Unitatea de învăţare nr. 3 - ifrem.files. · PDF fileDinamica 41 Fizica – Curs...

Dinamica

41 Fizica – Curs şi aplicaţii

Unitatea de învăţare nr. 3 DINAMICA Cuprins Pagina

Obiectivele unităţii de învăţare nr. 3 42

3.1 Principiul relativitatii in mecanica clasica 42

3.2 Formalismul lui Newton 43

3.3 Formalismul lui Lagrange 46

3.4 Formalismul lui Hamilton 53

Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 3 58

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 59

Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 3 62

Dinamica

42 Fizică – Curs şi aplicaţii

OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 3

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 1 sunt: • Familiarizarea cu problema mecanicii clasice; • Familiarizarea cu principiile lui Newton, cu principiul

minimei actiuni, cu formalismul Lagrange si cu cel al lui Hamilton pentru determinarea starii mecanice in viitor, adica pentru rezolvarea problemei amintite;

• Aplicarea acestor metode in rezolvarea de probleme.

3.1 Principiul relativitatii in mecanica clasica Problema pe care mecanica o rezolva se enunta astfel: daca se cunosc interactiunile (fortele) pe care un sistem mecanic le are cu mediul exterior, sa se determine cinematica sa, adica sa se afle legea de miscare cu ajutorul careia putem prevedea pozitia si viteza in viitor. Uneori problema se pune invers: cunoscand legea de miscare sa se afle interactiunile. Prima data aceasta problema a fost rezolvata de catre Newton. Cele patru principii pe care le-a pus la baza teoriei sale au permis anticiparea miscarii sistemelor mecanice. Foarte important este principiul fundamental care postuleaza relatia dintre forta si acceleratie:

amtvrF =),,( (3.1.1)

Fata de sisteme de referinta diferite aceasta lege nu are o forma atat de simpla. Exista o categorie de sisteme de referinta in care spatiul este omogen (are aceleasi proprietati in toate punctele sale) si izotrop (are aceleasi proprietati in toate directiile), iar timpul este uniform (toate momentele sunt echivalente). Acesta este spatiul mecanicii clasice, euclidian si tridimensional, un cadru care contine substanta si radiatia fara a interactiona cu ele. Timpul este unidimensional si orientat dinspre trecut spre viitor, fara a fi, nici el, influentat de materie. Sistemele de referinta mentionate, in care legile mecanicii au cea mai simpla forma, se numesc sisteme de referinta inertiale (SRI). Exista si sisteme de referinta in care spatiul este neomogen si anizotrop, timpul este neuniform iar legile mecanicii au forme complicate: acestea se numesc sisteme de referinta neinertiale (SRN). In cele ce urmeaza le vom prefera pe cele inertiale. Din faptul ca spatiul este omogen si izotrop iar timpul este uniform rezulta ca pentru un punct material liber (asupra caruia nu actioneaza nici o forta) miscarea se face cu viteza constanta (este rectilinie si uniforma) in raport cu un SRI. Acesta este principiul inertiei al lui Galilei. Daca luam in considerare un alt sistem de referinta care, fata de primul are o miscare de translatie uniforma, principiul inertiei ramane valabil, chiar daca viteza relativa a punctului material este alta: deci al doilea sistem de referinta este tot inertial. Astfel, exista o infinitate de sisteme de referinta care au o miscare de translatie uniforma unele relativ la altele. Spatiul este omogen si izotrop iar timpul este uniform, legile mecanicii avand aceeasi forma, cea mai simpla. Acesta este principiul relativitatii in mecanica clasica.

Dinamica


El a fost extins de catre Einstein la toate legile fizicii. Asa cum am vazut in capitolul al doilea pozitiile unui mobil fata de doua sisteme de referinta inertiale se pot corela prin relatia:

tVrrrr

+=+= '' 0 (3.1.2) Daca se considera si principiul timpului absolut (timpul curge la fel in cele doua sisteme de referinta):

t = t’ (3.1.3) impreuna cu relatia 3.1.2 avem transformarile lui Galilei care leaga coordonatele unui eveniment (r,t) fata de un referential de coordonatele aceluiasi eveniment fata de celalalt referential (r’,t’). Pricipiul relativitatii se poate enunta si astfel: „legile mecanicii nu-si schimba forma in urma transformarilor lui Galilei”.

3.2 Formalismul lui Newton

Pentru a putea anticipa pozitia si viteza unui sistem mecanic, Newton a formulat patru principii (Mathematical Principles of Natural Philosophy, 1685):

- Orice punct material isi pastreaza starea de repaus, sau de miscare rectilinie uniforma, atata timp cat nu intervin forte din exterior (principiul inertiei);

- Variatia impulsului este proportionala cu forta aplicata si are directia si sensul fortei (principiul fundamental):

dtpdF

= (3.2.1)

Aceasta relatie devine: F = m a, daca masa nu se modifica. - Pentru fiecare actiune exista o reactiune egala si de sens opus (principiul actiunilor

reciproce); - Daca asupra unui punct material actioneaza simultan mai multe forte, fiecare ii

imprima propria acceleratie, independent de prezenta celorlalte forte, acceleratia punctului material fiind egala cu suma vectoriala a acceleratiilor independente (principiul suprapunerii fortelor).

Vom exemplifica modul in care Newton determina viteza si legea de miscare a unui sistem mecanic, in conditiile in care cunoastem fortele care actioneaza asupra lui, rezolvand urmatoarea problema: consideram o nava propulsata de o forta orizontala constanta F, care intampina o rezistenta la inaintare proportionala cu patratul vitezei: R = -av2, unde semnul minus indica faptul ca forta se opune vitezei, iar a este o constanta. Trebuie sa aflam cum depinde poazitia navei de timp si cum depinde viteza ei de timp, in ipoteza unei miscari rectilinii. Pe verticala, greutatea si forta lui Arhimede isi fac echilibru (suma lor este zero). Metoda lui Newton porneste de la principiul fundamental:

Dinamica


2avFdtdvm −= (3.2.2)

Impartim la masa m relatia anterioara si notam F/m = b si a/F = c2. Ecuatia de miscare devine:

)1( 22vcbdtdv

−= (3.2.3)

Aceasta este o ecuatie diferentiala cu doua variabile, viteza si timpul, pe care le separam:

bdtvc

dv=

− 221 (3.2.4)

Acum putem sa integram ecuatia:

∫=∫−

tv

vdtb

vcdv

022

0 1 (3.2.5)

Prima integrala se calculeaza apeland la un artificiu:

++

−=

− cvcvvc 11

11

21

11

22 :

btcv

dvcv

dvvc

dvv

v

v

v

v

v=∫

∫ ∫

++

−=

−0 0 0112

11 22 (3.2.6)

Vom calcula prima integrala din paranteza facand substitutia 1- cv = u. Diferentiind-o, obtinem: -cdv = du, adica dv = -du/c. Integrala devine:

cvcv

cuu

cu

cudu

ccvdv u

u

v

v

u

u −−

==−=∫ ∫−=− 1

1ln1ln1ln111

000

0 0

(3.2.7)

In mod analog, a doua integrala devine:

00 11ln1ln1ln11

1 00 0

cvcv

cuu

cu

cudu

ccvdv u

u

v

v

u

u ++

===∫ ∫=+

(3.2.8)

Adunand cele doua integrale obtinem:

btcvcv

cvcv

ccvdv

cvdv

vcdvv

v

v

v

v

v=

+−

⋅−+

=∫

∫ ∫

++

−=

− 0

022 1

111ln

21

1121

10 0 0

(3.2.9)

Daca nava pleaca din repaus (v0 =0, la t0 =0), rezultatul pe care il obtinem va fi:

btcvcv

c=

−+

11ln

21

(3.2.10)

De aici extragem viteza navei ca functie de timp:

Dinamica


cbtccbt

cbtcee

eece

ec

vecvcv

cbtcbt

cbtcbt

cbt

cbtcbt tanh1

coshsinh11

111

11

2

22 =⋅=

+−

⋅=+−

⋅=⇒=−+

−

−

(3.2.11) Am introdus functiile hiperbolice: sinh x = (ex – e-x) / 2, cosh x = (ex + e-x) / 2 si tanh x = (ex – e-x) / (ex + e-x). Graficul vitezei in functie de timp (Figura 3.2.1) este graficul functiei tangenta hiperbolica avand ca argument produsul cbt:

Figura 3.2.1 – Reprezentarea grafica a legii vitezei

Observam ca atunci cand timpul t ∞, viteza tinde spre valoarea limita:

aF

cvv ===∞

1lim , (3.2.12)

deoarece tangenta hiperbolica se apropie asimptotic de valoarea 1 cand argumentul tinde la infinit. Deci, in final nava se deplaseaza cu o viteza constanta, viteza limita, pe care o atinge cand forta de rezistenta, al carei modul creste cu viteza, devine egala cu forta de propulsie, F, acceleratia anulandu-se: F = av2

lim. Urmatorul obiectiv este sa aflam cum depinde coordonata de timp. Aceasta se obtine integrand legea vitezei:

∫ ∫ ⋅=⇒=⇒⋅==x

x

tcbtdt

cdxcbt

cdtdxcbt

cdtdxv

0 0tanh1tanhtanh1

(3.2.13)

Ca si prima data, am separat variabilele si acum trebuie sa calculam cele doua integrale obtinand rezultatul:

cbtcbtcbtcbtxx t

t coshlncoshcoshlncoshln

00 0

===− (3.2.14)

Dinamica


In expresia 3.2.14 a legii de miscare am considerat t0 = 0. Cu aceste rezultate: 3.2.11 si 3.2.14, putem calcula pozitia si viteza navei la orice moment de timp.

3.3 Formalismul lui Lagrange

Problema mecanicii poate fi rezolvata mai elegant cu ajutorul principiului minimei actiuni, enuntat de Hamilton. Acesta ofera o formulare a mecanicii clasice mult mai flexibila si mai puternica decat cea a lui Newton, care s-a dovedit utila si in teoria relativitatii, in teoria cuantica a campurilor si in teoria particulelor elementare. Acest principiu este echivalent celor patru principii ale lui Newton si se enunta astfel: “Orice sistem mecanic este caracterizat de o functie bine determinata de coordinate (q), viteze ( q ) si eventual de timp, numita functia lui Lagrange, sau lagrangeianul sistemului:

),,( tqqLL = . Daca la momentele t1 si t2 sistemul ocupa pozitiile cunoscute q(1) si respectiv q(2), intre aceste doua pozitii sistemul se misca astfel incat integrala:

∫=2

1

),,(][t

tdttqqLqS , (3.3.1)

numita actiune, ia o valoare extrema (uneori minima)”.

Figura 3.3.1 – Traiectoria reala si o traiectorie virtuala a unui corp lansat in camp gravitational

Dinamica


In Figura 3.3.1 am reprezentat cu o linie plina parabolica traiectoria reala a unei mingi de basket lansata de un sportiv in camp gravitational. Daca vom calcula integrala actiunii pe aceasta traiectorie si pe o alta traiectorie, desenata cu linie punctata si numita traiectorie virtuala, vom obtine o valoare minima pe traiectoria reala indiferent de forma traiectoriei virtuale. In optica exista un principiu asemanator, numit principiul lui Fermat: “Traiectoria reala a razei de lumina reprezinta o extremala a drumului optic”:

∫ =B

Astationarnds (3.3.2)

In aceasta expresie n = c / v (c este viteza luminii in vid, iar v este viteza luminii in mediul respectiv) se numeste indice de refractie al mediului iar ds reprezinta elementul infinitezimal de traiectorie. Deoarece produsul nds = (c / v)ds = c (ds / v) = c dt, principiul se mai enunta ca o conditie ca timpul in care lumina se propaga intre doua puncte ale unui mediu optic transparent sa fie extrem (in particular minim). Putem deduce din conditia ca timpul sa fie extrem, legea lui Snell referitoare la fenomenul de refractie a luminii:

Figura 3.3.2 – Traiectoria reala (ANB) si traiectorii virtuale ale unei raze de lumina care se propaga de la A la B intersectand suprafata plana de separatie intree doua medii

optic transparente cu indicii de refractie n1 si respectiv n2

In Figura 3.3.2 lumina se propaga de la A la B pe traiectoria (ANB) pe care timpul de parcurgere este un extrem. Traiectoria (ALB) implica un drum mai lung prin mediul cu indicele de refractie n1 (unde viteza este mai mare) si mai scurt prin mediul al doilea unde viteza luminii este mai mica. Traiectoriile (ACB) sau (ADB) implica drumuri mai lungi prin mediul al doilea unde viteza este mai mica si drumuri mai scurte prin mediul unde viteza este mai mare. Traiectoria pe care timpul este minim (ANB) este un compromis intre cele doua. Conditia de extrem conduce la relatia: n1 sin i = n2 sin r, numita legea lui Snell. Cele doua

Dinamica


unghiuri: i – unghiul de incidenta si r – unghiul de refractie sunt definite in figura 3.3.2 cu ajutorul normalei la suprafata de separate intre cele doua medii (linia intrerupta). Richard Feynman, parintele electrodinamicii cuantice, ne asigura ca fotonii parcurg toate traiectoriile posibile intre punctele A si B, dar contributia decisiva la rezultatul final provine de la traiectoriile pentru care timpul este extrem, celelalte traiectorii anulandu-si reciproc contributiile. Intorcandu-ne la mecanica, se pune problema modului in care construim functia Lagrange pentru diferitele sisteme mecanice. Din considerente de omogenitate si izotropie a spatiului si de uniformitate a timpului putem deduce ca pentru un punct material izolat (in absenta fortelor) functia Lagrange are expresia:

2

2mvL = (3.3.3)

adica este egala cu energia cinetica a particulei. Daca avem mai multe puncte materiale care nu interactioneaza cu nimeni, functia Lagrange trebuie sa fie aditiva, adica in ecuatiile de miscare ale unei particule sa nu apara marimi referitoare la particule cu care aceasta nu interactioneaza:

∑==

N

i

iivmL1

2

2 (3.3.4)

Daca avem un sistem izolat de puncte materiale, care interactioneaza intre ele, dar nu si cu mediul exterior, in functia Lagrange anterioara va aparea un termen suplimentar care descrie interactiunea dintre particule si care depinde doar de pozitiile acestora:

,...),(2 21

1

2rrUvmL

N

i

ii −∑==

(3.3.5)

Acest termen, ,...),( 21 rrU , se numeste energia potentiala de interactiune. In cazul in care

sistemul mecanic se misca intr-un camp de forte exterioare produse de un alt sistem a carui miscare se cunoaste (de exemplu Pamantul se misca in campul gravitational produs de Soare) functia Lagrange are expresia:

),...,,(2 21

1

2trrUvmL

N

i

ii −∑==

(3.3.6)

Aceasta expresie difera de 3.3.5 prin faptul ca, acum, energia potentiala ar putea depinde si de timp. In cazul in care fortele produse de al doilea sistem nu depend de timp, acest lucru nu se intampla. In cazul mingii aruncate in Figura 3.3.1 functia Lagrange are expresia:

mgymvL −=2

2

Principiul minimei actiuni, faptul ca integrala actiunii are un extrem pe traiectoria reala, conduce la niste ecuatii care, prin integrare, permit aflarea dependentei de timp a pozitiei si a vitezei. Aceste ecuatii se numesc ecuatiile Euler-Lagrange si le vom deduce in cele ce urmeaza. La inceput,insa, vom discuta despre coordonatele, vitezele si acceleratiile generalizate. Asa cum am vazut, pozitia unui punct material liber este definita cu ajutorul a trei coordinate (x, y, z) intr-un sistem cartezian de coordonate. Daca folosim coordonatele sferice, (x, y, z) sunt inlocuite de (r, θ, φ) – o distanta si doua unghiuri (latitudinea si longitudinea) sau, daca folosim coordonatele cilindrice, de (ρ, φ, z) doua distante si un unghi (Figura 3.3.3):

Dinamica


Figura 3.3.3 – Specificarea pozitiei punctului material A in coordonate carteziene (x,y,z), in coordonate sferice (r, θ, φ) si in coordonate cilindrice (ρ, φ, z).

Spunem ca punctul material liber are trei grade de libertate (numarul parametrilor independenti cu care specificam univoc pozitia punctului). In general un sistem alcatuit din mai multe puncte materiale libere (N) ar avea 3N grade de libertate. Daca este supus unor legaturi (fire, tije, constrangeri) care limiteaza posibilitatile de miscare ale sistemului, numarul gradelor de libertate se micsoreaza corespunzator: de exemplu, un inel, obligat sa culiseze pe o tija fixa, are un singur grad de libertate. In concluzie, putem specifica univoc pozitia unui sistem mecanic cu ajutorul coordonatelor carteziene, sferice, cilindrice sau cu orice alte coordonate alcatuite din unghiuri si distante inventate de noi. Este important pentru un sistem dat ca numarul lor sa fie acelasi: numarul gradelor de libertate ale sistemului respectiv. Prin definitie coordonatele generalizate ale unui sistem cu s grade de libertate sunt cei s parametri oarecare q1, q2,..., qs care specifica univoc pozitia sistemului. Derivatele la timp ale coordonatelor se numesc viteze generalizate: iq , i = 1, 2,..., s. Derivatele la timp ale vitezelor

se numesc acceleratii generalizate: iq , i = 1, 2, ..., s.

Vom considera un sistem cu un grad de libertate, s =1, a carui pozitie va fi precizata de o singura coordonata, q, si care va avea o singura viteza generalizata, q . Intr-un spatiu ale carui axe sunt coordonatele generalizate, numit spatiul configuratiilor, un punct reprezinta pozitia unui sistem la un moment dat, iar o curba este traiectoria lui. Si aici avem o traiectorie reala si traiectorii virtuale (Figura 3.3.4). Vom nota )(tq legea de miscare pe traiectoria reala

si cu )()()( ttqtq εη+= cea corespunzatoare unei traiectorii virtuale. ε este un parametru pozitiv mic, iar η(t) o functie continua impreuna cu derivata ei de ordinul intai, care satisface conditiile la capete: η(t1) = η(t2) = 0. Produsul εη(t) exprima diferenta dintre cele doua traiectorii, iar la capete, unde curbele coincid, se anuleaza. Actiunea pe traiectoria virtuala devine o functie de parametrul ε:

Dinamica


∫ ∫ ++==2

1

2

1

),,(),,()(t

t

t

tdttqqLdttqqLS ηεεηε (3.3.7)

Figura 3.3.4 – Traiectoria reala si traiectorii virtuale in spatiul configuratiilor.

Conditia ca actiunea sa aiba un extrem pe traiectoria virtuala, conduce la ecuatia de miscare:

0

0

0

00

000

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

=∫

∂∂

−∂∂

=

=∫

∂∂

−∂∂

+

∂∂

=∫

∂∂

−

∂∂

+∂∂

=

=∫

∂∂

+∂∂

=∫

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

==

=

==

===

dtqL

dtd

qL

dtqL

dtd

qL

qLdt

qL

dtd

qL

dtd

qL

dtqL

qLdtq

qLq

qL

ddS

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

ε

εε

εεε

η

ηηηηη

ηηηεε

(3.3.8)

Deoarece η(t) este o functie arbitrara, in acord cu teorema fundamentala a calculului variational, anularea integralei implica anularea parantezei din integrala, adica:

0=

∂∂

−∂∂

qL

dtd

qL

(3.3.9)

Aceasta este ecuatia lui Lagrange. Integrarea ei permite aflarea functiei q(t) si deci putem sti pozitia sistemului in viitor. Primul termen este forta generalizata iar al doilea reprezinta derivata la timp a impulsului generalizat. Constantele de integrare se determina daca stim pozitia si viteza sistemului la un moment dat. Daca sistemul are mai multe grade de libertate,

Dinamica


s > 1, pozitia va fi specificata de mai multe coordonate generalizate, qi(t), i = 1, 2, .., s. Vom avea s ecuatii Euler-Lagrange:

0=

∂∂

−∂∂

ii qL

dtd

qL

(3.3.10)

Vom aplica metoda lui Lagrange in rezolvarea problemei lui Kepler: sa se determine miscarea unei particule in camp de forte exterioare in care energia potentiala U depinde doar de distanta r la un punct fix numit centrul campului. Spunem ca avem un camp de forte centrale si U = U(r), iar forta este data de :

rr

drdU

rU

rLF

−=∂∂

−=∂∂

= (3.3.11)

In problema lui Kepler este vorba despre atractia gravitationala universala:

rrMmKU α

−=−= , (3.3.12)

iar forta de atractie are expresia:

rr

rMmKF

2−= (3.3.13)

Momentul acestei forte in raport cu centrul campului este nul (forta este antiparalela cu raza vectoare). Consecinta este ca momentul cinetic al punctului material se conserva si deci traiectoria este plana. Ne alegem axele in planul miscarii (care contine raza vectoare plecata din centrul campului si viteza particulei). Miscarea fiind plana, sistemul are doua grade de libertate si este potrivit sa alegem coordonatele generalizate r si θ, coordonatele polare (Figura 3.3.5):

Figura 3.3.5 – Planul miscarii si coordonatele polare r si θ. Functia Lagrange va avea expresia:

Dinamica


rmvUmvL α

+=−=22

22 (3.3.14)

Vom exprima viteza carteziana cu ajutorul vitezelor generalizate: r si θ .

( ) ( )

[ ] [ ] 22222

2222222

cossinsincos

sincos

θθθθθθθ

θθ

rrrrrr

rdtdr

dtd

dxdy

dtdxvvv yx

+=++−=

=

+

=

+

=+=

(3.3.15)

Functia Lagrange devine:

( )r

rrmL αθ ++= 2222

(3.3.16)

iar ecuatiile Euler-Lagrange:

0

,0

=

∂∂

−∂∂

=

∂∂

−∂∂

θθ

LdtdL

rL

dtd

rL

(3.3.17)

devin:

( ) 02

22

=

−=−

θ

αθ

mrdtd

mrrr

(3.3.18)

Integrand a doua ecuatie obtinem:

constant== Mmr θ2 , (3.3.19) adica expresia momentului cinetic M = Mz =mrv sin α, unde α este unghiul dintre raza vectoare si viteza, exprimata in coordonate polare. Daca eliminam timpul in cele doua ecuatii 3.3.18 obtinem ecuatia traiectoriei, r = r(θ):

( ))cos111 θepr

+= (3.3.20)

Geometria analitica ne invata ca eceasta este ecuatia unei sectiuni conice (Figura 3.3.6): - hiperbola, daca e > 1, - parabola, daca e =1, - elipsa, daca 0 < e < 1, - cercul, daca e = 0. Constantele e si p se numesc excentricitatea orbitei, respectiv parametrul ei:

Dinamica


2

221αm

EMe += iar αm

Mp2

= (3.3.21)

In aceste expresii, E este energia punctului material, iar M – momentul cinetic.

Figura 3.3.6 – Traiectorii posibile in camp gravitational (sectiuni conice).

Kepler a descoperit, prin observatii astronomice, legile care ii poarta numele si care au fost deduse apoi de catre Newton pe baza analizei prezentate mai sus: - Planetele se misca pe traiectorii eliptice, avand Soarele intr-unul din focare; - Raza vectoare matura arii egale in intervale de timp egale; - Patratul perioadei de revolutie in jurul Soarelui este proportional cu semiaxa mare a elipsei la cub.

3.4 Formalismul lui Hamilton Starea mecanica a unui sistem este definita prin pozitie (coordonatele generalizate) si prin viteza (vitezele generalizate). Cunoasterea starii mecanice la un moment dat este necesara pentru a afla constantele de integrare din solutiile ecuatiilor Euler-Lagrange, scopul fiind aflarea starii mecanice la un moment ulterior. Uneori este mai comod sa descriem starea mecanica cu ajutorul coordonatelor generalizate si al impulsurilor generalizate. In formalismul Hamiltonian se face o schimbare de variabila de la viteze la impulsuri. Consecinta

Dinamica


este ca functia Lagrange, ),,( tqqL , va fi inlocuita de functia Hamilton

),,( tpqH , iar ecuatiile Euler-Lagrange vor fi inlocuite de ecuatiile lui Hamilton, numite ecuatiile canonice. In matematica aceasta schimbare a variabilelor independente se numeste transformare Legendre. Vom scrie diferentiala functiei Lagrange dupa coordinate si viteze:

][1

ii

is

i iqd

qLdq

qLdL

∂∂

+∑∂∂

==

(3.4.1)

Derivatele functiei Lagrange in raport cu vitezele se numesc impulsuri generalizate:

ii

pqL=

∂∂

(3.4.2)

Ecuatiile Euler-Lagrange se pot rescrie:

iiiii

ppdtd

qL

qL

dtd

qL

==∂∂

⇒

∂∂

=∂∂

(3.4.3)

Cu notatiile 3.4.2 si 3.4.3 diferentiala functiei Lagrange devine:

[ ]∑ +==

s

iiiii qdpdqpdL

1 (3.4.4)

Al doilea termen poate fi exprimat (folosind formula de derivare a unui produs): ( ) dpiqqpdqdp iiiii −= (3.4.5)

Inlocuim in 3.4.4 :

( )[ ]∑ −+==

s

iiiiiii dpqqpddqpdL

1 (3.4.6)

Al doilea termen din membrul drept se trece in membrul stang si toata ecuatia se inmulteste cu -1:

[ ]∑ +−=

−∑

==

s

iiiii

s

iii dpqdqpLqpd

11 (3.4.7)

Cantitatea de sub semnul diferentiala din menbrul stang se numeste functia lui Hamilton si reprezinta energia sistemului:

( ) ∑ −==

s

iii LqptpqH

1,, (3.4.8)

Diferentiala ei se poate exprima sub forma:

[ ]∑ +−=∑

∂∂

+∂∂

===

s

iiiii

s

ii

ii

idpqdqpdp

pHdq

qHdH

11 (3.4.9)

Egaland coeficientii lui dqi si dpi obtinem ecuatiile canonice:

ii p

Hq∂∂

= si i

i qHp∂∂

−= , i = 1, 2,….,s (3.4.10)

Dinamica


Ele formeaza un sistem de 2s ecuatii diferentiale de ordinal intai. Prin integrarea lor deducem functiile q = q(t) si p = p(t). Constantele de integrare se afla daca se dau conditiile initiale: q si p la un moment dat. Vom exemplifica aplicand acest formalism in problema oscilatorului liniar armonic (Figura 3.4.1):

Figura 3.4.1 – Oscilatorul liniar armonic Stabilim ca sistemul mecanic, corpul de masa m din figura, are un singur grad de libertate: se misca pe axa Ox. Pozitia lui va fi descrisa de coordonata x, iar impulsul va fi p = mv = m dx/dt. Functia lui Hamilton, energia are expresia: H = T + U = p2 /2m + kx2 /2. Am exprimat energia cinetica T = mv2 /2 = p2 /2m cu ajutorul impulsului p, asa cum cere formalismul Hamilton. De asemenea energia potentiala a unui arc deformat este kx2 /2. Ecuatiile canonice devin:

kxxHp

mp

pHx

−=∂∂

−=

=∂∂

=

(3.4.11)

Pentru a rezolva sistemul de ecuatii mai derivam la timp o data prima ecuatie si inlocuim in a doua:

000 2 =+⇒=+⇒=+ xxxmkxkxxm ω , (3.4.12)

unde am notat cu ω2 raportul k / m. Ultima expresie se numeste ecuatia oscilatorului liniar armonic. Functiile care, dupa ce au fost derivate de doua ori si aduna cu ele insele, ne dau rezultatul zero, sunt functiile armonice, sinus si cosinus. Intr-adevar, solutiile acestei ecuatii sunt sin ωt si cos ωt, si deci si o combinatie liniara a lor:

tbtax ωω cossin += (3.4.13)

Dinamica


unde a si b sunt doua constante de integrare.Daca notam 22 baA += si

ϕcos22=

+ ba

a, iar ϕsin

22=

+ ba

b, expresia 3.4.13 capata o forma

mai simpla: ( )ϕω += tAx sin (3.4.14) In care A este amplitudinea oscilatiilor, ω este frecventa unghiulara, φ este faza initiala, iar ωt+φ este faza oscilatiilor. Derivata la timp a solutiei 3.4.14 ne ofera legea vitezei: ( )ϕωω +== tAxv cos (3.4.15) Pentru a determina constantele de integrare trebuie sa cunoastem pozitia si impulsul sau viteza la momentul zero. Sa ne imaginam ca miscarea a inceput astfel: am tras corpul legat de resort spre dreapta pana in pozitia x0 > 0 si l-am eliberat din repaus, deci v0 = 0. Ecuatiile 3.4.14 si 3.4.15 devin:

ϕωϕ

cos0sin0

AAx

==

(3.4.16)

Din a doua ecuatie deduce cos φ = 0, deci φ = ±π/2. Deoarece in prima ecuatie x0 este pozitiv, alegem semnul plus, iar prima ecuatie 3.4.16 ne da valoarea amplitudinii: A = x0. Acum putem prezenta rezultatul final:

+=

+=

2cos

2sin

0

0

π

π

tmk

mkxv

tmkxx

(3.4.17)

cu ajutorul caruia putem determina starea mecanica in viitor.

Dinamica


De reţinut! Legile mecanicii au cea mai simpla forma in sistemele de referinta inertiale. Scopul mecanicii este acela de a determina pozitia si viteza unui sistem mecanic la diferite momente de timp. Pentru aceasta:

- Newton scrie o ecuatie care leaga acceleratia sistemului de forta rezultanta care actioneaza asupra lui. Forta depinde de pozitie, de viteza si eventual, de timp. Integrand aceasta ecuatie se afla legea vitezei si legea de miscare. Constantele de integrare se determina cunoscand starea mecanica la un moment dat.

- Lagrange contine un set de ecuatii derivate din principiul minimei actiuni. Pentru a le rezolva se construieste mai intai functia Lagrange ca diferenta dintre energia cinetica si energia potentiala. Apoi se integreaza sistemul afland legea de miscare si legea vitezei.

- Hamilton construieste functia care-i poarta numele ca suma dintre energia cinetica si potentiala, exprimate cu ajutorul coordonatelor si impulsurilor. Apoi introduce aceasta functie in ecuatiile canonice, le integreaza si afla legile de miscare si legile vitezei.

Test de autoevaluare 2.1

1. De tavanul unui automobil in miscare accelerata cu a = 4.0 m/s2 este suspendat cu ajutorul unui fir, inextensibil si usor, o bila cu masa de 0,2 kg. Determinati unghiul cu care deviaza firul fata de verticala si tensiunea din fir.

2. Se dă sistemul de corpuri din figura, compus dintr-o prismă care are unghiul α, înălţimea h şi gre utatea G, care se mişcă pe un plan orizontal şi un corp de greutate P, care se mişcă pe prismă. Neglijând frecările se cere să se afle legea de mişcare a sistemului ( acceleraţiile ).

Dinamica


3. Funcţia lui Hamilton pentru o particulǎ este H = ap2+bx2+cx ,

unde x este coordonata, p impulsul, iar a, b, c sunt constante pozitive. Sǎ se afle legea de mişcare a particulei şi traiectoria punctului figurativ în spaţiul fazelor.

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 2

1. In cazul oscilatorului armonic liniar sa se demonstreze ca formalismele Lagrange si Hamilton conduc la aceleasi ecuatii de miscare.

2. Un punct material se misca in plan dupa ecuatiile x = A cos (πt/2) si y = B sin (πt/2). Care este traiectoria punctului material? Care sunt componentele vectorului viteza, modulul sau, componentele vectorului acceleratie si modulul sau?

Dinamica


Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

1.Solutie: In figura am reprezentat sistemul analizat (bila) si fortele care actioneaza asupra ei: greutatea mg si tensiunea T din fir.

Sistemul de referinta din care privim se afla pe marginea drumului, in repaus, acceleratia camionului fata de acesta fiind a. Alegand axa Ox orizontala, spre dreapta si axa Oy verticala in sus, proiectiiile relatiei vectoriale: ma = T + mg pe cele doua axe sunt: Ox: ma = T sin α, Oy: 0 = T cos α – mg. Rezolvand sistemul de ecuatii aflam : a = g tg α, si T = m √a 2+g2. Calculul numeric ne ofera valorile: α = 220 si T = 2.2 N. Am aproximat g = 10 m/s2. 2.Solutie: Problema are două grade de libertate. Se aleg drept coordonate generalizate parametrii liniari 1q şi 2q ( fig. ). Energia cinetică a sistemului este

. 21

21 22

1 pvgPq

gGE +=

Pentru determinarea vitezei pv se pot folosi două metode:

a) 222ppp yxv +=

; sin

; cos

2

21

α

α

qhy

qqx

p

p

−=

−=

de unde:

; sin

; cos

2

21

α

α

qy

qqx

p

p

−=

−=

deci: .cos2 2221

21

2 qqqqvp +−= α

Energia cinetică este:

Dinamica


).cos2(21

21

2122

21

21 αqqqq

gPq

gGEc −++=

Energia potential gravitational este:

∑ −−−== ),sin(3

2 αqhPhGgymU kk si functia Lagrange devine:

)sin(3

)cos2(21

21

22122

21

21 αα qhPhGqqqq

gPq

gGUEL c −++−++=−=

Ecuatiile lui Euler-Lagrange sunt:

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

2211 qL

dtd

qL

qL

dtd

qL

si

Calculand derivatele gasim:

=−

=−

+

αα

α

sin)cos(

0 cos

12

21

PqqgP

qgPq

gP

gG

Rezolvand sistemul, obtinem:

. sin

sin)(

, )sin(2

2sin

222

211

gPGGPqa

gPG

Pqa

ααα

α

+

+==

+==

3.Solutie: Ecuatiile canonice sunt:

cbxxHpap

pHx −−=

∂∂

−==∂∂

= 22 ; . Derivam prima ecuatie la timp

si tinem cont de a doua: acabxx 24 −=+ . Solutia ecuatiei omogene este:

)2sin( ϕ+= tabAx iar pentru ecuatia neomogena cautam o solutie

de forma: αϕ ++= )2sin( tabAx si inlocuind in ecuatie gasim α=-

c/2b. Deci Solutia generala va fi: bctabAx

2)2sin( −+= ϕ . Impulsul

va fi: )2cos(2

ϕ+== tababA

axp

. Daca eliminam timpul in ultimele

doua expresii gasim ecuatia unei elipse:

Dinamica


12

22

=

+

+

aba

pA

bcx

, care reprezinta traiectoria in spatial ale

carui axe sunt coordonatele si impulsurile, numit spatial fazelor.

Recapitulare Problema mecanicii clasice consta in determinarea pozitiei si a vitezei (impulsului) unui sistem mecanic plecand de la cunoasterea starii lui mecanice la un moment dat si de la cunoasterea interactiunilor sale cu exteriorul. Aceasta problema este rezolvata in formalismele Newton, Lagrange, Hamilton. In formalismul lui Newton se stabilesc interactiunile dintre sistem si mediul extern, se scrie legea a doua R = ma, unde R este rezultanta fortelor externe, si dupa aflarea acceleratiei, prin integrare se afla legea vitezei si legea de miscare. In rezolvarea problemei in formalismele Lagrange si Hamilton se parcurg urmatoarele etape: În primul rând, se scriu energiile cinetică şi potenţială ale sistemului în funcţie de coordonatele carteziene ale punctelor materiale:

( ) ( )tzyxUUzyxmT iiiN

i

iiii ,,,21

222=∑

++=

= si

(a)

În al doilea rând, se scriu ecuaţiile de legătură: fn (xi, yi, zi) = 0, unde n = 1, 2, 3, ...m. Numarul gradelor de libertate este s = 3N – m. În al treilea rând

xi = xi (qi) , yi = yi (qi), zi = zi (qi) (b)

, se aleg cele s coordonate generalizate şi se exprimă coordonatele carteziene în funcţie de acestea:

şi se calculează vitezele: ( ) ( ) ( )iiiiiiiiiiii qqzzqqyyqqxx ,,,,, === (c)

În al patrulea rând, se substituie (b) şi (c) în (a) pentru a se obţine expresiile în formalism Lagrange ale energiei cinetice şi potenţiale:

),(),( qqUUqqTT == si si se scrie expresia functiei Lagrange in termeni de coordonate si viteze generalizate: UTtqqLL −== ),,( . Dacă problema se rezolvă în formalismul Lagrange, se scriu ecuaţiile Lagrange: 0=

∂∂

−∂∂

ii qL

dtd

qL

, care prin integrare conduc la aflarea

coordonatelor q si a derivatelor lor la timp, q , ca functii de timp. Dacă se urmăreşte rezolvarea problemei în formalismul Hamilton, după scrierea funcţiei Lagrange urmează un al cincilea pas care constă în găsirea expresiilor impulsurilor generalizate:

Dinamica


ii q

Lp∂∂

= şi apoi se exprimă vitezele generalizate în funcţie de

acestea: ( )iiii pqqq , = , care se substituie in energia cinetica si se poate scrie functia lui Hamilton: H (q, p) = T (q, p) – U (q, t). Urmeaza ecuatiile lui Hamilton:

ii p

Hq∂∂

= si i

i qHp∂∂

−= , care ,prin integrare, conduc la aflarea

coordonatelor q si a impulsurilor p ca functii de timp.

Concluzii Daca cinematica studiaza miscarea fara a considera cauzele ei, dinamica ne invata cum sa determinam marimile cinematice pornind de la interactiunile sistemului cu mediul exterior. Cunoasterea acestor functii ne permite sa anticipam miscarea sistemului mecanic studiat: de exemplu, ne putem planifica marsul spre o anumita destinatie, etc.

Bibliografie - Serway/Jewett, Physics for scientists and engineers, Seventh

Edition, Ed.Brooks/Cole; - Landau si Lifsits, Mecanica, Ed. Tehnica, 1966; - Arnold, Metodele matematice ale mecanicii clasice, Ed. Stiintifica

si Enciclopedica; -

Unitatea de învăţare nr. 3 - ifrem.files. · PDF fileDinamica 41 Fizica – Curs...

Documents

Transcript of Unitatea de învăţare nr. 3 - ifrem.files. · PDF fileDinamica 41 Fizica – Curs...