UNIVERSITATEA DUNAREA DE JOS DIN GALATI FACULTATEA DE MECANICA

Str. Domnească nr. 111, Tel./Fax: +40 236 314463 800201 - Galaţi, România www.mec.ugal.ro

Contract PN-II-ID-PCE-2008

Contract IDEI 788

Modelarea teoretica si computationala a fenomenelor de rupere dinamica tridimensionala in materiale gradate functional

Obiective 1. ANALIZA MATERIALELOR GRADATE FUNCTIONAL (FGM) 2. ELABORAREA UNUI MODEL TERMO-MECANIC PENTRU STUDIUL FENOMENELOR DE RUPERE IN MATERIALE GRADATE FUNCTIONAL FOLOSIND METODA GALERKIN DISCONTINUA (DG). Director de proiect Conf.dr.ing. Felicia Stan

Galati Decembrie 2009

2

RAPORT DE CERCETARE

Prima parte se refera la analiza materialelor gradate functional. Au fost puse in evidenta cateva probleme legate de comportamentul la rupere al materialelor gradate functional, si anume: natura singularitatii tensiunilor in imediata vecinatate a varfului fisurii in medii neomogene; metode de omogenizare, legile de gradatie a compozitiei si a caracteristicilor mecanice. A doua directie abordata se refera la modelarea matematica a comportamentului visco-elasto-plastic al materialelor gradate functional tinand seama de prezenta discontinuitatilor de material. Rezolvarea numerica a problemei variationale apeleaza la discretizarea de tip Galerkin si la metoda elementelor finite discontinue (metoda Galerkin discontinua), iar descrierea propagarii suprafetelor de discontinuitate s-a facut pe baza legilor coezive. 1. ANALIZA MATERIALELOR GRADATE FUNCTIONAL (FGM)

1.1. Metode de omogenizare, legi de gradatie a compozitiei si a caracteristicilor mecanice Materialele gradate functional (FGM) reprezinta o clasa de materiale caracterizata prin variatia spatiala a proprietatilor de material [1, 2]. Din punct de vedere al mecanicii mediilor continue, materialele gradate functional sunt materiale neomogene. In comparatie cu materialele compozite stratificate (laminate), materialele gradate functional au proprietati superioare, in special datorita variatiei continue a proprietatilor. In cele mai multe cazuri, materialele gradate functional sunt formate din doua faze cu proprietati diferite (de exemplu, amestec de metal si ceramica). Fractia de volum corespunzatoare fiecarei faze variaza gradual (progresiv) in directia gradatiei, proprietatile efective ale materialului gradat functional modificandu-se in lungul acestei directii. Din acest motiv exista doua posibilitati de a modela un material gradat functional:

1) Variatia pe portiuni a fractiei de volum a celor doua faze (fig. 1). Fiecare regiune contine aceeasi fractie de volum din fiecare faza, materialul fiind format din straturi cvasi-omogene de metal-ceramica;

2) Variatia continua a fiecarei fractii de volum (fig. 2). Volumul fractiei de volum a metalului fiind dat de o functia

n

m hhZV ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2

2 (1)

in care h reprezinta grosimea stratului de material gradat (FGM), n – exponentul fractiei de volum )0( ∞≤≤ n , Z –coordonata in directia variatiei gradatiei. Daca 1=n gradatia variaza liniar (fig.

3).

Material A pur Material A pur

Material B pur

Material B pur Fig. 1.1. Material gradat functional stratificat Fig. 1.2. Material continuu gradat functional

3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5Z/h

Vm

Fig. 1.3. Variatia fractiei de volum a fazei “m” in lungul grosimii

Avand in vedere ca proprietatile unui matrial gradat functional depind atat de temperatura cat si de pozitia spatiala, proprietatile efective fP ale unui material stratificat, gradat functional, pot fi scrise intr-o forma generala folosind regula amestecurilor (modelul Voight), si anume:

∑=

⋅=1j

jjf VPP (2)

unde jP ( 2,1=j ) reprezinta proprietatile componentei (fazei) ” j ”, jV - fractia de volum a componentei „ j ”. Suma fractiilor de volum a componentelor este egala cu unitatea,

∑=

=1

1j

jV . (3)

In cazul materialelor gradate functional, proprietatile de material (modulul efectiv de elasticitate, coeficientul lui Poisson, coeficientul de expasiune termica, conductivitatea termica) sunt functie de temperatura si pot fi exprimate printr-o functie neliniara de forma [3]

( )33

221

110 1 TPTPTPTPPPf ++++= −

− (4)

unde 0P , 1−P , 1P , 2P , 3P sunt coeficienti dependenti de teperatura (in grade K).

Pentru un material gradat functional format din doua faze, modulul efectiv al lui Young poate fi exprimat sub forma [4]

( ) [ ] )(2

2)()(, TEh

hZTETETZE c

n

cmf +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−= (5)

in care mE reprezinta modulul de elasticitate al fazei „m” (de exemplu metal), cE - modulul de elasticitate al fazei „c” (de exemplu ceramica). La fel ca si in cazul modulului de elasticitate, pe baza regulei amestecurilor, se poat defini urmatoarele proprietati de material: - coeficientul de expansiune (dilatare) termica

( ) [ ] )(2

2)()(, Th

hZTTTZ c

n

cmf α+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

α−α=α (6)

- coeficientul lui Poisson

4

( ) [ ] )(2

2)()(, Th

hZTTTZ c

n

cmf ν+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ν−ν=ν (7)

- conductivitatea termica

( ) [ ] )(2

2)()(, Th

hZTTTZ c

n

cmf κ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

κ−κ=κ (8)

- densitatea efectiva a materialului

( ) [ ] )(2

2)()(, Th

hZTTTZ c

n

cmf ρ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ρ−ρ=ρ (9)

Legi de gradatie Se considera un material gradat functional format din doua faze (metal/ceramica). In orice punct x din stratul de material, fractia de volum de metal )(xg poate fi utilizata pentru a caracteriza gradatia stratului de acoperire. Functia )(xg poate fi orice functie nesingulara, nenegativa. Fractia de volum de metal )(xg variaza dupa o lege putere de forma

( )n

hxggxg ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+= 00 1)( (10)

in care 0g si n reprezinta parametrii de material.

Fractia totala de volum de metal este data de relatia

∫=h

o

dxxgh

f )(1 (11)

Parametrul 0g se defineste in functie de n si f , astfel

nfng 1)1(

0−+

= (12)

Daca 00 =g , functia )(xg reprezinta o funtie putere de forma n

hxxg ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=)( , (13)

iar relatia dintre fractia de volum de metal f si exponentul n devine

11+

=n

f . (14)

Proprietatile efective ale unui material gradat functional pot fi determinte folosind regula amestecurilor (relatia 2). Limita superioara a modulului de elasticitate efectiv pentru un material gradat funtional este data de [6]

( ) cm ExgExgxE )(1)()( −+= , (15)

iar limita inferioara este de forma

( )cm E

xgE

xgxE

)(1)()(

1 −+= (16)

5

in care mE reprezinta modulul de elsticitate pentru metal, cE - modulul de elasticitate pentru ceramica. Legi de gradatie pentru modulul de elasticitate Legea de gradatie 1 Modulul de elasticitate si densitatea sunt de forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β+=

LxEEx 10 ,

1

0 1−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β+ρ=ρ

Lx

x (17)

in care L reprezinta lungimea epruvetei. Legea (17) conduce la o variatie liniara a vitezei undei de dilatare x

dC ,

( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β+

ν+ν−ν−

ρ=

LxExCd 1

1211)(

0

0 , (18)

impedanta acustica fiind constanta. Legea de gradatie 2 Modulul de elasticitate si densitatea sunt de forma

2

0 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β+=

LxEEx , 0ρ=ρx (19)

Legea de variatie (19) conduce la o variatie liniara a viteza undei de dilatare longitudinala si a impedantei acustice. Coeficientul lui Poisson este constat, iar parametrul de gradatie 1−>β . Legi de gradatie pentru coficientul lui Poisson si coeficientul de expansiune Coeficientul lui Poisson este dat de relatia

( ) cm xgxgx ν−+ν=ν )(1)()( . (20)

unde mν reprezinta coeficientul lui Poisson pentru metal, cν - coeficientul lui Poisson pentru ceramica. Coeficientul de expansiune termica se calculeaza cu relatia

( ) cm xgxgx α−+α=α )(1)()( (21)

unde mα este coeficientul de expansiune termica pentru metal, cα - coeficientul de expansiune termica pentru ceramica. Legi de gradatie pentru modulul de forfecare Modelul exponential pentru modulul de forfecare, in cazul in care coeficientul Poisson este constant, 0ν=ν , are forma

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γμ=μ

hyy exp)( 0 (22)

in care )0(0 μ=μ , )(hh μ=μ , )/ln( 0μμ=γ h

6

Modelul parabolic are forma 2

00

11)(⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

μμ

+=μ

μhyy h (23)

Modelul sinusoidal are forma

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

μμ

+=μ

μhyy h

2sin11)(

00

(24)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y/h

Nor

mal

ized

shea

r mod

ulus

Parabolic modelSinusoidal modelExponential model

Fig. 1.4. Variatia modulului de forfecare, 10/0 =μμ h

1.2. Solutia generala asimptotica a campului de tensiune in vecinatatea unei fisuri. Ordinul de singularitate al campului tensiunilor in punctul singular Studiul fenomenelor de rupere in materialele gradate functional cuprinde, in general, urmatoarele etape: investigarea naturii singularitatii tensiunilor in imediata vecinatate a varfului fisurii; efectul distributii proprietatilor de material (neomogenitatii) asupra singularitati tensiunii; natura singularitatii in cazul fisurilor care intersecteaza interfetele. Campului asimptotic de la varful fisurii intr-un material gradat ale carui proprietati variaza continuu sau sunt derivabile pe portiuni este identic cu termenul corespunzator unui material omogen ale carui proprietati sunt evaluate la varful fisurii [9], [10], [11]. Acest lucru presupune ca definitiile factorului de intensitate a tensiunii pot fi extinse si materialelor gradate functional. De asemenea, Erdogan [9] a aratat ca variatia coeficientul lui Poisson are efecte nesemnificative si poate fi neglijata. Daca modulul de elasticitate E si coeficientul lui Poisson ν sunt functii continue sau derivabile pe portiuni, in imediata vecinatate a varfului fisurii intr-un mediu gradat functional, campul de tensiune de la varful fisurii este identic cu cel al unui material omogen [11]

)(2

)(2

)(2

θπ

+θπ

+θπ

≈σ IIIIIIIIIIII fr

Kfr

Kfr

K (25)

in care ),( θr reprezinta sistemul de coordonate polar, σ - tensorul tensiunii, MK , IIIIIIM ,,= , reprezinta factorul de intensite al tensiunii ( IK - factorul de intensitate a tensiunii pentru modul I ),

)(θMf - functii universale.

7

P(x)

Ω

x

x

θ

r2

1

Fig. 1.5. Mediu gradat functional in jurul unei fisuri

Solutia (25) este valabila doar in punctele situate in imediata vecinatate a varfului fisurii. In aceasta zona gradientii modulilor de elasticitate nu influenteaza singularitatea de la varful fisurii (square-root singularity), dar pot sa influenteze marimea zonei in care ecuatia (25) este aplicabila. Dimensiunea zonei de la varful fisurii (regiunea dominanta K) in care solutia (25) poate fi aplicata este caracterizata de limitele [10, 14]:

rEE 1/ <<∇ si 2

2 1/r

EE∇ . (26)

Pentru o variatie exponentiala a modulului de elasticitate (fig. 1.6) θαα == cos

001 rx eEeEE (27)

in care 0E este modulul de elasticita la varful fisurii, iar α reprezinta coeficientul de gradatie, campul de tensiuni de la varful fisurii pentru modul I este

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

π≈σ θα )(

2cos I

ijIr

ij fr

Ke . (28)

fisura

2x

1x

E 1(x ) E11

E22

Fig. 1.6. Variatia modulului de elasticitate intr-un mediu gradat functional

8

Daca modulul de elasticitate este o functie continua si are o variatie exponentiala de forma

)exp(),( 21021 xxExxE β+α= , (29)

0E fiind modulul de elasticitate de la varful fisurii atunci, pentru modul mixt I - II, campul de tensiuni este de forma [9]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ θ

π+θ

π≈σ β+α )(

2)(

2)( 21 II

ijIII

ijIxx

ij fr

Kfr

Ke (30)

in care functiile universale au forma

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

+θ

=θ2

sin12

cosIf ( )2

sin431

2sin 2 θ

−+θ

−=θIIf (31)

Daca modulul de elasticitate este variabil, deformatiile asociate campului de tensiuni Williams de la varful fisurii nu satisfac ecuatiile de compatibilitate. La distante finite de varful fisurii (unde modulul de elasticitate este diferit de 0E ), solutia difera de solutia data de relatia (25). Câmpul de tensiuni singulare şi câmpul corespunzător al deplasărilor pentru o fisură care se propagă dinamic este dată, pentru 1=n , de relaţiile [15, 16]:

( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ θ

β+ββ

−

θ

β−β+π

=σ 2/12

2

221

2/11

1

22

21

011

2cos

142

cos21

22

rrCBK II

I ; (31)

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ θ

β++

θ

β−β+−π

=σ 2/12

2

222/1

1

1

22

21

011

2sin

12sin

212 rr

CBK IIIIII ; (33)

( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ θ

β+ββ

+

θ

β+−π

=σ 2/12

2

22

212/1

1

1

22

022

2cos

142

cos1

2 rrCBK II

I ; (34)

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ θ

β+−

θ

β+π

=σ 2/12

2

222/1

1

1

22

022

2sin

12sin

12 rr

CBK IIIIII ; (35)

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ θ

β−

θ

βπ

=σ 2/12

2

22/11

1

1012

2sin

22sin

22 rr

CBK III ; (36)

( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ θ

ββ+

−

θ

βπ

=σ 2/12

2

2

222

2/11

1

1012

2cos

212

cos2

2 rrCBK IIII

II ; (37)

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ θ

−π

=σ 2/12

2

013

2sin

2 rCBK IIIIII

III ; (38)

9

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ θ

βπ

=σ 2/12

2

2023

2cos

2 rCBK IIIIII

III , (39)

si

( ) ( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ θ

β+ββ

−θ

πμ=

2cos

12

2cos2 22/1

222112/1

101

2

rrCBKu III

; (40)

( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ θβ+

−θ

πμ=

2sin

21

2sin2 22/1

2

212/1

101

2 rrCBKu IIIIII

; (41)

( ) ( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ θ

β+β

+θ

β−πμ

=2

sin1

22

sin2 22/122

112/111

02

2

rrCBKu III

; (42)

( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ θ

β

β+−

θβ

πμ=

2cos

21

2cos2 22/1

22

12

12/111

02

2 rrCBKu IIIIII ; (43)

( ) ( )2

sin2 22/12

03

θπμ

= rCBKu IIIIIIIII

. (44) Parametrii 1β şi 2β sunt parametrii vitezei de propagare a fisurii normalizaţi prin vitezele undelor de dilatare (longitudinale) dC respectiv de forfecare (transversale) sC , şi sunt definiţi după cum urmează:

2

221 1

dCC

−=β (45)

şi

2

222 1

sCC

−=β . (46)

În relaţiile de mai sus, )(CBM , IIIIIIM ,,= sunt funcţii de viteza de propagare a fisurii [15]. Sistemele de coordonate polare ( )θ,r ataşate vârfului fisurii în mişcare sunt definite de

( )2,102

01 =β+=θ jxxer jj

j ii , (47)

Daca modulul de elasticitate, coeficientul lui Poisson si densitatea variaza in raport cu pozitia spatiala atunci viteza undei de dilatare longitidinala este definita de relatia [13, 15]

( )( )( ) )(

)()(21)(1

)(1)(xx

xxxx

ρν−ν+ν−

=ECd pentru starea plana de deformatie (48)

( )( ) )()(

)(1)(11)(

xx

xxx

ρν+ν+=

ECd pentru stare plana de tensiune (49)

10

1.3. Generalizarea conceptului de zona coeziva pentru studiul ruperii in materiale gradate functional Forma generala a modelul coeziv Pentru o lege coeziva deplasarea efectiva si respectiv tensiunea efectiva sunt definite de relatiile

222tn δη+δ=δ , (50)

222tn TTT −η+= (51)

unde nδ reprezinta deplasarea de deschidere normala, 2221 ttt δ+δ=δ - deplasarea de deschidere

tangentiala, nT - componenta normala a tensiunii efective, 2221 ttt TTT += - componenta tangentiala

a tensiunii efective.

δ

T

σ

cδ

A/Bmax

GIc

Fig. 1.7. Relatia forta-deplasare pentru un model coeziv

Se considera un material gradat functional format din doua faze, „A” respectiv „B”. Tensiunea efectiva poate fi exprimata in functie de potentialul energetic al zonei coezive, si anume:

δ∂φ∂

= FGMT , (52)

unde potentialul energetic corespunzator zonei coezive intr-un material gradat functional bifazic (m/cer) este dat de relatia

( ) ( ) ( )κδφβ+−

−+κδφ

−β+=φ ,

)()(1)(1,

)(1)()(

BABA

AA

AAA

AFGM VV

VVV

Vxx

xxx

x (53)

in care )(xAV reprezinta fractia de volum a componentei „A”, BV - fractia de volum a componentei „B”, Aφ - potentialul energetic corespunzator fazei „A”, Bφ - potentialul energetic corespunzator fazei „B”, 1≥βA , 1≥βB - parametrii coezivi de gradatie care descriu tranzitia mecanismului de rupere de la faza „B” la faza „A”, κ - variabila interna care descrie procesul ireversibil de decoeziune, ),,( 321 xxx=x . Componenta normala respectiv tangentiala a fortei coezive se obtine prin derivarea relatiei (53)

nn

FGM

n

FGMn

TT δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δ=

δ∂δ∂

δ∂φ∂

=δ∂

φ∂= (54)

11

tt

FGM

t

FGMt

TT δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δη=

δ∂δ∂

δ∂φ∂

=δ∂

φ∂= 2 (55)

in care tensiunea efectiva este data de relatia

( ) δ∂φ∂

β+−−

+δ∂

φ∂−β+

= B

ABA

AA

AAA

A

xVxVxV

xVxVxVT

)()(1)(1

)(1)()( (56)

Modelul exponential Daca se considera modelul exponential, atunci potentialul energetic al zonei coezive (potentialul Helmholtz) pentru faza „A” si respectiv „B” este de forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

+−δσ=φ cA

cA

cAAA e exp11max (57)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

+−δσ=φ cB

cB

cBBB e exp11max (58)

δ

σ

σ

(σmax,δ )max

δA/B

maxA/B

c

Fig. 1.8. Relatia forta-deplasare pentru un model coeziv exponential

Tensiunile coezive corespunzatoare celor doua faze se obtin prin derivarea potentialului energetic al zonei coezive, si anume

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

σ=δ∂

φ∂= c

AcA

AA

A eT expmax (59)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

σ=δ∂

φ∂= c

BcB

BB

B eT expmax (60)

unde maxAσ valoarea maxima a tensiunii coezive corespunzatoare fazei „A”, c

Aδ valoarea (critica) deplasarii de deschiere δ pentru max

AT σ= ; maxBσ - tensiunea maxima a tensiunii coezive

corespunzatoare fazei „B”, cBδ valoarea deplasarii de deschiere δ pentru max

BT σ= . Tensiunea coeziva efectiva in materiale gradate functional sub actiunea conditiilor de incarcare, pentru un model exponential, se obtine prin substituirea relatiilor (59) si (60) in ecuatia (56), si anume

12

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

σβ+−

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δδ

σ−β+

= cB

cB

BABA

AcA

cA

AAAA

m exVxV

xVexVxV

xVT exp)()(1

)(1exp)(1)(

)( maxmax (61)

daca maxδ=δ si 0≥δ& . Pentru conditiile de descarcare (unloading)

δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ

=max

maxTT , daca maxδ<δ si 0<δ& (62)

in care maxT este valoarea tensiunii efective T pentru maxδ=δ calculata cu relatia (60). Variabila interna κ este egala cu valoarea maxima a deplasarii efective de deschidere. Densitatea energiei coezive este data de relatia

∫∞

δδ=Γ0

)( dTFGM (63)

Daca se inlocuieste expresia tensiunii efective (61) in ecuatia (63) se obtine

( ) BABA

AA

AAA

AFGM xVxV

xVxVxV

xVΓ

β+−−

+Γ−β+

=Γ)()(1

)(1)(1)(

)( (64)

in care cAAA e δσ=Γ max reprezinta energia coeziva a fazei „A”, c

BBB e δσ=Γ max reprezinta energia coeziva a fazei „B”. Energia de rupere este definit de relatia

cc eG δσ=φ=

∞→δ

maxlim (65)

Modelul coeziv biliniar Modelul coeziv biliniar permite controlul pantei initiale a curbei forta-deplasare (fig. 1.9). Pentru un material omogen, legea coeziva biliniara (vezi fig. 1.9) are forma:

*

*max

δδ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ−δδ−δ

σ= pc

c

T (66)

in care cδ reprezinta valoarea critica a deplasarii de deschidere, pδ reprezinta valoarea deplasarii de deschidere pentru maxσ=σ , pδ=δ* daca pδ≤δ sau δ=δ* daca Pδ>δ . Pentru a simula ruperea in materiale gradate functional, relatia (65) se dezvolta pe baza fractiei de volum [24].

T

O pδ δ

max

δ δc

GIc

σA/B

A/B* Fig. 1.9. Legea coeziva biliniara

13

Astfel, relatia dintre tensiune-deplasare, tinand seama de relatia (56), se scrie sub forma

( ) *

*max

*

*max

)()(1)(1

)(1)()(

BpB

cB

BcB

BABA

A

ApA

cA

AcA

AAAA

A

xVxVxV

xVxVxVT

δδ

δ−δδ−δ

σβ+−

−+

δδ

δ−δδ−δ

σ−β+

= (67)

Densitatile energiei coezive pentru cele doua faze sunt definite de relatiile:

cAAA δσ=Γ max

21 , c

BBB δσ=Γ max

21 (68)

Valoarea critica a deplasarii efective calculata pe baza fractiei de volum este

( )cB

ABA

AcA

AAA

Ac

xVxVxV

xVxVxV

δβ+−

−+δ

−β+=δ

)()(1)(1

)(1)()( (69)

in care cAδ , c

Bδ reprezinta valoarea critica a deplasarii de deschidere pentru faza „A” respectiv „B” (parametrii legii biliniare coezive).

14

2. ELABORAREA UNUI MODEL TERMO-MECANIC PENTRU STUDIUL FENOMENELOR DE RUPERE IN MATERIALE GRADATE FUNCTIONAL FOLOSIND METODA GALERKIN DISCONTINUA (DG) 2.1. Forma variationala a metodei Galerkin discontinua pentru studiul comportamentului materialelor visco-elastico-plastice cu gradient functional. 2.2. Studiul stabilitatii metodei Galerkin discontinua. Elaborarea de noi mecanisme de stabilizare. Verificarea existentei, unicitatii si stabilitatii solutiei. Al doilea obiectiv se refera la modelarea matematica a comportamentului visco-elasto-plastic al materialelor gradate functional, tinand seama de prezenta discontinuitatilor. S-a formulat problema cu date initiale si la limita care conduce in anumite conditii la formulari de inegalitati variationale. S-au construit algoritmi numerici care permit aplicarea rezulatelor teoretice pentru studiul modului de propagare a fisurilor in materiale neomogene (gradate functional), cu luarea in considerare a unor domenii de deteriorare. 2.1. Metoda Galerkin discontinua pentru materiale visco-elastice Realizarea modelului matematic al unui fenomen de rupere este o etapa pluridisciplinara in care sunt determinate legile fizice si ipotezele fundamentale de natura mecanica, termodinamica si tribologica care sunt esentiale pentru descrierea fenomenului respectiv. Notatii specifice Fie )3,2,1( =⊂Ω dRd un domeniu marginit reprezentand configuratia de referinta a unui corp deformabil, continuu; frontiera Ω∂=Γ este suficient de regulata si este impartita in doua submultimi disjuncte si masurabile ND Γ∪Γ=Γ in functie de conditiile initiale si de frontiera: pe suprafata DΓ vor fi impuse valori ale deplasarilor, pe frontiera NΓ se impun forte superficiale de tip tensiune.

n

gN

gD

ΓN

ΓD

gD

ΓD

Ω

Fig. 2.1. Domeniu gradat functional marginit de frontiera Γ

Legea de comportare care descrie proprietatile fizico-mecanice si aspectele termice ale unui corp viscoelastic este de forma

θ−+= CuεDuεAuσ )()()( && in Ω×=Ω ),0( TT (1)

15

sau in cazul mai general, pentru descrierea comportamentului elasto-viscoplastic, in conditiile transferului termic

( ) ( )( )dsssssCt

∫ εθ+ε−σ+θ−ε+ε=0

)(),()()()()()( uCuABuDuAuσ &&& (2)

in care A este operatorul neliniar de viscozitate, D este operatorul neliniar de elasticitate, C este tensorul coeficientilor de dilatare termica, θ este campul scalar al temperaturilor.

( )Tuuuε ∇+∇=21)( este tensorul deformatiilor Green-St. Venant liniarizat (3)

( )ijε= && )(uε este tensorul liniarizat al vitezelor de formare; (4)

Descrierea clasică vectorial-tensorială Sa se deremine:

- campul vectorial al deplasarilor nR→Ω:u ; - campul tensorial al tensiunilor TΩσ : ;

- campul scalar al temperaturilor RT →Ωθ : , care satisfac: 1. Ecuatiile de echilibru dinamic ale lui Navier,

fσu =−ρ div&& in Ω (5) unde )(uσσ = este tensoul tensiunilor Piola –Kirchkoff de speta a doua ce satisface legea constitutiva termo-visco-elatica (1); 2. Legea de comportare termica

( ) uCK && ∇−=θ∇−θ qdiv in TΩ ; (6)

3. Conditiile initiale in deplasari:

)(),0( 0 xux =u ; )(),0( 1 xux =u& Ω∈∀ x)( ; (7)

4. Conditiile initiale in temperaturi

0)0( θ=θ ; (8)

5. Conditiile la frontiera de tip Dirichlet-Neumann

Du=u pe DT Γ×),0( (9)

Ng=⋅ε nuσ ))(( pe NT Γ×),0( (10)

rθ=θ )0( pe ( )NDT Γ×Γ×),0( (11)

unde n este versorul normalei exterioare la Ω∂ (fig. 2.1). La fiecare moment de timp ],0[ T∈ , tensorul tensiunii )(tσ se descompune in doua parti

( ) ( ) ( )tttt visel ,;)();( τσ−σ=σ uuu (1) in care componenta elastica este data de relatia

( ) ))(()0()( tDt klijklelij uu ε=σ , (13)

iar componenta viscoasa are forma

16

( ) dsssts

Dt kl

tijklvis

ij ))(()(,;0

uu ε−∂

∂=τσ ∫ (14)

Tensorul de ordinul patru al tensiunii satisface urmatoarele conditii de simetrie pentru 0=t si ∞=t

klijijklijlkijkljiklijkl DDDDDD === ,, (15)

De notat faptul ca primele doua conditii sunt valabile pentru orice 0≥t , in timp ce a treia conditie este valabila pentru orice t doar pentru materialele izotropice. Analiza variationala a modelului Pentru a da sens modelului matematic se trece la formularea slaba (sau, variationala). Aceasta reprezentare se obtine odata cu aplicarea formulei lui Green intr-un cadru functional conducand la probleme Cauchy asociate unor ecuatii/inecuatii variationale (sau cvasi-variationale) de tip eliptic sau de evolutie. Rezolvarea numerica a problemei variationale pusa in evidenta in acest paragraf apeleaza la discretizarea de tip Galerkin si la metoda elementelor finite discontinue, metoda Galerkin discontinua [25, 26, 27, 28]. Pentru a realiza modelul variational al problemei liniar-elastic introducem notatii aditionale si consideram urmatorul cadru functional. Descrierea variationala a problemei Fie }{Kh =Ω o partitie regulara a domeniului Ω , o mulţime deschisă, conexă şi mărginită şi Ω∂ frontiera, in care K sunt elemente finite (fig. 2.2). Se presupune ca hΩ satisface conditiile de continuitate Lipschitz.

n

K+ K_

Ω

ΓD

ΓD

ΓN

K+

K+

K_

K_

K_

b

b2

1

b3

n+

n_

Fig. 2.2. Partitia domeniului Ω in elemente finite

In vederea solutionarii numerice a problemei la limita se asociaza acesteia asa numita formulare slaba. Se defineste spatiul vectorial al funcţiilor discontinue

( ){ }hk

Khhhk

h KPuLuV Ω∈∀∈Ω∈= )(|:2 (16)

in care )(KPk este spatiul functiilor polinomiale de ordin mai mare de k cu suportul in K . Ordinul polinoamelor de aproximare este acelasi pentru toate campurile necunoscute. Aceste spatii difera de spatiile elementelor finite conventionale in sensul ca ele permit salturi (discontinuitati) la interfetele elementelor avand ordinal k .

17

Notatii pentru discretizarea spatiala Daca −+ ∩= bbb reprezinta muchia unui element si }{b=Γ multimea (setul) tuturor muchiilor elementelor. Fiecare muchie b apartine la doua elemente +K si −K astfel incat −+ ∩= KKb , cu

+n vectorul normal al elementului +K (fig. 2.2). Frontiera Γ este descompusa in trei regiuni distincte astfel incat

NDI Γ∪Γ∪Γ=Γ , (17)

unde IΓ reprezinta multimea (setul) muchiilor interne,

}:\{ hI KKb Ω∈Ω∂∂∈=Γ ; (18)

DΓ multimea (setul) muchiilor pe care sunt prescrise conditiile de tip Dirichlet,

}:{ hDD KKb Ω∈Ω∂∩∂⊂=Γ ; (19)

NΓ multimea (setul) muchiilor pe care sunt prescrise conditiile de tip Neumann

}:{ hNN KKb Ω∈Ω∂∩∂⊂=Γ . (20)

Se definec urmatorii operatori pentru salt (jump) si medie (average) [25]

⎩⎨⎧

Γ∪Γ∈∀Γ∈∀−

=+

−+

ND

I

xxxxx

x][ (21)

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Γ∪Γ∈∀

Γ∈∀+=+

−+

ND

I

xx

xxxx 21

(22)

De asemenea, se considera ca −+ −= nn Ix Γ∈∀ ; indicele + respectiv – corespunde frontierei positive respectiv frontierei negative a muchiei b . Formularea pentru muchiile interne se bazeaza pe egalitatea [28]

))((21))((

21 dcbadcbabdac +−+−+=− . (23)

Penrtu o muchie comuna elementelor iK si jK , ji > , se poate scrie ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )vunvun

vvununvvunun

vunvunvunvun

jijijiji

jjiijjii

][][21

21

∇⋅+∇⋅=

=+∇⋅−∇⋅+−∇⋅+∇⋅=

=∇⋅−∇⋅=∇⋅+∇⋅

(24)

Pentru a obtine estimarea erorilor, se impune continuitatea solutiei discontinue la interfata dintre elemente. Se multiplica ecuatia diferentiala cu derivate partiale cu o functie test, apoi se integreaza pe K utilizând formula lui Green şi ţinând seama de condiţiile la limita. Problema se formuleaza astfel: Sa se determine hu care satisface relatia

( ) ( ) );(,;),( vvuvu tLtBtA hh += (25)

in care

18

( )

lllunDlvnD

lunDlvnDDA

DIDD

II

eDbIe iejklijkle i

ejklijkl

b ibjklijklb i

bjklijklijK K klijkl

dd]][[d)(d)(

d][)(d][)(d)()(,

∑ ∫∑ ∫∑ ∫∑ ∫

∑ ∫∑ ∫∑ ∫ΓΓΓΓ

ΓΓ

⋅τ+τ+ε+ε−

ε+ε−Ωεε=

uvuvvu

vuvuvu(26)

( )

∑ ∫∑ ∫

∑ ∫∑ ∫∑ ∫ΓΓ

ΓΓ

σ+σ+

+σ−σ−Ωεσ=

DI

DI

e iej

visijb i

bj

visij

e iej

visijb i

bj

visijK K ij

visij

lunttluntt

lvnttlvntttttB

d);,(d][);,(

d);,(d][);,(d)();,(,;

vv

uuvuvu(27)

( ) ∫∫∫∫ Γ

ΓΓΩ

Γ⋅τ+Γ⋅σα+Γ⋅+Ω⋅=N

DN

DDN ggtL dd)(dd; vnvvgvfv (28)

Pentru un material liniar elastic, 0=B .

Modele viscoelastice pentru materiale gradate functional Pentru un solid liniar avand un timp de relaxare constant, modulul de elasticitate este

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ β

= ∞∞

0000 exp1exp

tt

EE

EE

hyEE (29)

in care β , 0E , ∞E si 0t sunt constante de material iar h lungime de scala (grosimea). Pentru un model putere avand timpul de relaxare constant, modulul de elasticitate este

q

tt

hyEE ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ β

= 00 exp 10 << q (30)

in care q este constanta de materia. In cazul modelului putere avand timpul de relaxare dependent de pozitia spatiala, modulul de elasticitate este de forma

( ) qq

tt

hyqE

hy

tt

hyEE ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ δ+β

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β

= 00

00 expexpexp (31)

unde δ este constanta de material. Pentru toate modelele, coeficientul lui Poisson este de forma

)(exp1exp0 tghy

hy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ

+ν=ν (32)

in care 0ν si γ sunt constante de material, )(tg - functie adimensionala de timp. 2.2. Metoda Galerkin pentru materiale avand comportare elasto-plastica In continuare se prezinta principalele etape ale rezolvarii numerice a problemei elasto-plastice folosind metoda Galerkin discontinua. Rezolvarea incepe prin definirea completa a problemei in forma sa diferentiala apoi se determina formularea variationala echivalenta. Formularea variationala se discretizeaza folosind metoda Galerkin discontinua, iar sistemul de ecuatii neliniar care se obtine se rezolva folosind metoda Newton-Raphson.

19

Notatii specifice Fie Ω un domeniu Lipschitz convex maginit ocupat de un corp cu un comportament elasto-plastic in configuratia nedeformata. Limita domeniului este Ω∂ . Domeniul sufera deformatii infinitezimale (deformatii finite). Ecuatiile de echilibru au forma:

fσ =div- in Ω (1)

in care σ este tensorul tensiune, 2RT][0,:t),( →×Ωxf reprezinta vectorul fortelor masice. Trecerea unui proces de deformatie din domeniul elastic in domeniul elasto-plastic impune descompunerea tensorului deformatiei in componente elastice si plastice, adica

pepeijijij ε+ε=ε⇔+= εεε , ( )dji ,1, = (2)

Componenta elastica a ecuatiei constitutive este

( )pe εεDDεσ −== (3)

unde σ reprezinta tensorul elastic, eε - deformatia elastica, definita ca diferenta dintre deformatia totala ε si deformatia plastica, pε =p , astfel incat

pe εεε −= (4)

Deformatia totala se exprima in functie de deplasare

( )T)(21)( uuuε ∇+∇= , (5)

iar comportamentul plastic este considerat incompresibil, astfel incat 0tr p =ε . Se presupune ca materialul are un comportament elastic, izotrop, astfel incat

( )jkiljlikklijijklD δδ+δ+δμ+δλδ= sau ( ) eee 2tr εIεDε μ+λ= (6)

in care constantele Lame sunt exprimate in functie de modulul de elasticitate E si coeficientul lui Poisson ν

( )( ))(21)(1)()()(

xE

ν−ν+ν

=λx

xxx , ( ))(12)()(x

xxν+

=μE . (7)

Criterii de curgere Pentru descrierea comportamentului plastic s-au considerat doua modele: modelul clasic de plasticitate si modelul gradientului de plasticitate. Pentru a determina modelul de plasticitate se pleaca de la ipoteza potrivit careia conditia de curgere von Mises cu intarire izotropica liniara sau inmuiere (softening) este valida, astfel incat domeniul tensiunilor admisibile σ si al tensiunilor generalizate conjugate g satisface relatia [31, 32]

( ) 0, ≤κ−+=ϕ gg sσ (8)

in care parametrul κ depinde de tensiunea de curgere initiala la solicitarea de intindere uniaxiala, σs dev= deviatorul tensiunii, iar g este definit in functie de parametrul scalar de intarire

(hardening scalar) γ

⎩⎨⎧

γ∇+γ−γ−

=γteplasticita degradient

clasica teplasticita)( 2

32

2

kkk

g (9)

20

unde 02 >k defineste intarirea izotropica, 02 =k defineste plasticitatea perfecta, 02 <k inmuierea (softening). Forma generala a ecuatiei de curgere pentru viteza de deformatie plastica p& si viteza parametrului de intarire (viteza absoluta de alunecare a culisei) este:

Λ=γ∂ϕ∂

Λ= && ,σ

p (10)

sau echivalent, pentru deformatii plastice arbitrare q si variabilele de intarire η ,

( ) ( ) ( ) ( ) ))((:,,, γ−ηγ+−σ+γ≥η &&&& gGG pqpupq , (11)

unde γ parametrul de intarire izotropica este deformatia plastica echivalenta, p&& =γ=Λ . Conditiile pe care trebuie sa le indeplineasca Λ si σ (conditii de incarcare /descarcare) sunt:

0)(,0)(,0 =σϕΛ≤σϕ≥Λ (12)

Conditiile (12) sunt denumite conditiile Kuhn-Tucker [31, 32]. Ultima conditie din relatia (12) poarta numele de conditia de persistenta. Tensiunile generalizate sunt legate de viteza de variatie a paremetrior cinematici conjugati (rates of change of the conjugate kinematic quantities) folosind functia de disipare

( )⎩⎨⎧

∞+η≤κ

=μqq

qdaca

,G (13)

in care q si η reprezinta deformatia plastica si parametru de intarire (ecruisare), arbitrari alesi. Conditiile de contur Pentru simplificare se considera urmatoarele conditii de contur:

0=u , 0=γ pe Ω∂ . (14)

Conditaia (14.2) este utilizata doar pentru gradientul de plasticitate. Conditiile initiale sunt de forma:

0)0,( =xu , 0)0,( =xp si 0)0,( =γ x pentru Ω∈x . (15)

Problema variationala In vederea solutionarii numerice a problemei la limita se asociaza acesteia asa numita formulare slaba. In acest scop se definec urmatoarele spatii:

( ) 210 ][ Ω= HV - pentru deplasari

}ina.e.0tr),(,)({ 2 Ω=Ω∈=== qq LqqqqQ ijijjiij - pentru deformatiile plastice

( )⎩⎨⎧

ΩΩ

=clasicateaplasticita

teplasticita degradient )(10

2

HL

M

Si

( ){ }Ωη≤∈η=

××=

ina.e.:,, qqv ZW

MQVZ

21

Plasticitatea clasica Pentru formularea clasica se considera atat intarirea cinematica cat si intarirea izotropica astfel incat domeniul tensiunile generalizate admisibile ( g,,ασ ) satisface relatia:

( ) 0,, ≤κ−++=ϕ gg αsασ (16)

in care κ deinde de tensiunea initiala de curgere la solicitarea de intidere uniaxiala, σs dev= - deviatorul tensiunii, pα 1k−= - back stress, parametru γ−= 2kg definit conform relatiei (9). Forma generala a ecuatiei de curgere pentru viteza de deformatie plastica p& si viteza parametrului de intarire (viteza absoluta de alunecare a culisei) este data de relatia (12). Pentru plasticitatea clasica, legea de curgere (11) este echivalenta cu [33, 34]

( ) ( ) ( ) ( ) )(:,, 21 γ−ηγ−−−+γ≥η &&&& kkGG pqpσpq , ( )η∀ ,q (17)

Formularea slaba (forma variationala) corespunzatoare unei probleme quasi-statice tinand seama de comportamentul elasto-plastic avand legea de curgere data de relatia (17) se exprima astfel: Sa se determine ZT →γ= ],0[:),,( puw care satisface conditiile 0)0( =w , Wtw ∈)(& pentru orice

],0[ Tt ∈ astfel incat:

( ) wzwzwzw &&& −≥−+− ),()()()(),( tljjtta , Z∈∀z (18)

in care forma biliniara R: →× ZZa si functionalele sunt definite dupa cum urmeaza:

( )dxkka ∫Ω

γη++−−= 21 :))((:))((),( ppqvεpuεDzw , Z∈η=∀ ),,( qvz (19)

∫Ω

κ= dxj qz)( daca W∈z , RZ: →j Z∈η=∀ ),,( qvz (20)

dxl ∫Ω

⋅= vfz, , Z∈η=∀ ),,( qvz , RZ: →l (21)

Gradientul deformatiei plastice (Gradient plasticity) Conditia de plasticitate care depinde de Laplacianul parametrului de ecuruisare scalar (scalar hardening parameter) sau, deformatia plastica echivalenta, se obtine din relatiile (8) si (9), si anume:

γ∇+γ−= 232 kkg (22)

in care 3k este o constanta pozitiva, iar 2∇ este operatorul Laplace. Pentru gradientul de plasticitate, inegalitatea (11) se scris sub forma

( ) ( ) ( ) ( ) )()(:,, 2321 γ−ηγ∇+γ−ηγ−−−+γ≥η &&&&& kkkGG pqpσpq , ( )η∀ ,q (23)

in care s-a tinut seama de relatia (13). Pentru cazul in care legea de curgere este data de relatia (23), inegalitatea disiparii in forma slaba se obtine prin integrarea relatiei (23) pe Ω si aplicarea teoremei integrarii prin parti pentru termenul care contine 3k .

( ) ( )∫ ∫∫Ω ΩΩγ−η∇⋅γ∇−γ−ηγ−−−+≥ dxkdxkdxkwjzj )()(:)()( 321 &&&& pqpσ , Z∈∀z (24)

Formularea slaba (forma variationala) corespunzatoare unei probleme quasi-statice tinand seama de comportamentul elasto-plastic avand legea de curgere data de relatia (4) se exprima astfel:

22

Sa se determine ZT →γ= ],0[:),,( puw care satisface conditiile 0)0( =w , Wt ∈)(w& pentru orice ],0[ Tt ∈ astfel incat:

( ) wzwzwzw &&& −≥−+− ),()()()(),( tljjtta , Z∈∀z (25)

in care forma biliniara este data de relatia:

( ) xkxkka dd:))((:))((),( 321 ∫∫ ΩΩη∇⋅γ∇+γη++−−= ppqvεpuεDzw , Z∈η=∀ ),,( qvz (26)

Formularea metodei Galerkin discontinua Discretizarea spatiala Se defineste )(KPk spatiul polinoamelor de grad cel putin 0≥k , }{Kh =ℑ un sub-domeniu rgulat al lui Ω , in care K reprezinta elemente finite; )(diam KhK = si }max{ , hK Khh ℑ∈= .

n

K+ K_

Ω

ΓD

ΓD

ΓN

K+

K+

K_

K_

K_

b

b2

1

b3

n+

n_

Fig. 2.3. Partitia domeniului Ω

Pentru doua elemente vecine +K si respectiv −K care au in comun muchia b se definesc saltul si media dupa cum urmeaza:

( )

( )

( )212211

212211

212211

21}{;][

21}{;][

21}{;][

τ+τ=ττ+τ=τ

+=⊗+⊗=

η+η=ηη+η=η

nn

vvvnvnvv

nn

(27)

in care n reprezinta vectorul normal la muchia b a elementului K . Daca b apartine elementului K situat pe frontiera Ω∂ , atunci saltul si media sunt de forma

111

111

111

}{;][}{;][

}{;][

τ=ττ=τ=⊗=η=ηη=η

nvvvv

nn (28)

Se construieste o aproximare finit dimensionala a spatiiilor VVh ⊂ , QQh ⊂ si MM h ⊂ , si respectiv sub-seturilor hZZ ⊂ , WW h⊂ pe care se pune problema:

23

( ){ }( ){ }( ){ }

( ){ }hhhhhhhhh

hhhh

hKhhh

hKhhh

hKhhh

KZzW

MQVZKKPLM

KKPqLQ

KKPvLvV

ℑ∈γ≤∈η==

××=ℑ∈∀∈γΩ∈γ=

ℑ∈∀∈Ω∈=

ℑ∈∀∈Ω∈=

××

fiecarein:,,

)(|;

)(|;

)(;

12

220

222

21

22

qqv

q

(29)

Daca 03 =k , spatiul hM contine functii constante sau constante pe portiuni „picewise –constant function” si problema se reduce la o problema clasica de analiza cu elemente finite. Discretizarea Galerkin discontinua se aplica atat variabilei de ecruisare cat si deplasarilor astfel incat forma biliniara simetrica este de forma [29, 33, 34]

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ss

xkka

e e hhhe e hhhhhh

K K hhhhhhhhhhhhhhh

ed][:][d][:)(][:)(

d:)(:)(),,(),,,(

1

21

∑ ∫∑ ∫∑ ∫

β+−ε+−ε−

−ηγ++−ε−ε=ηγ

vuupvDvpuD

qpqvpuDqvpu(30)

in care

( ) ( )( ) dsdskdxk

aa

e e hhhe e hhhhK K hh

hhhhhhhhhhhhhh

e∑ ∫∑ ∫∑ ∫ ηγ+γ⋅η∇+η⋅γ∇−η∇⋅γ∇+

+ηγ=ηγβ ][:][][][

),,(),,,(),,(),,,(2

33

qvpuqvpu (31)

∑ ∫ κ=γK K hhhh dxj qqv ),,( daca hh W∈w (32)

in care 1β , 2β sunt parametrii de penalizare pozitiv definiti [ ]. Aproximarea dG semi-discreta corespunzatoare problemei (18) este: Date fiind 0)0( =hw , sa se determine hw astfel incat pentru aproape orice t , hh Wtw ∈)(& si

( ) )(),())(()()(),( ttltjjtta hhhhhhhh wzwzwzw &&& −≥−+− , hh Z∈∀z (33)

Aproximarea dG semi-discreta corespunzatoare problemei (25) este: Date fiind 0)0( =hw , sa se determine hw astfel incat pentru aproape orice t , hh Wtw ∈)(& si

( ) )(),())(()()(),( ttltjjtta hhhhhhhh wzwzwzw &&& −≥−+− , hh Z∈∀z (34)

3. Concluzii Activitatea de cercetare a fost derulata pe doua directii de cercetare, si anume Analiza materialelor gradate functional (FGM) si Elaborarea unui model termo-mecanic pentru studiul fenomenelor de rupere in materiale gradate functional folosind metoda Galerkin discontinua. Au fost stabilite principalele etape ale rezolvarii numerice a problemei visco-elasto-plastice folosind metoda Galerkin discontinua. In cadrul etapelor prevazute in anul 2010 se vor dezvolta si implementa algoritmii necesari pentru dezvoltarea unui software de analiza cu elemente finite pentru studiul fenomenelor de rupere inmateriale gradate functional.

24

Anexa I Regula amestecurilor modificata Conform regulii amestecurilor liniare, orice proprietate P in punctul x situat intr-un material bi-fazic metal-ceramic, se determina ca o combinatie liniara a fractiilor de volum si proprietatilor celor doua faze componente [20]

[ ])(1)()( xVPxVPxP mcmm −+= (1)

Pentu a estima modulul de elasticitate pentru un material bi-fazic fiecare sub-strat din stratul gradat este considerat ca fiind izotropic, iar tensiunea respectiv deformatia uniaxiala se determina in functie de valoarea medie a tensiunii respctiv deformatiei specifice si a fractilor de volum

( )mcmm VV −σ+σ=σ 1 (2)

( )mcmm VV −ε+ε=ε 1 (3)

Astfel, modulul de elasticitate este

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= mmm

ccmmm

m

c VVEqEqEVEV

EqEqE 1/1 (4)

In care q reprezinta raportul transferului tensiune-deformatie

cm

mcqε−εσ−σ

= +∞<< q0 (5)

Modulul de elasticitate calculat cu relatia (4) este 1 daca +∞→q .

25

Anexa II Modelul TTO Modelul TTO a fost propus de Tamura et al [20] pentru a studia deformatiile plastice in materialele gradate functional. Ulterior modelul a fost extins pentru [21] studiul comportamentului materialelor metalice avand o lege de comportare de tip putere cu ecruisare. Modelul TTO face legatura dintre tensiunea uniaxiala σ si deformatia ε intr-un material compozit bifazic si valorile medii ale tensiunilor axiale si deformatiilor celor doua componente

2211 σ+σ=σ VV , 2211 ε+ε=ε VV (1)

unde iσ , iε ( 2,1=i ) reprezinta valoarea medie a tensiunii respectiv deformatiei celor doua compomente, iV - fractiile de volum. Modelul TTO introduce un parametru suplimentar de forma

21

21

ε−εσ−σ

=q , ∞<< q0 (2)

Valorile parametrului q depind de proprietatile de material ale celor doi constituenti si de interactiunea la nivel microstructural.

O

Y

Faza 1 (fragil)

σ

ε

Faza 2 (ductil)

FGM

σ

Fig. 1. Modelul TTO

Daca ∞→q , elementele componente se deformeaza indentic in directia incarcarii; daca 0=q , elementele componenete au acelasi nivel al tensiunilor. In general, in materialele reale, parametru q are valori finite care variaza intre cele doua limite. De notat faptul ca

iii E ε=σ , 2,1=i (3)

Modulul de elasticitate este de forma [ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++

= )1(/)1( 22

1212

2

122 V

EqEqVEV

EqEqEVE (4)

Coeficientul lui Poisson al compozitului respecta regula amestecurilor

2211 ν+ν=ν VV (5)

in care iν ( 2,1=i ) reprezinta coeficientul lui Poisson pentru cele doua faze.

26

In cazul in care aplicatiile presupun deformatii plastice ale celor doua faze (fragil/ductil), modelul TTO presupune ca compozitul va curge daca componenta metalica curge.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++

= )1(/)1( 22

1212

2

122 V

EqEqVEV

EqEqEVE (6)

Tensiunea de curgere a materialului compozit este data de relatia (fig. 1)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++

+σ=σ )1()( 22

1

1

2202 V

EE

EqEqVVY (7)

unde 0σ reprezinta tensiunea de curgere a fazei “m”. Tensiunea de curgere a materialului compozit depinde de tensiunea de curgere a fazei metalice, fractia de volum a fazei metalice, modulul de elasticitate a celor doua faze si de parametru q . Pentru un model biliniar pentru faza metalica avand modulul tangent 2H , modelul TTO estimeaza ca materialul compozit urmeaza o lege biliniara avand modulul tangent de forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++

= )1(/)1( 22

1212

2

122 V

HqEqVEV

HqEqEVH (8)

Modelul biliniar nu aproximeaza corespunzator variatia vitezei de intarire (ecruisare) in cazul deformatiilor plastice puternice Din acest motiv s-a propus un model care urmeaza o lege putere [21]. Astfel, curbele tensiune-deformatie dincolo de punctul de curgere au forma

0

0

202

n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

ε=ε , 02 σ≥σ (9)

si 0n

YY ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

ε=ε , Yσ≥σ (10)

unde

2

00 E

σ=ε ,

EY

Yσ

=ε (11)

reprezinta deformatiile de curgere pentru metal si compozit, n - exponentii de ecruisare. 0

0

20

21

12

1

1

n

YYY EE

EqEVq

EqEV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

σσ

++

+σσ

+=

εε (12)

0

0

20

2

1

1

12

1

12

n

YYY EE

EqqV

EqEqV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

σσ

++

σσ

++

=σσ (13)

Daca fractia de volum de metal este 12 =V , atunci 0

0

2

n

Y⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

=εε si

YY σσ

=σσ 2 (14)

Ceea ce reprezinta legea putere pentru metale deoarece 0σ=σY si 0ε=εY cand 12 =V .

27

Anexa III Relatiile dintre tensiuni si deformatii. Matricea de elasticitate pentru un material gradat functional Pentru un material gradat functional, proprietatile de material, modulul de elasticitate si coeficientul lui Poisson variaza in functie de coordonatele spatiale, ],,[ 321 xxx=x . Relatia dintre tensiuni si deformatii este

klijklij D ε=σ )(x (1)

in care pentru o problema plana

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν

ν−=

2)(100

01)(0)(1

)(1)()( 2

xx

x

xxx ED - starea plana de tensiune (2)

( )( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν−ν

νν−

ν−ν+=

2)(100

0)(1)(0)()(1

)(21)(1)()(

xxx

xx

xxxx ED - starea plana de deformatie (3)

Derivata tensiunii devine

klijklklijklij DD ε+ε=σ &&& )()( xx (4)

unde

)()()( x

xx

ijklijkl DEED&

& = (5)

ijtip

tipij E

Eε=ε

&& (6)

)()()()( 1,

1

xxxx

ijklijkl D

EE

xD &&

=∂

∂ (7)

unde derivata modulului de elasticitate in raport cu 1x este

212

111

1,)()()( V

xE

xV

xE

xE ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

=xxx& (8)

Derivata tensiunii in raport cu 1x este

111

)()(

xxD

xD

xkl

ijklklijklij

∂ε∂

+ε∂

∂=

∂σ∂ x

(9)

11111

)()()()(

xD

xD

xD

xD

xkl

ijklkl

ijklklijkl

klijklij

∂ε∂

+∂ε∂

+ε∂

∂+ε

∂∂

=∂σ∂ &&&

&&xx

xx (10)

28

Materiale ortotropice gradate functional Pentru starea plana de deformatie, relatia deformatie- tensiune este de forma

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡Δα+ανΔα+αν

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡νν−νν+ν−

νν+ν−νν−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεε

0)()(

/1000/)1(/)(0/)(/)1(

22332

1331

12

22

11

12

23223321312

132131211331

12

22

11

TT

GEE

EE (11)

in care:

0TTT −=Δ , 0T - temperature de referinta;

2

23

3

32

1

13

3

31

1

12

2

21 ;;EEEEEEν

=νν

=νν

=ν .

Pentru starea plana de tensiuni, relatia deformatie- tensiune este de forma

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ΔαΔα

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ν−

ν−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεε

0/1000/1/0//1

22

1

12

22

11

12

212

1121

12

22

11

TT

GEE

EE (12)

Legile de gradatie pentru materiale ortotropice gradate functional Modulul de elasticitate

( )

( )2

1

1022

0212

1011

0111

)(

)(

γ

γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

WxEEExE

WxEEExE

w

w

(13)

2x

1x

E0

Ew

Fig. 1.

Coeficientul lui Poisson

( )12

101212

012112 )(

β

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ν−ν+ν=νWxx w (14)

29

( )

( )2

1

1022

0212

1011

0111

)(

)(

ω

ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

Wxkkkxk

Wxkkkxk

w

w

(15)

30

Bibliografie [1] Kawasaki, A., Watanabe, R., 1996. Effect of gradient microstructure on thermal shock crack

extension in metal/ceramic functionally graded materials. In: Proceedings of the 4th International Symposium on Functionally Graded Materials. Tsukuba, Japan.

[2] Kawasaki, A., and Watanabe, R., 1987, Finite Element Analysis of Thermal Stress of the Metal/Ceramic Multi-Layer CompositesWith Compositional Gradients, J. Jpn. Inst. Met., 51, 525–529.

[3] Touloukian, Y.S., 1967, Thermophysical Properties of High Temperature Solid Materials, McMillan, New York.

[4] Gibson, L.J., et al., 1995, Mechanical properties of natural materials. II. Microstructures for mechanical efficiency, Proceedings of the Royal Society of London Series A, 450, 141–162.

[5] Mori, T., and Tanaka, K., 1973, Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions, Acta Metallurgica, 2, 1571–574.

[6] Cho, J.R., Ha, D.Y., 2001, Averaging and finite-element discretization approaches in the numerical analysis of functionally graded materials, Materials Science and Engineering A302, pp. 187–196

[7] Birman, V., and Byrd, L.W., 2007, Modeling and analysis of functionally graded materials and structures, Applied Mechanics Reviews, 60, 195–216.

[8] Shen, H.-S, 2009, Functionally Graded Materials Nonlinear Analysis of Plates and Shells, Taylor & Francis Group.

[9] Erdogan, F., 1985, The crack problem for bonded nonhomogeneous materials under antiplane shear loading, J. Appl. Mech., 52, 823-8.

[10] Jin, Z.H., Batra, R.C., 1996, Some basic fracture mechanics concepts in functionally graded materials, J. Mech. Phy. Solids, 44 (8), 1221-1235.

[11] Jin, Z., and Noda, N., 1994, Crack-tip singular fields in nonhomogeneous materials, J. Appl. Mech., 61, 738-40.

[12] Konda, N., Erdogan, F, 1994, The mixed crack problem in nonhomogeneous elastic medium, Engng. Fract. Mech., 47, 533-45.

[13] Becker, T.L. Jr., Cannon, M., Ritchie, R.O., 2002, Statistical fracture modeling: crack path and fracture criteria with application to homogeneous and functionally graded materials, Engng. Fract. Mech., 69, 1521–1555.

[14] Anlas, G., Lambros, J., and Santare, M.H., 2002, Dominance of asymptotic crack tip fields in elastic functionally graded materials, Int. J. Fracture, 115, 193–204.

[15] Nishioka, T., and Atluri, S.N., 1983, Path-independent integrals, energy release rates, and general solutions of near-tip fields in mixed-mode dynamic fracture mechanics, Engng. Fract. Mech., 18, 1-22.

[16] Stan, F., 2003, Computational studies on three-dimensional dynamic fracture phenomena, PhD. Thesis, Kobe University.

[17] Bao, G., and Wang, L., 1995, Multiple cracking in functionally graded ceramic/metal coatings, J. Solids Structures, 32(19), 2853-2871.

[18] Rousseau, C-E., Tippur, H.V., 2002, Influence of elastic variations on crack initiation in functionally graded glass-filled epoxy, Engng. Fract. Mech., 69, 1679–1693

[19] Tilbrook, M.T., Moon, R.J., Hoffman, M., 2005, Crack propagation in graded composites, Composites Science and Technology, 65, 201–220.

[20] Tamura, I., Tomota, Y., Ozawa, H., 1973, Strength and ductility of Fe–Ni–C alloys composed of austenite and martensite with various strength. Proceedings of the Third International Conference on Strength of Metals and Alloys, vol. 1. Cambridge, Institute of Metals, 611–5.

31

[21] Jin, Z.-H., Paulino, G.H., Dodds Jr., R.H., 2003, Cohesive fracture modeling of elastic–plastic crack growth in functionally graded materials, Engng. Fract. Mech., 70, 1885–1912.

[22] Zhang, Z., and Paulino, G.H., 2005, Cohesive zone modeling of dynamic failure in homogenous and functionally graded materials. Int. J. Plasticity, 21, 1195–1254.

[23] Kandula, S.S.V., Abanto-Bueno, J., Geubelle, P.H., Lambros, J., 2005, Cohesive modeling of dynamic fracture in functionally graded materials, Int. J. Fracture, 132, 275–296.

[24] Shim, D.J., Paulino, G. H., and Dodds JrJ., R. H., 2006, J Resistance behavior in functionally graded materials using cohesive zone and modified boundary layer models, Int. J. Fracture, 139, 91–117.

[25] Arnold, DN., 1982, An interior penalty finite element method with discontinuous elements. SIAM Journal on Numerical Analysis, 19, 742–760.

[26] Lew, A., Neff, P., Sulsky, D., Ortiz, M., 2004, Optimal BV estimates for a discontinuous Galerkin method for linear elasticity. Applied Mathematics Research eXpress, 3, 73-106.

[27] Ten Eyck A., Lew, A., 2006, Discontinuous Galerkin methods for non-linear elasticity. Int. J. Numer. Methods Engrg., 67, 1204-1243.

[28] Riviere, B., Shaw, S., Wheeler, M.F., Whiteman, J.R., 2003, Discontinuous Galerkin finite elemnet methods for linear elasticity and quasilinear viscoelasticity, Numer. Meth. Part. Diff. Eqs., 95, 347-376.

[29] Gracie, R., Wang, H., Belytschko, T., 2008, Blending in the extended finite element method by discontinuous Galerkin and assumed strain methods. Int. J. Numer. Methods Engrg., 74, 1645-1669.

[30] Wells, G.N., Garikipati, K., Molari, L., 2004, A discontinuous Galerkin formulation for a strain gradient-dependent damage model, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 193, 3633–3645.

[31] Fleck, N.A., Hutchinson, J.W., 1997, Strain gradient plasticity, Adv. Appl. Mech., 33, 295-361.

[32] Fleck, N.A., Hutchinson, J.W., 2001, A reformulation of strain gradient plasticity, J. Mech. Phys. Solids, 49, 2245-2271.

[33] Djoko, J.K., Ebobisse, F., McBride, A.T., Eddy, B.D., 2007, A discontinuous Galerkin formulation for cassical and gradien plasticity. Part 1: Formulation and numerical analysis, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 196, 3881-3897.

[34] Djoko, J.K., Ebobisse, F., McBride, A.T., Eddy, B.D., 2007, A discontinuous Galerkin formulation for cassical and gradien plasticity. Part 2: Algotrithms and numerical analysis, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 197, 1-21.

[35] Shen, Y., and Adrian Lew, A., 2009, An optimally convergent discontinuous Galerkin-based extended finite element method for fracture mechanics, Int. J. Numer. Meth. Engng., DOI: 10.1002/nme.2781.

[36] Ten Eyck, A., and Lew, A., 2009, An adaptive stabilization strategy for enhanced strain methods in non-linear elasticity, Int. J. Numer. Meth. Engng., DOI: 10.1002/nme.2734.

[37] Mancuso, M., Ubertini, F., 2006, An efficient time discontinuous Galerkin procedure for non-linear structural dynamics, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 195, 6391–6406.