Zamfir Mariana - SISTEME MATEMATICE DE COORDONATE

Sisteme de coordonate in plan: Translatia - Unghiul de Rotatie

Problema 6. In raport cu sistemul de coordonate carteziene Oxy, unpunct plan M are coordonatele

M5

3

a) Daca punctul M1 are coordonatele carteziene M16

5

unde M1 este imaginea punctului M obtinut printr-o translatie a

sistemului de coordonate Oxy intr-un sistem de coordonate cu origineain punctul O1, atunci care sunt coordonatele carteziene ale originii O1 a

noului sistem de coordonate O1 x' y' ?

b) Daca punctul M2 are coordonatele carteziene M24 2

2

unde M2 este imaginea punctului M obtinut printr-o rotatie de unghi θ,

in sens trigonometric direct a sistemului de coodonate Oxy in juruloriginii O, atunci care este masura unghiul θ de rotatie?

Solutie. a) Schimbarea originii indicilor ORIGIN 1

Punctul M1 obtinut in urma translatiei sistemului de coordonate Oxy in sistemul O1

x' y' (axele noului sistem O1 x' y' sunt paralele si la fel orientate cu axele vechiuluisistem Oxy) are coordonatele carteziene:

M1 M O1= scriere formala in Mathcad

deci coordonatele carteziene ale noi origini O1 sunt

O1 M M1 O11

2

O1 1 2( )

(scriere formala inMathcad)

b) Matricea rotatiei de unghi θ Ccos θ( )

sin θ( )

sin θ( )

cos θ( )

=

Punctul M2 obtinut in urma rotatiei cu unghiul θ a sistemului de coordonate Oxy insistemul O x'' y'' (axele noului sistem O x'' y' se obtin prin rotatia axelor vechiuluisistem Oxy in jurul originii O, in sens trigonometric cu unghiul θ) are coordonatelecarteziene:

M C M2=M2 CT

M= sau (scriere formala in Mathcad)

Coordonatele punctului M2 xM2 M21 yM2 M22

xM2 4 2 yM2 2

Trebuie rezolvat sistemul de ecuatii liniare scris sub forma matriceala

xM

yM

cos θ( )

sin θ( )

sin θ( )

cos θ( )

xM2

yM2

= sau 5

3

cos θ( )

sin θ( )

sin θ( )

cos θ( )

4 2

2

=

unde cos(θ) si sin(θ) sunt necunoscutele sistemului

Matricea sistemului liniar se noteaza cu A

AxM2

yM2

yM2

xM2

A4 2

2

2

4 2

Vectorul necunoscutelor sistemului se noteaza cu b

b cosθ sinθ( )cosθ

sinθ

In urma notatiilor facute, sistemul liniar de mai sus se scrie matriceal sub forma

M A b cosθ sinθ( )= (scriere formala in Mathcad)

iar solutia sa este

b cosθ sinθ( ) A1

M b cosθ sinθ( )

2

2

2

2

Se obtin necunoscute

cosθ b cosθ sinθ( )12

2 cosθ 0

Unghiul θ este in cadranul II

sinθ b cosθ sinθ( )22

2 sinθ 0

Masura unghiului de rotatie θ este

θ asin sinθ( ) cosθ 0( ) sinθ 0( )if

π asin sinθ( ) cosθ 0if

2 π asin sinθ( ) cosθ 0( ) sinθ 0( )if

θ3 π4

135 deg