Transformata Laplace

1

TRANSFORMATA LAPLACE

In aplicatii se vor utiliza urmatoarele notatii, formule si proprietati:

NOTATII

N1) f(x) = functia original

F(p) = functia imagine corespunzatoare functiei original f(x)

N2) dpepFi

xfiC

iC

pxdef

)(2

1)(

, 0sC - formula de inversare

Mellin – Fourier

dxexfpF pxdef

0

)()(

N3) pxfLpFnot

)( - transformata Laplace corespunzatoare functiei original f(x) si reprezinta o transformare integrala

xpFLxfnot

1)( - inversa transformatei Laplace (functia original) corespunzatoare functiei imagine F(p)

PROPRIETATI

P1) Proprietatea de liniaritate

pbGpaFxgbLxfaLxbgxafL )()()()(

2

unde a, b = const. f, g = functiile original F, G = functiile imagine (transformatele Laplace) corespunzatoare

P2) Proprietatea de asemanare (omotetie)

a

pF

aaxfL

1

apaFa

xfL

unde a>0, a = const.

P3) Proprietatea de intarziere (prima teorema de translatie)

pFeaxfL ap

unde a>0 , a = const. 0 axf , daca 0 ax .

P4) Proprietatea (teorema) de deplasare

apFxfeL ax

b

apF

bbxfeL ax 1

unde a = const. b>0

3

P5) Teorema de derivare a originalului

01

1

kn

k

knnn fppFpxfL , Nn

P6) Teorema de integrare a originalului

pFp

dttfLx 1

0

P7) Teorema de derivare a imaginii

xfxLpF nn si pFxfxL nnn 1

P8) Teorema de integrare a imaginii

dssFdxex

xf

x

xfL

p

px

0

P9) Produsul (teorema) de convolutie

pGpFxgLxfLxgfL

unde

pGpFLdttgtxfdttxgtfxgfxsaux

1

00

, 0x

f, g = functii original

F, G = functiile imagine (transformatele Laplace) corespunzatoare

gf = ’ f convolut cu g ’ sau ’convolutia’ functiilor f si g (produsul de convolutie)

4

OBSERVATII

O1) Pentru calcularea unor integrale de forma

dx

x

xf

0

se va folosi P8 astfel

dssFdxx

xf

00

, unde 0p si xfLpFsFps

.

O2) Pentru calcularea unor integrale de forma

dxxfxn

0

se va proceda astfel

dssFdxx

xfxdxxfx

Onn

0

1

0

1

0

,

unde xfxLpFsF nps

1

O3) Pentru calcularea functiei original se mai poate folosi si ’’metoda reziduurilor’’

n

ii

px polipepFzxf1

Re

5

O4) Pentru rezolvarea problemei Cauchy in cazul ecuatiilor diferentiale liniare de gradul n ( *Nn ) cu coeficienti constanti (omogene/neomogene) se vor utiliza

● tabele_formule (1+2)

● proprietatea P5 XxL

0xpXxL

002 xpxXpxL

00023 xxpxpXpxL

0000 2344 xxpxpxpXpxL

……

01

1

kn

k

knnn xpXpxL ,

unde txx - functia original pXX - functia imagine (transf. Laplace) corespunzatoare

● CI - conditiile initiale date in ipoteza de forma

.0 constx k , unde 1,0 nk

Etape de rezolvare (ecuatii diferentiale)

Pas 1 (ecuatia modificata) ♦ aplicam transformata Laplace ecuatiei initiale

6

(ecuatia initiala) │ L calcule

pEX

unde X - reprezinta noua variabila ca expresie ce depinde de parametrul p

♦ in calcule vom utiliza tabele_formule (1+2) , P8 si CI Pas 2 (solutia ecuatiei initiale tx )

♦ aplicam inversa transformatei Laplace pentru

[ pEX ]│ 1L calcule

solutia tx

♦ in calcule vom utiliza tabele_formule (1+2)

O5) Pentru rezolvarea problemei Cauchy in cazul sistemelor diferentiale liniare de gradul n ( *Nn ) cu coeficienti constanti (omogene/neomogene) si de dimensiune mm ( 2m , Nm , m - reprezinta numarul total de variabile si ecuatii ale sistemului) se vor utiliza


● proprietatea P5

● CI - conditiile initiale date in ipoteza

● regula lui Cramer

De exemplu, vom prezenta etapele de rezolvare pentru un sistem degradul n si dimensiune 2m

Pas 1 (sistemul modificat) ♦ aplicam transformata Laplace sistemul initial

(sistemul initial) │ L

7

♦ in calcule vom utiliza

▪ tabele_formule (1+2)

▪ P8

01

1

kn

k

knnn xpXpxL

01

1

kn

k

knnn ypYpyL

unde txx si tyy - functiile original pXX si pYY - functiile imagine (transf. Laplace) corespunzatoare

▪ CI de forma

.0 constx k si .0 consty k , unde 1,0 nk

♦ vom obtine un alt sistem de gradul I compatibil unic-determinat (sistemul modificat) de forma

222

111:cYbXa

cYbXaS ,

unde X , Y - reprezinta noile variabile 2,1a , 2,1b , 2,1c - reprezinta expresii care depind de parametrul p

♦ rezolvam sistemul modificat (S) utilizand regula lui Cramer

▪ calculam determinantii

22

11

ba

ba ,

22

11

bc

bcX ,

22

11

ca

caY

8

▪ determinam

XX calcule

pAX

YY calcule

pBY

unde pA , pB - expresii ce depind de parametrul p

Pas 2 (solutia sistemului initial tx si ty )


[ pAX ]│ 1L calcule

solutia tx

[ pBY ]│ 1L calcule

solutia ty

♦ utilizam in calcule tabele_formule (1+2)

O5) Pentru rezolvarea unor ecuatii integrale de tipul convolutiei (ecuatii Volterra de speta I si II) se vor utiliza


● proprietatea P9

Etape de rezolvare (ecuatia Volterra de speta I)

Pas 1

♦ rescriem ecuatia Volterra de speta I ( ecuatia initiala)

xgdttytxfx

0

9P

xgxyf

9

unde

xf , xg - sunt functii cunoscute (date)

xy - functia ce trebuie determinata (solutia cautata)

♦ aplicam transformata Laplace ecuatiei

[ xgxyf ] │ L pGpYpF calcule

pEpY

♦ in calcule vom utiliza tabele_formule (1+2) , P9

Pas 2 (solutia ecuatiei initiale xy )


[ pEpY ]│ 1L calcule

solutia xy


Etape de rezolvare (ecuatia Volterra de speta II)

Pas 1

♦ rescriem ecuatia Volterra de speta II ( ecuatia initiala)

dttytxfxgxyx

0

9P

xyfxgxy

unde

xf , xg - sunt functii cunoscute (date)

xy - functia ce trebuie determinata (solutia cautata)

10

♦ aplicam transformata Laplace ecuatiei

[ xyfxgxy ] │ L pGpYpF 1

calcule

pEpY

♦ in calcule vom utiliza tabele_formule (1+2) , P9

Pas 2 (solutia ecuatiei initiale xy )


[ pEpY ]│ 1L calcule

solutia xy


11

FORMULE DE CALCUL ( transformata Laplace)

Nr. crt. FUNCTIA ORIGINAL xf FUNCTIA IMAGINE pF

1. c , .constc p

c

2. x 2

1

p

3. nx , Nn1

!np

n

4. x , 0 1

1

p

5. xe1

1

p

6. xe

1

1

p

7. xcos12 p

p

8. xsin1

12 p

TABEL 1

12

9. chx12 p

p

10. shx1

12 p

( proprietatea de asemanare / proprietatea de deplasare )

Nr. crt. FUNCTIA ORIGINAL xf FUNCTIA IMAGINE pF

1. axe , Raap

1

2. axcos 22 ap

p

3. axsin22 ap

a

4. axch22 ap

p

TABEL 2

13

5. axsh22 ap

a

6. xeax , Ra 2

1

ap

7. nax xe , Ra , Nn 1

! nap

n

8. xeax , Ra , 0 1

1

ap

9. xeax cos , Ra 12

ap

ap

10. bxeax cos , Rba , , 0b 22 bap

ap

11. xeax sin , Ra 1

12 ap

12. bxeax sin , Rba , , 0b 22 bap

b

13. chxeax , Ra 12 ap

ap

14

14. bxcheax , Rba , , 0b 22 bap

ap

15. shxeax , Ra 1

12 ap

16. bxsheax , Rba , , 0b 22 bap

b

Transformata Laplace

Documents

Transcript of Transformata Laplace