generalã, semnalele sunt functii de timp care poartã uzual informatie. Multimea de definitie a acestor functii poate fi continuã sau discretã. Multimile de valori pot fi, de asemenea, continue sau discrete. Prin raportare la multimile de definitie si la multimile de valori rezultã, în consecintã, patru tipuri de semnale: • Semnale continue sau, cum se mai spune, definite pe un interval compact,

cu valori continue. Exemple sunt toate semnalele analogice prezente în foarte multe împrejurãri

• Semnale discrete, definite pe multimi de puncte izolate, cu valori continue, de exemplu secventele de esantioane ale semnalelor analogice

• Semnale discrete cu valori discrete, cum sunt secventele de esantioane ale unor semnale analogice dupã operatia de cuantificare care creazã premisa transmiterii lor în formã numericã

• Semnale continue cu valori discrete, de exemplu semnalele în scarã Semnalele sunt de tip determinist dacã valorile lor în orice moment (fixat) sunt certe. Semnalele pot fi aleatoare dacã valorile în fiecare moment sunt incerte si incertitudinea este descrisã eventual de legi de repartitie proprii variabilelor aleatoare. Semnalele din categoria din urmã se mai numesc adesea si zgomote. Semnalele în variatia lor pot avea si conotatii spatiale, cum se întâmplã, de pildã, în cazul semnalelor de imagine. La posibila variatie în timp a parametrilor de strãlucire, de culoare ai fiecãrui punct (numit pixel – un “punct” de dimensiuni finite) al imaginii captate sau reproduse se mai adaugã si pozitia datã de coordonatele spatiale ale punctului. Parcurgerea ordonatã în timp a mai multor puncte ale oricãrei imagini poate scufunda informatia spatialã în variatia temporalã a unui semnal unidimensional, exclusiv temporal. Existã o varietate foarte mare de semnale atât din categoria celor deterministe cât si din categoria celor aleatoare. De regulã, semnalele de tip determinist sunt amestecate cu semnalele de tip aleator. Pentru prelucrarea semnalelor este necesar un aparat matematic destul de rafinat, care este prezentat mai departe. Semnale de tip determinist periodice Semnale periodice sunt acele semnale pentru care

s(t) = s(t + T0) Rt ∈∀cu T0 o constantã numitã perioadã. Un semnal periodic se poate dezvolta în serie Fourier dacã îndeplineste pe orice interval finit, în particular pe un interval cât o perioadã [α, α + T0], conditiile lui

5

Dirichlet: a) mãrginire b) continuitate pretutindeni cu exceptia a cel mult un numãr finit de puncte c) existenta unei partitii finite a intervalului astfel încât pe fiecare subinterval semnalul sã fie monoton. Sunt utilizate trei variante ale seriei Fourier pentru un semnal periodic:

( ) ( ) ( cos sin )i s t a a n t b nn nn

= + +=

∞

∑00 0

12ω ω t

cu coeficientii calculati cu relatiile

∫+

=0

00

cos)(2 T

n tntsT

aα

α

ω (n = 0, 1, …), ∫+

=0

00

sin)(2 T

n tntsT

bα

α

ω (n = 1, 2, …)

cu α un numãr oarecare,

( ) ( ) cos( )ii s t A n tn nn

= +=

∞

∑ ω ϕ00

cu coeficientii A a bn n= +2

n n ncosϕ = −n2

n

si fazele ϕn acele arce care satisfac concomitent relatiile a A si b A si = n n sinϕ

( ) ( ) ( )iii s t C n e jn t

n

==−∞

+∞

∑ ω ω0

0

cu coeficientii , cu retinerea semnului în expresia ultimã dupã regula: plus pentru n < 0, minus pentru n > 0. Coeficientii C

2/)()( 0 nnn jbanCC ±== ωn se pot

calcula si direct cu relatia

CT

s t e dtnjn t

T

T

= −

−

+

∫1

02

20

0

0

( ) ω

În toate formele prezentate, pulsatia sau frecventa unghiularã ω0 este în relatia binecunoscutã cu perioada: ω0 = 2π/T0. Coeficientii Fourier se pot calcula pentru functii de timp periodice foarte diverse. Seria Fourier rezultatã este convergentã numai pentru acelea care îndeplinesc conditiile Dirichlet. În punctele în care functia este continuã seria converge cãtre valoarile functiei în acele puncte. În punctele de discontinuitate, care nu pot fi decât de tipul salt, seria Fourier converge cãtre media aritmeticã a limitelor la dreapta si la stânga ale functiei în punctele respective adicã la valoarea [s(t – 0) + s(t + 0)]/2. Functiile trigonometrice de perioadã T0, exponentialele de aceeasi perioadã sunt baze în spatiul functiilor s(t) periodice de perioadã T0. Prin dezvoltarea Fourier se urmãreste de fapt exprimarea unor semnale foarte variate în raport cu semnale mai simple, functiile sinus si cosinus care alcãtuiesc aceastã bazã. Se poate face o analogie între exprimarea multimii de vectori dintr-un spatiu cu mai multe (n) dimensiuni prin combinatii liniare ale celor n vectori ai unei baze. Functiile periodice de aceeasi perioadã T0 pot fi tratate ca vectori ai unui spatiu

6

cu o infinitate (numerabilã) de dinesiuni. Cu acesti vectori se pot face operatii de genul produsului scalar, numai cã produsul scala trebuie definit adecvat. Aici, de pildã, integrala

>=<∫+

−

)(),()()(121

2

2

210

0

0

tstsdttstsT

T

T

are toate proprietãtile unui produs scalar si genereazã o normã. Acest produs scalar si norma asociatã au trimiteri imediate la puterile semnalelor, la puterile de interactiune etc. Spatiul acesta este complet dacã aproape orice semnal periodic perioada T0 poate fi reprezentat prin una din formele de mai sus, în sensul cã pentru orice ε pozitiv, existã un N astfel încât, cu o normã • , cum este cea derivatã din produsul scalar, cea mai frecvent utilizatã, are loc implicatia

n N s t C k e jk t

k n

n

> ⇒ − <=−∑( ) ( )ω εω

00

Fenomenul Gibbs În apropierea punctelor de discontinuitate ale unui semnal are loc un fenomen special observat prima oarã de Gibbs. Un exemplu va lãmuri în mare mãsurã despre ce este vorba. Fie semnalul periodic de perioadã 2π

<≤−−≤≤

=01

01)(

tt

tfπ

π

Functia f(t) este imparã si, de aceea, în dezvoltarea Fourier coeficientii an sunt toti nuli. Calculul direct al celorlalti coeficienti conduce la

nb

n

n)1(12 −−

=π

pentru 1≥n

O sumã partialã a seriei Fourier asociatã semnalului f(t), sumã posibil a fi folositã în calcule ingineresti, aratã astfel:

−−

+++=− 12)12sin(...

33sinsin4)(12 n

tntttf n π

Aceastã sumã partialã converge cãtre f(t) în cvasitotalitatea punctelor. În punctul t0 = 0 si în apropierea lui convergenta meritã o atentie aparte. Graficul cvadruplu alãturat ilustreazã un fenomen pe care Gibbs l-a studiat îndeaproape. Este vorba de faldurile pe care le exhibã semnalul reconstituit ca sumã a unui numãr limitat de termeni ai seriei Fourier în apropierea punctelor de discontinuitate. Sume partiale cu numãr de termeni variat, 5, 10, 15 sau 20, prezintã falduri sensibil la fel de importante ca amplitudine. Calculul aratã cã prima derivatã a unei sume partiale

7

[ ]tntttf n )12cos(...3coscos4)(12 −+++=′ − π

dupã restrângerea sumei de functii cosinus se scrie

tnttf n sin

2sin2)(12 π=′ −

Derivata aceasta se anuleazã în punctele în care 2 . Punctul t = π/2n corespunde unuia dintre extremele cele mai apropiate de punctul de discontinuitate din origine. Functia reprezentatã de suma partialã are în punctul t = π/2n valoarea

πππ )12(...,,2, −±±±= nnt

−

−

+++=

− 122

)12(sin...

323sin

2sin4

212 nn

nn

nnf n

πππ

ππ

Comportarea asimptoticã a acestei sume când n creste foarte mult se sondeazã observând în ea o sumã Riemann pentru functia

xxxF sin)( =

pe o diviziune kπ/n, k = 1, 2, …, n a intervalului [0, π]. Într-adevãr, suma

8

−

−

++

nn

nn

n

nn

2)12(

2)12(sin

...

2

2sin

π

π

π

ππ

este suma Riemann a functiei F(x) si ea converge la . Sumele acestea

sunt egale cu sumele partiale în punctul t = π/2n multiplicate cu coeficientul π/2 asa încât

∫π

0

)( dxxF

∫=

∞→ −

π

ππ

012

sin22

lim dxx

xn

fn n

Rezultatul la douã zecimale exacte este 1,18. Asadar, faldul din apropierea originii este de cca. 0,18 fatã de amplitudinea unitarã a semnalului dezvoltat în serie Fourier. Tot Gibbs a arãtat cã faldul imediat vecin unei discontinuitãti în punctul t0 este de cca. 9% din mãrimea saltului, adicã 0,09|f(t0 – 0) – f(t0 + 0)|, cu scrierea obisnuitã a limitelor laterale. Efectul fenomenului Gibbs asupra calitãtii semnalelor poate fi deranjant. Cum se poate atenua acest efect este un subiect care va fi tratat într-o sectiune urmãtoare. Functii speciale de douã semnale periodice Functia de corelatie a douã semnale periodice de aceeasi perioadã T0 este este prin definitie

r T Ts t s t dt

Ts t s t dt

T

T

T

T

12 1 2

2

2

01 2

2

21 1

0

0

( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )τ τ= → ∞ + = +−

+

−

+

∫ ∫ τ

si este la rându-i o functie periodicã de aceeasi perioadã T0. Cu varianta a treia a exprimãrii Fourier se obtine

r C n eT

s t e dt

C n C n e P n e

jn

n

jn t

T

T

jn

n

jn

n

12 2 00

1

2

2

1 0 2 0 12 0

0 0

0

0

0 0

1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )*

τ ω

ω ω ω

ϖ τ ω

ϖ τ ϖ τ

= =

= =

=−∞

+∞

−

+

=−∞

+∞

=−∞

+∞

∑ ∫

∑ ∑

cu functia reprezentând spectrul de puteri de interactiune si cu marcajul * pentru luarea conjugatului unui numãr complex. Justificarea calificativului de interactiune porneste de la puterea sumei semnalelor s

P n C n C n12 0 1 0 2 0( ) ( ) (*ω ω= )ω

1(t) si s2(t + τ)

9

=++= ∫+

−

2

2

221

0

0

0

)]()([1T

T

dttstsT

P τ

=++++= ∫∫∫+

−

+

−

+

−

2

2

210

2

2

22

0

2

2

21

0

0

0

0

0

0

0

)()(2)(1)(1T

T

T

T

T

T

dttstsT

dttsT

dttsT

ττ

= + +P P r1 2 122 ( )τ În particular, r12(0) este puterea de interactiune a semnalelor. Dacã semnalele coincid, functia se numeste functie de autocorelatie si r11(0) = r(0) este chiar puterea semnalului. Functia de autocorelatie este o functie parã. Convolutia a douã functii periodice, prin definitie integrala

f tT

s s t dT

T

( ) ( ) ( )= −−

+

∫1

01 2

2

2

0

0

τ τ τ

este, de asemenea, o functie periodicã de perioada T0 comunã celor douã functii si are dezvoltarea Fourier

f t C n C n e jn t

n( ) ( ) ( )=

=−∞

+∞

∑ 1 0 2 00ω ω ω

Dacã convolutia se calculeazã cu semnalul teoretic delta periodic , numit si impulsul unitar periodic, semnal obtinut prin trecere la limitã ( ) în secventa rectangularã periodicã

)(0

tTδ→α 0

RtTtdtdTTt

ttd ∈∀+=

−−

−∈

−∈

= )()(,

2,

22,

20

2,

21

)( 000 αα

ααα

atunci

)()()(1)(2

20

0

0

0tsdts

Ttf

T

TT =−= ∫

+

−

ττδτ

Semnale de tip determinist aperiodice Semnalele aperiodice pot fi considerate semnale periodice pentru care perioada creste la infinit. Cresterea perioadei T0 face ca frecventa ω0 sã devinã din ce în ce mai micã, infinitesimalã, la fel si coeficientii Cn = C(nω0). În aceste conditii, relatia de calcul pentru coeficientii Cn, rescrisã convenabil sub forma

10

2 0

02

20

0

0

π ωω

ωC n s t e dtjn t

T

T

( ) ( )= −

−

+

∫

prin trecerea la limitã mentionatã produce

S s t e j t( ) ( )ω ω= −

−∞

+∞

∫ dt

care este o densitate spectralã care înlocuieste coeficientii Cn calculati în cazul semnalelor periodice. Relatia ultimã este cunoscutã ca relatia de transformare Fourier a semnalului. Semnalelor li se poate aplica o transformare Fourier dacã îndeplinesc conditiile Dirichlet pe orice interval finit. Existã si transformarea inversã, analogã seriilor Fourier pentru semnalele periodice

∫+∞

∞−

= ωωπ

ω deSts tj)(21)(

care reconstituie semnalul în domeniul timp, s(t) din exprimarea lui absolut echivalentã informational din domeniul frecventelor, S(ω). Densitatea spectralã S(ω) este o functie complexã de frecventa unghiularã ω

)()()()()( ωωωωω Θ=+= jeSjQPS Se pot separa, asadar, un modul si o fazã, o densitate (spectralã) de amplitudine |S(ω)| si o densitate de fazã Θ(ω). Din faptul cã s(t) este o functie realã rezultã cã S(– ω) = S*(ω), în alti termeni P(ω) este o functie parã si Q(ω) este o functie imparã de frecventã. Aceeasi propozitie este valabilã si pentru densitãtile de amplitudine si de fazã ale semnalului: |S(ω)| este o functie parã de frecventã, Θ(ω) este o functie imparã de frecventã. Transformarea Fourier este o transformare liniarã. În plus, transformata derivatei unui semnal se obtine prin multiplicarea transformatei semnalului cu factorul jω, întocmai cum transformata integralei semnalului se obtine prin divizare cu acelasi factor. Întârzierea unui semnal cu timpul τ se traduce prin multiplicarea transformatei Fourier cu e–jωτ, iar multiplicarea semnalului cu e–jΩt are ca efect o translatie cu –Ω a densitãtii spectrale, adicã S(ω) devine S(ω + Ω). Modificarea scãrii timpului are efectul dat de relatia . s at a S a( ) ( / ) ( / )⇔ 1 ωFunctia de corelatie a douã semnale aperiodice este

k s t s t12 1 2( ) ( ) ( )τ τ= +−∞

+∞

∫ dt

sau în raport cu semnalele dupã transformarea Fourier

k S S e d e ej j12 1 2 12

12

12

( ) ( ) ( ) ( )*τπ

ω ω ωπ

ω ωω τ ω τ= =−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ d

cu e12(ω) densitatea spectralã de energie de interactiune. Transformarea

11

e k e j12 12( ) ( )ω τ ω τ= −

−∞

+∞

∫ dτ

permite obtinerea densitãtii spectrale a energiei de interactiune din functia de corelatie. Functia de corelatie pentru cazul particular s1(t) = s2(t) = s(t) poartã numele de functie de autocorelatie si se noteazã simplu cu k(τ). Expresia integralã, în functie de densitatea spectralã este

ωωπ

τ τω deSk j∫+∞

∞−

= 2)(21)(

cu e S( ) ( )ω ω= 2 densitatea spectralã de energie a semnalului. Functia de autocorelatie este o functie parã, k(–τ) = k(τ), este maximã în origine, si pentru τ = 0 este exact energia totalã a semnalului k k( ) ( )0 ≥ τ

ωωπ

dedttsk )(21)()0( 2 ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

==

Teorema convolutiei pentru semnale aperiodice se scrie

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

=−= ωωωπ

τττ ω deSSdtsstf tj)()(21)()()( 2121

Similar, se defineste o convolutie în domeniul frecventelor

G S S d s t s t e j t( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωπ

ω ω= − =−∞

+∞−

−∞

+∞

∫ ∫1

2 1 2 1 2Ω Ω Ω dt

Convolutia cu functia impuls delta pune în evidentã o proprietate de filtrare, adicã

∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

=∆=− ωωπ

ωωωπ

ττδτ ωω deSdeSdts tjtj )(21)()(

21)()(

deoarece ∆(ω) = 1, constantã, si prin urmare

)()()( tsdts =−∫+∞

∞−

ττδτ

adicã valoarea semnalului în momentul când argumentul functiei impuls unitar se anuleazã. Proprietatea de filtrare se mentine si pentru domeniul frecventã, în integrala de convolutie cu semnale în domeniul frecventã. Relativ la integrala de convolutie si perechea ei Fourier prezentatã mai devreme se cuvine a face comentariul care urmeazã, cu importantã de ordin practic. Spectrul unui semnal reprezintã o sumã de componente de frecvente diferite, spectru discret dacã semnalul este periodic, spectru continuu dacã semnalul este aperiodic. Semnalele sunt trecute adesea prin diverse circuite si dacã circuitele sunt liniare semnalele apar la iesire transformate dupã regula: fiecare componentã de frecventa genericã ω este modificatã ca amplitudine si ca fazã. Datã fiind liniaritatea sitemului, nu existã motive sã aparã si alte frecvente diferite de ω. Modificãrile de amplitudine si de fazã sunt diferite pentru

12

frecvente diferite. Dacã se admite cã semnalul la intrare este X(ω), atunci componenta de frecventã ω a semnalului observat la iesire, Y(ω) trebuie sã fie obtinutã printr-o operatie de multiplicare cu un numãr complex H(ω).

Y(ω) = H(ω)X(ω) Numãrul complex H(ω) are un modul, responsabil de amplificarea (sau atenuarea) amplitudinii componentei de la intrare, si o fazã care schimbã faza acelei componente. Prin luarea în considerare a tuturor frecventelor se obtine H(ω) ca o functie de frecventã numitã functia de transfer a sistemului sau circuitului. De aici se poate scrie

∫∫∫

∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−=−==

==

ττττττωωωπ

ωωπ

ω

ω

dxthdtxhdeXH

deYty

tj

tj

)()()()()()(21

)(21)(

Functia h(t) este caracteristicã unui anumit sistem liniar si ar putea fi numitã functia de transfer a sistemului în domeniul timp. Cu luarea în considerare a proprietãtii de filtrare a functiei impuls unitar, convolutia urmãtoare

)()()( thdth =−∫∞

∞−

ττδτ

produce tocmai functia h(t) caracteristicã sistemului. Prin urmare h(t) este tocmai rãspunsul sistemului când la intrare se aplicã impulsul unitar δ(t). Se poate adãuga detaliul important cã sistemul este cauzal dacã rãspunsul h(t) nu anticipã intrarea, adicã nu anticipã impulsul δ(t) care este permanent nul exceptând momemtul t = 0. Asadar, sistemul este cauzal dacã h(t) = 0 pentru orice t < 0. Se mai spune cã sistemul, denumit uneori filtru este stabil dacã

integrala ∫∞

∞−

dtth )( este finitã, ceea ce asigurã stingerea în timp a rãspunsului la

impulsul unitar. Un sistem/filtru este fizic realizabil dacã este cauzal si stabil. Pentru domeniul frecventã existã o conditie echivalentã de realizabilitate fizicã,

datoratã lui Paley si Wiener, care afirmã cã dacã integrala ωω

ωd

H∫∞

∞− + 21)(log

este

finitã atunci H(ω) este functia de transfer a unui sistem fizic realizabil. O observatie se cuvine a fi retinutã: reprezentarea Fourier a semnalelor fie ele periodice sau aperiodice este în fapt o raportare a lor la un sistem de referintã alcãtuit din sinusoide, semnale mai simple. În ambele cazuri numãrul sinusoidelor reper este transfinit: numerabile pentru semnalele periodice, de puterea continuum-ului pentru cele aperiodice. Seria Fourier este în cazul semnalelor periodice o reprezentare în raport cu un reper ortogonal, chiar ortonormal dacã functiile si sin sunt multiplicate cu factorul tn 0cos ω tn 0ω

13

πω /0 . Transformarea Fourier a functiilor aperiodice este o reprezentare în raport cu multimea semnalelor de forma e–jωt, care, de asemenea, alcãtuiesc o bazã în spatiul semnalelor care îndeplinesc conditiile lui Dirichlet pe orice interval finit. Spatiul semnalelor tratat ca spatiu liniar are, desigur, si alte reprezentãri posibile. Una din aceste reprezentãri este datã de Teorema de esantionare Fie semnalul

s t s t tT*( ) ( ) ( )= δ

care este succesiunea esantioanelor semnalului s(t) obtinutã prin multiplicarea lui cu secventa periodicã de impulsuri unitare de perioadã T0

δ δ ωT

n

jn t

nt t nT

Te( ) ( )= − =

= −∞

+∞

=−∞

+∞

∑ ∑00

10

Fie acum convolutia semnalului s*(t) cu semnalul special

s t WtWt0

22

( ) sin=

ππ

cunoscut ca functia sinc de argument 2Wt numitã si functia esantion. Se pune conditia ca T0 = 1/2W. Prin translatii cu multipli ai perioadei T0 se obtin alte functii

Z∈

−

−

= n

WntW

WntW

tsn ,

22

22sin

)(π

π

care au proprietatea de ortogonalitate

≠

==∫∞

∞− lk

lkWdttsts lk

pentru0

pentru21

)()(

Se dovedeste cã

f t s W tW t

d s nW

W t nW

W t nW

Tn

( ) ( ) ( ) sin ( )( )

sin=

−−

=

−

−

−∞

∞

=−∞

+∞

∫ ∑τ δ τ π τπ τ

τπ

π

22 2

22

22

si în termeni de densitate spectralã

S s t W e e dt W s t e dtj Wnt

n

j t j Wn t

n

* ( )( ) ( ) ( )ω π ω ω π=

= =

=−∞

+∞

−∞

+∞− −

−∞

+∞

=−∞

+∞

∑∫ ∫∑2 24 4−

= −=−∞

+∞

∑2 4W S Wnn

( )ω π

14

Asadar, S*(ω) este o reuniune de spectre ale semnalului s(t) decalate cu multipli întregi ai frecventei 2W. Pentru semnalul special s0(t) se obtine densitatea spectralã

S WW

W0

12

2

0 2( )ω ω π

ω π=

≤

>

pentru

pentru

Functiile densitate spectralã pentru toate functiile esantion obtinute prin translatie în timp, , sunt mutual ortogonale Z∈nSn )(ω

≠

==∫∞

∞− lk

lkTdSS lk

pentru0

pentru2)()(

πωωω

Mai departe

f t S S e d W S WnW

e dj t

n

j t

W

W

( ) ( ) ( ) ( )*= = −−∞

+∞

=−∞

+∞

−

+

∫ ∑∫1

21

22 4 1

202

2

πω ω ω

πω π ωω ω

π

π

=

= −=−∞

+∞

−

+

∑∫1

24

2

2

πω πω

π

π

e S Wn dj t

nW

W

( ) ω

si dacã se admite cã cea mai înaltã frecventã din spectrul semnalului este inferioarã frecventei W/2 atunci S(ω – 4πWn) = 0 pentru (ω – 4πWn) > 2πW si

f t S e d s tj t

W

W

( ) ( ) ( )= =−

+

∫1

2 2

2

πω ωω

π

π

asadar

s t s nW

W t nW

W t nW

n( )

sin=

−

−

=−∞

+∞

∑ 2

22

22

π

π

relatie care este esenta teoremei esantionãrii datoratã lui Shannon. Ultima relatie este o relatie de interpolare în domeniul timp a semnalelor de bandã limitatã. Aceeasi relatie este o reprezentare a semnalelor de bandã limitatã într-o bazã specialã formatã din functiile esantion. Existã, de asemenea, o formulã de interpolare a semnalelor de duratã limitatã, în domeniul frecventelor

S sT

n

TT

n

TT

nn

( )sin

ω πω π

ω π=

−

−

=−∞

+∞

∑ 2 22

22

Functiile esantion pentru diferite momente n/2W

15

Z∈

−

−

= n

WntW

WntW

tsn ,

22

22sin

)(π

π

au proprietãtile urmãtoare: a) Densitãtile lor spectrale sunt

S We W

Wn

j nW

( )ω ω π

ω π

ω

= <

>

−12

2

2

2 pentru

0 pentru

b) Se anuleazã în toate punctele de esantionare exceptând punctul t = n/2W c) Sunt ortogonale, cum s-a arãtat deja putin mai devreme. Compensarea fenomenului Gibbs Fenomenul Gibbs se produce si în cazul semnalelor aperiodice. Compensarea lui, cel putin partialã, este uneori necesarã. Cum se poate face aceastã compensare se explicã în continuare cu referire la semnalul periodic discutat mai sus. Se introduce conceptul nou de aproximare σ. Dacã fN(t) este o aproximare printr-o sumã partialã a semnalului f(t) definit pe intervalul [–π, π] si de perioadã 2π

∑=

++=N

nnnN ntbntaatf

1

0 )sincos(2

)(

atunci, prin definitie, aproximarea σ este

∑=

++=N

nnnnnN ntbntaatS

1

0 )sincos(2

)( σσ

cu asa-numitii factori σ

Nn

Nn

Nn

n ...,,2,1,sin

==π

π

σ

în care se recunosc valori ale functiei sinc amintitã mai devreme. Iatã acum o demonstratie a faptului cã aproximarea σ este mai bunã decât aproximarea Fourier prin sumã partialã. Are loc relatia

∫−

+=N

NNN dxxtfNtS

/

/

)(2

)(π

ππ

Într-adevãr

16

ntn

Nn

ntNdxxtnNn

N

N

cossin2

cos2

)](cos[2

/

/

σ

π

ππ

π

π

==+∫−

si analog

ntdxxtnNn

N

N

sin)](sin[2

/

/

σπ

π

π

=+∫−

si apoi

∑∫=−

++=+N

nnnnn

N

NN ntbntaadxxtfN

1

0/

/

)sincos(2

)(2

σσπ

π

π

Functia SN(t) aproximeazã semnalul f(t) într-o manierã mult mai netedã, asa cum se vede în figura alãturatã pentru N = 10.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2COMPENSAREA FENOMENULUI GIBBS LA N=10

Este de observat o pierdere în panta semnalului aproximant. Interpolarea idealã de bandã limitatã Interpolarea idealã pentru date digitale este o interpolare de bandã limitatã, adicã esantioanele sunt interpolate în mod unic pornind de la acceptarea ipotezei cã spectrul energetic al semnalului este nul dacã frecventa este în relatia | f | > fs/2 cu fs frecventa esantioanelor.

17

Interpolarea idealã de bandã limitatã este interpolarea sinc:

∑∞

−∞=

−==n

ss nTthnTythyty )()())(*()(

cu

)sinc()( tfth ss = , x

xxπ

π )sin() =sinc(

si cu x = 2Wt – n, pentru a obtine exact formula de interpolare în domeniul timp pentru semnale de bandã limitatã datã mai sus. Verificarea acestei afirmatii este însãsi teorema esantionãrii a lui Shannon. Functia sinc aratã ca în figura alãturatã

Functia sinc este rãspunsul impulsional al unui filtru trece-jos ideal, ca în figurã, cu frecventa de tãiere egalã cu jumãtatea frecventei de esantionare.

Fiecare esantion în domeniul timp scaleazã prin multiplicare si amplaseazã prin translatie o functie sinc parte a interpolãrii de bandã limitatã a semnalului esantionat. Prin luarea convolutiei unui semnal esantionat y(tn) cu functia sinc[(tn – t0)/T] semnalul este evaluat la un timp oarecare t0 pe un domeniu continuu

18

∑∞

−∞=

−=n

s nTthnTyty )()()( 00

Reconstruirea de bandã limitatã a semnalului x(t) dat prin esantioanele sale […, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, …] aratã ca în figura urmãtoare

Este de observat cã functia sinc este definitã pe toatã axa timpului si este, asadar, noncauzalã dacã este privitã ca un filtru cu functia pondere hs(t) care transformã esantioanele y(nT) în semnalul y(t) în forma continuã. Interpolarea sinc cu fereastrã Cauzalitatea se poate obtine prin utilizarea unor functii fereastrã definite pe suport finit. Prin utilizarea multiplicativã a ferestrelor, interpolarea pierde din precizie dar devine realizabilã practic. O translatie a originii timpului face filtrul interpolator cauzal, deci realizabil. Operatia de ferestruire are expresia matematicã

[ ]

−≤≤∆−∆−=∆ restîn0

10pentru)(sinc)()(ˆ Nnnnw

nhα

ceea ce este echivalent cu metoda ferestrei în filtrarea trece-jos aplicatã functiei sinc esantionatã la faze diverse, care corespund întârzierii dorite pentru esantioane. Cele mai bune rezultate se obtin când ∆ cu N numãrul de esantioane cuprinse în fereastrã. Fereastra w(n) trebuie sã fie simetricã (de pildã, exemplele de mai jos). Ferestrele non-rectangulare au calitatea de a diminua efectele trunchierii si de a atenua fenomenul Gibbs, pliurile care însotesc operatia de interpolare. De pildã, o fereastrã rectangularã

2/N≈

Rectangular(x, τ) =

>≤

ττ

xx

01

anuleazã în totalitate valorile functiei esantion mai timpurii sau mai târzii cu τ sau mai mult fatã de momentul propriu esantionului. Fereastra rectangularã nu este totdeauna cea mai potrivitã alegere. Din cauza variatiei bruste la anularea

19

din capetele suportului sãu, ea introduce propriile ei efecte de capãt care pot fi importatnte. De aceea, de la caz la caz, sunt utilizate ferestre de forme variate. Câteva ferestre mai frecvent utilizate sunt date în Anexa 2 a acestor Note de curs. Desigur, o analizã comparativã a ferestrelor este plinã de interpretãri dar ea trebuie fãcutã, de regulã, în contextul problemei concrete de interpolare, în raport cu categoria de semnale prelucrate. Procese si semnale aleatoare O discutie temeinicã despre semnalele de tip aleator presupune rememorarea câtorva cunostinte de teoria probabilitãtilor si de statisticã matematicã. De aceea, se recomandã lectorului nefamiliarizat cu asemenea subiecte o incursiune la Anexa 1 a acestor Note de curs, intitulatã Complemente de teoria probabilitãtilor si de statisticã matematicã. Proces aleator este o functie de timp ξ(t) care la fiecate moment t se prezintã ca o variabilã aleatoare , apartinând asadar multimii variabilelor aleatoare definite pe un câmp de probabilitate ( .

),,( PKVX t Ω∈),, PKΩ

Un semnal aleator este un proces aleator. La un moment t fixat, valorile pe care le poate lua variabila aleatoare Xt se pot cuprinde în statistica obisnuitã a unei variabile aleatoare. Se poate defini o functie de repartitie, eventual o densitate de repartitie. În fiecare din aceste functii timpul apare ca parametru. Asadar, pentru un moment t1 se scrie

pentru functia de repartitie si pentru densitatea de repartitie, dacã existã, se scrie . F x t P t x1 1 1 1 1( , ) [ ( ) ]= ≤ξ

w x t F x t x1 1 1 1 1 1( , ) ( , ) /= ∂ ∂ 1

n

Dacã se iau în considerare mai multe momente de timp, atunci functia de repartitie se scrie întocmai ca în cazul variabilelor aleatoare vectoriale si depind de n parametri temporali

F x x t t P t x t xn n n n( ,... ; ,..., ) [ ( ) ,..., ( ) ]1 1 1 1= ≤ ≤ξ ξ si densitatea de probabilitate are forma

w x x t t F x x t tx xn n n

nn n

n

( ,... ; ,..., ) ( ,... ; ,..., )...1 1

1 1

1

=∂

∂ ∂n

dependentã, de asemenea, de n parametri temporali. Cu cât n este mai mare cu atât descrierea este mai exactã si mai completã. Tipurile de semnale aleatoare sunt în numãr de patru, dupã cum Xt este o variabilã aleatoare discretã sau continuã, dupã cum indicele temporal t ia valori într-o multime discretã sau continuã. Se combinã aici denumirile de serii si functii (procese), discrete sau continue. Pentru un moment fixat se pot evalua valori statistice. Pentru realizãri particulare ale semnalului, , se vorbeste de parametri temporali. ξ ( ) ( )k tValori statistice: a) media statisticã, momentul de ordinul unu (analog, momente de orice ordin)

20

ξ ( ) ( , )t x w x t d1 1 1 1 1=−∞

+∞

∫ x1

b) dispersia, momentul centrat de ordinul doi

σ ξ21 1 1

21 1 1 1( ) [ ( )] ( , )t x t w x t= −

−∞

+∞

∫ dx

c) functii de corelatie si de autocorelatie

B t t x y w x y t t dx dyξη ( , ) ( , ; , )1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2=−∞

+∞

−∞

+∞

∫∫

B t t x x w x x t t dx dxξξ ( , ) ( , ; , )1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2=−∞

+∞

−∞

+∞

∫∫

d) functia de covariatie si de autocovariatie, momente centrate mixte de ordinul doi

K t t x t y t w x y t t dx dyξη ξ η( , ) [ ( )][ ( )] ( , ; , )1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2= − −−∞

+∞

−∞

+∞

∫∫

K t t x t x t w x x t t dx dxξξ ξ ξ( , ) [ ( )][ ( )] ( , ; , )1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2= − −−∞

+∞

−∞

+∞

∫∫

Valori temporale: a) media temporalã

~( ) lim ( )( ) ( )

/

/

ξ ξk k

T

T

t T Tt t d= → ∞ +

−

+

∫1

02

2

t

b) valoarea pãtraticã medie temporalã ~

( ) lim [ ( )]( ) ( )

/

/

ξ ξ20

2

2

21k k

T

T

t T Tt t d= → ∞ +

−

+

∫ t

c) functia de corelatie mutualã si de autocorelatie în timp

R t t T Tt t t t dt R t tk k k

T

Tk

ξη ξηξ η( ) ( ) ( )

/

/( )( ) lim ( ) ( ) (1 2 1 2

2

2

2 11

− = → ∞ + + =−

+

∫ )−

R t t T Tt t t t dt R t tk k k

T

Tk

ξξ ξξξ ξ( ) ( ) ( )

/

/( )( ) lim ( ) ( ) (1 2 1 2

2

2

2 11

− = → ∞ + + =−

+

∫ )−

k

Semnale aleatoare a) semnal aleator pur

w x t x x t t w x tn n n n n n n( ; / ,..., ; ,..., ) ( , )1 1 1 1 1− − = de unde rezultã

w x x t t w x tn n n kk

n

( ,..., ; ,..., ) ( , )1 1 11

==

∏

21

b) proces Markov simplu w x t x x t t w x t x tn n n n n n n n n( ; / ,..., ; ,..., ) ( ; / ; )1 1 1 1 2 1− − −= 1−

n 1−

1−

de unde, recursiv

w x x t t w x x t t w x t x tn n n n n n n n n( ,..., ; ,..., ) ( ,..., ; ,..., ) ( ; / ; )1 1 1 1 1 1 1 2 1= − − − − si apoi

w x x t t w x t w x t x tn n n n k k k kk

n

( ,..., ; ,..., ) ( ; ) ( ; / ; )1 1 1 1 1 2 12

= − −=

∏

c) procese ergodice, procese stationare cu mediile statistice si temporale egale. Densitatea spectralã de putere se introduce lucrând mai întâi cu o restrictie pe suport finit a unei realizãri a semnalului aleator ξ ( ) ( )k t

>

≤=

2pentru0

2pentru)(

)()(

)(

Tt

Tttt

k

kT

ξξ

Puterea medie a semnalului trunchiat este

dttT

dttT

P kT

T

T

kkT ∫∫

+∞

∞−

+

−

== 2)(2/

2/

2)()( )]([1)]([1 ξξ

si dacã este transformata Fourier a semnalului trunchiat atunci )()( ωkTX

PT

t dt X e dX

TdT

k kT

k j t Tk

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

= =−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ∫1 1

21

2

2

ξπ

ω ωπ

ωωω

Integrandul are semnificatia unei densitãti spectrale de putere

qX

TTk T

k( )

( )

( )( )

ωω

=

2

O mediere pe toate realizãrile posibile duce la

q MX

T TM X XT

Tk

Tk

Tk( )

( )( ) ( )

( )( ) *( )ω

ωω ω=

= =

21

∫ ∫

∫ ∫+

−

+

−

−−

+

−

+

−

−−

=

=

=

2/

2/

2/

2/21

)(21

2/

2/

2/

2/21

)(2

)(1

)(

21

21

),(1

)()(1

T

T

T

T

ttjT

T

T

T

T

ttjkT

kT

dtdtettBT

dtdtettMT

ω

ωξξ

In cazul stationaritãtii în sens larg

qT

B t t e dt dtT Tj t t

T

T

T

T

( ) ( ) ( )

/

/

/

/

ω ω= − − −

−

+

−

+

∫∫1

1 2 1 22

2

2

21 2 =

= =−

−

+

−

+−

−

+

∫∫ ∫1

22

2

2

2

2

2

Tdt B e d B e dT

j

T

T

T

T

Tj

T

T

( ) ( )/

/

/

/

/

/

τ τ τ τω τ ω τ

22

Trecerea la limitã T produce → ∞

q B e j( ) ( )ω τ ω τ= −

−∞

+∞

∫ dτ

asadar densitatea spectralã de putere si functia de autocorelatie sunt pereche Fourier (conform teoremei Wiener-Hincin). Semnale gaussiene Semnalele gaussiene sunt semnale stationare în sens larg. Legea de repartitie momentanã este

w x ex a

121

2

2

2

( )( )

=−

−

πσσ

si pentru douã momente decalate cu τ

w x x ex a x a x a x a

2 1 2 2 2

22 11

2 1

12

1 2 22

2 2

( , ; )( )

( ) ( )( )( ) ( )[ ( )]τ

πσ ρ τ

ρ τσ ρ τ=

−

−− − − − + −

−

Dacã functia de corelatie ρ(τ) = 0 pentru orice decalaj si ρ(0) =1 atunci τ ≠ 0

w x x e ex a x a

2 1 22 21

21

2

12

22

2

2

( , ; )( ) ( )

τπσ πσ

σ σ=−

−−

−

ceea ce reprezintã independenta celor douã abateri de la media a. Spectrul de putere este p(ω) = N0, constant. Functia de corelatie

B N( ) ( )τ δ=12 0 τ

si în cazul acesta, o exceptie, stationaritatea în sens larg implicã stationaritatea în sens strict. Semnalele aleatoare ergodice au B(τ) = R(τ), adicã functia de autocovariatie si cea de autocorelatie sunt egale. Secvente aleatoare discrete Un model ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) pentru modelarea unei secvente aleatoare poate fi conceput ca o serie temporalã, iesire a unui sistem care are ca intrare zgomotul alb adicã un proces aleator cu autocorelatia nulã indiferent de intervalul de timp de decalare. Relatia de definitie a seriei temporale este

N tb B b B

B a B a Ba tq

q

dp

p( )...

( ) ( ... )( )=

+ + +− − − −

11 1

1

1

în care B este un operator de deplasare în timp, Bx(t) = x(t – 1) , o altã notatie pentru transformarea z–1, iar factorul de la numitor (1 – B)d are d rãdãcini pe cercul unitate ceea ce face ca sistemul sã poatã fi si nestationar dacã d > 0. Celelalte rãdãcini ale numitorului sunt mai mari în modul decât unitatea

23

deoarece, se presupune, sistemul este stabil. Sistemul de mai sus este de ordinul (p, d, q). Un model comun si un exemplu potrivit pentru discutia curentã este cel de ordinul (0, 1, 1)

N t bBB

a t( ) ( )=+−

11

cu a(t) o secventã de zgomot alb de medie nulã si de dispersie . Expresia oferã o posibilitate de predictie, de anticipare. Cu notatia

σ a2

)N t i t M N t it( / ) [ (+ = + )]

1

pentru media statisticã a valorilor posibile N(t + i) evaluatã la momentul t, succesiunea de ralatii

N t N t a t b B a t( ) ( ) ( ) ( )= − + +1 )N t t N t b a t( / ) ( ) ( )− = − + −1 1

)

N t N t t a t( ) ( / ) ( )− − =1 asigurã predictia cu un pas a valorii N(t). Detaliat, prima relatie din aceste ultime trei este rescrierea ecuatiei model al sistemului cu evolutie aleatoare, de ordinul (0, 1, 1). Ecuatia a doua reprezintã rezultatul operatiei de mediere la momentul t – 1, când valorile N(t – 1) si a(t – 1) sunt deja cunoscute. Scãderea primelor douã relatii conduce la a treia. Efectul cuantificãrii semnalelor Esantionarea unui semnal mesaj se face conform relatiei

∑∞

−∞=

−

−

=

k

wktw

wktw

wkmtm

22

22sin

2)(

π

π

cu regula cunoscutã de esantionare care tine seamã de spectrul semnalului. În urma cuantificãrii se transmite de fapt

∑∞

−∞=

−

−

=

kqq

wktw

wktw

wkmtm

22

22sin

2)(

π

π

care diferã de esantioanele adevãrate conform relatiei

qwkm

wkm kq Θ+

=

22

cu q marimea cuantei, cu Θk o variabilã aleatoare uniform repartizatã pe intervalul (–0.5, 0.5). Asadar existã o eroare de cuantizare care este ek = Θkq. Cu notatia

24

−

−

=

wktw

wktw

tsk

22

22sin

)(π

π

semnalul eroare se scrie

∑∞

−∞=

Θ=k

kk tsqte )()(

Puterea medie a zgomotului de cuantificare este

=ΘΘ= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞= jjj

kkk tstsqte )()()( 22

∑ ∑ ∫∞

−∞=

∞

−∞= −

ΘΘ∞→

=k j

T

Tjk dttsts

TT

q )()(21lim2

Dar functiile esantion sunt ortogonale, iar variabilele Θk , Θj sunt independente, de medie nulã si de dispersie usor de calculat. Asadar, energia semnalului eroare este

∑∑−=−=

Θ∞→

=Θ∞→

n

nkk

n

nkk nnwn

wn

q 222

21lim

21

22lim

ultimul fiind un moment centrat de ordinul a doilea egal cu 1/12. Asadar, în final

22

121)( qte =

25

26

TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETÃ Definitii si proprietãti Alegerea a douã secvente de numere complexe x(n) si X(k) periodice cu perioada N produce transformata Fourier discretã directã si inversã aflate în relatiile urmãtoare:

∑−

=

−=1

0

/2)(1)(N

n

NnkjenxN

kX π

∑−

=

=1

0

/2)()(N

k

NknjekXnx π

Transformarea are proprietatea de liniaritate. Secventa v(n) = αx(n) + βy(n), cu α si β scalari este pereche Fourier cu secventa V(k) = αX(k) + βY(k). O translatie a secventei x(n) induce o modificare de fazã pentru X(k)

NmkjN

n

Nnkjm ekXemnx

NkX /2

1

0

/2 )()(1)( ππ −−

=

− =−= ∑

asadar o rotatie de un unghi 2πmk/N. Existã o simetrie în exprimarea transformatei Fourier pentru secventa x(n) când aceasta este realã: numerele X(k) si X(N – k) sunt complex conjugate

)()(1)(1

0

/)(2 kXenxN

kNXN

n

NkNnj ==− ∑−

=

−− π

Dacã secventa x(n) este realã si parã, atunci si secventa X(k) este realã si parã. Pentru N = 2P + 1 rezultã

)()/2cos()(2)0(1)()(

)()()(

1kXNnknxx

NkNXkX

nNxnxnxP

n=

+=−=−⇒

⇒−=−=

∑=

π

Dacã secventa x(n) este realã si imparã atunci secventa X(k) este pur imaginarã. Iarãsi pentru N = 2P + 1 rezultã

)()/2sin()(21)()(

)()()(

1kXNnknxj

NkNXkX

nNxnxnxP

n−=

−=−=−⇒

⇒−=−=−

∑=

π

În cazul acesta x(0) = x(N) = 0 si X(0) = X(N) = 0. Orice semnal real poate fi descompus ca o sumã de douã semnale, unul par, altul impar ceea ce dã importantã acestei proprietãti.

27

Transformarea unui produs convolutiv conduce la produsul transformatelor Fourier. Dacã x(n) si h(n) sunt douã secevnte de aceeasi perioadã N, produsul de convolutie este prin definitie

∑−

=

−=1

0)()()(

N

mmnhmxny

si are aceeasi perioadã N. Transformarea este, conform definitiei

=

−= ∑ ∑

−

=

−−

=

1

0

/21

0)()(1)(

N

n

NnkjN

memnhmx

NkY π

)()()()(1 1

0

/)(21

0

/2 kHkXemnhemxN

N

n

NkmnjN

m

Nmkj =

−

= ∑∑

−

=

−−−

=

− ππ

Relatia lui Parseval care urmeazã

∑∑∑∑

∑ ∑∑∑−

=

−

=

−

=

−−

=

−

=

−

=

−−

=

−

=

===

===

1

0

21

0

1

0

/21

0

1

0

1

0

/21

0

21

0

)()()()(1)(

)()(1)(1)()(1

N

k

N

k

N

n

NknN

k

N

n

N

k

NknjN

n

N

n

kXkXkXenxN

kX

ekXnxN

nxN

nxnxN

π

π

spune cã puterea semnalului este suma puterilor componentelor. Transformarea Fourier discretã este de crucialã importantã în procesarea numericã a semnalelor. Transformarea Fourier rapidã Transformarea Fourier furnizeazã o relatie între douã multimi de numere complexe. Pentru o scriere matricialã convenabilã a transformãrii se noteazã

NnjeW /2 π−= ceea ce conduce la

=

−−−−−

−

−

− 1

2

1

0

)1)(1()1(21

)1(242

12

1

2

1

0

......1

..................1...1

1...111

1

...

NNNNN

N

N

N x

xxx

WWW

WWWWWW

N

X

XXX

Puterile lui W sunt toate de modul unitar si sunt rãdãcini de ordinul N ale unitãtii. Transformarea inversã în expresia ei matricialã se obtine prin renuntarea la coeficientul 1/N si prin schimbarea puterilor W n în W –n. Matricea din expresia de mai sus are o structurã specialã. Liniile si coloanele de acelasi indice sunt identice. Aceastã particularitate este utilizatã pentru accelerarea calculelor legate de transformarea Fourier numericã. Un caz special îl reprezintã secventele de perioadã N, când N este o putere a lui 2. Printr-o divizare a seceventelor x(n) sau X(k) în subsecvente intercalate, una cu indici pari, cealaltã cu indici impari, se scrie

28

+

=

−−−−−

−

−

− )12/(2

4

2

0

)12/)(12/(2)12/(4)12/(2

)12/(484

)12/(242

12/

2

1

0

......1

..................1...1

1...111

1

...

NNNNN

N

N

N x

xxx

WWW

WWWWWW

N

X

XXX

+

−−−−−−

−

−

1

5

3

1

)1)(12/()12/(5)12/(312/

)1(21062

153

......

.....................

1...111

1

NNNNNN

N

N

x

xxx

WWWW

WWWWWWWW

N

Cu notatia T pentru matricea care multiplicã vectorul componentelor de indice par ale secventei x(n), matricea cealaltã, care multiplicã vectorul componentelor de indice impar se poate factoriza conform relatiei de mai jos

2/N

+

=

−−

−− 1

5

3

1

2/

12/

2

)12/(2

4

2

0

2/

12/

2

1

0

......000

...............0...000...000...001

1

...

1

...

N

N

NN

N

N x

xxx

T

W

WW

N

x

xxx

TN

X

XXX

Analog, cu rememorarea relatiei W , restul componentelor X(k) se pot calcula cu relatia

1=N

−

=

−−

−−

+

+

1

5

3

1

2/

12/

2

)12/(2

4

2

0

2/

1

22/

12/

2/

......000

...............0...000...000...001

1

...

1

...

N

N

NN

N

N

N

N

N

x

xxx

T

W

WW

N

x

xxx

TN

X

XXX

Calculul celor douã jumãtãti ale vectorului X(k) este diferit numai prin schimbarea de semn a termenului secund din cele douã relatii. Asadar, calculul unei transformate Fourier de ordinul N se reduce la calculul a douã transformãri de ordinul la care se adaugã multiplicãri de numere complexe. Schema care urmeazã este ilustrativã pentru mersul calculelor.

2/N 2/N

Prin evaluãri pas cu pas, în numãr de , se ajunge la o transformare de ordinul 2 care are matricea

)2/(log1log 22 NN =−

−

=11

112T

29

La fiecare etapã sunt necesare multiplicãri de numere complexe asa încât transformarea completã necesitã ( multiplicãri si adunãri de numere complexe. Practic, numãrul de înmultiri poate fi încã redus date fiind propritãtile puterilor numerelor W. De exemplu W

2/NN )2/(log)2/ 2 N NN 2log

0 = 1, WN/4 = – j si )1)(2/1(8/ jW N −=

)2/([log2/ 2 NN

, asadar trei multiplicãri pot fi stocate în prima etapã a calculului, 3N/8 pot fi eliminate în penultimul pas si 2N/4 în ultimul pas. Câstigul pe totalitatea pasilor este 5N/4 – 3 si numãrul minim de multiplicãri este . Implementarea soft si/sau hard a acestor multiplicãri nu este totdeauna usoarã.

3+]2/5−

Matricea pentru transformarea de ordinul patru aratã astfel

−−−−

−−=

jj

jjT

111111

111111

4

Diagrama de calcul pentru aceastã situatie este datã imediat

O diagramã de acest gen se mai numeste, datoritã formei ei, diagramã fluture. Este o regulã generalã cã indicii pentru transformata X(k) sunt tratati în ordinea lor naturalã, iar cei ai secventei transformate în ordine permutatã. Permutarea este produsã de intercalãrile succesive si rezultatul ei coincide cu inversarea ordinii bitilor în reprezentarea binarã a indicilor secventei. Pentru N = 8, de pildã, schema este astfel

30

)111()111()110()011()101()101()100()001()011()110()010()010()001()100()000()000(

77

63

55

41

36

22

14

00

xxxxxxxxxxxxxxxx

←←←←←←←←

si schema graficã a calculului este datã în figura urmãtoare. Pe ramurile cu sãgeti sunt plasate ca ponderi puteri ale valorii complexe W definitã mai devreme. Metoda de calcul este întâlnitã în literaturã si sub numele întrucâtva impropriu de decimare în timp. Se observã cã memoria necesarã pentru calculul unei transformãri a unei secvente de lungime N este aceea pentru N numere complexe. Calculele sunt fãcute cu perechi de variabile conform fluturelui si rezultatele sunt pãstrate în pozitiile din schemã pânã la final. Este un calcul în locatie. Transformarea inversã se obtine simplu prin schimbarea de semn a exponentilor numãrului W. Existã analog si o decimare în frecventã. Schema de calcul cu fluturi este analogã, numai cã ordinea acestor intercalãri este inversatã. Intercalãrile din patru în patru vin în dreapta diagramei si cele simple în partea stângã.

Transformarea Fourier rapidã prin decimare în frecventã Vectorul elementelor X(k) poate fi separat în douã pãrti intercalate, una de indici pari cealaltã de indici impari. Pentru jumãtatea cu indici pari, cu considerarea relatiei WN = 1 se obtine

31

+

+++

=

−−

+

+

−−−−

−

−

− 112/

22/2

12/1

2/0

)12/)(12/(2)12/(4)12/(2

)12/(484

)12/(242

)12/(2

4

2

0

......1

..................1...1

1...111

1

...

NN

N

N

N

NNNN

N

N

N xx

xxxxxx

WWW

WWWWWW

N

X

XXX

Pentru cealaltã jumãtate, cu indicii impari, se obtine

=

−

−−−

=

−−

+

+

−−−−

−

−

−

− 112/

22/2

12/1

2/0

)12/)(1()1(21

)12/(5105

)12/(363

12/2

1

5

3

1

......1

..................1...1...1

1

...

NN

N

N

N

NNNN

N

N

N

N xx

xxxxxx

WWW

WWWWWWWWW

N

X

XXX

−

−−−

=

−−

+

+

−112/

22/2

12/1

2/0

2/

12/

2

......000

...............0...000...000...001

NN

N

N

N

N

N xx

xxxxxx

T

W

WW

cu notatia TN / 2 pentru matricea utilizatã în relatia pentru partea cu indici pari. Prin dezvoltarea descompunerii în continuare, pentru N = 8 se obtine schema de calcul de mai jos. Decimarea în frecventã conduce la acelasi volum de calcule ca si intercalarea în timp. Numerele x(n) apar în ordinea lor naturalã. Numerele X(k) sunt cele care apar de data aceasta permutate dupã regula inversãrii bitilor în exprimarea binarã a indicilor. Algortimul prezentat, ca si cel anterior se bazeazã pe descompunerea transformãrii în transformãri elementare de ordinul doi care nu necesitã multiplicãri mutuale. Acesti algoritmi sunt denumiti de rãdãcinã doi (radix-2). Alte transformãri elementare pot fi utilizate, de pildã aceea de rãdãcinã 4 (radix-4), care foloseste matricea elementarã T4, pentru N o putere a lui 4.

32

FILTRE CU RÃSPUNS IMPULSIONAL FINIT (FIR) Fie semnalul x(t) reprezentat prin esantioanele lui, x(nT) prelevate cu frecventa fc = 1/T. Dupã transformarea

2/])1[()()( TnxnTxnTy −+= spectrul de frecvente al semnalului se modificã. Multimea de esantioane rezultatã se poate obtine si prin esantionarea semnalului

2/)]()([)( Ttxtxty −+= Dacã X(f) si Y(f) sunt transformatele Fourier ale celor douã semnale atunci

)1)((21)( 2 fTjefXfY π−+=

Operatia corespunde functiei de transfer

)cos()1(21)(/)()( 2 fTeefXfYfH fTjfTj πππ −− =+==

Transformarea se numeste filtrare cosinus, pãstreazã componenta continuã si suprimã componentele de frecventã fc/2. Factorul exponential reprezintã o întârziere de în propagarea semnalului prin sistem. 2/T=τRãspunsul impulsional al sistemului este

[ ])()(21)( Tttth −+= δδ

O altã transformare 4/])2[(])1[(2)()( TnxTnxnTxnTy −+−+=

corespunde tratãrii semnalului prin functia de transfer

( ) )]2cos(1[214/21)( 2222 fTeeefH fTjTfjfTj ππππ +=++= −−−

Si de data aceasta componenta continuã este pãstratã si frecventa fc/2 este eliminatã. Este vorba de transformarea cosinus plus, care introduce o întârziere

si are în domeniul timp corespondenta T=τ

)2(41)(

21)(

41)( TtTttth −+−+= δδδ

Este vorba de un filtru trece-jos mai selectiv decât precedentul. Filtre încã mai selective se pot obtine prin includerea mai multor esantioane x(nT) în suma ponderatã prin care se calculeazã y(nT). Exemplele de mai sus sunt ilustrative pentru filtrele FIR în general. Se disting câteva proprietãti ale acestor filtre

(1) Intrãrile si iesirile filtrelor FIR sunt legate prin relatii de forma

33

∑−

=

−=1

0)()(

N

ii inxany

Definite astfel filtrele contin N coeficienti. Privit ca un sistem discret, rãspunsul filtrului la intrare impulsionalã este

−≤≤

=restîn0

10pentru)(

Niaih i

Asadar, rãspunsul impulsional este simplu determinat de multimea coeficientilor.

(2) Functia de transfer a filtrului este

∑−

=

−=1

0

2)(N

i

fiTjieafH π

sau, exprimat în operatorul z

∑−

=

−=1

0)(

N

i

ii zazH

(3) Functia de rãspuns a filtrului H(f) este periodicã cu perioada fc = 1/T. Coeficientii Fourier ai functiei de rãspuns sunt exact coeficientii

. )1,...,1,0( −= Niai

Relatia Bessel-Parseval se scrie în cazul filtrelor FIR astfel

∫∑ =−

=

cf

c

N

ii dffH

fa

0

21

0

2 )(1

Dacã coeficientii sunt simetrici, functia de transfer poate fi scrisã ca produsul a doi factori, unul o functie realã, celãlalt un numãr complex de modul unitar care exprimã întârzierea în propagare τ, multiplu întreg al semiperioadei de esantionare. Un astfel de filtru se zice cã este cu fazã liniarã. Filtre cu fazã liniarã si functiile lor de transfer Un filtru numeric care proceseazã esantioanele (numere) ale unui semnal prelevate cu perioada T are un rãspuns în frecventã periodic de perioadã fc = 1/T. În consecintã functia de transfer se poate dezvolta Fourier

∑∞

−∞=

=n

fnTjnefH πα 2)(

cu coeficientii

∫ −=cf

fnTj

cn dfefH

f 0

2)(1 πα

care sunt, dincolo de un factor constant, esantioanele luate cu perioada T din transformata Fourier a functiei H(f) peste un interval de lãrgime fc. Conform conditiei de stabilitate

∞<∑n

nh )(

34

coeficientii trebuie sã tindã cãtre zero pe mãsurã ce indicele lor tinde la infinit. Asadar, functia de transfer poate fi si trebuie sã fie reprezentatã printr-o aproximare finitã

)()( 2 fHefH L

Q

Pn

fnTjn =≈ ∑

−=

πα

cu P si Q numere întregi finite. Aproximarea este cu atât mai bunã cu cât numãrul de termeni este mai mare. Proprietatea de cauzalitate face necesar ca h(n) sã fir nulã pentru n < 0. Prin urmare trebuie ca numãrul Q sã fie nul si aproximarea se scrie sub forma

∑=

−=P

n

fnTjnL eafH

0

2)( π

care este functia de transfer a unui filtru FIR. Este foarte important faptul cã variatia fazei este liniarã. Proprietatea este utilizatã în transmisia de date si în analiza spectralã. Pentru filtrele din clasa în discutie simetria coeficientilor reduce complexitatea calculelor prin reducerea numãrului de multiplicãri la jumãtate. Prin definitie, un filtru cu fazã liniarã are functia de transfer de forma

)()()( fjefRfH Φ−= cu R(f) o functie realã si cu Φ(f) o functie liniarã în frecventã Φ(f) = Φ0 + 2πfτ cu τ o constantã care reprezintã întârzierea trecerii prin filtru. Rãspunsul impulsional al acestui filtru este

∫∞

∞−

−Φ−= dfefReth tfjj )(2)()( 0 τπ

Cu Φ0 = 0 si cu descompunerea functiei reale R(f) ca sumã a unei pãrti pare P(f) si a unei pãrti impare I(f), relatia capãtã aspectul

∫∫∞∞

+=+00

2sin)(22cos)(2)( dfftfIjdfftfPth ππτ

Dacã se impune ca functia h(t) sã fie realã atunci se obtine

∫∞

=+0

2cos)(2)( dfftfPth πτ

Relatia aratã cã impulsul este simetric fatã de punctul t = τ de pe axa timpului. O conditie de acest gen este satisfãcutã de un filtru cu coeficienti reali si simetrici. Douã configuratii sunt posibile, dupã cum numãrul de coeficienti N este par sau impar.

(1) Cazul impar, N = 2P + 1 introduce un timp de propagare τ = PT. Functia de transfer este

+= ∑

=

−P

ii

fPTj fiThhefH1

02 2cos2)( ππ

(2) Cazul par, N = 2P are o întârziere în transmitere τ = (P – 0.5)T si functia de transfer

35

∑=

−− −=P

ii

TPfj TifhefH1

)5.0(2 )5.0(2cos2)( ππ

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Coeficientii filtrului hi alcãtuiesc rãspunsul filtrului la impulsul unitar. Ei pot fi interpretati si ca esantioane cu perioada T ale rãspunsului impulsional continuu h(t) al filtrului care are acelasi rãspuns în frecventã ca filtrul numeric în intervalul (-T/2, T/2) care nu are însã periodicitate pe axa frecventelor. Figurile alãturate ilustreazã cele douã cazuri, N impar si par.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

Existã si filtre care corespund pãrtii impare si numai acesteia dacã se admite cã partea parã este identic nulã. Deoarece functia h(t) este realã functia de transfer trebuie sã fie

)()()( 2)2/(2 fIeefIjefH fjjfj τππτπ −−− =−=

36

O defazare fixã de π/2 apare aditiv pe lângã defazarea proportionalã proprie filtrului. Acesta este un element important pentru unele sisteme cu modulatie. Rãspunsul este nul pentru la t = τ pe axa timpului si este antisimetric în orice vecinãtate a acestui punct. Expresiile si graficele pentru N impar si par sunt prezentate în continuare.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(1) N = 2P + 1 aduce o întârziere în transmitere τ = PT si

∑=

−−=P

ii

fj fiThjefH1

2 2sin2)( πτπ

(2) N = 2P face τ = (P – 0.5)T si

∑=

− −−=P

ii

fj TifhjefH1

2 )5.0(2sin2)( πτπ

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

37

Deoarece h0 = 0 ambele functii au aceeasi formã numai faza initialã este 0 sau π/2 si nu este greu de observat cã alte faze initiale nu pot fi obtinute decât cu filtre cu coeficienti complecsi. Calculul coeficientilor prin dezvoltãri Fourier în conditiile specificãrii în frecventã Coeficientii hi trebuie sã fie determinati în asa mod încât filtrul sã satisfacã anumite conditii. Aceste conditii se pot referi la domeniul timp ceea ce se va discuta mai încolo. Se pot referi însã la domeniul frecventelor ceea ce se discutã aici. Pentru un filtru trece-jos, de pildã, valoarea absolutã a functiei de transfer trebuie uneori sã satisfacã egalitatea cu unitatea cu o tolerantã δ1 pe segmentul axei frecventelor delimitat de frecventa f1 denumit si bandã de trecere, si valoarea zero cu o tolerantã δ2 în zona (f2 , fs/2) denumitã si bandã de oprire sau de rejectie. O figurã simplã ca aceea de mai jos aratã aceste conditii. Domeniul (f1, f2) este banda de tranzitie în care curba modulului functiei de transfer este mai mult sau mai putin abruptã cu mãsura datã de cantitatea

)(2 12

21

ffffR

−+

=

O posibilitate foarte la îndemânã pentru a obtine coeficientii hi constã în a dezvolta Fourier functia H(f) si a retine un numãr finit de termeni

∫ −=c

c

ffifj

ci dfefH

fh

0

/2)(1 π

În cazul conditiilor din figura de mai jos se obtine

]/)[(]/)[(sin

21

2121

s

s

si fffi

fffif

ffh+

++=

ππ

Existã o variantã optimizatã dar nu esential diferitã de aceasta.

Amplitudine

f f1 f2

1 + δ1

1 - δ1

δ2

38

Pentru ca filtrul sã fie realizabil este necesar a limita dezvoltarea Fourier la N termeni. Aceasta echivaleazã cu a multiplica rãspunsul impulsional h(t) cu o fereastrã

≤

=momentealtela0

2/pentru1)(

NTttg

Transformata Fourier a acestei ferestre este

fNTfNTNTfG

ππ )sin()( =

Filtrul real rezultat prin limitarea numãrului de termeni în dezvoltarea Fourier este reprezentat de functia de transfer

∫∞

∞−

−= fdffGfHfH R )()()(

Prin limitarea numãrului de termeni sunt introduse falduri (ripples), iar zona de tranzitie de la banda trece la banda opreste nu este bruscã ci este gradualã. Ondulatiile, faldurile caracteristicii de trecere/oprire sunt datorate ferestrei utilizate. Fereastra rectangularã nu este cea mai potrivitã sub aspectul faldurilor. Existã alte ferestre mai bune, de pildã fereastra Hamming definitã ca

>≤+

=2/dacã02/dacã)/2cos(46.054.0

)(NTtNTtNTt

tgπ

Consecinta reducerii ondulatiilor în banda de trecere si în banda de oprire este cresterea lãtimii benzii de tranzitie. Functia care exhibã cele mai reduse falduri pentru o lãtime datã a lobului principal este functia Dolf-Cebîsev

≤<−<≤

−≤≤=

−

−

−

−

11sau0pentru)](coshcosh[

)]cos(coshcosh[

1pentru)](coshcosh[

)]cos(coscos[

)(00

010

1

000

10

1

xxxxZK

xZK

xxxZK

xZK

xGπ

π

cu , cu K un numãr întreg si cu Z)/1(cos)/1( 01

0 Zx −= π 0 un parametru. Functia are mai multi lobi, unul principal de lãrgime

)/1(cos)/2(2 01

0 ZxB −== π si mai multi lobi secundari de amplitudune constantã

)](cosh/cosh[1 01 ZKA −=

Functia este periodicã si transformata Fourier inversã este un set discret de K + 1 valori nenule utilizabile pentru dezvoltarea Fourier a functiei filtrului care urmeazã a fi aproximat. Un exemplu: un filtru trece-jos cu o frecventã de esantionare fs = 1 si o frecventã de tãiere fc = 0.25, cu banda de tranzitie ∆f = 0.115 si cu N = 17 coeficienti. Parametrii din functia Dolf-Chebîsev sunt K = 16 si Z0 din

fZx ∆≈= − )/1(cos)/2(2 01

0 π

39

Faldurile au conform relatiei de mai sus amplitudinea . Transformata Fourier inversã a functiei

Dolf-Chebîsev – se face abstractie de un factor de scalare – produce 17 valori discrete nenule. Acestea sunt ponderi pentru coeficientii rãspunsului impulsional h(t) al filtrului trece-jos ideal. Rezultatele sunt sintetizate în tabelul urmãtor cu coeficientii filtrului în coloana ultimã.

1.0)](cosh16/cosh[1 01 == − ZA

i hi gi ai 0 0.5 1 0.5 1 0.318 0.987 0.3141 2 0 0.948 0 3 -0.106 0.887 -0.0941 4 0 0.806 0 5 0.064 0.710 0.0451 6 0 0.604 0 7 -0.045 0.494 -0.0224 8 0 0.904 0

Metoda de proiectare a filtrelor prin dezvoltarea Fourier include douã restrictii importante:

(1) Faldurile din banda de trecere si din zona de oprire sunt egale (2) Amplitudinile acestor falduri nu sunt constante

În consecintã, filtrele proiecate nu sunt suficient de adaptate la caracteristica cerutã si numãrul de coeficienti este uzual mai mare decât cel strict necesar ceea ce complicã inutil implemetarea hardware. Prima dintre limitãri poate fi eliminatã prin metoda celor mai mici pãtrate care conservã simplitatea calculelor. Mai mult, metoda se potriveste cerintelor celor mai comune. Coeficientii filtrelor numerice prin metoda celor mai mici pãtrate Fie hi cei N coeficienti ai unui filtru FIR de calculat prin metoda abia enuntatã. Transformarea Fourier discretã aplicatã multimii de coeficienti

produce setul H)10( −≤≤ Nihi k

∑−

=

−=1

0

)/(21 N

i

Nikjik eh

NH π

care este o secventã de esantioane ale rãspunsului în frecventã al filtrului cu o perioadã fs/N. Invers, coeficientii hi sunt în relatia

∑−

=

=1

0

)/(2N

k

Nikjki eHh π

cu coeficientii Hk. Asadar, problema calculãrii coeficientilor este echivalentã cu determinarea rãspunsului filtrului în N puncte din intervalul (0, fs). Functia H(f) se obtine prin interpolarea cu formula de convolutie

40

∑−

= −−

=1

0 )]/()/[(sin)]/()/[(sin

)(N

k s

sk NkffN

NkffNHfH

ππ

între secventa de coeficienti si fereastra rectangularã (a se vdea nota de la finalul sectiunii). Expresia ultimã reprezintã o altã dezvoltare (în serie) a functiei H(f) limitatã la un numãr finit de termeni. Datã fiind o functie de aproximat D(f) o primã posibilitate este a alege

= sk f

NkDH pentru 0 1−≤≤ Nk

Functia de transfer prezintã denivelãri în zona de trecere si în zona de oprire ca la orice functie de interpolare H(f). Diferenta e(f) = H(f) - D(f) poate fi minimizatã prin metoda celor mai mici pãtrate, prin pãtratul normei E din spatiul functiilor de pãtrat sumabil L2. Pentru aceasta rãspunsul H(f) este esantionat cu un pas de frecventã ∆ inferior raportului fs/N într-o manierã care produce valori intermediare, de pildã

NLf s=∆

cu L un întreg mai mare ca 1. Functia de eroare e(f) se calculeazã la frecvente multipli de ∆. În general, evaluarea erorii pãtratice E se face numai pe o parte a intervalului (0, fs/2). Pentru un filtru trece-jos aceastã parte poate fi banda de trecere, banda de oprire sau reuniunea acestora. Pentru demonstrarea principiului de calcul se admite cã minimizarea se referã la banda de trecere (0, f1). Atunci

∑−

=

=

1

0

20N

n

s

NLf

neE cu 110

1 +≤< NLffNNL

ff

ss

Dacã se practicã si o ponderare a erorilor atunci

( )∑∑−

=

−

=

=

=

1

0

220

1

0

220

00

)()(N

n

N

n

s nenPNLfnenPE

Eroarea pãtraticã E este o functie de setul de valori Hk cu 0 si se exprimã ca E(H). La o crestere ∆H se obtine

1−≤≤ Nk

∑∑∑−

=

−

=

−

=

∆∆∂∂

∂+∆

∂∂

+=∆+1

0

1

0

21

0 21)()(

N

k

N

llk

lk

N

kk

k

HHHH

EHHEHEHHE

Din relatia de definitie a functiei E si din relatia de interpolare se deduc

( )∑−

= ∂∂

=∂∂ 1

0

20

0 )()(2N

n kk HnenenP

HE

( )∑−

= ∂∂

∂∂

=∂∂

∂ 1

0

20

2 0 )()(2N

n lklk Hne

HnenP

HHE

care se pot scrie uzând de o matrice cu N linii si N0 coloane

41

=

−−−−

−

−

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

0

0

0

...............

...

...

NNNN

N

N

aaa

aaaaaa

A cu i

ij Hje

∂∂

=)(a

Dacã ponderile se scriu ca o matrice diagonalã P0 de ordin N0 atunci vectorul derivatelor se obtine din cel al erorilor cu relatia

[ ])(2 20 neAP

HE

k

=

∂∂

Derivatele de ordinul al doilea se obtin ca T

lk

AAPHH

E 20

2

2=∂∂

∂

s.a.m.d. pentru un minim al functiei E. În sumar:

1. Se esantioneazã functia de aproximat în N puncte 2. În banda de fercvente unde eroarea trebuie minimizatã se interpun N0

puncte pentru a obtine numerele e(n), diferentele dintre functia aproximantã si functia de aproximat

3. Se stabilesc N0 ponderi P0(n), un gen de constrângeri suplimetare pentru coeficienti

4. Se calculeazã matricea A 5. Se rezolvã ecuatia matricialã care dã minimul 6. Se face transformarea Fourier inversã pentru a obtine din coeficientii Hk

coeficientii filtrului hi. Calcularea coeficientilor unui filtru cu fazã liniarã prin iterare Obiectivul este un filtru cu rãspunsul în frecventã afectat de denivelãri de amplitudine constantã. De pildã pliurile sã fie de amplitudinea δ1 în banda de trecere, de amplitudinea δ2 în banda de oprire. Polinoamele Cebîsev si o normã

sunt utilizate pentru atingerea acestor obiective. ∞LÎnceputul este expresia

∑−

=

=1

02cos)(

r

iiR fiThfH π

ai cãrei coeficienti în numãr de N = 2r – 1 trebuie calculati. Metoda se extinde la N par sau impar, la coeficienti simetrici sau antisimetrici. Pentru aceasta se enuntã Teorema. O conditie necesarã si suficientã ca HR(f) sã fie unicã si, în sensul Cebîsev, cea mai bunã aproximare a unei functii D(f) pe un domeniu compact A continut în [0, 1/2] este ca functia de eroare e(f) = HR(f) – D(f) sã aibã cel putin r + 1 extreme pe A. Asadar, trebuie sã existe r + 1 frecvente (f0, f1, …, fr) pentru care functia eroare ia valori egale în modul si extremale pe A. Afirmatia rãmâne

42

valabilã si dacã se specificã ponderi diferite P0(f). Problema este asadar de a calcula solutia sistemului de r + 1 ecuatii

δiiRii fHfDfP )1()]()()[(0 −=−

în necunoscutele hi coeficientii filtrului si δ eroarea extremã. În formã matricialã cu frecventele normalizate în asa mod încât fs = 1/T se obtine

−−

−−

−

=

−

δππ

ππ

ππ

1

1

0

0

1011

0000

1

0

...

)()1()1(2cos...2cos1

...............)(

1)1(2cos...2cos1

)(1)1(2cos...2cos1

)(...

)()(

r

r

r

rrr

h

hh

fPrff

fPrff

fPrff

fD

fDfD

Pentru rezolvarea sistemului la fiecare iteratie se presupun cunoscute frecventele unde au loc extremele. Algoritmul Remez permite stabilirea pas cu pas a acestor frecvente. Algoritmul Remez

1. Se atribuie valori initiale fi (i = 0, 1, …, r) 2. Se evalueazã valoarea δ prin sistemul de ecuatii de mai sus; rezultã

)(/)1(...)(/)(/)(...)()(

0101000

1100

rrr

rr

fPafPafPafDafDafDa

−++−+++

=δ

cu

∏≠= −

=r

kii ik

k ffa

0 2cos2cos1

ππ

3. Se stabilesc prin HR(f) eroarea e(f) si prin interpolare (Lagrange) valori fi (i = 0, 1, …, r) noi care se folosesc în iteratia urmãtoare pânã când criteriul δ este satisfãcut.

Convergenta este destul de rapidã. Filtrele numerice de tipul FIR – cu duratã finitã a rãspunsului impulsional – au avantaje si dezavantaje în comparatie cu filtrele de tipul IIR – cu duratã infinitã a rãspunsului la impuls – aduse în discutie într-o sectiune urmãtoare a lucrãrii prezente: Avantaje: • Filtrele FIR au faze riguros liniare • Ele sunt totdeauna stabile • Metodele de proiectare sunt uzual liniare • Realizarea hard este eficientã • Regimul tranzitoriu la pornire are duratã finitã

43

Dezavantajul principal al filtrelor FIR îl reprezintã ordinele relativ mari fatã de cele ale filtrelor IIR pentru o anumitã filtrare si, corespunzãtor, introducerea unor întârzieri mai mari. NOTÃ: Functia de filtrare a transformãrii Fourier discrete (DFT) Pentru k = 0

∑−

=

=1

0)(1)0(

N

nnx

NX

ceea ce rezultã din convolutia dintre semnalul x(t) si distributia

∑−

=

−=1

00 )(1)(

N

nnTt

Nt δφ

Transformata Fourier a distributiei este

)sin()sin(1)(

1111)(

)1()1(

2

/21

0

/20

fTfNT

Nefe

ee

Ne

Nf

TNfjTNfj

fTj

NTfjN

n

Tnfj

ππππ

π

ππ

−−−−

−

−−

=

−

=Φ=

=−

−==Φ ∑

44

FILTRE CU RÃSPUNS IMPULSIONAL INFINIT (IIR) Filtrele cu rãspuns impulsional infinit (IIR) sunt sisteme discrete liniare care sunt guvernate de o ecuatie de convolutie cu numãr infinit de termeni. În principiu sunt sisteme cu memorie infinitã. Memoria constã în reintroducerea iesirilor ca intrãri. De aceea se mai numesc si filtre recursive. Fiecare element de la iesire este calculat prin însumarea ponderatã a unui numãr de intrãri si a unui numãr de iesiri. În general, filtrele IIR sunt capabile de un plus de selectivitate fatã de filtrele FIR de aceeasi complexitate. Dar partea de feedback complicã studiul proprietãtilor, la fel si proiectarea filtrelor IIR. Pentru început discutia este restrânsã la sisteme simple de ordinul 1 si 2. Dupã cum se va arãta mai departe, sitemele de ordin mai mare sunt decompozabile în (sub)sisteme de ordinele 1 si 2 si studiul lor poate fi abordat si pe aceastã cale a descompunerii. Sisteme de ordinul întâi Filtrul care calculeazã iesirile cu relatia

)1()()( −+= nbynxny cu b constant este un sistem de ordinul întâi. Rãspunsul la impulsul unitar

≠=

=0pentru00pentru1

)(0 nn

nu

este infinit

≥<

=0pentru

0pentru0)(0 nb

nny n

Conditia de stabilitate se scrie

∑∞

=

∞<0n

nb

ceea ce este posibil dacã b este în modul subunitar. Rãspunsul la secventa

≥<

=0pentru10pentru0

)(nn

nx

este

≥−

−<

= +

0pentru1

10pentru0

)( 1

nb

bn

ny n

45

si tinde cãtre 1/(1 - b) dacã n creste nelimitat. Prin analogie, un sistem continuu cu constanta de timp τ, esantionat cu peroada T si cu rãspunsul

)1)(/(0 1)( +−−= nTeny τ

conduce la constanta de timp a sistemului numeric de primul ordin, care pentru b > 0 rezultã din relatia

be T =− τ/ Pentru b apropiat de unitate . )1/( bT −≈τDacã secventa x(n) rezultã din esantionarea cu perioadã T =1 a semnalului

tjftj eetx ωπ == 2)( atunci

ω

ω

ω

ω

j

jn

j

jn

beeb

beeny −

−+

− −−

−=

11)(

1

Expresia obtinutã se prezintã ca o sumã de termeni, unul stationar, altul tranzitoriu, care corespund rãspunsului în frecventã al filtrului

ωω jbeH −−

=1

1)(

Modulul si faza acestei functii de transfer sunt

2

2

cos211)(

bbH

+−=

ωω

ωωω

cos1sinarctan)(b

b−

−=Φ

Faza mai poate fi scrisã si sub forma

b−−=Φ

ωωωω

cossinarctan)(

si întârzierea de grup

2

2

cos21cos)(

bbbb

dd

g +−−

=Φ

=ω

ωω

ωτ

Se observã cã pentru frecvente foarte mici

−

+−=

22

2

2

)1(1)1(

1)(ω

ω

bbb

H

expresie care aproximeazã rãspunsul unui circuit RC

222

2

11)(

ωω

CRH RC +

=

Apare destul de clar cã pentru frecvente foarte mici în comparatie cu frecventa de esantionare circuitul în discutie are un rãspuns analog celui al unei retele simple RC. Functia de transfer se poate obtine si cu transformarea z. Cu X(z) si Y(z) intrarea si iesirea transformate se poate scrie

46

)()()( 1 zYbzzXzY −+= si apoi

bzz

bzzH

−=

−= −11

1)(

Rãspunsul în frecventã se obtine prin înlocuirea variabilei z cu ejω în functia de transfer H(z) de mai sus. O interpretare graficã este datã în figura care urmeazã în care se observã polul unic P de coordonate (b, 0) si punctul M de pe cercul unitar z = ejω din planul complex. Modulul functiei de transfer este cât valoarea reciprocã a segmentului MP si în expresia fazei intervine unghiul exterior triunghiului 0MP notat cu α

ωα −=Φ Conditia de stabilitate cre ca polul unic P sã se afle în interiorul cercului unitar. Transformarea Z unilateralã genereazã rãspunsul tranzitoriu si introduce conditia initialã.

∑∑∑∞

=

−∞

=

−∞

=

− −+=000

)1()()(n

n

n

n

n

n znybznxzny

)()1()()( 1 zYbzbyzXzY −+−+= asadar

11 1)1(

1)()( −− −

−+

−=

bzby

bzzXzY

Dacã se ia un contur de integrare circular de razã supraunitarã atunci din teoria reziduurilor rezultã

11

)1(11

)( +−

−+

− −+−

−−

= nj

jn

j

jn

bybeeb

beeny ω

ω

ω

ω

expresie care se poate obtine si din dezvoltarea în serie a rãspunsului Y(Z). Expresia ultimã contine iesirea stationarã, cea tranzitorie dar si efectul conditiei initiale. Ultimii doi termeni dispar treptat ceea ce confirmã stabilitatea sistemului. Faptul cã sistemul de primul ordin are un singur pol si acela real (deoarece coeficientii filtrului trebuie sã fie reali) îi restrânge posibilitãtile.

47

Sisteme de ordinul al doilea pur recursive Sistemele de ordinul al doilea sunt similare celui care produce iesirea dupã regula de calcul

)2()1()()( 21 −−−−= nybnybnxny Functia de transfer prin transformarea Z este în cazul ilustrat

212

2

22

111

1)(bzbz

zzbzb

zH++

=++

= −−

si are douã zerouri în origine si doi poli care pot fi reali sau complecsi. Pentru cazul polilor reali functia de transfer se descompune ca un produs de doi factori de ordinul unu. Filtrul se poate implementa ca o cascadã de douã filtre de ordinul unu. La saltul treaptã rãspunsul sistemului este

−−

−−−−−

=++

+

21

12

11

21

221

)1(1)1)(1(

1)(bbbbbb

bbny

nnn

Constanta de timp asociatã este datã aproximativ de relatia 2112 2 τττ ≈ , cu notatiile cvasievidente si foarte aproape de egalitate pentru coeficienti b1, b2 apropiati de unitate. Pentru o cascadã de M filtre identice relatia se extinde sub forma 1ττ MM ≈ . Dacã polii sunt complecsi, desigur si conjugati, atunci partea lor realã este jumãtate din coeficientul b1 cu semnul schimbat.

Modulul celor douã rãdãcini ale numitorului functiei de transfer, al polilor conjugati este egal cu coeficientul b2. În graficul de mai sus se poate “citi”

PMMPH

.1)( 2 =ω

cu bara pentru polul conjugat si ωααω 2)( 21 −+=Φ

cu α1, α2 unghiurile segmentelor orientate MPPM , cu axa realã. Si de data aceasta expresiile analitice ale modulului si fazei se obtin prin înlocuirea în functia de transfer în Z, Z = ejω. Rezultã

48

ωωω

2cos2cos)1(211)(

22122

21

2

bbbbbH

+++++=

ωωωω

ω2coscos1

2sinsinarctan)(

21

21

bbbb++

+−=Φ

Expresii elegante pentru modul si fazã se pot obtine dacã polii se exprimã în coordonate polare, P = rejθ. Coeficientii din functia de transfer devin b1 = - 2rcosθ, b2 = r2 si

]1][1[1)( )()( ωθωθω +−− −−

= jj rereH

Urmeazã

)]cos(21)][cos(21[1)( 22

2

ωθωθω

+−+−−+=

rrrrH

si

)sin(1)sin(arctan

)sin(1)sin(arctan)(

ωθωθ

ωθωθω

−−−

−+−

+=Φ

rr

rr

Aceste expresii permit trasarea curbelor modulului si fazei functiei de transfer în raport cu frecventa ω = 2πf. Modulul este o functie parã de frecventa ω , faza este o functie imparã de aceeasi frecventã unghiularã. Valorile care fac modulul )(ωH extrem sunt date de ecuatia

0]cos4)1([sin 221 =++ ωω bbb obtinutã din anularea derivatei expresiei generale a pãtratului modulului datã mai devreme. Frecventele asociate cu extremele sunt 0 si 0.5 si, dacã

14

)1(

2

21 <+b

bb

mai existã încã o freceventã f0 care corespunde unui extrem al modulului )(ωH . Conditia din urmã, în coordonate polare se scrie

212cos

rr

+<θ

În cazul satisfacerii ultimelor relatii

2

2100 4

)1(cos)2cos(

bbb

f+

−== ωπ

Frecventa f0 este frecventa de rezonantã a filtrului si amplitudinea maximã în acest punct este

212

2

2 44

11

bbb

bH m −−

=

sau, în coordonate polare

49

θsin)1(1

11

rrH m +−

=

Apare clar cã valoarea amplificãrii la frecventa de rezonantã este invers proportionalã cu distanta de la pol la cercul unitate. Este o relatie fundamentalã frecvent utilizatã în practicã. O caracteristicã împortantã este banda la 3 dB

πωω 2/)( 12123 −=−= ffB datã de frecventele care satisfac relatia

2/)()( 222

21 mHHH == ωω

Pentru un filtru cu rezonantã netã în jurul frecevntei de rezonantã sunt bune aproximãrile

)1( ≈r

θωθθω 222

122

21 sin)1(

121

)cos(211

sin41)(

rrrH

−=

−−+≈

deoarece rrrr 4/)1(]2/)1[()cos( 222

1 −−+=−ωθ Prin dezvoltare si limitarea numãrului de termeni în acea dezvoltare se obtine

r−≈− 11ωθ asadar, pentru filtre puternic rezonanate

π/)1(3 rB −= Ca un exemplu, fie filtrul cu polii 0,61+0,54j, 0,61-0,54j. Functia lui de transfer este

21

2

6637.022.11)( −−

−

+−=

zzzzH

si pãtratul modulului ca functie de frecventa unghiularã

ωωω

2cos3274.1cos0594.49289.21)( 2

+−=H

si de aici: θ = 2π.0.1153; r = 0.8147; f0 = 0.1115; B3 = 0.0590.

Curbele Bode ale filtrului sunt date în figura alãturatã Derivata fazei, întârzierea de grup într-o altã exprimare, este datã în aceeasi figurã si are expresia

22 )cos(21])[cos(

)cos(21])[cos()(

rrrr

rrrr

dd

+−−−−

+++−

−+=

Φ−=

ωθωθ

ωθωθ

ωωτ

Acest parametru important are un extrem în apropierea frecventei de rezonantã. La frecventa f = θ /2π întârzierea de grup are expresia

rr

rrrr

rr

−≈

+−−−

+−

=12cos21

)2)(cos1(11

)( 2θθθτ

50

Ecuatiile care dau modulul )(ωH , faza Φ(ω) si întârzierea τ(ω) sunt importatante deoarece pot fi utilizate pentru calculul cascadelor de filtre de ordinul al doilea: modulele – multiplicativ, fazele si întârzierile – aditiv.

10-1

100

101

0

2

4

6A

mpl

itudi

nea

10-1

100

101

-10

-5

0

Faz

a (r

ad)

10-1

100

101

0

2

4

6

Frecventa (rad/s)

Intâ

rzire

a de

gru

p (s

)

Filtre IIR de ordinul II generale În cazul cel mai general, în expresia iesirii curente a filtrului IIR se pot regãsi sub forma unei combinatii liniare si intrãrile x(n -1) si x(n -2)

)2()1()2()1()()( 21210 −−−−−+−+= nybnybnxanxanxany Transformarea z produce functia de transfer

22

11

22

110

1)( −−

−−

++++

=zbzbzazaa

zH

o functie, care dacã nu se simplificã are douã zerouri si doi poli. Zerourile, uzual complex conjugate pot avea pozitii speciale. Douã cazuri au o importantã practicã aparte. Primul dintre ele corespunde unei functii de filtrare. Zerourile sunt situate aproape totdeauna pe cercul unitate si optimizeazã atenuarea filtrului prin introducerea unei frecvente de atenuare infinitã. Cazul aduce o simetrie în coeficienti care simplificã mult calculele. Al doilea caz corespunde unui filtru defazor pur si zerourile sunt conjugatele armonice ale polilor. În primul caz, cel al filtrului functia de transfer se scrie

51

2212

10

000

022

11

211

0)Re(21

)Re(21))(())((

11)(

−−

−−

−−

−−

+−

+−=

−−−−

=++++

=zpzp

zzza

pzpzzzzz

azbzb

zzaazH

10-1

100

101

0

2

4

6A

mpl

itudi

nea

10-1

100

101

-4

-2

0

Faz

a (r

ad)

10-1

100

101

0

2

4

6

Frecventa (rad/s)

Intâ

rzire

a de

gru

p (s

)

Modulul functiei de rãspuns în frecventã se scrie în acest caz sub forma

ωωω

ω2cos2cos)1(21

)cos2()(221

22

21

2212

bbbbbaaH

++++++

=

Un astfel de filtru apare ca o cascadã de douã filtre, unul IIR recursiv pur si celãlalt un filtru FIR cu fazã liniarã. Asadar, caracteristica de fazã se obtine prin adunarea fazelor introduse de cele douã filtre componente. La fel întârzierea de grup

2

2

2

2

)cos(21)cos(

)cos(21)cos(1)(

rrrr

rrrr

+−−−−

+++−

−++=

ωθωθ

ωθωθωτ

deoarece

)cos(1)sin(arctan

)cos(1)sin(arctan)(

ωθωθ

ωθωθωω

−−−

−+−

++=Φ

rr

rr

Filtrul se mai numeste si eliptic, denumire derivatã din metoda de calcul al coeficientilor. Un exemplu de filtru IIR de ordinul II general este tratat în continuare. Zerourile lui sunt 0.3325 ± 0.9431j, polii sunt 0.6073 ± 0.5355j. Graficele alãturate dau cele trei functii de frecventã care caracterizeazã filtrul.

52

Un caz particular al filtrului discutat mai devreme este filtrul V (notch) utilizat pentru a elimina o linie incomodã dintr-un spectru. Functia de transfer a unui astfel de filtru este

2211

211

)1()1(11)( −−

−−

−+−+++

=zza

zzazHεε

cu ε mic si pozitiv. Diferenta 1 - ε exprimã distanta polilor fatã de cercul unitate. Pentru ε foarte mic, banda la 3 dB se exprimã aproximativ ca

πε

≈3B

Departe de portiunea în V a filtrului, efectul polilor se compenseazã practic cu cel al zerourilor astfel încât caracteristica de atenuare este sensibil platã. Figura alãturatã ilustreazã acest fapt.

Clasa cealaltã de filtre de ordinul al doilea contine de fapt asa-numitele filtre defazoare. În functia de transfer numãrãtorul si numitorul au aceiasi coeficienti dar în ordine inversã

)()(

)1)(1())((

1)(

12

11

11

22

11

2112

zDzDz

zppzzpzp

zbzbzzbbzH

−−

−−

−−

−−

−−

=−−−−

=++

++=

Polii si zerourile sunt valori armonic conjugate. Dar din )()( ωω −= DD si )()( ωω −Φ−=Φ DD

rezultã ωωω 2)(2)( −Φ=Φ D

si prin câteva calcule simple, se obtine întârzierea de grup

2

2

2

2

)cos(211

)cos(211)(

rrr

rrr

++−−

++−+

−=

ωθωθωτ

Dacã ω variazã de la 0 la π faza se modificã cu 2π:

παα

ωωτπππ

2cos21

12)()(0

2

2

0

=+−

−==Φ ∫∫ d

rrrd

53

Proprietãti generale ale filtrelor IIR Filtrele cu rãspuns impulsional infinit (IIR) se mai numesc si filtre recursive. Aceste filtre au proprietãti similare filtrelor analogice si, de aceea, coeficientii lor pot fi determinati prin tehnici similare. Mai întâi sunt aduse în discutii câteva fapte generale relativ la proprietãtile filtrelor IIR. Un filtru IIR este un sistem care genereazã o secventã y(n) din secventa x(n) conform relatiei

∑∑==

−−−=K

kk

L

ll knyblnxany

10)()()(

Functia de transfer exprimatã în operatorul B = z-1 se poate scrie ca un raport de douã polinoame

∑

∑

=

=

+= K

k

kk

L

l

ll

Bb

BaBH

1

0

1)(

Polinoamele sunt foarte frecvent de acelasi grad sau gradul numitorului este mai mare decât cel al numãrãtorului. Dacã coeficientii al si bk sunt reali atunci functia de transfer este un numãr complex astfel încât

)()( BHBH = si rãspunsul în frecventã se poate scrie ca de obicei

)()()( ωωω Φ−= jeHH Modulul si faza pot fi exprimate ca

[ ] ωω jeBBHBHH −=−= )()()( 12

ω

ωjeBBH

BHj−=

−

=Φ

)()(ln

21)(

1

Filtrele IIR nu mai au variatia fazei liniarã cu frecventa cum se întâmpla la filtrele FIR si nici întârzierea de grup constantã. Ecuatia pentru întârzierea de grup este

ωωωωτ

jeB

BHdBd

BddB

dBd

dd

−=

−=

Φ=

Φ= )(ln1Re)(

si produce un rezultat dependent de frecventã.

54

Calculul direct al coeficientilor filtrului din functii model Coeficientii unui filtru IIR se pot calcula direct din functia model, o functie realã definitã pe axa frecventelor. Functiile model pot fi functiile Butterworth, functiile Bessel si Cebîsev si functiile eliptice. Toate aceste functii au proprietãti selective binecunoscute. Neajunsul major al acestor functii constã în lipsa lor de periodicitate când functia doritã este periodicã. Este necesarã o transformare de la intervalul [0, fs] la axa realã realizatã printr-o transformare conformã în planul complex cu proprietãtile urmãtoare:

(1) Axa imaginarã se transformã în cercul unitate (2) O functie rationalã în variabila complexã s este transformatã într-o

functie rationalã în variabila z (3) Stabilitatea este conservatã

Iatã câteva metode foarte utilizate prin care se obtin astfel de transformãri: • Metodele cu mentinerea constantã a intrãrilor • Metodele cu interpolarea liniarã a intrãrilor • Aproximãrile biliniare Tustin cu sau fãrã frecventã fixã (prewarp) • Metodele cu asocierea polilor si zerourilor Schema alãturatã aratã trecerea de la un sistem continuu cu functia de transfer continuã H(s) la acelasi sistem descris de functia de transfer discretã Hd(z), printr-o metodã cu mentinerea constantã a intrãrilor (zero order hold = ZOH). În aceastã tratare, pe un interval de timp cât perioada Ts a esantionãrii are loc

u(t) = u(k) pentru ss TktkT )1( +≤≤

Schema trebuie înteleasã în sensul cã semanlul u(t) este aplicat sistemului continuu H(s) si semnalul de iesire y(t) este esantionat la fiecare multiplu întreg al perioadei Ts. Transformarea cu interpolarea liniarã a intrãrilor (first order hold) se obtine pe aceeasi cale, cu deosebirea cã sistemului continuu H(s) i se aplicã intrarea

55

)]()1([)()( kukuTkTt

kutus

s −+−

+= pentru ss TktkT )1( +≤≤

Metoda este, desigur, mai exactã. Mai este denumitã uneori si metoda triunghiului sau metoda rampei invariante. Aproximarea Tustin este exprimatã de relatia

2/12/1

s

ssT

sTsT

ez s

−+

≈=

Discretizarea efectivã se obtine prin

Hd(z) = H(s’) cu 112

+−

=′zz

Ts

s

Aproximarea Tustin cu pre-fixarea unei frecvente (prewarp) urmeazã expresia

Hd(z) = H(s’) cu 11

)2/tan( +−

=′zz

Ts

sωω

si asigurã la frecventa ω egalitatea )()( sTj

d eHjH ωω = Metoda prin asocierea polilor si zerourilor are în vedere relatia

ssTez = si se potriveste exclusiv sistemelor cu o singurã intrare si o singurã iesire (SISO). Proiectarea filtrelor IIR cu functiile Butterworth O functie Butterworth de ordinul n are forma

nc

F 22

)/(11)(ωω

ω+

=

Ea contine parametrul ωc care egaleazã frecventa la care functia ia valoarea 1/2. Dacã se pune ωc = 1 atunci

njssHsHjHF 2

22

11)()()()(ω

ωωω +

=−===

si

nn sjssHsH

)(11

)/(11)()( 22 −+

=+

=−

cu toti polii pe cercul unitate. Pentru un n impar, de pildã, se poate scrie

( )∏=

−=− n

k

nkjessHsH 2

1

).(

1)()(π

Dacã se retin pentru H(s) numai polii cu partea realã negativã, pentru a obtine un sistem stabil, dupã o factorizare adecvatã care evidentiazã sectiuni de ordinul I si II se obtine

56

∏−

= +++=

2/)1(

12 1)]/(cos[2

11

1)(n

k nkssssH

π

Pentru n par, se obtine

∏= +−+

=2/

12 1)]2/()12(cos[2

1)(n

k nksssH

π

Filtrul numeric corespunzãtor se obtine prin una din substitutiile date mai devreme. Pentru substitutia Tustin cu frecventã fixã

11

)2/tan( +−

=zz

Ts

sωω

se obtin functii de transfer care depind de doi parametri: atenuarea maximã admisã în banda de trecere

212

1

)1()/(1

1 δωω

−≥+ n

c

si atenuarea minimã în banda de oprire 222

2 )/(11 δ

ωω≤

+ nc

la stânga, respectiv la dreapta benzii de tranzitie delimitatã de frecventele ω1 si ω2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1FUNCTIILE BUTTERW ORTH DE ORDINE INTRE 1 SI 5

Frecvente

Am

plitu

dini

Pentru δ1, δ2 mici rezultã

57

)log()log()log()2log(5.0

21

21

ωωδδ

−+

≥n

si ordinul filtrului numeric

)2/tan(log)2/tan(log)2/1log(

12

12

TTN

ωωδδ

−≥

Figura de mai sus reprezintã câteva functii Butterworth de ordine diferite. Caracteristica lor cea mai importantã este numãrul n de derivate nule în origine. Cu cât numãrul n este mai mare cu atât curba este mai platã într-o vecinãtate mai extinsã a originei. Se observã imediat repercusiunile asupra zonei de tranzitie situatã între zona de atenuare minimã asociatã cu banda de trecere si zona de atenuare pronuntatã, cvasitotalã din banda de oprire. Alte functii model utilizate la proiectarea filtrelor IIR Functiile Butterworth, asa cum s-a spus mai devreme, nu sunt singurele functii-model de care se face uz în proiectarea filtrelor.

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1CEBISEV 1

Frecvente

Am

plitu

dini

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frecvente

CEBISEV 2

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frecvente

FUNCTII ELIPTICE

În figura triplã de mai sus sunt schitate câteva filtre modelate cu functii de tipul Cebîsev I, Cebîsev II si eliptice. Zonele de tranzitie sunt vizibil mai abrupte dar în benzile de trecere si/sau în benzile de oprire apar asa-numitele falduri (ripples) care nu deranjeazã dacã nu sunt mari. La filtrele te tipul Cebîsev I

58

faldurile apar în zona de trecere, la filtrele de tipul Cebîsev II apar în zona de oprire, iar la filtrele modelate cu functii eliptice apar atât în banda de trecere cât si în banda de oprire. Sunt de evidentiat douã aspecte: egalitatea în amplitudine a faldurilor din cele douã benzi în care sunt prezente si banda de tranzitie mult mai clar definitã în cazul functiilor eliptice. Imediat este discutatã matematica pe care se sprijinã aceste tipuri de filtre. Filtrele de tipul Cebîsev I au functia de transfer

+

=

cnT

H

ωωε

ω22

2

1

1)(

cu ωc frecventa care pentru ε = 1 face atenuarea filtrului de 3 dB. Functia Tn(x) este un polinom în x, polinomul Cebîsev de gradul n, definit ca

>≤

=1xpentru)arcch(ch1xpentru)arccoscos(

)(xnxn

xTn

Polinoamele Cebîsev verificã ecuatia diferentialã

11

2

22

2

−−

=

xT

Mdx

dT nn

cu M o constantã. Polinoamele Cebîsev de grade apropiate verificã relatia de recurentã

11 2 −+ −= nnn TxTT Filtrele de tipul Cebîsev II au functia de transfer

( ) 22

2

)/(1

1)(

+

=

ωωω

ε

ω

c

cn

TT

H

în care simbolurile utilizate au aceeasi semnificatie ca mai sus. În proiectarea filtrelor IIR ca functii model se pot folosi si functiile eliptice incluse în relatia

),(sn11)(

122

2

kuuT

ε+=

cu

∫ −=

φ

θθ

02/12 )sin1( m

du

si cu sn(u) = sinφ. În literaturã uneori parametrul m se scrie ca pãtratul unui numãr k2 si functia sn apare ea însãsi parametrizatã sn(u, k). Figura a treia prezentatã mai sus este graficul functiei T2(jω), asadar pentru u = jω, cu

121−

=A

k ε

59

102

103

104

105

-200

-100

0

100

200

Frequency (radians)

Pha

se (

degr

ees)

102

103

104

105

10-5

100

Frequency (radians)

Mag

nitu

de

Atenuarea cea mai mare pe minimele faldurilor din banda de trecere este 1/(1 + ε2), iar amplitudinea maximã a faldurilor din zona de oprire este 1/A2. Functia elipticã (Jacobi) sn oscileazã între 0 si 1 pentru ω < ω1 si între ε/12 −A si infinit dincolo de frecventa ω2. Filtrele bazate pe modelul Bessel în varianta lor analogicã au particularitatea cã întârzierea de grup este practic constantã în banda de trecere. Aceasta se concretizeazã în mentinerea formei semnalelor la trecerea printr-un fitru de acest tip. Proprietatea nu se regãseste la filtrele numerice derivate pe aceeasi cale. Figurile alãturate dau pentru un caz particular forma caracteristicii de amplitudine si forma caracteristicii de fazã a unui filtru analogic Bessel. Se considerã cã filtrele Butterworth, Cebîsev I, Cebîsev II si eliptice acoperã toate tipurile de probleme de filtrare care apar în prelucrarea semnalelor. Pachetul de programe Matlab destinat semnalelor, Signal Processing Toolbox, contine functii de proiectare a filtrelor din toate categoriile mentionate, în conditii restrictive variate. Conditiile se referã, desigur, la benzile de trecere, de oprire, de tranzitie, la prezenta si amploarea faldurilor în benzile de trecere si/sau de oprire. O specificare foarte precisã s-ar putea referi la ordinul filtrului (minim) sau la forma particularã a caracterisiticii de amplitudine care ar putea conduce la un filtru FIR. În cazul unei specificãri relaxate, un filtru Butterworth este de cele mai multe ori satisfãcãtor. Pe mãsurã ce specificarea devine mai asprã, mai restrictivã solutiile problemelor de filtrare se deplaseazã spre filtrele mai rafinate de tip Cebîsev I, Cebîsev II sau eliptice.

60

Existã si metode directe de proiectare a filtrelor IIR numerice. Metodele din aceastã categorie vor fi discutate într-o sectiune separatã. Procedura generalã de proiectare a filtrelor IIR prin functii model Filtrele Butterworth, filtrele Cebîsev de tipul I sau II, filtrele eliptice sau filtrele Bessel au functii de transfer care se prezintã în cele din urmã sub forma unor functii rationale în frecventa ω, chiar dacã exprimarea sub forma unui raport de douã polinoame este întrucâtva mai putin directã pentru ultimele douã tipuri. Odatã stabilitã expresia functiei de transfer, prin înlocuirea ω = s/j se obtine fuctia de transfer a sistemului/filtrului în versiunea analogicã. Se spune cã s-a parcurs etapa realizãrii prototipului analogic al filtrului. În faza urmãtoare, prin una din metodele de discretizare mentionate mai sus – cu mentinerea constantã a intrãrilor, cu interpolarea liniarã a intrãrilor, prin aproximãri biliniare Tustin cu sau fãrã frecventã fixã (prewarp) sau prin asocierea polilor si zerourilor – se obtine expresia functiei de transfer pentru filtrul IIR discret. Calculul filtrelor de alte tipuri prin transformarea unui filtru trece-jos Pânã la aceastã etapã s-a vorbit exclusiv despre filtrele trece-jos. Surprinzãtor, poate, discutia este suficientã dacã se completeazã cu câteva reguli de trecere de la acest tip la celelalte tipuri de filtre utilizate în practicã. Regulile sunt simple si sunt prezentate imediat sub forma unor schimbãri de variabilã în reprezentãrile standard în spatiul complex ale functiilor de transfer prototip analogice. Astfel, dacã se noteazã cu ωT frecveta de tãiere a filtrului trece-jos si cu ωL, respectiv cu ωH, frecventele de tãiere care delimiteazã banda de trecere sau de oprire a filtrului necesar pot fi întelese substitutiile din tabelul alãturat. Pentru transformarea unui filtru trece-jos în alt filtru trece-jos sau într-un filtru trece-sus, noua frecventã de tãiere a fost marcatã cu un accent. Transformãrile conservã faldurile eventuale ale caracteristicii de frecventã dar modificã benzile de trecere si de oprire. Se poate schita acum o strategie de proiectare a unui filtru de un tip oarecare:

1. Se fixeazã frecventele de tãiere 2. Se proiecteazã filtrul analogic trece-jos 3. Se adoptã transformarea de frecvente potrivitã pentru trecerea la filtrul

necesar 4. Se aplicã o transformare filtrului analogic pentru a obtine filtrul digital

urmãrit

61

Tipul filtrului Transformarea Frecvente de tãiere

Trece-jos ssT

T

ωω

′→ Tω′

Trece-sus s

s TTωω ′→ Tω′

Trece-bandã )(

2

LH

HLT s

ssωωωω

ω−

+→ HL ωω ,

Opreste-bandã HL

LHT s

ssωωωω

ω+

−→ 2

)( HL ωω ,

Tipul filtrului Transformarea Frecvente de tãiere

Trece-jos 1

11

1 −

−−

−−

→az

azz Tω′

2sin

2sin

TT

TT

aωω

ωω

′+

′−

=

Trece-sus 1

11

1 −

−−

++

→az

azz Tω′

2cos

2cos

TT

TT

aωω

ωω

′−

′+

−=

Trece-bandã 11

12

2

21

12

1

+−+−

−→ −−

−−−

zazaazazz

HL ωω , )1/(21 +−= KKa α)1/()1(2 +−= KKa

2cos

2cos

LH

LH

ωω

ωω

α−

+

−=

2tan

2cot TLHK ωωω −

=

Opreste-bandã 11

12

2

21

12

1

+−+−

−→ −−

−−−

zazaazazz

HL ωω , )1/(21 +−= Ka α1/()1(2 +−−= KK

)a

2cos

2cos

LH

LH

ωω

ωω

α−

+

−=

2tan

2tan TLHK ωωω −

=

62

Pentru trecerea de la un filtru digital trece-jos la filtre de alte tipuri sunt necesare schimbãri de variabilã în spatiul complex z. Tabelul alãturat contine transformãrile potrivite fiecãrui caz. Strategia de proiectare constã în pasii

1. Se proiecteazã un filtru trece jos digital 2. Se foloseste transformarea de frecvente adecvatã conform tabelului

prezentat. Metode de calcul direct al filtrelor IIR numerice

Aproximarea Padé Se admite cã filtrul dorit rãspunde la intrarea impuls conform succesiunii de valori hd(n) specificate la momentele . Filtrul proiectat are functia de transfer H(z) rationalã în z care satisface o relatie de forma

0≥n

∑∑

∑ ∞

=

−

=

−

=

−

==0

0

0 )()(k

kN

k

kk

M

k

kk

zkhza

zbzH

Pentru a determina cele mai potrivte valori ale coeficientilor ak si bk este necesar a se minimiza suma de pãtrate ale erorilor

[ ]∑=

−=U

nd nhnhE

0

2)()(

Pentru cazul U = L – 1 = M + N – 1

)(...)1()()(...)2()1()(

10

21

MnxbnxbnxbNnyanyanyany

M

N

−++−+++−−−−−−−=

din care rezultã

)(...)1()()(...)2()1()(

10

21

MnbnbnbNnhanhanhanh

M

N

−++−+++−−−−−−−=

δδδ

Deoarece, cu exceptia cazului când n = k, δ(n – k) = 0, se scrie nN bNnhanhanhanh +−−−−−−−= )(...)2()1()( 21 pentru Mn ≤≤0 )(...)2()1()( 21 Nnhanhanhanh N −−−−−−−= pentru Mn >

ceea ce este un sistem liniar de M + N + 1 ecuatii rezolvabil prin metode standard. Aceasta este metoda aproximãrii Padé. Cele mai mici pãtrate si filtre numai cu poli Se admite cã valorile hd(n) sunt specificate pentru . Forma doritã a functiei de transfer a filtrului este în cazul în discutie

0≥n

63

∑=

−+= N

k

kk za

bzH

1

0

1)(

Se considerã problema de minimizare din figura alãturatã cu

−+= ∑

=

N

kdd knhnh

bny

10

)()(1)(

Se defineste ca eroare medie pãtraticã

Minimizare a erorii

∑∞

=

=1

2 )(n

nyE

în care yd(0) = y(0) = 1 implicã b0 = hd(0). Prin derivare în raport cu coeficientii ak si în urma rescrierii rezultatului ca un sistem de ecuatii liniare se obtine

Nllrlkra dd

N

kddk ,...,2,1)0,(),(

1=−=∑

=

în care, pentru volum finit de date cu L >> N

NlklknhnhlkrlkrlkL

ndddddd ≤−≤−+=−= ∑

−−

=

0)()()(),(0

64

REPREZENTAREA TIMP-SCARÃ CU FUNCTII WAVELET Introducere în reprezentarea prin functii wavelet Se considerã o secventã de opt numere. Secventa poate reprezenta opt esantioane ale unui semnal sau expresia numericã a tonurilor de gri (%) ale unei linii de 8 pixeli, parte a unei imagini alb-negru. Pentru a facilita calculele secventa este compusã din numere întregi, cu premeditare multipli de 8

2448565632164864 Aceste numere sunt prelucrate în mai multe etape, într-o manierã simplã, prin douã operatii, una de mediere, celaltã de luare a diferentei, explicate mai departe. Liniile succesive ale tabelului urmãtor contine secventa initialã, câteva rezultate intermediare si, pe ultima linie rezultatele finale ale aplicãrii celor doi operatori

120881016343120881016464012088365624562448565632164864

−−−−

Prima linie, cum s-a spus este constituitã din numerele initiale. Acestea sunt considerate ca patru perechi succesive de numere. În linia a doua, pe primele patru pozitii, se pun mediile numerelor din aceste perechi. Pe linia a treia se pun pe primele douã pozitii mediile perechilor alcãtuite din cele patru numere din linia precedentã. Analog în linia ultimã se aseazã în pozitia primã media celor douã numere din linia de deasupra. Celelalte numere – subliniate – sunt deviatiile primelor numere din fiecare pereche fatã de media lor. Primele patru numere subliniate din jumãtatea a doua a rândului al doilea reprezintã rezultatul scãderii mediilor din primul numãr al perechilor respective. Asemenea, în rândul al treilea, numerele de pe pozitiile 3 si 4 sunt diferentele obtinute prin scãderea mediilor din primul numãr al perechilor corespunzãtoare. Celelalte sunt reproducerea numerelor de pe linia anterioarã. Procedura continuã si pe linia ultimã. Numerele subliniate sunt numite coeficienti de detaliu ai semnalului reprezentat prin cele opt esantioane. Nu este greu de observat cã media de pe ultima linie este media celor opt numere initiale. Într-o reprezentare graficã, aceastã medie nu este un efect special al imaginii ci este mai curând o valoare de ancorare a acelei imagini pe verticalã. Cei sapte coeficienti de detaliu sunt numerele care dau efectiv relief imaginii. Se vorbeste aici de imagine gândind la o reprezentare graficã a semnalului precum cea din figura alãturatã.

65

Sirul initial de opt numere a fost transformat într-un alt sir de opt numere. Transformarea este reversibilã: se pot calcula pas cu pas numerele de plecare, pornind de la un rând inferior la urmãtorul, situat deasupra lui. Prin calculele efectuate nu s-a pierdut nimic în ceea ce priveste informatia. Dar ce s-a câstigat? S-a câstigat posibilitatea de a “specula” util pe versiunea nouã a semnalului, cea cu detalii. Dacã alterãm versiunea transformatã pentru a recrea imaginea, profitând de existenta unor zone de “slabã activitate”,obtinem o aproximare a graficului functiei apropiatã vizual de cel initial. Sirul are un coeficient detaliant nul datorat celor douã valori adiacente egale cu 56. Acest coeficient indicã o zonã de o asa-zisã slabã activitate, o zonã de variatie lentã a semnalului. Urmãtorul coeficient ca magnitudune este –3. Dacã acesta se schimbã în zero, atunci sirul ultim al tabelului de mai sus devine

120881016043 − si tabelul însusi, dupã calculul invers se schimbã în ceea ce se vede imediat mai jos. Linia primã a versiunii noi a tebelului este aproximarea datelor originale obtinutã prin renuntarea la un coeficient detaliator mai putin important, acela cu valoarea –3.

0 0.5 110

20

30

40

50

60

70Media semnalului

0 0.5 110

20

30

40

50

60

70Semnalul cu detalii de ordinul 1

0 0.5 110

20

30

40

50

60

70Semnalul cu detalii de ordinul 2

0 0.5 110

20

30

40

50

60

70Semnalul cu toate detaliile

O reprezentare graficã efectivã aratã forma curbei (în scarã) aproximante fatã de curba originalã. Reprezentarea pe diagrame diferite face destul de dificilã deosebirea curbei corecte de cea aproximativã.

66

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110

20

30

40

50

60

70Semnalul dupa renuntarea la un detaliu (coefic ientul -3)

120881016043120881016434312088335327592145535335195167

−−−

Dacã se pun zerouri si în locul valorilor urmãtoare ca magnitudune, 8 si –8, se obtine o aproximare desigur mai putin reusitã

2145535327275959 dar si reprezentarea aceasta, cu numai cinci numere nenule în linia ultimã este încã surprinzãtor bunã. Generalizarea la siruri de numere de lungimi oarecare este imediatã. Chiar dacã acestea nu sunt de lungime egalã cu o putere a lui 2, ele se pot completa cu zerouri pânã la completarea unei astfel de lungimi. Un sir lung de , prelucrat în opt etape succesive se transformã într-un nivel mediu plus 255 de coeficienti detalianti. Cu acesti coeficienti se poate jongla pentru a obtine aproximãri convenabile ale sirului original.

82256 =

Functii wavelet Discutia de mai devreme trebuie acum pusã pe baze matematice mai solide, pentru a familiariza cititorul cu conceptele si notatiile specifice obiectelor numite functii wavelet. Ce sunt aceste functii? Înainte de a rãspunde la aceastã întrebare este datã o reprezentare alternativã a setului de opt date de mai sus. Ca primã operatie se identificã datele cu o anumitã clasã de functii în scarã. O secventã de lungime k este identificatã cu o functie în scarã pe intervalul [0, 1),

67

functie care (potential) se schimbã ca valoare pentru k – 1 valori ale lui x egal distantate si are ca amplitudini valorile din sir. Aceste functii în scarã pot fi gândite ca o combinatie liniarã de alte functii rezultate din functia treaptã dublã pe intervalul [0, 1)

∈

=realeaxeirestulîn0

)1,0[pentru1)(

xxϕ

numitã si functia Haar, prin operatii de translatie si de dilatare diadicã. În detaliu, dezvoltarea pleacã de la functia Haar, numitã si functie de scalare deoarece verificã o ecuatie de scalare de forma

∑∈

−=Zi

i ixcx )2()( ϕϕ

în care singurii coeficienti ci nenuli sunt c0 = c1 = 1, adicã )12()2()( −+= xxx ϕϕϕ .

Pentru fiecare indice i, 0 , se poate obtine o functie de scalare indusã diadic, dilatatã si deplasatã prin translatie pe axa x

123 −≤≤ i

)2()( 33 ixxi −= ϕϕ Aceste opt functii alcãtuiesc o bazã pentru spatiul vectorial V al functiilor constante pe portiuni, functii în scarã, cu salturi posibile la 1/8, 2/8, …, 7/8. De observat cã pe [ , pe [ , s.a.m.d. si sunt nule în rest. Aceste functii multiplicate cu coeficienti corespunzãtori produc elementul din spatiul V exprimat ca

3

1)(30 =xϕ )8/1,0 1)(3

1 =xϕ )8/2,8/1

3

37

36

35

34

33

32

31

30 2448565632164864 ϕϕϕϕϕϕϕϕ +++++++

care este un alt mod de a gândi sirul de mai devreme 2448565632164864

În oarecare contrast cu o posibilã reprezentarea prin segmente de dreaptã aici reprezentarea este în scarã. Similar, orice sir de opt numere poate fi identificat cu un element din V . Schema de mediere si luare a diferentei discutatã mai devreme poate fi repusã în termeni diferiti, dar mai întâi este necesarã definirea a încã vreo câteva spatii vectoriale. Întocmai ca pentru V , se definesc patru functii pentru care alcãtuiesc o bazã pentru spatiul V al functiilor constante pe portiuni care au eventuale salturi numai la

. Absolut analog, functiile pentru sunt o bazã pentru spatiul V al functiilor constante pe portiuni

care au un eventual salt la 1 . Functia cu doi indici este fuctia de scalare însãsi si este baza unui spatiu V de functii constante pe intervalul [0, 1). Cele patru spatii de functii în scarã sunt ca multimi în relatia

.

3

22 x

3

3

= ϕ

)(0 x

)()(2 ixi −= ϕϕ2

4/3,4/121 −

21 VV ⊂⊂

120 2 −≤≤ i

1

0

2,4/10 ≤≤ i

0 VV ⊂

)2()( 11 ixxi −ϕ

)(0 xϕϕ =2/

Se pot identifica acum mediile diferite din tratarea precedentã ca medii de rezolutii diferite ale sirului initial de opt numere. Pentru clarificare, sirul de

68

medii 56, 24, 56, 36 se identificã cu , apoi sirul 40, 46 se identificã cu 40 si în final 43 cu .

23

22

21

20 36562456 ϕϕϕϕ +++

0043ϕ1

110 46ϕϕ +

Rãmâne acum a da o interpretare coeficientilor din expresiile de mai sus. Acum intrã în scenã acele functii wavelet. Se considerã produsul scalar

∫=⟩⟨1

0)()(, dttgtfgf

definit pe V . Douã functii sunt ortogonale dacã produsul lor scalar este nul. Pentru fiecare j = 0, 1, 2 se defineste spatiul cu o bazã de functii wavelet W ca fiind complementul lui V în V astfel încât sã se poatã scrie descompunerea (ortogonalã) în sumã directã

3

j

j 1+j

jjj WVV ⊕=+1 Se obtine

2100211223 WWWVWWVWVV ⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕= Fiecare din spatiile W are o bazã cât se poate de naturalã formatã din functiile

, care vor fi descrise imediat, si exprimarea functiilor din în aceste noi baze conduce la coeficientii de detaliu întâlniti mai devreme,

care se numesc coeficienti wavelet.

j

120, −≤≤ jji iχ

3V

Existã o functie wavelet Haar mamã care este definitã astfel

−

=

restîn0

1,21pentru1

21,0ntrupe1

)(xχ

O deifnitie echivalentã poate fi cea datã de relatia într-o exprimare în functie de functia de scalare ϕ. Este de observat cã este o bazã în W deoarece χ este clar ortogonalã fatã de ϕ . Cele patru functii

)12()2()( −−= xxx ϕϕχχ

0

120),2()( 222 −≤≤−= iixxi χχ2

alcãtuiesc o bazã în W deoarece pe de o parte ele sunt ortogonale pe functiile corespunzãtoare care sunt bazã în subsaptiul V al spatiului V si, pe de altã parte sunt vizibil ortogonale una alteia.

120 2 −≤≤ iiϕ ),(2 x 2

3

Analog, cele douã functii 120),2()( 111 −≤≤−= iixxi χχ

1

alcãtuiesc o bazã în W . Cu notatiile de mai sus, cele trei etape de mediere si luarea a diferentelor corespund lantului de identitãti care urmeazã

=+++++++ 37

36

35

34

33

32

31

30 2448565632164864 ϕϕϕϕϕϕϕϕ

22222222

=+++++++= 32103210 1208836562456 χχχχϕϕϕϕ

69

=+++++++= 23

22

21

20

11

10

11

10 1208810164640 χχχχχχϕϕ

23

22

21

20

11

10

00

00 120881016343 χχχχχχχϕ ++++++−=

Expresia ultimã contine media generalã si sapte coeficienti ai unor functii vawelet, o descompunere în raport cu o bazã specialã. Tratarea de mai devreme a unor coeficienti detalianti în scopul obtinerii unor aproximãri cel putin acceptabile a datelor originale se reduce acum la anularea coeficientilor unor functii wavelet. Primul exemplu de compresie se reduce la a aproxima

=+++++++ 37

36

35

34

33

32

31

30 2448565632164864 ϕϕϕϕϕϕϕϕ

23

22

21

20

11

10

00

00 120881016343 χχχχχχχϕ ++++++−=

prin 23

22

21

20

11

10

00

00 120881016043 χχχχχχχϕ +++++++

Graficele celor douã exprimãri de mai sus, una fãrã pierderi alta cu pierderi de detalii nu se deosebesc prea mult: sunt chiar dificil de diferentiat vizual. S-a folsit imediat mai sus termenul compresie si nu întâmplãtor. Cu pierderi sau fãrã, în dezvoltarea într-o bazã care contine functii wavelet pot fi prezente multe zerouri. Aceste valori uneori se repetã. Transmiterea si stocarea lor poate fi fãcutã economic mentionând numai un factor care aratã câte zerouri succesive sunt în partea respectivã a secventei de coeficienti. Este aici un efect de compresie deîndatã ce numãrul de zerouri este de cel putin 3. Ideea reprezentãrii semnalelor în baze care contin functii undeletã poate fi extinsã într-o manierã aproape imediatã. Pentru fiecare întreg nenegativ j, fie

spatiul vectorial al functiilor constante pe portiuni de întindere egalã ale intervalului [0, 1), cu salturi posibile la x =

jVjjjj 2)12(,,...22,2 −

)2()( ixx jji −= ϕϕ 0 ≤ i

1 . Atunci functiile în numãr de , definite de , alcãtuiesc baza spatiului V . Se obtine astfel un lant infinit de saptii vectoriale

jiϕ j2 12 −≤ j

j

...... 1210 ⊂⊂⊂⊂⊂⊂ +jj VVVVV

dotate fiecare cu un produs scalar de forma ∫=1

0)()(, dttgtfgf

j

. Spatiul

generat de functiile wavelet se defineste ca complementul ortogonal al spatiului V în spatiul V . Functiile

jWj 1+j

j )2()( ixx ji −= χχ

j

, 0 12 −≤≤ iformeazã o bazã în W . Pentru orice indice j se poate scrie

j

12100

12211

... −−

−−−−−

⊕⊕⊕⊕⊕=

=⊕⊕=⊕=jj

jjjjj

WWWWVWWVWVV

Lucrând cu siruri de lungime 256 (ca în cazul aproximãrii unei functii din esantioane uniform distantate) este echivalent cu a lucra în spatiul mai cuprinzãtor V prin intermediul identitãtii

82

8

761008 ... WWWWVV ⊕⊕⊕⊕⊕=

70

Existã un stil analog pentru douã dimensiuni bazat pe produse ale dilatãrilor si translatiilor unei functii de scalare si a unei functii wavelet mamã, care creazã o bazã pentru reprezentarea numericã a imaginilor în scopul unei posibile compresii. O normalizare a functiilor de scalare si a functiilor wavelet produce

)2(2)( 2 ixx jj

ji −= ϕϕ si )2(2)( 2 ixx j

jj

i −= χχ , 120 −≤≤ jicare sunt baze ortonormale în spatiile V , respectiv W . j j

Functii wavelet pe World Wide Web Pentru lucru în timp real, ca în cazul obtinerii imaginilor pe World Wide Web, tehnica compresiei discutatã mai sus permite o transmitere de imagini progresivã, în etape. Pe mãsurã ce utilizatorul primeste aceste informatii ele sunt utilizate la reconstruirea imaginii, începând cu o aproximare foarte grosierã dar care actualizatã rapid si rafinatã treptat aratã din ce în ce mai bine pe mãsurã ce sunt utilizati noi coeficienti wavelet. În cele din urmã utilizatorul are în fatã imaginea perfectã sau, dacã imaginea nu-i aceea la care se astepta el poate renunta pe parcurs la recuperarea si rafinarea imaginii dedicându-se altor preocupãri. Tratarea imaginilor se poate face în douã moduri diferite. O primã cale este aceea a tratãrii informatiei de imagine ca un sir de numerere care reprezintã intensitatea în tonuri de gri (este vorba de imagini alb-negru) la o lecturã pixel cu pixel, pe linii succesive. Sirul poate fi tratat asa cum mai devreme a fost tratat sirul de opt esantioane, numai cã se pierde sansa de a valorifica redundantele imaginii de la linie la linie. Si atunci se recurge la o tratare analogã dar în douã etape: în prima se prelucreazã linie cu linie pânã la ultima consecintã si apoi valorile medii si detaliile liniilor, pe colanele unei presupuse matrici de griuri, de asemenea pânã la cea din urmã consecintã. Posibilitatea a doua o reprezintã utilizarea directã a unor functii de scalare si functii wavelet în douã dimensiuni. Ele sunt reprezentate în imaginile de mai sus si sunt de tip Haar. Functia de scalare bidimensionalã se obtine din cea unidimensionalã prin multiplicarea simplã si este dublu deplasabilã prin translatie si poate fi dilatatã în ambele directii, si , ca si functiile celelalte care sunt trei familii de functii wavelet si se obtin tot printr-o multiplicare a functiilor unidimensionale, respectiv:

)()(),( 2121 xxxx ϕϕϕ =x1 2x

)()(),( 21211 xxxx ϕχχ = , , )()(),( 2121

2 xxxx χϕχ = )()(),( 21213 xxxx χχχ =

71

În mod analog se pot construi si functii de scalare si functii wavelet pentru spatii cu mai mult de douã dimensiuni. Detalii cu functii wavelet În încercarea de a face aceastã introducere în teoria functiilor wavelet cât mai usor digerabilã si a preveni o posibilã rezistentã la receptare s-a sugerat adesea cã subiectul “functii wavelet” nu este ceva extrem de rafinat, de profund. Nimic nu poate fi mai fals. O revenire la functiile wavelet de tipul Haar, care sunt utilizate în transmiterea de imagini încã de prin anii 70 ai secolului trecut faciliteazã o întelegere a generalizãrilor recente atât de tulburãtoare pentru comunitatea matematicienilor si nu numai. O varietate largã de functii wavelet este acum la îndemânã pentru descompunerea, analiza si sinteza datelor continue sau discrete. În general, o functie wavelet este o functie în bunã mãsurã oarecare, ale carei dilatãri si translatii alcãtuiesc o bazã Riesz pentru spatiul functiilor de pãtrat sumabil

. Pentru simplitate se ignorã adesea problema normalizãrii, iar functiile sunt considerate toate reale.

)(2 RL

Cele mai multe dintre functiile wavelet sunt deduse dintr-o anumitã functie de scalare, functie ϕ care satisface o ecuatie de scalare

∑ ∈−=

Zi i ixcx )2()( ϕϕ

Datã fiind o asemenea functie, se defineste spatiul V ca închiderea spatiului liniar generat de translatiile întregi ale functiei ϕ, si, pentru orice , se ia spatiul V ca închidere a spatiului liniar generat de translatiile întregi ale functiei ϕ dilatate, . Este vorba de o asa-zisã analizã multirezolutie dacã multimea infinitã de spatii

0

i0ϕ

j2(

Ziixx ∈−= ),()( ϕ

Ziix ∈− ),Zj ∈ j

xji =)( ϕϕ

...... 21012 ⊂⊂⊂⊂⊂⊂ −− VVVVV satisface trei criterii: 1. ZjVxfVxf jj ∈∀∈⇔∈ − ,)2()( 0

2. I ZiiV

∈= 0

3. )(2 RLVZi

i =∈U

72

Odatã analiza multirezolutie pusã la punct este usor de stabilit o functie wavelet mamã:

∑ ∈ − −−=Zi i

i ixcx )2()1()( 1 ϕχ

cu aceleasi valori din ecuatia de scalare verificatã de functia de scalare. Aceastã functie wavelet are integrala pe întreaga axã realã nulã.

ic

O cale de generalizare a functiei de scalare Haar, care este o functie B-spline de ordinul unu, si a functiei wavelet corespunzãtoare este urmãtoarea: pentru orice

, functia B-spline de ordinul , care poate fi gânditã ca o convolutie a functiei Haar cu ea însãsi de ori, satisface ecuatia de scalare

Nk ∈ k1−k

∑=

+− −=k

i

ik

k ixCx0

1 )2(2)( ϕϕ

Aceasta produce o analizã multirezolutie si, deci, o functie wavelet în maniera descrisã mai devreme. Aceste functii wavelet-spline sunt definite pe suport compact si au derivate continue, dar numai pentru cazul Haar se obtine ortogonalitatea functiilor familiei induse de functii dilatate si deplasate prin translatie.

2−k

Dacã asupra ortogonalitãtii functiilor din bazã nu se insistã totdeauna în mod deosebit, este considerat în general cã este de dorit ca functiile sã fie definite pe suport compact sau cel putin sã înregistreze o descrestere rapidã în afara unui compact. Aceastã comportare este în total contrast cu cea a fuctiilor sinusoidale, functii centrale în analiza Fourier. Aceastã particularitate face din functiile wavelet o bazã de reprezentare a functiilor neperiodice care au puncte ascutite, de variatie rapidã si discontinuitãti. Cel putin un lucru trebuie observat: mult mai putini coeficienti sunt necesari la reprezentarea în baze cu functii wavelet decât la reprezentarea Fourier a acestui gen de functii. Sunt aici trei lucruri care trebuie puse în acord: netezimea, suportul si ortogonalitatea. Din pãcate nu sunt posibile toate trei deodatã. Nu existã functii wavelet indefinit diferentiabile ortonormale care sã aibã scãderi exponentiale – nici o sperantã de definire pe suport compact – ceea ce impune anumite compromisuri. Construirea unor functii spline-wavelet ca mai sus poate fi modificatã pentru a genera functii wavelet Battle-Lemarié, care au scãderi exponentiale, sunt diferentiabile de ori si ortonormale. 2−kÎn 1988 Ingrid Daubechies a reusit sã spargã canoanele prin realizarea unor functii wavelet pe suport compact, ortonormale si care au un grad de netezime dorit, oarecare. Cel mai simplu exemplu dat de Ingrid Daubechies, fãrã a fi trivial este continuu si este derivat din functia de scalare ϕ care satisface relatia

)32(4

31)22(4

33

)12(4

33)2(4

31)(

−−

+−−

+

+−+

++

=

xx

xxx

ϕϕ

ϕϕϕ

73

Nu existã formã explicitã pentru aceastã functie. Studiul ei se face pe baza analizei atente a transformatei Fourier a ecuatiei de scalare datã într-un capitol anterior. Pentru un x anumit se poate rezolva pentru ca o limitã a sirului de valori definit recursiv prin relatia

)(xϕ)(xjφ

∑ ∈ − −=Zi jij ixcx )2()( 1φφ

cu initializare pentru exact functia de scalare Haar. Contrar instinctului comun de a rezolva orice ecuatie, analiza poate fi condusã aici prin concentrare asupra coeficientilor ci.

0φ

Aceste functii wavelet mai rafinate produc imagini comprimate mai netede, mai satisfãcãtoare fatã de cele discutate mai devreme. În asta rezidã un potential mai ridicat de transmitere progresivã a imaginilor si probabil la fel pentru grafica unidimensionalã. Existã o bibliografie foarte bogatã referitoare la functiile wavelet. Un avantaj major al functiilor wavelet fatã de transformarea Fourier, avantaj care n-a fost subliniat îndeajuns aici constã în posibilitatea de a localiza informatia simultan si în spatiu/timp, si în frecventã. De asemenea, prin captarea detaliilor prin coeficientii wavelet se poate profita de modul local de variatie a unei dependente functionale sau a unei imagini cu posibilitatea de compresie foarte eficientã în cazul imaginilor. Înafarã de utilizarea mentionatã în prelucrarea imaginilor, functiile wavelet mai pot fi folosite în eliminarea zgomotelor din datele numerice, în medicinã în grafiile de diferite genuri, în prelucrarea semnalelor audio, în matematicã însãsi pentru rezolvarea ecuatiilor diferentiale sau cu derivate partiale, în calitate de operatori diferentiali. Pentru lucru în timp real, ca în cazul obtinerii imaginilor pe World Wide Web, tehnica compresiei discutatã sumar mai sus permite o transmitere de imagini progresivã, în etape. Pe mãsurã ce utilizatorul primeste aceste informatii ele sunt utilizate la reconstruirea imaginii, începând cu o aproximare foarte grosierã dar care actualizatã rapid si rafinatã treptat aratã din ce în ce mai bine, mai detaliatã, pe mãsurã ce noi coeficienti de functii wavelet sunt utilizati. În cele din urmã utilizatorul are în fatã imaginea perfectã sau, dacã imaginea nu-i aceea la care se astepta el poate renunta pe parcurs la recuperarea si rafinarea imaginii dedicându-se altor preocupãri.

74

75

76

FILTRAREA MULTIRATE (CU DEBITE MULTIPLE) Filtrarea multirate este pe de o parte o tehnicã de a reduce volumul de calcule necesar la filtrarea numericã, în particular reducerea numãrului de multiplicãri în unitatea de timp. Pe de altã parte realizarea unor debite de informatie variabile este utilã în filtrarea cu întârzieri de grup constante si diferite de multiplii întregi ai (jumãtãtii) perioadei de esantionare. Primul aspect, dar si al doilea în oarecare mãsurã necesitã câteva elemente teoretice suplimentare date în rezumat în continuare. Numãrul de înmultiri pe secundã pe care le necesitã o filtrare este dat de realtia

MR = Kfs cu fs frecventa calculului, uzual frecventa de esantionare. Factorul K depinde de tipul filtrului si de performantele lui. În vederea reducerii numãrului MR, factorul K poate fi influentat prin alegerea filtrului adecvat ca ordin, ca structurã, potrivit în ceea ce priveste respectarea unor restrictii. Frecventa fs poate fi si ea modificatã prin varierea frecventei de esantionare. Frecventa de esantionare, se stie, trebuie sã fie cel putin cât dublul frecventei maxime din spectrul semnalului esantionat. De cele mai multe ori unele frecvente trebuie eliminate prin filtrare si atunci frecventa de esantionare poate fi coborîtã, prin aceasta reducându-se si banda de frecvente. Frecventa poate fi adaptatã la situatia fiecãrei etape a filtrãrii. Prin asta se poate mãri viteza de calcul a filtrului. Detalii vor fi date dupã câteva Complemente la teoria esantionãrii Fie semnalul s(t) cu spectrul S(f) limitat superior de frecventa fm si esantionat cu perioada T care verificã relatia

mfMT

21>

cu M un numãr întreg, pozitiv, mai mare ca unitatea. Dupã cum se vede, esantionarea este în acest caz mai bogatã decât cea strict necesarã. Se procedeazã acum la examinarea legãturii dintre transformatele Fourier ale multimii de semnale

1,...,2,1,0, −=

+ MiMT

Mins

Dintr-o sectiune anterioarã se stie cã transformata Fourier a semnalului

∑∞

−∞=

−=n

nMTttu )()(0 δ

77

(o secventã δ periodicã) este

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−

−==

nn

fnMTj

MTnf

MTefU δπ 1)( 2

0

ceea ce pune în evidentã un spectru de linii, linii situate la frecventele care anuleazã argumentele functiilor δ din secventa ultimã. Transformatele Fourier ale semnalelor

1,...,2,1,0;)( −=

+−= ∑

∞

−∞=

MiMTMinttu

ni δ

sunt

∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

+−

−==

n

fiTj

n

MTMinfji MT

nfeMT

efU δππ 2)/(2 1)(

cu i parcurgând aceeasi multime de valori, sau

∑∞

−∞=

−

−=

n

Minji MT

nfeMT

fU δπ )/(21)(

Dar Si(f) (i = 0, 1, 2, …, M -1) este convolutia spectrului S(f) cu Ui(f)

∑∞

−∞=

−

−=

n

Minji MT

nfSeMT

fS )/(21)( π

Spectrul sumã a spectrelor Si(f) este

∑∑∑−

=

−∞

−∞=

−

=

−==

1

0

)/(21

0

1)()(M

i

Minj

n

M

ii

M eMTnfS

MTfSfS π

în care suma ultimã se anuleazã pentru orice n care nu este multiplu al lui M. Se obtine

∑∞

−∞=

−=

n

M

TnfS

TfS 1)(

ceea ce este spectrul unui semnal esantionat cu frecventa 1/T. Termenii Si(f) pot fi la rându-le exprimati ca functii de SM(f) si

∑ ∑∞

−∞=

−

=

−

+−=

n

M

m

Mimfji e

TMmnfS

MTfS

1

0

)/(211)( π

ceea ce este echivalent cu

∑∑∞

−∞=

−

=

−

−

−=

n

M

m

Mimfji T

nMTmfS

Te

MfS 11)(

1

0

)/(2π

si în final

−= ∑

−

=

−

MTmfSe

MfS M

M

m

Mimfji

1

0

)/(21)( π

De observat schimbarea de fazã cu multipli de 2π/M a semnalului SM(f) decalat. Însumarea tuturor spectrelor decalate produce anularea benzilor imagine cu exceptia frecventelor care sunt multipli de 1/T care devin o nouã frecventã de esantionare. Este un rezultat datorat liniearitãtii transformãrii Fourier.

78

În termeni specifici transformãrii Z, multimea s(nT) are prin definitie transformata

∑∞

−∞=

−=n

nZnTsZS )()(

Spectrul de frecvente SM(f) al semnalului esantionat cu perioada T se obtine prin înlocuirea lui Z cu ej2πfT

S M(f) = S(ej2πfT) Prin detalierea sumei din expresia lui S(Z) se obtine

∑ ∑∞

−∞=

−

=

+−+=n

M

i

inMZiTnMTSZS1

0

)()()(

sau

∑∑∞

−∞=

−−

=

− +=n

nMM

i

i ZiTnMTSZZS )()(1

0

O simplã notatie

∑∞

−∞=

−+=n

nMMi ZiTnMTSZS )()(

conduce la

∑−

=

−=1

0

)()(M

i

iMi ZZSZS

Termenii sumei ultime contin transformatele Z ale multimii s[(n + i/M)MT] pentru i = 0, 1, 2, …, M – 1. Puterile Z-i reflectã intercalarea acestor multimi de esantioane. Printr-o analogie cu una din relatiile de mai devreme

∑−

=

−−− =1

0

)/(2)/(2 )(1)(M

m

MmjMimjMi

i ZeSeM

ZSZ ππ

si cu o notatie deja familarã, W = e – j2π/M se obtine

∑−

=

=1

0)(1)(

M

m

miimMi ZWSZW

MZS

Rezultatele obtinute sunt valide pentru semnale s(t) cu spectru care poate depãsi frecventa 1/2MT dar cu o oarecare deghizare (aliasing) spectralã. Filtre FIR multirate Fie un filtru FIR trece-jos care eliminã frecventele care depãsesc fc. Semnalul trecut prin filtru este esantionat cu frecventa fs care poate sã nu depãsescã 2fc. Dacã filtrul este de ordinul N atunci

∑−

=

−=1

0)()(

N

ii inxany

adicã iesirea este o medie ponderatã a N intrãri cu coeficientii ai ca ponderi. Vitezele, debitele de informatie (rate) la intrare si la iesire sunt independente si

79

o descrestere a ratei de esantionare la iesire cu un factor k = fs/2fc presupus a fi numãr întreg reduce volumul de calcul cu acelasi factor. Un rationament asemãnãtor se poate aplica pentru o crestere a ratei de esantionare la iesire, de pildã prin adãugarea unui numãr de esantioane nule, ceea ce produce o crestere proportionalã a volumului de calcule. Independenta sub aspectul frecventei de esantionare la intrare si la iesire pentru filtrele FIR poate fi exploatatã pentru filtrele de bandã îngust(at)ã, chiar dacã vitezele sunt aceleasi la intrare si la iesire, prin împãrtirea operatiei de filtrare în douã faze: (1) reducerea frecventei de esantionare de la valoarea fs la o valoare

intermediarã cff 20 ≥(2) cresterea frecventei de esantionare sau interpolare de la f0 la fs. Figura alãturatã ilustreazã descompunerea.

Dacã cele douã operatii sunt executate cu filtre similare de ordinul N numãrul de înmultiri necesar este 2Nf0. Realizarea operatiei într-un singur filtru necesitã Nfs inmultiri. Asadar, descompunerea este avantajoasã de îndatã ce coeficientul k = fs/2f0 este mai mare ca 2, adicã imediat ce fc < fs/4. Aceastã tratare pare a fi potrivitã pentru filtrele trece bandã îngustatã. Este de observat cã functia de filtrare obtinutã pe calea aceasta nu este aceeasi cu functia filtrului unic. Apar distorsiuni la frecventele superioare cu trei consecinte: (1) Infiltrarea deghizatã (aliasing) a componentelor reziduale cu frecvente mai

mari decât f0/2 în banda sub f0/2. Distorsiuni de naturã armonicã de o putere care depinde de atenuarea filtrului de reducere a ratei de esantionare. Atenuarea se calculeazã din functia de transfer H(f) ca în una din sectiunile precedente. Dacã, de exemplu, semnalul de intrare are o distributie sepectralã uniformã si o putere egalã cu unitatea, puterea totalã a semnalului deghizat este

∫−

=2/

2/

20

0

)(1 ff

fsT

s

dffHf

B

Dacã f1 este limita filtrului trece bandã atunci o limitã superioarã a puterii BT este datã de

s

N

iiT f

faB 11

0

2 2−< ∑

−

=

Distorsiunea poate fi presupusã uniform distribuitã ca spectru si se ia în considerarea numai banda de trecere. Se obtine în acest caz

80

−< ∑

−

= 2

11

0

2

0

1 22ffa

ffB

N

iiR

Degradarea este permisã numai pentru filtrul de reducere a ratei de esantionare.

(2) Periodicitatea (f0) în frecventã a rãspunsului filtrului de reducere a ratei de esantionare introduce o distorsionare de putere Bi care este o functie de atenuarea filtrului de interpolare. Acest filtru este acelasi cu filtrul de reducere a ratei de esantionare asa cã

∫−

=2/

2/

20

0

)(1 ff

fsi

s

dffHf

B

Aceastã distorsiune dinafara benzii de trecere poate produce neplãceri atunci când se adaugã semnalului filtrat alte semnale.

(3) Prin conectarea în cascadã a douã filtre, banda de trecere poate fi mai bogatã în pliuri. De exemplu, pliurile se dubleazã dacã în cele douã operatii se utilizeazã filtre identice.

În final, subsistmele filtrului multirate trebuie proiectate în asa fel încât sistemul complet sã satisfacã specificatia generalã impusã filtrului. Circuittul din figura bloc de mai sus se simplificã dacã frecventele de esantionare a semnalului înainte si dupã filtrarea pot fi diferite. Principiul poate fi aplicat si filtrelor trece-sus si trece-bandã dacã, de pildã, sunt introduse etaje de modulare si de demodulare. Principiul descompunerii poate fi extins la subsistemul de reducere a vitezei de esantionare si la subsistemul de interpolare care introduce un avantaj în plus. Filtrul FIR de jumãtate de bandã este un element particular eficient pentru implementarea acestor subsisteme. Filtre FIR de bandã înjumãtãtitã Un filtru FIR de bandã înjumãtãtitã este un filtru cu fazã liniarã pentru care rãspunsul în frecventã H(f) ia valoarea ½ la fecventa fs/4. Este antisimetric în jurul acestui punct adicã, functia H(f) satisface ecuatiile

5.0)4/( =sfH ;

−−=

+ f

fHf

fH ss

41

4

Pentru un numãr de coeficienti N = 4M + 1

−+= ∑

=−

−M

ii

Mfj fihefH1

1222 ])12(2cos[21

21)( ππ

Coeficientii hn sunt nuli pentru n par, cu exceptia lui h0. Figurile alãturate ilustreazã proprietãtile acestui filtru.

81

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

i

hi

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.5

1

X fs

H(f)

Specificarea este definitã prin pliurile (δ) din banda de trecere si din benzile de atenuare si de lãrgimea benzilor de trazitie ∆f. Dacã acesti parametri sunt dati atunci formulele pentru proiectarea filtrului sunt cele care urmeazã. Ordinul filtrului este dat de

ffN s ∆≈ /)10/1log(32 2δ

Dacã se considerã o atenuare (dB) )/1log(10 2δ=fA

si având în vedere semnificatia particularã pentru acest tip de filtru a frecventei fs/4, se poate scrie

ffAM sf ∆−≈ 4/)110/(32

asa încât, relatia dintre atenuarea în decibeli si banda de tranzitie pentru un numãr dat de coeficienti poate fi exprimatã simplu ca

)/4(1510 sf ffMA ∆+= relatie aproximativã cu atât mai bunã cu cât M este mai mare, dincolo de câteva unitãti. Filtre cu întâzieri de grup fractii ale perioadei esantioanelor În preambulul sectiunii prezente s-a enuntat faptul cã realizarea unor debite de informatie variabile este utilã si în filtrarea cu întârzieri de grup constante si diferite de multiplii întregi ai (jumãtãtii) perioadei de esantionare.

82

Interpolarea de bandã limitatã, optimã sub criteriul celor mai mici pãtrate, poate fi formulatã ca o filtrare cu întârziere fractionarã. Interpolarea este un caz de filtrare liniarã. Fie un filtru care are intrãrile întârziate cu ∆ esantioane. Rãspunsul impulsional al fitrului ideal este

( )[ ])(

sin)sinc()(∆−

∆−=∆−=∆ n

nnnhπ

π

Filtrul ideal trece-jos are frecventa de tãiere cât jumãtatea frecventei esantioanleor fs/2 si are caracteristica de fazã liniarã e-jω∆Τ

≥<

=∆−

∆ πωπωω

ω

TTe

eHTj

Tj

pentru0pentru

)(

Functia sinc este de tipul filtrului cu rãspuns impulsional infinit (IIR) fãrã recursivitate, deci nerealizabil. Pentru a obtine un filtru cu rãspuns impulsional finit (FIR) pentru interpolare se formuleazã problema proiectãrii filtrelor prin metoda celor mai mici pãtrate

• Rãspunsul în frecventã urmãrit: TjTj eeH ∆−

∆ = ωω )( cu ∆ întârzierea doritã • Rãspunsul în frecventã al filtrului FIR

∑−

=

−∆∆ =

1

0)(ˆ)(ˆ

N

n

nTjTj enheH ωω

• Eroare de minimizat )(ˆ)()( TjTjTj eHeHeE ωωω

∆∆ −= Norma erorii în spatiul L2 al functiilor de pãtrat sumabil este

∫∫−

∆∆−

−===π

π

ωωπ

π

ω ωπ

ωπ

deHeHdeEEhJ TjTjTj 222

2)(ˆ)(

21)(

21)(

Conform teoremei lui Parseval

∑∞

=∆∆ −=

0

2)(ˆ)()(

nnhnhhJ

Filtrul interpolator optimal sub criteriul celor mai mici pãtrate este

−≤≤∆−=∆ restîn0

10pentru)sinc()(ˆ Nnn

nh

Acum, pentru o filtrarea realizabilã este necesar a recurge la interpolarea cu functia sinc trunchiatã prin suprapunerea (mutiplicativã) unei ferestre rectangulare. Trunchierea functiei hs(t) la al cincilea zero la drepata si la stânga de origine produce rãspunsul în frecventã din figurã

83

cu axa verticalã în dB, cu axa orizontalã în esantioane spectrale. Filtrul astfel obtinut este optimal în sensul celor mai mici pãtrate dar se observã o slabã rejectie a benzii de frecvente de dincolo de frecventa de tãiere si un numãr apreciabil de falduri. Prin modificarea benzii de tranzitie faldurile se pot atenua. Interpolarea sinc cu fereastrã este exprimatã de functia

[ ]

−≤≤∆−∆−=∆ restîn0

10pentru)(sinc)()(ˆ Nnnnw

nhα

ceea ce echivaleazã cu metoda ferestrei în filtrarea trece-jos aplicatã functiei sinc esantionatã la faze diverse, corespunzãtoare întârzierii dorite între esantioane. Cele mai bune rezultate se obtin când . Fereastra w(n) trebuie sã fie simetricã (de pildã, Hamming, Blackman, Kaiser etc.). Ferestrele non-rectangulare au calitatea de a diminua efectele trunchierii si de a atenua fenomenul Gibbs ca în analiza Fourier numericã (FFT).

2/N≈∆

În banda de tranzitie rãspunsul ideal în frecventã se pliazã de la 1 pentru fs/(2α) la zero pentru fs/2. Interpolarea poate rãmâne cvasi-perfectã în banda de trecere. Figura alãturatã ilustreazã benzile de trecere, de tranzitie, de oprire (completã atenuare). Supraesantionarea (esantionarea în exces) reduce lungimea/ordinl filtrului. Un exemplu: În cazul de calitate a CD-urilor, fs = 44.1 kHz, limita audio superioarã este de 20 kHz, banda de tranzitie este de 2.05 kHz si lungimea filtrului FIR

84

este, sã spunem N1. Pentru fs = 48 kHz (fisiere cu extensia DAT), limita audio superioarã este aceeasi, banda de tranzitie este de 4 kHz, iar lungimea filtrului FIR este de aproximativ N1/2. Lungimea sau ordinul necesar al filtrului FIR este invers proportional cu lãrgimea benzii de tranzitie. Exemplul de mai devreme sustine afirmatia. Cresterea frecventei de esantionare cu cca 10% produce o reducere cu 50% a costului filtrului. Figura alãturatã ilustreazã interpolarea decalatã a semnalelor un filtru sinc cu fereastrã cu decalãri de fazã p fractionare alese arbitrar.

Functia sinc combinatã multiplicativ cu o fereastrã suficient de largã. Pentru semnalele audio, de pildã, sunt necesare 256 la 512 esantioane pentru fiecare nul al functiei sinc. Lãrgimea benzii de tranzitie determinã numãrul necesar de nuluri ale functiei sinc Pentru problema în discutie este posibilã o interpretare ca bancã de filtre polifazate. Se considerã o întârziere doritã de ∆ = L/M esantioane, cu L si M întregi, L < M. Existã M filtre de interpolare diferite necesare pentru a manipula întârzieri între 0 si 1 esantion

10,10,sinc)(ˆ −≤≤−≤≤

−= MLNn

MLnnhL

Oricare dintre filtre poate fi obtinut prin subesantionarea la faza corectã a unui filtru principal

)(ˆ)(ˆ LnMhnhL −= cu

85

10,sinc)(ˆ −≤≤

= MNn

MnnhL

Întârzierea cu L/M esantioane este echivalentã cu supraesantionarea cu M si deplasarea spre dreapta cu L esantioane urmatã de subesantionarea cu M la faza corectã. Deghizarea (aliasing) se produce conform cu caracteristicile benzii de oprire a filtrului trece-jos principal. Întreaga problemã poate fi privitã fie ca o problemã cu M filtre distincte, fie ca o problemã cu un singur filtru dar foarte lung care executã de M ori esantionarea cu rata initialã, subesantionat ulterior cu M la faza potrivitã. În acest context, secventa supraesantionare-deplasare-subesantionare poate fi asimilatã cu o bancã de filtre polifazice multiplexate

)()( LnMhnhL −= Tipic, fitrul FIR principal h(n) este liniar în fazã. Filtrele cu subesantionare hL(n) sunt în general neliniare în fazã dar rezultatul final este suficient de liniar în fazã astfel încât ansamblul sã îndeplineascã oricât de corect conditia de întârziere de grup constantã.

86

FILTRE ADAPTIVE Configuratii ale sistemelor în filtrarea adaptivã

Sunt patru tipuri majore de configuratii utilizate în filtrarea adaptivã: identificarea adaptivã a sistemelor, anularea adaptivã a zgomotelor, predictia liniarã adaptivã si sitemele inverse adaptive. Toate sistemele enumerate sunt similare ca algoritm de implementare dar diferite în configurare. Toate cele patru sisteme au acelaesi pãrti generale: o intrare x(n), un rezultat dorit d(n), o iesire y(n), o functie de transfer adaptivã w(n) si un semnal de eroare e(n) care este diferenta între iesirea doritã u(n) si iesirea realã y(n). În plus fatã de aceste componente configuratiile utilizate la identificare si la obtinerea sistemului invers mai cuprind si un sistem liniar u(n) care poate primi o intrare si poate produce o iesire liniarã la intrarea datã.

Configuratia adaptivã pentru identificarea sistemelor

Identificarea adaptivã a sistemelor este în principal gânditã pentru a determina o estimare discretã a functiei de transfer pentru un sistem numeric sau analog necunoscut. Fitrului adaptiv si sistemului necunoscut li se aplicã aceiasi intrare x(n). Iesirile sunt comparate (v. figura). Iesirea filtrului adaptiv y(n) si cea a sistemului necunoscut d(n), semnalul dorit, apar în diferenta lor e(n), un semnal de eroare care este utilizat la manipularea coeficientilor filtrului adaptiv pentru a apropia eroarea de anulare.

Dupã un numãr de iteratii, dacã sistemul este corect proiectat, functia de transfer a filtrului adaptiv converge cãtre o functie apropiatã de functia de transfer a sistemului necunoscut. Diferenta între cele douã functii de transfer este în directã legãturã cu eroarea remanentã. În plus, ordinul sistemului adaptiv afecteazã eroarea minimã pe care o asigurã sistemul. Dacã nu sunt suficienti coeficienti în sistemul adaptiv pentru a modela sistemul necunoscut atunci se spune cã sistemul este subspecificat. În conditii de subspecificare eroarea poate

87

converge cãtre o eroare constantã nenulã în loc de zero. Dimpotrivã, dacã sistemul este supraspecificat atunci eroarea tinde cãtre zero dar lent.

Configuratia adaptivã de anulare a zgomotului

Figura alãturatã aratã o configuratie de tipul din subtitlu. În aceastã configuratie intrarea x(n), o sursã de zgomot N1(n) este comparatã cu semnalul dorit d(n) care constã într-un semnal s(n) corupt de zgomotul N0(n). Coeficientii filtrului adaptiv se adapteazã pentru a produce o versiune fãrã zgomot a semnalului s(n). Cele douã semnale-zgomot din aceastã configuratie trebuie sã fie necorelate cu semnalul s(n). În plus, sursele de zgomot trebuie sã fie mutual corelate într-un mod sau altul, preferabil este sã fie egale pentru a avea rezultate bune.

Datoritã naturii semnalului de eroare acesta nu va fi niciodatã nul. Eroarea e(n) converge la semnalul s(n) dar nu exact la semnalul determinist s(n). Eroarea este în general nenulã si trebuie sã minimizeze un anumit criteriu.

Configuratia de predictie liniarã adaptivã

Configuratia de predictie liniarã adaptivã este reprezentatã în figura alãturatã. Aceastã configuratie executã în esentã douã operatii. Prima este de predictie linarã: coeficientii filtrului sunt adaptati pentru a prezice valorea urmãtoare a semnalului la intrare din caracterisiticile statistice ale semnalului de intrare x(n), pe baza erorii e(n). A doua pleacã de la valorile y(n) si constã într-o actiune de anulare-diminuare a zgomotului ca în configuratia precedentã.

Ca si în configuratia tratatã anterior nici predictia liniarã a iesirii, nici anularea zgomotului nu converg spre o eroare nulã. Acest adevãr pentru predictia liniarã derivã din faptul cã o convergentã a erorii cãtre zero ar echivala cu un semanl x(n) complet determinat asadar nu s-ar transmite nici o informatie. Dar y(n) tinde cãtre o versiune fãrã zgomot a semnalului de intrare.

88

Configuratia adaptivã a sistemului invers

Figura urmãtoare înfãtiseazã aceastã configuratie. Scopul unui filtru adaptiv de acest gen este de a modela inversul unui sistem necunoscut u(n).

Utilitatea acestei tratãri a semnalelor iese în evidentã în schemele adaptive de egalizare unde rolul filtrului este de a elimina orice schimbãri de spectru datorate unui sistem premergãtor sau unei linii de transmisie. Semnalul x(n) trece prin sistemul necunoscut u(n) si prin filtrul adaptiv w(n) si se obtine iesirea y(t). Acelasi semnal x(n) este întârziat pentru a obtine semnalul dorit d(n). Pe mãsurã ce eroarea e(n) tinde cãtre zero, filtrul w(n) tinde cãtre inversul sistemului necunoscut u(n). Si aici eroarea numai teoretic se poate anula. Practic situatia se poate atinge numai dacã sistemul necunoscut are numai un numãr finit de poli sau filtrul adaptiv este de tipul IIR. În alte conditii sistemul converge cãtre o constantã din cauza numãrului finit de zerouri ale unui filtru FIR.

Performantele sistemelor adaptive

Uzual se evalueazã sase indicatori de performantã ai unui sistem adaptiv: viteza de convergentã, eroarea medie pãtraticã minimã, complexitatea calculului, stabilitatea, robustetea si lungimea filtrului.

Viteza de convergentã este viteza cu care filtrul converge la starea rezultantã, finalã. De obicei convergenta rapidã este o caracteristicã a sistemelor adaptive urmãritã a fi cât mai favorabilã. Rapiditatea cu care filtrul converge cãtre obiectivul lui nu este independentã de alte caracterisitici. Uneori este necesar un compromis care impune o renuntare partialã la vitezã. O vitezã de convergentã mare poate compromite stabilitatea ceea ce, în ultimã instantã poate duce la o situatie echivalentã într-un fel cu divergenta.

Eroarea medie pãtraticã minimã este în fapt o mãsurã a capacitãtii sistemului de a se adapta la o anumitã solutie. O eroare medie pãtraticã minimã cu valoare redusã indicã un sistem adaptiv care modeleazã, prezice, se adapteazã sau converge cu o precizie bunã la solutia urmãritã. O eroare medie pãtraticã minimã cu valoare mare indicã ori cã filtrul nu se poate adapta satisfãcãtor problemei date, ori starea initialã a sistemului or punctul de pornire este

89

neadecvat si face filtrul sã conveargã lent. Ce înseamnã valoare micã – valoare mare se stabileste printr-o cuantificare corectã a zgomotelor, prin alegerea adecvatã a ordinului filtrului, prin adoptarea unei metode de minimizare a erorii medii pãtratice potrivite.

Complexitatea calculelor este de mare importantã în cazul sistemelor adaptive în timp real. Sunt unele limitãri impuse de hardware care trebuie avute în vedere la implemetarea unor asemenea sisteme. Un algoritm complicat necesitã, desigur, resurse hardware mari, în timp ce un algoritm mai simplu angajeazã resurse moderate.

Stabilitatea este poate cea mai importantã laturã a performantelor unui filtru adaptiv. Prin natura lor, sunt putine sisteme adaptive complet stabile asimptotic care sã fie si realizabile. În multe cazuri sistemele implementate sunt stabile marginal, cu stabilitatea determinatã de conditiile initiale, de functia de transfer.

Robustetea unui sistem este direct legatã de stabilitate. Robustetea este o mãsurã a rezistentei sistemului la zgomotele de cuantizare si la zgomotele de intrare.

Lungimea filtrului este un alt indicator de performantã a filtrelor adaptive legat de multi alti indici de performantã. Lungimea se leagã de cât de bine este modelat un sistem dat. Lungimea determinã într-o mãsurã apreciabilã viteza de convergentã prin influenta directã asupra timpului de calcul. Stabilitatea si eroarea medie pãtraticã minimã sunt diferite la lungimi diferite ale filtrului. Prin lungirea unui filtru se pot introduce poli si zerouri noi care influenteazã stabilitatea etc.

90

ALTE TRANSFORMÃRI ALE SEMNALELOR Existã o varietate foarte bogatã de transformãri ale semnalelor. De mentionat, oarecum într-o ordine a utilizãrii lor, sunt urmãtoarele. • Transformarea cosinus • Transformarea sinus • Transformarea Hartley • Transformarea Hadamard • Transformarea Haar • Transformarea Karhunen-Loeve (transformarea prin valori proprii, PCA) Sunt prezentate ca exemplu douã transformãri foarte frecvent prezente în prelucrarea unor semnale. Transformarea cosinus Transformarea cosinus are o versiune continuã si una discretã. Desigur, cea mai utilizatã este transformarea discretã. Transformarea cosinus discretã este folositã în multe aplicatii standardizate cum sunt cele prescurtate ca JPEG si MPEG. Ratiunea pentru aceastã alegere este bogatã. De mentionat este simplitatea relativã a metodei ceea ce duce la necesitãti de calcul moderate (fatã de alte transformãri cum sunt transformãrile Fourier sau Hartley). Expresiile transformãrilor discrete directã si inversã pentru semnale unidimensionale sunt urmãtoarele:

∑−

=

+

=1

0

21

cos)()(2)(N

k N

knkxkv

NnX

π

∑−

=

+

=1

0

21

cos)()(2)(N

k N

knkXkv

Nnx

π

cu

=

=altfel1

0pentru2

1)( kkv

Transformarea cosinus, ca si transformarea sinus este legatã de transformarea Fourier, respectiv cu partea realã si imaginarã a transformãrii Fourier. Transformarea cosinus bidimensionalã este mai frecvent utilizatã în cazul semnalelor bidimensionale. Un semnal f(x,y) cu o anumitã simetrie poate fi

91

reprezentat direct prin transformarea cosinus. Simetria necesarã se poate însã si construi în maniera urmãtoare

<<−−−−<≥−−≥<−−≥≥

=

0,0)1,1(0,0)1,(0,0),1(0,0),(

),(

yxyxfyxyxfyxyxfyxyxf

yxf s

si functia nouã este simetricã fatã de punctul (–1/2, –1/2). Transformarea cosinus directã se poate scrie acum ca

+

+= ∑∑

−

=

−

= 21cos

21cos),()()(2),(

1

0

1

0y

Nvx

NuyxfvCuC

NvuC

N

x

N

y

ππ

care se poate obtine si prin transformarea Fourier directã a functiei f(x,y). Se pun astfel în evidentã valorile particulare ale coeficientilor C(u) si C(v) în general unitari, dar care iau valoarea 2/1)0( =C pentru argument nul. Transformarea inversã este datã de relatia

+

+= ∑∑

−

=

−

= 21cos

21cos),()()(2),(

1

0

1

0

yNvx

NuvuCvCuC

Nyxf

N

u

N

v

ππ

În cazul altei simetrii, cea imparã,

<<−−<≥−≥<−≥≥

=

0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(

),(

yxyxfyxyxfyxyxfyxyxf

yxf s

transformarea Fourier a acestei functii conduce la

∑∑

∑ ∑

−−−=

=−

=−

+−=

−

+−=

+−

−

122cos

122cos),(

124

),(12

1),(

*

1

1

1

1

)(12

2

Nvy

Nuxyxf

N

eyxfN

vuF

s

N

Nx

N

Ny

vyuxNj

ss

ππ

π

în care

≠≠

=≠

≠=

==

=

0,0),(

0,0),(21

0,0),(21

0,0),(41

),(*

yxyxf

yxyxf

yxyxf

yxyxf

yxf s

Proprietãtile transformãrii cosinus numerice sunt urmãtoarele: • Rezultate în numere reale • Puncte comune cu transformarea Fourier • Existenta unui algoritm rapid cu numãrul de înmultiri de ordinul NN log2

92

• Transformarea cosinus numericã rapidã este asemãnãtoare transformãrii Fourier rapide

• Capacitate de compresie energeticã remarcabilã pentru semnalele puternic corelate

Compresia imaginilor cunoscutã sub acronimul JPEG (Joint Photographers Experts Group) se bazeazã pe transformarea cosinus. Compresia JPEG începe prin divizarea imaginii în grupe de 8x8 pixeli. Algoritmul JPEG poate accepta o gamã largã de biti per pixel, inclusiv pentru utilizarea informatiei de culoare. În discutia de fatã fiecare pixel este un octet (byte) care corespunde unei scãri de nuante de gri de la 0 la 255. Grupele de 8x8 pixeli sunt tratate independent în operatia de comprimare. Initial, fiecare grupã este reprezentatã de 64 de octeti. Dupã transformare si eliminarea de informatie – procedeul este de tipul cu pierdere de informatie – fiecare grupã este reprezentatã, de pildã, prin 2 la 20 de octeti. La decomprimare se face operatia inversã: cei 2 la 20 octeti sunt utilizati pentru a obtine o aproximare a grupei de 8x8 pixeli. Grupele obtinute astfel sunt juxpause pentru a obtine imaginea decomprimatã. Se poate pune întrebarea de ce grupe de 8x8 pixeli si nu, de pildã, grupe de 16x16 pixeli. Gruparea încã utilizatã, de 8x8, se leagã de capacitatea circuitelor integrate de a vehicula simultan informatie, limitatã la vremea dezvoltãrii standardului JPEG. Deocamdatã, în majoritatea circumstantelor, divizarea imaginilor în zone de 8x8 pixeli satisface deplin. Dacã se va trece la o altã divizare, este o chestiune de viitor care va fi decisã de raportul cost/câstig în calitatea imaginilor. Pentru compresia de date, multe transformãri au fost investigate, unele din ele elaborate special pentru scopul acesta al compresiei de imagini. Transformata Karhunen-Loeve conduce la raportul de compresie cel mai bun posibil dar este dificil de implementat. Transformarea Fourier este usor de folosit dar nu dã o compresie prea bunã. Dupã o intensã competitie între variate transformãri, câstigãtorul a fost transformarea cosinus discretã, cum s-a mai spus, o rudã apropiatã a transformãrii Fourier. Asa cum transformarea Fourier utilizeazã pentru reprezentarea semnalelor sinusoide si cosinusoide (de fapt sinusoide defazate cu π/2), tot asa transformarea cosinus discretã se bazeazã pe cosinusoide. Transformarea cosinus discretã are mai multe versiuni care diferã prin detalii matematice mai curând neînsemnate. În sprijinul unui exemplu pentru una din versiuni se presupune cã semnalul este alcãtuit din 129 de esantioane numerotate de la 0 la 128. Se face din acesta un semnal de 256 de puncte prin adãugarea esantioanelor 1 la 127 în ordine inversã de la 130 la 255. Semnalul astfel completat este asadar alcãtuit din aceleasi esantioane în ordinea 0, 1, 2, …, 127, 128, 127, …, 2, 1. Transformata Fourier a acestei secvente produce un spectru de frecvente de 129 de puncte, numerotate de la 0 la 128. Deoarece semnalul în domeniul timp a fost fortat sã fie simetric, partea imaginarã a spectrului este nulã, toate componentele imaginare sunt nule. Cu alte cuvinte s-a pornit de la 129 de puncte în domeniul timp si s-au obtinut 129 de puncte în spectrul de

93

frecvente, fiecare din ele fiind amplitudinea unei cosinusoide. Asta este transformarea cosinus numericã. Dacã transformata cosinus este consideratã pentru un grup de 8x8 valori, rezultatul ei este un spectru de 8x8 componente. Din 64 de numere s-au obtinut alte 64 de numere. Toate aceste valori sunt reale si, în consecintã, nu intervine vreo aritmeticã compexã. Ca si în analiza Fourier, fiecare valoare din spectru este o amplitudine a unei functii din bazã. Figura de mai jos aratã 6 din cele 64 de functii din baza utilizatã în transformarea cosinus discretã si pozitia lor în spectru. Cele 8x8 functii din baza în discutie sunt date de expresia:

vyuxyxb16

)12cos(cos16

)12cos(cos],[ −−=

Transformarea sinus Transformarea sinus introdusã de Jain, în varianta unidimensionalã are forma

∑= +

+++

=N

x Nuxxf

NuA

0 1)1)(1(sin)(

12)( π

iar în varianta bidimensionalã are forma

∑∑= = +

+++

+++

=N

x

N

y Nvy

Nuxyxf

NvuS

0 0 1)1)(1(sin

1)1)(1(sin),(

12),( ππ

transformãrile inverse se pot scrie imediat, fãrã dificultãti. Proprietãtile acestei transformãri sunt similare celor ale transformãrii cosinus. Transformarea Hartley Transformarea Hartley, introdusã de Bracewell si denumitã astfel dupã numele celui care a introdus metoda pentru semnalele continue are expresia directã

∑∑−

=

−

=

+=

1

0

1

0)(2),(1),(

N

x

N

yvyux

Ncasyxf

NvuH π

si expresia inversã

∑∑−

=

−

=

+=

1

0

1

0)(2),(1),(

N

u

N

vvyux

NcasvuH

Nyxf π

În ambele expresii θθθ sincos +=cas

94

ANEXA 1 Complemente de teoria probabilitãtilor si de statisticã matematicã Spatiul evenimentelor Un experiment oarecare poate avea rezultate diverse. Aceste rezultate sunt numite în continuare evenimente. Astfel, rostogolirea unui zar perfect pe o suprafatã planã poate avea ca rezultat aparitia pe fata de deasupra a, sã spunem, cinci puncte. S-a produs asadar evenimentul aparitiei deasupra a fetei cu cinci puncte. Tot asa, conform definitiei de mai sus, extragerea valetului de cupã dintr-un pachet de cãrti de joc bine amestecat este un eveniment. Fie E multimea tutror evenimentelor posibile relativ la un experiment. Multimea E este calificatã si cu termenul de spatiu al evenimentelor. Evenimentele unui astfel de spatiu se pot gãsi în anumite relatii si cu evenimentele acelui spatiu se pot face unele operatii. O relatie importantã între evenimente este implicatia. Implicatia se noteazã

si se citeste evenimentul A implicã evenimentul B, ceea ce înseamnã cã producerea evenimentului A conduce automat la producerea evenimentului B; implicatia reciprocã, si este un mod de a exprima egalitatea (echivalenta) a douã evenimente.

A B⊂

A B⊂ B ⊂ A

Operatiile principale cu evenimente sunt unare sau binare. Operatia de luare a complementarului sau a contrarului unui eveniment dat este unarã, opereazã cu un singur eveniment. Reuniunea si intersectia de evenimente sunt operatii binare, implicã douã evenimente. Luarea complementarului sau a contrarului unui eveniment constã în luarea în considerare a acelui eveniment care se produce când nu se produce evenimentul al cãrui contrar se defineste. Dacã evenimentul asupra cãruia se opereazã este A atunci evenimentul contrar este notat cu A . De ce contrar si/sau complementar se va explica dupã definirea celor douã operatii binare anuntate. Reuniunea a douã evenimente se noteazã si este evenimentul care constã în producerea a cel putin unuia din cele douã evenimente.

A B∪

Intersectia a douã evenimente se noteazã si este evenimentul care constã în producerea ambelor evenimente.

A B∩

Existã douã evenimente speciale care se includ în multimea E. Unul este evenimentul imposibil notat cu ∅ si celãlalt este evenimentul sigur notat cu E. Evenimentul imposibil nu se produce niciodatã, evenimentul sigur se produce de fiecare datã.

95

O relatie de forma exprimã incompatibilitatea reciprocã a douã evenimente, adicã producerea unuia exclude producerea celuilalt.

A B∩ = ∅

Acum se poate formula mai precis raportul între un eveniment si contrarul lui: A A∩ = ∅ , A A E∪ = . Cu alte cuvinte un eveniment este incompatibil cu

contrarul sãu, producerea unui eveniment sau a contrarului sãu este sigurã. Este momentul sã se aducã precizarea cã contrarul contrarului unui eveniment este acel eveniment. Simbolic, A A= . Multimea E este partial ordonatã, relatia de ordine este implicatia. Multimea E împreunã cu operatiile de luare a complementarului unui eveniment, de reuniune si de intersectie a evenimentelor se organizeazã ca o algebrã booleanã. Intre evenimentele dintr-o multime E se disting atomi sau evenimente elementare si evenimente compuse. De pildã, prin aruncarea zarului se pot produce între altele evenimentele A2 si A5 care constau în aparitia pe fata de deasupra, a unui numãr de puncte egal cu indicele. Ambele sunt atomi sau evenimente elementare în sensul cã nu sunt alte evenimente încã mai simple decât ele. Reuniunea este însã un eveniment compus. A2 ∪ A5

Fie acum Ω multimea evenimentelor elementare dintr-o multime finitã E de evenimente. Evident . O submultime de pãrti ale lui Ω, se organizeazã ca un corp dacã

Ω ≠ ∅ )(Ω⊂ PK

KAKA ∈⇒∈ KBAKBA ∈∪⇒∈, KBAKBA ∈∩⇒∈,

În aceste coditii perechea (Ω, K) este un corp de evenimente si este un σ-corp sau corp borelian de evenimente dacã orice reuniune sau intersectie de evenimente din K, finite sau infinite apartin multimii K. Într-un spatiu E complet si atomic, orice eveniment se poate scrie ca o reuninune de elemente din Ω

A ≠ ∅

A ii

=∈

ωω ΩU

Se numeste partitie a unui eveniment o multime de evenimente (i = 1, 2, …, n) mutual incompatibile, adicã pentru u

, astfel încât

KA∈ KAi ∈K∈, cA Ai j∩ = ∅ AA ji

ji ≠

A Aii

n

=

=1U

Dacã A = Ω atunci evenimentele (i = 1, 2, …, n) alcãtuiesc un sistem complet de evenimente.

KAi ∈

Probabilitãti, probabilitãti conditionate Pe multimea evenimentelor corpul K se defineste o functie realã P, numitã probabilitate, care are proprietãtile:

96

1. pentru ∀ 0)( ≥AP KA∈2. P(Ω) = 1 3. ( ) ∑= )( ii APAPU pentru si dacã i KAi ∈ A Ai j∩ = ∅ j≠

Dacã ultima proprietate are loc si pentru reuniuni numerabile atunci probabilitatea P se numeste complet aditivã (sau σ-aditivã) pe corpul borelian de evenimente (Ω, K). Tripletul (Ω, K, P) se numeste câmp (borelian) de probabilitate. Dacã Ω este o multime finitã atunci (Ω, K, P) este un câmp de probabilitate discret. Din proprietãtile de mai sus derivã alte câteva proprietãti importante ale probabilitãtii P. Astfel

4. Probabilitatea evenimentului imposibil P( )∅ = 0

5. Relatia dintre probabilitãtile evenimentelor contrare )(1)( APAP −=

6. Probabilitatea evenimentului diferentã, BABA ∩=− P A B P A P A B( ) ( ) (− = − ∩ )

)

n≤

7. Limitele inferioarã si superioarã a functiei P, probabilitatea

0 1≤ ≤P A( ) 8. Probabilitatea evenimentului A , numit diferentã

simetricã )()( ABBAB −∪−=∆

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) (∆ = + − ∩2 9. Probabilitatea reuniunii de evenimente oarecare

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ O extindere a relatiei ultime la reuniunea a n evenimente este

∑=

+

=

−=

n

jj

jn

ii SAP

1

1

1

)1(U cu . S P A A jj i ii i i n

j

j

= ∩ ∩≤

∑ ( ... ), ,...,

1

1 2

Dacã este o familie numerabilã de evenimente mutual

incompatibile, atunci . Dacã familia este si exhaustivã,

adicã se constituie ca un sistem complet de evenimente, atunci .

IiiAF ∈=

0=

∈I

IiiAP IiiAF ∈=

1=

∈U

IiiAP

Evenimentele se pot afla în relatie de conditionare reciprocã în sensul cã un eveniment odatã produs poate modifica probabilitatea de producere a altui eveniment. Relatia de bazã pentru calculul probabilitãtilor conditionate este

P A P A B P A B P BB ( ) ( / ) ( ) / ( )= = ∩ cu evenimentul B, care conditioneazã producerea evenimentului A, trecut ca indice sau pe pozitia a doua în argumentul functiei probabilitate. În general,

p A B P A( / ) ( )≠ si P B A P B( / ) ( )≠

97

ceea ce indicã o dependentã, o conditionare între cele douã evenimente. Dacã are loc egalitatea în ambele relatii atunci evenimentele sunt independente. Dacã probabilitatea unei intersectii finite de evenimente este nenulã,

, atunci probabilitatea respectivã se poate calcula cu formula 01

≠

=I

n

iiAP

)()/(/ 112

1

11

APAAPAAPAPn

iin

n

ii KII

=

−

==

care se demonstreazã inductiv pornind de la relatia pentru douã evenimente derivatã din formula probabilitãtii conditionate Dacã ( ) ,Ai i n=1 este o partitie a câmpului Ω atunci probabilitatea unui eveniment oarecare se poate calcula cu relatia

P A P A P A Ai ii

n

( ) ( ) ( / )==∑

1

cunoscutã ca formula probabilitãtii totale. Mai este de retinut formula lui Bayes

P A A P A P A A P A P A Ai i i ii

n

( / ) ( ) ( / ) / ( ) ( / )==∑

1i

care în aceleasi conditii, ( ) ,Ai i n=1 o partitie a câmpului Ω, permite calculul probabilitãtii fiecãrui eveniment al partitiei conditionat de evenimentul , altfel oarecare.

KA∈

Variabile aleatoare O variabilã aleatoare este o functie cu proprietatea X :Ω → R

/ ( ) X x X x x R< ⇒ ∈ < ∈ ∀ ∈ω ωΩ K O variabilã aleatoare simplã ia numai un numãr finit de valori. De exemplu functia indicator a unui eveniment KA∈

∈∉

=AA

A ωω

χ10

este o variabilã aleatoare simplã care ia douã valori, 0 si 1. Dacã X este o variabilã aleatoare definitã pe câmpul (Ω, K, P), atunci pentru oricare douã valori toate intervalele finite sau infinite delimitate de cele douã valori corespund unor evenimente din K si, prin generalizare, pentru orice multime I reuniune de intervale din R, se poate calcula probabilitatea P I . PX (I) reprezintã distributia de probabilitate a variabilei aleatoare X. Se poate vorbi de PX ca de o probabilitate definitã pe câmpul (R, KX) în care

x x R x x1 2 1 2, ,∈ ≤

P XX ( ) [ ( )ω I P X I] [ ( )]= ∈ = −1

KIXR ∈− )(/ 1IK X ⊂= . Dacã variabila aleatoare X ia valori într-o multime cel mult numerabilã

/ , , x x R i I I Ni i ∈ ∈ ⊂ + atunci ea se numeste discretã si

98

P xX ii I

( ) =∈∑ 1

∑∈

∈∀=Jx

XiXXi

KJxPJP )()(

Dacã X variazã continuu pe un interval atunci XKI ∈

P I f x dxX XI

( ) ( )= ∫

si este o functie absolut continuã. Functia fX(x) este densitatea de probabilitate sau densitatea de repartitie a variabilei aleatoare X, este nenegativã pentru orice x real si are proprietatea

f x dxX ( ) =−∞

∞

∫ 1

Se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare X functia F x P X x P xX X( ) [ ( ) ] [( , )]= < = −∞ω

Functia de repartitie este nedescrescãtoare pe întreaga axã realã a b F a F b a b RX X< ⇒ ≤ ∀ ∈( ) ( ) ,

si este continuã la stânga în fiecare punct

RaaFxFaxax XX ∈∀=

<→)()(

,lim

Valorile minimã si maximã ale unei functii de repartitie sunt date de

1)(lim

0)(lim

=∞→

=−∞→

xFx

xFx XX

Eventualele discontinuitãti sunt de speta primã si sunt cel mult numerabile. Reciproc, orice functie cu proprietãtile de mai sus poate fi pusã în corespondentã cu un câmp de probabilitate. Pentru o variabilã aleatoare discretã are loc relatia

F x P xX Xx xi

( ) ( )=<

∑ i

si functia de repartitie este o functie în scarã, iar pentru o variabilã aleatoare continuã

)()(,)()( xFdxdxfdxxfxF XX

x

XX == ∫∞−

Pentru orice interval [ , )a b R⊂P a b F b F aX X[ , ) ( ) ( )= − X

si dacã variabila este de tip continuu P aX ( ) = 0

Se noteazã cu V(Ω, K, P) multimea tuturor variabilelor aleatoare definite pe câmpul de probabilitate (Ω, K, P). Dacã atunci suma, produsul celor douã variabile aleatoare, modulul, puterea, în general o functie mãsurabilã Borel de oricare dintre ele sunt toate variabile aleatoare din

),,(, PKVYX Ω∈

99

multimea V(Ω, K, P). Ori de câte ori nu este pericol de confuzie, variabila aleatoare trecutã ca indice al functiei de repartitie sau al fuctiei de densitate de repartitie se poate omite. Dacã se reia exemplul foarte frecventat în manualele de teoria probabilitãtilor, al zarului perfect care este fãcut la fiecare experientã sã se rostogoleascã pe o suprafatã planã, orizontalã, atunci multimea evenimentelor elementare (atomi) Ω este alcãtuitã din aparitiile deasupra a celor sase fete, marcate uzual cu unu pânã la sase puncte. Multimea de pãrti ale lui Ω este alcãtuitã din toate reuniunile posibile de evenimente elementare la care se adaugã evenimentul imposibil. Multimea K organizatã ca un corp de evenimente coincide chiar cu multimea de pãrti P(Ω), iar functia numitã probabilitate ia valoarea 1/6 pentru fiecare din evenimentele elementare deoarece fetele zarului au sanse egale de a apãrea deasupra. O variabilã aleatoare poate fi chiar numãrul de puncte afisat pe fata de deasupra. În acest caz functia de repartitie se prezintã ca în desenul alãturat

si este, ca pentru orice variabilã aleatoare discretã, o functie în trepte. Dar pe acelasi câmp de probabilitate se pot defini si alte variabile aleatoare. Pe câmpul asociat zarului perfect se poate imagina, de pildã, functia definitã astfel

X R:Ω →

ω ω ω ω ω ω1 2 3 4 51 15 32 6 8 105− . .

6.

si atunci functia de repartitie se prezintã diferit, conform figurii urmãtoare

Asadar, multimea V(Ω, K, P) este foarte bogatã.

100

De variabilele aleatoare sunt legate câteva valori remarcabile. Una foarte importantã este media

∫+∞

∞−

= dxxxfxM )()(

care face parte din lista nesfârsitã a momentelor de diferite ordine ale variabilei, acesta fiind momentul de ordinul unu. Similar se poate calcula media unei functii g(x) de variabila aleatoare x

M g x g x f x dx[ ( )] ( ) ( )=−∞

+∞

∫

si dacã avem tocmai momentul de ordinul r despre care s-a amintit. În cazul particular se obtine o altã valoare importantã relativ la variabila aleatoare descrisã de functia de repartitie F(x) sau de densitatea de repartitie f(x), si anume dispersia. Rãdãcina pãtratã pozitivã a dispersiei se numeste abatere medie pãtraticã. Dispersia notatã uzual cu σ 2 este momentul centrat de ordinul doi al variabilei aleatoare, unul din multiplele momente centrate, de ordine diferite, ale variabilei.

g x x rr( ) ,= ∈N

g x( ) x M x[ ( )]= − 2

Nu numai variabilele aleatoare continue au momente, medii, dispersii ci si cele discrete. În cazul discret, formulele de calcul contin sume în locul integralelor si valorile variabilei parcurg întreaga listã de valori posibile, iar densitatea de repartitie este înlocuitã de probabilitãtile asociate valorilor pe care variabila le poate lua. Câteva legi de repartitie teoretice foarte utilizate sunt prezentate pe scurt în continuare. Legea binomialã

P m C p pnm m n m( ) ( )= − −1

cu si p un numãr în intervalul [0,1] este de tip discret. Variabila aleatoare este m si are media np si dispersia np(1 – p). Modelul fizic îl constituie urna cu bile de douã culori, iar evenimentele (compuse) constau în extragerea repetatã a câte unei bile dupã care bila extrasã este reintrodusã în urnã. Variabila m reprezintã numãrul bilelor de o anumitã culoare din cele douã, în n extrageri succesive, conform schemei cu bila returnatã. Numãrul p reprezintã proportia de bile de acea culoare în urnã, cu alte cuvinte probabilitatea de obtinere la o extragere simplã a unei bile de culoarea respectivã.

0 ≤ ≤m n

Legea Poisson

P mm

m

( )!

exp( )= −µ µ

cu µ > 0 si m natural ca variabilã aleatoare. Media variabilei este µ, dispersia ei este, de asemenea, µ. Un modelul fizic îl reprezintã numãrul dezintegrãrilor radioactive, numãrul de apeluri telefonice solicitate într-o centralã etc. într-un interval de timp precizat, scurt.

101

Legea normalã (sau gaussianã) care este datã de densitatea de probabiltate

f x ex m

( )( )

=−

−12

2

22

σ πσ

în care m este media variabilei x si σ 2 este dispersia ei. Legea normalã este perceputã ca o lege limitã pentru sumele de variabile aleatoare. Un fenomen afectat de foarte multi factori aleatori se prezintã de cele mai multe ori ca un fenomen aleator descris de o lege normalã. Variabilele aleatoare din expunerea teoreticã sau din exemplele prezentate mai sus au fost pânã acum simple, adicã a fost vorba în toate cazurile de o singurã functie legatã de un unic câmp de probabilitate (Ω, K, P). Se pot imagina variabile aleatoare cu mai multe componente, variabile aleatoare sub forma unor vectori cu componente aleatoare definite relativ la un acelasi câmp de probabilitate sau la câmpuri de probabilitate diferite. Astfel legea urmãtoare se referã la o variabilã aleatoare vectorialã.

X :Ω → R

Legea normalã multidimensionalã este datã de densitatea de repartitie )()(

21

2

1

det)2(

1)(mxWmx

n

T

eW

xf−−− −

=π

cu media m, un vector cu n componente si cu matricea de covariatie W, o matrice pozitiv definitã. Pentru ca exemplul sã aibã consistenta necesarã trebuie definitã mai exact matricea W. Este de comentat mai întâi problema corelatiei a douã variabile aleatoare care pot fi independente, caz în care valorile uneia nu influenteazã în nici un fel valorile pe care le poate lua cealaltã, dar pot fi mai mult sau mai putin dependente ceea ce înseamnã cã dacã una din variabile a luat o valoare atunci legea de repartitie a celeilalte se modificã în functie de acea valoare a primei variabile. Fiind date douã variabile aleatoare x si y de medii nule, media produsului lor M(xy) se numeste covariatie. Dacã covariatia este nulã se poate spune în general cã cele douã variabile nu sunt corelate. Dimpotrivã, dacã variabilele sunt corelate, existã o corelatie între ele, existã o dependentã între valorile pe care ele le iau în sensul arãtat putin mai devreme. Dacã mediile sunt diferite de zero, afirmatia si definitia se mentin pentru abaterile de la medie. Întrucât covariatia M(xy) poate lua valori foarte diferite, pentru o apreciere cantitativã mai riguroasã a tãriei corelatiei se utilizeazã coeficientul de corelatie

M xy( ) ≠ 0

ρ =M xy

M x M y( )

( ) ( )2 2

care ia valori în intervalul [-1,1] si în expresia cãruia se disting dispersiile celor douã variabile, M(x2) si M(y2). O valoare apropiatã de extremele intervalului indicã o corelatie strânsã, o valoare apropiatã de zero exprimã o corelatie slabã. Componentele unui vector aleator, privite ca variabile aleatoare simple sunt mutual mai mult sau mai putin corelate. Se defineste ca matrice a covariatiilor unui vector aleator x media produsului xxT, media produsului acelui vector cu

102

transpusul sãu. Se obtine o matrice pãtratã simetricã care are pe diagonalã dispersiile individuale ale componentelor. Aceasta este matricea W utilizatã în expresia densitãtii de repartitie a variabilei aleatoare normale multidimensionale din exemplul de mai sus. Dacã matricea covariatiilor este diagonalã (are toate elementele nule cu exceptia celor de pe diagonala principalã) atunci componentele sunt mutual independente. Împãrtirea fiecãrui element al matricei covariatiilor cu abaterile medii pãtratice ale componentelor corespunzãtoare ale vectorului x produce o matrice a coeficientilor de corelatie, cu 1 pe diagonalã, cu valori in intervalul [– 1, 1] în rest. Generarea de numere aleatoare În modelarea si mai ales în simularea sistemelor este necesarã deseori generarea de numere aleatoare a cãror aparitie sã se producã conform unei anumite legi de repartitie, unele valori mai frecvent, altele mai putin frecvent. În sprijinul acestei cerinte, aproape toate limbajele de programare evoluate au în biblioteca lor, alãturi de alte functii, functii generatoare de numere aleatoare uniform repartizate pe un interval precizat, de regulã intervalul (0, 1). În PASCAL, de pildã, existã functia random, cu sau fãrã argument, care genereazã astfel de numere. Subprogramul randomize invocat înaintea primului apel la functia random asigurã secvente de numere diferite la fiecare nouã utilizare succesivã într-un program, a functiei de bibliotecã generatoare de numere aleatoare. Versiunea fãrã argument a functiei random produce numere reale (în sens numeric) în intervalul (0, 1), uniform repartizate pe acel interval. Versiunea cu argument de tip word, random(w), produce numere aleatoare de tipul word, cuprinse între 0 si w – 1. Pentru cazul continuu al functiei random fãrã argument, se poate figura functia densitate de repartitie si functia de repartitie comform graficelor alãturate.

Cu generatorul de numere aleatoare random sau cu generatoarele similare din alte limbaje se pot genera numere aleatoare repartizate dupã legi diferite de cea

103

uniformã. Pentru aceasta se pot utiliza metode analitice sau o metodã directã care are în vedere functia de repartitie a variabilei care trebuie generatã. Legea de repartitie normalã normatã (de medie nulã si de de dispersie 1) este legatã de legea de repartitie uniformã prin una sau alta dintre relatiile urmãtoare

u x1 12 2= − ln cos( )π x2

u x2 12 2= − ln sin( )π x2 în care x1 si x2 sunt douã numere aleatoare independente, cu repartitie uniformã pe intervalul (0, 1). Este un exemplu de generare analiticã a unor numere aleatoare supuse unei legi de repartitie diferitã de cea uniformã. Un alt exemplu este cel al generãrii de numere aleatoare uniform repartizate pe un interval finit (a, b) oarecare. Trecerea la noua variabilã se realizeazã prin mijlocirea relatiei

u = a + (b – a) x cu x generat de functia de bibliotecã random. Variabila u este uniform repartizatã pe intervalul finit specificat. Varianta analiticã de generare a unor numere aleatoare repartizate conform unei legi particulare nu este totdeauna posibilã. Modul de generare alternativ este descris în continuare. Se admite cã este datã functia de repartitie F(u) a unei variabile u sau functia ei densitate de repartitie f(u) din care se poate calcula F(u). Se genereazã valori x uniform repartizate pe intervalul (0, 1) cu ajutorul functiei de bibliotecã random sau similara ei din alte limbaje de programare. Se calculeazã de fiecare datã u = F–1(x), unde F–1(.) este inversa functiei de repartitie a variabilei u de generat. Functia de repartitie este totdeuna o functie monotonã, deci este inversabilã pentru orice . Intervalul (0, 1) este multimea de valori comunã tuturor functiilor de repartitie. Variabila aleatoare u este cu sigurantã repartizatã conform legii date de functia F(u) sau de functia densitate f(u).

x ∈( , )0 1

104

ANEXA 2 Ferestre utilizate în interpolarea semnalelor esantionate Sunt enumerate aici, fãrã prea multe comentarii, câteva ferestre utile în interpolarea semnalelor reprezentate prin esantioanele lor. Fereastra Bartlett este o functie cort, adicã

<−=restîn0

pentru1),( τττ xx

xBartlett

Fereastra Blackman este definitã de

<

+

+=

restîn0

pentru2cos08.0cos50.042.0),( ττ

πτ

πτ xxxxBlackman

Fereastra gaussianã are forma generalã

<=

−

restîn0pentru2),,(

2

τστ σ xxGaussx

cu σ numitã si deviatia standard. Cu cât σ este mai mare cu atât mai largã este fereastra si cu atât mai putin severã trunchierea. Ferestrele Hann si Hamming sunt foarte asemãnãtoare. Ele diferã numai printr-un parametru α.

<

+=

restîn0

pentrux)cos-(1),,( ττ

πααατ xxH

Pentru α = 0.5 este vorba de fereastra Hann, pentru α = 0.54 fereastra poartã numele lui Hamming. Fereastra Kaiser are un parametru ajustabil α care controleazã cât de rapid se apropie de zero laturile ei. Se defineste astfel

( )( )

<

−=

restîn0

pentru)/(1

),,(0

20 τ

ατα

ατ xI

xIxKaiser

cu I0(x) functia Bessel modificatã de ordinul zero. Cu cât α este mai mare cu atât mai îngustã este fereastra. Ferastra Lanczos este lobul central al functiei sinc întins pe un interval dat

105

<

=

restîn0

pentrusin

),( τ

τπ

τπ

τ xx

x

xLanczos

Fereastra Parzen este o aproximare cubicã pe portiuni a ferestrei Gauss de întindere doi.

<≤−<≤+−<≤−−−−<≤−+

=

restîn 021pentru)2(

10pentru36401pentru364

12pentru)2(

41)(

3

32

32

3

xxxxxxxx

xx

xParzen

Fereastra rectangularã

Rectangular(x, τ) =

>≤ττ

xx

01

care anuleazã în totalitate valorile functiei esantion mai timpurii sau mai târzii cu τ sau mai mult fatã de momentul propriu esantionului. Fereastra Welch este simplã ca formã si anume este un polinom de gradul al doilea

<

=restîn0

pentru-1),(

2

τττ xx

xWelch

106

B I B L I O G R A F I E

1. M.Bellanger Digital Processing of Signals, John Wiley & Sons Inc. Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore, 1989

2. I.Daubechies Ten Lectures On Wavelets. 2nd ed. Philadelphia: SIAM, 1999

3. T.W.Körner Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1996

4. S.G.Mallat A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet

Representation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 11, No. 7 (1989)

5. R.Polikar The Wavelet Tutorial, http://www.public.iastate.edu, 1999 6. C.Valens A Really Friendly Guide To Wavelets, c.valens@mindless.com, 1999

107

108