UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL … · 2018. 3. 28. · 2 Vă facem cunoscut că în...

Universitatea “Al. I. Cuza” Iaşi

Facultatea de Fizică

UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL

COMPATIBILITĂȚII SPAȚIU - MATERIE

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

doctorand

Dan Dezideriu Iacob

Conducător ştiinţific

prof. univ. dr. Maricel AGOP

2

Vă facem cunoscut că în ziua de 24 martie 2017, ora 11.30, în

sala L1, drd. Dan Dezideriu Iacob va susține, în ședință publică, teza de

doctorat intitulată “Utilizarea dinamicii neliniare în studiul

compatibilității spațiu - materie”, în vederea obținerii titlului științific

de Doctor în domeniul Fizică al Universității „Alexandru Ioan Cuza” din

Iași.

Comisia de doctorat are următoarea componență:

Președinte: prof. univ. dr. Diana MARDARE – Facultatea de

Fizică, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași

Coordonator științific: prof. univ. dr. Maricel AGOP – Facultatea

de Fizică, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași

Referenți:

- prof. univ. dr. Cristina STAN – Facultatea de Științe

Aplicate, Departamentul de Fizică, Universitatea Politehnică București

- prof. univ. dr. Dumitru VULCANOV – Facultatea de Fizică,

Universitatea de Vest Timișoara

- conf. dr. Dan Gheorghe DIMITRIU – Facultatea de Fizică,

Departamentul de Fizică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza Iași.

3

Cuprins

Introducere ..................................................................................... 4

Capitolul I. De la problema lui Kepler la Skyrmoni și implicațiile

acestora în procesul de măsură ...................................................... 6

Bibliografie selectivă .................................................................. 12

Capitolul II. Compatibilitatea spațiu – materie dincolo de conceptul

de forță ........................................................................................... 13


Capitolul III. Efecte de tip scală în teorii fizice diferențiale, respectiv

nediferențiale ................................................................................. 23


Concluzii generale ........................................................................... 32

Bibliografie generală .................................................................... 33

Activitatea științifică .................................................................... 43

4

INTRODUCERE

Fără a abandona “ambientul” newtonian prin Principiile

Matematice ale Filozofiei Naturale, în primul capitol se arată că există o

relație subtilă între mișcarea kepleriană și geodezicele spațiului

hiperbolic. Acum, poziția geometriei hiperbolice în problema materiei se

stabilește prin similitudine, ceea ce implică însă spațiul cubic al lui

Barbilian asimilat ca spațiu cayleyan și, implicit, skyrmionii.

Forța newtoniană este o forță de vid, adică o caracteristică a

spațiului lipsit de materie. Definind-o însă în aceleași poziții ca și materia

atunci tot ea caracterizează forța drept apanaj al unui continuu fapt ce

vine în contradicție cu modul în care forța gravitațională a fost concepută

inițial de către Newton: o forță concentrată într-un punct fizic. Din

punctul de vedere al filozofiei naturale newtoniene momentul este

depășit, în capitolul 2, prin trecerea de la condiția de punct material –

implicând forțe centrale cu mărime depinzând numai de distanță – la

condiția de corp extins – implicând existența unui tensor 3x3 ce

generează dependența de direcție a mărimii forței. Evoluția forței este

atunci reductibilă la cea a unei matrici ce redă această dependență de

direcție. Într-un asemenea cadru, teoria einsteiniană este substituită cu o

teorie algebrică ce corelează un tensor de tip tensiune ca atribut al

„materiei în spațiu” cu unul de tip deformație ca atribut al “spațiului în

materie” sub forma unor relații constitutive de material. Dinamicile

acestor tensori rămân totuși tributare concepției einsteiniene prin

funcționalitatea unor ecuații de tip Ernst.

În capitolul 3 am legiferat rolul transformărilor de etalon în teorii

fizice diferențiale prin analize de dinamici standard: problemele Kepler

pentru masă și sarcină, “momentele” Galilei și Hubble ca accidente ale

unui „ambiental” newtonian, eliminarea disipației fie ca proces de

modulare în frecvență, fie ca act de “generare de identitate” de pe un

ansamblu cu aceeași caracteristică, etc. Cum transformările de etalon

implică scale de rezoluție, un concept de altfel impropriu teoriilor fizice

diferențiabile, și, întrucât aceste teorii fizice nu pot „susține” simultan

5

determinismul și potențialitatea, am analizat dinamici similare (particula

liberă, oscilatorul armonic etc.) în teorii fizice nediferențiabile (fractale).

Rezultă “momente” de tip Galilei și Hubble doar ca “medieri” între

gradul de fractalizare și poziție-timp la diverse scale de rezoluție. Se

fundamentează astfel neliniaritatea ca “apanaj universal” ale dinamicii

Naturii.

6

CAPITOLUL I

De la problema lui Kepler la Skyrmoni și implicațiile acestora

în procesul de măsură

Tratamentul clasic al problemei lui Kepler conduce la descrierea

regiunii spaţiale a corpului atractiv central printr-o geometrie hiperbolică.

Dacă vom accepta corespondenţa dintre spaţiul gol şi cel umplut cu

materie ca o aplicaţie armonică, atunci spaţiul nucleului atomic, precum

şi cel al Soarelui din mişcarea planetară propriu-zisă, este descris de

skyrmioni hiperbolici. Acest fapt dă posibilitatea descrierii materiei

nucleare în cadrul relativităţii generale. Soluţia “arici” pentru skyrmion-ul

clasic poate fi atunci interpretată printr-o caracterizare a forţelor

intranucleare. Implicații ale skyrmionilor în procesul de măsură este de

asemenea analizată.

Rezultatele originale din acest capitol au fost publicate în

Modern Physics Letters B (Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D.,

Ghizdovăț V. (2016): From Kepler problem to skyrmions, Modern

Physics Letters B, Vol. 30, pp. 1 – 16 [1].

Proceduri matematice similare cu cele din lucrarea anterior

menționată sunt date și în referințele noastre [2,3].

Capitolul contine un mod de tratare a problemei Kepler clasice,

care conduce la ideea ca geometria interna a materiei este de fapt

geometria hiperbolica. Definim problema clasica a lui Kepler ca

problema dinamica a miscarii unui punct material in jurul unui centru de

forta ce actioneaza cu o forta de marime invers proportionala cu patratul

distantei dintre punctul mobil si centrul de forta:

0r

r2

rr

K (1.1)

Mersul ideilor este urmatorul:

Cum forta este centrala, miscarea este plana, asa incat putem

simplifica ecuatiile de miscare prin limitarea la planul miscarii:

0r

sinK,0

r

cosK

22

(1.2).

Din acelasi motiv, exista o constantă a mișcării:

7

2rηηa (1.3)

- constanta ariilor – ce reprezinta cea de-a doua lege a lui Kepler:

rata de variatie a ariei maturate de vectorul de pozitie al punctului mobil

fata de centrul de forta este constanta.

Pentru a integra ecuatiile de miscare, trecem in complex

ireiz (1.4)

si folosind constanta ariilor putem proceda imediat la o prima

integrare:

we

a

Kiz0e

a

Kz ii

. (1.6)

Nu avem nevoie de mai mult, deoarece folosind forma analitica a

ratei de variatie a ariei - ecuatia (1.3) si rezultatul acestei prime integrari,

obtinem automat ecuatia traiectoriei in coordonate polare:

sinwcoswa

K

r

a21

(1.7)

Aceasta este o conica, ceea ce reprezinta prima lege a lui Kepler.

Ea poate fi rescrisa in coordonate carteziene:

2

21

22

22

2

21

22

12

2

a)ww(a2wa

Kww2w

a

K

(1.8).

Coordonatele centrului traiectoriei fata de centrul de forta depind

de viteza initiala a punctului mobil si de parametrii fizici ai problemei:

2

2

2

1

2

20

10 ww

a

K,

wa,

wa

, (1.9)

Aceste coordonate determina forma si orientarea orbitei in planul

ei:

sinww,cosww;

cos

sine,

sin

cose 2121

(1.12)

8

2

2

222

22

2

22

K

a

a

bae

ab,

Ka

w

(1.13):

Tot la fel de bine, din punctul de vedere al mecanicii clasice

putem descrie astfel pozitia centrului de forta in raport cu centrul

traiectoriei. Daca vom considera centrul traiectoriei fixat, atunci centrul

de forta are pozitie intr-o regiune finita – regiunea de existenta a corpului

central atractiv – ceea ce ne permite sa-l caracterizam geometric.

Geometria este metrica, iar metrica se construieste pe baza ideii de

absolut in sensul lui Cayley [4]:

222

22222

)1(

)d)(1()d)(d(2)d)(1()ds(

, (1.16)

Metrica este cea a planului hiperbolic in reprezentarea Beltrami-

Poincare [5-7]:

2

22

2

2

v

)dv()du(

)hh(

dhdh4)ds(

, (1.17)

Daca exprimam aceasta metrica in raport cu parametrii

astronomici ai traiectoriei – excentricitatea si orientarea:

2

2

22

2

2 )d(e1

e

e1

de)ds(

, (1.20)

– atunci printr-o parametrizare naturala a excentricitatii:

tanhe , (1.21)

se poate construi o aplicatie armonica de la spatiul euclidian obisnuit, la

planul hiperbolic ce reprezinta geometria materiei ce exercita forta de

atractie in problema Kepler. Procedeul se bazeaza in mod natural pe

faptul ca avem de-a face numai cu geometrii metrice. Anume, se

construieste, cu ajutorul gradientilor spatiali ai variabilelor, lagrangiana

geodezica a geometriei Lobachevsky [6]:

9

2)hh(

hh4

(1.24)

din care apoi, prin minimizarea energiei, se obtin ecuatiile Euler-

Lagrange:

0)h(2h)hh( 22 (1.25)

Solutiile acestor ecuatii:

2,

esinhcosh

esinhcoshih

i

i

(1.23)

reprezinta o aplicatie armonica de la spatiul obisnuit la planul hiperbolic

[8,9], definite printr-o solutie a ecuatiei Laplace ce exprima parametrul

natural ce reprezinta excentricitatea orbitei.

Consecintele sunt importante mai ales in ce priveste fizica

nucleului, care astfel poate fi descris cu ajutorul skyrmion-ilor.

Skyrmion-ii [10,11] pot fi descrisi printr-o aplicatie armonica, insa intr-o

geometrie ceva mai complicata.

In geometrizarea lui Manton [12,13], problema variationala de

minimizare se refera aici la o forma neomogena a energiei:

xΦ32

2

2

1

2

1

2

3

2

3

2

2

2

3

2

2

2

14 d)()(E , (1.34)

Ea poate fi totusi omogenizata din considerente fizice:

x32 d}dΦdΦ|dΦdΦ3dΦ|dΦ{

2

1)Φ(E , (1.37)

si conduce la ideea de constructie a functiei energetice a problemei pe

baze pur geometrice, conform ideii de apolaritate:

10

)XXX(a)XXXX(a)XXX(a9

1 2231021301

2

1202

(1.38)

aceasta functie este omogena in anumite coordonate ce reprezinta

coeficientii unei forme cubice, fiind neomogena in parametrii Manton

corespunzatori [12,13].

Spatiul ce descrie materia nucleara este atunci un spatiu

hiperbolic tridimensional: 2

2

2

hh

dhdh

k

dk

)hh(

dhdh4)ds(

(1.65)

iar problema descrierii materiei nucleare revine la o aplicatie armonica

de la spatiul euclidian al existentei acestei materii la spatiul hiperbolic

astfel construit:

x3

2

2d

hh

hh

k

k

)hh(

hh4

2

1)Φ(E , (1.66)

Daca se exprima metrica acestui spatiu in coordonate sferice

)dsind(sinh)d()ds( 222222 (1.67)

atunci centrului de forta i se poate da interpretare fizica printr-un ansatz

referitor la skyrmion-ii hiperbolici:

)exp( QM (1.70)

ei reprezinta puncte materiale – analogul partonilor – in care fortele nu-si

fac echilibru totdeauna. Masura acestui neechilibru este excentricitatea

orbitei:

tanh (1.71)

11

De exemplu, forta cu care electronul actioneaza instantaneu

asupra nucleului intr-un punct dat din volumul acestuia, nu este egala in

marime cu cea care actioneaza in nucleu pe aceeasi directie dar in sens

contrar. Acest neechilibru de forte este de natura sa explice clasic

proprietatile fizice ale materiei nucleare.

Semnificațiile mărimilor fizice de mai sus sunt date în capitolul

unu al tezei.

12

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ

1. Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D., Ghizdovăț V. (2016 b):

From Kepler problem to skyrmions, Modern Physics Letters B, Vol.

30, pp. 1

2. Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D., Butuc I., Ghizdovăț V.

(2016 a): The classical theory of light colors: a paradigm for

description of particle interactions, International Journal of

Theoretical Physics, Vol. 55, pp. 2773

3. Mazilu N., Agop M., Boicu M., Mihăileanu D., Pricop M., Gațu

I., Iacob D. D., Ghizdovăț V. (2015): The geometry of heavenly

matter formations, Physics Essays, Vol. 28, pp. 120

4. Cayley A. (1859): A Sixth Memoir Upon Quantics, Philosophical

Transactions of the Royal Society of London, Vol. 149, pp. 61;

Reprinted in The Collected Mathematical Works, Vol. II, p. 561,

Cambridge University Press, 1889

5. Barbilian D. (1938): Riemannsche Raum Cubischer Binärformen,

Comptes Rendus de l’Académie Roumaine des Sciences, Vol. 2, pp.

345

6. Mazilu N., Agop M (2010): La răscrucea teoriilor – Între Newton și

Einstein – Universul Barbilian, Ed. Ars Longa, Iași.

7. Atiyah M. F., Sutcliffe P. (2001): The Geometry of Point Particles;

Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Vol. 458, pp.

1089

8. Eells J., Sampson J. H. (1964): Harmonic Mappings Of Riemannian

Manifolds, American Journal of Mathematics, Vol. 86, pp. 109

9. Misner C. W (1978): Harmonic maps as models for physical

theories, Physical Review D, Vol. 18, pp. 4510

10. Skyrme T. H. R. (1961): A Non-Linear Field Theory, Proceedings of

the Royal Society of London, Series A, Vol. 260, pp. 127

11. Skyrme T.H.R. (1988): The Origins of Skyrmions, International

Journal of Modern Physics, Vol. A3, pp 2745

12. Manton N. (1987): Geometry of skyrmions, Communications in

Mathematical Physics, Vol. 111, pp. 469

13

CAPITOLUL II

Compatibilitatea spațiu – materie dincolo de conceptul de

forță

Atunci când discutăm despre forțe în sens clasic intuim de regulă

efectul primar al acțiunii la distanță (forțe, indiferent de echilibrul lor

definitoriu, indiferent de proveniența lor, forțe deja definite ca și

concept).

Forța concepută în sens clasic ca vector, un artifact al teoriei

analitice instituite prin ecuațiile Poisson și Laplace, are următoarele

proprietăți:

conservativitatea, altfel spus proprietatea vectorului forță de a fi

obținut dintr-o funcție de potențial prin operația gradientului;

mărimea depinzând numai de distanța dintre punctele fizice

implicate în acțiunea la distanță;

centralitatea, adică proprietatea forțelor de a acționa numai de-a

lungul direcției ce unește punctele fizice implicate în acțiunea la distanță.

Toate aceste proprietăți sunt evident prezente în definiția forței de

tip newtonian ce modelează, fie interacția coulumbiană la scară atomică,

fie gravitația la scară cosmologică. Totuși, clasa forțelor ce prezintă

proprietățile de mai sus este cu mult mai largă decât clasa forțelor de tip

newtonian [1].

Setul precedent de proprietăţi al forței este însă suficient pentru o

anumită caracterizare a continuului la care se referă acestea. Mai precis,

reproducând ecuația lui Poisson, trebuie să operăm cu densitatea materiei

punctului fizic ce creează câmpul. De aici rezultă că forțele newtoniene

sunt singurele forțe care, obținute pe baza unei teorii a continuului,

conferă structurii acelui continuu o densitate de tip newtonian nulă

(forțele newtoniene caracterizează doar dinamicile de vid).

Definind forța în aceleași poziții ca și materia, în sensul că

acceptăm densitatea newtoniană drept atribut al ecuației lui Poisson,

atunci tot ea caracterizează forța drept apanaj al unui continuu. Acest

lucru vine în contradicție cu modul în care forța gravitațională a fost

concepută inițial de către Newton adică o forță concentrată într-un punct.

14

Acceptând însă punctul de vedere al filozofiei naturale

newtoniene, momentul poate fi depășit prin trecerea de la condiția de

punct material – implicând forțe centrale cu mărime depinzând numai de

distanță – la condiția de corp extins – implicând existența unui tensor 3x3

ce generează dependența de direcție a mărimii forței. Variația expresiei

mărimii forței datorită distanței dintre punctele materiale implicate în

interacțiune se manifestă printr-o evoluție a matricii ce redă dependența

de direcție a mărimii forței (să notăm că orice “operație” cu tensori de

ordinal doi este reductibilă la “operații” cu matrici 3x3). Dacă această

evoluție ar fi putut fi luată în considerație în mod corect înainte ca

Einstein [2] să creeze teoria sa a relativității, probabil că n-am fi avut

prilejul să o mai vedem astăzi această teorie ca atare. Totuși necesitatea

acestei matrici s-a făcut simțită pe alte căi, iar ecuațiile lui Ernst [3] sunt,

în opinia noastră, manifestarea acestei necesități.

Într-un asemenea cadru, în prezentul capitol vom arăta că

dinamicile asociate tranziției punctului material-corp extins se dovedesc

reductibile la compatibilitatea spațiu-materie. Rezultatele originale din

acest capitol sunt în curs de publicare în referința: Agop M., Gavriluț A.,

Iacob D. D., Gavriluț G. (în curs de publicare): Elastic and Plastic type

Behaviours on the fractal theory of motion at nanoscale, Advances in

Non-linear Dynamics Research, Editors: Alexey B Nadykto, Ludmila

Uvarova, Anatoliv Latyshep, Nova Publishing House, New York, 2017

[4].

Așa cum rezultă din analiza făcută în paragraful 2.1, tranziția

punct material-corp extins implică operarea cu tensori de ordinul al doilea

sau, mai general, cu matrici 3x3. Atunci un tensor de tip tensiune va

caracteriza „materia în spațiu”, în timp ce un tensor de tip deformație va

caracteriza „spațiul în materie”. Într-o asemenea conjectură, în

problemele continuului importantă este ecuația cuadricei caracteristice a

unei matrici 3x3 ce poate reprezenta fie “tensiuni” fie “deformații”.

Această ecuație conține toată informația legată de distribuția spațială a

mărimii fizice reprezentată de matricea respectivă. Pentru a descrie

această distribuție este nevoie de un sistem de referință special în orice

15

punct din spațiu, sistem de referință generat de vectorii proprii ai matricii

mărimii fizice avute în vedere. Deoarece această matrice este de regulă

simetrică, vectorii săi proprii sunt reciproc perpendiculari. Mai mult dacă

mărimea este definită în orice punct din spațiu atunci orice punct din

spațiu poate fi înzestrat cu un asemenea sistem de referință ortogonal,

care astfel primește semnificație fizică prin mărimea pe care matricea o

reprezintă. Într-adevăr, în acest sistem de referință pot exista totdeauna

trei numere cu semnificație fizică ce caracterizează originea sa. Aceste

numere sunt valori proprii ale matricii. Ele caracterizează în mod unic

punctul respectiv și, deoarece ele sunt rădăcinile unei ecuații cubice

(ecuația seculară a tensorului de tip tensiune), pot fi luate în spațiu drept

coordonate eliptice generalizate [5].

Procedura matematică ce urmează se referă la cea mai generală

formă a ecuației cubice cu coeficienți reali. Acești coeficienți sunt

invarianți ortogonali în cazul unei matrici 3x3 care este tensor în raport

cu grupul de rotații al spațiului uzual. Referința principală pe care o vom

utiliza este tratatul clasic al lui Burnside și Panton [6].

Fie deci ecuația cubică de expresie (forma binomială):

0axa3xa3xa 322

1

3

0 (2.1)

Vom presupune că numerele ka sunt reale, reprezentând prin 0a

posibilitatea de a ajusta în mod adecvat coeficienții pentru a ține seama

de arbitrariul permis de relațiile dintre rădăcini și coeficienți.

Urmând procedura din[6] se obțin soluțiile:

123

122

121

a3

1

3

43sina

3

2x

a3

1

3

23sina

3

2x

a3

13sina

3

2x

(2.29)

În terminologia lui Novojilov este unghiul de

reprezentare al matricii ij . În teoria deformațiilor, el este legat de

16

raportul razelor cercurilor lui Mohr, caracteristice fie deformațiilor, fie

tensiunilor, și caracterizat prin parametrul lui Lode [7]:

3tg3xx

xxx2

32

321

. (2.30)

Să observăm mai întâi faptul că dacă starea de tip tensiune sau

cea de tip deformaţie variază de la punct la punct:

321321 x,x,xx,x,x (2.31)

atunci o teoremă de algebră [6] arată că între ecuaţiile seculare, ce au ca

rădăcini valorile respective, are loc o legătură generată prin transformarea

omografică:

dcx

baxx

(2.32)

Aceasta induce un grup cu trei parametri în trei variabile.

Intr-adevar scriind rădăcinile cubicei sub forma lui Barbilian

[8,9] se induc transformările reale (grupul Barbilian):

dch

bahh

,

dhc

bhah

, k

dch

dhck

(2.35)

Acest grup este simplu tranzitiv, cu generatorii infinitezimali daţi

de operatorii:

hhB1

,h

hh

hB2

,

k

khhh

hh

hB 223

(2.36)

ce relevă pentru algebra Lie asociată o structură de tipul SL(2R)

121 BB,B ;

332 BB,B ;

213 B2B,B (2.37)

Mai mult grupul admite 1-formele diferenţiale:

khhdh1

,

hh

hddh

k

dki2 ,

hh

hkd3

(2.38)

17

2-forma diferenţială:

2

2

21222

hh

hdhd4

hh

hddh

k

dk4ds

(2.41)

şi 3-forma diferenţială ca măsură elementară:

khhdkhddh

dM2

(2.43)

Avantajele reprezentării (2.41), indiferent dacă ea reprezintă o

mişcare kepleriană sau un sistem de tip tensiune, se referă la faptul că

această reprezentare face explicită conexiunea cu reprezentarea Poincaré

în planul Lobacevski. Într-adevăr, metrica (2.41) se reduce la cea a lui

Poincaré:

22

hh

hdhd4ds

(2.44)

sau, în real:

2

222

v

dvduds

(2.45)

pentru 02 sau în real 01 care, după cum observă

Barbilian [10], defineşte variabila ca unghi de paralelism în sens Levi-

Civita al planului hiperbolic (conexiune). De fapt, vdu reprezintă forma

de conexiune a planului hiperbolic [10 ecuaţiile (2.40) reprezentând

atunci o transformare Bäcklund generală a acelui plan [11].

Dacă acum rezolvăm sistemul de ecuaţii (2.34) în raport cu h ,

h şi k se obţin următoarele relaţii:

3

2

21

32

2

1

3

2

21

21

2

1332

xxx

xxxk

xxx

xxxxxxh

(2.46)

Acestea se pot pune în legătură cu următoarele mărimi şi anume:

18

i6ek (2.47)

6cosi6sin3

xxh (2.48)

unde:

32

321

xx3

xxx23tg

(2.49)

iar:

321 xxx3

1x (2.50)

21

2

13

2

32

2

21 xxxxxx2

1x (2.51)

Relaţiile (2.49), (2.50) şi (2.51) sunt expresii ce pot fi puse în

corespondenţă cu mărimi cunoscute din teoria tensiunilor şi deformaţiilor

[12] precum parametrii lui Lode media tensiunii normale respectiv

intensitatea tensiunilor.

Dacă se face uz de relaţiile anterioare se obţine:

3sinxxx1 (2.52)

În cazul în care este satisfăcută condiţia:

0x (2.53)

ceea ce din punct de vedere al teoriei tensiunilor semnifică faptul că nu

există solicitări hidrostatice, 03321 , iar din punct

de vedere al teoriei deformaţiilor semnifică faptul că deformaţia are loc

fără schimbare de volum, 03321 , [12] rezultă:

3sinxx1 (2.54)

Din punct de vedere al teoriei tensiunilor şi deformaţiilor [12]

dacă admitem identificările:

1x , x (2.55)

relaţia (2.54) scrisă sub forma:

19

3sin (2.56)

reprezintă o generalizare a criteriului de cedare a lui von Mises [12],

adică a criteriului standard [12-14]:

c21

2

32

2

31

2

212

1 , (2.57)

unde c defineşte tensiunea de curgere, de la cazul tracţiunilor uniaxiale

la cel al solicitărilor triaxiale. Aceasta înseamnă că tensiunea de solicitare

monotonă uniaxială nu poate fi identificată cu mărimea decât dacă

solicitările ortogonale direcţiei de tracţiune sunt foarte apropiate una de

cealaltă. Într-adevăr, din relaţia (2.49) scrisă pentru tensiuni sub forma:

32

321

3

23tg

(2.58)

rezultă:

3tg (2.59)

ceea ce implică:

13sin

Prin urmare, tensiunea uniaxială poate fi identificată cu mărimea

.

Teoria anterioară asupra obţinerii valorilor proprii ale unei

matrici, nu face prin nimic referinţă la simetria matricii sau la faptul că ea

este un tensor etc.: este o teorie cu totul generală. Totuşi, în cazul

tensorului de tip tensiune şi a celui de tip deformaţie, ceea ce implică

compatibilitatea spaţiu-materie, avem de-a face cu matrici simetrice care,

potrivit teoriei clasice, sunt şi tensori. Această din urmă proprietate nu ne

ajută la nimic, însă prima simplifică oarecum problema relaţiilor

constitutive. Pentru fiecare dintre tensorii de tip tensiune , ij , și de tip

deformație, ij , reprezentați prin matrici specifice 3x3, se poate construi

o teorie analogă celei din paragrafele anterioare. Vom nota aici invarianţii

20

acestor matrici, ca şi în paragrafele anterioare, astfel: 321 e,e,e şi

respectiv 321 s,s,s , iar unghiurile de reprezentare cu , respectiv .

În cele ce urmează vom urma procedura matematică dată în

referințele [13-15] cu diferența că aici discutăm de tensori de tip tensiune

respectiv de tip deformație. Primul dintre tensori va caracteriza “materia

în spațiu” în timp cel de-al doilea va caracteriza “ spațiu în materie”.

Baza relaţiilor constitutive pentru o structură materială ideal

elastică, este dată de existenţa potenţialului de tip elastic, considerat ca

funcţie de invarianţi de tip deformaţiei 321 E,E,E ce înlocuiesc pe

321 I,I,I din paragrafele anterioare şi care are semnificaţia de tip

densitatea lucrului mecanic elementar. Dacă notăm această funcţie cu

321 E,E,E , atunci vom avea:

ij

ij

Φ (2.60)

sau:

3

1k ij

k

k

ij

E

E

Φ (2.61)

Derivatele kE pot juca rolul unor parametri intrinseci de

material de tip „moduli elastici generalizaţi”.

Urmând acum procedura din [13-15] se obține mai întâi:

Ie3

2D

3cos

sin

e

3D

3cos

3cosG2D 2

2

2

, (2.75)

Relaţia matriceală (2.75) reprezintă cea mai generală ecuaţie

constitutivă pentru structura materială ideală elastică izotropă, însă numai

pentru acesta. Practic discutăm în prezentul context de relația constitutivă

materie-spațiu, altfel spus cum este „extinsă” materia în spațiu. Într-

adevăr, ea nu se referă numai la transformări reversibile ci și la cele

21

ireversibile, întrucât este obţinută în ipoteza existenţei potenţialului

care însă este construibil atât pentru transformări reversibile cât și

ireversibile. Ea este şi inversabilă adică se poate exprima

D prin

D .

Prin aceleași proceduri se găsește:

Is3

2D

3cos

sin

s

3D

3cos

3cos

G2

1D 2

2

2

, (2.80)

Discutăm aici de relația constitutivă spațiu – materie altfel spus

cum este “extins” spațiul în materie.

În cazul uzual al tensorului tensiunilor și cel al deformațiilor din

(2.75) pentru 0 se obţine legea clasică a lui Hooke pentru corpul

perfect izotrop prin identificările obişnuite [13]:

1

EG2 ,

21

EK

unde este coeficientul lui Poisson. Această lege are forma:

332211ijij

2111

1E

, (2.81)

Semnificațiile mărimilor de mai sus sunt date în capitolul doi al

tezei.


1. Burns J. (1966): Noncentral Forces, American Journal of Physics,

Vol. 34, pp. 164

2. Einstein A. (1957): Teoria Relativității, Editura Tehnică, București.

3. Ernst F.J. (1968): New Formulation of the Axially Symmetric

Gravitational Field Problem II, Physical Review, Vol. 168, pp. 1415

22

4. Agop M., Gavriluț A., Iacob D. D., Gavriluț G. (în curs de

publicare 2017): Elastic and Plastic type Behaviours on the fractal

theory of motion at nanoscale, (capitol carte) Advances in Non-linear

Dynamics Research, Editors: Alexey B Nadykto, Ludmila Uvarova,

Anatoliv Latyshep, Nova Publishing House, New York.

5. Mihăileanu N. (1971): Complemente de Geometrie Analitică,

Proiectivă și Diferențială, Editura Didactică și Pedagogică,

București.

6. Burnside W.S., Panton A.W. (1960): The Theory of Equations,

Dover Publications, New York.

7. Drăgan I. (1981): Tehnologia deformațiilor plastice, Editura

Didactică și Pedagogică, București.

8. Barbilian D. (1938): Der Riemannsche Raum Kubischer

Binärformen, Comptes Rendus de l’Académie Roumaine des

Sciences, Vol. 2, pp. 345.

9. Barbilian D. (1967): Opera Matematică, Editura Academiei,

București, Vol. I,

10. Flanders H. (1989): Differential Forms with Applications to the

Physical Sciences, Dover Publications, New York,

11. Reyes E.G. (2003): On Generalized Bäcklund Transformation for

Equations Describing Pseudo-Spherical Surfaces, Journal of

Geometry and Physics, Vol. 45, pp. 368

12. Bell J.F. (1987): The Physics of Large Deformation of Crystallique

Solids, Ed. Springer Verlag, Viena, Vol. 14,

13. Novojilov V.V. (1951): Asupra relației dintre tensiuni și deformații

în mediul neliniar-elastic, Prikladnaya Matematikai, Mekhanika, Vol.

15, pp. 183

14. Novojilov V.V., (1952): Asupra semnificației fizice a invarianților

tensiunilor folosiți în teoria Plasticității, Prikladnaya Matematikai,

Mekhanika, Vol. 16, pp. 617

15. Agop M., Mazilu N: Fundamente ale fizicii moderne, Editura

Junimea, Iași, 1989.

23

CAPITOLUL III

Efecte de tip scală în teorii fizice diferențiale, respectiv

nediferențiale

În acest capitol am legiferat mai întâi rolul transformărilor de

scală în teorii fizice diferențiabile pe baza analizei unor dinamici

standard: problemele Kepler pentru masă și sarcină, „momentele” Galilei

și Hubble ca accidente ale unei „ambianțe” newtoniene, eliminarea

disipației, fie ca un proces de modulare în frecvență, fie ca un act de

generare de „identitate” de pe un ansamblu cu aceeași caracteristică

(,,personalizarea” unui oscilator dintr-un ansamblu de oscilatori cu

aceeași frecvență). Apoi, cum transformările de etalon implică conceptul

de scală de rezoluție, concept de altfel impropriu teoriilor fizice

diferențiabile, întrucât acestea nu pot ,,susține” simultan determinismul şi

potențialitatea (nedeterminismul), am analizat dinamici similare

(oscilatorul armonic, particula liberă etc.) în teorii fizice nediferențiabile.

Într-o asemenea conjuctură pentru oscilatorul armonic rezultă atât o

coerență în fază a entităților unui sistem fizic la scală diferențiabilă, cât şi

un transfer cuantificat de impuls fractal, între entitățile aceluiași sistem

fizic la scală nediferențiabilă. Mai mult, pentru particula liberă secvențele

de tip ,,mișcare rectilinie și uniformă” și cea de tip „Hubble” se obțin prin

,,medieri” între gradul de fractalizare şi poziției-timp la diverse scale de

rezoluție.

Rezultatele originale au fost publicate în referințele: Boicu M.,

Iacob D. D. (2015): On the Hubble effect by means of the fractal

medium, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Tomul LX(IV) [1];

Doroftei B., Duceac L. D., Iacob D. D., Dănila N., Volovăț S.,

Scripcariu V., Agop M., Aursulesei V.: The Harmonic Oscillator

Problem in the Scale Relativity Theory. Its Implications in the

Morphogenesis of Structures at Various Scale Resolutions, Journal of

Computational and Theoretical Nanoscience, Vol. 12, pp. 5870 [2]; Iacob

D.D, Agop M. (2017): Compatibilitate skyrmionică spațiu – materie,

Editura Ars Longa, Iași [3].

http://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn;jsessionid=9h487hs96aggh.alicehttp://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn;jsessionid=9h487hs96aggh.alice

24

Alte aplicații ale modelului în studiul dinamicii biostructurilor

sunt prezentate în referințele [4,5].

Indiferent de scara specifică de contemplare a naturii, forța

newtoniană este o forță de vid (o caracteristică a spațiului în absența

materiei). Una dintre “instanțele” acestei forțe acționează atât la scară

macroscopică - forța gravitațională, cât și la scară microscopică - forța

coulumbiană. Ecuațiile dinamice de mișcare în cele două probleme: ale

atomului la scală microscopică respectiv ale sistemului solar, la scală

cosmogonică, trebuie să fie deci aceleași. Este așadar un merit al

formalismului dinamicii clasice faptul că ambele ecuații de mișcare,

referitoare la forța invers proporțională cu pătratul distanței, sunt explicit

invariante la o transformare de etalon. Într-adevăr, în conformitate cu

legile dinamicii clasice, atomul la nanoscală este tot la fel de legitim ca și

sistemul solar la scară cosmogonică. Dacă însă un lucru este neconform

aici, acesta trebuie căutat dincolo de mecanica clasică, așa cum se va

vedea puțin mai târziu. Dar să vedem la ce se referă, în mod explicit, acea

transformare de etalon ce invariază ecuațiile dinamicii clasice.

Mariwalla a arătat că ecuațiile de mișcare ale dinamicii

newtoniene pentru cazul forței gravitaționale clasice sunt invariante la o

transformare specială [6]. Această transformarepe care noi o vom numi

transformarea Mariwalla se referă simultan atât la poziție, cât și la timpul

mișcării. Astfel, acesta a arătat că ecuațiile de mișcare ale lui Newton

pentru mișcarea planetară, devin invariante în raport cu transformarea

simultană a coordonatelor spațiale și a timpului dată prin relațiile:

rk

rR

1;

21dt

dτrk

(3.2)

Aceasta ne permite să afirmăm că, de exemplu, problemele

Kepler pentru masă și sarcină nu sunt echivalente: ele sunt identice, dar

la diferite scări de timp și spațiu. Așadar, teoretic, atomul lui Rutherford

este “legitim": el este expresia unei mișcări kepleriene la scară

microscopică, așa cum mișcarea planetelor în jurul Soarelui este expresia

unei mișcări kepleriene la scară macroscopică (cosmogonică).

25

În coordonatele polare ,r ale planului mişcării forma vectorială a ecuaţiei lui Newton, se separă într-un sistem de două ecuaţii

diferenţiale:

0r

rr 2

; 0r2r (3.6)

A doua ecuaţie diferenţială corespunde legii de conservare a

ariilor:

.constar2 (3.7)

Prima din ecuaţiile diferenţiale (3.6) poate fi integrată [7]

introducând mai întâi schimbarea de variabilă temporală:

2rdt

t ; a (3.8)

unde simbolul „,” reprezintă derivata în raport cu . Acum o

nouă schimbare de variabilă de forma:

r

1 (3.9)

transformă prima ecuaţie diferenţială (3.6) astfel:

0a 22 (3.10) Prin integrarea acestei ecuații și ținând seama de anumite

constrângeri se obține

fie „momentul” de tip Galilei: 00 v (3.15)

fie „momentului” de tip Hubble: T

(3.18)

Aşadar, „ambianţa newtoniană” oferă („simulează”) prin

dinamica ei atât „momentul” de tip Galilei (3.15), cât şi pe cel de tip

Hubble (3.18). Mai mult, ambele „momente” pot fi asimilate unor

„accidente” (limite) în cadrul dinamicii newtoniene.

Utilizând o procedură de tip Ricatti [8] în analiza dinamicilor

oscilatorului amortizat se arată că mărimea:

26

constRMKq

RqMptan

RMK

R2expKqRpq2Mp

2

1

2

1

2

22

(3.38)

se conservă. Rezultă de aici că energia se conservă în sens clasic

numai în cazul în care fie R este nul, fie mișcarea în planul fazelor se face

pe o dreaptă ce trece prin origine, cu panta determinată de raportul dintre

coeficientul de amortizare şi masă. Anularea lui R este asociată absenței

forțelor disipative. Prin comparație cu conjectura lui Planck [9] privitoare

la funcția de partiție pe un ansamblu dat:

rw1

r1wtg

r1

r2exp

wrw21

1w,rP

2121

2122

relația (3.38) scrisă sub forma:

rw1

r1wtg

r1

r2exp

wrw21

const

2

kq212

1

2122

2

2

22

Kq

Mpw ;

KM

Rr

22

relevă aici caracterul pur statistic al energiei: energia potențială se

constituie ca funcțională de o variabilă statistică. Această variabilă este

dată de raportul dintre energia cinetică și cea potențială a oscilatorului

,,local”.

Mai mult printr-o transformare de etalon [10] ce are drept

finalitate obținerea unui lagrangean “liber de orice constrângere”, aceeași

proceduri de tip Riccati implică soluția [11].

r

2

2

r

2

r

tt2cosr2r1

r1i

tt2cosr2r1

tt2sinr2MRz

(3.50)

ceea ce scoate în evidență o modulație a frecvenței prin ceea ce am numi

o transformare de tip Stoler [12,13].

27

Să notăm că disiparea apare aici ca un proces de modulare a

frecvenței (mai precis a pulsației). Acest proces este o calibrare a

diferenței dintre energia cinetică și cea potențială – definiția clasică a

lagrangeanului – ce aduce această mărime la un pătrat perfect.

Oricare din transformările prezentate în paragrafele anterioare: i)

transformarea lui Mariwalla prin care problemele Kepler pentru masă și

sarcină devin identice, dar la diferite scări spațio-temporale; ii)

transformarea lui Govinder prin care ,,momentul Galilei” și „momentul

Hubble” sunt asimilate unor „accidente” oferite de ambianța newtoniană;

iii) transformarea disipativ-nedisipativ prin care „ frecarea internă”

,,mimează”, fie un proces de modulare în frecvență prin calibrarea

diferenței dintre energia cinetică și cea potențială astfel încât expresia

langrangeanului să devină un pătrat perfect, fie un act de ,,personalizare”

(generare de identitate) a unui obiect fizic dintr-un ansamblu cu o

caracteristică comună prin eliminarea „modulării” ei (în particular,

identificarea unui oscilator dintr-o „clasă” de oscilatori de aceeași

frecvență prin excluderea modulării în frecvență) – reflectă efecte fizice

la scale de rezoluție spațio-temporale diferite.

Dar conceptul de scală de rezoluție nu este propriu teoriilor fizice

diferențiabile cu care am operat aici, ci doar teoriilor fizice

nediferențiabile, fie de tipul Relativității de Scală în dimensiune fractală

DF=2 [14] , fie de tipul Relativității de Scală în dimensiune fractală

constantă arbitrară [15].

Într-un asemenea cadru, utilizând Teoria Relativității de Scală în

dimensiune fractală constantă arbitrară, se arată că oscilatorul armonic

într-un spaţiu fractal este echivalent cu un sistem fizic coerent, ale cărui

entităţi se deplasează pe traiectorii staţionare fractale, ce satisfac condiţia:

2

1nDm21n2DmDmQUE 0

2

0

2

0nn

(3.113)

“Observabila” sub forma energiei este cuantificată. Valoarea zero

a părţii diferenţiabile a câmpului de viteze complex corespunde unei

comportări a sistemului fizic de tip superfluid sau supraconductor, iar

28

valoarea diferită de zero a părţii fractale selectează, prin condiţia (3.113),

„traiectoriile” staţionare fractale ale entităţilor sistemului fizic. Transferul

de impuls este realizat doar prin componenta fractală a câmpului de

viteze complex.

Rezultatele anterioare pot fi generalizate pentru un oscilator

armonic n-dimensional. În acest context, în Figurile 3.3a,b si 3.6a,b

prezentăm densităţile de stări ale oscilatorului armonic bidimensional

pentru diferite stări cuantice, induse de numerele cuantice nξ şi, respectiv,

nη (dependenţele 3D şi de contur).

Fig. 3.3 a, b: Densitățile de stări ale oscilatorului armonic

bidimensional (dependențele 3D și de contur) pentru numerele cuantice

1n și, respectiv, 2n .

29

Fig. 3.6 a, b: Densitățile de stări ale oscilatorului armonic

bidimensional (dependențele 3D și de contur) pentru numerele cuantice

2n și, respectiv, 3n .

În cazul particulei libere, același formalism al relativității de

Scală în dimensiune fractală constantă arbitrară specifică faptul că

„modul” de mişcare rectiliniu şi uniform:

cv

(3.126)

este „vizibil” atât la scala de rezoluţie diferenţiabilă, indiferent de gradul

de fractalizare, cât şi la scale de rezoluţie nediferenţiabile subunitare şi

grade de fractalizare nule,în timp ce „modul” de mişcare de tip Hubble,

T

xv (3.127)

este vizibil doar la scale de rezoluţie nediferenţiabile supraunitare, grade

de fractalizare mari şi timpi de ordinul vârstei universului.

Semnificațiile mărimilor de mai sus sunt date în capitolul al

treilea al tezei.

30


1. Boicu M., Iacob D. D. (2015):On the Hubble effect by means of the

fractal medium, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Tomul

LX(IV)

2. Doroftei B., Duceac L. D., Iacob D. D., Dănila N., Volovăț S.,

Scripcariu V., Agop M., Aursulesei V. (2015): The Harmonic

Oscillator Problem in the Scale Relativity Theory. Its Implications in

the Morphogenesis of Structures at Various Scale Resolutions,

Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, Vol. 12, pp.

5870

3. Iacob D.D, Agop M. (2017): Compatibilitate skyrmionică spațiu –

materie, Editura Ars Longa, Iași.

4. Aursulesei V., Vasincu D., Timofte D., Vrăjitoriu L., Gațu I.,

Iacob D.D., Ghizdovăț V., Buzea C., Agop M. (2016): New

mechanisms of vesicles migration, General Physiology and

Biophysics, Vol. 35, pp. 287

5. Duceac L. D., Nica I., Iacob D. D. (2014): Chaos and self-

structuring in cellular growth dynamics, Buletinul Institutului

Politehnic din Iaşi, Tomul LX (LXIV)

6. Mariwalla, K. H. (1982), Integrals and Symmetries: the Bernoulli-

Laplace-Lenz Vector, Journal of Physics A: Mathematical and

General, Vol. 15, L467- L471

7. Govinder, K. S., Athorne, C., Leach, P. G. L. (1993), The

Algebraic Structure of Generalized Ermakov Systems in Three

Dimensions, Journal of Physics A: Mathematical and General, Vol.

26, 4035 – 4046

8. Denman, H. H., (1968), Time-Translation Invariance for Certain

Dissipative Classical Systems, American Journal of Physics, Vol. 36,

516

9. Mazilu N., Porumbeanu M. (2011): Devenirea mecanicii cuantice,

Editura Limes, Cluj Napoca

http://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn;jsessionid=9h487hs96aggh.alicehttps://www.google.ro/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjh0ITRnMjOAhXOyRoKHV1VBJYQFggfMAA&url=http%3A%2F%2Fwww.gpb.sav.sk%2F&usg=AFQjCNFdHFE0oSsRAHlcD5lB_t4DWdgvUQ&bvm=bv.129759880,d.bGghttps://www.google.ro/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjh0ITRnMjOAhXOyRoKHV1VBJYQFggfMAA&url=http%3A%2F%2Fwww.gpb.sav.sk%2F&usg=AFQjCNFdHFE0oSsRAHlcD5lB_t4DWdgvUQ&bvm=bv.129759880,d.bGg

31

10. Zelikin, M. I., (2000), Control Theory and Optimization,

Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 86, Springer.

11. Carinena J. F., Ramos A. (1999): Integrability of Riccati Equation

from a Group Theoretical Viewpoint, International Journal of

Modern Physics A, Vol. 14, pp. 1935

12. Stoler, D., (1970), Equivalence Classes of Minimum Uncertainty

Packets, Physical Review D1, 3217

13. Stoler, D., (1971), Generalized Coherent States, Physical Review D4,

2309

14. Nottale L. (2011): Scale Relativity and Fractal Space-Time: A New

Approach to Unifying the Relativity and Quantum Mechanics,

Imperial College Press, London.

15. Mercheș I., Agop M. (2015): Differentiability and Fractality in

dynamics of physical systems, World Scientific, Singapore

http://www.worldscientific.com/worldscinet/ijmpahttp://www.worldscientific.com/worldscinet/ijmpa

32

CONCLUZII GENERALE

Rezultatele din capitolul 1 referitoare la dinamici de tip Kepler

specifice faptului că regiunea spațială a corpuluisursă poate fi descrisă

printr-o geometrie de tip hiperbolic. Atunci acceptând corespondența

dintre spațiu gol și cel umplut cu materie ca o aplicație armonică, suntem

conduși la skyrmionii hiperbolici.

Rezultatele din capitolul 2 prin care trecem de la dinamici

“punctuale” la cele de tip corp extins implică legi constitutive de

material, fie de tip “tensiune- deformație” ceea ce ar descrie modul cum

este extinsă materia în spațiu, fie de tipul “deformație - tensiune ” ceea

ce ar descrie modul cum este “extins” spațiul în materie. Dinamica

acestor tensori implică grupuri de invarianță și de aici, prin mapare

armonică ecuațiile de tip Ernst. Prin aceasta totuși nu putem renunța la

ecuațiile lui Einstein.

În capitolul trei se arată că dinamicile standard de tip Kepler,

oscilator amortizat etc implică, prin transformări de etalonaredinamici în

“universuri similare”. Altfel spus, “lumi” diferite sunt descrise prin

aceeasi ecuație, dar la scală spațio- temporale diferite. Ori tranziția

fractal- nefractal (adică de la un univers la altul) imlică si aici mapare

armonică.

Deși aparent disjuncte, rezultatele din capitolele 1, 2 și 3 induce,

prin aceeași procedură matematică (mapare armonică) la renuntarea la

diferențialitate și operarea cu fractalitate.

33

BIBLIOGRAFIE GENERALĂ

1. Agop M., Gavriluț A., Iacob D. D., Gavriluț G. (în curs de

publicare 2017): Elastic and Plastic type Behaviours on the fractal

theory of motion at nanoscale, (capitol carte) Advances in Non-linear

Dynamics Research, Editors: Alexey B Nadykto, Ludmila Uvarova,

Anatoliv Latyshep, Nova Publishing House, New York.

2. Atiyah M. F., Manton N. S. (1993): The Geometry and Kinematics

of Two Skyrmions, Communications in Mathematical Physics, Vol.

152, pp. 391

3. Atiyah M. F., Sutcliffe P. (2001): The Geometry of Point Particles;


1089

4. Atiyah M. F., Sutcliffe P. (2004): Skyrmions, Instantons, Mass and

Curvature, Physics Letters B, Vol. 605, pp. 106

5. Aursulesei V., Vasincu D., Timofte D., Vrăjitoriu L., Gațu I.,

Iacob D.D., Ghizdovăț V., Buzea C., Agop M. (2016): New

mechanisms of vesicles migration, General Physiology and

Biophysics, Vol. 35, pp. 287

6. Baish J. W., Jain R. K. (2000): Fractals and Cancer, Cancer

Research, Vol. 60, pp. 3683

7. Ballentine L. E (1998): Quantum Mechanics: A Modern

Development, World Scientific.

8. Barbilian D. (1938): Der Riemannsche Raum Kubischer

Binärformen, Comptes Rendus de l’Académie Roumaine des

Sciences, Vol. 2, pp. 345(retipărit în Opera Matematică, Vol.I).

https://www.google.ro/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjh0ITRnMjOAhXOyRoKHV1VBJYQFggfMAA&url=http%3A%2F%2Fwww.gpb.sav.sk%2F&usg=AFQjCNFdHFE0oSsRAHlcD5lB_t4DWdgvUQ&bvm=bv.129759880,d.bGghttps://www.google.ro/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjh0ITRnMjOAhXOyRoKHV1VBJYQFggfMAA&url=http%3A%2F%2Fwww.gpb.sav.sk%2F&usg=AFQjCNFdHFE0oSsRAHlcD5lB_t4DWdgvUQ&bvm=bv.129759880,d.bGg

34

9. Barbilian D. (1967): Opera Matematică, Editura Academiei,

București, Vol. I

10. Bell J.F. (1987): The Physics of Large Deformation of Crystallique

Solids, Ed. Springer Verlag, Viena, Vol. 14

11. Bohm D. (1952): A Suggested Interpretation of Quantum Theory în

Terms of „Hidden” Variables, Physical Review, Vol. 85, pp. 166

12. Boicu M., Iacob D. D. (2015):On the Hubble effect by means of the

fractal medium, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Tomul

LX(IV)

13. Burns J. (1966): Noncentral Forces, American Journal of Physics,

Vol. 34, pp. 164

14. Burnside W. S., Panton A. W. (1960): The Theory of Equations,

Dover Publications

15. Carinena J. F., Ramos A. (1999): Integrability of Riccati Equation

from a Group Theoretical Viewpoint, International Journal of

Modern Physics A, Vol. 14, pp. 1935

16. Cayley A. (1859): A Sixth Memoir Upon Quantics, Philosophical

Transactions of the Royal Society of London, Vol. 149, pp. 61;

Reprinted in The Collected Mathematical Works, Vol. II, p. 561,

Cambridge University Press, 1889

17. De Sitter W. (1917a): On the Relativity of Inertia. Remarks

Concerning Einstein’s Latest Hypothesis, Proceedings of the Royal

Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW), Vol. 19II, pp.

1217

18. De Sitter W. (1917b): Further Remarks on the Solutions of

Einstein’s Theory of Gravitation, Proceedings of the Royal

http://www.worldscientific.com/worldscinet/ijmpahttp://www.worldscientific.com/worldscinet/ijmpa

35

Netherlands Academy of Atrs and Sciences (KNAW), Vol. 20II, pp.

1309

19. De Sitter, W. (1916): On Einstein’s Theory of Gravitation and its

Astronomical Consequences, Second Paper, Monthly Notices of the

Royal Astronomical Society of London, Vol. 77, pp. 155 – 184

20. Denman, H. H., (1968), Time-Translation Invariance for Certain

Dissipative Classical Systems, American Journal of Physics, Vol. 36,

516

21. Doroftei B., Duceac L. D., Iacob D. D., Dănila N., Volovăț S.,

Scripcariu V., Agop M., Aursulesei V. (2015): The Harmonic

Oscillator Problem in the Scale Relativity Theory. Its Implications in

the Morphogenesis of Structures at Various Scale Resolutions,

Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, Vol. 12, pp.

5870

22. Drăgan I. (1981): Tehnologia deformațiilor plastice, Editura

Didactică și Pedagogică, București.

23. Duceac L. D., Nica I., Iacob D. D. (2014): Chaos and self-

structuring in cellular growth dynamics, Buletinul Institutului

Politehnic din Iaşi, Tomul LX (LXIV)

24. Eells J., Sampson J. H. (1964): Harmonic Mappings Of Riemannian

Manifolds, American Journal of Mathematics, Vol. 86, pp. 109

25. Einstein A. (1917): Cosmological Considerations on the General

Theory of Relativity, translation of the German original in The

Principle of Relativity, Dover Publications, Inc., New York

26. Einstein A. (1920): Relativity: the special and the general theory, a

popular exposition, Methuen&Co. Ltd.

http://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn;jsessionid=9h487hs96aggh.alice

36

27. Einstein A. (1957): Teoria Relativității, Editura Tehnică, București.

28. Einstein A. (1986 – 2013): The Collected Papers, Princeton

University Press, Princeton, New Jersey

29. Einstein A. (2004): The Meaning of Relativity, Routledge Classics,

London & New York

30. Ernst F.J. (1968): New Formulation of the Axially Symmetric


31. Ernst F.J., (1968): New Formulation of the Axially Symmetric


32. Ernst F.J., (1971): Exterior Algebraic Derivation of Einstein Field

Equations Employing a Generalized Basis, Journal of Mathematical

Physics, Vol. 12, pp. 2395

33. Evrard G. (1995): Minimal Information in Velocity Space, Physics

Letters A, Vol. 201, pp. 95

34. Fels, M., Olver, P. J., (1998), Moving Coframes I, Acta Applicandae

Mathematicae, Vol. 51, 161-213

35. Feynman, R. P., Hibbs, A. R. (1965), Quantum Mechanics and Path

Integrals, McGraw-Hill, New York (Russian translation)

36. Flanders H. (1989): Differential Forms with Applications to the

Physical Sciences, Dover Publications, New York

37. Fock V. I. (1959): The Theory of Space Time and Gravitation,

Pergamon Press, New York

38. Gațu I. N,, D. D. Iacob , V. Ghizdovăț, M. Agop: Non Linear

Effects In Complex Fluids, Second International Conference On

37

Natural And Anthropic Risks, ICNAR, Universitatea “Vasile

Alexandri”, Bacău; 4-7 iunie 2014.

39. Gațu Irina Nicoleta, D. D. Iacob (2015b): Describing Particle

Interactions using The Classical Theory of Light Colors; Conferința

nationala, Pentagonul Facultatilor de Fizică;

40. Gațu I. N,, D. D. Iacob , V. Ghizdovăț, M. Agop: Non Linear

Effects In Complex Fluids, Second International Conference On

Natural And Anthropic Risks, ICNAR, Bacău; 4-7 iunie 2014.

41. Gațu Irina, V.Ghizdovăț, Dan D. Iacob (2015 a): Fenomene de

haos și autoorganizare în medicină; Conferința Națională cu

Participare Internațională “Zilele Spitalului Clinic C.F. Iași” Iași,

2015.

42. Ghizdovăț V., D. D. Iacob, Gațu I. N., M. Agop: Morphogenesis

of structures in complex fluids through the informational non-

diferentiable entropy, ICNAR, Bacău, 2014;

43. Ghizdovăț V., D. D. Iacob, I. Gațu (2015c), The Development of a

New Cellular Network Class, The Second CommScie International

Conference, Iași, 2015

44. Ghizdovăț V., I. Gațu, D. D. Iacob, I. Butuc (2015a), Non-Linear

Behaviours of the Solid Components from Heterogeneous Mixtures,

OPROTEH, Bacău, 2015;

45. Ghizdovăț V., I. Gațu, D. D. Iacob, I. Butuc(2015b), Non-Linear

Behaviours in Ablation Plasma via Fractality, ICPIG, Iași, 2015,

46. Govinder, K. S., Athorne, C., Leach, P. G. L. (1993), The

Algebraic Structure of Generalized Ermakov Systems in Three

Dimensions, Journal of Physics A: Mathematical and General, Vol.

38

26, 4035 – 4046

47. Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I. M., (1994), Table of Integrals, Series

and Products, Fifth Edition, Academic Press

48. Grigorovici Alexandru, Dan Dezideriu Iacob, Maricel Agop, The

role of “Informational Entropy”in the “transmission”of

“Interactions”. HDL: Chameleon – Like Lipoprotein, Entropy, trimis

spre publicare, 2017.

49. Hertz H. (1899): The Principles of Mechanics, Presented in a New

Form, Dover Phoenix Editions, 2003.

50. Hill R., (1968): On constitutive inequalities for simple materials – I

and II, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 5, pp.

229.

51. Honda A. (2012): Isometric Immersions of the Hyperbolic Plane

into the Hyperbolic Space, Tohoku Mathematical Journal, Vol. 64,

pp. 171.

52. Hu Z. J., Zhao, G. S. (1997a): Isometric Immersions from the

Hyperbolic Space Hn(–1) into Hn+1(–1), Proceedings of the

American Mathematical Society, Vol. 125, pp. 2693.

53. Hu Z. J., Zhao, G. S. (1997b): Classification of Isometric

Immersions of the Hyperbolic Space H2 into H3, Geometriae

Dedicata, Vol. 65, pp. 45.

54. Hu Z.-J. (1999): Isometric Immersions of the Hyperbolic Space

Hn(–1) into Hn+1(–1), Colloquium Mathematicum, Vol. 79, pp. 17

55. Iacob D.D, Agop M. (2017): Compatibilitate skyrmionică spațiu –

materie, Editura Ars Longa, Iași.

39

56. Israel W., Wilson G. A. (1972): A Class of Stationary

Electromagnetic Vacuum Fields, Journal of Mathematical Physics,

Vol. 13, pp. 865

57. Kastrup H. A. (1978): An Electromagnetic Model for Charge

Confinement, Physics Letters B, Vol. 77, pp. 203

58. Kastrup H. A. (1979): Relativistic Strings and Electromagnetic Flux

Tubes, Physics Letters B, Vol. 82, pp. 237

59. Kecs W. (1986): Elasticitate și vâscoelasticitate, Editura Tehnică,

București.

60. Klein F. (1897): The Mathematical Theory of the Top, Charles

Scribner’s Sons, New York.

61. Mandelbrot B. B. (1983): The Fractal Geometry of Nature,

Freeman Publishers, San Francisco

62. Manton N. (1987): Geometry of skyrmions, Communications in

Mathematical Physics, Vol. 111, pp. 469

63. Manton N., Sutcliffe P. (2004): Topological Solitons, Cambridge

University Press.

64. Mariwalla, K. H. (1982), Integrals and Symmetries: the Bernoulli-

Laplace-Lenz Vector, Journal of Physics A: Mathematical and

General, Vol. 15, L467- L471

65. Mazilu N., Agop M (2010): La răscrucea teoriilor – Între Newton și

Einstein – Universul Barbilian, Ed. Ars Longa, Iași.

66. Mazilu N., Agop M. (2012): Skyrmions – a Great Finishing Touch

to Classical Newtonian Philosophy, Word Philosophy Series, Nova

Science Publishers, New York

40

67. Mazilu N., Agop M., Boicu M., Mihăileanu D., Pricop M., Gațu

I., Iacob D. D., Ghizdovăț V. (2015): The geometry of heavenly

matter formations, Physics Essays, Vol. 28, pp. 120

68. Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D., Butuc I., Ghizdovăț V.

(2016 a): The classical theory of light colors: a paradigm for

description of particle interactions, International Journal of

Theoretical Physics, Vol. 55, pp. 2773

69. Mazilu N., Agop M., Gațu I., Iacob D. D., Ghizdovăț V. (2016 b):

From Kepler problem to skyrmions, Modern Physics Letters B, Vol.

30, pp. 1

70. Mazilu N., Porumbeanu M. (2011): Devenirea mecanicii cuantice,

Editura Limes, Cluj Napoca

71. Mercheș I., Agop M. (2015): Differentiability and Fractality in

dynamics of physical systems, World Scientific, Singapore.

72. Mihăileanu N. (1971): Complemente de Geometrie Analitică,

Proiectivă și Diferențială, Editura Didactică și Pedagogică,

București.

73. Milne M. A. (1937): Kinematics, Dynamics and the Scale of Time,


324

74. Misner C. W (1978): Harmonic maps as models for physical

theories, Physical Review D, Vol. 18, pp. 4510

75. Mittag L., Stephen M. (1992): Conformal transformations and the

application of complex variables in mechanics and quantum

mechanics, American Journal of Physics, Vol. 60, pp. 207

76. Needham, T., (2001), Visual Complex Analysis, Clarendon Press,

41

Oxford

77. Nottale L. (2011): Scale Relativity and Fractal Space-Time: A New

Approach to Unifying the Relativity and Quantum Mechanics,

Imperial College Press, London.

78. Novojilov V.V. (1951): Asupra relației dintre tensiuni și deformații

în mediul neliniar-elastic, Prikladnaya Matematikai, Mekhanika,

Vol. 15, pp. 183

79. Novojilov V.V. (1952), Asupra semnificației fizice a invarianților

tensiunilor folosiți în teoria Plasticității, Prikladnaya Matematikai,

Mekhanika, Vol. 16, pp. 617

80. Ogden R.W. (1972): Large Deformation Isotropic Elasticity: On the

Correlation of Theory and Experiment for Compressible Rubberlike

Solids, Proceedings of the Royal Society D-Mathematical, Physical

and Engineering Sciences, Vol. 328

81. Phillips P. W. (2003): Advanced Solid State Physics, Westview

Press

82. Reyes E.G. (2003): On Generalized Bäcklund Transformation for

Equations Describing Pseudo-Spherical Surfaces, Journal of

Geometry and Physics, Vol. 45, pp. 368

83. Rindler W. (1966): Kruskal Space and Uniformly Accelerated

Frame, American Journal of Physics, Vol. 34, pp. 1174

84. Rosenfeld L. (1948): Nuclear Forces, North Holland Publishing

Company, Amsterdam

85. Schwartz H. M. (1977): An Axiomatic Deduction of the Pauli Spinor

Theory, International Journal of Theoretical Physics, Vol. 16, pp. 249

42

86. Skyrme T. H. R. (1961): A Non-Linear Field Theory, Proceedings

of the Royal Society of London, Series A, Vol. 260, pp. 127

87. Skyrme T.H.R. (1988): The Origins of Skyrmions, International

Journal of Modern Physics, Vol. A3, pp 2745

88. Slobodeanu R. (2010): On the Geometrized Skyrme and Faddeev

Models, Journal of Geometry and Physics, Vol. 60, pp. 643

89. Stoler, D., (1970), Equivalence Classes of Minimum Uncertainty

Packets, Physical Review D1, 3217

90. Stoler, D., (1971), Generalized Coherent States, Physical Review

D4, 2309

91. Thomson J. J. (1891): On the Illustration of the Properties of the

Electric Field by Means of Tubes of Electrostatic Induction, The

Philosophical Magazine, Vol. 31, pp. 149

92. Zelikin, M. I., (2000), Control Theory and Optimization,

Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 86, Springer.

43

ACTIVITATE ȘTIINȚIFICĂ

Articole ISI

Titlu articol Revista Număr și

pagină

FI Autori

New Mechanisms

of Vesicles

Migration

General

Physiology

and

Biophysics

Vol. 35,

pp. 287;

3/2016

0,89

2

V. Aursulesei,

D. Vasincu, D.

Timofte, L.

Vrăjitoriu, I.

Gatu, D. D.

Iacob, V.

Ghizdovăț, C.

Buzea, M.

Agop

From Kepler

Problem to

Skyrmions

Modern

Physics

Letters B

Vol. 30,

pp. 1 –

16;

13/2016

0,54

7

N. Mazilu, M.

Agop, I. Gațu,

D. D. Iacob, V.

Ghizdovăț

The Classical

Theory of Light

Colors: a

Paradigm for

Description of

Particle

Interactions

International

Journal of

Theoretical

Physics

6/2016 1,04

1

N. Mazilu, M.

Agop, I. Gațu,

D. D. Iacob, I.

Butuc, V.

Ghizdovăț

The role of

“Informational

Entropy”in the

“transmission”of

“Interactions”.

HDL: Chameleon

– Like

Lipoprotein

Entropy trimis

spre

publicare

Grigorovici

Alexandru, Dan

Dezideriu

Iacob, Maricel

Agop.

44

Articole B+


pagină

Autori

On the Hubble effect

by means of the

fractal medium

Buletinul

Institutului

Politehnic din Iaşi,

Tomul

LX(IV);

2015

Boicu M.,

Iacob D. D.

Chaos and self-

Structuring in

cellular growth

dynamics

Buletinul

Institutului

Politehnic din Iaşi, Tomul LX

(LXIV) Fasc.4,

2014

Duceac L.

D., Nica I.,

Iacob D. D

Articole BDI


pagină

Autori

The Geometry of

Heavenly Matter

Formations

Physics

Essays,

Vol. 28, pp.

120-

127/2015

N. Mazilu, M.

Agop, M. Boicu,

D. Mihăileanu,

M. Pricop, I.

Gațu, D. D.

Iacob, V.

Ghizdovăț

The Harmonic

Oscillator Problem in

the Scale Relativity

Theory. Its

Implications in the

Morphogenesis of

Structures at Various

Scale Resolutions

Journal of

Computation

al and

Theoretical

Nanoscience

Vol.

12/2015,

pp. 5870-

5881

Doroftei B.,

Duceac L. D.,

Iacob D. D.,

Dănila N.,

Volovăț S.,

Scripcariu V.,

Agop M.,

Aursulesei V.

http://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn;jsessionid=9h487hs96aggh.alicehttp://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn;jsessionid=9h487hs96aggh.alicehttp://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn;jsessionid=9h487hs96aggh.alicehttp://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn;jsessionid=9h487hs96aggh.alicehttp://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn;jsessionid=9h487hs96aggh.alice

45

Lucrări conferințe

Titlu lucrare Conferinta Locul, anul Autori

Morphogenesis of

structures in

complex fluids

through the

informational

non-diferentiable

entropy

Second International

Conference On Natural

And Anthropic Risks;

ICNAR – Univ.

“Vasile Alexandri”

Bacău

Bacău,

2014

V.

Ghizdovăț

D. D.

Iacob,

Gațu I. N.,

M. Agop

Non Linear

Effects In

Complex Fluids

Second International

Conference On Natural

And Anthropic Risks;

ICNAR – Univ.

“Vasile Alexandri”

Bacău

4-7 iunie

2014 Bacău

Gațu I. N,

D. D. Iacob , V.

Ghizdovăț,

M. Agop

Non-Linear

Behaviours of the

Solid

Components from

Heterogeneous

Mixtures

OPROTEH Bacău, 2015 V.

Ghizdovăț,

I. Gațu, D.

D. Iacob, I.

Butuc

Non-Linear

Behaviours in

Ablation Plasma

via Fractality

ICPIG Iași, 2015 V.

Ghizdovăț,

I. Gațu, D.

D. Iacob, I.

Butuc

Describing

Particle

Interactions

using The

Classical Theory

of Light Colors

Conferința nationala,

Pentagonul Facultatilor

de Fizică

2015 Gațu I. N.,

D. D. Iacob

46

Fenomene de

haos și

autoorganizare în

medicină

ConferințaNațională cu

ParticipareInternațional

ă “ZileleSpitalului

Clinic C.F. Iași”

2015, Iasi V.

Ghizdovăț,

D. D.

Iacob. I.

Gațu

The Development

of a New Cellular

Network Class

The Second CommScie

International

Conference

Iași, 2015 V.

Ghizdovăț,

D. D.

Iacob. I.

Gațu

Carți

Elastic and

Plastic type

Behaviours on

the fractal

theory of motion

at nanoscale,

(capitol carte)

Advances in Non-linear

Dynamics Research

Editors Alexey B

Nadykto, Ludmila

Uvarova, Anatoliv

Latyshep, Nova

Publishing House, New

York

(în curs

de

publicare

2017):

Agop M.,

Gavriluț A.,

Iacob D. D.,

Gavriluț G.

Compatibilitate

skyrmionică

spațiu –

materie,.

Editura Ars Longa, Iași

(2017):

Iacob D.D,

Agop M.

Finanțare

Această lucrare a fost finanțată parțial prin proiectul

POSDRU/159/1.5/S/133652, Proiect „Sistem integrat de îmbunătățire a

calității cercetării doctorale și postdoctorale din România și de promovare

a rolului științei în societate” co-finanțat de Fondul Social European,

Program Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-

2013.

UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL … · 2018. 3. 28. · 2 Vă facem cunoscut că în...

Documents

Transcript of UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE ÎN STUDIUL … · 2018. 3. 28. · 2 Vă facem cunoscut că în...