VECTORIVECTORI

Prezentare realizaPrezentare realizat det deProf. Vasile AntonieProf. Vasile Antonie

O

Aa

VECTORI

DeDefiniiefiniie: Un vector este un segment de dreapt orientat.Caracteristicile unui vectorCaracteristicile unui vector:

- dreapta suport ( ) sau direcia vectorului;- punctul de aplicaie (O);- sensul vectorului ( de la O ctre A );- valoarea numeric sau modulul vectorului dat de

lungimea segmentului exprimat n uniti de msur. Modulul vectorului se noteaz sau simplu

OAa a

VECTORI ALUNECTORI

VECTORI LIBERI

CLASIFICAREA VECTORILOR

1. Vector legat punctul lui de aplicaie este fixat pe dreapta suport;

2. Vector alunector punctul lui de aplicaie poate aluneca pe dreapta suport;

3. Vector liber punctul lui de aplicaie poate fi luat oriunde n spaiu, suportul lui rmnnd paralel cu aceeai dreapt.

EGALITATEA VECTORILOR

Doi vectori sunt considerai egali dac au dreptele suport paralele, acelai sens i module egale.

a

b

COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR

DEFINIIE: Operaia de adunare a doi vectori, numit i compunerea lor, are drept rezultat un vectorun vector numit suma lor.

REGULA PARALELOGRAMULUI

REGULA TRIUNGHIULUI

a

b

ab

1a 2a

3a

12a 23

as

REGULA POLIGONULUI

231312321 aaaaaaas

CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE PROPRIETILE DE COMUTATIVITATE IASOCIATIVITATE

SCDEREA VECTORILOR

a

b

bac

a

b

abd

cd

Observaie: scderea vectorilor nu este comutativ

NMULIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR

0;k akb ;

aO

O

aO

O

b

ab

0;k akb ;

ab

b

Prin nmulirea unui vector cu un scalar se obine tot un vector ce are:- Aceeai direcie cu direcia vectorului iniial;- Acelai sens cu sensul vectorului iniial dac scalarul este pozitiv; sens contrar sensului vectorului iniial dac scalarul este negativ;- Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniial i scalar.

PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI

Produsul scalar a doi vectori este un scalar egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.

a

b

cosabbap

Observaie: Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.

Produsul scalar prezint proprietatea de comutativitate:

cosababba

PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI

a

bbac

Rezultatul produsului vectorial a doi vectori este tot un vector ce are caracteristicile:-Direcia perpendicular pe planul determinat de cei doi vectori;- Sensul dat de regula burghiului: se pune burghiul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectori i de rotete pentru a suprapune primul vector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt. Sensul de naintare al burghiului este i sensul vectorului produs vectorial;- Modulul vectorului produs vectorial este egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei.

sinabc

Observaie: Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.

Produsul vectorial a doi vectori nu are proprietate de comutativitate. abba

w a

aaw

;waa 7a uniti wa

7

VERSORUL UNUI VECTOR

Versorul (vectorul unitar) al unui vector a

are direcia i sensul vectorului a

, iar modulul egal cu unitatea.

VERSORII AXELOR DE COORDONATE

O

x

y

i j

kz

1 kji

1 kkjjii

0 kjkiji

0 kkjjii

ikijkji

kj ; ;

jjikijk

ki ; ;

VALOAREA NUMERIC A SUMEI DE DOI VECTORI

a

bbac

20cos ccccc o

bbabbaaababa 22 cos2 bababbabbaaa

222 cos2 babac

CAZURI PARTICULARE

a b

c1. Vectori paraleli i de acelai sens:

bababac 22 20

a

b

bad

VALOAREA NUMERIC A DIFERENEI DE DOI VECTORI

bad

20cos ddddd o

bbabbaaababa 22 cos2 bababbabbaaa

222 cos2 babad

COMPONENTA I PROIECIA UNUI VECTOR PE O AX

O xA B

v

xv

M

ABAMx ll cos cosvv ixx vv

Ox axa pe v i vectorulucomponenta reprezint -v xi este un vector

-vxi este un numr real

reprezint proiecia vectorului v

pe axa Ox

O xAB

a

xa

M

ABAMAMx lll cos cos cosaa ili ABxx aa

Ox axa pe a i vectorulucomponenta reprezint -a xi este un vector

-a xi este un numr real

reprezint proiecia vectorului a

pe axa Ox

O y

x

zDESCOMPUNEREA UNUI VECTOR

a

xya x

a

ya

za

zyxzxy aaaaaa

kajaiaa zyx

j

i

k

Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20