MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII

UNIVERSITATEA DIN ORADEA

FACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICĂ ŞI TEHNOLOGIA

INFORMAŢIEI

TEZĂ DE DOCTORAT

CONTRIBUŢII PRIVIND ANALIZA NUMERICĂ A CÂMPULUI

ELECTROMAGNETIC CUPLAT CU CEL TERMIC ÎN SISTEME DE

ÎNCĂLZIRE PRIN INDUCŢIE CU ELEMENTE ÎN MIŞCARE

Coordonator ştiinţific:

Prof. univ. Dr. Ing. Teodor LEUCA

Doctorand:

Ing. Mircea Nicolae ARION

ORADEA - 2007

CUPRINS

Introducere 3

1. Stadiul actual al cercetării în domeniul analizei numerice a câmpului electromagnetic cuplat cu cel termic 7

1.1. Soluţionarea problemelor de curenţi turbionari 71.2. Problemele EM-T 101.3. Metode de calcul pentru structuri cu corpuri în mişcare 10

2. Aspecte teoretice privind problemele de curenţi turbionari în structuri cu medii neliniare şi corpuri în mişcare 16

2.1. Ecuaţiile din domeniul de calcul 162.2. Condiţii de trecere (CT) 172.3. Condiţiile de frontieră (FR)

182.4. Condiţiile iniţiale (CI) 192.5. Teoremă de unicitate 192.6. Regimul cvasistaţionar sinusoidal 202.7. Teoremă de unicitate pentru regimul sinusoidal 232.8. Ecuaţiile de ordinul 2, în regim sinusoidal 242.9. Regimul cvasistaţionar periodic 25

3. Calculul numeric al curenţilor turbionari prin metoda elementului finit 27

3.1. Procedeul (A-V, A) 273.2 Procedeul (A - V,) 343.3. Procedeul (A-V, A,) 373.4 Procedeul (T - , ) 373.5. Procedeul (T-, A, ) 403.6. Structuri plan paralele 40

4. Analiza numerică a câmpului termic 44

4.1. Aspecte calitattive 444.2. Metoda diferenţelor finite 474.3. Metoda elementului finit 51

5. Tratarea neliniarităţii magnetice în problemele de curenţi turbionari 61

5.1. Metoda Newton – Raphson 615.2. Metoda polarizaţiei. Metoda Picard – Banach 66

2

5.3. Metoda permeabilităţii statice 695.4. Metoda forţei brute 69

6. Încălzirea prin curenţi turbionari a pieselor în mişcare 70

7. Rezultate numerice 77

7.1. Constante de material şi condiţii de frontieră utilizate în problema electromagnetică 777.2 Constante de material şi condiţii de frontieră utilizate în problema termică 807.3. Rezultate numerice 83

8. Concluzii şi contribuţii ale lucrării

8.1. Concluzii 1028.2. Contribuţii ale lucrării 105

Anexa A 109

Bibliografie 119

Tehnologiile moderne care au la bază încălzirea prin curenţi turbionari s-au dezvoltat rapid în ultima perioadă datorită importantelor avantaje pe care le oferă acest procedeu de încălzire faţă de altele clasice. Avându-se ca obiectiv principal proiectarea optimală a echipamentului electrotehnic specific acestor instalaţii, o problemă importantă o constituie elaborarea unor metode de calcul al câmpului electromagnetic cuplat cu cel termic în mediile conductoare care se încălzesc prin curenţi turbionari.

3

Calculul pierderilor prin curenţi turbionari este o problemă de mare interes tehnic. De cele mai multe ori aceste pierderi nu sunt dorite şi tehnicienii încearcă să le reducă cât mai mult posibil. Alteori ele pot fi utile prin efectul lor caloric, permiţând încălzirea mediilor conductoare în zone dorite de tehnicieni. Determinarea pierderilor prin curenţi turbionari necesită soluţionarea unor complicate probleme de regim cvasistaţionar, cuplate cu probleme de difuzie termică. Tratamentele termice sunt destinate mai ales pieselor feromagnetice, pentru care relaţia constitutivă B-H este puternic neliniară. Cuplajul dintre problema de curenţi turbionari şi cea de difuzie termică este deosebit de importantă, deoarece încălzirea piesei se face peste punctul Curie, unde relaţia B-H devine cea a vidului, deci caracteristica de magnetizare depinde mult de temperatură. Permeabilităţile relative diferenţiale maxime pot căpăta valori cuprinse între 1 şi 5000, la diferite temperaturi. Problema de difuzie termică este de asemenea neliniară, constantele termice de material depinzând de temperatură.

Dacă pentru mediile imobile specialiştii au dezvoltat metode şi programe de soluţionare a problemelor cuplate de câmp electromagnetic şi termic, pentru mediile în mişcare, rezultatele sunt foarte sărace şi majoritatea lor se referă la structuri 2-D în care viteza este cunoscută. Pentru structurile 3-D se propun reţele deformabile care conduc la un volum uriaş de calcul, fiecare pas de timp necesitând construirea sistemului de ecuaţii. Se foloseşte forma locală a legii inducţiei electromagnetice cu derivata de flux, în sistemul laboratorului. Uneori, pentru mişcări de rotaţie sau de translaţie, se pot lua 2 reţele distincte pentru cele 2 regiuni, iar la suprafaţa ce le separă se pun condiţiile de conservare sub forma introducerii unui termen suplimentar (Lagrange).

Teza propune modelarea numerică a proceselor electromagnetice şi termice ce apar în cadrul unei instalaţii de încălzire prin inducţie electromagnetică cu medii în mişcare, prin elaborarea unei proceduri de analiză. În lucrare este elaborată o procedură de calcul a curenţilor turbionari pentru cazul când semifabricatul este fix, iar bobina se afla în mişcare. Această particularitate face ca metodele diferenţiale de calcul să nu fie convenabile deoarece este necesar ca la fiecare poziţie relativă a semifabricatului faţă de bobină să fie generată o nouă reţea de discretizare şi să fie construită o nouă matrice a sistemului. Metodele integrale elimină acest inconvinient deoarece reţeaua este construită doar pe domeniile de curenţi turbionari şi atât ea cât şi matricea coeficienţilor de influenţă rămân neschimbate în timpul deplasării semifabricatului

Lucrarea conţine un capitol privitor la procedurile numerice de analiză a câmpului termic, fără a avea pretenţia unor rezultate de vârf ce formulează domeniul de preocupări al specialiştilor din termotehnică. Au fost expuse totuşi câteva rezultate teoretice interesante privind utilizarea elementului finit în problemele termice cu condiţii de frontieră mixte.

Capitolul 1 al lucrării prezintă stadiul actual al procedurilor de calcul numeric al curenţilor turbionari, urmând ca principalele metode folosite în prezent să fie tratate mai pe larg pe parcursul tezei. Studiul făcut în acest caz a apelat la circa 86 de referinţe bibliografice din domeniul de specialitate.

4

Capitolul 2 prezintă problema de curenţi turbionari descrisă de ecuaţiile regimului cvasistaţionar al câmpului electromagnetic în structuri cu medii neliniare şi corpuri în mişcare, de condiţiile de trecere, de condiţiile de frontieră şi de condiţiile iniţiale. Este formulată teorema de unicitate a soluţiei, luând în considerare corpurile în mişcare şi medii neliniare. Regimul cvasistaţionar sinusoidal cu teorema de unicitate a soluţiei şi regimul cvasistaţionar periodic, luând în considerare corpurile în mişcare şi medii neliniare sunt prezentate deasemenea.

Capitolul 3 este un studiu amplu al rezultatelor obţinute în prezent, în domeniul rezolvării problemelor de curenţi turbionari. Un spaţiu mare eset acordat metodelor diferenţiale FEM cu utilizarea ca necunoscute, a diferitelor potenţiale: (A-V,A), (A-V,), (A-V,A, ), (T-,), (T-,A,). Separat, sunt analizate structurile plan-paralele,cu utilizarea poten’ialului vector unidimensional.

Capitolul 4 tratează problema de analiză a câmpului termic, fiind prezentate pentru început aspecte calitative ale analizei numerice a câmpului termic şi continuând cu metodele de calcul al câmpului termic utilizând diferenţele finite şi elementul finit.

Capitolul 5 abordează problema neliniarităţii magnetice în problemele de curenţi turbionari, fiind prezentate principalele metode de analiză. Sunt trecute în revistă metoda Newton-Raphson, metoda polarizaţiei, metoda permeabilităţii statice şi metoda forţei brute, utilizate în rezolvarea problemelor de câmp electromagnetic în medii neliniare.

Capitolul 6 tratează problema de încălzirea prin curenţi turbionari a pieselor aflate în mişcare. Sunt prezentate aspecte teoretice şi practice cu privire la modul de realizare a acestui proces.

În capitolul 7 sunt prezentate câteva rezultate numerice obţinute în urma simulării procesului de încălzire prin inducţie cu medii în mişcarea, pentru materiale neliniare.

Capitolul 8 reuneşte concluziile şi contribuţiile principale ale lucrării.8.1. ConcluziiCercetările efectuate în cadrul tezei de doctorat intitulată „Contribuţii

privind analiza numerică a câmpului electromagnetic cuplat cu cel termic în sisteme de încălzire prin inducţie cu elemente în mişcare” au vizat soluţionarea problemei de curenţi turbionari, cuplată cu problema de difuzie termică, pentru structuri cu medii în mişcare şi elaborarea unor proceduri de analiză aplicabile acestor probleme.

Literatura de specialitate oferă multe rezultate privind calculul câmpului electromagnetic cvasistaţionar, în medii liniare şi neliniare. Deoarece, în general, piesele supuse tratamentelor termice de suprafaţă sunt feromagnetice, o atenţie deosebită a fost acordată analizei acestor rezultate, încercând organizarea lor în funcţie de modurile de discretizare (FEM, FDM, metode hibride FEM-BEM, ecuaţii integrale), tipurile de necunoscute folosite (A, A*, V, , T, H etc.), condiţiile de etalonare (Coulomb, topologică), tratarea neliniarităţii (Newton-Raphson, metoda de punct fix a polarizaţiei, iteraţia permeabilităţii statice).

5

Deoarece problemele de difuzie termica intră în competenţa specialiştilor în termotehnică, în lucrare au fost analizate doar câteva aspecte calitative, precum şi metodele diferenţiale FEM şi FDM, utilizate pentru modelarea numerică a procedurilor de tratare termică de suprafaţă. În schimb o atenţie deosebită a fost acordată cuplării problemelor de curenţi turbionari cu cele de difuzie termică. Au fost puse în evidenţă neliniaritatea relaţiei constitutive B-H şi puternica dependenţă a acesteia cu temperatura, precum şi dependenţa parametrilor termici de material în funcţie de temperatură.

Principalele concluzii prezentate pe capitole sunt, după cum urmează::Capitolul 1: “Stadiul actual al cercetării în domeniul analizei numerice a

câmpului electromagnetic cuplat cu cel termic” prezintă o sinteză a procedurilor de soluţionare a problemelor de curenţi turbionari, în problemele EM-T şi nu în ultimul rând a metodelor de calcul pentru structuri cu corpuri în mişcare.

Capitolul 2: “Aspecte teoretice privind problemele de curenţi turbionari în structuri cu medii neliniare şi corpuri în mişcare” face o prezentare a modului de abordare a problemei de curenţi turbionari în structuri cu medii neliniare şi corpuri în mişcare. Pornind de la ecuaţiile ce descriu problema de câmp electromagnetic, impunerea condiţiilor de frontieră, a condiţiilor de trecere, condiţiilor iniţiale şi a teoremelor de unicitate ce se impun, autorul prezintă deasemenea modul de rezolvare a problemei de regim cvasistaţionar sinusoidal şi cvasistaţionar periodic.

Capitolul 3: “Calculul numeric al curenţilor turbionari prin metoda elementului finit” prezintă principalele proceduri de calcul numeric utilizate în rezolvarea problemelor de câmp electromagnetic cvasistaţionar.

Sunt prezentate procedurile: (A-V,A), (A-V,), (A-V,A, ), (T-,), (T-,A,). Sunt stabilite condiţiile de frontieră şi de trecere pentru potenţialele utilizate în corelaţie cu condiţiile de frontieră ale problemei de câmp electromagnetic impuse mărimilor de câmp B, H, E şi J. Metodele numerice asociate acestor proceduri rezultă din formalismul Galerkin. Sunt utilizate ca funcţii de formă şi test elementele nodale pentru potenţialele scalare şi pentru condiţiile de divergenţă şi elementele de muchie pentru potenţialul vector.

Sunt prezentate principalele avantaje prezentate de fiecare metodă în procesul de rezolvare numerică a problemei de câmp electromagnetic cvasistaţionar prin metoda elementului finit pentru determinarea curenţilor turbionari. Se prezintă deasemenea şi cazul de analiză numerică pentru structurile plan paralele.

Capitolul 4: “Analiza numerică a câmpului termic” tratează aspectele calitative ale analizei numerice a câmpului termic şi metodele de calcul numeric pentru câmpul termic utilizând diferenţele finite şi elementul finit. Astfel, în funcţie de aplicaţia aleasă, de precizia dorită şi resursele de calcul se poate alege una din cele două metode, însă nu în ultimul rând doresc să menţionez că metoda elementului finit cu cele două proceduri dezvoltate (procedura Ritz sau Galerkin) permite obţinerea unei soluţii mai precise. O interpretare a acestor proceduri este prezentată de autor aici.

Capitolul 5: “Tratarea neliniarităţii magnetice în problemele de curenţi turbionari” prezintă o interpretare a modului de tratare a neliniarităţii magnetice in

6

cazul problemelor de curenţi turbionari. Tratarea neliniarităţii este o problemă de o importanţă deosebită, deoarece materialele neliniare odată cu modificarea temperaturii îşi modifică proprietăţile magnetice, ceea ce face ca rezolvarea sistemului de ecuaţii rezultată să implice un efort de calcul ridicat. Pentru o mai bună înţelegere a problemei sunt prezentate acum principalele metode de tratare a neliniarităţii magnetice în probleme de curenţi turbionari.

Sunt prezentate principalele metode utilizate: Newton-Raphson, polarizaţiei, permeabilităţii statice si a forţei brute.

Capitolul 6: “Încălzirea prin curenţi turbionari a pieselor în mişcare” prezintă procedura de calcul propusă în vederea soluţionării problemei de câmp electromagnetic cuplat cu câmp termic în sisteme de încălzire prin inducţie cu medii neliniare aflate în mişcare. Procedura a fost elaborată în vederea soluţionării unei probleme complexe întâlnită în aplicaţiile practice din industrie, şi anume aceea a tratării termice prin inducţie a unor piese.

În lucrare propun o metodă de analiză a câmpului electromagnetic cuplat cu cel termic şi elemente în mişcare. Reţeaua de discretizare este creată astfel încât să nu sufere modificări ulterioare în timpul efectuării calculului numeric.

Bobina de inducţie reală este reprezentată printr-o bobină de inducţie fictivă formată dintr-o succesiune de galeţi, a cărei geometrie este definită de toate poziţiile pe care inductorul real le ocupă în timpul mişcării piesei, sistemul nostru de referinţă fiind pe piesa studiată. Deci, inductorul fictiv este generat de urma (traiectoria) inductorului real. La fiecare pas de timp devine activă acea porţiune din inductorul fictiv corespunzătoare poziţiei pe care ar ocupa-o inductorul real. În etapa de modificare a parametrilor energetici ai galeţilor care formează inductorul se pot modifica şi condiţiile de frontieră atât pentru problema de câmp electromagnetic cât şi pentru cea termică pentru a exprima cât mai bine realitatea. Soluţia propusă poate fi aplicată la orice mişcare nu neapărat restricţionată de direcţia axei Oz. Capitolul 7: “Rezultate numerice”, scoate în evidenţă rezultatele obţinute în urma analizei numerice folosind procedura de calcul propusă pentu mai multe cazuri considerate. Sunt prezentate datele materialului folosit şi se cunosc caracteristicile tehnice ale instalaţiei, astfel că în urma calcului au rezultat mărimile de câmp prezentate. Implemetarea algoritmului prezentat utilizând pachetul de programe FLUX-2D a permis introducerea de către autor a neliniarităţilor B-H, a dependenţelor celorlalţi parametri termici ca şi date iniţiale pentru un nou pas de analiză, conucând la obţinerea unor rezultate concludente pentru mărimi de câmp cuplate EM-T. Sunt reprezentate în acest sens liniile de câmp pentru fluxul magnetic şi valorile fluxului magnetic pentru fiecare caz studiat, valorile inducţiei magnetice pentru diferite valori ale fazei tensiunii de alimenatre pentru o poziţie a inductorului. Distribuţia câmpului de temperatură în semifabricatul considerat pentru toţi paşii din spaţiu şi timpii aferenţi sunt prezentate sub formă de hartă de temperatură, alăturat acestora putând fi observata şi distribuţia densităţii de putere indusă în piesă.

7

Importanţa economică a problemei studiate rezultă din utilizarea în industrie a tehnologiilor de tratare termică de suprafaţă a axelor, bolţurilor şi, în general, a pieselor care au cel puţin o dimensiune mare, astfel încât nu permit acoperirea întregii suprafeţe ce urmează a fi tratată termic de bobina inductoare. Pentru tehnolog este deosebit de util să poată stabili evoluţia în timp a vitezei de deplasare a piesei, şi, eventual, a intensităţii curentului din bobină, astfel încât să realizeze un tratament optim pentru suprafaţa de interes. Cunoaşterea acestei evoluţii permite automatizarea eficientă a proceselor specifice tratamentelor termice.

Capitolul 8: Concluzii şi contribuţii ale lucrării prezintă în sinteză principalele concluzii, pe capitole, şi apoi contribiţiile lucrării.

8.2 Contribuţii ale lucrării

Specialiştii din domeniul ingineriei electrice au obţinut deja rezultate importante privind analiza problemelor de curenţi turbionari, a problemelor de difuzie termică precum şi a problemelor cuplate EM-T, pentru medii imobile. Piaţa de software oferă deja programe performante, ce pot soluţiona aceste probleme. Ca urmare, principalul obiectiv realizat în această lucrare a fost elaborarea unor metode şi dezvoltarea unor proceduri de soluţionare a problemelor EM-T, pentru medii în mişcare.

În cadrul tezei de doctorat intitulată „Contribuţii privind analiza numerică a câmpului electromagnetic cuplat cu cel termic în sisteme de încălzire prin inducţie cu elemente în mişcare” au fost urmărite şi realizate următoarele deziderate care sunt totodată contribuţii ale lucrării.

1. Elaborarea unui studiu privind stadiul actual al cercetărilor în domeniul analizei numerice a câmpului elctromagnetic cuplat cu cel termic;

2. Prezentarea unui studiu pe baza unui model matematic, utilizat în soluţionarea problemele de curenţi turbionari în structuri cu medii neliniare şi corpuri în mişcare;

3. Elaborarea unui studiu şi model matematic utilizat în soluţionarea problemei câmpului termic;

4. Dezvoltarea unui studiu cu privire la tratarea neliniarităţii magnetice în problemele de curenţi turbionari;

5. Studierea proceselor tehnologice în vederea elaborării de proceduri de analiză numerică care să ducă la reprezentarea cât mai fidelă a procesului ce urmează a fi analizat numeric;

6. Elaborarea unui model matematic şi a unei proceduri de analiză numerică care să permită modificarea ulterioară a condiţiilor de material, frontieră sau a surselor fără a fi modificată reţeaua de discretizare. În acest sens se consideră sistemul de referinţă al piesei ce urmează să fie supusă tratamentului termic. Datorită vitezelor mici de deplasare, se neglijează componenta de mişcare a tensiunii induse în piesă. În sistemul de referinţă al piesei, se defineşte o bobină de inducţie fictivă, fixă, a cărei formă este

8

dată de traiectoria bobinei reale, de-a lungul mişcării sale în raport cu sistemul de referinţă. Deci, forma bobinei fictive rezultă din reuniunea tuturor poziţiilor pe care le ocupă bobina reală, astfel încât la fiecare pas de timp, este activă doar porţiunea din bobina fictivă care coincide cu cea reală. Pentru fiecare poziţie, se soluţionează problema de curenţi turbionari, cuplată cu cea de difuzie termică. Soluţionarea problemei de câmp electromagnetic se face în regimul sinusoidal, deci prin adoptarea imaginilor în complex ale mărimilor de câmp. Tratarea neliniarităţii relaţiei constitutive B-H se face iterativ, prin modelul pseudo-liniar, corectând permeabilitatea magnetică în funcţie de valoarea efectivă a inducţiei magnetice. Difuzia termică de la fiecare poziţie implică, de asemenea, definirea unui pas de timp. Deci metoda operează cu două seturi de paşi de timp: cel “exterior” prin care se definesc poziţiile succesive ale porţiunilor active din bobina fictivă şi un set “interior” care, la fiecare pas de timp “exterior”, soluţionează numeric problema de difuzie termică. Valorile finale ale variabilelor de stare (inducţia magnetică şi temperatura) de la pasul de timp “exterior”, anterior, constituie valorile iniţiale pentru soluţionarea problemei cuplate la pasul “exterior” curent. Procedura are câteva avantaje remarcabile: se generează o singură dată mesh-ul pentru piesă şi bobina fictivă, se împarte bobina fictivă în “galeţi” corespunzători poziţiilor ce urmează să le ocupe porţiunea activă, mesh-ul adaptându-se galeţilor; se pot utiliza programe comerciale performante ce soluţionează problemele EM-T pentru structuri cu corpuri imobile, procedura poate fi aplicată la orice tip de structuri în care sursele sunt în mişcare. Este de aşteptat ca micşorarea pasului de timp “exterior” să fie benefică pentru obţinerea unei acurateţi mai bune a soluţiei EM-T. Apare în schimb dezavantajul creşterii numărului de galeţi ai bobinei fictive.

7. Procedura de calcul numeric elaborată permite extinderea acestui cuplaj la problema cuplată câmp magnetic – câmp termic – mişcare;

8. Elaborarea unui algoritm de analiză a triplei probleme cuplate ce poate fi utilizată în unele domenii ale curenţilor turbionari, cu larga aplicabilitate în cadrul procesului de analiză numerică utilizând pachete software profesionale;

9. Implementarea algoritmului prezentat utilizând pachetul de programe FLUX-2D care a permis introducerea de către autor a neliniarităţii B-H, a dependenţelor celorlalţi parametri termici (câmp de temperatură, flux magnetic, inducţie magnetică, rezistivitate) ca date iniţiale de la un pas de timp la următorul permite soluţionarea triplei probleme cuplate;

10. Utilizând metoda de analiză propusă în lucrare, se studiază încălzirea axelor la instalaţia de călire superficială pentru piese în mişcare, aflată în dotarea uzinelor S.C. ARIS S.A. Arad. Specialiştii din cadrul secţiei au arătat un mare interes pentru rezultatele din teza de doctorat.

11. Metoda dezvoltată în lucrare constituie un instrument deosebit de util pentru tehnologul responsabil de tratamentele termice. Alegând anumite

9

dimensiuni pentru inductorul instalaţiei şi a dispozitivului mobil de prindere semifabricat , el poate încerca diferite soluţii pentru alegerea evoluţiei vitezei de deplasare a piesei şi pentru evoluţia în timp a valorii efective a curentului din bobina de inducţie. Ca urmare poate găsi evoluţiile optime, dar şi cele mai bune dimensiuni pentru inductorul instalaţiei sau a dispozitivului mobil de prindere semifabricat.

12. Metoda permite alegerea pasului de timp “exterior” constant, ţinând cont de faptul că difuzia termică are o evoluţie asemănătoare în timp, cu excepţia momentului iniţial, când piesa este ţinută un timp relativ mare pentru a atinge temperaturile dorite. Având viteza de deplasare a piesei, rezultă poziţiile porţiunilor active. Metoda propusă permite însă orice alegere a setului de paşi de timp “exteriori”.În lucrare se alege o variantă mai eficientă pentru aplicaţiile industriale: se

aleg poziţiile pe care le ocupă porţiunea activă a bobinei fictive (în lucrare sunt echidistante). La fiecare poziţie se “încălzeşte” piesa până ajunge la temperatura dorită, apoi se trece la poziţia următoare. Rezultă deci timpul petrecut de piesă în fiecare poziţie şi, în consecinţă, viteza de deplasare. Este, de fapt, parametrul pe care-l doreşte tehnologul în procesul de tratare termică de suprafaţă prin inducţie electromagnetică.

BIBLIOGRAFIE:

[1] Ren, Z., and N. Ida. Solving 3D eddy current problems using second order nodal and edge elements; T-MAG Jul 00 746-750[2] Biro, O., and K. Preis. An edge finite element eddy current formulation using a reduced magnetic and a current vector potential; T-MAG Sep 00 3128-3130[3] Albertz, D., and G. Henneberger. On the use of the new edge based A-A, T formulation for the calculation of time-harmonic, stationary and transient eddy current field problems; T-MAG Jul 00 818-822[4] P. Houston, I. Perugia, D. Schotzau Nonconforming Mixed Finite Element Approximations to Time-Harmonic Eddy Current Problems T-MAG march 04 1268-1271[5] E.X. Xu, J. Simkin Total/Reduced Magnetic Vector Potential and Electrical Scalar Potential for Eddy Current Calculation T-MAG march 04 938-940[6] Preis, K., O. Biro, and I. Ticar. Gauged current vector potential and reentrant corners in the FEM analysis of 3D eddy currents; T-MAG Jul 00 840-843[7] B. Bandelier, F. Rioux-Damidau Modeling of Eddy Currents in Magnetic Materials and Laminated Materials T-MAG march 04 904-907[8] B. Weiß, Oszkár Bíró On the Convergence of Transient Eddy-Current Problems T-MAG march 04 957-960[9] Hofmann, M., T. Werle, R. Pfeiffer, and A. Binder. 2D and 3D numerical field computation of eddy-current brakes for traction; T-MAG Jul 00 1758-1763

10

[10] Labridis, D.P. Comparative presentation of criteria for adaptive finite-element mesh generation in multiconductor eddy-current problems; T-MAG Jan 00 267-280[11] Iwashita, T., and M. Shimasaki. Parallel processing of 3-D eddy current analysis with moving conductor using parallelized ICCG solver with renumbering process; T-MAG Jul 00 1504-1509[12] Yamazaki, K. Transient eddy current analysis for moving conductors using adaptive moving coordinate systems; T-MAG Jul 00 785-789[13] K. Yamazaki, S. Watari, A. Egawa. Adaptive Finite Element Meshing for Eddy Current Analysis of Moving Conductor T-MAG march 04 993-996[14] Higuchi, Y., and M. Koizumi. Integral equation method with surface impedance model for 3D eddy current analysis in transformers; T-MAG Jul 00 774-779[15] Clemens, M., E. Gjonaj, P. Pinder, and T. Weiland. Numerical simulation of coupled transient thermal and electromagnetic fields with the finite integration method; T-MAG Jul 00 1448-1452[16] Clemens, M., T. Weiland, and M. Wilke. Transient eddy current formulation including moving conductors using the FI method; T-MAG Jul 00 804-808[17] Clemens, M., E. Gjonaj, P. Pinder, and T. Weiland. Numerical simulation of coupled transient thermal and electromagnetic fields with the finite integration method; T-MAG Jul 00 1448-1452[18] Suuriniemi, S., K. Forsman, L. Kettunen, and J.M.akinen. Computation of eddy currents coupled with motion; T-MAG Jul 00 1341-1345[19] Preda G, Cranganu-Cretu B, Mihalache O, F.Hantila, K.Miya, Fast procedure for crack reconstruction in Nonlinear materials using FEM-BEM with polarization method and neural. networks , Applied Electromagnetics III , May 28-30, 2001, p.301-304;[20] G.Preda, B.Cranganu-Cretu, O.Mihalache, F.Hantila, Z.Chen and K.Miya,

Nonlinear FEM-BEM Formulation and Model-Free Inversion Procedure for Reconstruction of Cracks Using Pulse Eddy Currents , T-MAG, no.2, vol.38, 2002, p.1241-1244,[21] Rischmuller, V., M. Haas, S. Kurz, and W.M. Rucker. 3D transient analysis of electromechanical devices using parallel BEM coupled to FEM; T-MAG Jul 00 1360-1363[22] R. Pascal, P. Conraux, J. M. Bergheau Coupling Between Finite Element and Boundary Elements for the Numerical Simulation of Induction Heating Process T-MAG may 03 1535-1538[23] R. Albanese and G. Rubinacci, Integral Formulation for 3D Eddy Current Computation Using Edge Elements, IEE Proc., 135A, pp. 457-462 (1988).[24] R.Albanese, F.Hantila, G.Preda, G.Rubinacci, A Nonlinear Eddy-Current Integral Formulation for Moving Bodies, T-MAG sept 98 2529-2534[25] F.Hantila, G.Preda, M.Vasiliu Polarization Method for Static Fields , T-MAG July 2000, p. 672-675,

11

[26] G. Rubinacci, A. Tamburrino, S. Ventre, F. Villone A 3D Fast Multipole Method for Eddy Current Computations, T-MAG march 04 1290-1293[27] J. Zou, Y.Q. Xie, J.S. Yuan, X.S. Ma. Analysis of the thin plate eddy current problem by Finite Volume Method T-MAG march 04 1370-1373[28] K. Muramatsu, T. Okitsu, H. Fujitsu Method of Nonlinear Magnetic Field Analysis Taking into Account Eddy Current in Laminated Core T-MAG march 04 896-899[29] G. Szymanski, M. Waszak Calculation of Eddy Current Energy Losses in Thin Sheets under Saturation Proceedings of COMPUMAG’04 Saratoga Springs, USA, 2003[30] I. Sebestyén, S. Gyimóthy, J. Pávó, O. Bíró Calculation of losses in laminated ferromagnetic materials T-MAG march 04 924-927[31] R.Pascal, P.Conraux, J.M.Bergheau Coupling Between Finite Elements and Boundary Elements for the Numerical Simulation of Induction Heating Process Using a Harmonic Balance Method T-MAG may 031535-1538[32] Z. Badics, Z. Cendes Coupled field models in electromagnetic solids COMPEL Nov 05 509-520 [33] N. Shulzhenko, P. Gontarowskiy, Y. Matyukhin, M. Pantelyat, I. Dolezel, B. Ulrych Finite Element Analysis of Electromagnetic, Thermal and Stress-Strain State of Joints during Induction Heating-Based Assembly and Disassembly, Proceediongs of 11th International IGTE Symposium 2004, 334-339[34] S.Wiliamson, E.K.C. Chan, Three-dimmensional finite element formulation for problems involving time-varying fîelds, rotative motion and magnetic saturation, IEE Proc., A, Vol 140, No. 2, mart. 1993.[35] H.T. You, K.R. Shao. K.D. Zhou. J.D. Lavers, Upwind-Linear Edge Elementsfor 3D Moving Conductor Eddy Ciment Problems, IEEE Trans. on Magn., Vol. 32, Nr. 3, pp. 760 – 763, 1996.[36] Z. Liu, A.R. Eastham, G.E. Dawson, Artificial Diffusion Concept for Moving Conductor Eddy Current Problems with Edge Elements, IEEE Trans. on Magn., Vol. 32, Nr. 3, pp. 756–759, 1996.[37] Kuo-Ta Hiesh. A Lagrangian Formulation for Mechanically, Thermally Coupled Electromagnetic Diffusive Process with Moving Conductors, IEEE Trans. on Magn., Vol. 31, No. l, pp. 604–609. 1995.[38] T. Onuki, S. Wakao, T. Yoshizawa, Eddy Current computation in Moving Conductors by the Hybrid FE-BE Method. IEEE Trans. on Magn., Vol. 31, No. 3, pp. 1436–1439, 1995.[39] N. Allen, D. Rodger, H.C. Lai, PJ. Leonard, Scalar-Based Finite Element Modelling of 3D Eddy Currents in Thin Moving Conducting Sheets, IEEE Trans. on Magn., Vol. 32, Nr. 3, pp 733–736, 1996.[40] P.C. Coles, D. Rodger, H.C. Lai, P.J. Leonard, Finite Element Modelling of 3D Moving Conductor Devices with Low Conductivity, IEEE Trans. on Magn., Vol. 32, Nr. 3, pp. 733–736, 1996.[41] N. Labbe, Y. Marechal, G. Meunier, H. Ben Harara, 2D Nonlinear Finite Element Modelling of Electromagnetic retarders using Time-slepping Algohthms

12

and the Petrov-Galerkin method wilh Homogenization Techniques, IEEE Trans. on Magn., Vol. 32, Nr. 3, pp. 772–775, 1996.[42] D. Albertz, S. Pappan, G. Hennenberg, Calculation of the 3D Non-linear Eddy Current Field in Moving Conductors and its Application to Braking Systems, IEEE Trans. on Magn., Vol. 32, Nr. 3, pp. 768–761, 1996.[43] R. Albanesc, A. Formisiano. R. Fresa, R. Martone, G. Rubinacci, F. Villone, Numerica! Analysis of a Coupled Problem: Time Evolution of a Tokamak Plasma in Contact with a Conducting Wall, IEEE Trans. on Magn., Vol. 32, Nr. 3, pp. 984–989, 1996.[44] J.J. Chaillout, J. Berthier, R. Blanpaim, Modeling of Electromagnetic Wakes of Moving Submerged Bodics in Stralijîed Sea Water, IEEE Trans. on Magn., Vol. 32, Nr. 3, pp. 998–1002, 1996.[45] M. Enokizono, T. Tadaka, K. Yokoji, Y. Wada, S. Matsumoto, Three-Dimmensional Moving simulation of Levitation-Melting Method, IEEE trans. on Magn. Vol. 31 , Nr. 3, pp. 1869–1872, 1995.[46] M.C. Marion-Pera, J.P. Yonnet, Axial Bearings Using Superconductors and Permanent Magnet, IEEE trans. on Magn. Vol. 31, Nr. 3, pp. 2121–2114, 1995.[47] K.B. Kim, Z. Zabar, E. Levi, L. Birenbaum, In-Bore Projectile Dynamics in the Linear Induction Launcher (LIL) Part I: Oscilalions, IEEE Trans. on Magn., Vol. 31, No. l, pp. 484–488, 1995.[48] I. R. Shokair, Projectile Transverse Motion and Stability in Electromagnetic Induction Launchers, IEEE Trans. on Magn., Vol. 31, No. 1, pp. 504–509, 1995.[49] H.A. Calvin, S.P. Virostek, Railgun Electromagnetism, IEEE Trans. on Magn., Vol. 31, No. 1, pp. 107–112. 1995.[50] G. Rainsworth, D. Rodger, P.J. Leonard, 3D Finite Element Modelling of Conducting Support Structures, IEEE Trans. on Magn., Vol. 31, No. 3, pp. 2052–2055, 1995.[51] C.W. Trowbridge, Computing Electromagnetic Fields for Research and Industry: major achievemenls and future trends, IEEE Trans. on Magn., Vol. 32, Nr. 3, 1996.[52] F.I. Hănţilă, Existences and stability theorems of the stationary field without sources and with null boundarz conditions in nonlinear media , Revue Roum. Sci. Techn. Ser. Electrotechnique et Energ., no.3, 1981[53] F.I. Hănţilă, Z. Kawase, R. Enache, Uniqueness, Existence and Stabilitz of Magnetic Field in Non-linear Media, Compumag 99,Nov.24+27, 1999, soprano, pp.440-441[54] G. Paoli, O. Biró, and G. Buchgraber, Complex representation in nonlinear time harmonic eddy current problems, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 34, No. 5, pp. 2625-2628, Sept. 1998[55] Cedrat, Flux 2D User Guide[56] F. I. Hănţilă, E. Demeter, Rezolvarea numerică a problemelor de câmp electromagnetic, Ed. Ari Press, ICPE-ME, 1995

13

[57] T. Leuca, Câmpul electromagnetic şi termic cuplat – Curenţi turbionari, Editura Mediamira, Cluj-Napoca 1996[58] V. Fireţeanu, T. Leuca, Inducţia electromagnetică şi tehnologii specifice, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 1997[59] T. Maghiar, Monica Popa, Considerations on transverse flux inductior design, Analele Universităţii Oradea, Fascicola Electrotehnică, pp.88-94, Oradea, 1998[60] T. Maghiar, T. Leuca, The numerical modeling of the electromagnetic field within induction hardening of inner cylindrical surface, Theoretical Electrical engineering and Electrical Measurement, 20-22 september, 1999, Kosice-Slovacia, pp.140-146[61] T. Maghiar, Monica Popa, Optimal shape synthetis of transverse flux induction system, Proceeding of 9th IGTE Symposium on Numerical Field Calculation in Electrical Engineering, pp.421-424, Graz-Austria, 2000[62] T. Leuca, The space-time distribution of the electromagnetic field coupled with thermal one in rectangular bars, Theoretical Electrical Engineering and Measurement, 20-22 september, 1999, Kosice-Slovacia, pp.134-140[63] F. I. Hănţilă, Contribuţii asupra toriei maşinilor de curent continuu cu magneţi permanenţi, teza de doctorat, Bucureşti, Facultatea de Electrotehnică, catedra Maşini electrice, 1976[64] F. I. Hănţilă, A method for solving 3-D eddy current problems in non-linear media, Rev. Roum. Sci. Techn.-Electrotechn. et Energ., no.3, 1992, p. 267-281[65] A. Moraru, Calcul du champ magnetique et des forces dans la partie frontale des turbo-alternateurs, Ed. F., DER, Report HM16-1100AM-MO/CP, 17 Aut., 1984 [66] R. Răduleţ, A. Ţugulea, Al. Timotin, Teoreme de unicitate pentru regimuri variabile ale câmpului electromagnetic, St. cerc. energ. electr., tom. 21, nr. 1, p. 109-128, 1971[67] F. I. Hănţilă, Mathematical Models of the relation between B and H, Rev. Roum. Sci. Techn. - Électrotechn. et. Énerg., 19,3, pp.429-448, Bucharest, 1974[68] T. Leuca, Carmen Molnar, Numerical computation of induced power and thermal field within the induction heating of non feromagnetic workpieces, IGTE Symposium, 11-13 Septembrie 2000, Graz, pp. 417-421.[69] Şt Nagy, M.Arion, Contribution to the Numerical Modeling of Electromagnetic Phenomena in the Casting Process with Phase Transformation, The 27th Annual Congress of the American Romanian Academy of Arts and Sciences (ARA) – polytecnic international press, 2002, pp 766-768 [70] T. Leuca. M. Arion, Gabriela Tarcău, The 3D – eddy currents distribution in in stainless steel bars, Analele Univ din Oradea. Facicola Electrotehnică, 2002 pp.44 – 49, ISSN-1223-2106[71] T. Leuca, Şt. Nagy, M. Arion, The 3D – electromagnetic field distribution in rectangular cross section of ferromagnetic stainless steel parts, Analele Univ din Oradea. Facicola Electrotehnică, 2002 pg.50 – 55, ISSN-1223-2106[72] T. Leuca. M. Arion, 3D distribution of the electromagnetic field in cylindrical ferromagnetic steel pieces, Buletinul Institutului Politehnic din Iasi - Secţia: Electrotehnică, Energetică, Tomul XLVIII Fasc. 5A, Iaşi, 2002, pp. 25-30

14

[73] T. Leuca, M. Arion, 3D Distribution of the Electromagnetic Field in Ferromagnetic Stainless Steel Parts, Electrical engineering and mathematics – Bucuresti, 2002, pp. 19 – 22, ISBN 973-652-674-7[74] T. Leuca, B. Crânganu- Creţu, M. Arion, Gabriela Tarcău, Numerical modeling of industrial processing by electromagnetic induction of ferromagnetic parts, International Symposium IGTE 2002 Graz, ISBN 3-901351-65-5[75] T. Leuca, M. Arion, Electromagnetic Field Distribution within the 3D Eddy Currents Question, Analele Univ din Oradea. Facicola Electrotehnică, 2003 pp. 38-41, ISSN-1223-2106 [76] T. Leuca , M. Arion, Numerical Modelling of the 3D Electromagnetic Field within Ferromagnetic Parts, 48. International Wissenschaftliches Kolloquim, Ilmenau 2003[77] T. Leuca , M. Arion, About the Electromagnetic Field Computation in the Induction Heating Systems, Progress in Electromagnetic Research Symposium, Pisa 2004[78] T. Leuca, N. Maghiar, M. Arion, Electromagnetic field distribution in non-linear cilindrical cylindrical workpieces considering the imposed current through inductor, Analele Univ din Oradea. Facicola Electrotehnică, 2004 pg.29 – 32, ISSN-1223-2106[79] T. Leuca, M. Arion, Electromagnetic field distribution within steel pipes, International Seminar on Heating by Electromagnetic Sources , Padova 2004, pp. 311-315, ISBN 88-86281-92-7[80] T. Leuca, M. Arion, N. Maghiar, About the numerical analysis of the electromagnetic field within eddy currents problems into the half-finished products, International Symposium IGTE – Graz, 2004, ISBN 3-901351-65-5[81] V. Spoiala, H. Silaghi, D. Spoiala, N. Maghiar, M. Arion, Modelling and control a lifting and transporting equipement, International Symposium IGTE – Graz, 2004, ISBN 3-901351-65-5[82] T. Leuca, M. Arion, G. Cheregi, Dual Frequencies simulation of the Electromagnetic Induction Process in Gear Weels, Analele Univ din Oradea. Facicola Electrotehnică, ORADEA–2005, pp.36-39. ISSN-1223-2106[83] M. Arion, G. Cheregi, M. Novac, About the numerical modeling of the electromagnetic field within the induction hardening of cylindrical half finished parts, Analele Univ din Oradea. Facicola Electrotehnică, ORADEA–2006,pp. 11-14, ISSN 1841-7221[84] T.Leuca, M. Arion, G. Cheregi, Numerical Simulation of the Electromagnetic Field within the Induction Hardening of Gear Wheels, Analele Univ din Oradea. Facicola Electrotehnică, ORADEA–2006,pp. 41-44, ISSN 1841-7221[85] M. Novac, E. Vladu, O. Novac, M. Arion, O. Codreanu, Aspects regarding the optimization of the heating process by induction, Analele Univ din Oradea. Facicola Electrotehnică, ORADEA–2006, pp. 113-118ISSN 1841-7221[86] M. Novac, E. Vladu, O. Novac, M. Arion, Optimal design of induction heating devices using genetic algorithms, Buletinul Institutului Politehnic din Iasi -

15

Secţia: Electrotehnică, Energetică, Electronică, Iasi 2006, pp.1540-1545, ISBN 1223-8139

16