7/25/2019 UBB 1983

1/3

ADMITERE, UNIVERSITATEA Babes,-Bolyai, CLUJ-NAPOCA

FACULTATEA DE MATEMATICA S,

I INFORMATICA

1983

ALGEBRA

1. Sa se determine valorile parametrului real m pentru care ecuat, ia

x2 |x|= mx(x+ 1)

are trei radacini reale.

2. Sa se gaseasca solut, iile reale ale sistemului

x+y+z= 6x2 +y2 +z2 = 14

x3 +y3 +z3 = 36.

3. In inelul Z4[X] sa se gaseasca un polinom k(X) astfel ncat

(2X2 +2X+3)k(X) =1.

4. Sa se afle toate matriceleA

M2(Z3) care ndeplinesc condit, iaA

2 =I, undeI= 1 0

0 1.5. Fie mult, imea M={0; 1}. PeAA, unde A este mult, imea funct, iilor reale f :M R,

se definesc legile de compozit, ie:

(f, g)f+g, (f+g)(i) =f(i) +g(i), () iM,(f, g)fg, (fg)(i) =f(i)g(i), () iM.

Sa se arate ca mult, imea A devine astfel un inel comutativ n care exista divizori ai luizero.

1

7/25/2019 UBB 1983

2/3

ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA

1. Fie funct, ia f : R R data prin f(x) = ex2. Sa se arate ca derivata de ordinul n a luifare forma f(n)(x) =Pn(x)e

x2, unde Pn este o funct, ie polinomiala de gradul n.

2. Sa se studieze continuitatea s, i derivabilitatea funct, iei

f : R R, f(x) =

| ln |x 4||, daca x R\

7

2,9

2

a sin2x+b, daca x

7

2,9

2

,

unde a, b R.3. Sa se arate ca s, irul (xn)n0 definit prin x0 = a >1, xn+1 = e

xn1, n N, este monotoncrescator s, i sa se calculeze limita sa.

4. Sa se calculeze 20

(x) dx, unde : [0, 2] R este funct, ia definita prin

(x) = minx[0,2]

x,

2

1 +x2

.

5. Sa se arate ca funct, ia f : R R, cu

f(x) =

1, x

7/25/2019 UBB 1983

3/3

GEOMETRIE S, I TRIGONOMETRIE

1. Fie un triunghi oarecare ABC. Sa se arate ca bisectoarea unghiului C este inclusa ninteriorul unghiului format de nalt, imea s, i mediana corespunzatoare unghiului C.

2. Fie 1, u1, u2, u3, u4, u5 radacinile de ordinul s, ase ale unitat, ii. Sa se arate ca ele sunt

afixele varfurilor unui hexagon regulat, nscris n cercul C(O, 1).

3. Sa se arate ca exista relat, ia:

cos

5 =

1 +

5

4

4. Sa se calculeze volumul paralelipipedului avand toate fet,ele romburi (romboidul), s, tiindca lungimea laturii unuia dintre romburi este de 3 cm, iar un unghi de al sau este de 30.

5. Sa se verifice ca triunghiurileABC s, i ABC de varfuri:

A(7, 1), B(7, 4), C(3, 1), A25 ,165 , B(2, 5) s, i C(2, 0)

sunt congruente. Sa se determine izometria J, care are proprietatea J(ABC) =ABC.

3