TEORIA SISTEMELOR MECATRONICE

CURS 1 TEORIA SISTEMELOR MECATRONICE

Carmen Bujoreanu 1

1.INTRODUCERE 1.1 Obiective si scop Obiectivele cursului Teoria sistemelor mecatronice sunt urmatoarele:

- insusirea conceptului de mecatronica si sistem mecatronic;

- tratarea sistemica a sistemelor mecatronice prin insusirea notiunilor de:

sistem, teoria sistemelor, analiza-sinteza-conducerea sistemelor, analiza calitatii sistemelor

(criterii de stabilitate si performante).

Scopul disciplinei este sa fundamenteze notiuni necesare pentru proiectarea sistemelor

mecatronice.

Definirea caracteristicilor fundamentale ale sistemelor mecatronice este importanta in studiul

lor ulterior, avand in vedere ca topicul domeniului mecatronic este pluridisciplinar si include

urmatoarele arii de studiu (fig.1.1) : modelarea sistemelor fizice, senzori si actuatori, sisteme

si semnale, sisteme logice programabile, achizitie si procesare de date.

Fig.1.1 Cuvinte cheie pentru domeniul mecatronic (Robert H. Bishop- The University of Texas at Austin)


Carmen Bujoreanu 2

1.2 Ce este mecatronica

Revolutia informatica (a doua revolutie industriala) a marcat saltul de la societatea

industrializata la societatea informationala, generand un val de innoiri in tehnologie si

educatie. Japonezii au definit sensul acestor miscari de innoire, brevetand termenul de

mecatronica, la inceputul deceniului al 8-lea al secolului trecut.

1972 Termenul de mecatronica brevetat de Yaskawa Electric Co. si defineste fuziunea tehnologica Mecanica Electronica Informatica

Tehnologia mecatronica se deosebeste fundamental de tehnologia traditionala, prin faptul ca

adauga componenta informatie la componentele material si energie.

Nu se poate spune ca in lumea specialistilor exista un acord unanim sustinut in ceea ce

priveste definirea acestei imbinari sinergetice1 : mecanica-electronica-informatica. Se folosesc

si alte denumiri ca : mecano-informatica, mecanisme inteligente, produse inteligente,

informatizarea sistemelor mecanice de actionare, comanda prin calculator a sitemelor

electromecanice.

Posibile definitii ale mecatronicii

9 Mecatronica stiinta masinilor inteligente 9 Mecatronica tehnologia mecanica ceruta de societatea informationala 9 Mecatronica viziune globala in tehnologie

Conceptul de mecatronica este sugestiv ilustrat in figura 1. 2

1 Sinergie-actiunea mai multor componente in vederea indeplinirii aceleiasi functii (aceluiasi

scop)

Fig.1 .2 Conceptul de mecatronica


Carmen Bujoreanu 3

Aceasta imagine sugereaza faptul ca, in activitatea de conceptie, pentru realizarea de produse

si servicii performante, abordarea traditionala in baza careia: ingineria mecanica studiaza

probleme specifice miscarii maselor, ingineria electrica-electronica studiaza probleme

specifice miscarii electronilor, iar automatistii-informaticienii studiaza probleme specifice

miscarii informatiei, nu mai este posibila. In structura unui produs mecatronic, practic nu se

pot separa cele trei miscari. Mai mult, imaginea sugereaza ca activitatile de conceptie si

proiectare vizeaza finalizarea prin procesare-fabricare. Totul se desfasoara pe baza unui

management performant, in acord cu nevoile pietei.

Deci, Produse de inalta tehnicitate Produs mecatronic Ex: automobilul modern, masini-unelte cu comanda numerica, tehnica de calcul tehnica de

telecomunicatii, aparatura de cercetare, robotii, aparatura biomedicala, aparatura

electrocasnica, aparatura militara etc.

1.3 Scurt istoric Mecatronica este rezultatul evolutiei firesti in dezvoltarea tehnologica. Aceasta evolutie este

sugestiv evidentiata in fig.1.3.

Fig. 1.3 Fluxul catre integrarea mecatronica

Dupa cum se observa, elementul central il constituie tehnologia mecanica, care s-a dezvoltat catre mecanizare.

Progresele in domeniul tehnologiei electronice, aparitia circuitelor integrate, mici ca dimensiuni, ieftine si fiabile, au permis includerea electronicii in structurile mecanice.


Carmen Bujoreanu 4

Se realizeaza astfel primul pas catre integrare: integrarea electromecanica. Structurile

electromecanice astfel obtinute nu dispun de inteligenta proprie.

Urmatorul pas in integrare a fost determinat de aparitia microprocesoarelor. Cu aceleasi caracteristici constructive ca si crcuitele integrate, adica mici ca dimensiuni,

ieftine si fiabile, microprocesoarele au putut fi integrate in structurile electromecanice

realizate anterior.

Astfel, acestea devin inteligente. Aceasta inseamna ca pot preleva informatii privind starea

interna, starea mediului, pot prelucra aceste informatii si pot lua decizii privind comportarea

sistemului.

Aceasta evolutie tehnologica determina mutatii majore si in privinta populatiei active ocupata

in diferite sectoare de activitate. Astfel, dezvoltarea industriala conduce la scaderea populatiei

ocupata in industria primara si la cresterea ponderii populatiei ocupate in industria tertiara.

Industria tertiara, care este industria serviciilor, realizeaza in prezent aproximativ 70% din

produsul national brut al Japoniei.

1.4 Relatia material-energie-informatie

Tehnologia mecatronica aduce in centrul atentiei problema informatiei care, este componenta

datatoare de ton in raport cu materialul si energia. Aceasta pozitie a informatiei este motivata

prin urmatoarele argumente :

- informatia asigura satisfacerea nevoilor spirituale ale omului;

- numai informatia creste valoarea nou adaugata a tuturor lucrurilor;

- informatia inseamna cultura.

Promovarea legaturilor informationale in structura sistemelor tehnice le asigura flexibilitate si

reconfigurabilitate .

Evaluarea cantitativa si calitativa a informatiei constituie o problema esentiala in educatie,

cercetare si in activitatile de productie. Informatia este deopotriva importanta in medicina,

literatura, arta, muzica, sport etc.

Comparatia material-energie-informatie se prezinta in figura 1.4. Nevoile de material si

energie pentru o persoana sunt limitate. Cand aceste nevoi sunt satisfacute, fiinta umana cauta

satisfacerea nevoilor spirituale. Informatia asigura satisfacerea acestor nevoi. Valoarea

informatiei depinde nu atat de cantitate, cat de prospetimea acesteia, pentru ca spiritul uman

cere frecvent noi stimuli. In aceasta ordine de idei, valoarea materialului si a energiei depinde


Carmen Bujoreanu 5

de integrarea acestora. Valoarea informatiei depinde de diferentierea acesteia. Se vede deci ca

materialul, energia si informatia au caracteristici diferite. In societatea avansat informatizata,

productia bazata pe consumul de material si energie ajunge la saturatie. Pe de alta parte,

cerintele pentru informatie sunt in continua crestere. Acesta este motivul pentru care

industriile bazate pe consumul de material si energie isi vor incetini ritmul de dezvoltare, iar

industria bazata pe consumul de informatie va continua sa se dezvolte in ritm alert.

Discutand despre valoarea nou adaugata, se subliniaza faptul ca societatea avansat

informatizata este societatea in care valoarea nou adaugata creste datorita informatiei.

Fig. 1.4 Relatia material-energie-informatie

1.5 Mecatronica in educatia si practica inginereasca Dezvoltarea tehnologiei mecatronice a condus la adaptarea programelor educationale din scoli

si universitati la cerintele noii tehnologii. Ca urmare a acestor stradanii s-au conturat

principiile mecatronice in educatie.

Aceste principii vizeaza:

- dezvoltarea gandirii sistemice;

- formarea deprinderilor de a lucra in echipa;

- invatarea afectiva.

Rolul major al informatiei a determinat redefinirea obiectivelor in procesul educational:

- formarea deprinderilor de informare

- mentale


Carmen Bujoreanu 6

- de actiune

- sociale (lucrul in echipa, in retea)

Educatia mecatronica asigura flexibilitate in actiune si gandire, trasaturi definitorii ale

specialistului in economia de piata. Laboratoarele interdisciplinare de mecatronica constituie

baza pentru materializarea principiilor: educatie prin practica, educatie prin cercetare.

Foarte curand mecatronica a devenit filosofie.

Pentru practica inginereasca filosofia mecatronica a marcat saltul de la ingineria traditionala,

secventiala, la ingineria simultana sau concurenta (paralela).

In figura 1.5 se prezinta principial modul de abordare in proiectarea traditionala (1.5.a) si

mecatronica (1.5.b)

Fig.1.5.a Fig.1.5.b

In proiectarea mecatronica, inca din faza de conceptie se are in vedere intregul. Lantul

cinematic informational are o structura mult mai compacta. Interconectarea prin magistrale de

date permite cresterea simtitoare a vitezei de prelucrare a informatiilor.

Tendinte In ultimii ani mecatronica este definita simplu: stiinta masinilor inteligente. Mai recent

demersurile pentru innoire in educatie si cercetare aduc in atentie problema mecatronicii ca:

mediu educational in societatea informationala, respectiv mediu de proiectare si fabricare

integrata pe fundalul caruia s-a dezvoltat conceptul de proiectare pentru control.

In literatura de specilalitate au devenit consacrate extinderi in alte domenii ca: hidronica,

pneutronica, termotronica, autotronica, agromecatronica (agricultura de precizie).

Evolutia in dezvoltarea tehnologica inseamna: micromecatronica, nanomecatronica si

biomecatronica. Tendinta generala este de intelectualizare a masinilor si sistemelor.

Proiectare

Sistem mecanic Sistem electronic

Proiectare

Sistem mecanic Sistem electronic

Sistem mecatronic


Carmen Bujoreanu 7

1.6 Exemple de produse si sisteme mecatronice Practic tot ceea ce numim produs de inalta tehnicitate este produs mecatronic.

Fig. 1.6 Produse mecatronice din domeniul transporturilor

Fig. 1.7 Produse mecatronice din domeniile: a) sisteme de comunicatii, b) robotica,

c) - ingineria reabilitarii, d) robotica medicala


Carmen Bujoreanu 8

Automobilul modern, robotii, tehnica de calcul, tehnica de telecomunicatii, aparatura

biomedicala, sistemele de transport inteligent, aparatura de cercetare, aparatura electrocasnica,

aparatura cine-foto si audio-video, masinile agricole moderne etc., sunt exemple

reprezentative de produse mecatronice.

1.6.1 Robotul industrial Este un exemplu reprezentativ de produs mecatronic. Utilizat in procesul de productie:

- pentru a realiza functii de manipulare analoge cu cele realizate de mana omului

- pentru automatizarea anumitor secvente ale procesului de productie

Structural este un sistem ce se compune din 4 subsisteme (fig. 1.8) :

Fig. 1.8 Schema bloc a unui robot industrial

Sistemul de conducere sau comanda are rolul sistemului nervos uman, de adaptare a starii interne a robotului la starea externa a mediului prin darea de comenzi sistemului de actionare,

astfel stabilind succesiunea si durata miscarilor elementelor ce compun sistemul mecanic

Sistemul de actionare - analog sistemului muscular uman, pune in miscare elementele sistemului mecanic pe baza comenzilor primite de la sistemul de comanda

Sistemul mecanic analog sistemului osos uman, asigura miscarile dorite obiectelor manipulate

Sistemul senzorial asemenea organelor de simt, transmite informatii despre starea interna si externa a robotului catre sistemul de comanda


Carmen Bujoreanu 9

1.6.2 Hard-disc Rol stocarea informatiei pe suport magnetic

Fig. 1.9 Componentele principale ale unui hard disc

Fiecare fata a discului contine informatii si are propriul cap de citire/scriere, capetele fiind

montate pe un suport tip pieptene si se deplaseaza de la exteriorul discului spre interior cu

ajutorul unui actuator. Capetele nu ating suprafata discului ci plutesc pe o perna de aer creata

de rotatia discurilor.

1.6.3 Automobilul-sistem mecatronic Am considerat ca exemplu doar motorul unui automobil modern. Acest modul asigura

controlul tuturor parametrilor care influenteaza performantele functionale ale motorului.

Obs : din punct de vedere constructiv, motorul automobilului mecatronic are o structura

modulara, avand componente (cu o autonomie functionala relativa ): sistemul de alimentare;

sistemul de aprindere; sistemul de racire; sistemul de ungere etc.

Cazul automobilului clasic aceste componente sunt componente ale unui lant cinematic antrenat de la arborele motor.

In automobilul modern, functionarea sistemului se bazeaza pe culegerea si prelucrarea

informatiilor de la senzori incorporati in motor. Senzorii incorporati in motor permit

masurarea temperaturii, momentului de torsiune la arborele motor, turatiei, presiunii din

cilindri etc.


Carmen Bujoreanu 10

- Semnalele sunt preluate de la senzori de catre unitatea electronica de comanda(ECU), comparate cu datele din memorie, in urma acestei comparatii rezultand comenzile de reglaj (fig.1.10) Fig.1.10-Sistem de reglare electronica a aprinderii

ECU contine unul sau mai multe microprocesoare, memorii, circuite de conditionare a

semnalelor, filtre, amplificatoare de putere etc.

Avantaje: buna functionare a aprinderii nu este influentata de uzura altor componente ca in

cazul sistemelor exclusiv mecanice.

In figura de mai sus se arata utilizarea unui radar pentru a masura distanta si viteza dorite a fi autonom mentinute intre vehicule (Modern Control Systems,9th ed., R. C. Dorf and R. H. Bishop, Prentice-Hall, 2001)


Carmen Bujoreanu 11

1.7. Importanta studiului mecatronicii

Problema integrarii este esentiala in mecatronica. In realizarea diferitelor produse si sisteme,

trebuie gasite solutii specifice pentru integrarea componentelor: mecanica-electronica-

informatica.

Pana in prezent sunt validate doua solutii: integrarea in modul hardware si integrarea in

modul software.

Mecatronica a deschis orizonturi nebanuite in toate domeniile, datorita stimularii

efectului de sinergie.

Prin faptul ca informatia este componenta datatoare de ton in mecatronica, impactul

tehnologiei depaseste sfera economicului, fiind esential in domeniile social, cultural etc.

Aceasta explica interesul deosebit la nivelul CE si a tarilor comunitare de a lansa initiative si a

dezvolta programe speciale pentru acest domeniu. Demersurile intaresc convingerea ca in

societatea informationala, relevanta culturala depinde de performantele tehnice, tehnologice.

Problematica sistemelor mecatronice nu poate fi abordata fara o fundamentare a

notiunilor specifice pentru teoria sistemelor.

1.8 Educatia mecatronica in Romania In tara noastra filosofia mecatronica a patruns prin infiintarea in 1991 a specializarilor de

mecatronica in inginerie la Brasov, Cluj-Napoca, Universitatea Tehnica Gheorghe Asachi

Iasi, Universitatea Stefan cel Mare din Suceava., Universitatea Politehnica Bucuresti.

Laboratorul de Hidronica si Pneutronica

CURS 2 Teoria sistemelor mecatronice

Carmen Bujoreanu 1

2. Notiuni de teoria sistemelor 2.1 Notiunea de sistem, teoria sistemelor si sistem automat - Prin sistem se intelege o unitate relativ delimitata fata de mediu printr-o structura

interna.

- In lexiconul tehnic roman se da urmatoarea definitie: Prin sistem se intelege un ansamblu de

elemente intre care exista una sau mai multe relatii afara de relatia conform careia elementele

apartin ansamblului. Elementele unui sistem pot fi obiecte, concepte, marimi, propozitii.

Pentru a clarifica aceasta definitie se face apel la exemplul urmator:

Fig.2.1 p.15 Voicu

Intr-un recipient (fig.2.1) trebuie ca temperatura si nivelul lichidului sa ramana constante in

conditiile in care exista un consum de lichid. Aceasta presupune supravegherea nivelului si

temperaturii si in functie de variatiile acestor marimi de la valorile lor prestabilite, comanda

corespunzatoare a pompelor P1 si P2 si ventilului V3.

Se pun aici doua probleme :

a) sa se modifice adecvat debitele pompelor P1 si P2 astfel ca nivelul sa ramana constant.

Elementele care concura la rezolvarea acestei probleme actioneaza intr-o ordine si sunt

intercorelate. Ele concretizeaza o structura si formeaza o unitate. Incalzirea sau racirea

lichidului nu apartin unitatii si reprezinta mediu exterior. S-a evidentiat un sistem.

b) sa se modifice adecvat debitul Qt astfel ca temperatura sa ramana constanta. De

aceasta data, variatia nivelului lichidului apartine unitatii deoarece temperatura

depinde si de debitele Qt si Q1, Q2. S-a evidentiat un alt sistem.

Pentru un sistem este important ca partile sale componente sunt in relatie si pe baza acestora

se pot face delimitarile fata de mediul inconjurator. De aici rezulta ca notiunea de sistem este

relativa deoarece una si aceeasi realitate fizica, dupa punctul de vedere adoptat, cuprinde


Carmen Bujoreanu 2

diverse sisteme. Aceasta proprietate permite delimitarea ansamblului de elemente fata de

mediul inconjurator. Obiectele astfel delimitate sunt numite elemente sau subsisteme.

Sistemul aduce in discutie problema ordinii, a organizarii, a structurii si a starii in care se pot

afla elementele sale. Astfel, sistemul este caracterizat nu numai de relatiile dintre elemente ci

si de relatiile dintre parti si intreg precum si de relatiile dintre intreg si parti. In orice sistem,

pe langa coordonarea partilor, adica pe langa interactiunile dintre elemente, mai intervine si o

coordonare a partilor de catre intreg si a intregului de catre parti.

Observatii

- Notiunii de sistem ii este caracteristica evolutia in timp si desfasurarea in spatiu. Daca

evolutia in timp este preponderenta, se spune ca sistemul respective este unsistem dinamic;

altfel avem un sistem static

- Conceptul acesta de sistem poate fi particularizat, astfel incat viitorul inginer sa inteleaga

prin denumirea de sistem tehnic orice realizare tehnica in cadrul careia are loc un proces de

transfer informational [L.Sebastian, 1980]. Cu alte cuvinte, sistemul tehnic este un ansamblu

unitar, compus, cel putin in parte, din corpuri solide, folosit in industrie, in transporturi, in

agricultura, etc., in vederea realizarii unor sarcini, derivate din scop.

Concluzii

1. Pentru a exista un sistem, in sensul definitiilor, trebuie sa existe o structura si cel putin o actiune, dupa un anumit program, intre doua elemente ale structurii.

2. Un sistem este un complex de elemente in interactiune. Proprietatile sale nu depind numai de proprietatile elementelor compnente ci, mai ales, de interactiunile

dintre elementele sistemului. Intre aceste elmente exista legaturi prin care se

transmit semnale.

3. Un sistem este o unitate relativ delimitata fata de mediu, delimitarea fiind evidentiata de structura sa interna.

4. Notiunea de sistem este relativa. Una si aceeasi realitate poate contine mai multe sisteme.

2.2 Teoria sistemelor TS (Olah) Teoria sistemelor TS se ocupa cu modul general de interactiune al unor obiecte, apartinand

unor clase diferite, fara a lua in considerare specificul acestor clase, permitand descrierea

intr-un limbaj unitar, cu ajutorul matematicii, a structurii si comportamentului sistemelor.

Se prezinta in continuare cateva notiuni de baza in TS :


Carmen Bujoreanu 3

A. Se defineste stare a unui sistem : cea mai mica colectie de numere care trebuie cunoscute la momentul t =t0, pentru a face posibila prezicerea in mod unic a comportarii sistemului in

orice moment tt0, pentru orice marime de intrare ce apartine multimii marimilor de intrare, in

ipoteza ca toate elementele acestei multimi sunt cunoscute la tt0. Aceste numere sunt

denumite variabile de stare. In acest context, elementele si sistemele vor fi reprezentate de

doua seturi de ecuatii :

- ecuatii intrare-stare care descriu evolutia variabilelor (marimilor) de stare sub

actiunea marimilor de intrare. Aceasta evolutie este complet determinata de

cunoasterea variabilelor de stare la un moment dat (cunoasterea conditiilorinitiale) si a

marimilor de intrare.

- ecuatii intrare-iesire care descriu evolutia marimilor de iesire sub actiunea marimilor

de intrare.

B. Sistemele reale, in cadrul TS, sunt investigate prin doua modalitati de abordare si anume :

a) Axiomatica: se defineste riguros sistemul, dupa care, pe cale deductiva, prin

utilizarea unui instrument matematic adecvat, se obtin rezultatele care prezinta interes.

b) Dinamica: se urmareste caracterizarea evolutiei in timp a sistemului. In acest scop se

pot folosi doua modalitati de descriere: externa si interna.

b.1) Descrierea externa

- sistemul este considerat ca o cutie neagra

- relatiile cu mediul inconjurator sunt descrise prin intermediul variabilelor de intrare

u, p si de iesire y, ca marimi externe cutiei (fig.2.2)

u = (u1, u2, , ur)

p = (p1, p2,., pr) Este un sistem dinamic orientat.

y = (y1, y2,.,yr)

Fig.2.2

A


Carmen Bujoreanu 4

Unui asemenea sistem dinamic i se poate atasa ecuatia intrare-iesire (ecuatii terminale), de

forma:

y = A (u, p) (2.1)

unde A este un operator algebric, diferential, integrala, etc., liniar sau neliniar.

Orice pereche (u, y) care satisface ecuatia (2.1) se numeste pereche intrare-iesire.

b.2) Descrierea interna ; se defineste multimea de variabile interne, numite de stare

si a legaturilor functionale intre acestea.

x = (x1, x2,..,xn) (2.2)

Aceasta multime de variabile sintetizeaza, caracterizeaza si memoreaza evolutia obiectelor

din structura sistemului pana in momentul considerat.

In acest scop, blocul A din fig. 2.2 se sectioneaza ca in fig. 2.3

Exista o infinitate de moduri de sectionare a blocului A, deci pot rezulta diverse seturi de

variabile de stare(v.s) x. Cand se foloseste un numar minim de v.s., care permite totusi

descrierea completa a sistemului dinamic, rezulta forma redusa.

Ca urmare a sectionarii, relatia (2.1) se descompune corespunzator celor doua blocuri:

B: x = B (u, p) (2.3)

C: y = C (x, u, p) (2.4)

unde B si C sunt operatori care formeaza impreuna operatorul A

A(u,p) = C (B(u, p), u, p) (2.5)

Ecuatia 2.3 genereaza ecuatia intrare-stare, intimp ce ecuatia 2.4 genereaza ecuatia intrare-

stare-iesire.

Cele doua modalitati de descriere sunt utilizate in vederea studierii sistemelor, deci si a

sistemelor mecatronice, adica: stabilitate, controlabilitate, raspuns la diverse excitari,

determinarea performantelor.

Cele doua modalitati de descriere au elemente de coincidenta, ele trebuie sa descrie in mod

consistent sistemul dinamic.

Fig.2.3


Carmen Bujoreanu 5

Deosebiri : b.1) este o descriere functionala, explica comportarea sistemului prin

interactiunile cu mediul inconjurator ;

b.2) - este o descriere structurala, explica comportarea sistemului in termeni

de variabile de stare, variabile interne, in interdependenta lor.

Teoria sistemelor este utilizata in vederea rezolvarii a 3 probleme:

Analiza sistemelor actiuni intreprinse in vederea cunoasterii comportarii unui

sistem dat, a relatiilor existente intre elementele componente, a modului de

interactiune cu mediul inconjurator, putand fi realizata pe calea: observarii,

experimentarii, deductiei, analogiei, etc.

Scop: determinarea sau evaluarea unor proprietati: stabilitate, controlabilitate, observabilitate,

performante, etc.

Sinteza sistemelor este operatia inversa analizei si se refera la problema construirii

sub forma abstracta (ca model) sau sub forma fizica (o realizare concreta) a unui

sistem care sa aiba o anumita functionabilitate si anumite proprietati dorite,

indeplinind in primul rand conditia esentiala de realizabilitate fizica.

Scop: orientarea spre obtinerea anumitor performante (anumite relatii intre intrari, stari si

iesiri) care nu sunt proprii sistemului, dar care se cer atinse.

Conducerea sistemelor ca parte aplicativa, de cea mai mare importanta a TS, se

refera la posibilitatea aducerii unui sistem dat, dintr-o stare data intr-o stare dorita, prin

comenzi corespunzatoare. Exista posibilitati multiple de rezolvare a acestei probleme

(de ex., robotii hard si soft -f.f.variat !)

Analiza si conducerea sistemelor se bazeaza pe existenta identificata sau presupusa a unui

sistem, cu structura si functionalitati precizate printr-un model matematic. Daca informatia

este insuficienta se recuge la identificare.

2.3 Sistem automat Produsele mecatronice, asa cum s-a prezentat in cursul anterior, sunt in general sisteme

automate.

Este necesar sa precizam cateva definitii:

Automatica-ramura a stiintei si tehnicii care se ocupa cu cercetarea teoretica a

proceselor automate (fara participarea nemijlocita a omului) si cu studiul si conceperea

mijloacelor tehnice pentru realizarea automatizarilor


Carmen Bujoreanu 6

Automatizarea constituie aplicarea concreta, efectiva in practica a metodelor si

mijloacelor automaticii pentru transformarea proceselor tehnice conduse de om in

procese automate, desfasurate deci fara participarea sa.

Sistemele automate fac parte din categoria mai larga a sistemelor.

Sistemul automat este format dintr-o parte condusa (constituita din obiectul

automatizarii) si partea conducatoare (constituita din elementele instalatiei sau

dispozitivului de automatizare).

Legaturile sistemului cu exteriorul se caracterizeaza prin marimile de intrare (cauze) si

marimile de iesire (efecte) (fig 2.4). Sistemele reale respecta principiul cauzalitatii, adica

efectele nu preced cauzele.

Sistemele automate sunt foarte variate in ceea ce priveste principiul de functionare, natura

fizica a elementelor utilizate, structura, modul de organizare. Toate au insa o insusire esentiala

comuna si anume, aceea ca prelucreaza in elementele lor si transmit de la un element la altul

informatii sau comenzi. Din aceasta particularitate esentiala rezulta si metoda de cercetare

folosita in automatica si anume metoda de analiza a fluxului de informatie.

2.4 Structuri de sisteme automate si elemente componente Sistemul automat poate fi reprezentat printr-un model structural alcatuit din doua subsisteme :

subsistemul condus S2 (proces automatizat PA, instalatie automatizata IA, obiect reglat OR) si

subsistemul de conducere sau conducator S1(dispozitivul de automatizare). Dupa legaturile ce

exista intre dispozitivul de automatizare DA si instalatia automatizata IA exista doua structuri

fundamentale ale sistemelor automate :

a) sisteme automate deschise (fig.2.5.a) ;

b) sisteme automate inchise (fig.2.5.b)

Fig.2.5a Fig.2.5 b

SISTEM cauze efecte

Fig.2.4


Carmen Bujoreanu 7

Sistemul automat realizeaza o anumita dependenta intre marimea de iesire y si cea de

intrare r: y = f(r).

In cadrul sistemului deschis (fig.2.5.a), transmiterea informatiei se realizeaza unidirectional,

numai de la intrarea la iesirea dispozitivului de automatizare; DA genereaza marimea de

executie, m, doar pe baza marimii de intrare, r. Pentru o intrare data, datorita efectului

marimii perturbatorii up , marimea de iesire y poate avea diverse valori. Rezulta ca un sistem

deschis nu poate asigura o buna precizie in realizarea dependentei y = f(r).

In cazul sistemelor automate inchise-cu reactie (fig.2.5b), dispozitivul de automatizare

elaboreaza actiunea de comanda, atat functie de marimea de intrare r cat si in functie de

marimea de iesire y. Subsistemul S2 conform fig.2.5b transmite la intrarea dispozitivului de

automatizare informatii asupra evolutiei marimii de iesire prin intermediul semnalului yr ce

poarta denumirea de semnal de reactie. Legatura aceasta inversa, de la iesirea sistemului

asigura sistemului reducerea sensibilitatii la actiunea perturbatiilor, cresterea preciziei, etc.

De obicei, masurarea marimii de iesire y si transmiterea informatiei la intrare introduce o

anumita intarziere care atrage si o functionare necorespunzatoare a sistemului. Pentru a reduce

la minimum timpul de informare a sistemului, de inerpretare decizionala asupra evolutiei

iesirii, se poate ca marimea de iesire sa fie transmisa direct la intrare, obtinandu-se un sistem

cu legatura inversa rigida (fig.2.5c)

Elementele componente ale dispozitivului de automatizare DA sunt : elemente de masura

(traductoare), lemente de comparatie, elemente de prelucrae intermediara a semnalelor,

elemente de corectie, de amplificare, de actionare, de executie, si sursele de alimentare. In

cadrul sistemelor mecatronice se intalnesc si convertoare analog/numerice si

numeric/analogice.

S1 (DA)

S2 (IA)

r m y

Fig.2.5c


Carmen Bujoreanu 8

2.5 Clasificarea sistemelor (Olaru, Sebastian) Sistemele automate se pot clasifica dupa mai multe criterii, avand la baza, fie structura, fie

relatia functionala ce le caracterizeaza.

1. Dupa structura, dupa cum s-a mentionat anterior sistemele pot fi cu structura deschisa sau inchisa.

2. Dupa cantitatea de informatie apriorica disponibila despre subsistemul condus (instalatia tehnologica) putem clasifica in : sisteme cu informatie apriorica completa

si sisteme cu informatie apriorica incompleta.

In primul caz, subsistemul condus este complet definit iar caracteristicile sale sunt invariabile

in timp, pe cand in cazul sistemelor cu informatie apriorica incompleta, caracteristicile

procesului condus sunt variabile in timp. Perturbatiile ce actioneaza asupra procesului ii

modifica parametrii sau caracteristicile de transfer, astfel incat subsistemul conducator va

trebui sa se adapteze continuu acestor modificari pentru a se asigura desfasurarea procesului

dupa programul impus. Asemenea sisteme se numesc sisteme adaptive.

3. Dupa modalitatea de modelare a transferului informational, exista situatii cand transferul poate fi modelat matematic prin aplicarea diferitelor legi ale fizicii.

Sistemele respective sunt sisteme cu model matematic cunoscut, denumite sisteme

deterministe. Un exemplu este motorul electric de c.c pentru care modelul matematic care

stabileste legatura dintre viteza sa si cuplul sau motor pe de o parte si tensiunea aplicata pe

indus, tensiunea aplicata pe inductor si cuplul rezistent pe de alta parte se intocmeste cu

usurinta. Alte sisteme insa nu mai pot fi modelate matematic cu aceeasi usurinta. De exemplu,

modelarea matematica a fenomenului de vibratie a paletelor si a influentei acestuia asupra

vitezei unei turbine cu aburi este o problema cu greutate. Asemenea sisteme se numesc

sisteme nedeterministe. Cum totusi o apreciere cantitativa a transferului informational este

necesara, in asemenea situatii se recurge la intocmirea modelului matematic numai si numai

pe baza rezultatelor obtinute (in exteriorul sistemului) in urma unor anumite teste. Cu alte

cuvinte, sitemul fizic respectiv se considera complet necunoscut, ca o cutie neagra, iar ceea

ce intereseaza este doar reactia acestuia la diferite excitatii de proba (externe). Modelarea

matematica a sistemelor nedeterministe pe aceasta cale se numeste identificarea proceselor.

Problema identificarii se pune in special in cazul sistemelor cu proprietati variabile in timp

dupa legi necunoscute, sau variabile aleatorii.

Tot in aceasta categorie putem defini sistemele stationare, denumite inca, cu coeficienti

constanti sau sisteme invariante. Sunt descrise de ecuatii cu coeficienti care se mentin


Carmen Bujoreanu 9

constanti in timp. Aceste sisteme au proprietatea de a-si mentine constante in timp

proprietatile statice si dinamice. Matematic aceasta se exprima astfel :

- daca sistemul raspunde la semnalul de excitatii u(t) cu raspunsul y(t),

- atunci raspunsul provocat de u(t-) este y(t- ) pentru orice real si pozitiv.

Evident, daca coeficientii ecuatiilor care descriu un sistem depind nemijlocit de timp, atunci

sistemul respectiv este nestationar sau variant, iar conditia de mai sus nu se mai respecta.

4. Dupa relatia functionala de transfer sistemele deterministe se impart in : A.Sisteme liniare, cand modelul matematic ce descrie functionarea tutror subsistemelor este

un model liniar. Sistemele liniare sunt acelea care respecta principiul suprapunerii efectelor.

Adica :

a) daca sistemul, excitat de semnalul u1(t) genereaza la iesirea sa semnalul y1(t) si

b) excitat de semnalul u2(t) genereaza la iesirea sa semnalul y2(t), atunci

c) in cazul excitarii sale de catre semnalul C1u1(t) + C2u2(t) la iesirea sa se obtine

semnalul C1y1(t)+C2y2(t) pentru orice u1(t) si u2(t) si orice constante reale C1 si C2.

B. Sisteme neliniare, cand cel putin unul din subsisteme este descris de un model neliniar.

Sistemele sunt deci liniare sau neliniare dupa cum conditia c) de mai sus se respecta sau nu .

5. Dupa natura semnalelor prelucrate in sistem, se deosebesc : A.Sisteme automate continue, cand toate variabilele ce intervin in sistem sunt functii de

timp. Sistemele continue sunt acelea la care transmiterea in timp a semnalelor se face in mod

continuu in intreaga lor structura informationala. Un semnal este continuu in timp spre

deosebire de o functie chiar daca prezinta discontinuitati adica chiar daca limita pe stanga,

pentru momentul cand apare discontinuitatea, este diferita de limita pe dreapta.

B.Sisteme automate discontinue, discrete, daca exista cel putin o cale pe care

transmiterea semnalului se face discontinuu (adica cu pauze de timp). Inseamna ca cel putin

una din marimile din sistem are o variatie discreta, discontinua. Un caz particular al

sistemelor discontinue il constituie sistemele cu esantionare, la care semnalul se transmite

intr-o succesiune de cicluri constand dintr-un interval de timp constant de transmitere si un

interval de pauza, constant si el, cand transmiterea semanlului nu are loc.

6. Dupa numarul variabilelor de intrare si/sau iesire ale sistemului se deosebesc : a) sisteme monovariabile, cand sistemul are o singura intrare si o singura iesire

b) sisteme multivariabile, sau cu intrare/iesire vectoriala la intrarea si iesirea carora

apar simultan mai multe semnale distincte.


Carmen Bujoreanu 10

8. Dupa modul de variatie a marimii de referinta (marimea de intrare principala in subsistemul conducator) se deosebesc sisteme automate cu referinta constanta in timp

(sisteme de stabilizare) si sisteme cu referinta variabila in timp, care pot fi la randul

lor cu referinta cunoscuta (sisteme cu program) sau sisteme cu referinta necunoscuta

apriori (sisteme de urmarire).

2.6 Informatia- componenta a sistemelor mecatronice In sensul cel mai larg, prin informatie se inteleg acele date depre lumea inconjuratoare care

rezulta de pe urma contactului pe care-l realizam cu ea, in procesul de cunoastere, adaptare si

modificare a ei [L.Sebastian, 1980].

Se face precizarea ca intre notiunile de informatie, cantitate de informatie si sens al

informatiei este o mare deosebire. Informatia capata un sens numai pentru cel care cunoaste

codul in care este transmisa. Relatia dintre informatie si materializarea ei in semnal se

numeste cod. De ex., o carte scoasa intr-o limba oarecare contine in mod obiectiv o anumita

cantitate de informatie, independent de faptul daca cel ce o citeste cunoaste sau nu limba

respectiva. Codul il constituie insasi limba in care e scrisa cartea.

Cantitatea de informatie este o marime care poate fi masurata ca orice alta marime fizica.

Pentru a intelege notiunea de cantitate de informatie sa ne punem intrebarea : ce cantitate de

informatie ne pot funiza n simboluri distincte (litere, cifre, figurine, etc), fiecare in numar

oricat dorim, cu ajutorul carora se realizeaza comunicari din m simboluri ? Evident m n.

Numarul maxim de comunicari astfel realizate este :

N = nm

Ex : fie 4 simboluri (n = 4) formate din cifrele 1,2,3,4 iar m=2. In acest caz se pot forma

urmatoarele comunicari formate fiecare din cate doua cifre :

11,12,13,14.21,22,23,24..31,32,33,3441,42,43,44. Dupa cum se vede : N = 42 =16

Numarul maxim de comunicari N ar putea constitui masura cantitatii de informatie. De dorit

este insa ca notiunea de cantitate de informatie sa prezinte proprietatea de aditivitate si de

omogenitate. Aceste conditii sunt asigurate daca drept cantitate de informatie se considera nu

numarul maxim de comunicari, ci logaritmul acestuia.

Asadar cantitatea de informatie este data de relatia :

I = logaN


Carmen Bujoreanu 11

Determinarea bazei a a logaritmului are ca punct de plecare ideea de a defini drept unitate de

masura a cantitatii de informatie, denumita bit, acea informatie care poate fi obtinuta din 2

simboluri (n =2), luate cate unul (m=1).

In acest caz N = 2 si conform celor spuse I = 1 = loga2

Rezulta a = 2

Asadar, cantitatea de informatie se determina cu ajutorul relatiei:

I = log2N sau I = mlog2n (2.6)

De ex., un contact care nu poate avea decat oricare din cele doua stari echiprobabile (inchis si

deschis) furnizeaza o cantitate de informatii de 1 bit. Intr-adevar, in acest caz (n = 2, m = 1) se

obtine : I = 1.log22 = 1 bit

Sa mai observam ca daca cele N comunicari sunt echiprobabile (au aceeasi probabilitate de a

se realiza), atunci probabilitatea P de alegere a uneia din cele N comunicari este P =1/N.

In consecinta, pe baza relatiei (2.6) se obtine :

I = -log2P (2.7)

Astfel spus, prin cantitatea de informatie se poate intelege o masura a probabilitatii

(egale) de determinare a evenimentelor.

In consecinta, bitul se poate defini ca fiind informatia obtinuta prin prezicerea unei variante

din doua egal posibile.

1928 A.V. Hartley introduce notiunea de unitate de informatie

Unitatea. elementara de informatie este bitul(binary digit=cifra binara): 1 bit = - log2 (1/2)

In informatica: 1 octet (byte) (B) = 8 biti

1 Koctet (KB) = 210 octeti

1 Moctet (MB) = 210 Kocteti

Cuvantul = grupul de biti pe care calculatorul ii poate manipula simultan

Concluzii :

In sistemele mecatronice, informatia este prezenta alaturi de materie si energie

Este indisolubil legata de substanta si energia care o transporta, dar reprezinta un alt

aspect al materiei, ca si energia, avand alte legi de transformare si de conservare. Nu

poate fi despartita de acestea dar nu poate fi confundata cu ele.

Din punct de vedere al mecatronicii, referitor la informatie se pun urmatoarele probleme:

culegerea ; prelucrarea ; stocarea (transmiterea) ; utilizarea in scopul controlului proceselor

si sistemelor


Carmen Bujoreanu

1

2.7 Semnale 2.7.1 Generalitati

Transmiterea (transferul, prelucrarea) unei informatii are intotdeauna un suport

material. O marime fizico-tehnica prin care se transmite o informatie, in procesul

de functionare a unui sistem sau element, se numeste semnal. Exista semnale-

cauza (marimi de intrare) si semnale-efect (marimi de iesire).

Conventional, un sistem sau element excitat la intrare de semnalul u(t), la iesirea caruia apare

semnalul y(t) , se reprezinta din punct de vedere al transferului de informatie ca in fig. 2.6

Sensul de circulatie al actiunii, sau altfel spus sensul de transfer al informatiei este

unidirectional, anume de la u la y.

Caracteristica fizica care se modifica dependent de informatie, se numeste parametru

informational.

De exemplu, purtatorul de informatie al unei tensiuni electrice continue este valoarea sa

(valoarea absoluta si semnul valorii).

Alt ex : termometru cu lichid pentru rezervorul din fig 2.1, unde identificam :

- marime de intrare : temperatura

- subsistem : termometru cu lichid

- marime de iesire(semnal) : lungimea coloanei de lichid

- parametru informational : valoarea lungimii

- informatia : temperatura in rezervor

Concomitent, semnalele sunt functii de timp. Acesta este al doilea parametru al

semnalelor. Din punct de vedere matematic, timpul este variabila independenta ce

evolueaza continuu in sens unic : trecut-prezent-viitor.

Intre elementele componente ale unui sistem apar relatii prin intermediul

semnalelor.

Pentru ca informatia transmisa sa ajunga la destinatie trebuie ca subsistemul receptor

sa poata extrage informatia din semnal. De ex, un om nu va utiliza eficient un

termometru daca acesta nu are o scala gradata. Numai din lungimea coloanei de lichid

nu se poate extrage nici o informatie. Deci, trebuie stabilita la emitator o

corespondenta a valorilor posibile ale parametrului informational cu informatia.

SISTEM u(t) y(t)

Fig.2.6


Carmen Bujoreanu

2

Se deduce de aici ca la transmiterea unei informatii este necesar un semnal si un cod

comun pentru ambele sisteme : emitator si receptor

2.7.2 Tipuri de semnale (Voicu, Livint, Olah) Conceptual, notiunile de sistem si semnal sunt duale. Fenomenologic, acest fapt rezida in

coexistenta intrinseca a perechii sistem-semnal. Rezulta ca tipurile de semnale care se

transmit intre elementele unui sistem ii imprima acestuia caracterul respectivelor semnale.

Clasificarea semnalelor se face in conformitate cu foarte multe criterii.

a) dupa efectele produse asupra unui sistem se deosebesc :

- semnale utile, care introduc efecte dorite in comportarea unui sistem (de ex., tensiunea de

alimentare a unui motor electric, debitul de intrare intr-un rezervor in care se mentine nivelul

constant)

- semnale perturbatoare (perturbatii), care introduc efecte nedorite (de ex., tensiunea de

zgomot la intrarea unui amplificator, cuplul rezistent al unei masini de lucru)

b)dupa natura marimilor fizice se evidentiaza :

- semnale mecanice : forta, cuplu, deplasare liniara sau unghiulara ;

- semnale electrice : tensiune, curent, rezistenta, frecventa, faza ;

- semnale pneumatice : presiune

- semnale acustice, optice, hidraulice, etc..

c) dupa multimea de valori ale parametrului informational :

- semnale analogice : parametrul informational ia valori pe multimi incluse in multimea

numerelor reale. Semnalele analogice sunt descrise de functii reale dependente de variabila

continua t, reprezentand timpul

x : tx(t) (1)

Semnalul poate lua orice valoare din intervalul fixat (fig. 2.7a)

- semnale discrete: parametrul informational ia valori pe multimi incluse in multimea

numerelor naturale. Aceste semnale sunt descrise de functii:

x : kx(k) (2)

sau

x : t = kTx(kT) (3)

unde k este un nr.intreg (pozitiv sau negativ), iar t ia valori discrete t1, t2,


Carmen Bujoreanu

3

In al doilea caz (3) se vorbeste de un semnal esantionat. Pentru un pas de esantionare constant

T, semnalul esantionat va fi x(kT). Daca parametrul informational x(kT) ia valori intregi,

multiplu al unei unitati, semnalele discrete se numesc digitale (fig. 2.7 b). Daca parametrul

informational x(k) sau x(kT) ia numai doua valori, semnalele discrete se numesc binare

(fig.2.7c)

Definitie. Se numeste semnal continuu o functie f : T A, unde A este o multime data

numita imaginea (sau multimea de valori) a semnalului iar T este axa (sau domeniul de

definitie)al semnalului.

Daca T R (multime continua"), atunci u este un semnal continual; in cazul in care T Z (multime discreta") atunci u este un semnal discret.

d) dupa multimea de valori ale parametrului timp t (variabila independenta)

- semnale continue (in timp)- pentru fiecare valoare a timpului se defineste o valoare oarecare

a parametrului informational (fig.2.7a- semnal definit pe un domeniu continuu de timp)

- semnale discrete (in timp) esantionate si numerice parametrul informational este definit

numai pentru anumite valori admisibile ale timpului

Fig.2.7a Fig.2.7b

Fig.2.7c

x(t)

x(t)

x(t)


Carmen Bujoreanu

4

Fig.2.8

Principial, un modul de esantionare poate fi considerat ca un intrerupator normal deschis, care

se inchide pentru o perioada foarte scurta de timp, la momentele t = kT, permitand astfel

semnalului de intrare sa treac la iesire, dupa care revine in pozitia deschis. Daca valorile

timpului sunt echidistante, semnalul se numeste esantionat uniform. (fig.2.8)

Semnalele numerice sunt semnale discrete cu valori discrete cuantificate. Cuantificarea consta

in aproximarea esantioanelor cu niste trepte, cu amplitudine prestabilita. Fiecarui esantion i se

atribuie o treapta careia ii va corespunde ulterior o valoare binara data.

e) dupa previzibilitatea evolutiei in timp se deosebesc:

-semnale deterministe: cu lege de evolutie predictibila

-semnale stohastice (aleatorii): cu lege de variatie necunoscuta, nu pot fi descrise de expresii

analitice.

In analiza, sinteza, functionarea si conducerea sistemelor mecatronice se intalnesc toate

tipurile de semnale mentionate mai sus.

(In Voicu, pag.29-exemple de semnale-pentru examen)

2.7.3 Semnale de proba (standard) Din punct de vedere matematic, definim trei tipuri de structuri ale spatiilor de semnale :

structura algebrica (spatii vectoriale) ; structura topologica (spatii Banach-spatii vectoriale

normate si complete) ; structura geometrica (spatii Hilbert- spatii vectoriale normate,

complete cu norma definita de un produs scalar)

Pentru analiza sistemelor automate, deci si mecatronice se folosesc semnale tipice de proba

care sunt : treapta unitara, rampa unitara, impulsul Dirac, semnalul sinusoidal.

1. Semnalul treapta unitara (t)

Semnalul treapta unitara (t) sau functia Heaviside (Oliver Heaviside-1892-bazele calculului

operational) este definita de relatia :


Carmen Bujoreanu

5

1(t) = (t) = 0 01 0

tt (4)

si are graficul din figura 2.9.

(t) nu este definita pentru t = 0 ; (0+) = 1 si (0-) = 0.

Un semnal treapta de amplitudine A : A (t) constituie o treapta neunitara. Functia treapta

reproduce intr-o forma idealizata fenomenele de cuplare ale unor aparate electrice la retea, de

punere brusca in functiune a unor instalatii.

Functia treapta unitara reala (t) este definita de relatia si are graficul din fig. 2.10 de mai jos:

(5) (t) =

>


Carmen Bujoreanu

6

SLCS u(t) y(t)

u(t)

t 0

1

t

y(t)

1

Fig.2.11

Observatii :

1.Forma raspunsului nu depinde de momentul aplicarii semnalului de intrare (valabil si pentru

treapta neunitara).

2.In cazul unui sistem liniar, continuu si nestationar SLCN, functia indiciala depinde de

momentul aplicarii semnalului de intrare.

Raspunsurile obtinute la asemenea semnale permit precizarea unor performante ale

sistemelor respective (fig.2.12)

Fig.2.12


Carmen Bujoreanu

7

g(s) valoarea stationara, amplificare in regim stationar suprareglarea: % 100%M s

s

g gg

= trebuie ca impus

grad de amortizare: '

% 100% = trebuie ca impus

timpi de stabilire t1, t2 timp de intarziere ti caracterizeaza intervalul (0-1/2gs) timp de crestere tc caracterizeaza intervalul (0.05-0.95)gs timp de raspuns tr pentru

Observatii

1.In cazul SLCS aceste performante raman neschimbate, in timp ce la SLCN acestea se pot

modifica.

2.Forma functiei g(t) depinde numai de structura interna a sistemului. Deci rasunsul indicial

este util pentru identificarea structurilor.


Carmen Bujoreanu 1

2.Semnalul impuls unitar (Dirac)

Considerand derivarea functiei (t), se obtine functia (t) care este un impuls dreptunghiular

de amplitudine 1/ si durata (in intervalul [-/2 si /2], conform figurii 2.11a

(t) =

02

12 2

02

t

t

t

< <

(6)

Observatii :

1.Se observa ca aria inchisa de functia (t) este egala cu 1 independent de valoarea lui , adica :

( ) 1t dt t R

= (7)

2. La limita, cand 0, functia (t) ( )0

lim t

= sign t (8)

unde sign t este functia semn, definita astfel pentru t 0 :

sign t = 1 01 0

tttt

(9)

3. Derivata functiei (t), la limita, cand 0, devine :

( )0

lim ( ) ( )dt sign t tdt

= = (10)

Acesta se numeste semnal impuls, unitar sau Dirac (sau functie delta-Dirac Paul Adrien

Maurice, n.1902, fizician englez, fondatorul functiei delta).

Fig.2.11


Carmen Bujoreanu 2

Proprietati

1. Impulsul unitar (t) este o functie para, ceea ce rezulta cu usurinta din fig. 2.11a (t) = (-t) (11)

2. Valorile acestui semnal sunt :

(t) = 0 0

0tt = (12)

iar reprezentarea conventionala este data in figura 2.11b.

3. Acest semnal nu se poate realiza practic, deoarece necesita in acest scop un generator de semnal de putere infinita.

4. O alta definitie a acestui semnal, in sensul teoriei distributiilor, transforma relatia (12) in :

0

0

( ) ( ) 1t dt t dt

= = (13)

Semnalul (impulsul Dirac) si derivatele sale nu sunt functii in sensul uzual al defnitiei (nu

sunt functii regulate, ci functii generalizate).

Se poate arata riguros ca, in sens distributional, impulsul Dirac (t) este intr-adevar derivata

treptei unitare 1(t).

Nu conteaza forma si valorile pe care le ia o aproximatie oarecare a lui , ci efectul actiunii

acesteia, adica faptul ca R = 1.

Deci impulsul Dirac este derivata, in sensul distributiilor, a semnalului treapta unitate. In

practica se foloseste semnalul dreptunghiular cu durata si amplitudine A, cand 0 si

A, aria limitata de acest impuls va fie egala cu unitatea (fig.2.12)


Carmen Bujoreanu 3

Semnalul impuls Dirac se utilizeaza frecvent in analiza comportarii elementelor si sistemelor

automate, deci si mecatronice.

Raspunsul sistemului la aplicarea unui impuls Dirac poarta denumirea de functie pondere si

este o caracteristica dinamica a unui proces liniar constant. Se noteaza cu h(t), fig.2.13

SLCS u(t)=(t) y(t)=h(t)

(t)

t 0 t

h(t)

Fig.2.13

Se poate scrie deci :

u(t) = (t) [ ]( ) ( )( ) ( )u t ty t h t= = si u(t) = (t-) [ ]( ) ( )( ) ( )u t ty t h t = =

Deci, nici functia pondere nu se modifica daca este aplicata la intrarea unui sistem SLCS in

momente diferite. La SLCN, functia pondere depinde de momentul aplicarii semnalului.

t

(t)

A

Fig. 2.12


Carmen Bujoreanu 4

Functia pondere (f.p) nu poate fi obtinuta experimental, decat in mod cu totul aproximativ,

aceasta deoarece insusi semnalul impuls nu poate fi realizat practic.

Teoretic, functia pondere se obtine ca solutie a ecuatiei diferentiale omogene a sistemului

respectiv pentru conditiile initiale:

y(0) = ( 2)

(0) (0) 0n

y y= = = si ( 1)(0) 1ny =

In fig.2.14 sunt date cateva functii pondere tipice si anume:

Curba 1- functia pondere h(t) = 1/

1

tk e a unui sistem descris de ecuatia diferentiala:

1( ) ( ) ( )dy t y t k u t

dt + = Curba 2- functia pondere a unui sistem descris de ecuatia diferentiala:

22 2

2

( ) ( )2 ( ) ( ) 0 1n n nd y t dy t y t k u t

dt dt + + = < <

Curba 3- functia pondere a unui sistem de ordin superior a carui ecuatie caracteristica are

toate radacinile reale si negative.

Din p.v al consideratiilor practice, functia pondere a unui sistem fizic poate fi asemuita cu

reactia unui om la lumina unui fulger sau la zgomotul unei explozii, caracterizandu-se ca ea

apare dupa disparitia cauzei care a determinat-o.

u(t) = (t) y(t) = h(t)

Fig.2.14


Carmen Bujoreanu 5

Importanta impulsului unitar

1.Este foarte util pentru descrierea aproximativa a multor fenomene fizice. Reprezentarea

impulsului sub forma unui dreptunghi cu baza infinit mica (mult mai mic decat constantele

de timp ale procesului de identificare)) si cu suprafata egala cu 1, sugereaza ca raspunsul

obtinut se apropie de cel ideal, adica y(t)g(t). Cu alte cuvinte, se cere ca in intervalul de timp

cat actioneaza impulsul de durata finita, starea sistemului analizat, respectiv marimea lui de

iesire, sa nu inregistreze modificari.

2. Un asemenea semnal se poate realiza si prin aplicarea succesiva a doua semnale tip treapta

decalate si inversate.

3.Semnalul rampa Semnalul se defineste sub forma :

r(t)=ramp(t) =

0 si tg t nu admit transformata Fourier. Din cele de mai sus, rezulta ca, dupa cum o functie periodica oarecare se poate descompune

in seria Fourier si are un spectru de frecvente discret (0, 2 0, 30..), tot astfel o functie

de timp oarecare, neperiodica, este echivalenta cu integrala Fourier si are un spectru de

frecventa continuu, continand in general toate frecventele posibile.

Exemplul 1

Fie f(t) = 1(t)

Atunci F[f(t)] = F[1(t)] = 0 0

1 11( ) j t j t j tt e e dt ej j

= = =

Exemplul 2

Sa se determine transformata Fourier a functiei de timp data in fig. 3.6 (Sebastian-p.243)

F[f(t)] = F(j) = 1 cos( )( )2

j t j tf t e dt e dt

= = Se considera ca in acest caz F(j) este o functie reala. Aceasta se datoreaza faptului ca f(t) este o

functie para. Reprezentarea grafica a functiei F (j) este data in figura 3.6b.

Daca 0, atunci semnalul din figura 3.6a devine un impuls Dirac, ( )t . In acest caz, cos( ) = si deci F(j) =1. Rezulta deci ca spectrul de frecventa al impulsului unitar este constant si egal cu 1 (fig.3.6c).

Acest exemplu pune in evidenta corelatia care exista intre durata unui semnal si spectrul de

frecventa corespunzator. Cu cat semnalul respectiv dureaza mai putin, cu atat spectrul sau de

frecventa este mai larg, deci pentru reproducerea lui este necesara o banda de frecvente tot mai

larga.


Carmen Bujoreanu 3

Importanta transformatei Fourier

Importanta transformatei Fourier in TS consta in faptul ca ea sta la baza metodei

frecventiale de studiu a SLCS. O notiune fundamentala pentru aceasta metoda este cea de

raspuns la frecventa. Raspunsul la frecventa al unui sistem este raspunsul lui fortat

(considerat in regim permanent), provocat de un semnal de excitatie armonic (sinusoidal).

Factorul de amplificare complex, care determina complet raspunsul la frecventa al unui

SLCS este dat de raportul dintre transformata Fourier a marimii de iesire si cea a marimii

de intrare si rezulta imediat daca este cunoscuta ecuatia diferentiala a sistemului respectiv

(nu necesita integrarea ecuatiei diferentiale)

De exemplu, ecuatia din cursul 4 2

2 22

( ) ( )2 ( ) ( ) 0 1n n nd y t dy t y t k u t

dt dt + + = < <

are factorul de amplificare complex urmatorul :

Fig.3.6


Carmen Bujoreanu 4

2 2

2 2 2 2

( )( )( ) ( ) 2 2

n n

n n n n

k ky jH ju j j j j

= = =+ + + (functia de raspuns in frecventa la

la amortizarea vascoasa)

Deci, proprietatile interne ale sistemului sunt reliefate de raspunsul lui la frecventa si

deoarece tot ele determina raspunsul la orice alt semnal de excitatie, este de presupus ca

unele din proprietatile raspunsurilor la semnalele deterministe conventionale, vor fi

reliefate de catre parametrii raspunsului la frecventa. Altfel spus, pe baza raspunsului la

frecventa putem formula anumite concluzii privind raspunsul sistemului la un alt semnal

de excitatie.

3.3 Tehnici de calcul bazate pe transformata Laplace (Sebastian, Olah)

a. Transformata Laplace

Ideea de baza (a metodelor operationale) de rezolvare a ecuatiilor diferentiale consta in asocierea

fiecarei functii f(t) de variabila reala t , numita original, a unei functii F(s), de variabila complexa

s = + j, numita imagine.

Aceasta asociere este biunivoca si se caracterizeaza prin aceea ca operatiilor de derivare si de

integrare aplicata functiilor originale, le corespund operatii algebrice aplicate imaginilor. Ca

urmare, ecuatiilor diferentiale intre originale le corespund ecuatii algebrice intre imagini.

Deci, problema rezolvarii ecuatiilor diferentiale se reduce la problema rezolvarii ecuatiilor

algebrice.

Apare insa interpretarea mai dificila a rezultatelor obtinute in domeniul functiilor imagine. De

aceea, folosind corespondenta biunivoca se trece din nou in domeniul functiilor original.

t

s

f(t)

F(s)

rezolvare

rezolvare

solutie

solutie


Carmen Bujoreanu 5

Transformata Laplace bilaterala a unei functii f(t) de variabila reala timp este definita de

relatia :

L[f(t)] = F(s) = ( )stf t e dt

(16)

si, dupa cum se constata, ea se obtine formal inlocuind in transformata Fourier variabila

imaginara j cu variabila complexa s = + j. Expresia din relatia (16) este imaginea bilaterala a functiei de timp f(t)(Pierre Simon Laplace

1749-1827-astronom, matematician, fizician francez).

Daca rel. (12) se scrie sub forma (17) si apoi se inlocuieste formal j cu s se obtine :

1( ) ( ) ( )

2

jj t

j

f t F j e d jj

+

= (17)

1( ) ( )

2

jst

j

f t F s e dsj

+

= = L-1[F(s)] pentru 0 > (18)

Relatia (18) (integrala Bromwich-Wagner) defineste transformata Laplace inversa, f(t)

denumindu-se functia original.

In TS, se utilizeaza mai mult transformata Laplace obisnuita, careia de aici inainte ii vom

spune simplu transformata Laplace si opereaza cu functii de timp care se considera nule la

t < 0 . Are urmatoarea forma :

L[f(t)] = F(s) = 0 0

( ) ( )st t j tf t e dt f t e e dt

= (19) Observam ca tinand cont de formula lui Euler : cos( ) sin( )j te t j t = , ultima integrala (19) devine :

L[f(t)] = - t - t0 0

f(t) e cos( ) f(t) e sin( )t dt j t dt

(20) De aici rezulta ca transformata Laplace a unei functii de timp este o functie complexa.


Carmen Bujoreanu 6

Proprietati ale transformatei Laplace

-teorema liniaritatii : L[k1 f(t) + k2 g(t)] = k1F(s)+ k2G(s)

-teorema intarzierii : L [f(t-)] = e-s F(s)

-teorema derivarii originalului :

L ( )df tdt

= sF(s) f(0)

L2

2

( )d f tdt

= s2F(s) - sf(0) f '(0) (ultimii doi termeni reprezinta

polinoamele valorilor initiale pentru conditii initiale nule)

L ( )n

nd f t

dt =

snF(s)

-teorema integrarii originalului :

L0

1( ) ( )t

f t dt F ss

=

In literatura de specialitate exista tabele cu transformatele Laplace uzuale (directa si inversa).

b. Functia de transfer

Fie un sistem monovariabil liniar continuu si stationar descris de ecuatia diferentiala :

1 1

1 1 0 1 1 0...... ......n n m m

n n m ma y a y a y a y b u b u b u b u

+ + + + = + + + + (21) in care m n.

Se considera ca in momentul excitarii sale sistemul se afla in starea de echilibru (de zero) si

u(t) = 0 pentru t


Carmen Bujoreanu 7

11 1 0

11 1 0

( ) ( ) ...... ( ) ( )

( ) ( ) ...... ( ) ( )

n nn n

m mm m

a s Y s a s Y s a s Y s a Y sb s U s b s U s b s U s b U s

+ + + + == + + + +

Rezulta :

1 11 1 0 1 1 0( ...... ) ( ) ( ...... ) ( )

n n m mn n m ma s a s a s a Y s b s b s b s b U s

+ + + + = + + + + (22)

Obisnuit, polinoamele in s sunt notate cu Q(s) si P(s), deci avem :

P(s)Y(s) = Q(s) U(s)

Din aceasta relatie, expresia operationala a marimii de iesire este :

( )( ) ( ) ( )( )

Q sY s U s y tP s

= = L-1[Y(s)] = L-1 ( ) ( )( )

Q s U sP s

(23)

Pentru a reveni in domeniul real al timpului(deci, trecerea din domeniul s in cel al timpului t),

trebuie efectuata transformata Laplace inversa.

Observatie.Diferenta mare intre transformata Laplace si transformata Fourier consta in aceea ca

ultima nu tine cont de conditiile initiale ale ecuatiei algebrice in care se transforma ecuatia

diferentiala (21) prin aplicarea transformatei Laplace

Proprietatile interne ale sistemului sunt determinate de coeficientii ao,..,an ai ecuatiei

operationale. Transferul informational insa, este determinat in plus si de coeficientii bo,..,bm

ai functiei de excitatie. De aceea pentru caracterizarea transferului informational realizat de un

sistem descris de relatia (21) se poate constitui o functie, de variabila s, continand atat coeficientii

ao,..,an ,cat si coeficientii bo,..,bm. O asemenea functie se numeste transformata

operationala.

Se denumeste deci functie de transfer (f.d.t) urmatoare transferanta operationala :

11 1 0

11 1 0

......( )......

m mm m

n nn n

b s b s b s bH sa s a s a s a

+ + + += + + + +

(24)

Din relatia (22) rezulta ca :

( )( )( )

Y sH sU s

= = LL

[ ( )] ( )[( )] ( )y t Q s

u t P s= (25)


Carmen Bujoreanu 1

Deci, f.d.t a unui sistem este definita de raportul dintre imaginea marimii de iesire a

sistemului, ce se obtine in cazul raspunsului normal si imaginea marimii lui de intrare, in

conditii initiale nule.

Observatii :

1. Functia de transfer este o functie de variabila complexa s = + j 2. In expresia f.d.t intra numai parametrii caracteristici ai sistemului/procesului la care se refera

prin coeficientii an...a0 si bm.b0. Deci, f.d.t depinde numai si numai de structura si

alcatuirea sistemului respectiv.

3. Raspunsul unui sistem dat la diverse semnale de intrare u(t) se poate determina prin

intermediul f.d.t.

Intr-adevar : Y(s) = H(s) U(s), de unde rezulta

y(t) = L-1[H(s) U(s)] (26)

4. Daca u(t) este un impuls Dirac (t), atunci raspunsul lui normal este functia pondere h(t) si

cum se stie (din tabele) ca L[ (t)] = 1, rezulta ca rel. (24) devine :

H(s) = L[h (t)] = 0

( ) sth t e dt

(27) Deci, f.d.t este imaginea functiei pondere, adica imaginea raspunsului normal provocat de

impulsul Dirac.

Exista diverse forme de exprimare algebrica a f.d.t :

a) daca se scoate factor comun b0 si a0 se scrie ca :

1 1

1 1

' ' 1 '0

' ' 1 ' 0

...... 1( )

...... 1

m m

n n

m m

n n

b s b s b s bH saa s a s a s

+ + + += + + + + (28)

unde 00

ba

se numeste factor static de amplificare. Coeficientii ama0 si bmb0 sunt

numere reale, intregi si pozitive. Daca H(s) corespunde unui fenomen fizic real, atunci n m.


Carmen Bujoreanu 2

- Remarcam ca numitorul f.d.t egalat cu zero constituie ecuatia caracteristica a ecuatiei

diferentiale a sistemului dat.

- Radacinile numaratorului notate cu zi cu i = 1, 2,.,m, de forma : zi = i ji se numesc zerourile f.d.t, iar radacinile numitorului notate cu pj cu j =1,2.,n, de forma : pj = j jj se numesc polii f.d.t.

Tinand seama de natura zerourilor si polilor , f.d.t se poate scrie sub urmatoarele forme :

b) 1 2

1 2

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

m m

n n

b s z s z s zH sa s p s p s p

=

(29)

cand radacinile si polii sunt reali ( = p-z)

Distributia polilor si a zerourilor f.d.t in planul s determina comportarea sistemului din punct de

vedere al tranzitiei intrare-iesire.

c) Daca se presupune ca atat numitorul cat si numaratorul au radacini in origine, s = 0, atunci f.d.t

are forma :

( )

( )( )

q

p

Q skH ss P s

= (30)

unde m q

n p

bk

a

= este factorul de amplificare iar este ordinul polului in origine.

Concluzie: cunoscand ecuatia diferentiala a unui sistem putem scrie f.d.t corespunzatoare.

Exemplu de stabilire a functiei de transfer

1.Accelerometru. Un accelerometru prezentat in figura 3.7 este un aparat constituit dintr-o masa

m mobila, in raport cu un suport S, solidar cu sistemul a carui acceleratie se va masura. Masa m

este readusa de un resort R de constanta k ; amortizorul A determina o frecare vascoasa

(coeficientul de proportionalitate a fortei de frecare cu viteza fiind ka).

In practica, masa m se deplaseaza fara contact mecanic datorita unei perne de aer sau a unei

suspensii electrostatice. Cand piesa a carei acceleratie se masoara si o data cu ea si suportul S al

accelerometrului se deplaseaza spre dreapta cu o acceleratie a, masa m ramane in urma (pozitia


Carmen Bujoreanu 3

punctata). Altfel spus, in raport cu suportul S el se va deplasa din pozitia sa de repaos spre stanga

cu distanta y(t) si acceleratia 2

2

( )d y tdt

- Sa stabilim mai intai modelul matematic

Acceleratia rezultanta, in deplasarea spre dreapta, va fi data de relatia : 2

2

( )d y ta adt

= Forta de inertie care actioneaza asupra masei m in cadrul acestei miscari, va fi :

2

2

( )( )id y tF m a m a

dt= =

Conform legii echilibrului fortelor (legea dAlembert), aceasta forta echilibreaza forta motoare

Fm care atrage masa m spre dreapta. Forta Fm este data de forta de intindere a resortului R si cea

produsa de amortizor, proportionala cu viteza masei m in miscarea spre stanga fata de suportul S. 2

2

( ) ( )( ) ( )i m ady t d y tF F ky t k m a

dt dt= = + =

Rezulta urmatoare ecuatie diferentiala liniara de ordinul II:

2

2

( ) ( ) ( )ad y t dy tm k k y t m a

dt dt + + = (31)

ce exprima dependenta dintre citirea y (deplasarea masei m) si acceleratia suportului S.

Fig.3.7


Carmen Bujoreanu 4

Stabilirea functiei de transfer

Semnalul de intrare este acceleratia suportului u (t) =a.

Semnalul de iesire este deplasarea masei m (citirea y).

Se aplica ecuatiei (31) transformata Laplace pentru conditii nule:

[ ] [ ]2 2( ) ( ) ( )ad y t dy tm L k L k L y t m L adt dt + + =

2 ( ) ( ) ( ) ( )am s Y s k s Y s k Y s m U s + + =

Relatia de mai sus se imparte la m si se obtine :

2 ( ) ( ) ( ) ( )ak ks Y s s Y s Y s U sm m

+ + =

2( ) ( ) ( )ak ks s Y s U sm m

+ + =

Rezulta f.d.t 2

( ) 1( )( ) a

Y sH s k kU s s sm m

= =+ + (32)

Observatie :

F.d.t caracterizeaza transferul informational intrare-iesire. Practic, ecuatia de definitie a f.d.t.

Y(s) = H(s) U(s), se reprezinta astfel :

c.) Reprezentari grafice ale f.d.t (p.159-Livint)

Diagrama Nyquist

Orice f.d.t H(s), fiind o functie de variabila complexa s = +j, poate fi scrisa sub forma :

H(s) = HRe+jHim

H(s) U(s) Y(s)


Carmen Bujoreanu 5

Deci, poate fi reprezentata intr-un plan complex cu coordonatele HRe si jHim denumit planul H(s).

Daca variabila complexa s descrie un contur inchis C in planul s, fig. 3.8a, atunci H(s) descrie de

asemenea un contur inchis in planul H(s), fig.3.8b.

Fig.3.8

Dintre toate contururile C posibile, in studiul sistemelor automate prezinta interes conturul

Nyquist care este un semicerc cu centrul in originea axelor planului s , avand raza infinit mare si

limitat la stanga de axa imaginara, fig. 3.9.

Fig.3.9 Fig.3.10


Carmen Bujoreanu 6

Diagrama Nyquist exploreaza semiplanul drept al planului s in vederea analizei stabilitatii

sistemelor dinamice. Parcurgerea axei imaginare din cadrul acestui contur, corepunzand la valori

ale lui ( , ) , echivaleaza cu cunoasterea hodografului vectorului H(j). Acesta reprezinta raspunsul la frecventa al unui sistem dinamic caracterizat de functia de transfer

H(s) si locul de transfer este o curba in planul H(j), gradata in valori ale pulsatiei (fig. 3.10). HR() si HI() se numesc caracteristica reala de frecventa, respectiv caracteristica imaginara de frecventa

Diagrama Bode ( continuare de la livint, apoi operatii cu fdt)


Carmen Bujoreanu 1

c.) Reprezentari grafice ale f.d.t

Diagrama Nyquist

Orice f.d.t H(s), fiind o functie de variabila complexa s = +j, poate fi scrisa sub forma :

( )

Re Im( ) ( ) ( ) ( )jH j H j H M e = + =

Deci, poate fi reprezentata intr-un plan complex cu coordonatele HRe si jHim denumit planul H(s).

Daca variabila complexa s descrie un contur inchis C in planul s, fig. 3.8a, atunci H(s) descrie de

asemenea un contur inchis in planul H(s), fig.3.8b.

Fig.3.8

Dintre toate contururile C posibile, in studiul sistemelor automate prezinta interes conturul

Nyquist care este un semicerc cu centrul in originea axelor planului s , avand raza infinit mare si

limitat la stanga de axa imaginara, fig. 3.9.

Fig.3.9 Fig.3.10


Carmen Bujoreanu 2

Diagrama Nyquist exploreaza semiplanul drept al planului s in vederea analizei stabilitatii

sistemelor dinamice.

Parcurgerea axei imaginare din cadrul acestui contur, corepunzand la valori ale lui ( , ) , echivaleaza cu cunoasterea hodografului vectorului H(j). Acesta reprezinta raspunsul la frecventa al unui sistem dinamic caracterizat de functia de transfer H(s). Locul de transfer este o

curba in planul H(j), gradata in valori ale pulsatiei (fig. 3.10). HR() si HI() se denumesc caracteristica reala de frecventa, respectiv caracteristica imaginara de frecventa.

Diagrama Bode

Caracteristicile de frecventa se reprezinta de obicei in coordonate rectangulare simple.

Caracteristicile modul 2 2( ) ( ) ( )R IM H H = + si faza ( )( ) ( )I

R

HarctgH

= se pot reprezenta

si in coordonate logaritmice, cand pe axa absciselor se ia o scara liniara pentru lg . Aceste caracteristici constituie diagrama Bode.

Pentru raspunsul in frecventa, se introduce o masura a amplificarii sistemului (a modulului M()) definita prin :

AdB() = 20lg M()

AdB() se numeste atenuare si se masoara cu o unitate de masura a amplificarii, introdusa in mod artificial, numita decibel si notata dB. Astfel, de exemplu, pentru o amplificare de

1000 corespunde o atenuare de 60 dB.

Caracteristica atenuare-frecventa se reprezinta luand in ordonata o scara liniara pentru

atenuarea in decibeli.

Pentru caracteristica faza-frecventa in ordonata se iau valorile fazei () exprimate in grade sau in radiani.

Perechea de caracteristici AdB()- atenuare-frecventa si ()- faza-frecventa reprezinta locul lui Black.

Fig. 3.11 prezinta exemple de reprezentari grafice pentru H (j) : locul de transfer hodograful fazorului H (j) in fig. 3.11a ; caracteristica atenuare-frecventa AdB() in fig. 3.11b ; caracteristica logaritmica faza-frecventa ()in fig. 3.11c ; locul lui Black in fig.3.11d


Carmen Bujoreanu 3

Fig.3.11

Reprezentarea caracteristicilor de frecventa in coordonate logaritmice prezinta avantaje :

- in cazul elementelor conectate in serie, operatiilor de multiplicare le corespund operatii de

sumare algebrica ;

- utilizarea caracteristicilor logaritmice de frecventa permite cuprinderea unor domenii mai

intinse de valori pentru pulsatia

d) Operatii cu functii de transfer

Un avantaj important al utilizarii notiunii de functie de transfer se refera la posibilitatea

determinarii proprietatilor dinamice ale unui sistem (privit ca un ansamblu de elemente

interconectate) atunci cand se cunosc proprietatile dinamice (functiile de transfer) ale elementelor

componente.

Structuri oricat de complicate ale sistemelor dinamice rezulta din combinarea a trei conexiuni de

baza ale elementelor componente : conexiunea serie , conexiunea paralel si conexiunea

reactie inversa


Carmen Bujoreanu 4

d1)Conexiunea serie

Un numar de n elemente cu functiile de transfer H1(s), H2(s),, Hn(s), sunt conectate in serie

daca marimea de iesire a elementului k este marime de intrare pentru elementul k+1 ca in fig.

3.12a

Uk+1(s) = Yk(s) ; k = 1,2,, n-1 (33)

U(s) = U1(s); Y(s) = Yn(s)

Fig.3.12a

Pentru fiecare element se poate scrie:

Yk(s) = Hk(s)Uk(s) k = 1,2,, n-1 (34)

Functia de transfer a elementului echivalent cu intrarea U(s) si iesirea Y(s) se determina tinand

seama de (33) si (34):

Y(s) = Yn(s) = Hn(s)Un(s) = Hn(s) Yn-1(s) = Hn(s) Hn-1(s) Un-1(s) =

= Hn(s) Hn-1(s) H1(s) U1(s) = 1

( ) ( )n

kk

H s U s=

= H(s) U(s) (35)

Din relatia (35) rezulta:

H(s) = 1

( )n

kk

H s= (36)

Deci, functia de transfer echivalenta pentru mai multe elemente conectate in serie este egala cu

produsul functiilor de transfer ale acestor elemente. Elementul echivalent este reprezentat in fig.

3.12 b

Fig. 3.12b

H(s)= 1

( )n

kk

H s=

U(s) Y(s)

H1(s) U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)

H2(s) Y2(s)

Hn(s) Yn-1(s) =Un(s) Yn(s) = Y(s)


Carmen Bujoreanu 5

d2) Conexiunea paralel

Elementele cu functiile de transfer H1(s), H2(s),, Hn(s) sunt conectate in paralel daca au aceeasi

marime de intrare:

U1(s) = U2(s) == Un(s) =U(s) (37)

Iar iesirile se insumeaza algebric:

1

( ) ( )n

kk

Y s Y s=

= (38) O astfel de structura este reprezentata in figura 3.13a, unde la elementul sumator este precizat

semnul cu care fiecare iesire apare in suma (38)

Fig. 3.13

Deoarece pentru fiecare element se poate scrie:

Yk(s) = Hk(s)Uk(s) = Hk(s)U(s) k = 1,2,, n

din (38) rezult

TEORIA SISTEMELOR MECATRONICE

Documents

Transcript of TEORIA SISTEMELOR MECATRONICE