I

PAGE 15

VIIVALORI I VECTORI PROPRII PENTRU ENDOMORFISME7.1. Definiii. Proprieti7.2. Polinom caracteristic. Teorema Hamilton-Cayley.7.3. Diagonalizarea matricelor7.4 Forma Jordan

7.1. Definiii. ProprietiDefiniia 1. T : V V, T endomorfism (operator linear). ( ( K, se numete valoare proprie dac exist x ( V, x ( Ov, astfel nct T(x)= ( x, iar x se numete vector propriu.Definiia 2. Fie V/K spaiu vectorial, S ( V subspaiu.

T : V V, T izomorfism. S se numete subspaiu invariant n raport cu T dac T(S) este subspaiu i T(S) ( S.Definiia 3. Fie T : V V endomorfism (T ( L(V, V)), ( ( K, ( valoare poprie. Atunci

se numete mulimea vectorilor proprii ce corespund valorii proprii (.Propoziie.Fie T : V V, T ( L(V, V), ( valoare proprie. Rezult este un subspaiu invariant n raport cu T (dac x ( V este vector propriu rezult c T(x) este vector propriu corespunztor lui ().Demonstraiea) Demonstrm c este subspaiu vectorial, adic:( x, y ( ( x + (y (

Dac x = y = 0vT(0) = 0v (

Dac x, y ( 0v ( T(x) = ( x

T(y) = ( yAtunci, b) Demonstrm c este subspaiu invariant, adic: T() ( , (( x ( T(), ( x ( ).Dac x = 0v ( T(0v) = 0v = x 0v Dac x ( 0v, T(x) = (x ( , deci T(y) = (y.Definiia 4.Fie T : V V, T ( L(V, V). Dac ( valoare proprie, atunci dim() = r( se numete multiplicitate geometric a valorii proprii (, iar V'(() se numete subspaiu propriu asociat valorii proprii (.

7.2. Polinom caractersiticTeorema 1. Fie V/C spaiu vectorial, T : V V, T endomorfism, T ( L(V, V), dimV = n ( T are cel puin o valoare proprie i vector propriu (teorema indic un procedeu efectiv de determinare a valorilor i vectorilor proprii).

Demonstraientruct dimV = n ( ( B = { e1,,en} bazFie A ( Mn,m, A = (aij) matricea asociat n raport cu B.( T(ei) = , T(x) = Y = A XFie x = x1e1 + x2e2 + +xnen un vector propriu ( x ( 0v, T(x) = ( x (1)T(x) = (x1e1 + +xnen) =

deci

Dar {e1,,en} liniar independeni, rezult , ( xi.

(

Sistemul omogen admite soluii diferite de cea banal ( determinantul sistemului este egal cu 0.

pA(() = 0, unde p(() polinom de grad n ecuaia are rdcini complexe ( ( ( ( valoare proprie.Definiia 1 Polinomul pA(() se numete polinom caracteristic pentru operatorul T, iar PA(() = det(A (In) = 0, unde In matricea unitate, s.n. ecuaia caracteristic.

Teorem.(Hamilton Cayley)

Dac P(() este polinomul caractersitic al matricei A, atunci P(A) = 0.

Demonstraie. Fie P(() = det(A - (I) = a0(n + a1(n-1 + ... + an.

Prin construcie reciproca matricei A - (I este dat de

(A - (I)* = Bn-1(n-1 + Bn-2(n-2 + ... + B1( + B0, Bi ( Mn(K)

i satisface relaia (A - (I) ( (A - (I)* = P(() ( I , adic

(A - (I) (Bn-1(n-1 + Bn-2(n-2 + ... + B1( + B0) = (a0(n + a1(n-1 + ... + an)I,

Identificnd polinoamele n ( , obinem

a0I = Bn-1a1I = A Bn-1 Bn-2a2I = A Bn-2 Bn-3

...............................AnAn-1An-2

an-1I = A B1 B0anI = A B0A

a0An + a1An-1 + ... + a0I = 0 , c.c.t.d.

3.7 Consecin.Orice polinom n A ( Mn(K) de grad ( n poate fi exprimat printr-un polinom de grad n 1.

3.8 Consecin.Inversa matricei A poate fi exprimat prin puteri ale matricei A, inferioare ordinului acesteia.

Observaii:1) Dac V/, ( ( este rdcin a polinomului caracteristic, ( nu este valoare proprie.

2) Se numete multiplicitate algebric a valorii proprii (, ordinul de multiplicitate a rdcinii pentru p(() = 0, notat ((.

3) n general r( (,unde r( = dim multiplicitatea geometric4) p(() = ((()n + p1((()n(1 + p2((()n(2 + + pn, unde p1, p2,,pn sunt invariani.De exemplu: p1 = (a11 + a22 + + ann) = Tr(A) urma matricei A.Caz particularPentru n =3

= ((()3 + p1 ( (2 + p2 ( ((() + p3, unde( p1 = a11 + a22 + a33 = Tr(A)(

( p3 = detATeoremaPolinomul caracteristic este invariabil n raport cu schimbarea bazei (nu depinde de baza n care s-a asociat mateicea A).DemonstraieArtm c PA(() = PA(()DemonstraieFie dimV = n i T : V ( V. Fie dou baze ale lui V.

Fie A matricea asociat lui T n baza B. A' matricea asociat lui T n baza B'Avem A' = C(1 ( A ( CAtunci PA(() = det(A ( ( ( In)PA'(() = det(A' ( ( ( In) =

= =

=

AplicaiiS se determine vectorii i valorile proprii pentru T : care n baza canonic are matricea

=

p(() = 0 ( (1 = 2(2 ( 4( + 3 = 0 ( (2 = 1

(3 = 3p1 = (1 + (2 + (3 = Tr(A)( Pentru valoarea proprie (1 = 2, fie v1 vectorul propriu. Atunci:T(v1) = (1 ( v1, adicT(v1 ( (1v1) = Ov ( (A ( (1I3) ( v1 = 0 (

x3 = 0 x1 ( x2 = 0 x1 = ( x2 = (

Deci v1 = ((, (, 0) = ((1, 1, 0), ( ( 0.Scriem spaiul vectorilor proprii asociat valorii proprii (1 = 1:

Avem de asemenea:

= 1, = 1, r( n(( Pentru valoarea proprie (2= 1

( x1 = x3x3 ( x2 + x3 = 0

x2 = 2x3x3 = ( ( v2 = ((, 2(, () = ((1, 2, 1) ( ( 0

= {((1, 2, 1)/( ( 0}

Avem de asemenea:

7.3. Diagonalizarea matricelorDefiniia 1 A ( Mm,n(f) se numete matrice diagonal dac elementele ai.j = 0, i ( j.

Definiia 2. O matrice A se numete matrice diagonalizabil dac exist C, nesingular (detC ( 0) astfel nct D = C(1 ( A ( C s fie diagonal (A este asemenea cu o matrice diagonal).Definiia 3. Fie T : V ( V, T ( L(V, V). T se numete diagonalizabil dac exist o baz n V astfel nct matricea lui T n aceast baz este diagonal.

Teorema 1.Fie T : V ( V, T ( L(V, V)T este diagonalizabil ( exist o baz format din vectorii proprii.

Demonstraie

( T diagonalizabil ( {v1, v2,,vn} i n aceast baz matricea este:

Deci T(v1) = d1 ( v1 + 0 ( v2 + = 0 ( vn = d1 ( v1, unde d1 valoare proprie

v1 vector propriuT(vi) = di ( vi, (i = , iar {v1,,vn} vectori proprii i formeaz o baz.

Deci" ( presupunem {v1, v2,,vn} sunt vectori proprii liniar independeni. Avem deci:T(v1) = (1v1T(v2) = (2v2

T(vn) = (nvn

(

Observaie: pe diagonal apar valorile proprii.

Teorema 2Fie T : V ( V, T ( L(V, V), (T endomorfism). Atunci dac valorile proprii sunt distincte dou cte dou (1 ( (2 ( (3 ( ( (n ( T diagonalizabil (adic exist {v1,,vn} baz format din vectorii proprii)DemonstraieAvem c dimV = n, deci este suficient s artm c {v1, v2,, vn} este liber.

Demonstrm prin inducie dup n.

Verificm pentru n = 1. Atunci, fie (1 valoarea proprie i v1 ( 0v vector propriu i avem:T(v1) = (1v1.Fie (1 v1 = 0v ( (1 = 0, (ntruct v1 ( 0v, vectori propriu) ( { v1} liber.

Presupunem adevrat pentru k. S demonstrm c este adevrat pentru k + 1

Fie sistemul de vectori {v1,,vk} liniar independent. S demonstrm c i sistemul {v1,, vk, vk+1} este liniar independent.Vrem s demonstrm deci c (1v1 + +(kvk + (k+1 ( vk+1 = 0v ( (I = 0, (i = .Avem dou cazuri:a) (k+1 = 0 i (1v1 + + (kvk = 0v (1 = ( = = (k = 0. Atunci (i = 0, (i = .b) Dac prin absurd (k+1 ( 0 atunci fie:

(1v1 + (2v2 + +(kvk + (k+1 ( vk+1 = 0v

(1)

T((1v1 + + (k+1 ( vk+1) = T(0v)

(1T(v1) + (2T(v2) + + (k+1T(vk+1) = 0v

(1[(1v1] + (2[(2v2] + + (k+1[(k+1 ( vk+1] = 0v ((1,,(k+1 valori proprii)(2)Eliminm vk+1 din relaia (1) i (2).

Avem ns(1v1 + + (kvk = 0v (1 = 0 (k = 0

i (i((i ( (k+1) = 0, ( i =

Dar (i ( (k+1 ( i = ( (i = 0, i =

Atunci din relaia (1) ( (k+1 ( vk+1 = 0v ( (k+1 = 0 ntruct vk+1 ( 0v ca vector propriu.Deci (1 = (2 = = (k+1 = 0.Observaii1) Teorema 1 se numete criteriul general de diagonalizare (exist n vectori proprii)2) T este diagonalizabil ( r( = ( (multiplicitatea geometric este egal cu multiplicitatea algebric).

3) Matricea D (diagonal) se mai numete forma canonic a metricei D (sau a operatorului T).

Aplicaii

1) Calculul puterii An pentru o matrice diagonalizat.Conform definiiei, A diagonalizabil ( ( C nesingular astfel nct D diagonal:D = C(1 ( A ( CD =

D2 = ( =

Dn =

D2 = C(1 ( A ( A ( CD2 = C(1 ( A2 ( C

An = C ( Dn ( C(1.2) Analog se d , matrice asociat lui ntr-o baz.

a) A este diagonalizabil?

b) Dac A este diagonalizabil, s se scrie matricea diagonal i baza.

c) S se calculeze A50

Rezolvare:a) p(() =

p(() = 0

((136(8

1(1 2 8 0

(1 = 1; (2 = 4; (3 = 2

Deci exist trei valori proprii distincte i deci T este diagonalizabil.b)

Calculm vectorii proprii.

(1 = 1

(

(

; v1 = (2, 1, 2)

(2 = 4

(

(

; v2 = (2, 2, 1)

(3 = 2

(

(

;

v3 = (1, 2, 2)

n baza {v1, v2, v3} matricea lui T este D.c) D = C1 A C ( A = C D C1 An = C Dn C1

{e1, e2, e3} {v1, v2, v3}

detC = 8 + 1 8 4 4 4 = 27

Ci,j = Ai,j = (1)i+j Mi,j undeMij minorul elementului aij

Avem .

7.4 Forma Jordan

n cazul n care valorile proprii corespunztoare endomorfismului T sunt din cmpul K, (i ( K , iar multiplicitatea geometric este diferit de multiplicitatea algebric dim< mi ,mcar pentru o valoare proprie (i ( K , endomorfismul T nu este diagonalizabil, n schimb se poate determina o baz n spaiul vectorial Vn n raport cu care endomorfismul T s aib o form canonic mai general, numit forma Jordan.

Pentru ( ( K, matricele de forma :

((), , , ... , se numesc celule Jordan ataate scalarului (, de ordinul 1, 2, 3, ...,n .

DefiniieEndomorfismul T: Vn ( Vn se numete jordanizabil dac exist o baz n spaiul vectorial Vn fa de care matricea asociat este de forma

J = ,

unde Ji , i = , sunt celule Jordan de diferite ordine ataate valorilor propri (i .

O celul Jordan de ordinul p ataat valori proprii ( ( K , multipl de ordinul m ( p , corespunde vectorilor liniar independeni e1, e2, ..., ep care satisfac relaiile:

T(e1) = ( e1

T(e2) = ( e2 + e1

T(e3) = ( e3 + e2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T(ep) = ( ep + ep-1

Vectorul e1 este vector propriu iar vectorii e2, e3, ..., ep se numesc vectori principali.

Observaii

1 Forma diagonal a unui endomorfism diagonalizabil este un caz particular de form canonic Jordan, avnd toate celulele Jordan de ordinul unu.

2 Forma canonic jordan nu este unic. Ordinea pe diagonala principal a celulelor Jordan depinde de ordinea aleas a vectorilor proprii i principali din baza determinat.

3 Numrul celulelor Jordan, egal cu numrul vectorilor proprii liniar independeni, precum i ordinul acestora sunt unice.

Se poate demonstra urmtoarea teorem :

Teorem.(Jordan) Dac endomorfismul T ( End(Vn) are toate valorile proprii n cmpul K, atunci exist o baz n spaiul vectorial Vn n raport cu care matricea lui T are forma Jordan.

Practic, pentru determinarea formei canonice Jordan a unui endomorfism, vom parcurge urmtoarele etape:

1 Scriem matricea A ,asociat endomorfismului T n raport cu o baz dat.

2 Rezolvm ecuaia caracteristic det(A - (I ) = 0 determinnd valorile proprii (1, (2, ..., (p cu ordinele de multiplicitate m1, m2, ..., mp .

3 Se determin subspaiile proprii , pentru fiecare valoare proprie (i.

4 Se calculeaz numrul de celule Jordan, separat pentru fiecare valoare proprie (i , dat de dim = n rang(A - (I ). Adic, pentru fiecare valoare proprie, numrul vectorilor liniar independeni ne d numrul celulelor Jordan corespunztoare.

5 Se determin vectori principali corespunztori acelor valori proprii pentru care dim< mi , numrul lor este dat de mi - dim. Dac v ( este un vector propriu oarecare din , vom impune condiiile de compatibilitate i vom rezolva succesiv sistemele de ecuaii liniare

(A - (iI )X1 = v, ..., (A - (iI )Xp = Xs

innd cont de condiiile de compatibilitate i de forma general a vectorilor proprii i a celor principali, vom determina, dnd valori particulare parametrilor, vectorii proprii liniar independeni din i vectorii principali asociai fiecruia.

6 Scriem baza spaiului vectorial Vn, reunind sistemele de mi , i = , vectori liniar independeni formai din vectori proprii i vectori principali.

Folosind matricea T avnd drept coloane coordonatele vectorilor bazei, construite din vectorii proprii i vectorii principali asociai n aceast ordine, obinem matricea J = T-1AT , forma canonic Jordan ce conine pe diagonala principal celulele Jordan, dispuse n ordinea n care apar n baza construit din vectorii proprii i vectorii principali asociai(dac exist).Celulele Jordan au ordinul egal cu numrul de vectori din sistemul format dintr-un vector propriu i vectori principali asociai.

_1235139784.unknown

_1236662007.unknown

_1236663096.unknown

_1236664080.unknown

_1236665036.unknown

_1236665640.unknown

_1236665732.unknown

_1236665790.unknown

_1236665915.unknown

_1236665922.unknown

_1236665802.unknown

_1236665747.unknown

_1236665655.unknown

_1236665273.unknown

_1236665529.unknown

_1236665263.unknown

_1236664587.unknown

_1236664660.unknown

_1236664555.unknown

_1236663400.unknown

_1236663530.unknown

_1236663681.unknown

_1236663490.unknown

_1236663206.unknown

_1236663339.unknown

_1236663138.unknown

_1236662307.unknown

_1236662689.unknown

_1236662716.unknown

_1236662664.unknown

_1236662172.unknown

_1236662295.unknown

_1236662030.unknown

_1235140497.unknown

_1235194376.unknown

_1235195404.unknown

_1235195524.unknown

_1235195784.unknown

_1236661707.unknown

_1235195609.unknown

_1235195482.unknown

_1235194482.unknown

_1235195255.unknown

_1235194454.unknown

_1235193859.unknown

_1235194142.unknown

_1235194184.unknown

_1235193985.unknown

_1235193722.unknown

_1235193783.unknown

_1235193654.unknown

_1235139985.unknown

_1235140278.unknown

_1235140391.unknown

_1235140226.unknown

_1235139916.unknown

_1235139925.unknown

_1235139794.unknown

_1235139870.unknown

_1234970436.unknown

_1235051504.unknown

_1235052638.unknown

_1235054018.unknown

_1235138180.unknown

_1235053813.unknown

_1235052084.unknown

_1235052156.unknown

_1235052000.unknown

_1234971218.unknown

_1234971566.unknown

_1235051291.unknown

_1234971543.unknown

_1234971116.unknown

_1234971160.unknown

_1234970504.unknown

_1234855400.unknown

_1234879618.unknown

_1234969935.unknown

_1234970078.unknown

_1234969682.unknown

_1234855838.unknown

_1234856067.unknown

_1234857177.unknown

_1234855531.unknown

_1234850563.unknown

_1234852905.unknown

_1234853515.unknown

_1234854821.unknown

_1234853079.unknown

_1234852896.unknown

_1013519071.unknown

_1013521849.unknown

_1234850383.unknown

_1013949287.unknown

_1013519671.unknown

_1013521848.unknown

_1013519171.unknown

_1013512486.unknown