1

Biletul 1 (rezolvare) 1)Tipuri de erori: Erorile de problem sunt erori provenite din simplificarea modelului fizic, pentru a fi descris ntr-un model

matematic. Ele sunt cauzate de faptul c formularea matematic nu descrie exact procesul modelat, deoarece de multe ori, pentru a reduce complexitatea formulrii, apelm la ipoteze simplificatoare.

Erorile iniiale (inerente) sunt erori din msurtorile iniiale sau erori din calcule anterioare. Ele apar n valorile datelor i sunt cauzate de incertitudini n msurtori sau de natura inerent aproximativ a reprezentrii numerelor cu ajutorul unui numr finit de cifre.

Erorile de metod provin din faptul c de cele mai multe ori rezolvarea formulrii exacte a problemei este dificil sau chiar imposibil. n aceste cazuri, problema este nlocuit cu o problem aproximativ, pentru care exist tehnici adecvate de rezolvare i care are un rezultat foarte apropiat. Metodele numerice apar n majoritatea contextelor n care sunt utilizate metodele de aproximare.

Erorile de trunchiere (reziduale) provin din natura infinit a unor procese folosite n descrierea soluiei problemelor matematice. Ele sunt cauzate, de exemplu, de trunchierea unei serii infinite (cu alte cuvinte aproximarea sumei unei serii printr-o sum parial), sau considerarea unui termen cu un rang suficient de mare pentru a aproxima limita unui ir. ntreruperea acestor procese dup un numr finit de pai introduce o eroare de trunchiere.

Erorile de rotunjire sunt cauzate de reprezentarea numerelor (date iniiale sau rezultate ale unor calcule) cu un numr finit de cifre semnificative exacte. Erorile de rotunjire se acumuleaz prin creterea numrului de calcule, mai ales al celor care implic scderea unor valori aproximativ egale. Erorile de rotunjire reprezint deci diferena dintre rezultatul produs de un algoritm dat utiliznd aritmetica exact i rezultatul produs de acelai algoritm utiliznd o aritmetic cu precizie limitat (de exemplu, aritmetica virgulei mobile).

Eroarea de calcul este suma dintre eroarea de trunchiere i eroarea de rotunjire, dar de obicei una dintre acestea predomin.

Erori absolute i erori relative Eroarea absolut = valoare aproximativ valoare exact

Eroarea relativ = eroarea absoluta

valoare exacta

Din aceste definiii se obine: Valoare aproximativ = (valoare exact )(1 + eroare relativ) Eroarea absolut nu ine seama de ordinul de mrime al valorilor comparate. De exemplu, o eroare n centimetri

este mai important dac lungimea calculat este de 100 cm, dect dac este de 100 km. De aceea, eroarea relativ se

raporteaz la valoarea real. Adesea eroarea relativ se exprim n procente: eroarea absoluta

100%valoare exacta

De obicei valoarea exact nu este cunoscut. De aceea nici eroarea (absolut sau relativ) nu poate fi calculat, i doar se estimeaz valorile limit ale acesteia. Se utilizeaz majorani pentru modulul erorii (sau norma erorii, dac se lucreaz ntr-un spaiu normat).

Erori ale datelor i erori de calcul Considerm urmtoarea problem tipic: calculul valorii unei funcii f : R R pentru un argument dat. Fie: x = valoarea de intrare exact x* = valoare de intrare aproximativ f(x) = rezultatul dorit f* = funcia aproximativ de calcul Eroarea total este dat de: f*(x*) f(x) = (f*(x*) f(x*)) (f(x*) f(x)) Deci Eroare total = eroare de calcul + eroare propagat a datelor, unde, Eroare de calcul = f*(x*) f(x*) Eroare a datelor = x* x. Algoritmul nu are nici un efect asupra erorii propagate a datelor.

2

Erori forward i erori backward S presupunem c dorim s calculm y = f(x), unde f : R R, dar obinem o valoare aproximativ y*.

Eroare forward absolut = y = y* y

Eroare forward relativ = *y y y

y y

.

Deseori eroarea y este dificil de estimat. Ideea analizei erorilor din punct de vedere a erorilor backward este urmtoarea: soluia aproximativ y* este considerat soluia exact a unei probleme cu datele iniiale modificate, mai precis se consider y* = f(x*), unde x* este o perturbaie a lui x.

Eroare backward absolut = x = x* x, unde f(x) = y i f(x*) = y*.

Eroare backward relativ = *x x x

x x

.

Soluia aproximativ y* se consider "bun" dac este soluie exact pentru o problem cu datele "uor" perturbate.

2)Problema bine conditionata/rau conditionata: Problema se numete bine condiionat dac variaiile relative ale soluiei au acelai ordin de mrime cu

variaiile relative ale datelor de intrare ce le cauzeaz. Problema este ru condiionat dac modificrile relative care au loc n soluie pot fi mult mai mari dect cele

ale datelor de intrare.

Factorul de condiionare se definete prin: | variatia relativa a solutiei |

| variatia relativa adatelor de intrare |cond

S revenim la calculul y = f(x), unde f : R R. S presupunem c se obine valoarea aproximativ y*. Fie x* cu

proprietatea c f(x*) = y*. Avem

*

*

f x f x y

f x ycond

x x x

x x

Problema este ru condiionat, dac factorul de condiionare cond >> 1. Factorul de condiionare acioneaz ca un "factor de amplificare" legnd eroarea forward de eroarea backward:

| eroarea relativ forward | = cond | eroarea relativ backward | De obicei factorul de condiionare nu este cunoscut exact i poate varia n funcie de datele de intrare. De aceea

se utilizeaz o estimaie margine superioar pentru cond. Deci

| eroarea relativ forward | cond | eroarea relativ backward |.

3)Stabilitatea algoritmilor: Noiunea referitoare la algoritmi analoag condiionrii numerice a problemelor este stabilitatea. Intuitiv

vorbind, stabilitatea numeric a unui algoritm nseamn ca acesta este ct mai puin sensibil la perturbaiile din timpul calculului (erorile de rotunjire sau la alte incertitudini numerice care pot aprea n procesul de calcul). Se spune c un algoritm de rezolvare a unei probleme este stabil dac rezultatul produs este soluia exact a aceleai probleme cu datele "uor" perturbate. n cazul algoritmilor stabili efectul erorii de calcul nu este mai puternic dect efectul erorii (mici) a datelor de intrare.

Un algoritm instabil poate amplifica mult perturbaiile date de erorile de calcul.

4)Motode de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare: 1. Metode exacte(directe) care sunt algoritmi finii pentru calculul soluiilor sistemelor de ecuatii liniare:

Metoda lui Cramer, bazat pe calculul determinantilor Metoda eliminarilor succesive (metoda lui Gauss)

3

2. Metode iterative care permit gsirea soluiei sistemelor liniare cu o anumit precizie, ntr-un numr finit de pai: Metoda lui Jacobi Metoda Gauss-Seidel 3.1. Metoda lui Cramer

Considerm urmtorul sistem de n ecuaii liniare cu n necunoscute:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x K a x b

a x a x a x K a x b

a x a x a x K a x b

K K K K K K K K K K

a x a x a x K a x b

=system complet

Conform noiunilor de algebr din liceu, dac un sistem liniar cu n ecuaii i n necunoscute are determinantul principal nenul, atunci el are soluie unic, determinat prin regula lui Cramer, i anume :

1 21 2, , ... ,

xx x nnx x x

unde,

1 2, , ,x x xnK se obin prin nlocuirea n a a coloanei

corespunztoare necunoscutei xi, prin coloana termenilor liberi. Rezolvarea efectiv a sistemului de n ecuaii cu n necunoscute se face prin calculul a n + 1 determinanti. Deci, trebuie s construim un algoritm de calcul numeric al determinantilor . Astfel, avem: det(a11..ann) nainte de a generaliza acest procedeu, trebuie s vedem ce se ntmpl dac, de exemplu, la primul pas, a11 = 0. n aceast situaie, dac pe prima coloan toate elementele sunt nule, atunci determinantul este zero. Dac exist, totui un element nenul pe prima coloan, atunci putem permuta linia care conine acel element nenul, cu prima linie. Obinem un nou determinant, avnd semnul schimbat fa de cel anterior. Procedeul poate fi aplicat si pentru celelalte elemente de pe diagonala, ca mai sus, cu singura observaie c determinantul i schimb semnul de fiecare dat cnd se efectueaz o permutare de dou linii.

3.2. Metoda eliminrilor succesive (metoda lui Gauss) Metoda eliminrilor succesive pornete de la o observaie foarte simpl fcut asupra metodei de calcul a determinanilor, prezentat anterior. Este vorba de faptul c dac folosim aa numita metod a reducerii, prin eliminarea necunoscutei x1, din ecuaiile 2, 3,, n nu facem altceva dect s aplicm primul pas din procedeul de calcul al determinanilor. Astfel, dac sistemul urmtor este compatibil i determinat (adic determinantul principal este nenul): system complet Atunci, se transform ntr-un sistem echivalent, de forma :

11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3 2 2

32 2 33 3 3 3

2 2 3 3

n n

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x K a x b

a x a x K a x b

a x a x K a x b

K K K K K K K K K

a x a x K a x b

Dac, iteram procesul, eliminnd necunoscutele xi, din ecuatiile i + 1, , n(i = 2,,n 1), vom obine n final sistemul:

11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3 2 2

33 3 3 3

n n

n n

n n

nn n n

a x a x a x K a x b

x x K x

x K x

K K K K K K K

x

Acest sistem, numit sistem triunghiular superior, se poate rezolva, ncepnd cu valoarea lui xm care se determin din ultima ecuaie. Cu xn, cunoscut de determinantul xn1 din penultima ecuaie, s.a.m.d.

4

4.1 Metoda lui Jacobi Considerm urmtorul sistem de n ecuaii liniare cu n necunoscute:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x K a x b

a x a x a x K a x b

a x a x a x K a x b

K K K K K K K K K K

a x a x a x K a x b

care se poate scrie: Ax = b, unde A = (aij)i=1,n; j=1,m este matricea sistemului, iar b este vectorul termenilor liberi. Definiie: Numim norma unui vector x, pe care o notm cu ||x||, un numr real definit astfel :

1max

n

ii

x x

Numim norma unei matrice A cu n linii i m coloane, pe care o notm ||A||, un numr real definit astfel:

11

max

mn

iji

j

A a

Teorem: Dac numrul q = ||I A|| are proprietatea q (0, 1), atunci sistemul de ecuaii Ax = b, are o soluie unic, x, iar irul {xm}, definit: x0 = 0, xm+1 = (I A) xm + b, converge la x.

n plus, sunt adevrate inegalitile : 11

1 1

m

m m m

qx x x x b

q q

Determinarea aproximativ a soluiei sistemului Ax = b ca limit a irului {xm}, poart numele de metoda Jacobi. 4.2. Metoda Gauss-Seidel

Considerm urmtorul sistem de n ecuaii liniare cu n necunoscute : sistem Metoda Gauss-Seidel este o variant a metodei Jacobi, n scopul de a crete convergena irului de soluii {xm}. Definitie: Un sistem liniar Ax = b se numete normal dac matricea coeficienilor A este simetric, adic aij = aji, i dac

forma ptratic corespunzatoare

1 1

n n

ij i j

i j

u a x x

este pozitiv definit.

Teorem: Dac ambii membri ai sistemului liniar Ax = b, cu matricea A nesingular, sunt nmulii la stnga cu transpusa AT, atunci sistemul rezultant ATA x = AT b este normal.

5)Algoritmul QR: QR este unul din cei mai utilizai algoritmi pentru a determina toate valorile proprii ale unei matrici. n numele

metodei, Q desemneaz o matrice ortogonal, iar R o matrice superior-triunghiular (R vine de la right). Considerm o matrice real nesingular A, simetric sau nu. Esena algoritmului QR const n urmtoarea

proprietate: Dac A este factorizat n produsul A = QR, unde Q este nesingular, atunci matricea produsului n ordine invers, A= RQ, are aceleai valori proprii ca i A (fiind similar cu A). ntr-adevr, avem: R = Q1A, i A = Q1AQ. Algoritmul QR realizeaz factorizri succesive ale irului de matrici {Ak}, unde A1 = A, definite de: A1 = Q1R1; A2 = R1Q1; A2 = Q2R2; A3 = R2Q2; Ak = QkRk; Ak+1 = RkQk;

Matricile Ak, i Qk, Rk, au urmtoarele proprieti: 1) Toate Ak au aceleai valori proprii ca i A.

5

2) Dac A este simetric, sau tridiagonal, sau A are forma Hessenberg superioar, matricile Ak vor pstra aceste forme.

3) Fie 1 2...k kQ QQ Q , atunci (prin inducie): 1

1 1k k kA Q AQ

.

4) Fie 1...k kR R R , atunci: 1k

k kQ R A

6)Alegerea metodelor de rezolare a ecuatiilor diferentiale: innd seama legtura dintre mrimea pasului de integrare i cea a erorilor de calcul, alegerea unei anumite

metode de rezolvare numeric a ecuaiilor difereniale ordinare reprezint o problem relativ complex recomandri: Dac se cer rezolvri rapide se poate alege o metod simpl, de tip Euler, cu un pas de integrare relativ mic, dar cu o valoare absolut mult superioar celui mai mic numr posibil a fi reprezentat n echipamentul de calcul. Dac se cer rezolvri precise fr a fi important timpul de calcul se poate alege metoda Runge-Kutta de ordinul 4 datorit avantajelor legate de autopornire. Dac se cer rezolvri precise fr modificri semnificative ale pasului de integrare se poate alege metoda Adams Bashforth Moulton de ordinul 4 datorit avantajelor legate de stabilitate numeric. La toate metodele numerice utilizate este necesar analiza stabilitii numerice deoarece toate trebuie s fie numeric stabile. Dac aceasta nu poate fi efectuat teoretic trebuie testat n funcie de aplicaie.

7)Polinoame de interpolare: Teorem. Fiind date m puncte (m > = 1), puncte n plan, (xi, yi), i = 1, 2, , m, xi xj, i j exist un polinom P, unic, avnd gradul cel mult m 1 i pentru care graficul funciei polinomiale asociate conine punctele date. Definiie: Polinomul P, a crui existen i unicitate sunt asigurate de teorema de mai sus, se numete polinomul de interpolare al punctelor (xi, yi), i = 1, 2, , m. O situaie particular care prezint interes este aceea n care punctele de interpolare sunt puncte care aparin graficului unei funcii f, adic f(xi) = yi, 1 i m. n aceast situaie polinomul de interpolare satisface condiiile P(xi) = f(xi), 1 i m i spunem c polinomul interpoleaz funcia f prin punctele (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), , (xm, f(xm)).

Polinomul LAGRANGE Una dintre cele mai cunoscute formule de interpolare este construit de Lagrange sub forma unui polinom de

interpolare.S presupunem c n intervalul [a, b] sunt specificate n valori ale argumentului x1, x2, ..., xn, i valorile corespunztoare ale unei funcii f(x) f(xi) = yi, I = 1, 2,, n Se cere construirea unui polinom Lm(x) care ia n punctele specificate xi aceleasi valori ca i functia f(x)

Lm(xi) = yi, I = 1, 2,, n (1)

Pentru aceasta s construim mai nti un polinom pi(x) pentru care 1, daca

0, dacai j ij

j ip x

j i

(2)

Deoarece polinomul cutat, pi(x), se anuleaz n cele (n 1) puncte x1, , xi-1, xi+1, , xn, el are expresia

1 1 1i i i i n i ip x C x x K x x x x K x x C x unde Ci este un coeficient constant, iar i j

j i

x x x

Lund x = xi i avnd n vedere c pi(xi) = 1 obinem 1/i i iC x . Cu acestea, gsim pentru polinomul pi(x) care

satisface condiiile (2)

i

i

i i

xp x

x

(3)

Revenind acum la problema iniial a construirii polinomului Lm(x) care satisface condiiile (1), acesta poate fi scris sub

forma 1

n

m i i

i

L x p x y

(4)

6

ntr-adevr, deoarece polinoamele pi(x), sunt de ordinul (n 1), i Lm(x) este de ordinul (n 1) i satisface condiiile (1)

11 1

n n

n j i j i ij i j

i i

L x p x y y y

, j = 1, 2, , n. nlocuind expresia (3) a polinoamelor pi(x) n (4) rezult formula de interpolare a lui Lagrange

1

1 1

jn ni j i

n i i

i i i ji i

j i

x xx

L x y yx x x

Polinom CEBISEV Polinoamele Cebisev, utilizate frecvent pentru dezvoltarea unor funcii, satisfac urmtoarea relaie de recuren:

1 1 0i i iT x xT x T x 0 11,T x T x x Polinom LAGUERRE

Polinoamele Laguerre ortogonale, cu x (0, +) satisfac urmtoarea relaie de recuren:

P0(x) = 1, P(x) = 1 x 1 21

2 1 1k k kP x k P x k P xk

, pentru k = 2, 3,,n.

Polinom LEGENDRE Polinoamele Legendre, cu x (0, +) satisfac urmtoarea relaie de recuren:

0 1,P x P x x 1 21

2 1 1k k kP x k P x k P xk

, pentru k = 2, 3, , n.

Polinom HERMITE Polinoamele Hermite ortogonale, cu xR satisfac urmtoarea relaie de recuren:

0 1, 2P x P x x 1 22 2 1k k kP x xP x k P x , pentru k = 2, 3, , n.

8)Ecuatii diferentiale cu derivate partiale: Ecuaii cu derivate pariale de ordinul I

Ecuaia cu derivate pariale de ordinul nti se scrie sub forma 1 11

,..., , ,..., ,

n

i n nii

uA x x u B x x u

x

,(1)

n care u este funcia necunoscut, , 1,ix i n variabilele independente, iar funciile , 1,iA i n , i B depind cel mult

de funcia u (nu i de derivatele pariale iu x ). Dac iA i B nu depind de funcia u, ecuaia se numete liniar; dac

0B , ecuaia se numete omogen. Rezolvarea ecuaiei cu derivate pariale (1) se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuaii difereniale ordinare numit sistem caracteristic

1

1 1 1 1

dd d...

,..., , ,..., , ,... ,

n

n n n n

xx u

A x x u A x x u B x x u . (2)

Soluia ecuaiei (1) este o suprafa n-dimensional ntr-un domeniu 1 1n nR , de forma 1,..., , 0nF x x u

sau 1,..., nu f x x , care verific ecuaia (1) i anumite condiii de selecie. 2.1 Scheme explicite

O prim etap n rezolvarea numeric a unei ecuaii cu derivate pariale o constituie discretizarea, care const, pe de o parte, n divizarea domeniului cu ajutorul unei reele de calcul, iar, pe de alt parte, n nlocuirea ecuaiei cu derivate

7

pariale cu o ecuaie mai simpl. Exist mai multe metode pentru nlocuirea ecuaiei cu derivate pariale: metode cu diferene finite, metode cu volume finite, metode cu elemente finite, metode spectrale. n acest capitol, sunt prezentate elementele de baz pentru rezolvarea numeric a ecuaiilor cu derivate pariale folosind metode cu diferene finite.

2.2 Scheme implicite Convergena condiionat este o caracteristic a schemelor explicite i impune adeseori pai de timp foarte mici. Pentru a evita acest neajuns, se folosesc schemele implicite, n care derivatele spaiale se aproximeaz folosind valorile

aproximative i nu la momentul n, ci la momentul 1n ,

1 1 1

1

n n ni i

i

u uuO h

x h

. (23)

Se obin ecuaiile cu diferene finite 1 11 1 , 1,2,...n n ni i iv cv v c i (24) Schema (24) este necondiionat convergent.

O alt schem implicit este cea atribuit lui Wendroff, dat de relaia 1 1 11

1

n n n ni i i i

cv v v v

c

, (25)

care este de asemenea necondiionat convergent. 3 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul II Vom considera ecuaia cu derivate pariale de ordinul doi cvasiliniar de forma

2

21 1

0

n n

i iiii i

u uA B C

xx

, (26)

cu 1, , ,..., ,i i nA B C f x x u . Forma (26) nu conine derivate mixte (este o form canonic) i se poate obine prin schimbri de variabile adecvate, dup cum se va putea vedea n continuare. Ecuaia (26) este de tip

(a) eliptic, dac toi coeficienii 1,..., , , 1,i nA x x u i n , au acelai semn; (b) parabolic, dac exist un indice j, astfel nct 0, 0 ( )j iA A i j i 0jB ;

(c) hiperbolic, dac toi coeficienii iA au acelai semn, cu excepia unuia care are semn opus.

Aceast clasificare este important, deoarece este legat de modul n care un punct din domeniu este influenat de (comunic cu) punctele din vecintate.

n cazul ecuaiei de tip eliptic, punctul este influenat de toate punctele din orice vecintate (disc, bula) a lui. Un

exemplu tipic de ecuaie de tip eliptic este ecuaia lui Laplace

2 2 2

2 2 20

u u uu

x y z

. (27)

Datorit influenei reciproce, o problem de tip eliptic nu se poate rezolva numeric dect simultan pentru toate punctele din domeniu. Condiiile la limit n acest caz se impun pe frontiere nchise.

n cazul ecuaiei de tip parabolic exist posibilitatea unui mar n calculul numeric, n direcia jx , pentru care

0jA . Ecuaia se scrie sub forma 2

1 2,..., , , , , 1, ,j n

j i i

u u uB F x x u i n i j

x x x

, (28)

iar problema se rezolv simultan numai pentru punctele situate pe suprafeele const.jx , nu pentru toate

nodurile din domeniu, ceea ce simplific esenial calculul. Problemele cu ecuaii de tip parabolic sunt comparativ mai simple (la acelai numr de variabile) dect cele cu ecuaii de tip eliptic.

n cazul ecuaiei de tip hiperbolic, exist puncte care nu se pot influena reciproc. Un exemplu l reprezint micrile supersonice, unde perturbaiile mici sunt limitate la interiorul unui con, denumit con Mach. Prin urmare, n

8

rezolvarea numeric trebuie evitat comunicarea numeric a nodurilor care nu comunic fizic ntre ele. Un exemplu tipic

de ecuaie de tip hiperbolic este ecuaia undelor

2 22

2 2,

u ua

t x

(30)

a fiind viteza de propagare a undei const.a . n cazul ecuaiilor hiperbolice exist mai multe direcii caracteristice distincte de-a lungul crora se poate avansa plecnd de la o stare iniial. Problemele pot include ns, pe lng condiii iniiale, i condiii la limite, caz n care soluiile sunt esenial diferite.

9)Matricea tridiagonala: Matricea A este tridiagonal dac aij = 0 pentru orice i, j cu |i j| > 1

1 1

2 2 2

0 ... 0 0

... 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... n n

a b

c a bA

c a

10)Metode multipas ; avantaje si dezavantaje:

0, , : , , , , ,dy

f x y f a b xI R a b I R a xdx

, (1.1)

(se noteaz 'dy

ydx

, I interval), cu condiia iniial: y0 = y(x0) (1.2)

Se consider din nou ecuaia diferenial de ordinul nti (1.1) cu condiia iniial (1.2) i se cere s se rezolve aceast ecuaie, adic s se determine expresia functiei y(x) care verific (1.1) i (1.2). Se0 cere s se determine valorile y1, y2, , yn care s aproximeze ct mai bine valorile exacte y(x1), y(x2), , y(xn), ale lui y(x) pentru x [a, b] dac punctele x1, x2, , xn [a, b] sunt considerate echidistante cu pasul de integrare h (vezi (1.4)). Trstur caracteristic: la calculul valorilor aproximative yi, i = 1 n se folosesc, spre deosebire de cazul metodelor monopas, informaiile din mai multe puncte anterioare punctului curent (xi, yi), relaia (1.5) obinnd forma particular: yi = yi1 + h g(xir, yir, , xi2, yi2, xi1, yi1, h), i = 1n, (3.1) cu r N, r 2 numrul de puncte anterioare utilizate. Algoritmii explicii determin valorile yi, i = 1 n prin efectuarea unui numr finit de operaii aritmetice elementare aplicnd direct o relaie de tip (3.1). Algoritmii predictor-corector determin valorile yi, i = 1n printr-un proces de calcul iterativ cu convergen teoretic infinit, dar practic finit.

Avantaje comparativ cu metodele monopas: estimarea erorii de trunchiere este relativ simpl, eroarea de trunchiere fiind semnificativ mai mic; propagarea erorilor este mai redus, fiind mbuntite precizia i stabilitatea numeric (se va reveni); nu este necesar calculul valorilor funciei f(x, y) n puncte intermediare suplimentare fa de cele de tip (1.4).

Dezavantajele metodelor multipas fa de cele monopas: nu este asigurat autopornirea deoarece la primii pai nu sunt disponibile informaiile din punctele anterioare se utilizeaz de regul pentru pornire metode monopas cu eroare de trunchiere de acelai ordin de mrime; modificarea pasului de integrare h (este vorba n primul rnd de reducerea acestuia, efectuat n vederea creterii preciziei) se face relativ dificil, fiind necesare reveniri la puncte deja determinate sau reporniri cu metode monopas; la unele variante poate crete volumul de calcule.