1. Transferul de căldură printr-o ţeavă izolată

1.1 Consideraţii generale Să considerăm transferul de căldură pe direcţie radială pentru o regiune inelară lungă - cum ar fi pereţii unei ţevi groase sau izolaţia termică din jurul unei conducte circulare. Dacă se consideră funcţionarea în regim staţionar fără surse interioare de căldură, ecuaţia de bilanţ energetic pentru volumul de control din schiţă poate fi scrisă ca

dar, deoarece variaţia este zero pentru regimul staţionar şi nu există generare de energie internă, relaţia se simplifică la

sau, folosind notaţiile din schiţă, avem

(1) Într-un solid energia se transferă, prin transfer conductive de căldură, care este descris de legea lui Fourier; ea spune că fluxul de energie transferată este proporţional cu suprafaţa de transfer de căldură şi cu gradientul negativ al distribuţiei de temperatură. Din punct de vedere matematic, acest lucru poate fi scris ca

(2) constanta de proporţionalitate, k, este o proprietate de material cunoscută drept conductivitate termică. Dacă introducem legea lui Fourier în ecuaţia de bilanţ (2) se obţine

Rearanjând, împărţind ambii membri cu dr, şi trecând la limită prin dr → 0, avem

Dar membrul stâng este pur şi simplu definiţia derivatei continue a lui kAdT/dr, sau

(3) Această ecuaţie este potrivită pentru transferul conductiv radial 1-D staţionar fără surse de căldură. Ecuaţie (3) este o EDO de ordinul 2 care poate fi uşor rezolvată. Înmulţind cu dr şi integrând se obţine

(4)

1

Înainte de a merge mai departe, să notăm că în cazul in geometriei cilindrice, suprafaţa de transfer de căldură, A, este funcţie de poziţia r, sau (5) unde L reprezintă lungimea ţevii (aceasta este adesea considerată ca unitară astfel încât analiza este făcută “pe unitatea de lungime a ţevii”). Este de asemenea important de notat că, in general, conductivitatea termică, k, este o funcţie de temperatură; adică, k → k(T). Cu toate acestea, in multe situaţii, mai ales când variaţie de temperatură este mică, este comod simplificăm analiza şi sa presupunem proprietăţile materialului constante. Vom face aici această presupunere - k(T) = k = constant. Cu aceste relaţii, ec. (4) devine

(6) Această EDO de ord 1 este separabilă şi prin integrare se obţine

(7) unde, după cum ne aşteptam, în soluţia generală a EDO de ord 2 apar 2 coeficienţi arbitrari. Pentru a obţine o soluţie unică, trebuie să impunem problemei două condiţii particulare. După cum este indicat mai sus, în această problemă ne vom concentra atenţia asupra izolaţiei termice din jurul unei conducte circulare. In particular, să considerăm o regiune inelară de izolaţiei pe domeniul ri ≤ r ≤ ro , cu următoarele condiţii la limită (CL):

(8) unde prima condiţie specifică o temperatură interioară fixă iar a două relaţie spune că transferul de căldură prin conducţie la suprafaţa exterioară trebuie să fie egal cu transferul de căldură prin convecţie, conform legii răcirii a lui Newton. Aici h este coeficientul de transfer de căldură şi T∞ este temperatură medie a fluidului. Coeficientul de transfer de căldură este în general o funcţie de geometrie şi tipul curgerii fluidului. Dacă se aplică acum CL specifice problemei în ec. (8) la soluţie generală din ec. (7) se obţine

la ri : (9a)

la ro : (9b) Prin rearanjare se obţine un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute,

Se poate afla c1 prin scăderea acestor două ecuaţii de unde

sau care duce la

2

(10) Înlocuind aceste relaţii în ec. (9a) se obţine

(11) Punând aceste expresii pentru c1 şi c2 in soluţie generală din eqn. (7) rezultă soluţia unică pentru acest set particular de CL, sau

(12) Pentru a înţelege procesul de transfer de căldură în această situaţie vom calcula şi trasa această distribuţie. Înainte de acesta, pentru a reduce numărul de parametri din sistemul studiat, vom trece la variabile normalizate. Să definim distribuţia de temperatură normalizată, u(r), prin

(13)

unde la r = ri, ; la r = ro, Aceasta înseamnă că u(r) descreşte de la valoarea unitară la interiorul regiunii inelare până la o valoare oarecare subunitară la suprafaţa exterioară. Introducând ec. (12) în ec. (13) rezultă

sau (14) care arată clar tendinţa descrisă mai sus. Din această expresie se observă că cele trei variabile cheie sunt:

• k = conductivitatea termică a materialului (vata minerală (rock wool) are k ≈ 0.04 W/mºC; sticla are k ≈ 0.80 W/mºC; aluminiul are k ≈ 200 W/mºC)

• h = coeficientul de transfer de căldură (variază considerabil) (convecţie naturală: hair ≈ 5 - 20 W/m2ºC şi hapă ≈ 50 – 500 W/m2ºC; convecţie forţată: hair ≈ 5 – 500 W/m2ºC şi hapă ≈ 200 - 10000 W/m2ºC; fierberea apei: h ≈ 2000 - 50000 W/m2ºC)

• ro/ri = geometria of sistemului Pentru a vedea efectele acestor variabile asupra distribuţiei de temperatură normalizată, să trasăm u(r) din ec. (14) în următoarele situaţii, în care vom modifica pe rând câte unul din parametri pentru a izola mai uşor efectul său asupra răspunsului sistemului: Cazul 0 - Cazul de referinţă k = 0.1 W/mºC (material izolator termic) h = 5 W/m2ºC (convecţie naturală in aer) ri = 1 cm şi ro = 1.635 cm (doar cca. ¼ inch de izolaţie) Cazul 1 - Conductivitate termică mărită k1 = 1.0 W/mºC (material mai slab izolator termic faţă de Cazul 0) Cazul 2 - Coeficient de transfer de căldură mărit h2 = 50 W/m2ºC (convecţie forţată în aer) Cazul 3 - Izolaţie mai groasă (raport ro/ri mai mare) ro3 = 6.08 cm (aproape 2 inch de izolaţie)

3

Trasarea lui u(r) pentru aceste cazuri ar trebui să ne permită a mai bună înţelegere calitativă asupra modului în care modificările făcute afectează procesul de transfer de căldură. În plus, putem de asemenea cuantifica diferenţele care se observă prin compararea căldurii transferate, q, în cele trei cazuri diferite de perturbaţii, faţă de cazul de referinţă. Avem pentru q două expresii diferite - una bazată pe transferul de căldură prin conducţie şi una legată de procesul de transfer de căldură prin convecţie:

(Fourier’s Law) (15)

(Newton’s Law of Cooling) (16) unde T(ro) şi A(ro) sunt temperatura şi respectiv aria suprafeţei exterioare. Expresia pentru qcond este valabilă pentru orice r din domeniul studiat. Înainte de a calcula aceste expresii, să la scriem în funcţie de temperatura normalizată, u(r). Din ec. (13), avem

(17) şi

(18) Înlocuind in ec. (15) şi (16) rezultă

(19)

(20) unde du/dr este dat explicit ca

(21) Să calculăm acum qcond şi qconv pentru de cazul de referinţă şi cele trei cazuri de perturbaţii, şi să ne uităm la valorile relative ale raportului qn/qref - care reprezintă q pentru cazul n împărţită la transferul de căldură pentru cazul de referinţă. De exemplu, dacă ne uităm explicit la transferul de căldură prin convecţie pentru Cazul n, avem

sau (22) unde vedem că lungimea L, a porţiunii inelare şi diferenţa de temperatură, Ti - T∞, dispar din expresia finală - lucru care ne să ne concentrăm asupra parametrilor de interes (k, h, şi ro). Similar, pentru transferul de căldură prin conducţie, raportul dintre transferul de căldură pentru cazul n şi cazul de referinţă devine

(23) unde se observă că această din urmă expresie este independentă de poziţia radială, r. În acest moment avem modelul necesar pentru a putea face comparaţiile dorite. Pentru a face un sumar al elementelor cheie de calcul, să evidenţiem un algoritm sumar pentru implementarea analizei precedente in MATLAB, după cum urmează:

4

1. Identificarea parametrilor problemei de bază pentru cazul de referinţă. 2. Discretizarea domeniului spaţial şi calculul distribuţiei de temperatură normalizată

dată în ec. (14) pentru cazul de referinţă. 3. Alegerea variabilei

perturbate pentru fiecare caz şi repetarea Pasului 2 pentru cele trei cazuri de perturbaţie.

4. Trasarea rezultatelor de la Paşii 2 şi 3. De reţinut că Cazul 3 are un domeniul spaţial diferit decât în celelalte cazuri. Astfel, pentru o comparare mai uşoară, vom trasa Cazurile 0 - 2 într-un subgrafic şi Cazurile 0 şi 3 în altul (vezi mai jos).

5. Calcularea rapoartelor pentru transferul de căldură prin convecţie şi conducţie definite în ec. (22) şi (23) şi afişarea unui tabel de rezultate.

6. Interpretarea rezultatelor

1.2 Algoritmul de mai sus a fpipe_insulation_1.m. RezultateTable 1. După cum era de aştepla unitate la raza interioară a izounde, pentru cazul de referinţădiferenţa maximă de temperatudistribuţiile sunt aproape liniare c2 sunt diferite. Pentru Cazul 3,descreşte continuu către zero pvaloarea minimă zero. Table 1 Rezultate finale ptr Problema t

din pipe_insulation_1.m Cazul #1 (k mai mare) : qcond1/qcondrefqconv1/qconvref = 1.348 Cazul #2 (h mai mare) : qcond2/qcondrefqconv2/qconvref = 2.793 Cazul #3 (Izolatie mai groasa): qcond3/qcondref qconv3/qconvref = 0.804 >> Summary Results pentru Ţevii Insulaţie ProblTable 2 Listing of ţevii_insulation_1.m

% PIPE_INSULATION_Ro.M Calcul de functgrafice in Matlab % Analiza Transferului de caldura: Teava Citermic % % Fisierul calculeaza si traseaza grafic variatia tempdomeniu inelar % pentru ri < r < ro, unde ri si ro sunt rezele interioa% ale unui solid inelar. Marginea interioara are o temTi.

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1Distributia de temperatura normalizata problema tevii izolate

Tem

pera

tura

nor

mal

izat

a Caz de ref.k mai mareh mai mare

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distanta Radiala (cm)

Tem

pera

tura

nor

mal

izat

a Caz de ref.Izolatie mai groasa

Fig. 1 Distribuţia de temperatură normalizată in izolaţia ţevii.

Implementarea MATLAB ost implementat într-un program MATLAB numit le principale ale analizei sunt rezumate in Fig. 1 şi tat, distribuţia de temperatură normalizată descreşte de laţiei până la o valoare mai mică la exteriorul izolaţiei

, scăderea de temperatură este de aproape 30% din ră, ∆T = Ti - T∞. Pentru o grosime mică a izolaţiei, u pante aproape constante; pantele pentru Cazurile 0 -

cu aproape 2” de izolaţie, gradientul de temperatură e măsură ce temperatura normalizată se apropie de

evii izolate

= 1.348 si

= 2.793 si

= 0.804 si

em program.

ii si trasare de

rculara Izolata

eraturii intr-un

ra si exterioara peratura fixa,

% Suprafata exterioara este expusa unui mediu convectiv, cu coeficientul de % transfer de caldura h si temperatura medie a fluidului Tinf. % % Se defineste o temperatura normalizata astfel incat relatiile % rezultate evidentiaza doar trei parametri -- k, h, si ro -- si se analizeaza % o serie de cazuri pentru a determina efectul fiecaruia dintre ei % asupra distributiei de temperatura si asupra caldurii totale transmise % fata de cazul de referinta. % % Inceput clear all, close all, nfig = 0; % Identificarea datelor de baza ale problemei kref = 0.1; % conductivitatea termica a izolatiei (W/m-C) href = 5; % coef de transfer de caldura ptr cazul de referinta (W/m^2-C) ri = 0.01; % raza interioara a izolatiei (m)

5

roref = 0.01635; % raza exterioara a izolatiei (m) (about 1/4 inch)

legend('Caz de ref.','Izolatie mai groasa') v2 = axis; v2(2) = 6; axis(v2)

% Calculul distributiei de temperatura normalizata (se foloseste aritmetica vectorilor)

% Calculul caldurii transmise in fiecare caz % Acesta se va calcula in doua moduri diferite doar ptr a arata ca ele sunt echivalente Nr = 50; r = linspace(ri,roref,Nr);

uref = 1 - log(r/ri)./(log(roref/ri) + kref/(href*roref)); % qcond = conductie si qconv = convectie % Deoarece nu exista surse interne de caldura qcond nu depinde de r

(see notes). % Calculul distributiei ptr cele trei cazuri separate de perturbatii % case 1: conductivitate termica ridicata % La limita din dreapta qcond = qconv. k1 = 1.0; % thermal conductivity of (relatively poor) insulation (W/m-C)

% % Cazul de referinta

u1 = 1 - log(r/ri)./(log(roref/ri) + k1/(href*roref)); qcondref = kref/(log(roref/ri) + kref/(href*roref)); % case 2: coef de transfer de caldura mai ridicat qconvref = href*roref*uref(Nr); h2 = 50; % heat transfer coeff for high cooling rate (W/m^2-C) % Cazul 1 u2 = 1 - log(r/ri)./(log(roref/ri) + kref/(h2*roref)); qcond1 = k1/(log(roref/ri) + k1/(href*roref)); % case 3: mai multa izolatie qconv1 = href*roref*u1(Nr); ro3 = 0.0608; % outside radius of insulation (m) (about 2 inches) % Cazul 2 r3 = linspace(ri,ro3,Nr); qcond2 = kref/(log(roref/ri) + kref/(h2*roref)); u3 = 1 - log(r3/ri)./(log(ro3/ri) + kref/(href*ro3)); qconv2 = h2*roref*u2(Nr); % % Cazul 3 % Trasarea graficelor qcond3 = kref/(log(ro3/ri) + kref/(href*ro3)); nfig = nfig+1; figure(nfig) qconv3 = href*ro3*u3(Nr); subplot(2,1,1),plot(r*100,uref,'r-',r*100,u1,'g--',r*100,u2,'b:','LineWidth',2),grid

% Calculam rapoartele caldurilor ratio1 = [qcond1/qcondref qconv1/qconvref]; ratio2 = [qcond2/qcondref qconv2/qconvref];

title('Distributia de temperatura normalizata problema tevii izolate')

ratio3 = [qcond3/qcondref qconv3/qconvref]; fprintf(1,'\n Rezultate finale ptr Problema tevii izolate \n\n')

ylabel('Temperatura normalizata') fprintf(1,' Cazul #1 (k mai mare) : qcond1/qcondref = %6.3f si qconv1/qconvref = %6.3f \n',ratio1) v1 = axis; v1(2) = 1.65; axis(v1)

legend('Caz de ref.','k mai mare','h mai mare') fprintf(1,' Cazul #2 (h mai mare) : qcond2/qcondref = %6.3f si qconv2/qconvref = %6.3f \n',ratio2) %

subplot(2,1,2),plot(r*100,uref,'r-',r3*100,u3,'g--','LineWidth',2),grid

fprintf(1,' Cazul #3 (Izolatie mai groasa): qcond3/qcondref = %6.3f si qconv3/qconvref = %6.3f \n',ratio3)

xlabel('Distanta Radiala (cm)'),ylabel(' Temperatura normalizata')

% Sfarsit

Din Tab 1, se vede că la creşterea de 10x a conductivităţii termice (Cazul 1 faţă de cazul de referinţă) transferul total de căldură se măreşte doar cu cca. 35%. Acest lucru poate fi explicat prin faptul că un k mai mare duce la o pantă mai mică. Deoarece transferul de căldură este proporţional cu produsul dintre k şi dT/dr, se vede că cea mai mare parte din creşterea lui k este compensată de către gradientul redus, produsul crescând doar cu cca. 35%. O tendinţă similară se observă şi pentru Cazul 2 faţă de Cazul de referinţă. Aici, coeficientul de transfer de căldură a crescut de 10x, dar transferul total de căldură a crescut doar de 2.79x. Deoarece convecţie forţată îmbunătăţeşte transferul de căldură, gradientul de temperatură în izolaţie creşte şi temperatura suprafeţei exterioare descreşte faţă de cazul de referinţă. Pe suprafaţa, fluxul termic este produsul dintre h şi (T(ro) - T∞) şi din nou, se vede că mărirea unui termen este estompată oarecum de o micşorare a celuilalt - deşi o creştere a transferului de căldură de 2.79x reprezintă o mărire semnificativă. În final, aşa cum era de aşteptat, se vede că o creştere a grosimii izolaţiei duce la o descreştere a transferului de căldură prin izolaţie, cu a reducere de cca. 20% faţă de cazul de referinţă. Figura 1 arată că gradientul de temperatură la ri este redus, ducând astfel la o descreştere globală a căldurii transferate prin conducţie care intră în regiune. Un alt punct de vedere este că izolaţia mărită duce la o temperatură mai scăzută a suprafeţei exterioare, care duce la un transfer de căldură prin convecţie mai redus. Desigur că aceste două puncte de vedere sunt echivalente (deoarece nu există generare de energie izolaţie, toată energia care iese prin convecţie prin suprafaţa exterioară trebuie să intre prin suprafaţa interioară prin conducţie). Bibliografie:

1. J. P. Holman - Heat Transfer text (5th Ed.) Chapter 2 (1981, McGraw-Hill).

6