Notiuni introductive

11

Unitatea de învăţare nr. 1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE Cuprins Pagina

Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 12

1.1 Fizica si masurarea 12

1.2 Unitaţi de masură 12

1.3 Transformarea unitatilor de masura, cifre semnificative 14

1.4 Analiza dimensionala 15

1.5 Modelele in fizica 16

Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 1 17

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 18

Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 1 19

Notiuni introductive

Fizică – Curs şi aplicaţii

12

OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 1

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 1 sunt: • Familiarizarea cu unitatile de masura intalnite in fizica; • Familiarizarea cu analiza dimensionala si cu modurile in

care ne poate folosi la rezolvarea problemelor; • Sublinierea aspectelor practice de transformare a

unitatilor de masura si de utilizare a cifrelor semnificative;

• Aplicarea cu succes a unor elemente simple de calcul in care sa foloseasca similitudinea si analiza dimensionala.

1.1 Fizica si masurarea Fizica se bazeaza pe observatii experimentale si masurari cantitative. Istoria fizicii descrie explicarea unui numar din ce in ce mai mare de fenomene cu ajutorul unui numar din ce in ce mai mic de legi fundamentale. Fizica clasica contine mecanica clasica, termodinamica, electromagnetismul si optica. In 1901 fizicienii credeau ca stiu totul despre Natura. Max Planck si apoi Albert Einstein au initiat o transformare fundamentala a fizicii, punand bazele mecanicii cuantice si ale teoriei relativitatii. Fizica moderna continua sa se dezvolte, descoperirile ei transformand profund societatea noastra si indicand faptul ca acest proces nu are sfarsit.

1.2 Unităţi de măsura Pentru a descrie natura trebuie sa masuram diferite aspecte ale ei. Proprietatile fizice care se pot masura se numesc marimi fizice. De exemplu, lungimea este o marime fizica. Ea se exprima prin valoare numerica si unitate de masura: L = 3 m. Aceasta inseamna ca am ales o lungime standard ca unitate de masura pe care am numit-o metru (m) si am comparat lungimea pe care vrem sa o masuram cu aceasta lungime standard, numita 1 m, obtinand valoarea numerica: 3. Adica, lungimea standard se cuprinde in lungimea corpului masurat de 3 ori. În Figura 1.1 este prezentată operatia de masurare a lungimii unei bare drepte, AB. In Sistemul International (SI) exista sapte unitati fundamentale: de lungime (metrul, m), de masa (kilogram, kg), de timp (secunda, s), de temperatura (Kelvin, K), pentru cantitatea de substanta ( numarul de moli, mol), de intensitate a curentului electric (Amperul, A) si de intensitate luminoasa (candela, cd). Toate celelalte marimi fizice se exprima cu ajutorul acestor sapte marimi fundamentale.

Notiuni introductive

13

Figura 1.1 – Masurarea lungimii unei bare drepte AB

In 1983 metrul a fost definit ca distanta parcursa de lumina in vid in timpul de 1/299 792 458 secunde. Kilogramul a fost definit ca masa unui anume cilindru facut dintr-un aliaj de platina si iridiu, care se afla la Biroul International de Mase si Masuratori din Sevres, Franta. In 1967 secunda a fost definita ca intervalul de timp egal cu de 9 192 631 770 ori perioada de vibratie a radiatiei emise de atomul Cs133. In Tabelul 1.1 prezentam multiplii si submultiplii unitatilor de masura:

Prefix Prescurtare Puterea lui 10 yotta Y 1024

zetta Z 1021

exa E 1018

peta P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

deci d 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3

micro μ 10-6

nano n 10-9

pico p 10-12

femto f 10-15

atto a 10-18

zepto z 10-21

yocto y 10-24

Tabelul 1.1 – Multiplii si submultiplii unitatilor de masura

Notiuni introductive

Fizică – Curs şi aplicaţii

14

Restul marimilor fizice se numesc marimi derivate si ele se pot exprima prin combinatii matematice ale marimilor fundamentale. Un exemplu in acest sens este viteza, definita ca spatiul parcurs in unitatea de timp:

v = L / t. Unitatea de masura va fi m / s sau m * s-1.

1.3 Transformarea unitatilor de masura, cifre semnificative

Uneori trebuie sa transformam unitatile dintr-un sistem de unitati de masura in altul, sau sa transformam in interiorul aceluiasi sistem de masura ( de exemplu din m / s in km / h). Astfel, mila marina (MM sau NM) este echivalenta cu:

1 NM = 1852.3 m. Distanta dintre doua porturi este de 300 NM. Cati km sunt intre cele doua porturi?

300 NM = 300*1852.3 m = 555 690 m = 555 690 * 10-3 km = 555.690 km,

unde am folosit relatia: 1 km = 1000 m => 1 m = 1 km / 1000 = 10-3 km. Observati ca in timpul calculului unitatile de masura au fost precizate mereu, aceasta ajutandu-ne in anumite situatii sa detectam greselile. Mila marina apare si in exprimarea vitezei cu care se deplaseaza navele: astfel nodul (knot, kn sau kt) corespunde unei viteze de o mila maritima pe ora. Determinati in km/h si apoi in m/s viteza unei nave care se deplaseaza cu 12 kn. Incepem prin a exprima nodul in km/h:

1 kn = 1 NM / h = 1852.3 m / h = 1852.3 * 10-3 km / h = 1.8523 km / h, Apoi, calculam viteza: 12 kn = 12 * 1.8523 km / h = 22.2276 km / h = 22.2276 * 1000 m / 3600 s = 6.174(3) m / s. Cand masuram anumite marimi fizice, valorile masurate sunt afectate de erorile de masura. Acestea nu pot fi eliminate complet, nici practic, nici principial. Valoarea erorii de masura depinde de abilitatea celui care masoara, de instrumentul folosit, de numarul de masuratori, etc. Numarul de cifre semnificative cu care exprimam rezultatul ne da o indicatie despre eroarea cu care masuram. Daca masuram lungimea unui obiect cu o rigla gradata in mm, precizia cu care masuram lungimea obiectului este ± 0.1 cm. Daca am masurat 5 cm, lungimea este cuprinsa in intervalul 4.9 cm si 5.1 cm. Vom scrie lungimea masurata 5.0 cm si spunem ca are doua cifre semnificative. Exprimam lungimea ca (5.0 ± 0.1) cm. Uneori zerourile sunt cifre semnificative, iar alteori, nu. Numarul 0.08 are o cifra semnificativa (8), iar numarul 0.0024 are doua cifre semnificative (2 si 4). Deci cand zerourile sunt in fata si dupa virgule ele nu sunt cifre semnificative. Daca lungimea unui obiect este 4200 mm zerourile pot fi, sau pot sa nu fie cifre semnificative. De aceea se prefera notatia stiintifica pentru ridicarea ambiguitatii: daca scriem lungimea ca 4.2 x 103 mm avem doua cifre semnificative, daca scriem 4.20 x 103 mm avem trei cifre semnificative, iar daca scriem 2.300 x 103 mm avem patru cifre semnificative.

Notiuni introductive

15

Cand facem calcule vom combina prin operatii matematice diferite numere avand diferite numere de cifre semnificative. Regula folosita pentru a sti cu cate cifre semnificative sa exprimam rezultatul este: la inmultire si la impartire rezultatul va avea un numar de cifre semnificative egal cu cel al numarului cu cele mai putine cifre semnificative implicat in calcul. De exemplu, sa calculam volumul unui cub cu latura egala cu 5.0 cm:

V = (5.0 cm)3 = 1.3 x 102 cm3 Calculatorul ne arata valoarea 125, care are trei cifre semnificative, in timp ce latura cubului are doar doua. De aceea am scris rezultatul cu doua cifre semnificative. Cand adunam sau facem scaderi, numarul de zecimale din rezultat trebuie sa fie egal cu numarul minim de zecimale al oricarui termen al acestei operatii:

43.4 + 2.213 = 45.6, deoarece 43.4 are doar o zecimala. De data aceasta tinem cont de numarul de zecimale si nu de numarul de cifre semnificative ca la inmultire sau impartire. Cand rotunjim numerele, pentru a reduce numarul de cifre semnificative, avem urmatoarele reguli:

5,433 = 5.43,

7,427 = 7.43,

9.235 = 9.24,

iar

1.925 = 1.92 (daca ultima cifra pe care o pastram e impara si e urmata de 5, o marim cu o unitate, iar daca e para, o lasam asa).

1.4 Analiza dimensionala

Dimensiunea indica natura fizica a unei marimi. Astfel masa unui corp poate fi exprimata in kilograme sau in livre (pound, lb), moduri diferite de exprimare a dimensiunii de masa. Folosim paranteze drepte pentru specificarea dimensiunii unei marimi fizice:

[ρ] = [m] / [V] = M / L3 = M * L-3

unde cu L notam dimensiunea de lungime, cu M, dimensiunea de masa, cu T vom nota dimensiunea de timp, cu θ dimensiunea de temperatura, cu I dimensiunea intensitatii curentului electric, etc. Dimensiunea fortei se deduce astfel:

[F] = [m] * [a] = M * L / T2 = M * L * T-2.

Notiuni introductive

Fizică – Curs şi aplicaţii

16

Analiza dimensionala poate indica corectitudinea unei ecuatii. Ea trateaza dimensiunile ca marimi algebrice: putem aduna sau scadea doar marimi cu aceeasi dimensiune. Intr-o ecuatie ambii membri trebuie sa aiba aceeasi dimensiune:

v = v0 + g*t

reprezinta legea vitezei cu care cade un corp in camp gravitational uniform. Ecuatia dimensionala a acestei legi se prezinta astfel:

L / T = L / T + L * T / T2 = L / T. In expresia F = k * x trebuie sa aflam dimensiunea coeficientului k. Scriem [F] = [k] * [x] si extragem [k] = [F] / [x] = M * L * T-2 / L = M * T-2. Aceasta este dimensiunea constantei elastice a unui resort, k, din expresia fortei elastice. Analiza dimensionala ne permite aflarea relatiei dintre diferitele marimi fizice care descriu un fenomen ce urmeaza a fi inteles. De exemplu, dorim sa aflam relatia dintre perioada de oscilatie a unui pendul gravitational si lungimea lui, l, si acceleratia gravitationala, g. Vom construi o relatie de forma: T = f (g, l) = K * g δ * l ε , unde K este un coeficient numeric adimensional.

[T] = T1 = [g]δ * [l]ε =(L * T-2)δ * Lε = L δ+ε * T-2 δ Comparand puterile obtinem: δ + ε = 0 si - 2 δ = 1. Deducem ca δ = -1/2 = - ε. Deci perioada de oscilatie depinde de g si de l prin combinatia:

T ~ g-1/2 * l1/2 =K √(l / g). Relatia gasita este corecta, cu exceptia coeficientului numeric pe care trebuie sa-l determinam prin alte metode: de exemplu am putea reprezenta grafic T in functie de (l/g)1/2 si din panta dreptei sa aflam K. El este 2π.

1.5 Modelele in fizica

Datorita complexitatii lor, sistemele reale sunt dificil de analizat. De aceea, se prefera versiuni simplificate ale acestora, bazate pe anumite ipoteze simplificatoare care ne lasa sa putem urmari in detaliu aspectele urmarite si sa le neglijam pe cele care nu sunt de interes. Astfel un vapor se poate modela ca punct material cand studiem drumul lui de la Constanta la Singapore si ca un solid rigid cand analizam manevrele efectuate la iesirea din port. Putem defini modelul ca un sistem material sau abstract, pus in corespondenta cu un sistem real cu care prezinta o analogie, reflectand doar acele aspecte importante pentru fenomenul pe care il studiem. In fizica se construiesc modele prin similitudine, prin analogie sau prin idealizare. Vom deduce, ca exemplu, informatii importante despre un sistem fizic din considerente de asemanare si dimensiune: cum depinde inaltimea h la care sare un animal de dimensiunea sa, L? Solutie: Pentru a ajunge la inaltimea h un animal are nevoie de energia mgh ~ L3h, unde am considerat ca densitatea si acceleratia gravitationala sunt aceleasi pentru toate animalele.

Notiuni introductive

17

Aceasta energie este obtinuta prin lucrul mecanic al fortei muschilor, proportional cu FL, adica produsul dintre forta si deplasare. Forta este proportionala cu L2 din legea lui Hooke (F / S = E δl / l): rezistenta oaselor e proportionala cu aria sectiunii lor. Deci, egaland obtinem: L3h ~ L2 L. De aici deducem ca inaltimea sariturii nu depinde de dimensiunea animalului: soarecele saritor si cangurul sar aproximativ la aceeasi inaltime!

De reţinut! Cand rezolvati probleme calculati rezultatul in forma algebrica si abia la sfarsit introduceti valorile numerice in formula. Uneori marimile se simplifica si calculul se restrange si in plus vom rotunji rezultatul doar o data in formula finala.

Test de autoevaluare 1.1

1. Cunoscand dimensiunile unui tanc de forma paralelipipedica: L = 11.23 m, l = 4.46 m si h = 1.15 m sa se calculeze volumul sau.

2. Cum depinde intervalul de timp pe care un animal poate sa alerge in desert de dimensiunea L a animalului?

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 1

1. Să se calculeze suma urmatoarelor mase de faina: 12.4 g + 19 g + 14.22 g + 3.00 g.

2. Exprima urmatoarele marimi cu ajutorul prefixelor din tabelul 1.1: 2 x 1012 m, 5 x 108 m, 3 x 10-15 m, 6 x 1011m, 8 x 10-5 m.

3. O picatura de mercur are masa de 10.14 g si densitatea de 13.6 g/cm3. Calculati volumul picaturii de mercur.

4. Daca stiti densitatea cuprului si densitatea plumbului (din tabele) calculati raza unei sfere de cupru care echilibreaza o balanta cu brate egale, avand pe celalalt taler o bila de plumb cu raza de 1 cm.

5. Daca nucleul unui atom de hidrogen are dimensiunea de 10-15 m iar atomul are diametrul de 10-10 m, marind nucleul la dimensiunea unui mar sa se compare dimensiunea dimensiunea atomului cu ceva cunoscut, presupunand ca atomul se mareste proportional.

Notiuni introductive

Fizică – Curs şi aplicaţii

18

6. Pe mare plutesc doua nave. Prima este in directia nord fata de d-voastra la distanta de 250 m. A doua nava este la 450 m fata de d-voastra, in dreapta navei numarul unu. Unghiul dintre directiile sub care vedeti cele doua nave este de 300. Ce distanta este intre cele doua nave? Ce unghi formeaza distantele sub care nava a doua va vede pe d-voastra si pe prima nava?

7. Cum depinde viteza cu care alearga un animal intr-o zona muntoasa de dimensiunea L a animalului?

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 1. Solutie: Multiplicand cele trei dimensiuni obtinem rezultatul: 57.59867 m3. Deoarece este rezultatul unui produs, el trebuie sa aiba un numar de cifre semnificative egal cu cel al factorului din produs cu cele mai putine cifre semnificative: 3 (l si h). De aceea rezultatul final se prezinta: V = 57.6 m3. 2. Solutie: Intervalul de timp in care animalul poate alerga este proportional cu rezerva lui de apa, deci cu volumul sau (L3) si invers proportional cu pierderea de apa prin transpiratie, proportionala cu suprafata sa, deci cu L2. In concluzie, timpul ~ L.

Recapitulare O marime fizica este alcatuita din valoare numerica si unitate de masura. In timpul operatiilor matematice unitatea de masura trebuie mentionata permanent. In SI sunt sapte unitati fundamentale si restul sunt derivate. Cifrele semnificative indica precizia cu care cunoastem un rezultat. Cand inmultim/impartim mai multe marimi fizice, rezultatul are un numar de cifre semnificative egal cu numarul minim de cifre semnificative al marimilor implicate in operatie. Cand adunam/scadem marimi fizice, rezultatul are un numar de zecimale egal cu numarul minim de zecimale intalnit la numerele cu care operam. Analiza dimensionala permite sa verificam corectitudinea unui rezultat, sa deducem unitatea de masura a unei marimi fizice sau sa aflam functia care leaga intre ele diferite marimi fizice, pana la o constanta. Nu putem aduna/scadea decat marimi de aceeasi dimensiune fizica.

Notiuni introductive

19

Concluzii Cele trei marimi fizice fundamentale ale mecanicii sunt Masa (kg) Lungimea (m) si Timpul (s). Celelalte marimi, numite marimi derivate, se exprima cu ajutorul acestora: v = L / T. Analiza dimensionala este importanta in rezolvarea problemelor de fizica. Dimensiunile pot fi tratate ca marimi algebrice. Cu ajutorul ei putem afla raspunsul la o problema, chiar daca nu avem o informatie completa asupra ei. Cifrele semnificative exprima precizia cu care cunoastem o anumita marime fizica.

Bibliografie - Serway/Jewett, Physics for scientists and engineers, Seventh

Edition, Ed.Brooks/Cole; - Rusescu/Tudose, Modele si modelare in fizica, Ed. Stiintifica si

Enciclopedica; - Arnold, Metodele matematice ale mecanicii clasice, Ed. Stiintifica

si Enciclopedica; - Smith, Idei matematice in biologie, Cambridge, 1968.