C7. VERIFICAREA ANALIZELOR CU ELEMENTE FINITE. SURSE UZUALE DE ERORI ÎN MODELARE ŞI INTERPRETAREA REZULTATELOR

Modelul de calcul şi rezultatele obŃinute cu ajutorul său trebuie supuse unor numeroase teste şi verificări. Scopul acestora este de a “valida” modelul, adică de a determina dacă acesta satisface exigenŃele impuse şi dacă rezultatele obŃinute cu ajutorul lui permit formularea unor răspunsuri neechivoce la întrebările clare puse de beneficiarul analizei cu elemente finite (FEA). Unele teste şi verificări sunt calitative şi globale, altele cantitative şi de detaliu. Dacă testele şi verificările duc la concluzii nefavorabile, modelul trebuie îmbunătăŃit şi procesul de verificare – îmbunătăŃire - verificare se continuă până când se obŃine un model satisfăcător, adică valid. În figura 7.1 este prezentată schema generală a procesului de verificare îmbunătăŃire a modelului de calcul cu elemente finite. În continuare se prezintă câteva metode şi procedee de verificare.

Fig. 7.1: Schema generală a procesului de verificare îmbunătăŃire a modelului de calcul cu elemente finite

Verificările experimentale efectuate pe structura reală sunt cele mai concludente. Astfel de verificări sunt însă, de obicei, ulterioare calculului (după ce s-a proiectat şi executat structura) şi totdeauna sunt costisitoare. O situaŃie specială apare când se expertizează structuri vechi pentru care nu s-au efectuat analize cu elemente finite la

proiectare. Se pot face verificări experimentale şi pe modele fizice reduse la scară ale structurii reale, în astfel de cazuri fiind necesară rezolvarea problemelor de modelare şi similitudine. Determinările experimentale permit verificări cantitative ale rezultatelor obŃinute prin calcul şi evaluarea preciziei acestora. Se pot verifica mărimi care provin din comportarea globală a structurii, cum sunt deplasările sau reacŃiunile în reazeme, sau mărimi cu caracter local, cum sunt tensiunile maxime. Efectuarea calculelor pe două sau mai multe modele şi compararea rezultatelor obŃinute. Modelele pot fi de acelaşi tip, adică elaborate pe baza aceleiaşi metode de calcul (de exemplu, metoda elemntelor finite - MEF) sau de tipuri diferite, adică elaborate pe baza unor metode de calcul diferite (de exemplu MEF şi metoda elementelor de frontieră sau o metodă analitică de calcul ). De exemplu, pentru traversa de egalizare a unui excavator care se deplasează pe o cale de rulare s-au elaborat trei modele MEF: un model de bară (fig. 7.2,a), un model de tip stare plană de tensiuni (fig. 7.2,b) şi un model spaŃial (fg. 7.2,c).

Fig. 7.2: Modele secvenŃiale pentru o structură, Beam-model 2D-model 3D Cele trei modele pot fi folosite în etape distincte ale proiectarii, respectiv pentru predimensionare, definitivarea formei constructive şi verificarea finală a structurii obŃinute. Unele dintre rezultatele obŃinute în cele trei variante de analiză, ca de exemplu deplasările maxime ( care sunt mărimi globale ale FEA ) trebuie să aibă valori apropiate. Valorile tensiunilor maxime, în special ale celor locale, pot să difere destul de mult de la un model la altul. Uneori este preferabil să se folosească în paralel modele elaborate pe baza unor metode de calcul diferite, ca de exemplu, modele cu elemente finite şi modele cu elemente de frontieră. Pentru trei dinŃi consecutivi ai roŃii dinŃate din figura 7.3,a s-a utilizat în paralel, în vederea verificării, un model cu elemente finite (fig. 7.3,b) şi un altul cu elemente de frontieră (fig. 7.3,c). În acest caz toate rezultatele obŃinute în urma celor două analize (deplasări, tensiuni, reacŃiuni, etc.) trebuie să aibă valori foarte apropiate.

Fig. 7.3: Model cu elemente finite (b) şi model cu elemente de frontieră (c) pentru trei

dinŃi consecutivi dintr-un pinion Preprocesarea geometriei modelului MEF este cea mai utilizată şi cea mai eficientă metodă de verificare a geometriei modelului, a corectitudinii definirii condiŃiilor de rezemare şi a aplicării sarcinilor. Se poate spune că este totdeauna obligatorie. Verificarea constă în citirea fişierului cu datele de intrare pentru programul MEF, preprocesarea informaŃiilor conŃinute în acest fişier şi trasarea unui desen al modelului structurii. Un astfel de exemplu se prezintă în figura 7.4, pentru modelul MEF al unei structuri industriale. Preprocesarea se face, de regulă, în programul MEF, care are module de elaborare a modelului, inclusiv de desenare a acestuia, în diverse condiŃii grafice. Foarte utilă este această verificare pe parcursul elaborării modelului, în diversele etape ale procesului. În situaŃii deosebite preprocesarea se poate face şi cu alte programe, preferate sau chiar elaborate de utilizator.

Fig. 7.4: Modelul MEF al unei structuri

industriale Fig. 7.5: Modelul MEF al unei structuri

industrialecu simetrie Verificări ale condiŃiilor de simetrie. Pentru modele care prezintă proprietăŃi de simetrie sau antisimetrie geometrică şi mecanică, rezultatele obŃinute prin calcul - deplasări, tensiuni, reacŃiuni în reazeme, moduri proprii de flambaj (simetrice sau

antisimetrice), moduri proprii de vibraŃii etc. - trebuie să aibă valori egale în punctele simetrice şi valori egale şi semn schimbat în punctele antisimetrice. Pentru suportul din figura 7.5, care are două plane de simetrie – XOY şi YOZ – atât pentru configuraŃia geometrică precum şi pentru reazeme şi sarcini, verificarea corectitudinii modelului MEF se face comparând valorile deplasărilor, tensiunilor şi reacŃiunilor în puncte şi elemente simetrice: aceste valori trebuie să fie egale, mărimile abaterilor putând fi un indiciu cantitativ al preciziei FEA, în ansamblu, adică a metodei, a programului şi a modelului. Verificări printr-un calcul simplu. Uneori este posibil să se verifice unele dintre rezultatele obŃinute cu un anumit model de calcul, considerând un caz de încărcare simplificat, de exemplu o sarcină concentratră, un moment etc. De exemplu, pentru grinzile longitudinale ale utilajului din figura 7.6, se poate face un calcul la încovoiere cu relaŃia cunoscută din rezistenŃa materialelor, considerând grinda din figura 7.7 cu secŃiune constantă, încărcată la mijloc cu o sarcină uniform distribuită, rezemată la capete. În acest caz se are în vedere că rigiditatea la încovoiere în plan vertical a celor două grinzi longitudnale este foarte mare, adică efectul corpului recipientului poate fi neglijat în calculul menŃionat. Valorile săgeŃii maxime şi cea a tensiunii la mijlocul grinzii trebuie să fie apropiate de cele obŃinute cu FEA.

Fig. 7.6: Model de utilaj cu două grinzi

longitudinale de sprijin Fig. 7.7: Grindă din modelul Fig. 7.6

asimilată unui model simplificat de grindă pe două reazeme

Discretizarea adaptivă. Acest procedeu nu este propriu-zis o cale de verificare a corectitudinii modelului FEA, dar poate oferi informaŃii consistente în această privinŃă. Pe de altă parte modelarea adaptivă se face automat, de către programul FEA, dacă sunt îndeplinite anumite condiŃii, ceea ce este foarte comod pentru utilizator. Se elaborează un model iniŃial MEF care se supune unui proces FEA şi se obŃin rezultatele corespunzătore. În programul MEF (dacă acesta are implementată procedura respectivă) se dau comenzile specifice analizei adaptive care constă în elaborarea, pentru modelul inŃial - printr-un proces iterativ - a unei discretizări mai fine (procedura h), utilizarea unor elemente finite de ordin superior, adică cu polinoame de interpolare de grad superior (procedura p), sau combinaŃii ale acestora (procedura h-p). Rezultatele obŃinute pentru noua variantă a modelului sunt mai precise decăt cele iniŃiale. Programul calculeză indicele de precizie al modelului şi când valoarea prescrisă a acestuia este atinsă, procesul iterativ de “rafinare” a reŃelei de discretizare se opreşte. Verificarea modelului constă în compararea rezultatelor obŃinute în cele două variante ale modelului şi anume rezultatele trebuie să fie suficient de apropiate.

Fig. 7.8: Modelul iniŃial MEF al unei plăci

dreptunghiulare plane Fig. 7.9: Modelul rafinat MEF al unei plăci

dreptunghiulare plane Pentru exemplificare, se prezintă în figura 7.8 modelul iniŃial MEF al unei plăci dreptunghiulare plane, discretizată cu 55 de noduri şi 80 de elemente shell triunghiulare. După aplicarea unei proceduri de “rafinare“ a discretizării (procedura h), modelul are 449 de noduri şi 798 elemente, ca în figura 7.9. Se menŃionează faptul că o procedură de discretizare adaptivă, oricare ar fi ea, nu poate semnala eventuale greşeli sau neajunsuri ale modelului iniŃial, cum ar fi, de exemplu, configuraŃia geometrică de ansamblu, valorile dimensiunilor, alegerea tipului de element finit, impunerea condiŃiilor de reazeme, definirea sarcinilor, introducerea valorilor constantelor elastice şi fizice ale materialului etc. Verificarea greutăŃii structurii este o verificare globală, obligatorie. Trebuie verificate valorile reacŃiunilor din reazeme şi dacă acestea satisfac ecuaŃiile de echilibru scrise pentru întreaga structură. Dacă este posibil, este bine să se verifice şi poziŃia centrului de greutate al structurii. Verificări globale şi calitative ale modelului au în vedere configuraŃiile stărilor de tensiuni şi deplasări, semnele lor, ordinul de mărime şi chiar valorile rezultatelor obŃinute. Din practica inginerească şi din experienŃa altor analize se ştie unde sunt zonele cu tensiuni şi deplasări mari, care este configuraŃia structurii deformate şi între ce limite trebuie să se afle valorile mărimilor obŃinute prin FEA. Pentru exemplificare se prezintă în figura 7.10 proiecŃia în plan orizontal a structurii din figura 7.6 deformată, pentru un sistem de sarcini simetrice.

Fig. 7.10: Deformata unui model

Comentarii, observaŃii, concluzii: Prezentarea, mai sus, a unor modalităŃi de verificare a modelelor MEF, desigur că nu este exhaustivă. Fiecare utilizator poate să-şi imagineze şi alte tehnici şi metode de verificare. Se poate remarca faptul că în lucrarea de faŃă nu s-au făcut nici un fel de menŃiuni cantitative privind condiŃiile de precizie cu care se pot sau trebuie verificate modele MEF. Aceasta nu este o pierdere din vedere ci este rezultatul unei realităŃi şi anume că nu se poate stabili precizia unui model MEF în general, ci toate exigenŃele impuse modelului (inclusiv cele de precizie) depind de particularităŃile concrete, asociate problemei inginereşti care se rezolvă, ca, de exemplu, tipul structurii, scopul FEA, importanŃa structurii, gradul de pericol în cazul unei avarii, tipul solicitării, durata de exploatare etc. De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că MEF este aproximativă, ceea ce înseamnă că nu se poate cere modelului mai mult decât poate oferi metoda, rezultatele obŃinute fiind determinate atât de performanŃele modelului cât şi de principiile, ipotezele şi procedurile matematice de calcul incluse în metoda şi în programul cu elemente finite. Toate verificările făcute modelelor cu elemente finite sunt validate în ultimă instanŃă de intuiŃia şi experienŃa utilizatorului şi atunci când este posibil, experimental. SURSE DE ERORI ÎN MODELAREA CU ELEMENTE FINITE

Metoda elementelor finite (MEF) este o metodă aproximativă de calcul. La modelarea şi rezolvarea unei probleme date se fac o serie de aproximări, care au drept consecinŃă faptul că soluŃia obŃinută cu MEF are unele abateri faŃă de soluŃia exactă, necunoscută. Aceste abateri de aproximare se numesc în mod obişnuit erori ale MEF, ceea ce nu este corect. În principiu, conceptul de eroare are sensul de greşeală – intenŃionată sau involuntară – şi ea poate fi, de obicei, corectată sau evaluată cantitativ, ceea ce nu este valabil şi pentru MEF. Pentru problemele care sunt abordate cu MEF nu sunt, de obicei, cunoscute soluŃii alternative, obŃinute pe alte căi, cu care acestea să se compare pentru a se determina abaterile relative. ExistenŃa acestor abateri sau erori de aproximare ale MEF este principalul său dezavantaj şi este tributul plătit pentru calităŃile, avantajele şi performanŃele sale. În continuare se va folosi pentru aceste abateri termenul, obişnuit, de eroare a MEF. Sursele de erori de aproximare se află la diverse nivele şi intervin în diverse etape ale procesului de analiză cu elemente finite (FEA). Identificarea şi înŃelegerea mecanismelor care guvernează aceste erori face posibilă - uneori şi într-o oarecare măsură – reducerea şi evaluarea acesora. Cele mai importante dintre sursele de erori ale MEF sunt următoarele (nu se menŃionează greşelile posibile ale utilizatorului, provenite din neştiinŃă, neatenŃie sau incompetenŃă). Erorile conceptuale sau de principiu provin din neglijarea satisfacerii ipotezelor şi conceptelor care definesc diversele categorii de probleme ale structurilor mecanice, ceea ce poate duce la erori mari ale soluŃiei obŃinute. De exemplu, nu sunt îndeplinite una sau mai multe dintre ipotezele care delimitează modelul de structură liniar elastică, definită ca mediu continuu, omogen şi izotrop, cu liniaritate geometrică,

elasticitate perfectă, liniaritate fizică şi fără tensiuni iniŃiale. De asemenea, se presupune că structura este în echilibru (static sau dinamic) şi că este valabil principiul lui Saint Venant, ipoteza secŃiunii plane (pentru bare) şi ipoteza normalei rectilinii (pentru plăci şi învelişuri). În aceste condiŃii, ecuaŃiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată rămân valabile şi pentru structura deformată, funcŃiile eforturilor nu depind de deplasări, dependenŃa dintre sarcini şi deplasări este liniară, ecuaŃiile diferenŃiale sunt cu coeficienŃi constanŃi, este aplicabil principiul suprapunerii efectelor etc. Câteva exemple de situaŃii relativ simple în care nu sunt îndeplinite una sau mai multe dintre ipotezele enumerate pot fi:

- pentru barele de secŃiune necirculară (sau neinelară) solicitate la răsucire nu este valabilă ipoteza secŃiunii plane;

- unele aliaje metalice, unele materiale plastice şi o serie de materiale compozite nu sunt perfect elastice şi nu “ascultă“ de legea lui Hooke, adică nu au liniaritate fizică;

- profilele laminate, dar, mai ales, tablele sunt puternic anizotrope, ca urmare a laminării;

- pentru plăcile plane subŃiri, solicitările din planul plăcii nu sunt decuplate de cele perpendiculare pe acesta, ca urmare a unor deplasări transversale (chiar relativ mici); - pentru barele cu pereŃi subŃiri nu mai este valabil principiul lui Saint Venant şi ipoteza secŃiunii plane, deplanările secŃiunilor fiind relativ mari, propagarea acestora făcându-se pe toată lungimea barei;

- modurile proprii ale vibraŃiilor libere nu sunt decuplate, ca urmare a existenŃei amortizărilor; - existenŃa unei stări de tensiuni iniŃiale importante ca urmare a tehnologiilor de execuŃie prin sudare, ambutisare, roluire etc. Aproximarea geometriei structurii reale are loc în procesul de elaborare a modelului de calcul. Diversele forme geometrice ale structurii date se aproximează pentru ca modelul de calcul să fie cât mai simplu şi pentru a se putea realiza pe el reŃeaua de discretizare. De exemplu, contururile curbe se aproximează prin poligoane. Cu cât numărul de laturi al poligonului este mai mare, cu atât aproximarea este mai precisă şi erorile vor fi mai mici. Dacă configuraŃia geometrică este complicată, atunci este necesar ca lungimile liniilor drepte cu care se face aproximarea să fie cât mai mici iar numărul acestora cât mai mare. Pentru exemplificare, se prezintă în figura 10.1 o paletă de turbină (fig. 10.1.a) şi modelul ei spaŃial discretizat cu 9450 noduri şi 5760 elemente de volum, de tip brick, cu opt noduri (fig. 10.1.b).

a. b. Figura 10.1

În figura 10.2 se prezintă forma secŃiunii maxime a paletei şi diverse variante de discretizare, cu elemente triunghiulare şi patrulatere, cu ajutorul cărora se vor genera ulterior elemente de volum (în lungul paletei). În toate variantele discretizarea s-a făcut automat, prin diverse proceduri.

Figura 10.2

Figura 10. 3 Pentru configuraŃii geometrice relativ complicate, ca cea a paletei din figura precedentă, este uneori mai raŃional să se folosească combinaŃii de două sau mai multe tipuri de elemente finite, ca, de exemplu, elemente triunghiulare şi patrulatere. În figura 10.3 secŃiunea paletei din figura 10.1.a, s-a discretizat cu 134 noduri şi 184 elemente triunghiulare şi patrulatere. Se

remarcă faptul că deşi numărul de noduri şi elemente este relativ mic, aproximarea geometriei secŃiunii maxime a paletei este foarte bună. Aproximarea sarcinilor care se aplică modelului se referă la: valorile acestora, modul de variaŃie (pe suprafaŃă, pe volum, în funcŃie de timp etc), direcŃia, poziŃia pe model a punctului de aplicaŃie etc. Se vor avea în vedere variantele de încărcare cerute de beneficiar şi modalităŃile de evaluare ale regimurilor de încărcare şi anume, sarcini nominale, de avarie, de probă, maxime, accidentale etc. De asemenea, sarcinile se pot aplica static, dinamic cu o viteză cunoscută, (prin şoc) etc. Încărcarea poate fi staŃionară sau nestaŃionară, variabilă după legi cunoscute sau variabilă aleator. În procesul de deformare al structurii sarcinile îşi pot modifica direcŃiile sau punctele de aplicaŃie. În mod obişnuit, pentru simplitate, sarcinile se consideră ca forŃe concentrate, aplicate în nodurile modelului. Diversele tipuri de elemente permit definirea sarcinilor sub forma unor presiuni (de exemplu, presiuni hidrostatice) sau sarcini distribuite pe contur sau pe volum (de exemplu, forŃele de inerŃie). Şi în aceste situaŃii, în final, rezultantele acestora se introduc – de către program – în nodurile elementelor. ConsecinŃa acestui demers este că aplicarea sarcinilor asupra modelului depinde de localizarea nodurilor, adică de reŃeaua de discretizare. Pentru a ilustra acest aspect al modelării, în figura 10.4 se prezintă exemplul unei plăci plane, de grosime constantă, având forma dreptunghiulară. Placa este încărcată în capătul liber cu o forŃă verticală, care s-a aplicat într-un nod, ca în figura 10.4.a şi în cinci noduri ca în figura 10.4.b, valoarea totală fiind aceeaşi.

a. b. Figura 10.4 În ambele cazuri tensiunea maximă are aceeaşi valoare, dar deplasarea maximă este mai mare cu 5 % pentru varianta a în raport cu varianta b, datorită deformaŃiilor locale mai mari. Aproximarea condiŃiilor de rezemare se referă la faptul că acestea se definesc, de regulă, în nodurile modelului şi constau în introducerea restricŃiei ca deplasarea (componenta liniară sau cea de rotire) să aibă valoarea zero, sau o valoare cunoscută, pe direcŃia dorită. Deplasările nodale sunt definite pe direcŃiile reperului global al modelului, şi - de obicei - şi condiŃiile de rezemare. Dacă este necesar, se poate defini un nou sistem de referinŃă, pentru unele reazeme (sau pentru toate), rotit faŃă de sistemul global. În cazuri deosebite, pentru modelarea condiŃiilor de rezemare se folosesc elemente finite speciale, de tip bound şi (sau) gap, care permit definirea reazemelor pe orice direcŃie. Se pot defini reazeme deformabile (cu o anumită valoare a constantei elastice sau a rigidităŃii) şi se pot introduce forŃe de frecare.

Pentru modelarea corectă a reazemelor modelului şi evitarea unei surse de erori la acest demers al modelării, trebuie cunoscute foarte bine condiŃiile de funcŃionare ale structurii în diversele regimuri de lucru iar condiŃiile de rezemare să modeleze cât mai bine aceste situaŃii. Pentru exemplificare, în figura 10.5 se prezintă modelul unei structuri din bare care se deplaseză pe o cale de rulare, pe şinele paralele AB şi CD.

Figura 10.5 S-au definit următoarele condiŃii pentru blocarea deplasărilor celor patru reazeme: A – toate; B – verticală şi transversală; C şi D verticală. În D s-a introdus şi o forŃă de frecare pe direcŃia de rulare pentru a simula situaŃia când funcŃionează doar unul din cele două sisteme care asigură deplasarea structurii pe calea de rulare. O situaŃie deosebită apare când rezemarea stucturii se face pe una sau mai multe suprafeŃe (plăci de rezemare), de exemplu, pentru recipientul din figura 10.6, care are patru tălpi dreptunghiulare de rezemare sub care se introduc covoare de cauciuc, pentru uniformizarea presiunii de contact. Pentru a ilustra efectele modului în care se introduc condiŃiile de rezemare asupra rezultatelor obŃinute, s-au considerat trei variante ale rezemării:

Figura 10.6

a - pe suprafeŃele de rezemare s-a introdus o presiune uniformă de contact, (calculată prin împărŃirea valorii reacŃiunii la suprafaŃa de rezemare), de jos în sus, în plan fiind blocate deplasările unui singur suport, ceilalŃi fiind liberi. S-au obŃinut următoarele rezultate:

- deplasarea rezultantă maximă : 10.94 mm; - tensiunea echivalentă maximă von Mises în noduri : 144 N/mm2; - tensiunea echivalentă maximă von Mises în elemente : 115 N/mm2;

b - s-au considerat aceleaşi condiŃii ca la varianta anterioară, dar fără presiune de contact. S-au obŃinut următoarele rezultate:

- deplasarea rezultantă maximă : 10.97 mm; - tensiunea echivalentă maximă von Mises în noduri : 233 N/mm2; - tensiunea echivalentă maximă von Mises în elemente : 117 N/mm2;

c – s-au blocat în plan deplasările tuturor reazemelelor, fără presiune de contact. S-au obŃinut următoarele rezultate:

- deplasarea rezultantă maximă : 2.29 mm; - tensiunea echivalentă maximă von Mises în noduri : 216 N/mm2; - tensiunea echivalentă maximă von Mises în elemente : 117 N/mm2.

Din analiza rezultatelor prezentate se constată o scădere de 4.79 ori a deplasării maxime, între variantele b şi c şi o creştere de 1.62 ori a tensiunii echivalente maxime din noduri, între variantele b şi a. Tensiunea echivalentă maximă din elemente rămâne practic constantă. Trebuie făcută precizarea că determinarea exactă a legii de distribuŃie a presiunii de contact în reazemele exemplului prezentat implică o analiză neliniară a problemei. Dacă acest demers se justifică sau nu, depinde de scopul calculului. Aproximarea introdusă de elementul finit utilizat este, probabil, cea mai importantă sursă de erori în MEF, acesta fiind inclusă în principiile fundamentale ale metodei. În esenŃă aproximarea aceasta constă în faptul că pentru un subspaŃiu al structurii reale, pentru care deplasările (şi tensiunile) au o lege de variaŃie oarecare, necunoscută, se utilizează un element finit care are implementată o funcŃie de aproximare prestabilită, specifică tipului de element finit utilizat. Tipurile de elemente disponibile în “bibliotecile” programelor au fost concepute astfel încât să fie cât mai performante şi să ofere utilizatorului posibilitatea satisfacerii unor cerinŃe cât mai diverse, acestuia revenindu-i sarcina de a le utiliza corect şi eficient, incluzând şi cerinŃa ca erorile de aproximare să fie cât mai mici. În acest sens utilizatorul trebuie să ştie care sunt principalele cerinŃe şi proprietăŃi ale funcŃiilor de aproximare (denumite şi funcŃii de interpolare) ale elementelor. Pentru MEF, modelul deplasare, funcŃiile se referă la câmpul deplasărilor. Aceste funcŃii trebuie să asigure energiei potenŃiale totale a structurii deformate o valoare minimă, corespunzătoare stării de echilibru stabil a acesteia, compatibilitatea internă şi satisfacerea condiŃiilor la limită. În acest caz, rezultatele obŃinute prin FEA, pentru modele cu discretizări tot mai fine, adică având un număr tot mai mare de noduri şi de elemente, conduce la obŃinerea unor rezultate tot mai precise, adică procesul este convergent. Pentru asigurarea convergenŃei FEA, funcŃiile de aproximare trebuie să satisfacă următorele cerinŃe: a – Continuitatea. Dacă funcŃiile sunt polinoame, se asigură cerinŃa ca în interiorul elementului şi pe conturul său câmpul deplasărilor să nu aibă discontinuităŃi, salturi, goluri sau variaŃii bruşte; b – Compatibilitatea sau conformitatea. Trebuie ca în procesul de deformaŃie elementele să rămână solidare în toate punctele frontierei comune, adică să nu se separe, să nu ducă la goluri sau discontinuităŃi şi să nu pătrundă în domeniul elementelor vecine. Pentru a fi compatibile, elementele adiacente trebuie ca pe linia sau suprafaŃa comună să aibă aceleaşi: coordonate pentru noduri, grade de libertate în

noduri, tip de funcŃii de aproximare pentru deplasări şi (uneori) să fie raportate la sisteme de coordonate locale. În practica FEA, apar frecvent situaŃii în care trebuie “conectate” elemente care nu sunt compatibile. Cel puŃin în zonele din imediata apropiere a acestor linii sau suprafeŃe este de aşteptat ca rezultatele obŃinute să fie afectate de erori. Suportul din figura 10.7 este format dintr-o semi-bucşă cilindrică sprijinită pe două plăci, care sunt încastrate pe laturile verticale din stânga şi pe cele inferioare. Sarcina este o presiune uniformă pe direcŃia axei z, aplicată pe una din feŃele laterale ale bucşei. În aceste condiŃii valorile maxime ale tensiunilor au apărut în zona de îmbinare a bucşei cu plăcile, unde se produce o stare spaŃială de tensiuni. Pentru a pune în evidenŃă efectele “cuplării” unor elemente incompatibile, pentru suportul din figura 10.7, s-au elaborat patru modele diferite (detalii se pot vedea în tabelul 10.1), astfel : - modelul 1, discretizat cu 896 elemente shell4. Acest model a fost ales, “convenŃional”, model de referinŃă, rezultatele obŃinute cu celelalte modele fiind comparate cu cele obŃinute pentru acest model; - model 2, discretizat cu 4736 elemente brick8; - model 3, discretizat cu 3456 elemente brick8 (bucşa) şi 320 elemente shell4 (cele două plăci);

- model 4, discretizat cu 512 elemente shell4 (bucşa) şi 1280 elemente brick8 (cele două plăci).

Figura 10.7 Se face precizarea că doar modelele 3 şi 4 au elemente incompatibile (brick şi shell) care se conecteză pe liniile dintre bucşă şi cele două plăci. Elementele menŃionate sunt incompatibile deoarece au numere diferite de grade de libertate pe nod şi funcŃii de interpolare diferite. Prin anliza cu elemente finite, s-au obŃinut valorile deplasărilor şi tensiunilor, pentru care s-au determinat variaŃiile relative, în procente, pentru fiecare model, în raport cu modelul de referinŃă, cu relaŃia

(Vcurentă - VreferinŃă )/VreferinŃă*100, în care V este valoarea unei mărimi oarecare: deplasare sau tensiune. Valorile obŃinute sunt prezentate în tabelul 10.1. Trebuie menŃionat faptul că variaŃiile relative determinate pentru modele 3 şi 4 conŃin cumulate atât efectele cuplării elementelor incompatibile cât şi variaŃiile produse de utilizarea a două tipuri diferite de elemente (bick şi shell). Principalele concluzii care se pot formula ca urmare a analizei rezultatelor din tabelul 10.1, sunt:

- din compararea modelelor 1 şi 2, rezultă variaŃii foarte mari pentru tensiunile τzx , τyz din noduri şi σy pe elemente;

- pentru modelul 3, cu elemente incompatibile, rezultă variaŃii imense pentru tensiunile τyz (715.3%), τzx (595,6 %), σz (132.1 %) din noduri şi σx (163,3 %) din elemente; - o situaŃie asemănătore este şi pentru modelul 4, dar variaŃiile sunt mai mici.

S-au determinat, în aceeaşi manieră ca cea prezentată mai sus, variaŃiile relative pentru cele 4 modele şi pentru analiza de stabilitate. Considerând tot modelul 1 model de referinŃă, pentru celelalte trei modele s-au obŃinut următoarele variaŃii relative ale primelor trei valori proprii de flambaj: - modelul 2: 53.28 %; 64.68 %; 67.17 %; - modelul 3: 21.70 %; -13.04 %; -13.24 %; - modelul 4: 38.68 %; 37.84 %; 52.74 %. Trebuie menŃionat faptul că variaŃiile relative ale valorilor factorilor de flambaj dintre modelele 2 şi 1 reprezintă efectul tipului de element şi se vede că variaŃiile sunt destul de mari. Pentru modelele 3 şi 4 variaŃiile relative sunt mai mici (mai ales pentru modelul 3) şi ele cumulează efectul conectării elementelor incompatibile şi cel al schimbării tipului de element. c – Complinirea. FuncŃiile de aproximare trebuie să conŃină termeni care să descrie deplasările de corp rigid (adică translaŃii uniforme pe toate direcŃiile şi rotaŃii fără distorsiuni unghiulare) şi stările de deformaŃii constante ale elementului, adică să conŃină termeni constanŃi şi termeni de gradul întâi. Dacă, pentru încovoierea plăcilor, gradele de libertate nodale includ curburile plăcii, atunci funcŃiile trebuie să conŃină şi termeni de gradul al doilea, deoarece atunci derivatele de ordinul al doilea trebuie să fie constante. Cele mai utilizate şi eficiente tipuri de elemente finite sunt cele izoparametrice, care au polinoame (sau, mai rar, alte tipuri de funcŃii) de acelaşi tip atât pentru definirea geometriei elementului (de exemplu laturile unui patrulater) cât şi pentru aproximarea câmpului deplasărilor;

989

noduri 896

elemente shell4

MO D E L

1

Tabelul 10.1

V A R I A ł I I R E L A T I V E [%] Deplasări maxime δ Tensiuni maxime / nod Tensiuni maxime / element Fac.

Modelul de

referinŃă

Modele comparate

cu cel de referinŃă

δx δy δz δrez σx σy σz τxy τyz τzx σech σx σy τxy σech err.

6203 noduri 4736 elem. brick8

M O D E L

2

-3.00

-

28.49

-29.55

-

29.49

-1.77

-1.70

-

11.44

-

27.48

86.67

108.4

-16.49

37.51

-61.60

-

30.96

-

43.25

------

4763 noduri elem.: 3456

brick8 320

shell4

M O D E L

3

-

18.78

-

51.70

66.45

66.31

19.92

18.84

132.1

47.96

715.3

595.6

106.9

163.3

-

38.55

69.12

31.08

-26.4

2429 noduri elem.: 512

shell4 1280

brick8

M O D E L

4

-3.39

13.02

1.61

1.61

-3.88

22.04

33.97

21.49

158.6

155.8

14.65

43.98

-

58.28

40.12

-

11.23

-51.3

Tabelul 10.2

D e p l a s ă r i m a x i m e δ

Tensiuni echivalente maxime σech

δresultant δy σech/nod σech/elem.

Factorul de

estimare a erorii

V A R I A N T A

Numărul de

elemente

Tipul

elementelor

Forma

geometrică

a

elementelor Valoare [mm]

VariaŃie [ % ]

Valoare [mm]

VariaŃie [ % ]

Valoare [ N/mm2]

VariaŃie [ % ]

Valoare [ N/mm2]

VariaŃie [ % ]

Valoare [ % ]

VariaŃie [ % ]

Normală 0.9244 -0.8907 99.25 66.52 -- 1 PLANE2D Distorsionată 0.9055

-2.04 -0.8726

-2.03 99.79

0.54 69.05

3.80 --

--

Normală 0.7776 -0.7513 79.42 54.93 13.15 2 SHELL4T (gros) Distorsionată 0.7540

-3.03 -0.7280

-3.10 79.23

- 0.24 55.67

1.35 18.72

42.36

Normală 0.9444 -0.9073 92.58 65.93 6.99 3 Un patrulater Distorsionată 0.9419

-0.26 -0.9045

-0.31 93.21

0.68 66.42

0.74 10.56

51.07

Normală 0.9406 -0.9035 87.63 65.70 7.63 4 2 triunghiuri Distorsionată 0.9360

-0.49 -0.8988

-0.52 87.44

- 0.22 66.47

1.17 9.56

25.29

Normală 0.9810 -0.9399 96.27 67.93 8.95 5 4 triunghiuri Distorsionată 0.9725

-0.87 -0.9326

-0.78 109.47

13.71 68.34

0.60 8.63

-3.57

Normală 0.9903 -0.9484 120.18 68.39 8.66 6

40

elemente

patrulatere

S H E L L 4 (su bŃi re)

Poligoane de grad superior

Distorsionată 0.9786 -1.18

-0.9383 -1.05

120.66 0.40

69.14 1.10

8.20 -5.31

Normală 0.7776 -0.7513 79.42 79.42 35.59 7 TRIANG Distorsionată 0.7540

-3.03 -0.7280

-3.10 79.23

- 0.24 79.23

-0.24 37.31

4.83

Normală 0.9444 -0.9073 84.19 75.89 14.23 8

80 elemente triunghiu-

lare SHELL3 sau SHELL4T Distorsionată 0.9419

-0.26 -0.9045

-0.31 85.22

1.22 77.33

1.90 17.11

20.24

Tabelul 10.3

VariaŃia relativă, în %, a mărimilor, pentru elemente normale şi distorsionate

Deplasări maxime δ Tensiuni maxime / nod

Tensiuni maxime / element

V A R I AN TA

Tipul

solicitării

SchiŃa barei şi

a încărcării δx δy δz δrez σx σy τxy σech σx σy τxy σech

Factorul de

estimare a erorii

1

Întindere cu

presiune

0.02

1.32

-----

-

0.03

0.63

-0.34

6.45

-0.10

-1.38

5.44

-0.20

0.19

2.54

2

Întindere cu forŃe axiale

1.58

7.24

-----

-

1.82

12.80

35.08

60.69

8.41

31.59

5.49

-0.76

12.30

19.63

3

Încovoiere pură

-5.38

-6.67

-----

-

-6.66

5.09

8.22

81.96

5.74

18.64

69.73

129.25

15.63

-0.37

4

Încovoiere simplă

0.38

-0.31

-----

-

-0.26

1.14

19.06

9.51

1.22

0.16

7.44

3.46

1.90

20.24

5

Răsucire cu două

forŃe

-----

-

------

0.14

0.14

-0.04

-0.04

0.00

-0.03

1.92

0.00

-1.39

0.00

0.80

6

Răsucire cu un

moment

-----

-

------

0.13

0.13

5.10

7.81

-0.84

8.87

57.74

16.36

14.07

3.85

0.86

d – InvarianŃa geometrică. Elementul finit trebuie să aibă aceeaşi stare de deformaŃie (sau de tensiune, relaŃia dintre ele fiind linară prin legea lui Hooke) oricare ar fi orientarea sistemului local de coordonate (reperul local) în raport cu care aceasta este formulată. Această cerinŃă are în vedere faptul că în timp ce sistemul global de coordonate (reperul global), al întregii structuri, are o orientare spaŃială fixă, la care sunt raportate toate mărimile nodale (deplasări, sarcini, grade de libertate geometrică, condiŃii de rezemare), fiecare element are propria sa poziŃie şi orientare spaŃială. CerinŃa este satisfăcută dacă expresia funcŃiei de aproximare, prin termenii pe care îi conŃine, nu “favorizează” nici una dintre coordonatele locale. La elaborarea modelului trebuie luat în considerare faptul că procesul de convergenŃă poate fi atins pe două căi şi anume: a – utilizarea elementelor de “ordin superior”, care au polinoame de aproximare cu grad cât mai mare. Aceasta presupune ca elementul să aibă un număr mai mare de noduri, cu mai multe grade de libertate geometrică şi o formă geometrică mai complicată. Privit din punct de vedere informatic acest tip de element este mai eficient deorece prelucrează o cantitate mai mare de informaŃii. Din păcate, bibliotecile cu elemente finite ale programelor oferă un număr mic de elemente de acest tip; b – realizarea unei discretizări cât mai fine, adică modelul să aibă un număr cât mai mare de noduri şi de elemente finite. Practica FEA nu a confirmat superioritatea uneia sau alteia din cele două căi, fiecare cale dovedind faŃă de cealaltă o mai bună aproximare a soluŃiei pentru unele tipuri de probleme, dar inferioară pentru altele. Pentru ca soluŃia obŃinută prin “rafinarea” discretizării să fie o mai bună aproximare a problemei date, trebuie satisfăcute următorele cerinŃe [1]:

- fiecare dicretizare anterioară trebuie să se “regăsească” în cea nouă; - fiecare punct al modelului trebuie să aparŃină unui element finit; - funcŃiile de aproximare ale elementelor utilizate trebuie să rămână aceleaşi când se trece de la o reŃea de discretizare la alta.

Figura 10.8 Forma distorsionată a elementelor finite obŃinute prin discretizare duce la creşterea erorilor de aproximare. Aceasta înseamnă că, de exemplu, un element triunghiular trebuie să fie cât mai apropiat de un triunghi echilateral, un element patrulater să fie un pătrat, un element hexaedric de volum să fie un cub, etc. Pentru a analiza practic acest aspect al modelării şi pentru a face şi o evaluare cantitativă a efectului distorsiunii elementelor s-a considerat exemplul unei bare drepte (plăci) din oŃel, cu lungimea de 1000 mm, încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, cu secŃiunea dreptunghiulară având

înălŃimea de 400 mm şi lăŃimea de 100 mm. Solicitarea s-a realizat cu o forŃă concentrată verticală de 266.7 kN, aplicată în capătul liber al barei. S-a realizat o discretizare cu 55 de noduri şi 40 de elemente nedistorsionate cu patru noduri (fig. 10.8.a) şi distorsionate (fig. 10.8.b) precum şi cu 80 de elemente nedistorsionate cu trei noduri (fig. 10.8.c) şi distorsionate (fig. 10.8.d). Se face precizarea că în mod voit s-au realizat dicretizările “fanteziste” din figurile 10.8.b şi 10.8.d pentru a obŃine elemente puternic distorsionate. Pentru a testa “sensibilitatea” diferitelor tipuri de elemente la efectul de distorsiune, s-au realizat opt variante de analiză a modelelor din figura 10.8, pentru fiecare variantă considerând atât elementele normale, nedistorsionate, cât şi cele distorsionate. Rezultatele obŃinute se prezintă în tabelul 10.2. Din analiza acestora se constată că pentru acelaşi model, variaŃia relativă a valorilor maxime ale deplasărilor (rezultantă şi pe direcŃia Y) şi ale tensiunilor echivalente von Mises (în noduri şi în elemente) între varianta cu elemente normale şi cea cu elemente distorsionate este mică, doar de câteva procente: cea mai mare valoare este de 13.71 %, pentru σech/nod, pentru elementul Shell4, descompus în patru triunghiuri. Pentru factorul de estimare a erorii de discretizare, variaŃiile sunt mult mai mari, ajungând la 51.07 % pentru modelul cu elemente shell4. Programele MEF conŃin proceduri de verificare a formei elementelor şi transmit mesaje de atenŃionare pentru cele distorsionate, astfel încât utilizatorul să poată interveni, prin modificarea reŃelei de discretizare, pentru a reduce cât mai mult această eroare de modelare. Din analiza valorilor prezentate în tabelul 10.2 se constată variaŃii relativ mari ale mărimilor calculate în cele 8 variante de modelare, ca urmare a utilizării unor elemente de tipuri diferite. Pentru variantele de calcul cu elemente nedistorsionate variaŃiile maxime ale rezultatelor obŃinute pentru cele 4 modele sunt: 27.35 % pentru δresultant ; 26.23 % pentru δy; 51.32 % pentru σech/nod ; 44.58 % pentru σech/element; 409 % pentru factorul de estimare a erorii de discretizare. În legătură cu acest factor se semnaleză o “anomalie” a valorilor din tabelul 10.2 şi anume că pentru variantele de modelare 5 şi 6 s-au obŃinut valori mai mici pentru modelele cu elemente distorsionate comparativ cu modelele cu elementele normale, nedistorsionate. Deoarece efectul distorsionării elementelor depinde şi de configuraŃia stării de tensiuni, s-au reluat analizele pentru modelele din figurile 10.8.c şi 10.8.d, discretizate cu elemente shell3 şi s-au considerat 6 variante de încărcare relativ simple, prezentate în tabelul 10.3. S-au calculat variaŃiile relative ale diverselor mărimi pentru modelele cu elemente distorsionate, comparativ cu modelele cu elementele normale, nedistorsionate, considerate ca modele de referinŃă. Cele mai mari variaŃii au fost obŃinute pentru tensiunile τxy, din noduri (81,96 %) şi elemente (129.25 %) pentru varianta de solicitare de încovoiere pură, (varianta 3) produsă de un moment Miz, aplicat într-un nod. Este “ciudat” faptul că în acest caz factorul de estimare a erorii are variaŃie relativă negativă, adică valoarea sa este mai mică pentru modelul cu elemente distorsionate, decât pentru modelul normal. Pentru varianta 3 de solicitare - încovoiere simplă produsă de o forŃă concentrată - s-a făcut şi calculul la flambaj şi pentru primele trei valori proprii s-au obŃinut variaŃii de, respectiv: 0,71 %, -0,16 % şi –0.39 %. Aceste valori sunt foarte mici, deci se poate afirma că flambajul este influenŃat relativ în mică măsură de forma distorsionată a elementelor finite.

Sensibilitatea tipurilor de elemente la sarcini concentrate, aplicate în nodurile reŃelei de discretizare, poate duce la interpretări greşite ale rezultatlor FEA, deoarece fiecare tip de element “răspunde” diferit sub acest aspect al modelării şi se pot considera ca valori maxime ale tensiunilor valori “locale irelevante”. În teoria elasticităŃii, o forŃă concentată aplicată într-un punct al semispaŃiului elastic duce la o singularitate, adică în acel punct, tensiunea normală σ pe direcŃia forŃei are valoarea infinit, adică nu poate fi determinată (problema Boussinesq). În MEF forŃa concentrată aplicată într-un nod al reŃelei de discretizare nu constitue o singularitate, dar valorile tensiunilor şi deplasărilor din nodul respectiv şi din elementele vecine au valori care depind de tipul elementului finit. Pentru a pune în evideŃă acest aspect şi pentru a-l evalua cantitativ, s-au considerat modelele 1 şi 2 ale suportului din figura 10.7 şi tabelul 10.1, care au fost încărcate cu o aceeşi forŃă concentrată. Comparând rezultatele obŃinute cu cele două modele s-au determinat variaŃiile relative ale deplasărilor, tensiunilor şi ale valorilor proprii la flambaj, care se prezintă în tabelul 10.4. Din analiza acestor rezultate se constată că valorile tensiunilor din noduri τyz şi σy au variaŃii imense (2216 %, respectiv 2020 %) între modelul cu elemente shell4 şi cel cu brick8 (pentru brick valorile tensiunilor Tabelul 10.4

M o d e l u l d e r e f e r i n Ń ă Modelul comparat cu cel de referinŃă

Modelele

cu

elemente

finite

989 noduri

896 elementeshell4

6203 noduri

4736

elemente brick8

V a r i a Ń i i r e l a t i v e [%]

δx δy δz δrezultant Deplasări maxime δ -22.78 -4.50 9.09 -13.84

σx σy σz τxy τyz τzx σech /nod 254.6 2020. 226.1 213.5 2216. 34.63 173.5

σx σy τxy σech

Tensiuni maxime

/element 50.70 67.68 322.5 97.13 Prima valoare A doua valoare A treia valoare Valori proprii

la flambaj -14.54 -34.15 27.14 sunt mai mari). VariaŃiile relative ale valorilor tensiunilor din elemente sunt ceva mai mici (pentru τxy 322.5 %) iar ale deplasărilor şi ale valorilor proprii la flambaj sunt acceptabile (tabelul 10.4). Aproximarea valorilor constantelor elastice şi fizice ale materialului se face adesea cu erori relativ mari pentru că nu există informaŃii suficient de precise şi sigure despre

structura pentru care se face modelarea. De exemplu, nu se cunoaşte curba caracteristică reală a materialului, sau variaŃiile constantelor elastice ale unui laminat în raport cu direcŃia de laminare (mai ales pentru table), valorile coeficienŃilor de frecare în reazeme (pentru calculul forŃelor de frecare), valorile factorilor de amortizare şi dependenŃa acestora funcŃie de frecvenŃă, constantele de transmisie a căldurii prin conductivitate, radiaŃie sau convecŃie, variaŃia constantelor funcŃie de temperatura de lucru etc. În aceste condiŃii trebuie remarcat faptul că adesea este absurd să se depună eforturi pentru elaborarea unui model sofisticat, cu un mare număr de noduri şi elemente, în speranŃa obŃinerii unor rezultate precise, dacă valorile constantelor introduse în calcul sunt incerte, deorece acestea pot altera semnificativ rezultatele şi deci nivelul lor de încredere să fie iluzoriu. Sunt cazuri în care variaŃii relativ mici (de câteva procente) ale valorilor constantelor duc la variaŃii relativ mari ale rezultatelor ( de zeci de procente). Aproximarea maselor şi a distribuŃiei acestora apare pentru problemele dinamice – vibraŃii libere şi forŃate, răspuns dinamic, răspuns seismic etc. – şi poate duce la erori imprevizibile, greu de evaluat. Pentru structuri complexe, volumul calculelor pentru probleme de valori proprii poate deveni foarte mare şi o cale pentru reducerea acestuia este ca modelul să aibă un număr limitat de grade de libertate, ceea ce implică “reducerea”, sau condensarea matricei de masă şi a celei de rigiditate. Detalii în legătură cu aceste probleme se prezintă în capitolul 21. Erorile de trunchiere apar în procesul de calcul ca urmare a faptului că în calculator toate variabilele (altele decât cele întregi) sunt reprezentate cu un număr finit de cifre. Prin aceasta apar erori care se “cumulează” şi se “propagă” şi pot deveni importante când volumul operaŃiilor de calcul este foarte mare. Erorile de trunchiere pot afecta în special precizia soluŃiei sistemului de ecuaŃii al MEF precum şi celelalte etape de calcul ale unei FEA. În consecinŃă, sunt programe care au implementate module de calcul pentru rezolvarea iterativă a sistemului de ecuaŃii, prin aceasta putându-se “corecta” soluŃia iniŃială până când corecŃia devine mai mică decât un prag prestabilit. Calculul tensiunilor şi ale altor mărimi “derivate” introduce erori suplimentare de aproximare. Trebuie avut în vedere faptul că, pentru modelul deplasare, deplasările nodale sunt necunoscutele “primare”, deci primele valori care se obŃin în urma FEA, celelalte fiind mărimi “derivate” din valorile acestora, ceea ce implică operaŃii de calcul suplimentare şi deci şi erori suplimentare de aproximare. Pentru fiecare tip de element tensiunile se determină altfel, în anumite puncte şi pe anumite direcŃii, acestea fiind opŃiuni ale post-procesării, sau ale “retro-calculului”. Tensiunile în noduri, se calculează ca medii aritmetice ale tensiunilor nodale pentru elementele care se conectează în fiecare nod. Acest fapt trebuie avut în vedere când se fac interpretări ale rezultelor obŃinute prin FEA: care sunt tensiunile care trebuie luate în considerare cele din noduri sau cele din elemente. Concluzii. Din cele prezentate se poate constata că problema erorilor de aproximare ale modelării şi analizei cu elemente finite este foarte complexă, ceea ce face aproape imposibile controlul şi evaluarea acestora. O modalitate de evalua erorile de aproximare constă în calculul factorului de estimare a erorii, Fer, procedură pe care o au implementată programele actuale pentru FEA. Acest factor se defineşte prin relaŃia (vezi şi relaŃiile (13.28)-(13.33)).

Fer = [ Ee / ( 2 * Ed + Ee )] ½ * 100 [ % ] ,

în care: Ed este energia totală de deformaŃie şi Ee energia totală a “erorilor”. Pentru probleme statice, energia totală de deformaŃie Ed este egală cu lucrul mecanic al sarcinilor efectuat pe deplasările corespunzătoare ale punctelor lor de aplicaŃie. Această valoare este aproximativă, deoarece valorile deplasărilor nodale au fost obŃinute prin FEA, care este aproximativă. În concluzie, factorul de estimare a erorii, Fer, pentru o analiză statică cu elemente finite poate fi util doar pentru compararea erorilor de aproximare a două sau mai multe variante ale aceleiaşi FEA, când se modifică discretizarea, tipurile elementelor sau încărcarea. Varianta care are valoarea mai mică a Fer este mai precisă, dar nu se poate spune care este abaterea ei faŃă de soluŃia exactă, necunoscută. Pentru reducerea efectelor erorilor de aproximare nu se pot emite recomandări cu aplicabilitate generală ci fiecare utilizator, de la caz la caz, trebuie să se descurce singur, pentru a obŃine o soluŃie acceptabilă a modelării şi analizei cu elemente finite. Cunoaşterea surselor de erori şi înŃelegerea mecanismelor lor de “acŃiune” pot fi ajutoare preŃioase în demersurile pentru o FEA de succes. În toate activităŃile inginereşti problemele trebuie formulate în termeni numerici iar toate aprecierile privind performanŃele de orice fel se susŃin cu valori numerice relative, comparative. În analiza surselor de erori MEF şi FEA prezentată mai sus, s-au prezentat câteva exemple complete tocmai pentru a se putea vedea ordinul de mărime al efectelor acestor erori, astfel încât cititorul să-şi poată forma o părere corectă, motivată şi deci, temeinică, despre aceste erori de aproximare, care se constituie într-un un aspect fundamental al practicii modelării şi analizei cu elemente finite.