1

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Noțiuni teoretice

Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare

În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare a valorilor proprii ale matricii A (stabilitate internă) sau a polilor matricei de transfer T (stabilitate externă).

Punctul de plecare îl reprezintă polinomul caracteristic al sistemului. Se consideră polinomul caracteristic χ(s) = 푎 ∙ 푠 +푎 ∙ 푠 + ⋯+ 푎 ∙ 푠 + 푎 , 푎 > 0

Cu ajutorul coeficienților se contruiește un determinant de ordinul n. Construcția începe de la diagonala principală, apoi se construiesc coloanele. Determinantul se numește determinant Hurwitz sau tablou Hurwitz și se notează cu 퐻 . El va delimita în continuare minorii Hurwitz (numiți și minori principali).

퐻 =

⎣⎢⎢⎢⎡푎푎0

푎푎푎

푎 … 0푎 … 0푎 … 0

… … … … 00 0 0 … 푎 ⎦

⎥⎥⎥⎤

Minorii Hurwitz extrași din determinant:

퐻 = |푎 |

퐻 =푎 푎푎 푎

퐻 =푎 푎 푎푎 푎 푎0 푎 푎

Criteriul lui Hurwitz:

Polinomul caracteristic χ(s) are toate rădăcinile cu parte reală negativă (deci situate în 푪 ) dacă și numai dacă toți minorii Hurwitz (ca determinanți) sunt strict pozitivi.

Un SL N este strict stabil intern (asimptotic stabil) dacă și numai dacă toți minorii Hurwitz din tabloul contruit pentru polinomul caracteristic al matricei A

χ(s) = 푎 ∙ 푠 +푎 ∙ 푠 + ⋯+ 푎 ∙ 푠 + 푎 , 푎 > 0 sunt strict pozitivi.

Un SL N este strict stabil extern (stabil în sens BIBO) dacă și numai dacă toți minorii Hurwitz din tabloul construit pentru polinomul

p(s) = 푏 ∙ 푠 +푏 ∙ 푠 + ⋯+ 푏 ∙ 푠 + 푏 , 푏 > 0 din forma ireductibilă a matricei de transfer T(s) sunt strict pozitivi.

2

Alte criterii de stabilitate – Criteriul Routh-Hurwitz

Stabilitatea internă a unui SL D Fie polinomul caracteristic dat de ecuația

χ(z) = 푎 ∙ 푧 +푎 ∙ 푧 + ⋯+ 푎 ∙ 푧 + 푎 și fie transformarea omografică w dată de ecuația

푧 =1 + 푤1 −푤

Se deduce astfel un polinom în variabilă w care este de forma: χ(w) = 푎 (1 + 푤) +푎 (1 + 푤) (1 −푤) + ⋯+ 푎 (1 + 푤)(1 −푤)

+ 푎 ∙ (1 −푤) = 푐 푤 +푐 푤 + ⋯+ 푐 푤 + 푐 Dacă minorii Hurwitz construiți cu coeficienții 푐 sunt toți strict pozitivi, atunci și numai atunci sistemul este asimptotic stabil (intern).

Stabilitatea externă a unui SL D Fie polinomul p(z) din forma ireductibilă a lui T(z)= R(z)/p(z) de forma

p(z) = 푏 ∙ 푧 +푏 ∙ 푧 + ⋯+ 푏 ∙ 푧 + 푏 și fie transformarea omografică w dată de ecuația

푧 =1 + 푤1 −푤

Se deduce astfel un polinom în variabilă w care este de forma: p(w) = 푏 (1 + 푤) +푏 (1 + 푤) (1− 푤) + ⋯+ 푏 (1 + 푤)(1 −푤)

+ 푏 ∙ (1 −푤) = 푑 푤 +푑 푤 + ⋯+ 푑 푤 + 푑 Dacă minorii Hurwitz construiți cu coeficienții 푑 sunt toți strict pozitivi, atunci și numai atunci sistemul este stabil extern.

Problema 1

Fie SL N având realizarea de stare:

A =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0 1 0 0 0 0 00 0 10 0 00 0 0

010

0 0 00 0 01 0 0

0 0 00 0 0−12 2 −13

001

0 1 00 0 1−13 1 −1⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

, B =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0000001⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

C = 4 −2 1 4 −2 1 08 −8 8 1 −1 1 0

Să se analizeze stabilitatea internă și externă, utilizând criteriul lui Hurwitz.

Rezolvare

Stabilitate internă

Pentru a determina stabilitatea internă a sistemului dat, se determină polinomul caracteristic.

3

χ(s) = det(sI − A) = 푎 + 푠 ∙ 푎 + 푠 ∙ 푎 + ⋯+ 푠 ∙ 푎 , 푎 > 0

Se observă că realizarea este una standard controlabilă.

퐴 =

0 1 … 0… 0 … 00−훼

…−훼

……

1−훼

, 퐵 =00…1

, 퐶 = [훽 훽 … 훽 ]

Matricea 퐴휖푅 × are toate elementele zero mai puțin cele de pe supradiagonala principală care sunt 1. Elementele de pe ultima linie sunt egale cu coeficienții numitorului 퐻(휆) cu semn schimbat luați în ordinea crescătoare a puterilor lui 휆.

Vectorul coloană 퐵휖푅 × are toate elementele 0 mai puțin ultimul care este 1. Vectorul linie 퐶휖푅 × are toate elementele egale cu coeficienții numărătorului 퐻(휆),

luați în ordinea crescătoare a puterilor lui 휆.

Se poate scrie direct polinomul caracteristic:

χ(s) = 12 − 2푠 + 13푠 − 푠 + 13푠 − 푠 + 푠 + 푠

Tabloul lui Hurwitz pentru polinomul caracteristic de grad 7:

퐻 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡푎 푎 푎푎 푎 푎

푎 0 0푎 0 0

00

0 푎 푎0 푎 푎 푎 푎 0

푎 푎 000

0 0 푎0 0 푎0 0 0

푎 푎 푎푎 푎 푎푎 푎 푎

00푎 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Pentru exemplul nostru avem:

퐻 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1 13 131 −1 −10 1 13

12−213

0 0 00 0 012 0 0

0 1 −10 0 10 0 1

−113−1

−2 0 013 12 0−1 −2 0

0 0 0 1 13 13 12

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

퐻 = |푎 | = 1 > 0

퐻 =푎 푎푎 푎 = 1 13

1 −1 = −1 − 13 < 0

Unul dintre minorii principali este negativ → sistemul este instabil intern.

Stabilitate externă

Pentru a analiza stabilitatea externă se determină matricea de transfer.

4

푇(푠) = 퐶(푠퐼 − 퐴) 퐵 =푅(푠)푝(푠) =

푅(푠)χ(s) =

푟(푠)

푟 (푠)χ(s)

푇(푠) =48 + −2

−8 ∙ 푠 + 18 ∙ 푠 + 4

1 ∙ 푠 + −2−1 ∙ 푠 + 1

1 ∙ 푠

12− 2푠 + 13푠 − 푠 + 13푠 − 푠 + 푠 + 푠

푇(푠) =푠 − 2푠 + 4푠 + 푠 − 2푠 + 4푠 − 푠 + 푠 + 8푠 − 8푠 + 8

푠 + 푠 − 푠 + 13푠 − 푠 + 13푠 − 2푠 + 12

Se determină forma ireductibilă a lui 푇(푠) eliminând c.m.M.d.c. al tuturor polinoamelor prezente în expresia sa. Această operație se face cu algoritmul lui Euclid la nivelul tabloului.

c. m. M. d. c. {푟 , 푟 , χ}

Se obține primul tablou din algoritmul lui Euclid:

푠 − 2푠 + 4푠 + 푠 − 2푠 + 4푠 − 푠 + 푠 + 8푠 − 8푠 + 8

푠 + 푠 − 푠 + 13푠 − 푠 + 13푠 − 2푠 + 12

Se împarte succesiv polinomul 푠 + 푠 − 푠 + 13푠 − 푠 + 13푠 − 2푠 + 12 la polinomul 푠 − 2푠 + 4푠 + 푠 − 2푠 + 4 și se va obține polinomul 푠 + 3푠 + 1 și restul 2푠 − 6푠 + 14푠 − 12푠 + 8 .

Se împarte polinomul 푠 − 2푠 + 4푠 + 푠 − 2푠 + 4 la 푠 − 푠 + 푠 + 8푠 − 8푠 +8 și se va obține polinomul -1 și restul −푠 + 3푠 − 7푠 + 6푠 − 4 .

Se obține al doilea tablou din algoritmul lui Euclid:

푠 − 2푠 + 4푠 + 푠 − 2푠 + 4푠 − 3푠 + 7푠 − 6푠 + 4

2푠 − 6푠 + 14푠 − 12푠 + 8

Se împarte succesiv polinomul 푠 − 2푠 + 4푠 + 푠 − 2푠 + 4 la polinomul 푠 −3푠 + 7푠 − 6푠 + 4 și se va obține polinomul 푠 + 1 și restul 0 .

Se împarte polinomul 2푠 − 6푠 + 14푠 − 12푠 + 8 la 푠 − 3푠 + 7푠 − 6푠 + 4 și se va obține câtul 2 și restul 0 .

Se obține al treilea tablou din algoritmul lui Euclid:

푠 − 3푠 + 7푠 − 6푠 + 400

→ c.m.M.d.c = 푠 − 3푠 + 7푠 − 6푠 + 4

În continuare ar trebui determinate câturile împărțirii celor 3 polinoame la c.m.M.d.c.

5

Pentru exercițiul propus ne interesează doar împărțirea polinomului de la numitorul matricei de transfer. Se va obține polinomul 푠 + 4푠 + 4푠 + 3.

푇(푠) =푟

(푠)푟 (푠)

푠 + 4푠 + 4푠 + 3

Se aplică criteriul lui Hurwitz pentru a determina stabilitatea externă a sistemului.

푝(푠) = 푠 + 4푠 + 4푠 + 3

퐻 =푎 푎 01 푎 00 푎 푎

Pentru exemplul nostru avem:

퐻 =4 3 01 4 00 4 3

퐻 = |푎 | = 4 > 0

퐻 =푎 푎1 푎 = 4 3

1 4 = 16− 3 > 0

퐻 = 3 ∙ 16− 9 > 0

Deoarece minorii principali sunt strict pozitivi, SL N este strict stabil extern.

Problema 2

Fie SL D având realizarea de stare:

A = 0 0 0 01 0 0 0.01600

10

01

−0.06−0.9

, B = 1 −12 000

10

C = [0 0 0 1]

Să se analizeze stabilitatea internă și externă, utilizând criteriul lui Routh-Hurwitz.

Rezolvare

Stabilitate internă

Pentru a determina stabilitatea internă a sistemului dat, se determină polinomul caracteristic dat de ecuația:

χ(z) = det(zI − A) = 푎 + 푧 ∙ 푎 + 푧 ∙ 푎 + ⋯+ 푧 ∙ 푎 , 푎 > 0

pentru care se va aplica transformarea omografică w dată de ecuația

6

푧 =1 + 푤1 −푤

Se observă că realizarea este una standard observabilă. Astfel, se poate scrie direct polinomul caracteristic:

χ(z) = 푧 + 0.9푧 + 0.06푧 − 0.016푧 = 푧(푧 + 0.9푧 + 0.06푧 − 0.016) = 푧 ∙ χ (z)

În continuare se aplică transformarea omografică w doar pentru χ (z).

χ (w) = (1 + 푤) + 0.9(1 + 푤) (1− 푤) + 0.06(1 + 푤)(1 −푤) − 0.016(1−푤)

χ (w) = 푤 + 3푤 + 3푤 + 1 − 0.9푤 − 0.9푤 + 0.9푤 + 0.9 + 0.06푤 − 0.06푤− 0.06푤 + 0.06 + 0.016푤 − 0.048푤 + 0.048푤 − 0.016

χ (w) = 0.176푤 + 1.992푤 + 3.888푤 + 1.944

Tabloul lui Routh-Hurwitz pentru polinomul χ (w) de grad 3:

퐻 =푎 푎 0푎 푎 00 푎 푎

Pentru exemplul nostru avem:

퐻 =1.992 1.944 00.176 3.888 0

0 1.992 1.944

퐻 = |푎 | = 1.992 > 0

퐻 =푎 푎푎 푎 = 1.992 1.944

0.176 3.888 = 1.992 ∙ 3.888− 1.944 ∙ 0.176 > 0

퐻 = 1.944 ∙ 퐻 > 0

Sistemul este asimptotic stabil → este și strict stabil extern.

7

Implementare în MatLab

Probleme propuse

Problema 1

Fie SL N având realizarea de stare:

A =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡

0 1 0 0 0000 0 10 0 00 0 0

010

0 0 00 0 01 0 0

0 0 00 0 06 5 −2

00−1

0 1 00 0 16 5 −2⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

, B =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0000001⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

C = −2 −1 1 0 −2 −1 1−6 1 1 0 −6 1 1

Să se analizeze stabilitatea internă și externă, utilizând criteriul lui Hurwitz.

Problema 2

Fie SL D având realizarea de stare:

A = 0 0 0 01 0 0 0.0200

10

01

0.06−0.5

, B = −0.04 0

0 0.510

11

C = [0 0 0 1]

Să se analizeze stabilitatea internă și externă, utilizând criteriul lui Routh-Hurwitz.