TESTE DE EVALUARE LA MATEMATICĂ LICEU

C O O R D O N A T O R I :

P r o f e s o r A N G E L E S C U

O P R E A N I C O L A E

P r o f e s o r I O N E S C U

M A R I A

TESTE DE EVALUARE LA MATEMATICĂ LICEU - 2016

CASA CORPULUI DIDACTIC

PRAHOVA

2

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

Coordonatori : Profesor Angelescu Oprea Nicolae, Profesor Ionescu Maria

Proiectarea lecțiilor de matematică /

Nume autori :

ARUNCUTEAN LIDIA COLEGIUL TEHNIC “LAZĂR EDELEANU” MUNICIPIUL PLOIEȘTI

BĂȘCĂU CORNELIA COLEGIUL TEHNIC " LAZĂR EDELEANU" MUNICIPIUL PLOIEȘTI

BISNEL MIHAELA COLEGIUL TEHNIC “LAZĂR EDELEANU” MUNICIPIUL PLOIEȘTI

BRABECEANU SILVIA COLEGIUL TEHNIC GHEORGHE LAZĂR PLOPENI

BURLACU DANIEL LICEUL TEHNOLOGIC SAT CIORANII DE JOS

CANACHE GEORGIANA ŞCOALA GIMNAZIALĂ“I.A.BASSARABESCU”, PLOIEŞTI

COLCER ALINA MIHAELA COLEGIUL NAȚIONAL NICOLAE GRIGORESCU CÂMPINA

COMȘA TEODORA LICEUL TEHNOLOGIC 1 MAI MUNICIPIUL PLOIESTI

CORLĂTESCU VIRGIL COLEGIUL TEHNIC “LAZĂR EDELEANU" MUNICIPIUL PLOIEȘTI

DOROGAN GIANINA-MARIANA COLEGIUL AGRICOL "'GHEORGHE IONESCU SISESTI'" VALEA

CĂLUGĂREASCĂ

DUDU ADELA ŞCOALA GIMNAZIALĂ“GEORGE COŞBUC”, PLOIEŞTI

DUMITRU CARMEN MARILENA LICEUL TEHNOLOGIC CIORANII DE JOS

DUMITRU CORINA OLGUȚA COLEGIUL TEHNIC "GHEORGHE LAZAR" PLOPENI

GHIDU MIHAELA ALEXANDRA COLEGIUL NAȚIONAL JEAN MONNET-PLOIEȘTI

IOJEA ROXANA MĂDĂLINA COLEGIUL TEHNIC ”LAZĂR EDELENU” MUNICIPIUL PLOIEȘTI

IONESCU MARIA COLEGIUL TEHNIC ”LAZĂR EDELEANU” MUNICIPIUL PLOIEȘTI

IORDACHE MARA GEORGIANA LICEUL TEHNOLOGIC TEODOR DIAMANT, BOLDESTI –SCĂENI

LICA ROXANA COLEGIUL NAȚIONAL "JEAN MONNET" MUNICIPIUL PLOIEȘTI

NECULA ELENA COLEGIUL TEHNIC FORESTIER CÂMPINA

NEGREA VIORICA COLEGIUL ECONOMIC "VIRGIL MADGEARU" PLOIEȘTI

NISTOR DANIELA LICEUL TEHNOLOGIC ,,1 MAI", MUNICIPIUL PLOIESTI

OPRESCU CRISTINA DIANA LICEUL TEHNOLOGIC "1MAI", MUNICIPIUL PLOIEȘTI

PAVEL FLORIN LICEUL TEORETIC "ȘERBAN VODĂ" SLĂNIC

RUSIȘORU CĂTĂLINA

MAGDALENA

LICEUL TEORETIC "ȘERBAN VODĂ" SLĂNIC

SOARE DANIELA COLEGIUL ECONOMIC " VIRGIL MADGEARU",PLOIEȘTI

TUDORACHE NICOLETA COLEGIUL „ION KALINDERU”, BUȘTENI

ȚAGA LOREDANA COLEGIUL ECONOMIC " VIRGIL MADGEARU" PLOIEȘTI

ZLOTEA ROXANA MARINELA COLEGIUL SPIRU HARET PLOIEȘTI

Editura Casei Corpului Didactic Prahova, 2016

ISBN 978-606-8752-30-3

3

Cuvânt înainte

Această lucrare a fost realizată în cadrul programului de formare continuă Evaluarea

la MATEMATICĂ – pas cu pas – la liceu, derulat în perioada februarie – aprilie 2016.

Cursanţii, profesori de matematică din judeţul Prahova, şi-au propus să valorifice astfel

competenţele vizate a fi exersate în cadrul cursului:

Competențe metodologice:

- Utilizarea și aplicarea documentelor curriculare în pregătirea și realizarea demersului

didactic;

- Selectarea unor strategii activ-participative variate, moderne și atractive adecvate;

Competențe de comunicare și relaționare

- Demonstrarea gândirii critice în analiza și interpretarea datelor;

- Dezvoltarea de noi capacităţi creative şi de cooperare prin utilizarea alternativelor

metodologice moderne;

- Abilități de lucru în echipă și colaborare;

Competențe psihosociale

- De promovare a metodelor adecvate particularităților elevilor;

Competențe manageriale:

- Elaborarea unor instrumente de evaluare în funcție de particularitățile individuale/de

grup pentru optimizarea rezultatelor.

Cursul a fost proiectat cu o tematică generoasă şi şi-a propus să vină în sprijinul

profesorilor de matematică interesaţi de îmbunătăţirea permanentă a activităţii pe care o

desfăşoară, de înscrierea acesteia în cotele unui învăţământ modern, dinamic, de calitate.

Activitatea de formare a vizat, în principal, familiarizarea cursanţilor cu aspectele teoretice şi

practice privind evaluarea, atât în formele sale clasice cât şi în accentele sale de noutate. De

aici, a apărut nevoia de a exersa împreună proiectarea unui test de evaluare cât mai apropiat

de standardele cele mai înalte de calitate.

Autorii îşi asumă responsabilitatea privind originalitatea lucrării şi respectarea

drepturilor de proprietate intelectuală.

Formatori şi coordonatori lucrare:

Profesor Nicolae Oprea Angelescu

Profesor Ionescu Maria

4

Cuprins Clasa a IX-a................................................................................................................................ 7

Test inițial .............................................................................................................................. 7

Profesor: Ghidu Mihaela Alexandra .................................................................................. 7

Unitatea şcolară: Colegiul Național Jean Monnet- Municipiul Ploiești ............................ 7

Unitatea de învăţare: Progresii ............................................................................................. 10

Profesor: Iojea Roxana Mădălina..................................................................................... 10

Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic ,,Lazăr Edeleanu‟‟ Municipiul Ploieşti ..................... 10

Unitatea de învăţare: Funcția de gradul I – 3 ore/săptămână ............................................... 14

Profesor: Ionescu Maria ................................................................................................... 14

Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic „Lazăr Edeleanu” Municipiul Ploiești ...................... 14

Unitatea de învăţare:Funcția de gradul al doilea (graficul,intersecția cu axele,ecuația

f(x)=0,axa de simetrie) ......................................................................................................... 17

Profesor:Dorogan Gianina ............................................................................................... 17

Unitatea şcolară:Colegiul Agricol Gh Ionescu Sisesti, Valea Călugărească ................... 17

Unitatea de învăţare: Elemente de trigonometrie- clasa a IX-a, 21ore ................................ 20

Profesor: Bășcău Cornelia................................................................................................ 20

Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic ” Lazăr Edeleanu”, Municipiul Ploiești .................... 20

Clasa a X-a ............................................................................................................................... 24

Unitatea de învăţare:Logaritmi ............................................................................................ 24

Profesor:Necula Elena ..................................................................................................... 24

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic Forestier Câmpina ...................................................... 24

Unitatea de învăţare: Numere complexe sub formă algebrică ............................................. 27

Profesor :Ţaga Loredana .................................................................................................. 27

Unitatea şcolară: Colegiul Economic “Virgil Madgearu” Ploiești ................................. 27

Unitatea de învăţare: Rezolvarea în C a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali .... 30

Profesor:Dumitru Olguța ................................................................................................. 30

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic ”Gheorghe Lazăr ” Plopeni ........................................ 30

Unitatea de învăţare: Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex. Ecuaţii binome. ... 33

Profesor:Brabeceanu Silvia .............................................................................................. 33

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic „ Gheorghe Lazăr” Plopeni ........................................ 33

Unitatea de învăţare: Funcții injective, surjective, bijective, inversabile. ........................... 38

5

Profesor:Aruncutean Lidia ............................................................................................... 38

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic "Lazăr Edeleanu" Municipiul Ploiești ........................ 38

Unitatea de învăţare:Ecuatii Iraționale................................................................................. 41

Profesor:Canache Georgiana .......................................................................................... 41

Unitatea şcolară:Școala Gimnazială I.A.Basarabescu, Ploiești ....................................... 41

Unitatea de învăţare:Ecuaţii exponenţiale si logaritmice ..................................................... 45

Profesor:Comşa Teodora ................................................................................................. 45

Unitatea şcolară:Liceul Tehnologic”1 Mai”,Municipiul Ploieşti .................................... 45

Unitatea de învăţare:Binomul lui Newton ........................................................................... 48

Profesor:Bisnel Mihaela................................................................................................... 48

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic Lazar Edeleanu, Municipiul Ploiești .......................... 48

Unitatea de învăţare: Matematici financiare ........................................................................ 51

Profesor:Burlacu Daniel................................................................................................... 51

Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic Sat Cioranii de Jos ................................................. 51

Unitate de învăţare: Elemente de geometrie analitica in plan.............................................. 54

Profesor: Nistor Daniela .................................................................................................. 54

Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic ,,1 Mai”, Municipiul Ploiesti ................................. 54

Clasa a XI-a.............................................................................................................................. 57

Test inițial - M1 ................................................................................................................... 57

Profesor: Colcer Alina Mihaela ....................................................................................... 57

Unitatea şcolară: Colegiul Național “Nicolae Grigorescu” Câmpina .............................. 57

Unitatea de învăţare: Matrice; Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei

matrice cu scalar, proprietăţi. ............................................................................................... 61

Profesor:Oprescu Cristina Diana ..................................................................................... 61

Unitatea școlară:Liceul Tehnologic “1 MAI”, Ploiești .................................................... 61

Unitatea de învățare: Determinanţi ( aplicaţii ale determinanţilor) ..................................... 66

Profesor: Zlotea Roxana ................................................................................................. 66

Unitatea școlară:Colegiul Spiru Haret, Ploieşti ............................................................... 66

Unitatea de învăţare: Sisteme de ecuații liniare ................................................................... 70

Profesor:Lica Roxana....................................................................................................... 70

Unitatea școlară:Colegiul Național Jean Monnet, Ploiești ............................................ 70

Unitatea de învăţare: Continuitate; intepretarea grafică a continuității unei funcții, studiul

continuității, operații cu funcții continue. ............................................................................ 73

Profesor:Corlătescu Virgil ............................................................................................... 73

6

Unitatea școlară:Colegiul Tehnic Lazăr Edeleanu, Ploiești ............................................ 73

Unitatea de învăţare: Regula lui L‟Hospital ........................................................................ 77

Profesor: Dudu Adela ...................................................................................................... 77

Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic Toma N. Socolescu Ploiești ...................................... 77

Unitatea de învăţare: Rolul derivatei întâi în studiul funcțiilor ........................................... 81

Profesor: Negrea Viorica ................................................................................................. 81

Unitatea şcolară: Colegiul Economic ”V. Madgearu” Ploiești ........................................ 81

Teză pe semestrul al II - lea ................................................................................................. 85

Profesor: Pavel Florin ...................................................................................................... 85

Unitatea şcolară: Liceul Teoretic “Șerban Vodă” Slănic ................................................. 85

Clasa: a XII-a ........................................................................................................................... 91

Unitatea de învăţare: Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp .................................. 91

Profesor: Tudorache Nicoleta .......................................................................................... 91

Unitatea şcolară: Colegiul „Ion Kalinderu”, Bușteni ....................................................... 91

Unitatea de învăţare: Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ................. 94

Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui Viete ...................................................................... 94

Profesor: Iordache Mara Georgiana ................................................................................. 94

Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic Teodor Diamant ..................................................... 94

Unitatea de învăţare: Primitive ............................................................................................ 98

Profesor: Soare Daniela ................................................................................................... 98

Unitatea şcolară: Colegiul Economic”Virgil Madgearu”,Ploieşti ................................... 98

Unitatea de învăţare: Integrarea funcțiilor raționale .......................................................... 102

Profesor: Dumitru Carmen Marilena ............................................................................. 102

Unitatea şcolară:Liceul Tehnologic Sat Cioranii de Jos, Comuna Ciorani ................... 102

Teză pe semestrul al II- lea ................................................................................................ 106

Profesor: Rusișoru Magda.............................................................................................. 106

Unitatea şcolară: Liceul Teoretic “Șerban Vodă” Slănic ............................................... 106

7

Clasa a IX-a

Test inițial 4 ore/săptămână

Profesor: Ghidu Mihaela Alexandra

Unitatea şcolară: Colegiul Național Jean Monnet- Municipiul Ploiești

Matricea de specificaţii

Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut

C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total

Mulţimea numerelor

reale,

operații, modul, radicali,

procente

I.1.(5p)

I.2.

(5p)

II.1.a

(5p)

15p

Calculul algebric,

descompunerea in

factori

I.5.(5p)

II.1.b

(5p)

II.1.a

(5p)

II.1.b

(5p)

II1c

(5p)

25p

Funcţii, funcția liniară II.1.c

(5p)

I.6.(5p) 10p

Ecuații, inecuații I.3.(5p)

I.4.(5p)

10p

Figuri geometrice plane II.2.a

(5p)

II.2.a

(5p)

II.2.c

(5p)

II.2b

(5p)

II.2b

(5p)

II.2c

(5p)

30p

Total 20p 15p 15p 15p 15p 10p 90p

Competenţe de evaluat - 4 ore

C1. Identificarea unor reguli de calcul numeric sau algebric pentru simplificarea unor calcule.

C2. Aplicarea unor reguli de calcul cu numere reale pentru rezolvarea unor ecuaţii sau

inecuaţii; aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor

elemente ale acestuia.

C3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte, proporţii,

dependenţe funcţionale, ecuaţii sau configuraţii geometrice.

C4. Exprimarea caracteristicilor matematice ale numerelor reale, funcţiilor sau ale figurilor

geometrice plane .

C5. Studierea unor situaţii-problemă din punct de vedere cantitativ sau calitativ utilizând

proprietăţile algebrice si de ordine ale mulţimii numerelor reale.

C6. Analizarea si interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme sau situaţii-problemă.

8

Test iniţial

Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerinţelor din Partea I şi Partea a II-a se acordă 90

puncte. Din oficiu se acordă 10 puncte

Timp de lucru : 50 minute

Toate subiectele sunt obligatorii

Partea I: Scrieţi litera corespunzătoare singurului răspuns corect.(30 puncte)

5p 1. Fie 2( 5 3) 5 3n . Numărul n aparţine mulţimii:

A. R\Q B. Q\Z C. Z\N D. N

5p 2. Dacă 20% din x este egal cu 150, atunci 50% din x este egal cu :

A. 1500 B. 75 C. 9 D. 375

5p 3. Mulțimea soluțiilor ecuației : 2( 3) 2 6x x este :

A. B. 2 C. R D. 3

5p 4. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei: 221 xx este:

A. )3,( B. ]3,( C. ),3( D. ),3[

5p 5. Dacă

13x

x , atunci 2

2

1x

x este egal cu :

A. 8 B. 7 C. 9 D. 2

5p 6.

Fie funcția *: , ( ) 2,f R R f x mx m R . Dacă punctul ( , 1)M m se găsește pe

graficul funcției, atunci m aparține mulțimii :

A. B. 1 C. 1,1 D. 2, 2

Partea a II-a: La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (60 puncte)

10p

10p

10p

1.

Se consideră expresia xxxxx

xE

2

2 1

1:

1

1

1

11)(

a) Pentru ce valori Rx , expresia este definită?

b) Arătaţi că }1,1{\ fiar oricare,13)( RxxxE

c) Rezolvaţi ecuaţia 2)( xE

10p

10p

10p

2.

În triunghiul dreptunghic ABC, ( ) 90 ,AD ,Dm A BC BC și

M ,cuBC BM MC . Dacă ( ) 30m DAM și 12AM cm , calculați :

a) Aria triunghiului AMC

b) Perimetrul triunghiului ABC

c) Distanța de la punctul B la dreapta AM.

S U C C E S !!!

9

Barem de evaluare

PARTEA I___________________________________________(30 de puncte)

Se punctează doar rezultatul

Nu se acordă punctaje intermediare

Nr. item 1 2 3 4 5 6

Rezultate D D C B B C

Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p

PARTEA a II_-a______________________________________(60 de puncte)

Pentru orice soluţie corectă se acordă punctajul maxim

Nu se acordă fracţiuni de puncte dar se pot acorda punctaje intermediare

1.

a)

1x

1x 5p

5p

b)

1

12

1

1

1

11

2

2

x

xx

xx

13)( xxE

6p

4p

c) 33213 xx

1x 5p

5p

2.

a) AM MC

Triunghiul AMC este echilateral 236 3AMCA cm

3p

4p

3p

b) 24BC cm

12 3AB cm

12(3 3)ABCP cm

4p

3p

3p

c) Distanţa este lungimea BP, unde BP AM

( ) 30m PAB

6 3BP cm

3p

3p

4p

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.

10

Clasa:a IX-a

Unitatea de învăţare: Progresii

Profesor: Iojea Roxana Mădălina

Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic ,,Lazăr Edeleanu’’ Municipiul Ploieşti


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Progresii aritmetice

(definiţie, formula

termenului general,

condiţia ca 3 numere să

fie ȋn progresie

aritmetică)

1 ( I 1)

5p

1 (III1)

5p

1( II 1)

5p

2 (II2

5p)

(III 4

10 p)

1 (I 4)

5p

1(III 5)

15 p

50%

( 7 itemi)

50 p

Progresii geometrice

(definiţie, formula

termenului general,

conditia ca 3 numere sa

fie in progresie

geometrică)

1 ( I 2)

5p

1( II 5)

5p

1(II4)

5p

1( III2)

(5 p)

30%

( 4 itemi)

20 p

Suma primilor n

termeni dintr-o

progresie

1 (I 3)

5p

1( II 3)

5p

1 (III3)

10 p)

20%

( 3 itemi)

20 p

TOTAL 10 p

16%

2 itemi

5p

8%

1 item

15 p

20%

3 itemi

25 p

30%

4itemi

5 p

8%

1 item

30 p

20%

3 itemi

90 p

100%

14 itemi

Competenţe de evaluat:

1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri,progresii aritmetice sau geometrice

2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondenţe, şiruri în scopul caracterizării

acestora

3. Identificarea unor formule de recurenţă pe bază de raţionamente de tip inductiv

4. Exprimarea caracteristicilor unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, diagrame,

grafice)

5. Deducerea unor proprietăţi ale şirurilor folosind diferite reprezentări sau raţionamente de

tip inductiv

6. Asocierea unei situaţii – problemă cu un model matematic de tip şir, progresie aritmetică

sau geometrică

11

Test

Subiectul I: (20 puncte) Completaţi spaţiile punctate astfel ȋncât să obţineţi propoziţii

adevărate:

5 p 1 Al şaptelea termen al şirului 1, 6, 11, 16, 21 ,... este....

5p 2 Termenul care urmează ȋn şirul 4, 2, 1, 𝟏

𝟐 ,

𝟏

𝟒 ,... este.....

5p 3 Rezultatul calculului 1+2+𝟐𝟐+...+𝟐𝟗 este ....

5p 4 Valoarea numărului real x pentru care numerele x-1, x+1, si 3x-1 sunt termenii

consecutivi ai unei progresii aritmetice este ....

Subiectul al II-lea: (25 puncte) Alegeti răspunsul corect :

5 p 1 Fie progresia aritmetică ( an) ȋn care se dau a1= 2 şi r = - 2. Al zecelea termen este:

a) 20 b) - 20 c) -16 d) 16

5p 2 Fie progresia aritmetică (an) ȋn care se dau a1=2 şi a10 = 47. Al cincilea termen este:

a) 20 b) 27 c) 30 d) 22

5p 3

Fie progresia aritmetică (an) ȋn care se dau a10=7 şi S10=25. Primul termen al progresiei

este este:

a) 2 b) -2 c) -1 d )1

5p 4. Fie progresia geometrică (bn) in care se dau b1= - 2 şi b3= −

𝟏

𝟐. Raţia progresiei este

a) 𝟏

𝟐 b) 2 c) -

𝟏

𝟐 d)

𝟏

𝟐. −

1

𝟐

5p 5 Fie progresia geometrică (bn) cu b1=27 şi q=

𝟏

𝟑 . Al cincilea termen este

a) 𝟏

𝟑 b) 𝟏 c) 3 d)

𝟏

𝟗

Subiectul al III-lea : (45 puncte) La următoarele probleme se cer rezolvările complete:

5p 1 Fie funcţia f:R→ 𝑹 , f(x)=3x-2. Arătaţi că numerele f(1), f(3) si f(5) sunt ȋn

progresie aritmetică.

5p 2. Să se determine produsul primilor 4 termeni dintr-o progresie geometrică care

are primul termen 𝟐 si raţia - 𝟐

10 p 3. Să se determine suma elementelor mulţimii A={1, 11, 21,....111}

10p 4. Fie progresia aritmetică (an) ȋn care a1 + a7 = 42 şi a10 - a3 = 21. Să se

determine primul termen si raţia.

15p 5.

O sală de spectacol are locurile dispuse pe rânduri şi pe fiecare rând, ȋncepând

cu al doilea, se află cu câte două locuri mai multe decât pe rândul precedent.

Ştiind că pe primul rând sunt 38 de locuri şi ȋn total sala are 2010 locuri, aflati

pe câte rânduri sunt dispuse locurile ȋn acea sală. (Concursul A. Haimovici-

Etapa județeană-2011)

Notă:

Timpul efectiv de lucru este de 60 minute.

Toate subiectele sunt obligatorii.

Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.

12

Barem de evaluare

Subiectul I: (20 puncte)

Se punctează doar rezultatul. Nu se acordă punctaje intermediare.

Nr item 1. 2. 3. 4.

Rezultate 31 𝟏

𝟖

1023 2

Punctaj 5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL al II-lea: (25 puncte)

Se punctează doar rezultatul. Nu se acordă punctaje intermediare

Nr item 1. 2. 3. 4. 5.

Rezultate c d b d A

Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL al III-lea: (45 puncte)

Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări

parţiale, ȋn limitele punctajului indicat in barem

1. f(1)=1

f(3)=7

f(5)=13

Verificarea condiţei ca cele 3 numere sa fie in progresie aritmetică

1p

1p

1p

2p

2. b2 = -2

b3 = 2 𝟐 b4 = - 4

P= b1 b2 b3 b4 b5 = 32

1p

1p

1p

2p

3 Elementele mulţimii sunt ȋn progresie aritmetică a1=1, r =10, an =111

Determinarea numărului de elemente ale mulţimii: 111=1+(n-1)10, de unde n=12

Suma elementelor mulţimii este S12= 𝟏+𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟐

𝟐 = 672

3p

4p

3p

4. a7=a1+6r

a10=a1+9r

a3=a1+2r

sistemul devine: 𝒂𝟏 + 𝒂𝟏 + 𝟔𝒓 = 𝟒𝟐

𝒂𝟏 + 𝟗𝒓 − 𝒂𝟏 − 𝟐𝒓 = 𝟐𝟏

de unde r =3

şi a1=12

1p

1p

1p

2p

2p

3p

13

5. Fie a1 numărul de locuri de pe primul rând, a2 numărul de locuri de pe al doilea rând şi aşa mai departe

Avem a1=38, a2= 40, a3= 42 etc

Deci a1, a2, a3, ... sunt ȋn progresie aritmetică cu primul termen a1=38 si raţia r = 2

Fie n∈ 𝚴 numărul rândurilor sălii si conform enunţului a1+a2+a3+...an=2010, ceea ce

inseamnă𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)

𝟐 =2010

a1=38 şi an=a1+(n-1) r=2n+36

Se obţine ecuaţia n2+37n-2010=0

ecuaţie care are soluţia naturală n=30, deci sala are 30 de rânduri

1p

1p

2p

3p

3p

2p

3p

14

Clasa: a IX-a

Unitatea de învăţare: Funcția de gradul I – 3 ore/săptămână

Profesor: Ionescu Maria

Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic „Lazăr Edeleanu” Municipiul Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Reprezentarea grafică a

funcţiei : , , ,f R R f x ax b a b R

I.1

(5p)

I.2

(5p)

III.a

(10p)

II.6

(5p)

II.7

(5p) 30p

Proprietățile funcției:

monotonie, semn I.5

(5p) 5p

Intersecţia graficului cu

axele de coordonate I.3

(5p)

III.b

(10p)

II.8III.d

(5p)(10

p)

III.c

(10p) 40p

Inecuații de forma

0( , , ), ,ax b a b R

I.4 II.9

(5p)(5p) 10p

Poziția relativă a două

drepte, rezolvarea

sistemelor de ecuații

II.10

(5p) 5p

Total 5p 15p 10p 25p 20p 15p 90p

Competențe de evaluat:

C1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

C2. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor,

sistemelor de ecuaţii

C3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau

din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de ecuaţii

C4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

C5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

C6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii problemă şi interpretarea rezultatului

15

Test

Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.



Subiectul I – încercuiți răspunsul corect

5p 1. Funcția , :f R R , de gradul întâi este:

A: 25 3f x x B: 3 2,f x a a R C: 5 10f x D: 1

42

f x x

5p 2. Dacă 2, 1 fA G unde : , 2 ,f R R f x x b b R , atunci b este:

A: 2 B: -2 C: -3 D: 3

5p 3. Fie funcția : , 2 3f R R f x x . Ordonata punctului de intersecție a graficului

funcției cu axa OY este egală cu:

A: 3

2 B:

3 2

2 C: 3 D: 2

5p 4. Numerele naturale soluții ale inecuației 4 3 0x x sunt:

A: 2,3,4,5,6 B: 2,3,4,5 C: 1,2,3,4,5,6,7 D: 1,2,3,4,5

5p 5. Fie funcția : , 3 2f R R f x x . Aria triunghiului determinat de graficul funcției și

axele de coordonae este egală cu :

A: 24

3u B: 22

3u C: 21

6u D:

23u

Subiectul al II –lea Completați spațiile punctate astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

5p 6. Precizați monotonia funcției *: , 3,f R R f x a x a R . Funcția f este .....

5p 7. Punctul de pe graficul funcției : , 6f R R f x x , care are ordonata

dublul abscisei este A(..... , .....)

5p 8. Fie funcția : , 3 9f R R f x x . Punctul de intersecție a graficului

funcției cu axa absciselor are coordonatele (..... , .....)

5p 9. Soluția reală a inecuației 3 2 3 3 4 7 4 5x x x este .....

5p 10. Soluția sistemului de ecuații

2 3 1

3 2 1

x y

x y

este perechea (.... , .....)

Subiectul al III-lea

Fie funcția : , 4 3f R R f x x .

5p a. Determinați coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate.

5p b. Reprezentați grafic funcția.

5p c. Să se determine punctele de pe graficul funcției care au abscisa egală cu inversa

ordonatei.

5p d. Să se determine tangenta unghiului determinat de reprezentarea grafică a funcției

cu axa ordonatelor

16

Barem de evaluare

Subiectul I

1 2 3 4 5

D D C A B

5*5p

Subiectul al II-lea

6. Strict crescătoare 5p

7. (2 , 4) 5p

8. 3 3,0 5p

9. 16,x 5p

10. (-1 , 1) 5p

Subiectul al III-lea

a. Determinarea punctelor 5p*2

b. Reprezentarea punctelor

Trasarea graficului

3p*2

4p

c.

Condiția

211 4 3 1 0

11,1 , , 4

4

x xy x xy

A B

5p

5p

d. Identificare unghiului

Calculul tangentei unghiului 1

4tg

3p

7p

17

Clasa a IX-a

Unitatea de învăţare:Funcția de gradul al doilea (graficul,intersecția cu

axele,ecuația f(x)=0,axa de simetrie)

Profesor:Dorogan Gianina

Unitatea şcolară:Colegiul Agricol Gh Ionescu Sisesti, Valea Călugărească


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut

Cunoaștere si

înțelegere Aplicare

Rezolvare de

probleme Total

Determinarea

funcției,forma canonică I.1(5p) I.2(5p) II.2.a(10p) 3(20p)

Graficul

funcției,intersecția

graficului cu axele de

coordonate

I.4(5p) I.5(5p)

II.1.b(10p) II.1.c(10p) 4(30p)

Rezolvarea ecuației

f(x)=0 I.6(5p) II.2.c(10p) 2(15p)

Simetria graficului față

de axa x=-b/2a I.3(5p) II.2.b(10p) II.1.a(10p) 3(25p)

TOTAL 3(15p) 5(35p) 4(40p) 12 itemi(90p)


1. Cunoașterea formei generale și a formei canonice a funcţiei

2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al

II-lea

3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte

semnificative)

4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5. Aplicarea unor proprietăţi si formule de calcul algebric

18

Test




Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)

5p 1. Funcția f:RR, f(x)=x 2 +6x+10 are forma canonică..........................................

5p 2. Coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:RR, f(x)=- x 2 +4x+1 sunt

x v =.............si y v =...............

5p 3. Axa de simetrie a graficului funcției f:RR, f(x)=2 x 2 -4x+3 este x=...........

5p 4. Punctul de intersecție a graficului funcției f:RR, f(x)=-6 x 2 +x+3 cu axa Oy

este.........

5p 5. Graficul funcției f:RR, f(x)= x 2 -5x+6 se intersectează cu axa Ox în

punctele..........................................

5p 6. Se consideră funcția f:RR, f(x)= 2 x 2 -mx+2.Știind că graficul acesteia este

tangent axei 0x, atunci m aparține mulțimii.................

Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.

1. Fie funcția f:RR, f(x)= -2 x 2 +8x+3.

10 p a) Determinați ecuația axei de simetrie a graficului funcției g:R→R, dată de

g(x)=f(x-2)

10 p b) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de axe ortogonale xOy.

10 p c)

Calculați aria triunghiului VAB,unde V este vârful parabolei asociat funcției

f,iar A si B reprezintă punctele de intersecție a graficului acesteia cu dreapta de

ecuație y=3.

2. Fie funcția f:RR, f(x)=(2a-1) x2

+ax+3, unde aR.

10 p a) Determinați valoarea reală a lui a,știind că A(2,9)G f

10 p b) Determinați valoarea reală a lui a,știind că x=-

6

1este axa de simetrie a

graficului funcției,

10 p c) Determinați valorile întregi ale lui a,știind că ecuația f(x)=2 nu are nicio

soluție.

19

Barem de evaluare

I.1 f(x)=(x+3) 2 +1 5 p

I.2 V(2,5) 5 p

I.3 x=1 5 p

I.4 A(0,3) 5 p

I.5 A(2,0) si B(3,0) 5 p

I.6 m 4,4 5 p

II.1.a g(x)=-2x 2 +16x-21

x=4 axa de simetrie

6 p

4 p

II.1.b Vârful parabolei,determinarea valorilor funcției

Reprezentarea grafică

6 p

4 p

II.1.c A(0,3) B(4,3)

Aria=16 u 2

6 p

4 p

II.2.a f(2)=9

f(2)=10 a-1

a=1

2 p

4 p

4 p

II.2.b x=

)12(2

a

a axa de simetrie

a=-1

6 p

4 p

II.2.c (2a-1)x 2 +ax+3=2

Ecuația nu are soluție a 2 -8a+4<0

a{1,2,3,4,5,6,7}

2 p

2 p

6 p

20

Clasa: a IX-a, 5 ore/săpt

Unitatea de învăţare: Elemente de trigonometrie- clasa a IX-a, total 21ore

Profesor: Bășcău Cornelia

Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic ” Lazăr Edeleanu”, Municipiul Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Cercul trigonometric

I.4 (4p) I.8 (4p) I.10(4p) 15% (12p)

Funcții trigonometrice

I.1 (4p) I.6 (4p) I.9 (4p) 15% (12p)

Reducerea la primul

cadran I.3 (4p) I.2 (4p) II.1a(5p) II.1b(5p)

20% (18p)

Formule trigonometrice:

sin(a+b), sin(a-b),

cos(a+b), cos(a-b)

II.2b(5p) II.2a(5p) I.7 (4p) II.4a(5p) II.4b(5p) 25% (24p)

Formule trigonometrice:

sin2a, cos2a, sina+sinb,

sina-sinb, cosa+cosb,

cosa-cosb

I.5(4p) II.3a(5p) II.3b(5p) II.3d(5p) II.3c(5p) 25% (24p)

Total 15%(12p) 20%(18p) 15%(14p) 20%(18p) 15%(14p) 15%(14p) 100% (90

p)


1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice și coordonate

carteziene pe cercul trigonometric.

2. Calcularea unor măsuri de unghiuri și arce utilizând relații trigonometrice, inclusiv

folosind calculatorul.

3. Determinarea măsurii unor unghiuri și a lungimii unor segmente utilizand relații metrice.

4. Caracterizarea unor configurații geometrice plane utilizând calculul trigonometric.

5. Determinarea unor proprietăți ale funcțiilor trigonometrice prin lecturi grafice.

6. 6.Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor.

21

Test





4p 1 Valoarea, în grade, a unghiului de 23

radiani, este: A.270

0 B.120

0 C.60

0 D.300

0

4p 2 Valoarea, în radiani, a unghiului de 1350, este: A.

4

B.

4

3 C.

2

3 D.

4p 3 Calculand sin 7500 , utilizând periodicitatea, obțineți: A.1/2

B. -1/2

C. 0

D. 1

4p 4 Calculand cos(-8400), utilizând periodicitatea/paritatea, obțineți: A.1/2

B. -1/2

C. 0

D. 1

4p 5 Numărul x [ 0, ] pentru care cos 2x < 0 este: A.4

B.

4

3 C.

2

D. 3

4p 6 Dacă a = sin 200 – sin 21

0, atunci: A. a = 0 B. a >0 C. a < 0 D. a =1

4p 7 Calculând : sin170 cos13

0 + cos 17

0 sin13

0, obținem: A.1/2

B. -1/2

C. 0

D. 1

4p 8 Numărul cos 3 este : A. a = 0 B. a >0 C. a < 0 D. a = 1

4p 9 Numarul cos 100 este: A. a = 0 B. a >0 C. a < 0 D. a = 1

4p 10

Utilizând cercul trigonometric, pe intervalul ( -2

,

2

), ecuaţia tg x = 1 are soluția:

A.4

B.

4

3 C. -

4

D.

4

Subiectul al II-lea – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.

10p 1

Pentru =

4

3, calculaţi: a) sin , b) tg

10p 2

Să se calculeze : a) sin 750 , b) cos

12

7.

20p 3 Dacă sin x =

3

2, x (

2

, ), să se calculeze : a) sin 2x, b) cos 2x, c) tg 2x, d) sin 4x

10p 4

Dacă sin a =3

1, cos b =

5

1, a (

2

, ), b (

2

3, 2 ), atunci să se calculeze:

a) sin ( a + b) , b) tg (a + b).

22

Barem de evaluare

Subiectul I

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim

prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte. Nu se acorda punctaje intermediare.

Rezultat B B A B C C A C D A

Punctaj 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p

Subiectul II

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă

punctajul maxim corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje

intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

1.a)

4

3(

2

, )

sin x > 0, x( 2

, )

sin 4

3= sin

4

=

2

2

1p

1p

3p

1.b) tg x < 0, x(

2

, )

tg 4

3= - tg

4

= - 1

1p

4p

2.a) sin750= sin(30

0+45

0)=sin30

0 cos45

0 + cos 30

0 sin45

0

= 1 2 3 2 2 6

2 2 2 2 4

2p

3p

2.b) cos

12

7= cos (

4

+

3

)= cos

4

cos

3

- sin

4

sin

3

=

1 2 3 2 2 6

2 2 2 2 4

2p

3p

3.a) sin2x + cos

2x=1

cos x= 5

3 , x( 2

, ), deci cos x = -

5

3

sin 2x= 2 sin x cos x = -2 2 5 4 5

3 3 9

1p

2p

2p

3.b) cos 2x= 1- 2 sin2x=

=1/9

2p

3p

3.c) tg 2x =

sin 2

cos 2

x

x=

= 4 5

2p

3p

23

3.d) sin 4x = 2 sin 2x cos 2x =

=4 5 1 8 5

29 9 81

2p

3p

4.a) cos a =

2 2

3

sin b=2 6

5

sin (a+b) = 1 8 3

15

2p

2p

1p

4.b) tg (a+b)=

sin( )

cos( )

a b

a b

cos (a+b) = 2 2 2 6

15

tg (a+b)=

1 8 3 50 2 18 6

162 6 2 2

1p

2p

2p

24

Clasa a X-a

Unitatea de învăţare:Logaritmi

Profesor:Necula Elena

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic Forestier Câmpina


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Noţiunea de logaritm I.1(5p) I.3.(5p) 10p

Proprietăţi ale

logaritmilor I.4.(5p) I.5.(5p)

II.5.(10

p)

II.4(10p

) 30p

Calcule cu logaritmi I.2.(5p) I.6.(5p)

II.3.(20

p) 30p

Operaţia de logaritmare

II.2.(10

p)

II.1.(10

p) 20p

Total 15p 10p 20p 30p 10p 5p 90p


C1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi formei de scriere a

unui număr real în contexte specifice.

C2. Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate.

C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali şi logaritmi pe contexte

variate.

C4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor.

C5. Utilizarea unor metode algebrice pentru rezolvarea ecuaţiilor şi inecuaţiilor.

C6. Studierea unor situaţii problemă din punct de vedere cantitativ şi calitativ utilizând

proprietăţile algebrice şi de ordine ale mulţimii numerelor reale.

25

Test




Subiectul I - Scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect ( 30 p )

5p 1. Valoarea reală a lui x pentru care are loc egalitatea: log𝑥 0,0001 = −4 , este: a). 4 b).10 c).0,1 d).10

-1

5p 2. Rezultatul calculului log2 0,5 − log3

1

3 este:

a). 2 b).-1 c).0 d).2

5p 3. Domeniul maxim de definiţie D, al funcţiei f:D→R, 𝑓(𝑥) = log3

𝑥−3

𝑥+3 este:

a). −3; 3 b). −3; 3 c) −3; +∞ d). −∞; −3 ∪ 3; +∞ .

5p 4. Exprimarea lui log5 100 cu ajutorul lui 𝑎 = log5 2 este: a).2(a+1) b) 50a c)2a+1 d)a+10.

5p 5. Rezultatul calcului log3 log2 log2 256 este:

a).0 b).3 c).1 d).2.

5p 6. Partea întreagă a lui 𝑥 = 𝑙𝑔

2

5 , ştiind că lg4≅0,60206, este:

a).1 b).0 c).-1 d)2.

Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete (60p) .

10p 1. Să se determine valorile reale ale lui x pentru care există funcţia

𝑓(𝑥) = log𝑥+1 𝑥2 + 5𝑥 + 6 .

10p 2. Să se logaritmeze în baza 2 expresia E=2 4 2

3

2 163

.

20p 3. Să se exprime în funcţie de a= log3 24 numărul log12 48.

10p 4. Să se arate că expresia

𝐸 =log 4 𝑥+log 𝑥 𝑥

log 2 𝑥2−log 2 𝑥, unde 𝑥 > 0 ş𝑖 𝑥 ≠ 1, nu depinde de x.

10p 5.

Să se verifice dacă numărul

𝐴 = log5 5 − 2 5 + log5 5 + 2 5 + log5 0,043 + log51

53 este număr

natural.

26

Barem de evaluare

I.1. b). 10 5p

I.2. c). 0 5p

I.3. d). −∞; −3 ∪ 3; +∞ . 5p

I.4. a). 2(a+1) 5p

I.5. c). 1 5p

I.6. c). -1 5p

I TOTAL 30p

II.1 Fixarea condiţiilor de existenţă x+1> 0

𝑥 + 1 ≠ 1

𝑥2 + 5𝑥 + 6 > 0

Rezolvarea inecuaţiei x+1> 0

Rezolvarea inecuaţiei 𝑥2 + 5𝑥 + 6 > 0.

Găsirea domeniului maxim de definiţie (-1;0)U(0;+∞)

3p

2p

2p

3p

II.2 Calculul numărătorului: 2

11

6

Gasirea numitorului : 27

6

E= 22

3

Logaritmarea expresiei şi găsirea numărului

log2 𝐸 =2

3

2p

2p

3p

3p

II.3 Exprimarea în funcţie de a numarului log3 2 =𝑎−1

3

Trecerea din baza 12 în baza 3

Găsirea rezultatului log12 48 =4𝑎−1

2𝑎+1

5p

5p

10p

II.4 Găsirea rezultatului 𝐸 =log 4 𝑥

log 2 𝑥

𝐸 =1

2, care nu depinde de x.

5p

5p

II.5 Calculul log5 5 − 2 5 + log5 5 + 2 5 = 1

log5 0,043

=1

3log5

1

25

log5

1

53 = −

1

3

Finalizarea calculului

3p

2p

2p

3p

II TOTAL 60p

27

Clasa: aX-a

Unitatea de învăţare: Numere complexe sub formă algebrică

Profesor :Ţaga Loredana

Unitatea şcolară: Colegiul Economic “Virgil Madgearu” Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut

C1

Cunoaştere

C2

Înţelegere

C3

Aplicare

C4

C5

Rezolvare

de

probleme

C6 Total(%)

Egalitatea numerelor

complexe 2/0,4 2/0,4

3/0,6

I1(3p)

3/0,6

III1

(5p)

10%

8p

Adunarea şi înmulţirea

numerelor complexe 5/1

I2(3p)

5/1

I3(3p)

7,5/1,5

II1(5p)

7,5/1,5

III2,

(5p)

III3

(5p)

25%

21p

Puterile lui i. Ridicarea la

putere 4/0,8

I4(3p) 4/0,8

6/1,2

II2(5p)

6/1,2

III4

(5p)

20%

13p

Conjugatul unui număr

complex si împărţirea

numerelor complexe

5/1

I5(3p)

5/1

I6(5p)

7,5/1,5

II3(5p),

II4(5p)

7,5/1,5

III5

(5p)

25%

23p

Modulul unui număr

complex 2/0,4 2/0,4

I7(5p)

3/0,6

II5(5p)

3/0,6

III6

(5p)

10%

15p

Rezolvarea ecuaţiei de

gradul al doilea cu Δ

negative

2/0,4 2/0,4 3/0,6

II6(5p)

3/0,6

III7

(5p)

10%

10p

Total(%) 20%

9p

20%

13p

30%

33p

30%

35p

100%

90p


C1: Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere

a unui număr complex în contexte specifice.

C2: Egalitatea numerelor complexe folosită în contexte variate.

C3: Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere complexe în contexte variate.

C4: Alegerea formei de reprezentare a unui număr complex în vederea optimizării calculelor.

C5: Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor.

C6: Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere complexe scrise în forme

variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii.

28

Test

Subiectul I ( 25p) – Alegeţi răspunsul corect:

3p 1 Numărul a din egalitatea 3+(a-1) i = 3+5 i este:

a) 4 b) 5 c) 6

3p 2 Rezultatul calculului (2-7i)+(-6-i) este:

a) 8+8i b) -4-8i c) -4+6i

3p 3 Produsul numerelor 2-3i şi 2+3i este:

a) 2 b) -5 c) 13

3p 4 Numărul complex i

2015 este egal cu:

a) –i b) i c) 1

3p 5 Conjugatul numărului complex -7+5i este:

a) 7-5i b) -7-5i c) 5+7i

5p 6 Partea reală a numărului complex 1-i/1+i este :

a) 1 b) 2 c) 0

5p 7 Modulul numărului complex 3-4i este:

a) 5 b) -7 c) 1

Subiectui II (30p) - Scrieţi rezultatele:

5p 1 Scrieţi rezultatul calculului: 4+3i-(3-i)(-4+2i)=

5p 2 Calculaţi: (1+i)2(1-i)

2 :

5p 3 Scrieţi conjugatul numărului: (3+2i )2 :

5p 4 Calculaţi: (4-3i) / (4+3i)

5p 5 Modulul numărului complex z = i / (4+3i) este:

5p 6 Soluţiile ecuaţiei x2+2x+5=0 sunt:

Subiectul III( 35p) – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete:

5p 1 Să se determine x şi y numere reale dacă: (1-2i)x+(1+2i)y = 1+i .

5p 2 Dacă z1= 5-2i şi z2= 3+4i să se determine z1+z2+z1z2 .

5p 3 Aflaţi numerele reale a şi b din egalitatea: (a+5i)(2-6i)=(-3+i)(7-bi)

5p 4 Calculaţi: 1+i+i2+i

3+...+i

36

5p 5 Calculaţi: [(1-2i)3+(1+2i)

3] / (i-2)

5p

6 Aflaţi modulul numărului : (4-6i)

2(2+i)

2

5p 7 Rezolvaţi ecuaţia: (2x-5)(2x+5) = x2-6x-35 .

Notă: Timpul efectiv de lucru este 60 de minute.



29

Barem de evaluare

I1 Raspuns corect : c) 3p

I2 Raspuns corect : b) 3p


I4 Raspuns corect : a) 3p

I5 Raspuns corect : b) 3p


I7 Raspuns corect : a) 5p

II1 Răspuns: 14-7i 5p

II2 Răspuns: 4 5p

II3 Răspuns: 5-12i 5p

II4 Răspuns: 7/25- 24/25 i 5p

II5 Răspuns: 1/5 5p

II6 Răspuns: -1+2i şi-1-2i 5p

III

1

Calculul (x+y)+(-2x+2y)i=1+I

Rezolvarea sistemului x+y=1, -2x+2y=1

3p

2p

III

2

Calculul z1+z2

Calculul z1z2

Finalizare

2p

2p

1p

III

3

Efectuarea înmulţirilor: 2a+30+(10-6a)i= b-21 +(3b+7)i

Rezolvarea sistemului: 2a+30=b-21 , 10-6a=3b+7

3p

2p

III

4

Calculul 1+i+i2+i

3=0

Calculul 1+i+...+i35

+i36

=0+1=1

2p

3p

III

5

Calculul [(1-2i)3+(1+2i)

3] = -22

Calculul: -22/(i-2)

3p

2p

III

6

Modulul lui (4-6i)2

Modulul lui (2+i)2

Finalizare

2p

2p

1p

III

7

Efectuarea inmulţirii

Determinarea ecuaţiei: 3x2+6x+10=0

Rezolvarea ecuaţiei

1p

2p

2p

30

Clasa:a X-a

Unitatea de învăţare: Rezolvarea în C a ecuației de gradul al doilea cu

coeficienți reali

Profesor:Dumitru Olguța

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic ”Gheorghe Lazăr ” Plopeni


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Operații cu numere

complexe II3(4p)

4%

4 p

Ecuația de gradul II ,

algoritmul de rezolvare

I1(5p),

I2(5p) I3(5p)

II1a(10p)

II1b(10p)

50%

35p

Relațiile lui Viete I4(5p)

II3(6p),

II2(10p) III(20p)

36%

41p

Ecuații bipătrate II4(10p)

10 %

10 p

Total 20%

10p

24%

14p

46%

46 p

10%

20p 90 p


C1. Recunoașterea formei unei ecuații de gradul al doilea, completă sau incompletă

C2. Recunoașterea și aplicarea formulei discriminantului unei ecuații de gradul al doilea, a

relațiilor lui Viete

C3. Rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea și a ecuațiilor bipătrate.

C4. Formarea unei ecuații când știm relații între rădăcini.

31

Test

Notă: Timpul efectiv de lucru este de 45 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Subiectul I . Scrieţi pe foaie doar răspunsurile.

5p 1 Se dă ecuația x2+ 3x +4 =0 . atunci a= ..., b= ..., c= ... .

5p. 2 Dacă x2 +4 =0 atunci b=.... .

5p 3 Pentru ecuația x2 – 4x +5 =0 valoarea discriminantului este ....

5p. 4 Dacă x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației x2+6x +13 =0, atunci x1 +x2= .... .

Subiectul II. Scrieţi pe foaie rezolvările complete.

10p.

10p 1

Rezolvați ecuațiile:

a) 2x2 – 2x +1 =0

b) x2+4x +13 =0

10p 2 Fie ecuația x

2 +3x +9 =0 cu rădăcinile x1 și x2. Calculați x1+x2 –x1x2.

10p 3 Formați o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile x1= 3+4i și x2 =3- 4i

10p 4 Rezolvați ecuația x4-x

2 -20=0

Subiectul III. Scrieţi pe foaie rezolvările complete.

20p.

1

Fie ecuația x2 -4x +7 =0 și x1, x2 soluțiile ecuației. Să se formeze ecuația de

gradul al doilea cu rădăcinile y1 și y2 ,unde y1=x12+x2

2 și y2=

𝟏

𝒙𝟏+

𝟏

𝒙𝟐

32

Barem de evaluare

I1 a= 1, b=3, c= 4 5p

I2 b= 0 5p

I3 ∆= - 4 5p

I4 x1+x2= -6 5p

II

1a ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟒 − 𝟖 = −𝟒

𝒙𝟏 =−𝒃 + 𝒊 −∆

𝟐𝒂= 𝟏 + 𝒊

𝒙𝟐 =−𝒃 − 𝒊 −∆

𝟐𝒂= 𝟏 − 𝒊

2p

4p

4p

II

1b ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟏𝟔 − 𝟓𝟐 = −𝟑𝟔

𝒙𝟏 =−𝒃 + 𝒊 −∆

𝟐𝒂= −𝟐 + 𝟑𝒊

𝒙𝟐 =−𝒃 − 𝒊 −∆

𝟐𝒂= −𝟐 − 𝟑𝒊

2p

4p

4p

II 2 S= −𝒃

𝒂 = -3, p =

𝒄

𝒂 =9

x1+x2 –x1x2 = 6

3p

3p

4p

II 3 s = x1 +x2 =6, p = x1 x2 = 9+ 16 =25

x2-sx+p =0

x2-6x +25 =0

4p

3p

3p

II 4 Notăm x2=t

t2-t – 20 = 0

Calculul rădăcinilor t1=5 și t2 = - 4

Calculul x1, x2 = ± 𝟓

Calculul x3, x4 = ±𝟐𝒊

2p

1p

3p

2p

2p

III x1+x2= 4, x1x2 =7

y1= x12 +x2

2 =s

2-2p = 2

y2 = 𝟏

𝒙𝟏+

𝟏

𝒙𝟐 =

𝟒

𝟕

Calculul y1 +y2 = 𝟏𝟖

𝟕, y1y2 =

𝟖

𝟕

Formarea ecuației y2 –sy+p =0

7 y2- 18y +8 =0

2p

4p

4p

3p

2p

5p

33

Clasa:a X-a

Unitatea de învăţare: Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex.

Ecuaţii binome.

Profesor:Brabeceanu Silvia

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic „ Gheorghe Lazăr” Plopeni


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Scrierea formei

trigonometrice a unui

complex.

6%

0,72

1 item

8%

0,96

1 item

6%

0,72

1 item

20%

2,40

Aflarea rădăcinilor de

ordinul n ale unui număr

complex.

9%

1,08

1 item

12%

1,44

1 item

9%

1,08

1 item

30%

3,60

Rezolvarea ecuaţiilor

binome folosind forma

trigonometrică a

numărului complex.

9%

1,08

1 item

12%

1,44

1 item

9%

1,08

1 item

30%

3,60

Corespondenţa între

soluţiile trigonometrice şi

cele algebrice.

6%

0,72

1 item

8%

0,96

1 item

6%

0,72

1 item

20%

2,40

Total 30%

4 itemi

40%

4 itemi

30%

4 itemi 100%


C1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere complexe scrise algebric şi a formei de

scriere trigonometrică.

C3. Aplicarea unor logaritmi specifici de calcul pentru determinarea rădăcinilor de ordinul

„n” a unui număr complex şi rezolvarea unei ecuaţii binome.

C4. Optimizarea rezolvării unor probleme cu numere complexe pentru a găsii rădăcinile de

ordinul „n” şi a determina soluţiile unei ecuaţii binome, precum şi corespondenţa dintre

forma algebrică şi forma trigonometrică a soluţiilor.

34

Test

PARTEA I Scrieţi litera corespunzătoare singurului răspuns corect. ( 30 de puncte )

5p 1.

Forma trigonometrică a numărului complex 3 3z i este:

A. 7 7

cos sin4 4

i B.

3 33 cos sin

4 4i

C. 7 7

6 cos sin4 4

i

D.

3 32 cos sin

4 4i

5p 2. Pentru numărul complex

1 3

2 2z i argumentul redus este:

A. 30ot B. 60ot C. 135ot D. 270ot

5p 3.

Fiind dat numărul complex cos sin4 4

z i

, o rădăcină de ordinul 2n este:

A. 1

9 9cos sin

8 8Z i

B. 1

3 3cos sin

8 8Z i

C. 1 2 cos sin8 8

Z i

D. 1

5 52 cos sin

4 4Z i

5p 4.

Pentru numărul complex 1z i , o rădăcină de ordinul 3n este

60 2 cos sin

4 4Z i

, atunci forma algebrică a rădăcinii este:

A. 1 i B. 6 2 1 i C. 6 2

12

i D. 6 2 2

12

i

5p 5. Rădăcinile complexe sub formă algebrică ale ecuaţiei 4 1 0z sunt:

A. 2z i B. 1 1z i şi 2 1z i C. z i D. 1 1 2z i şi 2 2z i

5p 6.

Ecuaţia binomă 3 1 0z are una dintre soluţii scrisă sub formă trigonometrică de forma:

A. 2

1 2 2cos sin

2 3 3Z i

B. 2

4 4cos sin

3 3Z i

C. 32

4 42 cos sin

3 3Z i

D. 2

2 2cos sin

3 3Z i

PARTEA a II-a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. ( 60 de puncte )

1. Se consideră numărul complex 1 2 1 2z i x i y

10p a). Să se determine numerele reale x şi y pentru care 1z i .

10p b). Pentru 1

4x şi

3

4y să se scrie forma trigonometrică a numărului complex z .

10p c). Calculaţi rădăcinile de ordinul 3n ale lui 1z i .

35

2. Pe mulţimea numerelor complexe se consideră ecuaţia 6 32 1 0z z i .

10p a). Să se aducă la o formă mai simplă expresia 6 32 1z z i .

10p b). Să se rezolve ecuaţia 3 0z i .

10p c). Să se calculeze 1 2Z Z , rezultatul fiind adus la forma algebrică, unde 1 2,Z Z sunt

soluţiile sub formă trigonometrică ale ecuaţiei 3 0z i , pentru 1,2k .

36

Barem de evaluare

Partea I.

I.1. 7 76 cos sin

4 4z i

. Răspuns corect C. 5p

I.2. 60ot . Răspuns corect B. 5p

I.3. 1

9 9cos sin

8 8Z i

. Răspuns corect A. 5p

I.4.

6 2 21

2i

. Răspuns corect D. 5p

I.5. z i . Răspuns corect C. 5p

I.6. 2

4 4cos sin

3 3Z i

Răspuns corect B. 5p

Partea a II-a

1.a). 2 2 1x ix y iy i

1

2 2 1

x y

x y

Finalizare 1

4x şi

3

4y

4p

4p

2p

b). Pentru

1

4x şi

31

4y z i

2r şi 4

t

2 cos sin4 4

z i

4p

4p

2p

c). 3n şi 0,1,2k , 3 6 2r

60 2 cos sin12 12

ok Z i

61

3 31 2 cos sin

4 4k Z i

62

17 172 2 cos sin

12 12k Z i

2p

2p

3p

3p

2.a).

26 3 3 3 22 1 2z z i z z i i

Finalizare 2

6 3 32 1z z i z i

2

3 0z i

4p

4p

2p

37

b). 3 0 1z i r şi 2

t

00 cos sin6 6

k Z i

1

5 51 cos sin

6 6k Z i

2

9 92 cos sin

6 6k Z i

2p

2p

2p

2p

c). 1 2

5 9 5 9cos sin cos 2 sin 2

6 6 6 6 3 3Z Z i i

1cos 2

3 2

3sin 2

3 2

1 2

1 3

2 2Z Z i

3p

3p

3p

1p

38

Clasa: a X-a

Unitatea de învăţare: Funcții injective, surjective, bijective, inversabile.

Profesor:Aruncutean Lidia

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic "Lazăr Edeleanu" Municipiul Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut

C1 C2 C3 C4 C5 Total puncte

Injectivitate: definiţie,

proprietăţi.

I.1.(2p)

II.2a)

(5p)

I.2.(2p) I.3.(5p)

I.2.(3p)

II.2a)

(5p)

II.2c).

(5p) 27

Surjectivitate: definiţie,

proprietăţi.

II.2b).

(3p) I.1.(3p)

II.2b).

(2p)

I.4.(5p)

II.1c).

(2p) 15

Bijectivitate: definiţie,

proprietăţi. I.5.(2p)

II.1c)

(5p)

II.2c).

(5p)

II.2b).

(5p)

I.5.(3p)

20

Funcţii inversabile: definiţie,

proprietăţi.Condiţia necesară

şi suficientă ca o funcţie să

fie inversabilă.

II.1a).

(4p)

II.1b).

(4p)

II.1a).

(6p)

II.1c)

(3p)

I.6.(3p)

I.6.(2p)

II.1b).

(6p)

28

Total

16 14 21 21 18 90 puncte


1. Trasarea graficelor unor funcţii.

2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor

proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate,

continuitate, convexitate).

3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii .

4. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor.

5. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în

rezolvarea unor ecuaţii algebrice.

39

Test

Subiectul I – Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect.

5p 1 Functia f:(-1,∞)→[ ,∞) f(x)= x

2+x+1 este

A)injectivă B) surjectivă C) bijectivă D) inversabilă

5p 2 Fie f(x)=-x

2+2x-m+3, f:D→ R. Pentru care mulțime D funcția este injectivă:

A) (-∞,1) B) R C) (-∞,2) D) (m-3,∞)

5p

3 Precizați care dintre următoarele funcții sunt injective: f1(x)= , f1:R →R ;

f2(x)=x2+1; f2:[0,∞) →R ; f3(x)=x

3-x

2; f3:R →R ; f4(x)=x+1; f4:R →R

A) f1 si f2 B) f1 și f 4 C) f3 și f 4 D) f2 și f 4

5p

4 Precizați care dintre următoarele funcții sunt surjective:

f1(x)=-3x+1, f1:(-∞,0] →[0, ∞); f2(x)=x2+1; f2:[0,∞) →[1, ∞); f3(x)=x

2+2x; f3:[-

1,∞) →[-1, ∞); f4(x)= , f4:[0,∞) →[0,∞) ;

A) f1 si f 4 B) f1 si f 3 C) f2 si f 3 D) f2 si f 4

5p

5 Precizați care dintre următoarele funcții sunt bijective: f1(x)=x+1, f1:Z →Z;

f2(x)=2x+1, f2:Z →Z; f3(x)=-x+3, f3: [0,3] →[-3,3]; f4(x)=x2+4x+1;

f2:(-∞,-2) →[-3, ∞);

A) f2 si f 3 B) f1 si f 4 C) f1 si f 3 D) f3 si f 4

5p

6 Inversa funcției f:R →R f(x)=-2x+1 este

A) g(x)= , g:R →R; B) g (x)= 2x-1, g:R→ R; C) g(x)= , g:R-{ →R

D) g(x)= - +1 g:R*→ R;


1. Fie funcţia bijectivă f:R→ R, f(x)= .

10p a) Reprezentaţi grafic funcţia f şi precizaţi mulţimea, f-1

([0,1]).

10p b) Calculaţi f-1

(-3)+ f-1

(-1)+ f-1

(5).

10p c) Aflaţi inversa funcţiei f.

2. Fie funcţia f:R→ R, f(x)= .

10p a) Aflaţi valorile reale ale lui a pentru care funcţia este injectivă.

10p b) Pentru a=1, demonstraţi că f este bijectivă.

10p c) Dacă g(x)=3x+2, g:R→ R, arătaţi că h(x)=f(x)-g(x), h:R→ R, nu este bijectivă.

Notă:


Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.

Din oficiu se acordă 10 puncte.

40

Barem de evaluare

Subiectul I (30 puncte)

-Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim

prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.

-Nu se acordă punctaje intermediare.

1 B 5p

2 A 5p

3 D 5p

4 C 5p

5 B 5p

6 A 5p

Subiectul II (60 puncte)

-Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul

maxim corespunzător.

- Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări

parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

1.a) Completarea tabelului de variație al funcției

Trasarea graficului

f-1

([0,1])=[-1/2,0]

4p

4p

2p

1.b) f(x)=-3 2x+1=-3 => x=-2

f-1

(-3)=-2;

f(x)=-1 => 2x+1=-1 => x=-1;

f-1

(-1)=-1

f(x)=5 => x2+1=5 => x=2

f-1

(5)=2

f-1

(-3)+ f-1

(-1)+ f-1

(5)=-1

2p

1p

2p

1p

2p

1p

1p

1.c) y>1, x2+1=y => x=

y≤1, 2x+1=y => x=

f-1(x)=

4p

4p

2p

2.a) x≥1 => x+1≥2

x<1 => 3x-a<3-a

f injectivă, dacă 3-a≤ 2 => a≥1.

4p

4p

2p

2.b) f(x)=

f injectivă

f surjectivă

f bijectivă

1p

4p

4p

1p

2.c) h(x)=

h(-1)=-a-2

h(0)=-a-2

h(-1)=h(0) => h nu este injectivă =>nu e bijectivă

2p

3p

3p

2p

Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.

41

Clasa:a-X-a

Unitatea de învăţare:Ecuatii Iraționale

Profesor:Canache Georgiana

Unitatea şcolară:Școala Gimnazială I.A.Basarabescu, Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Calcul cu numere reale și

aplicarea formulelor de

calcul prescurtat

I1-6p II2d-1p II2c-2p II1b-2p II2d-2p 13

Rezolvarea ecuatiilor de

gradul I in multimea

numerelor reale

I2-6p

I3-6p II2a-2p

II1a-3p

II2b-6p II2c-2p II1c-7p

II1b-4p

II2d-5p 41

Rezolvarea ecuatiilor de

gradul II in multimea

numerelor reale

II2a-2p 2

Rezolvarea inecuatiilor

de gradul I in multimea

numerelor reale

I5-6p

II2b-2p II1a-1p II1c-3p II1b-2p II2a-3p 17

Ecuatii irationale cu unul

sau doi radicali de acelasi

ordin sau de ordine

diferite

II2b-1p

II2c-2p

I3-6p

II2d-1p II1a-1p II2a-2p II2c-2p II1b-2p 17

Total 21

18 13 9 13 16 90p


C1 Identificarea tipurilor de ecuatii irationale .

C2 Stabilirea domeniului de existenta pentru radicalii de ordin par.

C3 Rezolvarea ecuatiilor irationale cu solutii in multimea numerelor reale.

C4 Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie printr-o ecuatie

de o variabilă.

C5 Interpretarea unor probleme de calcul în vederea optimizării rezultatului.

42

Test




Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare) 30p

6p 1. Soluția întreagă a ecuației 𝒙 =2 este .......

6p 2. Soluția naturală a ecuației 𝒙 + 𝟓 =3 este........

6p 3. Soluția reala a ecuației 𝟐𝒙 − 𝟒 = -4 este .......

6p 4. Soluția reala a ecuației 𝒙𝟑

=-2 este ......

6p 5. Intervalul în care x ia valori pentru a rezolva ecuația 𝟒 − 𝒙 =4 este ........

Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete-60p

25p 1.

Sa se rezolve ecuațiile în mulțimea numerelor reale :

a) 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟑

b) 𝟕 − 𝒙 − 𝟑 =3

c) 𝟏 − 𝒙 − 𝟐𝟑

=-2

35p 2.

Rezolvati ecuatiile in multimea numerelor reale:

a) 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝒙 − 𝟏

b) 𝟐 + 𝒙𝟑

+ 𝟐 − 𝒙𝟑

= −𝟏

c) (𝟑 − 𝒙)𝟐𝟑+ 𝟐𝒙 − 𝟔

𝟑 = 𝟑 − 𝒙

𝟑

d) 𝟐 − 𝒙𝟑

=1- 𝑥 − 1

43

Barem de evaluare

Subiectul I 30p

1. 4 6p

2. 4 6p

3. ∅ 6p

4. -8 6p

5. (-∞; 𝟒] 6p

Subiectul II 60 p

1. a) 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟑

C.E . 4x-5≥ 0 <=> x𝝐[𝟓

𝟒 ;∞)

4x-5=3 => x=2

1p

4p

b) 𝟕 − 𝒙 − 𝟑 =3

C.E. x-3≥ 0=> x≥ 3 <=> x 𝝐 [3;52]

𝟕 − 𝒙 − 𝟑 ≥ 0<=> x≤ 52

7- 𝒙 − 𝟑 =9 <=> 𝒙 − 𝟑 = -2

x = ∅

4p

3p

3p

c) 𝟏 − 𝒙 − 𝟐𝟑

=-2

C.E. x-2≥ 0 <=> x≥ 2 <=> x𝝐[2;∞)

1- 𝒙 − 𝟐 = -8 <=> 𝒙 − 𝟐 =9 <=> x-2=81 <=> x=83

3p

7p

2. a) C.E.3x+1≥ 0 <=>x≥ −𝟏

𝟑 <=>x 𝝐 [−

𝟏

𝟑 ; ∞)

x-1≥ 0 <=> x≥ 1 <=> x 𝝐 [𝟏 ; ∞)

x 𝝐 [𝟏 ; ∞)

3x+1=(𝒙 − 𝟏)𝟐 3x+1=x

2-2x+1 x

2-5x=0 x(x-5)=0

x=0 si x=5

Solutia x=5

3p

4p

2p

b) 𝟐 + 𝒙𝟑

+ 𝟐 − 𝒙𝟑

= −𝟏

C.E. x≥ 0 <=> x 𝝐 [𝟎 ; ∞)

2+ 𝒙 +2- 𝒙 +3 𝟐 + 𝒙𝟑

∙ 𝟐 − 𝒙𝟑

∙ (-1) =-1

4-3 𝟒 − 𝒙𝟑

=-1 3 𝟒 − 𝒙𝟑

=-5 𝟒 − 𝒙𝟑

=−𝟓

𝟑 4-x = −

𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟕 x=4+

𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟕 x=

𝟐𝟐𝟑

𝟐𝟕

2p

7p

c) (𝟑 − 𝒙)𝟐𝟑+ 𝟐𝒙 − 𝟔

𝟑 = 𝟑 − 𝒙

𝟑

(𝟑 − 𝒙)𝟐𝟑− 𝟐 𝟑 − 𝒙 𝟑

= 𝟑 − 𝒙𝟑

| : 𝟑 − 𝒙𝟑

𝟑 − 𝒙𝟑

= 𝟎 <=> 𝒙 = 𝟑

𝟑 − 𝒙𝟑

− 𝟐𝟑

= 𝟏 <=> 𝟑 − 𝒙𝟑

= 𝟐𝟑

+ 𝟏 | 3

3-x =( 𝟐𝟑

+ 𝟏)3 3-x=3+3 𝟐

𝟑 +3 𝟒

𝟑 x=-3 𝟐

𝟑 -3 𝟒

𝟑

1p

2p

3p

2p

44

d) 𝟐 − 𝒙𝟑

=1- 𝑥 − 1

C.E. 2-x≥ 0 <=> x≤2 <=> x 𝝐 (− ∞; 𝟐]

Notam 𝟐 − 𝒙𝟑

=a x=2-a3

𝑥 − 1 =b x =b2+1

a=1-b

2- a3= b

2+1 2-(1-b)

3=b

2+1b

3-4b

2+3b=0

b=0 x=1

b=1x=2

b=3x=10 ∉ (− ∞; 𝟐]

1p

1p

1p

1p

2p

3p

45

Clasa:aX-a

Unitatea de învăţare:Ecuaţii exponenţiale si logaritmice

Profesor:Comşa Teodora

Unitatea şcolară:Liceul Tehnologic”1 Mai”,Municipiul Ploieşti


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut

C1 C2 C3 C4 C5 C6 Nr.itemi

Bijectivitatea funcţiilor

exponenţiale/logaritmice

0.36

0.36

0.54x

I1 0.18

0.18

0.18 1

Injectivitatea funcţiilor

exponenţiale/logaritmice

0.54

0.54

0.81x

I2

0.27x

II1 0.27 0.27 2

Substituţia si reducerea la

ecuaţie de gradul II

0.54

0.54

0.81x

II4 0.27

0.27x

II5 0.27 2

Operaţii cu puteri 0.18x

I3

0.18 x

II2 0.27 0.09 0.09 0.09 2

Operaţii cu logaritmi şi

condiţii de

existenţă/verificarea

solutiilor

0.18 0.18x

I4 0.27 0.09 0.09

0.09x

II3 2

Nr.itemi 1 2 3 1 1 1 9


C1-Cunoştinţe referitoare la puteri şi logaritmi,proprietăţi de injectivitate,bijectivitate şi

inversabilitate ale funcţiilor exponenţiale şi logaritmice

C2-Înţelegere-conceptului de ecuaţie logaritmică,ecuaţie exponenţială

C3-Aplicarea-formulelor de calcul pentru operaţii cu puteri şi logaritmi,algoritmilor de

rezolvare a ecuaţiilor prin substitutii,rezolvarea sistemelor de inecuaţii din condiţiile de

existenţa

C4-Analiză-condiţiilor de existenţa a logaritmilor,radicalilor şi a soluţiilor ecuaţiilor

exponenţiale, alegerea metodei adecvate de rezolvarea ecuaţiilor

C5-Sinteză-stabilirea conexiunilor între funcţia exponenţială şi logaritmică

C6-Evaluare-verificarea soluţiilor în cazul ecuaţiilor ecuaţiilor logaritmice,stabilirea mulţimii

soluţiilor.

46

Test


Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.


10p 1 Ecuaţia .

8

4

2

1 x

x are soluţia ........

10p 2 Soluţia ecuaţiei .1log 3

2 x este ........

5p 3 Ecuaţia .42 2log

x

admite soluţia x=4 pentru ca ......

10p 4 Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei .0)12(log 1

4 x este ........


5p 1 Să se rezolve ecuaţia .2822 3 xx

10p 2 Să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei

x

x

3

13 2

.

10p 3

Să se rezolve ecuaţia .1)42(log)2(log 2

2

2 xxx

15p 4 Să se determine soluţiile reale negative ale ecuaţiei .

2

522 xx

15p 5 Să se calculeze produsul rădăcinilor ecuaţiei .03lg4lg2 xx

47

Barem de evaluare

I1 x=1 10p

I2 x=8 10p

I3 Verifica ecuaţia 5p

I4 {0} 10p

II1 .28)18(2 x rezulta x=2 3p+2p

II2 xxxx 233 2 (injectivitatea funcţiei exp.)

Pentru xϵ[0,2] ecuaţia devine 0452 xx cu soluţia x=1,deci o soluţie.

2p+2p+2p

+3p+1p

II3 Logaritmii exista daca 042022 xsixx ,deci 2x

Aplică formula diferenţei logaritmilor şi rezultă 0652 xx cu soluţia x=3

2p+1p+2p

+3p+2p

II4 Aplică metoda substituţiei tx 2 ,t>0 şi ecuaţia devine 0252 2 tt cu soluţiile

2 şi ½ Revenim la substituţiei şi avem o singura radacină negativa x=-1

2p+2p+2p

+2p+2p

II5 Aplică metoda substituţiei tx lg ,t real şi ecuaţia devine 0342 tt cu

soluţiile 1 şi 3 . Revenim la substituţiei şi obţinem soluţiile 10 şi 1000,deci produsul

lor este 10000

2p+3p+3p

+2p

48

Clasa:aXa

Unitatea de învăţare:Binomul lui Newton

Profesor:Bisnel Mihaela

Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic Lazar Edeleanu, Municipiul Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Proprietatile

combinarilor Ic(6p)

Ia(6p)

Id(6p) Ib(6p) 24p

Dezvoltarea binomului

lui Newton Ie(6p) 6p

Formula termenului

general

II

1.a(10p

)

II 1.b,c

II2.a

(30p)

II 2.b

10p

II

2.c10p 60p

Total 6p 12p 16p 30p 16p 10p 90p

Competentele de evaluat :

C1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise.

C2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii –problemă date.

C3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv.

C4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de

numărare;

C5. Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul elementelor de

combinatorică;

C6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării

rezultatelor.

49

Test





6p a Scrieţi formula de calcul şi valoarea pentru „ combinări de 7 luate câte 5”

6p b Scrieţi rezultatul diferenţei „combinărilor de 2016 luate câte 4”şi a combinărilor

complementare acestora.

6p c Scrieţi formula de calcul pentru suma tuturor combinărilor de 2 elemente şi completaţi

valoarea acesteia.

6p d Câţi termeni are dezvoltarea unui binom la puterea n=4?

6p e Completaţi primele cinci linii ale triunghiului lui Pascal şi scrieţi dezvoltarea binomului

(x-y)4.


1.Fie binomul (a2_

1/a)11

10p 1.

a Să se calculeze T8

10p 1.b Să se determine termenul care il conţine pe a4

10p 1.c Există un termen care nu îl conţine pe „a”?Dacă da,să se determine acel termen.

10p 2.

a

Să se determine n natural,nenul,pentru care în dezvoltarea(1+x)n+1

, coeficienţii

binomiali ai termenilor al 4-lea şi al 6-lea sunt egali.

10p 2.b

Să se determine n natural,nenul,pentru care în dezvoltarea (1+x)n+1

coeficientul

binomial al termenului al 4-lea este 120 si coeficientul binomial al termenului al

6-lea este 252

10p 2.c Să se determine n natural,nenul,pentru care în dezvoltarea (x+5

1/2)6, diferenţa

dintre termenii al 5-lea şi al 3-lea este 300.

50

Barem de evaluare

I a Formula combinărilor

Valoarea= 21

3p

3p

I b Rezultatul= 0 6p

I c Cn0+Cn

1+Cn

2=2

n

22=4

4p

2 p

I d 5 termeni 6p

I e 1

1 1

1 2 1 ; (x-y)4= x

4-4x

3y+6x

2y

2-4xy

3+y

4

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Triunghiul

4p

Dezv2p

II 1.a Formula termenului general

Formula T8 pentru k=7

Răspuns: -330a

4p

4p

2p

II 1.b Formula termenului general

Formula termenului general pentru binomul dat

22-2k=4 ; k=9 ; a4 aparţine lui T10

2p

3p

5p

II 1.c Formula termenului general

22-2k=0 ; k=11 natural , deci există

T12 nu conţine pe a

2p

5p

3p

II 2.a Coeficientul lui T4 este Cn+13

Coeficientul lui T6 este Cn+15

Egalarea lor si obţinerea n=7

3p

3p

4p

II 2.b Coeficientul lui T4 este Cn+13 = 120

Coeficientul lui T6 este Cn+15 = 252

Egalarea lor şi obţinerea n=9

3p

3p

4p

II 2.c T5= 375x2

T3= 75x4

5x2-x

4=4 ; obs: x=1

3p

3p

4p

51

Clasa:a-X-a

Unitatea de învăţare: Matematici financiare

Profesor:Burlacu Daniel

Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic Sat Cioranii de Jos


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Procente

I.1(5p) I.2(5p) 10p

Dobânzi

I.3(5p) I.4(5p) II.1

(10p)

II.2

(10p) 30p

TVA

I.5 (5p) 5p

Culegerea clasificarea și

prelucrarea datelor

statistice, reprezentarea

grafică a datelor

statistice.

II.3a)

(10p)

II.3b)

(10p) 20p

İnterpretarea datelor

statistice prin parametrii

de poziție: medii,

dispersia, abateri de la

medie.

I.6 (5p) II.4a)

(10p)

II.4b)

(10p) 25p


1. Recunoașterea unor date de tip probabilistic sau statistici în situații concrete.

2.Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului

financiar, a graficelor şi diagramelor;

3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor

pentru analiza de caz;

4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor

probleme practice ;

5. Analiza și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau

probabilistice;

6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem

prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate.

52

Test

Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 de minute.



Subiectul I – Completați spațiile punctate cu răspunsul corect

5p 1 Scrisă sub formă de raport procentual fracția 4

5este....

5p 2 Mihai a cheltuit 17% din salariu și i-au mai rămas 1660 de lei. Salariul lui Mihai este de ...

5p 3 Elena a depus în urmă cu un an la bancă suma de 320€ iar acum are 368€. Dobânda anuală

este de....

5p 4 Un kg de mere costă 3lei. La nivelul unei inflații de 5% anual peste 3 ani unkg de mere va

costa....

5p 5 Un sacou are prețul cu TVA de 240 de lei. TVA-ul este de 20%. Prețul fără TVA este de...

5p 6

Fie seria statistică:

xi 200 150 100

ni 3 7 10

Media seriei este ....


10p 1 Ce dobândă se va obține la o depunere de 5000 de lei cu o rată anuală a dobânzii

simple de 17,5% pe o perioadă de doi ani.

10p 2 Ce sumă de bani va avea o persoană la bancă după 5 ani dacă plasează un capital

de 3200 lei cu o rată a dobânzii compuse de 5%?

10p 3a)

În urma aplicării unui test la clasa a-X-a s-au obținut următoarele rezultate:

Nota 3 4 5 6 7 8 9 10

Număr

elevi

2 3 5 7 N 4 3 2

Aflați N știin că media clasei este de 6,4375.

10p 3b) Pentru N aflat anterior reprezentați printr-o diagramă cu bare distribuția notelor.

10p 4a)

Fie seria statistică:

xi 2 3 5 6 7

ni 4 5 3 6 8

Aflați media seriei.

10p 4b) Aflați dispersia seriei și abaterea pătratică.

53

Barem de evaluare

Subiectul I

1

100

125

5p

2 2000 lei. 5p

3 15% 5p

4 3,47 5p

5 200 lei. 5p

6 132,5 5p

Subiectul II

1 Dt= tS

r

100

Dt= 25000100

5,17 =1750

3p

7p

2 Sn=

nrS )

1001(

Sn=5)

100

51(3200 =4084,101lei

3p

7p

3a) m=

N

N

N

N

26

7164

26

202732742251264375,6

N=6

5p

5p

3b)

10p

4a) x = 5

26

130

26

563615158

10p

4b) 61,3

26

94

26

826105243 2222

61,326

94

26

826105243 2222

9,161,3

3p

2p

0

1

2

3

4

5

6

7

3 4 5 6 7 8 9 10

Număr de elevi

54

Clasa: a X-a

Unitate de învăţare: Elemente de geometrie analitica in plan

Programa scolara aprobata prin OMEC nr. 4598/31.08.2004

Profesor: Nistor Daniela

Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic ,,1 Mai”, Municipiul Ploiesti

Matricea de specificatii

Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Coordonate carteziene în

plan, coordonatele unui

vector în plan, coordo-

natele sumei vectoriale,

coordonatele produsului

dintre un vector şi un

număr real, produsul

scalar dintre doi vectori

I1 (2p)

I 2 (2p)

I1 (8p)

I2 (8p)

I3 (10p)

I4 (6p)

I5 (6p)

42p

Forme ale ecuaţiei

dreptei în plan I6 (2p)

I6(8p)

I7 (6p)

I8 (6p)

22p

Condiţii de paralelism,

condiţii de

perpendicularitate a

două drepte din plan

I7 (4p)

I8 (4p)

I 4(4p)

I5 (4p)

16p

Distanţa dintre două

puncte în plan, arii I9 (10p)

10p

Total 6p 16p 10p 58p 90p

Competente de evaluat:

C1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

C2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi

perpendicularitate

C3.Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor

proprietăţi ale acesteia şi calcul de distanţe şi arii

C4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei

configuraţii geometrice

55

Test

Notă. Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.



În sistemul de axe cartezian xOy se consideră punctele A(4,2), B(-2,4) şi C(1,-3).

Subiectul I: Alegeţi răspunsul corect dintre următoarele variante

10p I1 Coordonatele mijlocului segmentului (BC) sunt:

A. 1 1

( , )2 3

; B. 1 1

( , )2 2

; C. 1 1

( , )2 2

; D. (2, 2)

10p I2 Coordonatele centrului de greutate al ∆ABC sunt:

A. (1, 1); B. (1, -1); C. (2,3); D. (-1, -1)

10p I3 Coordonatele vectorului 2AB - 5AC sunt:

A. (13, 29); B. (-3, 2); C. (3, 29); D. (29, 3)

10p I4 Valoarea reala a pentru care vectorii AC şi 2a 1,2u sunt ortogonali este:

A. 7

6 ; B.

7

6; C.

6

7; D.

7

5

10p I5 Valoarea reala a pentru care vectorii AB şi a + 1,3 av sunt coliniari este:

A. 1; B. 0; C. -5; D. 5

Subiectul II: Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete

10p I6 Să se determine ecuaţia dreptei AB.

10p I7 Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul C şi este paralelă cu AB.

10p I8 Să se determine ecuaţia înălţimii ∆ABC corespunzătoare vârfului C.

10p I9 Să se afle aria ∆ABC.

56

Barem de evaluare

I1 B.

1 1( , )

2 2

10p

I2 A. (1, 1) 10p

I3 C. (3, 29) 10p

I4 A.

7

6

10p

I5 D. 5 10p

I6 Formula ecuatiei dreptei determinate de doua puncte distincte 2p

x 4 y 2: x 3y 10 0

2 4 4 2AB

8p

I7

AB

1 10 1AB: y x m

3 3 3

2p

d ABmd = mAB 2p

d: y – yC = md (x – xC) 2p

d: x + 3y + 8 = 0 4p

I8 h ABh AB m m 1 2p

mh = 3 2p

h: 3x – y - 6 = 0 6p

I9 Formula distantei de la un punct la o dreapta 2p

9 10

d C, AB 5

2p

Formula distantei dintre doua puncte 2p

2 2

AB 2 4 4 2 AB 2 10 2p

AB d C, ABS S 18

2

2p

57

Clasa a XI-a

Test inițial - M1

Profesor: Colcer Alina Mihaela

Unitatea şcolară: Colegiul Național “Nicolae Grigorescu” Câmpina

Matricea de specificații

Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Mulțimea numerelor

reale; complexe, ecuații

iraționale

I.1 (2p) I.4(5p)

I.6(5p)

I.5(5p) 17p

Funcția de gradul al II-

lea, funcţia de gradul I,

funcţia bijectivă

I.2(5p) II.3(3p) II.3(3p) 11p

Funcția exponențială;

funcția logaritmică

I.3(5p)

II.1.a

(8p)

I.1(3p) II.1.b

(10p)

II.1.a

(2p)

28p

Ecuații și inecuații II.1.c

(6p)

I.7(5p) II.1.c

(4p)

II.3(4p) 24p

Reper cartezian în plan;

coordonate carteziene în

plan, ecuații ale dreptei

în plan; condiții de

paralelism și

perpendicularitate

II.2.b

(4p)

II.2.b

(1p)

II.2.c

(2p)

II.2.a

(3p)

II.2a

(2p)

II.2.c

(3p)

15p

Total 6p 27p 19p 20p 12p 6p 90p

Competenţele de evaluat

C1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere

a unui număr real sau complex în contexte specifice.

C2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor

proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn etc.).

C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului algebric sau geometriei pentru rezolvarea de

ecuaţii şi inecuaţii.

C4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice.

C5. Studierea unor situaţii-problemă din punct de vedere cantitativ şi/ sau calitativ utilizând

proprietăţile algebrice şi/ sau de ordine ale mulţimii numerelor reale.

C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi

metode adecvate.

58

Test inițial

Partea I Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect. ( 35 de puncte)

5p 1.

Partea întreagă a numărului 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 este egală cu:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5p 2.

Se consideră f: 𝟎, ∞ → 𝟏, ∞ , f(x)=𝒙𝟐 + 𝟏. 𝒇−𝟏 𝒙 este egală cu:

A.𝒇−𝟏 𝒙 = − 𝒙 − 𝟏 B. 𝒇−𝟏 𝒙 =

𝒙𝟐 − 𝟏 C. 𝒇−𝟏 𝒙 = 𝒙 − 𝟏

D. 𝒇−𝟏 𝒙 =

− 𝒙𝟐 − 𝟏

5p 3. Valorile lui x pentru care este definit radicalul 𝟓𝒙 − 𝟎, 𝟎𝟒

𝟒 :

A. x≥ −𝟐 B. x≤ 𝟐 C. x≥ 𝟐 D. x≤ −𝟐

5p 4.

Numărul 𝑪𝟖𝟒 − 𝑪𝟕

𝟒 − 𝑪𝟕𝟑 este egal cu:

A. 12 B. 7 C. 0 D. 6

5p 5.

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 𝒙 − 𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟓𝟑

+ −𝒙𝟐 + 𝟒=3.

A. x∈ 𝟐 ; ∞ B. x∈ −𝟐; 𝟐 C. x=2 D. x=-2

5p 6.

Numerele complexe care verifică ecuaţia z+2𝒛 =6+2i.

A.z=-2+2i B.z=2-2i C. z=2+2i D.-2-2i

7.

Soluţia ecuaţiei arcsinx +arccos𝟏

𝟐 =

𝝅

𝟐 este:

A. 𝟐

𝟐 B.

𝟏

𝟐 C. 1 D.

𝟑

𝟐

PARTEA a II-a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (55 de puncte)

1. Se consider funcţiiile f: −𝟏, ∞ → ℝ, g: ℝ → −𝟏, ∞ , f(x)=𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 + 𝟏 ,

g(x)=𝟐𝒙 − 𝟏.

10p a) Să se studieze monotonia funcţiei f+g;

10p b) Să se calculeze 𝒇°𝒈 𝒙 ;

10p c) Să se rezolve ecuaţia f(x)+g(x)=9.

2. Într-un reper cartezian se consideră punctele A(4,1), B(6,3) şi C(1,2).

5p a) Să se scrie ecuaţia dreptei BC;

5p b) Să se afle mediatoarea laturii BC;

59

5p c) Să se afle distanţa GA, unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

10p 3. Determinaţi x∈ ℝ pentru care este definit radicalul: 2𝑥+1

𝑥+3

4.

Din oficiu 10 puncte

Timp de lucru 50 minute


Succes!

60

Barem de evaluare

PARTEA I (35 de puncte)

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerinţe, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

Nr. Item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Rezultate B. C. A. C. C. B. A.

Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 6p 5p

PARTEA a II-a (55 de puncte)

Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă

punctajul maxim corespunzător.

Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru

rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

1.a Funcţia f: −1, ∞ → ℝ, f(x)=log2 𝑥 + 1 este crescătoare pe −1, ∞

Funcţia g: ℝ → −1, ∞ , g(x)=2𝑥 − 1 este crescătoare pe ℝ

Finalizare

4p

4p

2p

1.b f °g x = x 10p

1.c log2 𝑥 + 1 + 2𝑥 − 1 =9

Intuirea soluţiei x=3

Unicitatea soluţiei

2p

4p

4p

2.a BC:𝑥−6

1−6=

𝑦−3

2−3

BC: 5y-x-9=0

3p

2p

b) Panta dreptei BC este egala cu 1

5, deci panta dreptei mediatoarei este -5.

Mijlocul laturii BC este M 7

2,

5

2

Ecuaţia mediatoarei corespunzătoare laturii BC este y+5x-20=0

2p

2p

1p

3. Conditia de existenta: 2𝑥+1

𝑥+3≥ 0

x∈ −∞, −3 ∪ −1

2 , ∞

3p

7p

61

Clasa: a XI-a

Unitatea de învăţare: Matrice; Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea,

înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi.

Profesor:Oprescu Cristina Diana

Unitatea școlară:Liceul Tehnologic “1 MAI”, Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Tabel de tip matriceal. I.1 (5p) I.2 (5p) 10

Matrice, mulţimi de

matrice I.3 (5p) I.4 (5p)

II.3b

(5p)

II.2a

(5p) 20

Operaţii cu matrice:

adunarea, înmulţirea I.5 (5p)

I.7 (5p)

I.8 (5p)

II.3a

(5p)

II.2c

(5p)

II.2b

(5p) 30

Operaţii cu matrice:

înmulţirea unei matrice

cu un scalar, proprietăţi. I.6 (5p)

I.9 (5p)

II.1a

(5p)

II.1b

(5p)

II.1c

(5p)

II.3c

(5p) 30

TOTAL 10 10 15 20 20 15 90p


1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu

reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matricială a unui proces

3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice

4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea

unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi

metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

62

Test

Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare

lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.


Completați spațiile libere cu răspunsul corespunzător.

5p 1

Pentru golirea unui bazin cu apă se utilizează 3 robinete. Timpul de funcționare al fiecărui

robinet este dat în urmatorul tabel:

Robinet I (nr. ore) Robinet II (nr. ore) Robinet III (nr. ore)

4 3 6

3 7 5

8 2 1

Matricea atașată tabelului este: A=…….

5p 2 Se dă matricea A = (aij)Mm,n(Z), A =

4

3

1

8

4

9

6

0

2

5

7

1

.

Matricea A este de tip (....,....).

5p 3 Se dă matricea A = (aij)Mm,n(Z), A =

4

3

1

8

4

9

6

0

2

5

7

1

.

a23 = ..........

5p 4 Dacă AM2(R ), A =

35

21, atunci A

t este matricea…...

5p 5

Se consideră matricele:

29

14,

39

13BA

A - B = ......

5p 6 Se dă matricea

100

410

321

A .

....2A- At

63

5p 7 Dacă

32

64A atunci .....2 AA

5p 8 Dacă A =

30

21, B =

21

30, atunci AB =.......

5p 9 Dacă

4365

yx213

23y2x

2 atunci:

......

.....

y

x


5p

5p

5p

1

Fie matricele

12 10 2

2 1 4

2 2

m

m

A ,

6 5 1

6 0 4

1 mn

B ,

6 5

1 0

1 4 1

p

mC , m,n, p numere reale.

a) Pentru m=-1, calculați 2016A.

b) Să se determine m, n, p astfel încât CBA .

c) Pentru m=p=0, aratați că AC≠CA.

5p

5p

5p

2

Fie

100

010

001

;

000

000

000

;

305

542

17

),( 33

2

3 IOx

x

ARMA

a) Rezolvaţi ecuaţia: Tr 0A .

b) Pentru x=- 1, determinați matricea )(3 RMB astfel încât A-tB=O3

c) Pentru x=0, verificați că AA ≠I3

5p

5p

5p

3 Se consideră matricele

2007669

31A şi RaAaIaX ,)( 2 .

a) Să se demonstreze că AA 20082.

b) Să se demonstreze că .,),2008()()( RbaabbaXbXaX

c) Să se arate că .,2008

1

2008

1)( RaXXaX

64

Barem de evaluare

Subiectul I

1

128

573

634

A

5p

2 (3,4) 5p

3 a23 = 4 5p

4

32

51A

t

5p

5

10

01BA

5p

6

143

812

641

2AAt

5p

7

64

12822 AAA

5p

8

63

72AB

5p

9

0

1

y

x

5p

Subiectul II

1a)

12 10 2

2- 1 4

2 1 2

A

22419 20160 4032

4032 2016 8064

4032 2016 2403

2016A

2p

3p

1b)

112

62

2424

312

pp

mm

mmmm

nn

.

Deci

1

2

3

p

m

n

3p

2p

65

1c)

70782

4154

10182

650

010

141

12102

014

202

AC

72658

014

14620

12102

014

202

650

010

141

CA

AC≠CA

2p

2p

1p

2a) X2-4x+3=0

∆=16-12=4

X1=3, x2=1

2p

1p

2p

2b)

000

000

000

305

542

171

3

ihg

fed

cba

OBA t

000

000

000

35

542

171

ihg

fed

cba

a=1, b=7, c=-1, d=2, e=4, f=5, g=-5, h=0, i=3

351

047

521

B

2p

1p

2p

2c)

305

502

170

A

143515

131425

32019

305

502

170

305

502

170

AA

AA ≠I3

1p

2p

2p

3a)

200820072008669

200832008

2007669

31

2007669

31AA

=2008A

3p

2p

3b) AabbaIabbaXbAIaAIbXaX )2008()2008();)(()()( 222

)2008()2008(

))((

2

2

22

2

222

abbaXAabbaI

abAaAIbAIIbAIaAI

1p

2p

2p

3c)

2008

2008

1

2008

1

2008

1)( aaXXaX

.,2008

1

2008

1)( RaXXaX

3p

2p

66

Clasa: a XI-a M1

Unitatea de învățare: Determinanţi ( aplicaţii ale determinanţilor)

Profesor: Zlotea Roxana

Unitatea școlară:Colegiul Spiru Haret, Ploieşti


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Ecuaţia dreptei

determinată de două

puncte

I.1(5p)

II.1a

(7p)

12p

Distanţa de la un punct la

o dreaptă I.2(5p)

II.1a

(3 p)

5

P

0 I.5(5p) 13p

Aria unui triunghi

I.3( 5p)

II.1b

(5p)

II.1c

( 10p)

I.6(5p)

I.7(5p)

II.3a

(10p )

II.3b

(10p)

50p

Coliniaritatea a trei

puncte 4

)

I.4

(5p )

II.2

(10p)

15p

Total 20p 10p 10p 15p 10p 25p 90p

Competenţele de evaluat :

C1. Identificarea noţiunilor precum distanţa dintre două puncte in plan si distanţa de la un

punct la o dreaptă.

C2. Prelucrarea unor date cuprinse in enunţuri matematice referitoare la calculul ariei unui

triunghi.

C3. Aplicarea unor algoritmi specifici pentru rezolvarea de probleme.

C4. Exprimarea coliniaritătii a trei puncte utilizând calcule cu determinanţi.

C5. Studierea unei situaţii problemă utilizând aria unui triunghi.

C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unei strategii si

metode adecvate.

67

Test

Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 de minute. Toate subiectele sunt obligatorii.


Subiectul I – scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect-35 de puncte

5p

5p

5p

5p

5p

5p

5p

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ecuaţia dreptei determinată de punctele A(1; -1) si B( 3; -3) este:

A. x+y=0 B. x-y=0 C. 2x-y=0 D. x+2y=0

Distanţa de la originea O(0:0) la dreapta de ecuaţie 2x+y-5=0 este:

A. 2 B. 3 5

5 C. 5 D.

7

3

Aria triunghiului determinat de punctele A(2; 2) , B(0; 3) si C( -5;5) este:

A. 3

2 B. 4 C. 7 D.

1

2

Valoarea lui a real astfel incât punctele A( 1; 3), B( 2, 1) , C( a; a-4) sunt

coliniare este:

A. 2 B. 3 C. 1 D. -3

Valoarea lui m real astfel incât distanţa de la punctul O(0;0 ) la dreapta de

ecuaţie: 5x-12 y-m=0 este egală cu 2 este:

A. ±3 B. ±4 C. ±26 D . ±7

2

In reperul XOY fie punctele A( 2 ;1) , B( 4 ;-3) C( -2 ;-1) si D( 1; m).

Valoarea lui m real astfel incat 𝐴∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴∆𝐵𝐶𝐷 este:

A. { 4

3; −

16

3} B.{ ±

4

3 } C. { ±

16

3} D. { ±2}

In reperul XOY fie punctele A(1; -2), B( 0 ;-3) si C( 4 ; m). Valoarea lui m

real astfel incât 𝐴∆𝐴𝐵𝐶=4 este:

A. {-2;1} B. {9; -7} C. { -9, 7} D. {3;4}

Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete-55 de puncte

10p

5 p 1.

2.

3.

În reperul XOY fie punctele A(1;1), B( 2;3) si C(3;-1).

a) Să se calculeze lungimea inălţimii din A;

b) Să se calculeze aria triunghiului ABC;

c)Calculaţi aria patrulaterului ABCD unde D( 5; 4).

În reperul XOY fie punctele A (1;1), B(2;-1), C(m ; 2n+1), D(1-2m; n-5).

Determinaţi numerele reale m, n astfel incât punctele A, B,C, D sa fie

coliniare.

Ştiind că aria triunghiului ABC este 6 si A(-3,-1), B(5,3) determinaţi

coordonatele lui C astfel încât:

a) C ∊ OX;

b) C ∊ OY.

10p

10p

10p

10p

68

Barem de evaluare

Subiectul I -35 de puncte

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul

maxim prevazut in dreptul fiecarei cerinţe , fie 0 puncte


Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Rezultate A. C. D. B. C. A. B.


Subiectul II - 55 de puncte

Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem , se acordă

punctajul maxim corespunzator.

Nu se acordă fracţiuni de punct , dar se pot acordă punctaje intermediare pentru

rezolvări parţiale ,in limitele punctajului indicat in barem.

1.a) Se scrie ecuaţia dreptei BC: 𝑋−𝑋𝐵

𝑋𝐶−𝑋𝐵=

𝑌−𝑌𝐵

𝑌𝐶−𝑌𝐵

Inlocuind avem ecuaţia:𝑥−2

3−2=

𝑦−3

−1−3⟺

𝑋−2

1=

𝑌−3

−4

Vom avea BC: 4X+Y-11=0

Lungimea inăţimii din A va fi: h a=│4·1+1−11│

42+12 =

6

17=

6 17

17

2p

3p

2p

3p

1.b) Calculăm BC= ( 𝑋𝐶 − 𝑋𝐵)2 + ( 𝑌𝐶 − 𝑌𝐵)2

BC= (3 − 2)2 + (−1 − 3)2= 1 + 16= 17

Aria triunghiului ABC va fi: 𝐴∆𝐴𝐵𝐶= 𝑕𝑎 ∙𝐵𝐶

2

𝐴∆𝐴𝐵𝐶=3

2p

1p

1p

1p

1.c.) Scriem aria patrulaterului ABCD ca suma ariilor a două triunghiuri

𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝐴∆𝐴𝐵𝐶 + 𝐴∆𝐵𝐶𝐷

Calculăm 𝐴∆𝐵𝐶𝐷= 1

2 ∙ │∆│, unde ∆=

2 3 13 −1 15 4 1

.

∆=-2+12+15+5-8-9=13

𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=3+13

2 =

19

2

2p

3p

3p

2p

69

2. Punctele A, B, C sunt coliniare ⟺

1 1 12 −1 1𝑚 2𝑛 + 1 1

=0

Vom avea relaţia: -1+4n+2+m+m-2n-1-2=0

Deci: m+n-1=0

Punctele A, B, D sunt coliniare ⟺ 1 1 12 −1 1

1 − 2𝑚 𝑛 − 5 1 =0

Vom avea relaţia:-1+2n-10+1-2m+1-2m-2-n+5=0

Deci:-4m+n-6=0

Vom obtine: m=-1, n=2

2p

1p

1p

2p

1p

1p

2p

3.a) C∊ OX ⟹ C( a;0)


2 · ∆ =

1

2 │·

−3 −1 15 3 1𝑎 0 1

│⟹

12=│-9-a-3a+5│

12=│-4a-4│

Obţinem a= 2 si a= -4

1p

2p

2p

3p

2p

3.b) C∊ OY⟹ C( 0; b)


2 · ∆ ⟹6 =

1

2 │·

−3 −1 15 3 10 𝑏 1

│⟹

12=│-9+5b+3b+5│

12=│8b-4│

Obţinem b= 2 si b= -1

1p

2p

2p

3p

2p

70

Clasa a XI-a

Unitatea de învăţare: Sisteme de ecuații liniare

Profesor:Lica Roxana

Unitatea școlară:Colegiul Național Jean Monnet, Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Regula lui Cramer de

rezolvare a sistemelor de

ecuații liniare

I1.0,2p

I5 0,2p

I1. 0,6p

I5.0,2p

I1. 0,2p

I4 0,6p

I5 0,2p

I4 0,4p I2. 1p I5. 0,4p 3,2

Teorema lui Rouche de

studiu a compatibilitații

unui sistem de ecuații

liniare

II3 0,2p

I3 0,2p

II3 0,2p

II1 1p I3 0,4p

II3 0,3p 2,3

Rezolvarea sistemelor de

ecuatii liniare omogene II2 0,2p II2 0,2p II2 0,2p II2 0,4p 1

Transformarea unei

ecuații matriceale intr-un

sistem de ecuații liniare

II4 0,2p II4 0,2p II4 0,4p II3 0,3p 1,1

Rangul unei matrice

I3 0,4p

II4 0,2p 0,6

Total 1 1,6 1 1,8 1,2 2,4 9


C1. Identificarea matricei asociate unui sistem de ecuații liniare;

C2.Calculul determinanților;

C3. Aplicarea regulii lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare;

C4. Determinarea soluțiilor unui sistem compatibil nedeterminat de ecuații liniare;

C5. Verificarea soluțiilor unui sistem;

C6. Studiul compatibilității unui sistem de ecuații liniare.

71

Test

Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 de minute.


Fiecare lucrare primeşte 1 punct din oficiu.

Subiectul I

Se consideră sistemul de ecuații liniare

4

3 6

2 4 10

ax y z

x z

x ay z

, a parametru real. Completați

răspunsul corect:

1p 1 Suma pătratelor soluțiilor sistemului pentru a= 0 este………

1p 2 Valoarea lui a pentru care prima ecuație a sistemului admite solutia (2016, 1, 0) este….

1p 3 Valoarea lui a pentru care rangul matricei atașate sistemului este doi este ….

1p 4 Sistemul are soluție unică daca a este in mulțimea…

1p 5 Pentru a=1, sistemul admite o soluție formată din numere aflate in progresie aritmetică și

atunci z=....

Subiectul al II –lea – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.

1p 1 Rezolvați sistemul: 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 10

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 în mulțimea numerelor reale.

1p 2

Determinați parametrul real m pentru care sistemul 𝑥 − 2𝑚 − 1 𝑦 + 𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 02𝑥 + 2𝑧 = 0

are și soluții diferite de cea banală.

1p 3

Să se determine valorile parametrilor reali m, n pentru care sistemul următor este

incompatibil :

𝑚𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1𝑚𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1

𝑚𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 2𝑛 − 1

1p 4 Rezolvați ecuația 2 1 −11 1 13 2 0

∙ 𝑋 = 235 unde 𝑋 ∈ 𝑀3,1 𝐼𝑅 .

72

Barem de evaluare

I1. Suma este egala cu 19 1p

I2. 𝑎 =

−1

672

1p

I3. 𝑎 ∈ −

2

3, 1

1p

I4. 𝐼𝑅\ −

2

3, 1

1p

I5. 𝑧 =

5

3

1p

II1. Identificarea unui minor principal 0,3p

Identificarea necunoscutei secundare și obținerea sistemului format din ecuațiile

principale cu noscute principale

0,3p

Rezolvarea sistemului si calculul necunoscutelor principale 0,3p

Soluția 𝑆 = 6 + 5𝑎, −2 − 6𝑎, 𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 0,1p

II2. Scrierea matricei A atașate sistemului 0,2p

Condiția ca sistemul sa aiba soluții nebanale 0,2p

𝑑𝑒𝑡𝐴 = −4𝑚2 + 6𝑚 − 2 0,2p

Rezolvarea ecuației 0,3p

Formularea soluției 𝑚 ∈ 𝐼𝑅\ 1,1

2 0,1p

II3. Conditia ramg A=rangAext 0,2p

Calcului det A 0,2p

m=0 0,2p

Calculul minorului characteristic 0,2p

𝑛 ≠

7

4

0,2p

II4 Calculul det A si constatarea ca A nu este inversabila 0,2p

Transformarea ecuației matriceale intr-un sistem de 3 ecuații liniare 0,1p

Studiul compatibilitatii sistemului 0,2p

Identificarea unei necunoscute secundare 0,1p

Rezolvarea sistemului 0,2p

Formularea soluției 𝑋 =

−1 + 2𝑎4 − 3𝑎

𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐼𝑅

0,2p

73

Clasa:a XI-a

Unitatea de învăţare: Continuitate; intepretarea grafică a continuității unei

funcții, studiul continuității, operații cu funcții continue.

Profesor:Corlătescu Virgil

Unitatea școlară:Colegiul Tehnic Lazăr Edeleanu, Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut

C1 C2 C3 C4 C5 C6 Ponderea (%)

Interpretarea grafică a

continuității unei funcții. 1 1 1 20% (3)

Studiul continuității unei

funcții. 1 6 2 60% (9)

Operații cu funcții conti-

nue. 1 2 0 20% (3)

Ponderea (%)

20% (3) 60% (9) 20% (3) 100%

Competențe de evaluat :

C2. Interpretarea unor proprietăți ale funcțiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

C4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor

proprietăți cantitative și calitative ale unei funcții

C5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și pentru

identificarea unor proprietăți

74

Test



Fiecare lucrare primește 10 puncte din oficiu.


6p 1 Funcția f:R → R, f(x)=

𝑥2−9

3𝑥−9 , 𝑥 < 3

2, 𝑥 = 3𝑥2−4𝑥+3

𝑥−3, 𝑥 > 3

este:

A) discontinuă în x0 = 3; B) continuă pe ( - ∞,3 ); C) continuă doar pe ( 3, + ∞ );

D) continuă pe R.

6p 2 Fie f:[0; + ∞ ) → R, f(x)=

𝑥2−1

𝑥−1, 𝑥 ≠ 1

𝑎 , 𝑥 = 1

. Valoarea lui a pentru care funcția f este continuă

pe R este:

A) 0; B) 4; C); -1; D) 2

6p 3 Se consideră funcția f: R → R, f(x) =

𝑥2 + 𝑥 + 1, 𝑥 < 0

𝑥 𝑥 + 𝑒𝑥 , 𝑥 ≥ 0 . Atunci:

A) f este discontinuă; B) 0 este punct de discontinuitate de speța a doua;

C) 0 este punct de discontinuitate de speța întâi; D) f este continuă pe R

6p 4 Valorile reale ale lui a și b pentru care funcția f: R → R, f(x)=

𝑒𝑥 + 𝑥 + 𝑎, 𝑥 ≤ 0

𝑥2 + 𝑏 · ln 𝑥 , 𝑥 > 0

este continuă în 0 sunt:

A) a=0, b=1; B) a=1, b=0; C) a = -1, b=0; D) a=b=0

6p 5 Valoarea lui m pentru care funcția f: R → R, f(x)=

2𝑥−1

𝑥2−𝑥, 𝑥 ≠ 0

𝑚 , 𝑥 = 0

este continuă pe R este:

A) 1; B) ln 2; C) 0; D) –ln 2

6p 6 Fie f: R → R, f(x) =

𝑥2 − 𝑎 , 𝑥𝜖 −∞, 1 2𝑎𝑥 , 𝑥 𝜖 (1,2)

3𝑥 + 𝑏 − 2, 𝑥 ∈ 2, +∞

.

Valorile parametrilor reali a și b pentru care funcția f este continuă pe R sunt:

A) a=-1, b=3; B) a=1, b=-3; C) a=0, b=2; D) a=1, b=-1

6p 7

Se consideră funcțiile f, g: R → R, f(x)= −

1

𝑥 , 𝑥 < 0

𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 0 , g(x) =

−𝑥, 𝑥 < 01

𝑥+1, 𝑥 ≥ 0

discontinue în 0.

Este totuși continuă în 0 funcția:

A) f+g; B) f-g; C) f·g; D) 𝑓

𝑔


6p 8 Se consideră funcția f: R → R, f(x) =

2x − 1, x ≤ 11 , 𝑥 > 1

. Cercetați continuitatea

funcției f

utilizând reprezentarea geometrică a graficului său.

75

6p 9 Fie f: R → R, f(x) =

𝑥,3 𝑥 ≤ 11

𝑥, 𝑥 > 1

. Să se evidențieze continuitatea funcției f

folosind reprezentarea geometrică a graficului său și să se verifice

continuitatea funcției în x0 =1 cu ajutorul limitelor laterale.

6p 10 Fie f: R→ R, f x =

𝑥 + 2, 𝑥 < 21 , 𝑥 = 22𝑥 , 𝑥 > 2

. Știind că funcția f este discontinuă în

punctul x0 =2 utilizați reprezentarea geometrică a graficului funcției date

pentru a justifica această afirmație.

6p 11

Să se demonstreze că funcția g: R → R, g(x) = 𝑥 + 2, 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0 este discontinuă

în x0 =0,

să se precizeze natura punctului de discontinuitate și să se ilustreze din punct

de vedere grafic această discontinuitate.

6p 12

Fie f: R → R, f(x)= 2𝑥 − 6, 𝑥 ≤ 4log2 𝑥, 𝑥 > 4

.Să se cerceteze continuitatea funcției f în

punctul xo= 4 și să se utilizeze reprezentarea grafică a funcției pentru

confirmarea geometrică a concluziei.

6p 13 Fie h: [0,𝜋]→R, h(x) =

sin 𝑥 , 𝑥 ∈ [ 0,𝜋

2 ]

cos 𝑥, 𝑥 ∈ ( 𝜋

2, 𝜋 ]

. Să se cerceteze continuitatea

funcției h și să se verifice concluzia prin metoda grafică.

6p 14 Se consideră funcțiile f,g: R→R, f(x) =

−0,5 𝑥, 𝑥 ≤ 0

𝑥 , 𝑥 > 0 , g(x) =

2𝑥 , 𝑥 ≤ 0

− 𝑥, 𝑥 > 0 .

Să se verifice că funcțiile f și g sunt continue pe R și să se ilustreze prin

metoda grafică faptul că funcția f·g conservă continuitatea pe R.

6p 15 Fie f,g: R→R, f(x) =

2𝑥3 − 𝑎, 𝑥 < 0

𝑥4 + 1 , 𝑥 ≥ 0 , g(x) =

𝑥3

, 𝑥 < 0

𝑥, 𝑥 ≥ 0 .Să se determine

valoarea parametrului real a pentru care funcția f•g este continuă pe R.

76

Barem de evaluare

PARTEA I

(42 de puncte)

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul

maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.


Nr. Item 1 2 3 4 5 6 7

Rezultate D. B D C D B C


Partea a II-a

(48 de puncte)

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită, se acordă punctajul maxim

corespunzător.

Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru

rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat de barem.

8 Pentru trasarea corectă a graficului

Pentru interpretarea graficului și enunțarea concluziei

4p

2p

9

Pentru trasarea și interpretarea corectă a graficului

Pentru calculul corect al limitelor laterale în punctul x0=1

Pentru compararea limitelor laterale cu valorea f(1) și concluzia finală

3p

2p

1p

10 Pentru trasarea corectă a graficului

Pentru interpretarea graficului și explicarea concluziei

4p

2p

11 Pentru demonstrarea discontinuității funcției g în punctul x0 =0, folosind limitele

laterale în 0

Pentru afirmația: 0 este punct de discontinuitate de speța I

Pentru ilustrarea grafică a discontinuității

2p

1p

2p

12 Pentru calculul corect al limitelor laterale în punctul x0=4

Pentru compararea limitelor laterale cu valoarea f(4) și afirmarea concluziei

Reprezentarea grafică și interpretarea corectă a acesteia

2p

1p

2p

13 Pentru afirmația: funcția h este continuă pe intervalele 0,𝜋

2 ș𝑖 (

𝜋

2 ,𝜋] cu justificare

Stabilirea discontinuității în punctul de legătură x0 = 𝜋

2 ,cu ajutorul limitelor laterale

Pentru ilustrarea grafică a discontinuității cu afirmația justificativă

1p

2p

2p

14 Pentru demonstrarea continuității funcțiilor f și g

Pentru determinarea funcției produs

Reprezentarea grafică a funcției produs și evidențierea continuității acesteia

2p

1p

2p

15 Determinarea compunerii funcției f cu funcția g

Precizarea condițiilor de continuitate a funcției compuse

Funcția compusă este continuă pentru a = -1

2p

2p

1p

Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se obține prin împărțirea punctajului

obținut la 10.

77

Clasa: a XI-a

Unitatea de învăţare: Regula lui L’Hospital

Profesor: Dudu Adela

Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic Toma N. Socolescu Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Recunoașterea cazurilor

de nedeterminare

I 1) 10p

II 2) 1p

3) 1p

II 5) 5p II 6) 1p 18p

Identificarea condițiilor

Regulei lui l‟Hospital

I 2) 10p

3) 10p 20p

Utilizarea transformărilor

necesare II 2) 1p

3) 3p

II 2) 2p

3) 4p

4) 3p

II 2) 1p

3) 1p

4) 1p

II 6) 1p 17p

Reguli de derivare a

funcțiilor

II 1a)

5p

1b) 5p

II 3) 1p II 4) 3p

5) 5p 19p

Alegerea metodei

adecvate de rezolvare II 2) 5p

II 6) 8p

4) 3p 16p

Total 46p 1p 22p 8p 13p 90p

Competențe de evaluat :

C1. Identificarea cazurilor de nedeterminare reductibile la cazurile regulii lui l‟Hospital

C2. Recunoașterea condițiilor necesare aplicabilității regulii lui l‟Hospital

C3. Utilizarea transformărilor necesare pentru a se aplica regula lui l‟Hospital

C4. Aplicarea regulilor de derivare a funcțiilor elementare și compuse

C5. Analizarea pe baza unui simplu plan de idei, a demersului parcurs în rezolvarea cerinței,

alegând cea mai eficientă metodă în scopul eficientizării rezolvării

78

Test





10p 1. Precizați cazurile de nedeterminare reductibile la aplicarea regulii lui l‟Hospital .

10p 2. Condițiile necesare aplicabilității regulii lui l‟Hospital sunt : ... .

10p 3. Dați un exemplu în care reciproca nu e totdeauna valabilă .


5p

5p

1.

Să se calculeze limitele:

a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞𝑒𝑥

𝑥2

b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1𝑥3−𝑥2−𝑥+1

𝑥3−4𝑥2+5𝑥−2

10p 2.

Să se calculeze limita:

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑥3𝑠𝑖𝑛 2𝑥

10p 3.


𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥>0

𝑥2𝑙𝑛𝑥

10p 4. Să se calculeze limita:

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑒𝑥 − 𝑥

10p 5.


𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑥3 + 𝑥 + 1 1

𝑥+1

10p 6.


𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑥2+1

2𝑥2+1

1

𝑥2

79

Barem de evaluare

S.I 1 0

0 ;

∞

∞ ; 0 ∙ ∞ ; ∞ ∙ ∞ ; 00 ; ∞0 ; 1∞

10p

S.I 2 a) 𝑓 , 𝑔 − 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑝𝑒 𝐼 − 𝑥0 , 𝑥0 − 𝑝𝑢𝑛𝑐𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒

b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0

𝑔 𝑥 = 0 ∞

c) 𝑔′ 𝑥0 ≠ 0

d) ∋ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥 = 𝐿

10p

S.I 3 𝑓

𝑔 𝑎𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡ă î𝑛 𝑥 = 𝑎 ⇏ ș𝑖

𝑓 ′

𝑔′ 𝑎𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡ă î𝑛 𝑥 = 𝑎 . 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 , 𝑔 𝑥

= 𝑥 , 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥

∞∞= 𝐷𝑎𝑟

𝑓 ′ 𝑥

𝑔′ 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑛𝑢 ∋

10p

S.II 1 a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑒𝑥

𝑥2

∞∞=

𝑙′𝐻𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑒𝑥

2𝑥

∞∞=

𝑙′𝐻

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞𝑒𝑥

2= ∞

b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥3−𝑥2−𝑥+1

𝑥3−4𝑥2+5𝑥−2

∞∞=

𝑙′𝐻𝑙𝑖𝑚𝑥→0

3𝑥2−2𝑥−1

3𝑥2−8𝑥+5𝑥

∞∞=


6𝑥−2

6𝑥−8

𝑙𝑖𝑚𝑥→06𝑥−2

6𝑥−8=

1

4

3p

2p

3p

2p

S.II 2 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑥3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 00

= 𝐿 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚ă𝑚 (𝑙𝑛)

𝑙𝑛𝐿 = 𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑥3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = …


𝑥3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = ⋯


3𝑠𝑖𝑛2𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 0∞=


𝑙𝑛 𝑥

13𝑠𝑖𝑛2𝑥

∞∞=

𝑙′𝐻

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

1𝑥

−23

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥

∞∞=

𝑙′𝐻−

3

2𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑠𝑖𝑛3 𝑥

𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

00=

= −3

2𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ 𝑥2

𝑥3𝑐𝑜𝑠𝑥

= 0 ⇒ ln L = 0 ⇒ L = 1

1p

1p

1p

2p

2p

2p

1p

80

S.II 3 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑥2 𝑙𝑛 𝑥 0∞=

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑥→0 ∞

𝑔 𝑥 = 𝑥2

=𝑓

1𝑔

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥>0

𝑙𝑛𝑥

1𝑥2

∞∞= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0𝑥>0

1𝑥

−21𝑥3

1p

2p

2p

3p

S.II 4 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑒𝑥 − 𝑥 ∞−∞

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑒𝑥 1 −𝑥

𝑒𝑥

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑥

𝑒𝑥

∞∞=

𝑙′𝐻𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

1

𝑒𝑥= 0

∞ ∙ 1 − 0 = ∞

4p

3p

3p

S.II 5 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑥3 + 𝑥 + 1 1

𝑥+1

∞0

=

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

1

𝑥 + 1𝑙𝑛 𝑥3 + 𝑥 + 1

0∞=


𝑙𝑛 𝑥3 + 𝑥 + 1

𝑥 + 1


𝑥→∞

3𝑥2 + 1𝑥3 + 𝑥 + 1

1


3𝑥2 + 1

𝑥3 + 𝑥 + 1


𝑥→∞

6𝑥

3𝑥2= 0

𝑒0 = 1

1p

2p

3p

2p

1p

S.II 6 C𝑎𝑧𝑢𝑙 1∞ 𝑓𝑔 = 𝑒𝑔𝑙𝑛𝑓

𝐷𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑢 𝑝𝑟𝑖𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 → 𝑙𝑖𝑚𝑢 𝑥 →0

1 + 𝑢 𝑥 1

𝑢 𝑥 = 𝑒

2p

8p

81

Clasa: a XI-a

Unitatea de învăţare: Rolul derivatei întâi în studiul funcțiilor

Profesor: Negrea Viorica

Unitatea şcolară: Colegiul Economic ”V. Madgearu” Ploiești


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Intervale de monotonie

I.1 (5p) I.2 (2p)

I.3 (2p)

I.2 (3p)

I.3 (3p)

II.1a

(3p)

II.2a

(2p)

II.1a (3p)

II.2a (3p)

26p

Puncte de extrem I.4 (2p)

II.3(2p)

I.4 (3p)

II.4 (2p)

II.3 (3p)

II.5 (5p)

II.3(5p)

II.5(2p) II.4 (5p)

II.4 (3p)

II.5 (3p) 35p

Inegalități

II.1b

(1p)

II.2b

(2p)

II.7 (2p)

II.1b

(3p)

II.6(2p)

II.2b

(3p)

II.6(4p)

II.7(4p)

II.6(4p)

II.7(4p) 29p

Total 9p 14p 19p 13p 15p 20p 90p


1. Identificarea unor funcții utilizând proprietăți ale acestora: derivabilitate, monotonie,

puncte de extrem.

2. Prelucrarea unor date de tip cantitativ si/ sau calitativ cuprinse în enunțuri matematice

referitoare la

studiul derivabilității funcțiilor.

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea de probleme.

4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de derivabilitate, monotonie a unor proprietăți

cantitative si/ sau calitative ale unei funcții.

5. Studierea unor situații-problemă din punct de vedere cantitativ si/ sau calitativ utilizând

monotonia și punctele de extrem

6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii si

metode adecvate.

82

Test



Fiecare lucrare primeşte 10p puncte din oficiu.

Subiectul I – Completați spațiile libere

(20p)

5p 1. Funcția :f I , derivabilă pe I, este crescătoare pe I dacă............................ și este

descrescătoare pe I dacă..........................

5p 2. Funcția :f , 1

f xx

este monoton ........................................ pe .

5p 3. Funcția :f , 4xf x e x este monoton ........................................ pe 0, .

5p 4. Funcția :f , 3 23f x x x are .............. puncte de extrem.


(70p)

10p 1.

Se consideră funcția : 1f , 2

1

xf x

x

.

a) Să se determine intevalele de monotonie ale funcției;

b) Să se demonstreze că 4f x pentru orice 1x .

10p 2.

Se consideră funcția :f , 2

xef x

x .

a) Să se demonstreze că funcția f este descrescătoare pe 0,2 .

b) Să se arate că 3 22 3e e .

10p 3. Se consideră funcția : 0,f ,

4

ln4

xf x x . Să se determine punctele

de extrem ale funcției.

10p 4. Se consideră funcția : 1f ,

2 2

1

x xf x

x

. Să se demonstreze că

funcția admite două puncte de extrem.

10p 5. Determinați m pentru care funcția

2 5 4

m xf x

x x

nu are puncte de

extrem.

10p 6.

Se consideră funcția : 0,f , 2 lnf x x x . Să se demonstreze că

1

2f x

e pentru orice 0x .

10p 7. Demonstrați inegalitatea 1xe x , x .

83

Barem de evaluare

Subiectul I

1. ' 0f x ; ' 0f x 5p

2. Descrescătoare 5p

3. Crescătoare 5p

4. 2 5p

Subiectul II

1. a)

2

2

2

( 1)

x xf x

x

Ecuația 0f x are soluțiile 1 2x și

2 0x .

0f x pentru orice , 2 0,x deci f este crescătoare pe

, 2 0,

0f x pentru orice 2, 1 1,0x deci f este descrescătoare pe

2, 1 1,0 .

b) 0 2x este punct de maxim pe , 1

2f x f și 2 4f rezultă 4f x

2p

2p

2p

2p

2p

2. a) 4

( 2)exx xf x

x

0f x pentru orice 0,2x deci f este descrescătoare pe 0, 2

b) 0 2 3 2 și f este descrescătoare pe 0, 2 rezultă 2 3f f

2

22

ef ;

3

33

ef

Rezultă 3 22 3e e

2p

3p

2p

1p

2p

3.

4 1xf x

x

Ecuația 0f x are soluțiile 1 1x și 2 1x

1 0, ; 1 0,

f este descrescătoare pe 0,1 și f este crescătoare pe 1,

Rezultă 1x este punct de minim

2p

2p

2p

2p

2p

84

4.

2

2

2 3

( 1)

x xf x

x

Ecuația 0f x are soluțiile 1 1x și

2 3x

f este crescătoare pe , 1 și f este descrescătoare pe 1,3 rezultă 1x este

punct de maxim

f este descrescătoare pe 1,3 și f este crescătoare pe 3, rezultă 3x este

punct de minim

Deci, f admite două puncte de extrem

2p

2p

2p

2p

2p

5.

2

2 2

2 5 4

(x 5 4)

x mx mf x

x

f nu are puncte de extrem ecuația 0f x nu are soluții

ecuația 2 2 5 4 0x mx m nu are soluții reale 0

Rezultă 1,4m

2p

3p

3p

2p

6. (2ln 1)f x x x

Ecuația 0f x are soluțiile 1 0x și 2

1x

e

0 0,x

1x

e este punct de minim, deci

1f x f

e

pentru orice 0,x

1 1

2f

ee

Rezultă 1

2f x

e pentru orice 0,x

2p

2p

1p

2p

1p

2p

7. Considerăm funcția :f , 1xf x e x

1xf x e

0x este punct de minim, deci 0f x f pentru orice x

0f x pentru orice x , adică 1 0xe x , x

Rezultă 1xe x , x

3p

1p

3p

2p

1p

85

Clasa: a XI-a profil matematică – informatică

Teză pe semestrul al II - lea

Profesor: Pavel Florin

Unitatea şcolară: Liceul Teoretic “Șerban Vodă” Slănic


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


1. Determinanți,

proprietăți ale lor,

aplicații ale lor în

geometria analitică

I.1(5) I.4.(5)

II.1.a(2) II.1.b(3)I

I.2.a(3) II.2.b(2)

II.1.c(1) II.1.a(1) II.1.b(1) II.2.b(1)

24p

2. Sisteme de ecuații

liniare;matrice

inversabile; rangul unei

matrice

II.1.a(2) II.1.b(1) II.2.a(1) II.2.b(2) II.2.c(2)

II.1.c(3) II.1.c(1) II.2.a(1) II.2.c(1)

II.2.c(2) 16p

3.Proprietăți locale și

globale referitoare la

continuitatea și

derivabilitatea funcțiilor;

calcului derivatelor de

ordin I și al II lea ale

funcțiilor

III.1.a(3

) III.1.b(3

) III.1.c(2

) III.2.a(1

)

III.2.a(1) III.2.b(1)

I.2.(5) I.3.(5) I.5.(5) I.6.(5)

III.1.b(1

) III.2.b(1

)

III.1.a(2) III.1.b(1

) III.2.b(1

)

III.2.a(1)

III.1.c(1) III.1.a(1) III.2.a(2)

III.1.c(2) III.1.a(1)

45p

4.Reprezentarea grafică

a funcților și rezolvarea

grafică a ecuațiilor;

determinarea numărului

de soluții ale unei ecuații

III.2.b(1

) III.2.b(1) III.2.c(3)

5p

Total 9p 30p 26p 5p 12p 8p 90p


C1. Identificarea unor funcții utilizând proprietăți ale acestora: monotonie, continuitate,

derivabilitate, puncte de extrem.

C2. Prelucrarea unor date de tip cantitativ și/ sau calitativ cuprinse în enunțuri matematice

referitoare la operații cu matrice sau la studiul derivabilității funcțiilor.

C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului matriceal, respectiv calculului diferențial în

rezolvarea de probleme.

C4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a

unor proprietăți cantitative și/ sau calitative ale unei funcții.

C5. Studierea unor situații-problemă din punct de vedere cantitativ și/ sau calitativ utilizând

proprietățile algebrice și de ordine ale mulțimii numerelor reale.

C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii si

metode adecvate.

86

Test




Subiectul I . La exercițiile 1 – 6 scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect.

5p 1. În sistemul de coordonate carteziene xOy se dau punctele A(2, -5) și B(5, -2). Ecuația dreptei

determinate de cele două puncte, scrisă sub formă de determinant, este:

A. 𝑥 𝑦 12 5 1

−2 −5 1

= 0; B. 𝑥 𝑦 12 −5 15 −2 1

= 0;C. 𝑥 𝑦 12 5 1

−2 −5 1

= 1;D. 𝑥 𝑦 𝑧2 −5 15 −2 1

= 0

5p 2. Punctele critice ale funcției 𝑓: 0; 𝜋 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 sunt:

A. 0 ; 𝜋 B. 0; 𝜋

2; 𝜋 C. 0 D. 0,

𝜋

2

5p 3. Valorile pe care le poate lua numărul c determinat prin aplicarea teoremei lui Lagrange

funcției 𝑓: 0; 2 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1, 𝑥 ∈ [0; 1)

ln 𝑥 , 𝑥 ∈ [1; 2] sunt:

A. 2

1+ln 2 B.

2

1−ln 2 C. 1 D.

1−ln 2

2

5p 4. Valoarea parametrului real a pentru care matricea 𝐴 =

1 2 −10 𝑎 1

−1 1 2 este inversabilă este:

A. 0 B. -3 C. 3 D. 1

5p 5. Funcția 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 2𝑥

1+𝑥2 este crescătoare pe intervalul / intervalele:

A. −1; 1 B. (−∞; −1] ∪ [1; ∞] C. R D. [0; ∞) 5p 6. Funcția 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = ln 𝑥2 + 1 este concavă pe intervalul / intervalele:

A 0; ∞ B. 𝑅 C. −1; 1 D. (−∞; −1] ∪ [1; ∞]


1. Se dă matricea 𝑀 =

1 0 𝑚 − 1𝑚 − 1 1 0

0 𝑚 − 1 1 ∈ M3 R ,

5p a. Să se determine 𝑚 ∈ R pentru care matricea M este inversabilă;

5p b. Pentru 𝑚 = 3 calculați inversa matricei M;

5p

c. Rezolvați ecuația matriceală 𝑋 ∙ 1 0 22 1 00 2 1

= −1 0 23 0 1

5p 2.

1. Se consideră sistemul

𝑥 + 𝑎𝑦 + 2𝑧 = 1

𝑥 + 2𝑎 − 1 𝑦 + 3𝑧 = 1

2𝑥 + 2𝑎𝑦 + 𝑎 − 1 𝑧 = 2𝑎

a Să se determine valorile parametrului real a astfel încât sistemul să aibă soluție

unică.

5p b Să se determine valorile parametrului real a astfel încât sistemul să aibă o

infinitate de soluții reale.

5p c Pentru a = 1 demonstrați că pentru orice soluție 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 a sistemului , −2𝑥02 +

𝑦02 + 2015𝑧0

2 ≠ 2016.

87

Subiectul III – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.

1. Fie funcţia 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 =

2𝑥2 + 𝑎𝑥 − 4, dacă x < 0,

ln 𝑥3 + 1 − 𝑥 + 𝑏, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑥 ≥ 0 .

5p a. Determinați valoarea parametrului real b pentru care funcția este continuă în 0.

5p b. Determinați valoarea parametrilor reali a și b pentru care funcția este derivabilă în

0.

5p c. Pentru a = -1 și b = -4 demomnstrați că ecuația 𝑓 𝑥 = 0 are cel puțin o soluție în

intervalul (-1,5; -1).

5p 2. Fie funcția 𝑓: 𝑅\ −1 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑥2+𝑎𝑥 +𝑏

𝑥+1 .

a Determinați valorile parametrilor reali a și b astfel încât graficul funcției să admită

asimptotă oblică la ∞ dreapta def ecuație 𝑦 = 𝑥 + 1 și, în plus, 𝑓 ′ 2 = 0, 7 . 5p b. Pentru a = 2 și b = 3 trasați graficul funcției f

5p c. Pentru a = 2 și b = 3 să se discute numărul de soluții ale ecuației 𝑥2 + 2𝑥 + 3 =𝑚 𝑥 + 1 , 𝑚 ∈ 𝑅.

88

Barem de evaluare

I.1 B 5p

I.2 D 5p

I.3 A 5p

I.4 C 5p

I.5 A 5p

I.6 D 5p

II.1 a. Matricea M este inversabilă dacă și numai dacă 𝑑𝑒𝑡 (𝑀) ≠ 0

𝑑𝑒𝑡 (𝑀) = 1 0 𝑚 − 1

𝑚 − 1 1 00 𝑚 − 1 1

= 1 + 𝑚 − 1 3

1 + 𝑚 − 1 3 ≠ 0; 𝑚 ≠ 0; 𝑚 ∈ 𝑅∗

2p

2p

1p

b. 𝑀 =

1 0 22 1 00 2 1

; det 𝑀 = 9; 𝑀𝑡 = 1 2 00 1 22 0 1

;

𝑀∗ = 1 4 −2

−2 1 44 −2 1

;

𝑀−1 =1

det 𝑀 ∙ 𝑀∗ =

1

9

4

9−

2

9

−2

9

1

9

4

94

9−

2

9

1

9

1p

2p

1p

1p

c. Ecuația din enunț este 𝑋 ∙ 𝑀 = −1 0 23 0 1

, unde matricea M este cea de pa

punctul anterior.

𝑋 ∙ 𝑀 = −1 0 23 0 1

| ∙ 𝑀−1 (M inversabilă, din punctual anterior) se obține

𝑋 = −1 0 23 0 1

∙ 𝑀−1

=

7

9−

8

9

4

97

9

10

9−

5

9

1p

2p

1p

1p

II.2 a) det 𝐴 =

1 𝑎 21 2𝑎 − 1 32 2𝑎 𝑎 − 1

=

𝑎 − 5 𝑎 − 1

Sistemul este compatibil determinat det 𝐴 ≠ 0

𝑎 ∈ R\ 1; 5 .

1p

2p 1p

1p

89

b) Pentru 𝑎 = 1 determinantul principal al sistemului este ∆𝑝= 1 21 3

≠ 0 (sau altul

corect ales)

Minorul caracteristic al sistemului va fi ∆𝑐= 1 2 11 3 12 0 2

= 0, deci sistemul este

compatibil (nedeterminat).

Pentru 𝑎 = 5 determinantul principal al sistemului este ∆𝑝= 1 51 9

≠ 0 (sau altul

corect ales)

Minorul caracteristic al sistemului va fi ∆𝑐= 1 5 11 9 12 10 10

= 4 ≠ 0, deci sistemul

este incompatibil.

În concluzie, pentru 𝑎 = 1 sistemul va avea o infinitate de soluții.

1p

1p

1p

1p

1p

c) Pentru 𝑎 = 1 sistemul devine

𝑦 + 2𝑧 = 1−∝𝑦 + 3𝑧 = 1−∝

, 𝑥 = ∝∈ R.

Soluția sistemului va fi: ∝, 1−∝, 0 . Dacă soluția sistemului ar verifica relația , −2𝑥0

2 + 𝑦02 + 2015𝑧0

2 = 2016. Înlocuind în relația din enunț s-ar obține ecuația ∝2+ 2 ∝ +2017 = 0, ecuație care

nu are soluții reale.

2p

3p

III.

1

a.

lim𝑥→0𝑥<0

𝑓 𝑥 = −4;

lim𝑥→0𝑥>0

𝑓 𝑥 = 𝑏;

𝑓 0 = 𝑏 f continuă pe R rezultă că f continua în 0, deci

lim𝑥→0𝑥<0

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0𝑥>0

𝑓 𝑥 = 𝑓 0

𝑏= - 4

1p

1p

1p

1p

1p

b. Dacă f este derivabilă în 𝑥 = 0 atunci f este continuă în 𝑥 = 0, deci 𝑏= - 4

lim𝑥→0𝑥<0

𝑓 𝑥 − 𝑓(0)

𝑥 − 0= 𝑎;

lim𝑥→0𝑥>0

𝑓 𝑥 − 𝑓(0)

𝑥 − 0= −1;

𝑎 = −1

2p

1p

1p

1p

c. Funcția f este continuă pe intervalul (-1,5; -1)

𝑓 −1,5 = 2 > 0

𝑓 −1 = −1 < 0

Ecuația 𝑓 𝑥 = 0 are cel puțin o soluție în intervalul respective.

2p

1p

1p

1p

III.

2 a. 𝑚 = 1; 𝑛 = lim

𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥 = 𝑎 − 1;

𝑎 − 1 = 1; 𝑎 = 2

Pentru 𝑥 ∈ −1, ∞ , 𝑓 ′ 𝑥 =𝑥2+2𝑥+2−𝑏

𝑥+1 2 ;

𝑓 ′ 2 =10 − 𝑏

9;

𝑏 = 3

1p

1p

1p

1p

1p

90

b. 𝑦 = −𝑥 − 1 asimptotă oblică la −∞; 𝑥 = −1 asimptotă verticală

𝑓 ′ 𝑥 =

𝑥2 + 2𝑥 + 3

−𝑥 − 1, 𝑥 < −1

𝑥2 + 2𝑥 + 3

𝑥 + 1, 𝑥 > −1

Tabloul de variație al funcției va fi:

𝑥 −∞ − 1 − 2 -1 −1 + 2 +∞ 𝑓 ′ 𝑥 − − − − − 0 + + + | − − − − − 0 + + + + + + 𝑓 𝑥 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 2 + 4 ↑ ↑+∞ | ↓−∞ ↓ ↓ ↓ 2 2 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

Reprezentarea grafică

1p

1p

1p

2p

X=-1

y

x

Y=x+1

Y=-x-1

-1-1- -1-

3

c. 𝑚 ∈ (−∞; 2 2) ecuația nu are soluții reale;

𝑚 = 2 ecuația are soluție unică 𝑥 = −1 + 2;

𝑚 ∈ (−2 2; 2 2 + 4) ecuația are două soluții reale, distincte;

𝑚 = 2 2 + 4 ecuația are trei soluții reale distincte;

𝑚 ∈ (2 2 + 4; ∞) ecuația are patru soluții reale, distincte.

1p

1p

1p

1p

1p

91

Clasa: a XII-a

Unitatea de învăţare: Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp

Profesor: Tudorache Nicoleta

Unitatea şcolară: Colegiul „Ion Kalinderu”, Bușteni


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut

C1 C2 C3 C4 C5 C6 Procent

Total

puncte/

Conținut

ÎMPĂRȚIREA

POLINOAMELOR

1

I.1

0,13 5p

1

0,13

3 I.2.

0,39 5p

2 II.2

0,26

5p

2

0,26

1

0,13 10%

15p

TEOREMA

ÎMPĂRȚIRII CU REST 2

0,26

2

II.3.a

0,26

5p

6

0,78

4

I.3

0,52

5p

4

II.3.b

0,52

10p

2

0,26 20%

20p

TEOREMA

RESTULUI

3

0,39

3 I.4

0,39 5p

9

1,17

6

0,78

6 I.5

0,78 5p

3

I.6

0,39

5p

30%

15p

SCHEMA LUI

HORNER

3

0,39

3

0,39

9

II.1abc

1,17

30p

6

0,78

6

0,78

3

II.3.c

0,39

10p

30%

40p

Procent 10% 10% 30% 20% 20% 10% 100% -

TOTAL

Itemi/Competeță 1,17 - 1 1,17 - 2 3,5 - 4

2,34 -

2 2,34 - 2

1,17 -

2 13

-

TOTAL

PUNCTE/Competență 5p 10p 35p 10p 15p 15p 90p

90p

Competețe de evaluat:

C1. Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu care este înzestrată mulțimea polinoamelor cu

coeficienți reali.

C2. Evidenţierea asemănărilor şi a deosebirilor dintre proprietăţile unor operaţii definite pe

mulţimi diferite şi dintre calculul polinomial şi cel cu numere.

C3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii practice.

C4. Transpunerea în limbaj matematic, a unor probleme practice.

C5. Determinarea unor polinoame, funcţii polinomiale sau ecuaţii algebrice care verifică

condiţii date.

C6. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica

numerelor și analiza matematică.

92

Test

Teorema împărțirii cu rest, Teorema restului, Împărțire prin X – a, Schema lui Horner




Subiectul I – pe foia de lucrare treceți doar răspunsurile corecte ( 30 puncte)

5p 1. Calculând f(– 1) în polinomul f = X23

– 5X12

+ 3X7 – X, obținem ……….. .

5p 2. Restul împărțirii polinomului f = 2X

4 + 5X

3 – 3X

2 + 5 la polinomul g = 2X

2 +3X – 2 este egal

cu ……….. .

5p 3. Un polinom f este împărțit la X

2 – 3X + 2 și se obține câtul X

2 – 1 și restul X – 3. Calculând

f obținem ……….. .

5p 4. Restul împărțirii polinomului f = 2X5 + X

2 – 3X – 3 la X + 2 este ……….. .

5p 5. Știind că restul împărțirii polinomului f = X

3 + 3X

2 – 3X + a la X +1 este 0, valoarea

numărului real a este ……….. .

5p 6.

Se consideră polinomul f = ( X2 – X – 1)

1008 + 2. Forma sa algebrică este

𝑓 = 𝑎2016𝑋2016 + 𝑎2015𝑋2015 + ⋯ + 𝑎1𝑋 + 𝑎0 . Calculând suma: 𝑎0 + 𝑎1 + ⋯ + 𝑎20016

obținem ……….. .

Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.(60 puncte)

30p 1. Aplicând schema lui Horner, calculați câtul și restul împărțirii polinomului f la

polinomul g

10p a) f = 2X4 – 3X

3 + 5X

2 – 7X + 9 la g = X – 2

10p b) f = – X6 – X

5 – 5X

4 + 3X – 7 la g = X + 3

10p c) f = 4X3 + 6X

2 – 7X + 9 la g = 2X + 1

5p 2. Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f = 𝑋4 + 2 𝑋3 + 3 𝑋2 + 2 𝑋 +1 ∈ ℤ5[𝑋] la polinomul 𝑔 = 𝑋2 + 3 𝑋 + 4 ∈ ℤ5[𝑋] .

25p 3.

Fie polinomul f = (X – 1)20

+ (X – 3)20

. Dacă efectuăm calculele, acesta are

forma algebrică

𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋 + 𝑎2𝑋2 + ⋯ + 𝑎20𝑋20

.

5p a) Determinați a0.

10p b) Calculați valoarea expresiei: 2𝑎0 + 4𝑎1 + 8𝑎2 + ⋯ + 221𝑎20 .

10p c) Determinați restul împărțirii lui f la (X – 2)2.

93

Barem de evaluare:

Pentru subiectele din partea I se acordă cîte 5 puncte pentru răspunsul corect:

Nr. item 1 2 3 4 5 6

Răspuns – 8 8X + 1 f = X4 – 3X

3 + X

2 + 4X – 5 – 57 – 5 3

1.a) Face schema correct

X4 X

3 X

2 X

1 X

0

2 – 3 5 – 7 9

__________________________ Identifică pe a = 2

2 2 1 7 7 23 Face corect calculele

Identifică câtul, c = 2X3 + X

2 + 7X +7

Identifică restul r =23.

3p

2p

2p

2p

1p

1.b) Face schema correct

X6

X5

X4 X

3 X

2 X

1 X

0

– 1 – 1 – 5 0 0 3 – 7

_________________________________________ Identifică pe a = – 3

– 3 – 1 2 – 11 33 – 99 300 – 907 Face corect calculele

Identifică câtul, c = –X5 +2X

4 – 11X

3 + 33X

2 – 99X + 300

Identifică restul r = – 907.

2p

2p

3p

2p

1p

1.c) Face schema correct

X3 X

2 X

1 X

0

4 6 – 7 9

__________________________ Identifică pe a = 1

2

1

2 4 8 – 3

15

2 Face corect calculele

Identifică câtul, c = 4X2 + 8X – 3

Identifică restul r = 15

2.

2p

3p

2p

2p

1p

2. Face împărțirea corect, calculele în ℤ5[𝑋] Câtul c = 4 𝑋2 + 𝑋 + 3 și restul 3

5p

3.a) Scrie f(0)=a0

Calculează f(0) = 1 + 320

2p

3p

3.b) Calculează f(2) = (2 – 1)20

+ (2 – 3)20

=2

În forma algebrică 2f(2) = 2𝑎0 + 4𝑎1 + 8𝑎2 + ⋯ + 221𝑎20= 4

4p

6p

3.c) Scrie r = aX + b

Teorema împărțirii cu rest f = (X – 2)2q(X) + aX + b

f (2) = 2a + b și din punctul b) rezultă 2a + b = 2

Din f „(X) = 20(X – 2)

19 + 20 (X – 3)

19rezultă f

„(2) = 0, de unde rezultă a = 0 și b=2

Restul împărțirii lui f la (X – 2)2 este 2

1p

2p

2p

4p

1p

94

Clasa: a XI-a (3 ore/săptămână)

Unitatea de învăţare: Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ

Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui Viete

Profesor: Iordache Mara Georgiana

Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic Teodor Diamant


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Forma algebrică a unui

polinom, operaţii cu

polinoame

I.1(10p)

I.4(10p)

20

Teorema împărţirii cu

rest, împărţirea

polinoamelor

II.1a(5p) I.3(5p) 10

Împărţirea cu x – a ,

schema lui Horner,

divizibilitate, teorema lui

Bezout

II.1b(5p) I.5(10p)

I.2

(10p)

25

Rădăcini ale

polinoamelor; relaţiile lui

Viete II.2a(5p)

II.2b

(10p)

II.3a

(10p) II.3b(5p)

II.1c

(5p) 35

TOTAL 15 15 20 10 15 15 90p


1. Recunoaşterea mulţimilor de polinoame

2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice

3. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date

4. Exprimarea unor probleme practice folosind calcul polinomial

5. Utilizarea prin analogie, în calcule cu polinoame a metodelor de lucru din aritmetica

numerelor

6. Prelucrarea unor date de tip cantitativ/calitativ cuprinse in enunţuri referitoare la relaţiile lui Viete

95

Test

Notă:Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.




Completați spațiile libere cu răspunsul corespunzător.

10p

1

Fie polinomul 426 2 XXf ,𝑓 ∈ 𝐶 𝑋 .

Valoarea polinomului 𝑓 −1 + 𝑓(1) este.......

10p 2

Se dă polinomul 𝑓 ∈ 𝐶 𝑋 , 𝑓 = 𝑥2 − 𝑥 − 9

Relaţiile lui Viète pentru 𝑓 sunt........

5p 3 Fie polinomul 33 XXf , 𝑔 = 𝑋 + 2, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶 𝑋

Restul împărţirii polinomului 𝑓𝑙𝑎𝑔 este egal cu........

10p 4 Ecuaţia de gradul al doilea care are rădăcinile 1,2 21 xx

este......

10p 5 Polinomul𝑓 = 𝑋4+ 4𝑋3−𝑋2+ 6𝑋– 𝑚sedivide prin 𝑋 − 1 pentru 𝑚 =..........


1

5p

5p

5p

Fie polinomul 𝑓 = 𝑚𝑋3+𝑋2+𝑋 + 𝑚 ∈ 𝑅 𝑋 .

a) Să se determine 𝑚 ∈ 𝑅 𝑋 astfel încât restul împărţirii polinomului 𝑓𝑙𝑎𝑔 = 𝑋 + 2 să

fie egal cu 9.

b) Pentru 𝑚 = 1 să se descompună în factori ireductibili polinomul dat.

c) Pentru 𝑚 = 1 să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor lui 𝑓.

2

5p

10p

Fie polinomul 03)1(23 XmXmXf ,𝑓 ∈ 𝑅 𝑋 . *Rm .

a) Să se determine 𝑚 ∈ 𝑅 𝑋 astfel încât 11 x să fie rădăcină a lui 𝑓.

b) Determinaţi mulţimea valorilor lui 𝑚 pentru care 02

3

2

2

2

1 xxx , unde

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3sunt rădăcinile polinomului 𝑓.

3.

10p

5p

Se dă ecuaţia 𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 care are rădăcinile 𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 ∈ 𝐶.

a) Să se calculeze ∆1= 𝑥1 2 33 𝑥2 22 3 𝑥3

, ∆2=

𝑥1 𝑥2 𝑥3

𝑥3 𝑥1 𝑥2

𝑥2 𝑥3 𝑥1

b) Să se calculeze valoarea expresiei 3

21

2

31

1

32

x

xx

x

xx

x

xxE

96

Barem de evaluare

Subiectul I

1 𝑓 −1 + 𝑓 1 = 4 10p

2 𝑥1 + 𝑥2 = 1 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −9

10p

3 𝑟 = −3 5p

4 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 10p

5 𝑚 = 0 10p

Subiectul II

1a) 𝑟 = 𝑓 −2 = 𝑚 −2 3+ −2 2+ −2 + 𝑚 = 9

−8𝑚 + 4 + −2 + 𝑚 = 9 −7𝑚 = 7

𝑚 = −1

3p

1p

1p

1b) 𝑓 = 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1 ⇒

𝑋2 𝑋 + 1 + 𝑋 + 1 = 𝑋 + 1 𝑋2 + 1

X2 + 1 = 0 ⇒

∆< 0 ⇒ f = 𝑋 + 1 𝑋2 + 1

X2 + 1 = 0 ⇒

2p

1p

1p

1p

1c) 𝑓 = 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1 𝑥1

2 + 𝑥22 + 𝑥3

2= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 2 − 2 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 = −1 2 − 2 ∙ 1 =

1 − 2 = −1

2p

2p

1p

2a) 𝑓 −1 = 𝑚 −1 3+ −1 2+(m − 1) −1 + 𝑚 = 0

−𝑚 + 1 − 𝑚 + 1 + 3 = 0

𝑚 =5

2

3p

1p

1p

2b) 𝑥12 + 𝑥2

2 + 𝑥32= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 2 − 2 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 = (−

1

𝑚)2 −2(

𝑚−1

𝑚) =

=1

𝑚2 −2 𝑚−1

𝑚≤ 0 <=> 1 − 2𝑚 𝑚 − 1 ≤ 0 <=> 2𝑚2 − 2𝑚 − 𝑚 ≥ 0

∆= 4 + 8 = 12 => ∆= 2 3 => 𝑚1 =2 + 2 3

4=

1 + 3

2 => 𝑚2 =

2 − 2 3

4

=1 − 3

4.

Deci𝑚 ∈ −∞;1− 3

2 ∪ [

1+ 3

2; +∞)

4p

2p

2p

2p

97

3a)

∆1= 𝑥1 2 33 𝑥2 22 3 𝑥3

= 𝑥1𝑥2𝑥3 + 8 + 27 − 3𝑥2 ∙ 2 − 3 ∙ 2𝑥1 − 3 ∙ 2𝑥3 =

= 𝑥1𝑥2𝑥3 + 35 − 6 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2 + 35 − 6 ∙ 1

= 27

∆2=

𝑥1 𝑥2 𝑥3

𝑥3 𝑥1 𝑥2

𝑥2 𝑥3 𝑥1

= 𝑥1𝑥1𝑥1 + 𝑥2𝑥2𝑥2 + 𝑥3𝑥3𝑥3 −

𝑥3𝑥2𝑥1 + 𝑥3𝑥2𝑥1 + 𝑥3𝑥2𝑥1 = 𝑥13 + 𝑥2

3 + 𝑥33 − 3𝑥1𝑥2𝑥3

𝑥13 − 6𝑥1

2 + 𝑥1 + 2 = 0

𝑥23 − 6𝑥2

2 + 𝑥2 + 2 = 0 (+)

𝑥33 − 6𝑥3

2 + 𝑥3 + 2 = 0

---------------------------------

𝑥13 + 𝑥2

3 + 𝑥33 − 6 𝑥1

2 + 𝑥22 + 𝑥3

2 + 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 6 = 0

→

𝑥13 + 𝑥2

3 + 𝑥33 = 6 36 − 2 − 6 − 6 =192

∆2= 192 − 3 −2 = 192 + 6 = 198

3p

2p

2p

1p

1p

1p

3b)

2

1

6

321

322131

321

xxx

xxxxxx

xxx

63332

1636

3111

616

16

16666

321

323121

3213213

3

2

2

1

1

xxx

xxxxxx

xxxxxxx

x

x

x

x

xE

1p

2p

2p

98

Clasa:a XII-a

Unitatea de învăţare: Primitive

Profesor: Soare Daniela

Unitatea şcolară: Colegiul Economic”Virgil Madgearu”,Ploieşti


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Primitivele unei funcţii.

Definiţie I.1(5p)

II.3.a)

(10p)

II.3.b)

(10p)

II.2.b)

(5p)

II.2.c)

(5p)

(35p)

Integrala nedefinită.

Primitive uzuale I.2(5p)

II.1.a)

(10p)

II.1.b)

(10p),

II.1.c)

(10p)

I.3(5p)

I.4(5p) (45p)

Funcţii care admit

primitive

II.2.a)

(10p) (10p)

Total 10p 30p 30p - - 20p 90p


1.Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă si derivata sau primitiva acesteia

2.Identificarea unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de

derivare

3.Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale nedefinite

4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor în scopul optimizării soluţiilor

5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, pentru calcularea integralei acesteia

6. Modelarea comportării unei funcţii prin utilizarea primitivelor sale

99

Test




Subiectul I – Scrieţi pe foaia de test numai rezultatele

5p 1. Funcţia : 0,F , ( ) ln 2F x x este primitivă a funcţiei :

5p 2. Mulţimea primitivelor funcţiei :f , ( ) 3sin 2cosf x x x este:

5p 3. Dacă F este o primitivă a funcţiei :f , ( ) 1 2f x x , atunci 1 1F F este:

5p 4. Primitiva F a funcţiei :f ,

2

1( )

4f x

x

pentru care (0) 1F este:


1.Calculaţi:

10p a)

42 2 ln 2xx dx , x

10p b) 2

3

(2 )xdx

x

, 0x

10p c) x xdx , 0x

2. Se consideră funcţia :f , 2 2, 1

( )( 1) ln , 1

x xf x

x x x

.

10p a)

Arătaţi că funcţia f primitive pe .

5p b) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este crescătoare pe 1, .

5p c) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe ,1 .

3.Se consideră funcţiile , :f F , 2 2( ) 3 1 xf x x e şi

2 2( ) xF x ax bx c e , unde , ,a b c .

10p a)

Determinaţi a,b,c astfel încât F să fie o primitivă a funcţiei f.

10p b) Calculaţi ( )

lim( )x

F x

f x, în cazul în care F este o primitivă a funcţiei f .

100

Barem de evaluare

Subiectul I (20p)

1. 1

f xx

5p

2. 3cos 2sinF x x x C 5p

3. 1 1 2F F 5p

4. 12

xF x arctg

5p

Subiectul II (70p)

1a) 54

5

xx dx

22

ln 2

xx dx

5 5

4 2 22 2 ln 2 2 ln 2 2

5 ln 2 5

xx xx x

x dx C

3p

3p

4p

1b) 2 2

3 3 3 2

(2 ) 4 4 1 1 14 4

x x xdx dx dx dx dx

x x x x x

3 2

1 1

2dx

x x

2

1 1dx

x x

1lndx x

x

Finalizare

2p

2p

2p

2p

2p

1c) 3

2x xdx x dx =

=22

5

x xC

4p

6p

2a) Funcţia este continuă pe ,1 şi pe 1,

1 1lim ( ) lim ( ) (1)x x

f x f x f f este continuă în x=1

Finalizare

2p

6p

2p

2b) F ( 1)ln , 1x x x x

F ( 1)ln 0, 1x x x x F este crescătoare pe 1, .

2p

3p

2c) F 2 2, 1x x x

F 2 0, 1x x F este convexă pe ,1 .

2p

3p

101

3a) F să fie o primitivă a funcţiei f F este derivabilă pe şi F ,x f x x

2 22 2 2 2 xF x ax a b x b c e

2 2 2 22 2 2 2 3 1 ,x xax a b x b c e x e x

3

2a ,

3

2b şi

5

4c

2p

4p

1p

3p

3b)

2 2

2 2

( ) ( )lim lim

( ) ( )

3 1( )lim lim

( ) 6 6 2

1

2

x x

x

xx x

F x F x

f x f x

x ef x

f x x x e

2p

4p

4p

102

Clasa:aXII-a

Unitatea de învăţare: Integrarea funcțiilor raționale

Profesor: Dumitru Carmen Marilena

Unitatea şcolară:Liceul Tehnologic Sat Cioranii de Jos, Comuna Ciorani


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Integrarea funcțiilor

raționale simple I.2a I.2.c I.2b I.2d

4itemi

35%

Descompunerea

funcțiilor în funcții

raționale simple

I.1a

I.1b

2 itemi

15%

Calculul integralelor

funcțiilor raționale prin

metoda descompunerii

II.3

II.7

II.8

II.4 II.5 II.6 50%

6 itemi

Total 2 itemi

15%

2 itemi

15%

3 itemi

25%

2 itemi

20%

1 item

5%

2 itemi

15% 100 %

Competențe de valuat:

C1.Identificarea unor metode adecvate de calcul ale integralei

C2. Folosirea descompunerii în factori a polinoameleor

C3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

C4. Exprimarea și redactarea coerentă a metodei de rezolvare a integralei

C5. Modelarea comportării unei funcții prin utilizarea primitivelor sale

C6. Explicarea opțiunilor de calcul a integralei definite în scopul optimizării

103

Test

Subiectul I - Scrieți răspunsul corect

10p

1. Descompunerea în fracții simple a funcțiilor raționale 𝑓: 𝐷 → 𝑅 este:

a) 1

𝑥(𝑥2+3)= b)

𝑥+2

𝑥−3 (𝑥−2)=

10p

2. Să se calculeze integralele primitivelor funcțiilor raționale :

𝑎) 𝑥3 − 6𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = b) 1

8𝑥−3𝑑𝑥 =

10p c)

1

𝑥2+49𝑑𝑥 = d)

1

9𝑥2+6𝑥+1𝑑𝑥 =


Să se calculeze

8p 3. 2𝑥 + 1

𝑥2 + 𝑥 + 7𝑑𝑥

5

4

8p 4. 3𝑥2 − 2

𝑥3 − 2𝑥 + 3 2𝑑𝑥

1

0

8p 5. 𝑥3 − 2

𝑥 − 2𝑑𝑥

4

3

8p 6. 3𝑥 + 2

𝑥 + 2𝑑𝑥

2

1

14p 7. 𝑥

𝑥 + 3 2𝑑𝑥

3

1

14p 8. 𝑥 − 1

𝑥 𝑥 + 1 2𝑑𝑥

2

1

Notă


Se acordă 10 puncte din oficiu

Timp de lucru 50 de minute

104

Barem de evaluare

Subiectul I

Se punctează doar rezultatul, astfel : pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul

maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0.

Nu se acordă punctaje intermediare

1a 1

3𝑥−

𝑥

3(𝑥2 + 3) 5p

1b 5

𝑥 − 3−

4

𝑥 − 2 5p

2a 𝑥4

4− 2𝑥3 + 1 + 𝐶 5p

2b 1

8ln(8𝑥 − 3) + 𝐶 5p

2c 1

7𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥

4+ 𝐶 5p

2d −1

3(3𝑥 + 1)+ 𝐶 5p

Subiectul II

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă

punctajul maxim corespunzător.

Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru

rezolvări parțiale, în limitele punctajului în barem.

3

(𝑥2+𝑥+7)′

𝑥2+𝑥+7𝑑𝑥

5

4 =

= (ln 𝑥2 + 𝑥 + 7 ) 54 =

ln37

27

3p

3p

2p

4

𝑥3−2𝑥+3

′

𝑥3−2𝑥+3 2 𝑑𝑥1

0=

= (−1

𝑥3 − 2𝑥 + 3 )

10

=

= −1

6

3p

3p

2p

5

(𝑥2 + 2𝑥 + 4 +6

𝑥−2)𝑑𝑥

4

3=

=(𝑥3

3+ 𝑥2 + 4𝑥 + 6 ln 𝑥 − 2 )

43

=

= 70

3+ 𝑙𝑛64

3p

3p

2p

6

(3 −4

𝑥+2)𝑑𝑥

2

1=

(3𝑥 − 4 ln 𝑥 + 2 )21

=3 +4ln3

4

3p

3p

2p

105

7

2𝑥+1

𝑥2+𝑥+7 =

1

𝑥+3−

3

𝑥+3 2

(1

𝑥+3−

3

𝑥+3 2)𝑑𝑥3

1=

1

𝑥+3𝑑𝑥

3

1− 3

𝑑𝑥

𝑥+3 2

3

1=

ln 𝑥 + 3 + 31

𝑥 + 3

31

ln3

2−

1

4

4p

3p

2p

3p

2p

8

𝑥−1

𝑥 𝑥+1 2 = −1

𝑥+

1

𝑥+1+

2

(𝑥+1)2 =

(−1

𝑥

2

1+

1

𝑥+1+

2

(𝑥+1)2)𝑑𝑥=

−1

𝑥𝑑𝑥

2

1+

1

𝑥+1𝑑𝑥 +

2

(𝑥+1)2

2

1

2

1𝑑𝑥 =

(−ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 21

𝑥 + 1)

21

=

= 1

3+ ln

3

4

4p

3p

2p

3p

2p

106

Clasa: a XII-a profil matematică – informatică

Teză pe semestrul al II- lea

Profesor: Rusișoru Magda

Unitatea şcolară: Liceul Teoretic “Șerban Vodă” Slănic


Competenţe

de evaluat

Elemente

de conţinut


Calculul primitivelor

Operații

II a-6p

II b-5p

II c-6p

II a -2p

II b-3p

II c-4p

II a-2p

II b-2p

10p

10p

10p

Calculul ariei sau

volumului

III b-5p III b-4p

III b-1p 10p

Metode de calcul a

primitivelor unei funcții

III a-2p III a-5p

III c-5p

III a-2p

III c-3p

III a-1p

III c-2p

10p

10p

Teorema lui Bezout

pentru polinoame

I a-5p

I b-5p

I a-5p

I b-5p

10p

10p

Relațiile lui Viette I c-6p I c-2p I c-2p 10p

TOTAL 19p 5p 10p 16p 30p 10p 90p


C1 - Recunoașterea și aplicarea primitivelor și a integralei definite în diferite contexte.

C2 – Recunoașterea și calcularea ariei subgraficului și a volumului corpului de rotație în

diverse contexte.

C3- Aplicarea corectă a noțiunilor de polinoame a teoremei Bezoit, a relațiilor lui Viette și a

teoremei împărțirii cu rest.

C4- Prelucrarea unor date tip calitativ și cantitativ cuprinse în enunțuri matematice referitoare

la polinoame.

C5. Studierea unor situații-problemă din punct de vedere cantitativ și/ sau calitativ utilizând

proprietățile algebrice și de ordine ale mulțimii numerelor reale.

C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii si

metode adecvate.

107

Test

Notă: Timpul efectiv de lucru este de 90. minute.


Fiecare lucrare primeşte 10.puncte din oficiu.

1. Se consideră polinomul f=𝑋3+𝑋2- 3X + 2.

10p A Calculați f(0).

10p B Determinati câtul și restul împărțirii polinomului f la 𝑥2 − 4.

10p C Arătați că 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑥2 − 𝑥3

2 + 𝑥3 − 𝑥1 2 = 20, stiind că 𝑥1, 𝑥2𝑠𝑖𝑥3 sunt

rădăcinile lui f.


Se consideră funcția f : R->R, f (x) = 𝑥2+x+1

10p A Arătați că 𝑓 𝑥

1

0 𝑑𝑥 =

11

6

10p B

Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul

In = 𝑥𝑛

𝑓 𝑥

1

0 dx. Arătați că In este un șir monoton descrescător.

10p C Determinați numarul real pozitiv a știind că 2𝑥+1

𝑓 𝑥

𝑎

0𝑑𝑥 = ln3

Subiectul III – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.

Se consideră funcția f : [-1,1] -> R , f (x) =arcsin x

10 A

Să se calculeze 𝑓 𝑥 1

0 𝑑𝑥 .

10 B Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția g: [0,

1

2] -> R , g

(x) =arcsinx .

10 C Să se calculeze 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛 𝑛 + 1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥1

𝑛1

𝑛 +1

.

108

Barem de evaluare

I a 𝑓 0 = 03 + 02 − 3 ∗ 0 + 2

𝑓 0 = 2

5p

5p

b Aplicarea teoremei impartirii cu rest

𝐶 𝑥 = 𝑥 + 1

𝑅 𝑥 = 4𝑥 + 6

5p

3p

2p

c 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑥2 − 𝑥3 2 + 𝑥3 − 𝑥1 2=

2 𝑥12 + 𝑥2

2 + 𝑥32 − 2 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3

7 ∗ 2 + 6 = 20

𝑥12 + 𝑥2

2 + 𝑥32 = 7

𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3 = 6

4p

2p

2p

2p

II

a

𝑓1

0 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1

1

0𝑑𝑥=

13

3−

03

3+

12

2−

02

2+ 1 − 0=

1

3+

1

2+ 1 =

11

6

2p

6p

2p

b 𝐼 𝑛+1 < 𝐼𝑛 ⇒ 𝐼 𝑛+1 − 𝐼𝑛=

𝑥 𝑛 +1

𝑥2+𝑥+1

1

0𝑑𝑥 −

𝑥𝑛

𝑥2+𝑥+1

1

0𝑑𝑥=

𝑥𝑛 𝑥 − 1

𝑥2 + 𝑥 + 1

1

0

𝑑𝑥

𝑥𝑛 𝑥 − 1

𝑥2 + 𝑥 + 1 < 0, 𝑥 ∈ 0,1

𝐼 𝑛+1 < 𝐼𝑛

5p

3p

2p

c

2𝑥+1

𝑥2+𝑥+1

𝑎

0𝑑𝑥=

𝑙𝑛 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 𝑙𝑛3

𝑎2 + 𝑎 + 1 = 3

𝑎 = 1

4p

2p

2p

2p

109

III a

𝑓 𝑥 𝑑𝑥1

0 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥

1

0 =

𝜋

2 +

𝑥

1−𝑥2

1

0𝑑𝑥 =

𝜋

2 - 1

2p

6p

2p

b V = 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥1

0 =

𝜋 ( x 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2𝑥 01 -

𝑥

1−𝑥2

1

20

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 =

𝜋( 𝜋2

72 +

𝜋 3

4 -

1

2 )

2p

6p

2p

c 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛 𝑛 + 1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥

1

𝑛1

𝑛 +1

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛 𝑛 + 1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

1

𝑛

𝑛−

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛1

𝑛 +1

𝑛+1

1 −1

𝑛2 − 1 −

1

𝑛 + 1 2

=1-1+0 = 0

2p

4p

4p

110

EDITURA CASA CORPULUI DIDACTIC PRAHOVA

Adresa : Ploieşti, str. Democraţiei, nr. 35

Tel./fax, e-mail : 0244577338

TESTE DE EVALUARE LA MATEMATICĂ LICEU

Documents

Transcript of TESTE DE EVALUARE LA MATEMATICĂ LICEU