Teoria Moderna a Circuitelor Electrice, by Dumitriu, Iordache, 1998

TEORIA MODERNA A CIRCUITELOR ELECTRICE Lucia Dumitriu, Mihai Iordache

Copyright 1998 -Editura ALL EDUCATIONAL

ISBN 973-9337-99-6

Toate drepturile rezervate Editurii ALL EDUCATIONAL Nici o parte din acest volum nu poate fi copiat

fr permisiunea scris a Editurii ALL EDUCATIONAL Drepturile de distribuie n strintate

aparin n exclusivitate editurii. Copyright 1998 by ALL EDUCATIONAL All rights reserved. The distribution of this book outside Romania, without the written permission of ALL EDUCATIONAL is strictly prohibited. Editura ALL EDUCATIONAL face parte din Grupul Editorial ALL.

Editura ALL EDUCATIONAL S.A.

Departamentul difuzare

Redactor: Coperta:

Bucureti Bd. Timioara nr. 58, sector 6, cod 76548

~ 413.11.58, 413.43.21, 413.18.50 413.07.20 Fax: 413.05.40

413.07.15 Fax: 413.03.29

Mihai Mnstireanu Daniel Munteanu

PRINTED IN ROMANIA

Prof. dr. ing., LUCIA DUMITRIU

Prof. dr. ing. MIHAI IORDACHE

TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE

Fundamentare teoretic, aplicaii, algoritmi i programe de calcul

I

ALL EDUCATIONAL

CUPRINS

PREFA ........................................................................................................... IX

Cap.1. CONCEPTE DE BAZ N TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE .......... ! 1.1. SEMNALE ELECTRICE .......................................................................... 1 1.2. ELEMENTE DE CIRCUIT ....................................................................... 5

1.2.1. Aproximaiile teoriei circuitelor electrice cu parametri concentrai ......................................................................... 5

1.2.2. Mrimi i relaii fundamentale pentru teoria circuitelor electrice ............................................................................ 7

1.2.3. Clasificarea elementelor de circuit .................................................... 8 1.2.4. Elemente de circuit pasive ................................................................. 9

1.2.4.1. Rezistorul ................................................................................... 9 1.2.4.2. Bobina ..................................................................................... 13 1.2.4.3. Condensatorul ......................................................................... 19

1.2.5. Elemente de circuit active ............................................................... 23 1.2.5 .1. Surse independente .................................................................. 23 1.2.5.2. Surse comandate .: ................................................................... 26

1.2.6. Elemente de circuit speciale ............................................................ 30 1.2.6.1. Transfonnatorul ideal .............................................................. 30 1.2.6.2. Gyratorul .................................................................................. 32 1.2.6.3. Amplificatorul operaional ideal... ........................................... 33 1.2.6.4. Nulorul ................................................................................... .34 1.2.6.5. Tranzistorul ............................................................................ .35

1.3. CIRCUITE ELECTRICE ....................................................................... .36 1.3 .1. Clasificarea circuitelor electrice .................................................... .36 1.3.2. Regimurile de funcionare ale circuitelor electrice ......................... 37 1.3.3. Teoremele generale ale teoriei circuitelor electrice ....................... .38

1.3.3.1. Teoremele lui Kirchhoff.. ........................................................ 38 1.3.3.2. Teorema lui Tellegen ............................................................. .40 1.3.3.3. Teorema conservrii puterilor ................................................. 40 1.3.3.4. Teorema surselor ideale cu aciune nul (Vaschy) l

BIBLIOGRAFIE ., .......................................................................................... 43

Cap.2. NOIUNI DE TOPOLOGIA CIRCUITELOR ELECTRICE ............... ..4j 2.1. CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE TEORIEI GRAFURILOR ........ 45

VI TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE 2.2. MATRICELE DE INCIDEN ASOCIATE

GRAFURILOR ORIETA TE .................................................................. 52 2.2.1. Matricea de inciden laturi-noduri ................................................. 52 2.2.2. Matricea de inciden laturi-seciuni ................................................ 58 2.2.3. Matricea de inciden laturi-bucle ................................................... 63

2.3. RELAII NTRE MATRICELE DE INCIDEN ................................. 66 2.4. ALGORITMI DE DETERMINARE A ARBORELUI NORMAL

I A MATRICEI INCIDENELOR ESENIALE ................................. 70 2.4.1. Determinarea arborelui normal comun ............................................ 70 2.4.2. Determinarea matricei incidenelor eseniale ................................. 80

2.5. GENERAREA ARBORILOR NTR-UN GRAF ..................................... 81 2.6. PROBLEME ............................................................................................. 94 BIBLIOGRAFIE ........................................................................................... 1 07

Cap.3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE .................................. 111 3.1. INTRODUCERE .................................................................................... ll1 3.2. RELAII DE BAZ ALE CIRCUITELOR ELECTRICE

REZISTIVE LINIARE .......................................................................... 112 3 .2.1. Legea lui Ohm generalizat .......................................................... 113 3.2.2. Teoremele lui Kirchhoff ................................................................ 113 3.2.3. Teorema conservrii puterilor ........................................................ l15 3.2.4. Teorema superpoziiei .................................................................... 115 3.2.5. Teorema reciprocitii .................................................................... 117 3.2.6. Teorema compensaiei ....................... : ........................................... 1 19 3.2.7. Teorema variaiei curenilor ........................................................... 120 3.2.8. Teorema lui Vratsano ..................................................................... 122 3 .2.9. Teoremele de transfigurare a circuitelor electrice ......................... 123

3 .2.9 .1. Echivalena circuitelor .......................................................... 123 3.2.9.2. Echivalenta surselor reale ..................................................... 124 3.2.9.3. Transfigurarea serie ............................................................... 125 3.2.9.4. Transfigurarea paralel ............................................................ 127 3.2.9.5. Transfigurarea stea-poligon complet ..................................... 128

3.2.1 O. Teoremele divizoarelor de tensiune i de curent.. ........................ 132 3.2.11. Teoremele generatoarelor echivalente 133 3.2.12. Teorema transferului maxim de putere ........................................ 134 3.2.13. Relaii ntre mrimile unui dipol...\ .............................................. 139

3.3. ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARE. METODE I ALGORITMI DE CALCUL ........................................... 140

3.3 .1 . Metoda teoremelor lui Kirchhoff.. ................................................. 140 3 .3.2. Metoda curenilor de bucl ............................................................ 14 7 3.3.3. Metoda potenialelor nodurilor ..................................................... 151 3.3.4. Metoda nodal modificat .............................................................. 157 3.3 .5. Metoda curenilor coardelor ........................................................... 160 3.3 .6. Metoda tensiunilor ramurilor ........................................................ 162

Cuprins VII

3.4. UTILIZAREA GRAFURILOR DE CURENT I DE TENSIUNE N ANALIZA CIRCUITELOR REZI STIVE NERECIPROCE ................ 163

3.4.1. Analiza circuitelor cu surse comandate ........................................ 163 3 .4.2. Generarea grafului de curent i a grafului de tensiune ................. 163 3 .4.3. Metoda curenilor de bucl ............................................................ 167 3.4.4. Metoda potenialelor nodurilor ...................................................... 168 3.4.5. Metoda curenilor coardelor .......................................................... 171 3.4.6. Metoda tensiunilor ramurilor ......................................................... 173 3 .4. 7. Metoda analizei nodale modificate ................................................ 173

3.5. UTILIZAREA PROGRAMULUI SPICE PENTRU ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE ...................... 175

3.5.1. Introducere .................................................................................... 175 3 .5.2. Circuite rezisti ve lin iare i reciproce ............................................. 178 3.5 .3. Determinarea circuitelor echivalente

Thevenin/Norton cu SPICE ........................................................... 182 3.5.4. Analiza cu SPICE a circuitelor rezistive neliniare ......................... 184 3.5.5. Analiza cu SPICE a circuitelor rezistive nereciproce ................... 186

3.6. PROBLEME .......................................................................................... 189 BIBLIOGRAFIE ........................................................................................... 291

Cap. 4. ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIARE. ALGORITMI I TEHNICI DE CALCUL ............................................ 293

4.1. INTRODUCERE ................................................................................... 293 4.2. PASIVITATE I PASIVITATE LOCAL .......................................... .300 4.3. ANALIZA GRAFIC A CIRCUITELOR

NELINIARE REZI STIVE .................................................................... .304 4.4. METODA CARACTERISTICII DE SARCIN .................................. .307 4.5. METODA LINIARIZRII PE PORIUNI

A CARACTERISTICILOR .................................................................. 309 4.6. METODA MICILOR V ARIA II ......................................................... .31 O 4.7. ANALIZA NODAL A CIRCUITELOR

NELINIARE REZISTI VE .................................................................... .31 1 4.7.1. Formularea topologic a ecuaiilor nodale ................................... .312 4. 7.2. Metoda iterativ a punctului fix .................................................... .317 4.7.3. Algoritmul Newton-Raphson ........................................................ .321 4.7.4. Aplicarea algoritmului Newton-Raphson la rezolvarea ecuaiilor

nodale i circuitul echivalent discret asociat acestui algoritm ..... .327 4.8. METODA NODAL MODIFICAT ................................................. .333 4.9. ANALIZA HIBRID A CIRCUITELOR ELECTRICE

REZI STIVE NELINIARE .................................................................... .344 4.9 .1. Introducere ................................................................................... .344 4.9.2. Descrierea metodei hibride de analiz a circuitelor

rezistive neliniare ......................................................................... .345

A CIRCUITELOR ELECTRICE

4.9.3. Algoritmul Newton-Raphson pentru analiza circuitelor rezistive neliniare liniarizate pe poriuni ..................................... .355

4.9.4. Utilizarea algoritmului Katzenelson n analiza circuitelor rezistive neliniare liniarizate pe poriuni ....................................... 360

4.1 O. PROBLEME ........................................................................................ 365 BIBLIOGRAFIE ........................................................................................... 399

Cap. 5. FUNCII DE CIRCUIT ........................................................................ 405 5.1. UTILIZAREA FUNCIILOR DE CIRCUIT N ANALIZA

CIRCUITELOR ELECTRICE .............................................................. 405 5 .1.1. Semnal generalizat ......................................................................... 405 5 .1.2. Impedane i admitane generalizate ale

elementelor de circuit .................................................................... 40l 5 .1.3. Funcii de circuit .......................................................................... .408 5.1.4. Analiza circuitelor n domeniul s .................................................. .411

5.1.4.1. Zero urile i polii funciei de circuit (reea) ........................... .411 5.1.4.2. Determinarea rspunsului natural al circuitului

cu ajutorul funciei de reea .................................................. .412 5.1.4.3. Determinarea rspunsului de regim permanent

al circuitului cu ajutorul funciei de reea ............................. .416 5.1.4.4. Determinarea rspunsului complet al circuitului

cu ajutorul funciei de reea .................................................. .417 5 .1. 5. Funcia de circuit i transformata Lap la ce .................................... .418 5 .1.6. Interpretarea fizic a funciei de circuit.. ...................................... .420 5.1. 7. Metode de determinare a funciilor de circuit.. ............................. .421

5.2. METODE DE GENERARE SIMBOLIC A FUNCIILOR DE CIRCUIT ........................................................................................ 422

5.2.1. Introducere ..................................................................................... 422 5.2.2. O generalizare a formulelor topologice cu parametri

omogeni pentru generarea simbolic a funciilor de reea ............. 423 5.2.3. Algoritmi de determinare a factorului de semn ........................... .432

5.3. CALCULUL SENZITIVITAILOR CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE LINIARE .................................................. .436

5.3 .1. Introducere ..................................................................................... 436 5.3.2. Metoda circuitului incrementa1 ...................................................... 437 5.3.3. Metoda circuitului adjunct ............................................................. 443 5.3.4. Metoda funciilor de circuit n form simbolic .......................... .451

5.4. CALCULUL SENZITIVITILOR CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE NELINIARE ............................................... 453

5.5. PROBLEME ........................................................................................... 457 BIBLIOGRAFIE .......................................................................................... 474

ANEXA 1 P ACER - Program de Analiz a Circuitelor Electrice Rezistive ..... .4 77 ANEXA 2 PGFR - Program de Generare a Funciilor de Reea ....................... .493

PREFA

Societatea tehnologic se bazeaz dou elemente eseniale: energia i in-formaia. Domeniile legate de conversia, transmisia i utilizarea energiei in de ingineria sistemelor electrice de putere i de sistemele electromecanice, n timp ce problemele privind informaia, legate de reprezentare, manipulare, transmisie

i stocare, de discipline precum electronica analogic i digital, controlul automat, comunicaiile.

Teoria circuitelor este o disciplin fundamental n pregtirea studenilor n ingineria electric. Bazat pe legile aceast disciplin opereaz cu ab-

stractizri necesare viitorului inginer de profil electric a rezolva circuitele i la un conceptual nalt, undeva ntre i matematic.

su de fundamentare teoretic a ingineriei electrice i de nvare a tehnicilor practice de i proiectare a circuitelor, i confer un loc

nrFn--:.r''"''" studenilor

X TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE Deoarece n analiza simbolic sau numeric-simbolic a circuitelor electrice este

necesar cunoaterea tuturor arborilor grafului orientat al circuitului, n conti-nuare se expune un algoritm de generare a tuturor arborilor dintr-un graf.

Capitolul 3, "Circuite electrice rezistive liniare", este consacrat relaiilor de baz ale circuitelor rezistive liniare (legea lui Ohm generalizat, teoremele lui Kirchhoff, teorema conservrii puterilor, teorema superpoziiei, teorema recipro-

citii, teorema compensaiei, teorema variaiei curenilor, teorema lui Vratsano, teoremele de transfigurare, teoremele divizoarelor de tensiune i de curent, teorema generatoarelor echivalente, teorema transferului maxim de putere i

relaiile ntre mrimile unui dipol). Sunt prezentate detaliat cele mai eficiente metode i algoritmi de analiz a circuitelor electrice rezistive liniare, cum sunt: metoda general de analiz, metoda curenilor' de bucl, metoda potenialelor no-durilor, metoda nodal modificat, metoda curenilor coardelor, metoda tensiu-nilor ramurilor, utilizarea grafurilor de curent i de tensiune n analiza circuitelor rezistive liniare nereciproce. n acest capitol este expus de asemenea modul de utilizare a programului PSPICE n analiza circuitelor electrice rezistive.

n capitolul 4, "Analiza circuitelor rezistive neliniare: Algoritmi i tehnici de calcul", sunt prezentate conceptele de baz i metodele de analiz specifice circuitelor electrice rezistive neliniare. Se introduc noiunile de pasivitate i pasivitate local i sunt expuse, pe lng unele metode clasice de analiz (analiza

grafic, metoda caracteristicii de sarcin, metoda liniarizrii pe poriuni i metoda micilor variaii), cele mai eficiente dintre metodele utilizate n prezent: analiza nodal, analiza nodal modificat i analiza hibrid (cu algoritmii de calcul Newton-Raphson i Katzenelson n cazulliniarizrii pe poriuni a caracte-risticilor elementelor neliniare ).

n ultimul capitol, intitulat "Funcii de circuit", se prezint o metod unitar de studiu a rspunsului circuitelor la diverse excitaii, utiliznd funciile de cir-cuit (reea), o metod de generare simbolic a funciilor de reea, precum i cele mai folosite metode de calcul al senzitivitilor circuitelor electrice rezistive (metoda circuitului incremental, metoda circuitului adjunct i metoda funciilor de circuit).

n anexele 1 i 2 sunt expuse un program de analiz a circuitelor electrice rezistive i un program de generare simbolic sau parial simbolic a funciilor de circuit.

Pentru ilustrarea tehnicilor i metodelor de analiz prezentate n lucrare, n afara primului capitol, toate celelalte capitole cuprind, pe lng numeroase i variate exemple expuse n text, paragrafe speciale de probleme. n marea lor majoritate, aceste probleme au rezolvri complete, unele n mai multe variante, cu comentarii i comparaii ntre metode. O serie de probleme nsoite de rspunsuri sunt propuse cititorului spre rezolvare. Din motive didactice, problemele sunt prezentate ntr-o ordine logic, de la simplu la complex, i acoper o palet

larg de tipuri de circuite electrice i electronice, care urmresc s suscite interesul i motivaia cititorului n abordarea teoriei circuitelor electrice, ntr-un

Prefa XI spirit ingineresc, specific analizei asistat de calculator n proiectarea circuitelor electrice.

Rod al experienei didactice precum i al activitii de cercetare a celor doi autori n domeniul teoriei circuitelor electrice, lucrarea este astfel conceput nct s pregteasc cititorul pentru utilizarea calculatorului n analiza circuitelor electrice i structurilor neelectrice echivalente din punct de vedere matematic, n vederea optimizrii soluiei de proiectare a acestora, acordnd o atenie special

prezentrii algoritmilor i tehnicilor de calcul. Lucrarea prezint nu numai stadiul actual al metodelor de analiz a circuitelor

electrice, dar include i importante contribuii originale ale autorilor, unele pre-zentate pentru prima dat aici, precum i numeroase rezultate de prestigiu ale

cercetrilor specialitilor colii electrotehnice romneti. De nivel superior, lucrarea se adreseaz studenilor, doctoranzilor, inginerilor cercettori i proiectani, tuturor celor care doresc s-i nsueasc i s apro-fundeze cele mai moderne metode de analiz i proiectare asistat de calculator a circuitelor electrice, i va fi urmat de un al doilea volum, dedicat celorlalte tipuri i regimuri de funcionare ale circuitelor electrice.

Autorii

CAPITOLUL 1 .., " CONCEPTE DE BAZA IN

CIRCUITELOR ELECTRICE

1. SEMNALE ELECTRICE

Semnalele electrice sunt elemente de baz ale teoriei circuitelor electri-ce, purttoare de energie i informaie. O caracteristic important a unui semnalelectric este modul de variaie a acestuia n timp. Notnd cu xs(t) valoarea instantanee a unui semnal (valoarea semnalului la momentul t), vom face o clasificare a celor mai utilizate semnale electrice n aplicaiile tehnice, n funcie de modul cum variaz n timp aceast mrime.

1. Semnale continue (semnale de curent -" .. ''HAA Semnalele continue se caracterizeaz prin faptul c valoarea lor rmne constant n timp (fig.l.l,a), deci:

X (t) =X S S' (1.1)

unde X 5 poate fi pozitiv sau negativ. Pentru a putea fi identificate cu uurin, mrimile electrice caracteristice acestor semnale se noteaz cu litere mari: U, V, I.

2. Funcia

pentru t

2 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE ----------------------

Xs Xs -+----

o a.

Xmr---....

o

3. Impulsul

I

c.

t

o

Fig.1.1

Xs

Xmr-----

o

b.

T

d.

t

Dac n cazul anterior la momentul t = 1j semnalul se anuleaz, adic:

{

xs(t) =O, pentru t Ti

se obine semnalul de tip impuls, reprezentat n figura 1.1 ,c.

(1.3)

Xm se numete amplitudinea irnp'o.ilsului, iar I;- durata impulsului. O secven de impulsuri repetate periodic ( fig.l.l, d) se numete tren

de impulsuri.

4. Semnale periodice

Un semnal a crui succesiune de valori se reproduce, n aceeai ordine, la fiecare T secunde se numete semnal periodic cu perioada T. Valoarea semnalului satisface ecuaia:

__________ C_o_n_ce.J.p_t_e_d_e_b_a_za_~ _I_l ''- :~ria circuitelor electrice 3 xs(t)=xs(t.n '), (1.4)

pentru orice t i n = 1,2,3, .... Din aceast categorie fac parte !''~mnalele sinusoidale (fig.1.2,a),

rectangulare (fig.1.2,b ), triunghiul arc (fig.1.2,c ), dini de fierstru (fig.1.2,d).

Numrul de cicluri de oscilaii ei\'Ctuate ntr-o secund se numete frecven i se msoar n hertzi [Hz] Prin definiie deci:

1 .! . r (1.5)

Din relaia (1.5) rezult c un sen 1al de curent continuu poate fi privit ca un semnal periodic cu T ~ oo , ad ; f = O.

n cazul semnalelor periodice se eL inete valoarea medie pe o perioa-d a semnalului:

1 Il +T Xmed = T f xs(t)dt,

tl

care este independent de t 1

5. Semnale sinusoidale (semnale de curent alternativ)

(1.6)

Un semnal periodic a crui valoare medie pe o perioad este nul se nu-mete semnal alternativ. Un semnal alternativ a crui expresie instan-tanee se reprezint cu ajutorul funciei sinus se numete semnal sinu-soidal sau semnal de curent alternativ. Un astfel de semnal este cel din figura 1.2,a, care alterneaz sinusoidal ntre valorile extreme + xm i - xm, iar valoarea Xm se numete amplitudine sau valoare de vrf (valoarea instantanee maxim pe o perioad) a undei sinusoidale. Din punct de vedere energetic, semnalul se caracterizeaz prin mrimea numit valoare

efectiv, definit prin relaia: (1.7)

Un semnal de curent alternativ se reprezint sub forma:

xsCt) = xm sin2nfl = Jix sinwt, (1,.8)

4 TEORJA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE unde w = 2nf se numete pulsaie a mrimii alternative i se msoar n rad/s.

x,

- Xm r-- r-

-Tf.l o t

-Xm

a. b.

Xm ---

c. d.

de baz fn teoria circuitelor electrice Semnalele cu dou valori (O sau Xm) de tipul trenului de impulsuri, se

numesc semnale Sistemele electrice care opereaz cu astfel de semnale se numesc

cuite digitale. n cadrul acestei clase de circuite un rol de prim impor-tan l au calculatoarele electronice.

Avantajul major al reprezentrii informaiei n form discret (n parti-cular binar) const n faptul c semnalele digitale sunt mult mai uor de generat, procesat, transmis i stocat dect semnalele analogice.

Regimurile circuitelor electrice se pot studia cu ajutoml ecuaiilor cu pariale ale cmpului electromagnetic (ecuaiile Maxwell) n

"'""""''"'"'elementelor concentrai

6 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE und cea mai mic, A, care intervine n semnalul electric. Astfel, n cir-cuitele electrice cu parametri concentrai, curentul electric se stabilete instantaneu, efectul de propagare fiind neglijabil. Considernd un conduc-tor de lungime l parcurs de curentul

(1.9)

unde x este variabila spaial, c este viteza de propagare a undei electro-magnetice (egal cu viteza luminii), iar f- frecvena, dac

2rif ~

Concepte de baz n teoria circuitelor electrice 7

ptrundere a undelor electromagnetice n mediul conductor caracterizat prin conductivitatea a i permeabilitatea t .

1.2.2. Mrimi i relaii fundamentale pentru teoria circuitelor electrice

n acest paragraf se vor prezenta relaii ale teoriei cmpului electromagnetic pentru regimul cvasistaionar, utilizate n teoria circuitelor electrice:

- tensiunea electric u = J E ds , cu formele particulare: c

tensiunea n lungul firului ur - cnd curba C pe care se face integra-rea este luat n lungul axei unui fir conductor;

tensiunea la borne ub - cnd curba C este luat ntre dou bome de acces;

tensiunea condensatorului uc - cnd curba C este luat ntre armturi, prin dielectric.

Sensul de referin al tensiunii coincide cu sensul elementului de arc ds. -tensiunea electromotoare de contur e1 = f(E +Ei )ds , cu formele

r particulare:

t.e.m. imprimat ei -cnd E =O; t.e.m. inclus e -cnd~= O. Sensul de referin al t.e.m. coincide cu sensul elementului de arc ds. - intensitatea curentului de conducie i = J lnsdA .

s Sensul de referin al curentului coincide cu sensul versorului normal ei ns . - sarcina electric q a armturii condensatorului de la care pornete

curba C pe care este definit uc; - fluxul magnetic al bob inei,


- legea conservrii sarcinii electrice ir, = - ~r; -teorema continuitii curentului de conducie ir, =O; - teorema capacitii electrice q = Cu6 -relaiile lui Maxwell referitoare la inductiviti

de baz n teoria circuitelor electrice

elemente neliniare invariabile fn timp:

f(x(t),y(t)) =O. (1.15)

elemente neliniare variabile n timp:

g(x(t),y(t),t) =O. (1.16)

Un element de circuit este caracterizat printr-o relaie ntre curentul i tensiunea la bornele sale. Independent de natura perechii de mrimi (x,y), tensiunea u(t) i intensitatea curentului i(t) sunt univoc determinate la bornele elementului de circuit i produsul lor:

p(t) = u(t)i(t) (1.17)

se numete putere instantanee, iar integrala n raport cu timpul a puterii instantanee pe intervalul (tpt2 ) se numete energie electric

t2

w = f p(t)dt. (1.18) t,

Din punctul de vedere al valorilor puterii instantanee, elementele de circuit pot fi clasificate n dou categorii:

elemente de circuit pasive, pentru care n orice punct al caracteristicii de funcionare p > O, ceea ce nseamn c elementul de circuit primete putere pe la bome;

elemente de circuit active (sau surse), pentru care cel puin ntr-un punct al caracteristicii de funcionare p

1 0 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE

i(t)=i(u(t),t). (1.20)

Ecuaia caracteristic a rezistorului se determin plecnd de la teoria cmpului electromagnetic, n urmtoarele ipoteze (care selecteaz proprie-tatea esenial): rezistorul este un fir conductor, care fiind parcurs de un curent electric de conducie degaj cldur datorit efectului electrocaloric ( R -:t O), nu produce cmp magnetic ( O este rezistena elementului msurat, n ohmi [ .Q] i G > O este conductana acestuia, msurat n siemens [S].


R R

a. b. c. Fig.l.S

Ecuaiile (1.25) i (1.26) reprezint n planul (u,i) o dreapt ce trece prin origine (fig.l.6,a); ca urmare, tensiunea i curentul au aceeai fom1 de variaie n timp. nmulind ecuaia (1.25) cu i(t) sau (1.26) cu u(t) se

obine puterea instantanee primit pe la bome de rezistor:

p(t) = u(t)i(t) = Ri 2 (t) = Gu2 (t). (1.27)

Indiferent de sensul de referin al tensiunii sau curentului, p > O i corespunde efectului electrocaloric de transformare ireversibil a energiei electrice n cldur.

Dac R =O (G ~ oo) ecuaia (1.25) devine:

u(t) =O (1.28)

i elementul se numete scurtcircuit (fig. 1.6,b ).

Dac R -t oo (G =O) ecuaia (1.26) devine:

i(t) =o (1.29)

i elementul se numete circuit deschis sau latur n gol (fig.1.6,c ).

u u u

i =o

U=O

a. b. c. Fig. 1.6

A CIRCUITELOR ELECTRICE

liniar variabil n timp (parametric), are ecuaia carac-teristic

u(t) = R(t)i(t), (1.30)

unde R(t) se numete rezisten parametric. Simbolul lui este reprezentat n figura 1.5,b.

Un exemplu de astfel de element de circuit este poteniometrul. Caracteristicile (1.30) reprezint in planul (u, i) o familie de drepte ce

trec prin origine (fig. L 7), deci forma de variaie in timp a tensiunii este diferit de cea a curentului. Acest tip de element poate fi folosit la modelarea unui contactor real (fig.l.8), cu ajutorul unui contactor ideal i a dou rezistoare liniare i invariabile in timp, R1 de valoare foarte mare i R2 de valoare foarte mic.

Ecuaia caracteristic a rezistorului neliniar invariabil fn timp este:

J(u(t),i(t)) = (1.31) a celui timp

g(u(t),i(t),t) = (1


rezistoare neliniare controlate n tensiune, avnd ecuaia caracteristic (fig.l.9,a) de forma

i(t)=t(u(t)) sau i=t(u); (1.33)

rezistoare neliniare controlate n curent, avnd ecuaia caracteristic (fig.l.9,b) de forma

u(t) = u(i( t)) sau u = u(i) . (1.34) Un rezistor neliniar caracterizat de faptul c pentru orice tensiune u dat

(curent i dat) curentul i (tensiunea u) este unic specificat (specificat) se numete rezistor neliniar controlat n tensiune (curent).

u

u

a. b. Fig.1.9

Din categoria rezistoarelor neliniare simetrice fac parte: tubul cu fir incandescent i termistorul, a cror rezisten variaz cu temperatura, varistorul a crui caracteristic este controlat n tensiune i dioda cu gaz, avnd caracteristica controlat n curent.

Dioda cu jonciune, dioda Zener i dioda tunel sunt rezistoare neliniare nesimetrice cu caracteristic controlat n tensiune. Un alt exemplu este arcul electric n curent continuu i n curent alternativ, care poate fi modelat printr-un rezistor neliniar variabil n timp.

1.2.4.2. Bobina

Bobina necuplat magnetic are ecuaia de funcionare de forma

cp(t) = cp(i(t), t)' (1.35) numit caracteristic flux-curent.

14 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE Ecuaia caracteristic explicit se obine

pe baza relaiilor din teoria cmpului electro-magnetic i a urmtoarelor ipoteze care selec-

teaz proprietatea esenial: bobina este reali-zat dintr-un fir conductor care, fiind parcurs de un curent electric produce cmp magnetic (


Dac rezistena bobinei este nenul (R 'f: 0), ecuaia (1.38) pentru bobina real (fig.l.11) capt forma:

(1.40)

unde uR se numete cdere de tensiune rezistiv, iar uL- cdere de tensiune inductiv.

a. b. c. Fig.1.12

a) Bobina liniar, invariabil n timp i necuplat magnetic, cu simbolul din figura 1.12,a, are ecuaia caracteristic

O este inductivitatea msurat n henry [H], constant pentru o anumit bobin.

Fig. 1.13

n planul (

16 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE Integrnd ecuaia (1.42) pe intervalul (O,t+dt) i scznd apoi membru

cu membru ecuaia (1.43), se obine:

1 t+dt i(t + dt)- i(t) = L J u(t')dt'. (1.44)

t

Dac tensiunea este mrginit, u(t) < U n intervalul [O,T], atunci integrala din (1.44) tinde ctre zero cnd dt -t O, i deci se anuleaz i membrul stng al acestei ecuaii. Altfel spus, n aceste circumstane curentul prin bobin este uniform continuu n intervalul (0, T). El nu poate avea un salt brusc de la o valoare finit la o alt valoare finit.

Bobina liniar invariabil n timp i necuplat magnetic este complet caracterizat de inductivitatea proprie L i de intensitatea curentului n momentul iniial i(O). Proprietile de continuitate ale fluxului magnetic i curentului electric prin bobin vor fi utilizate n studiul regimului tranzitoriu.

nmulind ecuaia (1.42) cu idt' i integrnd pe intervalul (0, t) n condiia i(O) =O, se obine energia~~ acumulat n cmpul magnetic al bobinei:

a crei valoare este pozitiv.

b) Bobina liniar, variabil n timp (parametric) i necuplat magnetic, are simbolul din figura 1.12,b i ecuaia caracteristic

cp(t) = L(t)i(t), (1.46)

unde L(t) se numete inductivitate parametric. innd seama de ecuaia (1.46), ecuaia (1.38) conduce la

u(t) = L(t) ~; +i(t) 'Y;. (1.47) Primul tem1en din membrul drept se numete cdere de tensiune inductiv

prin pulsaie, iar al doilea - cdere de tensiune inductiv parametric.


n planul (

18 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE d} Bobine cuplate magnetic

Se spune c o bobin s parcurs de curentul i5 este cuplat magnetic cu alte (l-1) bobine dac fluxul magnetic


nmulind ecuaia (1.53) cu i8 dt' i integrnd pe intervalul (0, t) n ipoteza i(O) = O, se obine expresia energiei magnetice nmagazinate n bobina s:

t 1 l Wms = f usisdt'= 2 L/} + L

o k=l k-.s

(1.54)

Primul termen din membrul drept se numete energie magnetic pro-prie i este strict pozitiv, iar al doilea se numete energie magnetic mu-

tual i poate fi pozitiv sau negativ. Energia magnetic total a sistemului de l bobine cuplate magnetic are

expresia l i

~~ = LLskfi~di~. (1.55) k,s=l O

n cazul particular a dou bobine cuplate magnetic, se obine

(1.56)

unde primul i al doilea termen reprezint energia magnetic nmagazinat n prima, respectiv a doua bobin, iar ultimul termen reprezint energia

magnetic de interaciune.

1.2.4.3. Condensatorul

Are ecuaia caracteristic sarcin-tensiune sau tensiune-sarcin

q(t) = q(u(t),t), (1.57) respectiv

u(t) = u(q(t),t). (1.58)

Asemenea celorlaltor dou elemente de circuit, condensatorul ideal poate fi studiat cu ajutorul legilor cmpului electromagnetic i al ipoteze-lor de idealizare potrivit crora condensatorul este un sistem de conduc-toare, care fiind parcurs de un curent electric de conducie p"ate ar1~~:'la

sarcin electric (q :t 0), dar nu degaj cldur (R = 0), nu produce cmp magnetic (

20 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE

Fig.1.15

Aplicnd legea induciei electromag-netice pe curba f (fig.l.15) n ipotezele asu-mate se obine

d

sau

21

al crui simbol este re-1.16,a, are ecuaia caracteristic (constitutiv)

q(t) = Cu(t), (1.64)

u(t) = Sq(t), (1.65)

unde C >O se numete capacitate i se msoar n farazi [F], iar S = 1/C se numete elastan i se msoar n [F]-1.

n planul (q, u) ecuaia (1.64) reprezin-q t o dreapt ce trece ongme

1.17), deci sarcina electric i nea au aceeai form de variaie n timp.

innd seama (1.64), ecuaia u (1.62) devine

i(t) = du (1.66)

care (0, t) conduce

1 o ) u(O) = C )dt'. (1.67)

liniar i invariabil este VV'-"'-'''"'" capacitatea C i de tensiunea iniial u(O).

nmulind ecuaia .66) cu udt' i integrnd pe intervalul (0, t) ipoteza u(O) = O, se obine acumulat n electric al vv>.1'-'"''r satomlui acest interval

t

~ = J u(t')i(t') o

u 1 2 1 ., 1 =-Cu (t) == -q-(t) = -q(t)u(t) (1.68)

2 2C 2 ' o

a crei valoare este Printr-o demonstraie similar pentm prin bobin, se

poate arta c dac intensitatea curentului condensator este mrginit, i(t) < 1 [0,1], tensiunea electric la bornele condensa-torului variaz continuu n intervalul (0,1). Altfel la bor-

22 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE nele unui condensator liniar invariabil n timp nu poate varia brusc de la o valoare finit la o alt valoare finit.

Proprietatea de continuitate a sarcinii electrice i a tensiunii la bornele condensatorului va fi folosit n studiul regimului tranzitoriu.

b) Condensatorul liniar variabil n timp (parametric) are ecuaia caracteristic

q(t) = C(t)u(t), (1.69)

unde C(t) se numete capacitate parametric. Simbolul grafic al acestui element de circuit este prezentat n figura 1.16,b.

Din relaia (1.62), innd seama de (1.69), se obine

i(t) = C(t) ~~ + u(t) ~;. (1.70) Primul termen din membrul drept se numete component de pulsaie a

curentului, iar al doilea - component parametric. n planul (q, u) ecuaia (1.69) definete o familie de drepte ce trec prin

origine, deci curbele de variaie ale tensiunii i sarcinii electrice sunt diferite.

Un exemplu de condensator liniar variabil n timp este condensatorul cu armtur vibrant.

c) Condensatorul neliniar

q

u

Fig.1.18

Condensatoarele reale au caracteristica q(u) neliniar (n general variabil n timp), de forma

J(q(t),u(t),t) =O, (1.71)

reprezentat printr-o curb de histerezis (fig. 1.18).

Ca i la bobina cu miez feromagnetic, condensatorul neliniar poate fi modelat ca element de circuit, aproximnd caracteristica

sarcin-tensiune prin segmente dreapt.


1.2.5. Elemente de circuit active

1.2.5.1. Surse independente

Sursele independente sunt elemente de circuit care modeleaz genera-toarele de semnal. Ele se numesc independente pentru c mrimea care le

caracterizeaz (t.e.m. sau intensitatea curentului electric) este indepen-dent de mrimile electrice din restul circuitului. n continuare vom intro-duce cele dou tipuri }le surse independente din teoria circuitelor electrice: sursa independent de tensiune i sursa independent de curent.

1. Sursa ideal independent de tensiune este un element activ avnd simbolul din figura 1.19,a i urmtoarea ecuaie caracteristic (scris pen-tru sensurile de referin adoptate):

u(t) = e(t), Vi. (1.72)

Ecuaia (1.72) poate fi dedus pe baza teoriei cmpului electromag-netic. Astfel, n ipotezele de idealizare, sursa ideal de tensiune este un element care, fiind parcurs de un curent electric de conducie, transform energia electromagnetic n alte forme dect energie electric sau mag-netic (ei =1= 0), nu degaj cldur (R = 0), nu produce cmp magnetic (

24 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE Cum legea conduciei electrice n acest caz conduce la

(1.74)

nlocuind n relaia ( 1. 73 ), se obine:

(1.75) adic relaia (1.72).

n planul (u, i) caracteristica de funcionare este o dreapt paralel cu axa curentului (fig.1.19,b). Din ecuaia (1.72) rezult c sursa indepen-dent de tensiune este un caz particular de rezistor neliniar controlat n curent, caracterizat de faptul c pentru orice curent dat, tensiunea este unic specificat.

A

' r ./ -...... /

------

u

/

Dac e(t) =O, caracteristica (1.72) ia forma (1.28) i sursa ideal indepen-dent de tensiune devine un scurtcircuit (R = 0), proprietate important n ca-drul teoriei circuitelor electrice, folosit pentru pasivizarea acestor surse.

Semnificaia fizic a definiiei sur-sei ideale independente de tensiune este c circuitul conectat la bornele sursei nu influeneaz forma de und a tensiunii ci numai curentul care circul prin surs.

Cu sensurile de referin din figura 1.19 ,a, puterea cedat de surs cir-cuitului extern este:

p(t) = u(t)i(t) = e(t)i(t). (1.76)

Dac elementul de circuit degaj cldur prin efect electrocaloric (R =1- 0), reprezentarea lui este cea din figura 1.2l,a, iar ecuaia de funcionare este:

u

e,R

o ~ 8 o ~

u

a. b.


u= e-Ri. (1.77)

Un astfel de element se numete surs real de tensiune. Caracteristica de funcionare (1.77) este o dreapt care nu trece prin origine (fig. 1.2l,b).

nmulind relaia (1.77) cu i(t), se obine puterea electric cedat la borne de surs:

p(t) = u(t)i(t) = e(t)i(t)-Ri2(t). (1.78)

Relaia (1.72) arat c nu putem conecta n paralel (ntre aceleai borne) surse ideale tensiune cu valori diferite ale tensiunilor electromotoare.

curent

O surs de energie electromagnetic avnd proprietatea de a debita un curent j(t) independent de reeaua conectat la bornele ei se numete ge-nerator ideal de curent.

Semnificaia fizic a definiiei sursei ideale independente de curent este c, de data aceasta, este prescris curba de variaie a curentului sursei. nu este influenat de tensiunea la borne determinat de circuitul extem, astfel nct ecuaia caracteristic a elementului este:

i(t) = j(t), Vu, (1.79)

iar simbolul este cel din figura 1.22,a. n planul (u,i) caracteristica este o dreapt paralel cu axa tensiunii (fig.

1.22,b). Sursa independent de curent este un caz particular de rczistor neliniar

controlat tensiune, deoarece, conform ecuaiei caracteristice, pentru orice tensiune curentul este unic specificat.

u

j(t)

a. b.

26 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE Dac j(t) =O, caracteristica se reprezint pe axa tensiunii i sursa ideal independent de curent devine o latur deschis ( R -t oo) , proprie-tate de asemenea important n cadrul teoriei circuitelor electrice, legat de pasivizarea acestor surse.

Pentru sensurile de referin adoptate n figura 1.22,a, puterea cedat de surs circuitului extern este

p(t) = u(t)i(t) = u(t)j(t). (1.80)

Schema echivalent a unei surse reale de curent este prezentat n figura 1.23,a, iar ecuaia de funcionare este:

Caracteristica de funcionare este o dreapt care nu trece prin origine (fig. 1.23 ,b ). nmulind relaia ( 1. 81) cu u(t) se obine puterea electric ce-

dat la bome de surs:

p(t) = u(t)i(t) = u(t)j(t)- Gu2(t). (1.82)

Relaia (1.79) arat c nu putem conecta n serie (pe aceeai latur) surse de curent cu valori diferite ale curenilor injectai.

1.2.5.2. Surse comandate

Anumite elemente de circuit cu dou perechi de bome sunt extrem de importante pentru modelarea i punerea n eviden a proprietilor speci-fice ale unor dispozitive. Cele mai importante dintre acestea sunt: sursele liniare comandate, transformatorul ideal, giratorul i sistemul de dou bo-bine ideale cuplate magnetic. Toate sunt elemente liniare de circuit i sunt

caracterizate de cele patru variabile ale celor dou perechi de bome (pori): u1,i1,u2 ,i2 Dup felul n care se modeleaz, ele se numesc elemente de circuit diport.

Spre deosebire de sursele independente prezentate mai sus, care sunt folosite ca mrimi de intrare (excitaie) ale unui circuit, sursele liniare co-mandate sunt utilizate pentru modelarea unor dispozitive electrice de pu-tere sau electronice, de interes practic deosebit.

O surs comandat este un element de circuit constituit din dou laturi: o latur de comand, care este fie un scurtcircuit, fie o latur deschis, i o latur comandat, care este fie o surs de tensiune, fie o surs de curent (fig.l.24).

Fig. 1.24

Forma undei de tensiune sau de curent a sursei este comandat de cu-rentul sau tensiunea din latura de comand.

Exist deci patru tipuri de surse comandate, care se pot clasifica n dou categorii:

- surse neomogene: 1. sursa de tensiune comandat n curent ee(ic); 2. sursa de curent comandat n tensiune ie ( Uc). - surse omogene: 3. sursa de tensiune comandat n tensiune ee ( uc); 4. sursa de curent comandat n curent ie(ic). Toate aceste tipuri de surse comandate pot fi realizate fizic, cu o bun aproximaie, cu ajutorul amplificatoarelor operaionale.

Fiecare surs liniar comandat este caracterizat de dou ecuaii liniare, corespunztoare celor dou laturi:

Tipul sursei comandate 1 T a de comand Latura comandat ee(ic) uc =0 ee= Recic jJuc) ic =O ie = GecUc ee(uc) ic =O ee= AecUc Je(ic) uc =0 ie = Becic


unde Rcc se numete rezisten de transfer (sau transrezisten), Gcc se numete conductan transfer (sau transconductan), Ace este facto-

de amplificare (sau amplificarea) tensiune, iar Bec - factorul de (sau amplificarea) n curent. Dac aceste patru mrimi sunt constante, cele patru surse comandate

sunt elemente de circuit liniare invariante n timp. Dac o surs ec(uc) (jc(ic)) este caracterizat de ecuaiile i1 =O,

u2 = A(t)ul ( u1 = O, i2 = B(t)i1), unde funcia de timp este dat, atunci sursa ec(uc) (jc(ic)) este o surs liniar variabil i'n timp comandat.

cazul general, ns, dac o surs ee (ic) (j c ( uc)) este caracterizat de ecuaiile u1 =0, =f(il) (i1 =0, i2 =J(u1)) f(e) esteofunciene-liniar dat,

Sursele neliniare comandate sunt generalizri ale celor patru surse liniare comandate prezentate mai sus. n consecin, pentru caracterizarea lor se folosesc aceleai simboluri ale tensiunii la bome i curentului, definite ca funcii neliniare de variabile comand.

Deoarece programele de calcul nu pot recunoate sursele comandate neliniare, fiecare dintre aceste elemente este reprezentat prin cte dou circuite echivalente realizate numai cu rezistoare neliniare comandate (n curent sau n tensiune) i surse comandate liniare ( fig.l.25).

Uy=-tf(iy)

Uz=-+ fi iz)

iy = f Huyl i=- ft1u21

1

i1=0

~ iy

9iy 1\ )uy

iJ"l

1

de baz fn teoria circuitelor electrice

~J')uz i)uy iy=tf(uy)

iz=-t f(uz)

Uy=tf{iy)

Uz=- t Hiz)

Fig. 1.25

Pentru a nelege rolul unei surse comandate ntr-un circuit, este util s privim aceast surs ca o generalizare a conceptului de rezisten. Astfel, n timp ce o rezisten impune o relaie ntre tensiunea i curentul aceleiai laturi, o surs comandat impune o relaie ntre diferite laturi ale unui circuit.

Vom prezenta n continuare unele proprieti i aplicaii de baz ale surselor comandate.

O proprietate remarcabil a surselor comandate este transformarea rezis-tenei. Pentru a nelege aceast proprietate s studiem rezistena echivalent a unui circuit coninnd numai o rezisten i o surs comandat (fig. 1.26,a). O astfel de surs nu poate genera ea nsi curent i tensiune ntr-un circuit, pentru aceasta fiind nevoie de o surs independent care s creeze semnalul de comand, la care sursa comandat va rspunde cu propriul semnal. Ca urmare se aplic circuitului sursa (testul) de tensiune U (fig. 1.26,b) i se studiaz raportul dintre aceast tensiune i curentul rezultat:

1 R

u

a. b. Fig.1.26

30 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE U U R

Re=y= U-kU l-k (l.S3) R

n funcie de valorile lui k, rezistena echivalent Re a circuitului poate lua o infinitate de valori, inclusiv negative i oo. Aceasta se datoreaz prezenei sursei comandate, care afecteaz cderea de tensiune pe R i deci i valoarea curentului, modificnd astfel valoarea rezistenei aparente a circuitului.

Pentru a studia acest efect, s examinm regimul circuitului pentru diferite valori ale lui k:

1) k = O. Sursa comandat se comport ca un scurtcircuit i Re = R. 2) O :::; k :::; 1. Cderea de tensiune efectiv pe R este mai mic dect

tensiunea aplicat circuitului, conducnd la scderea curentului i deci la creterea rezistenei aparente, astfel nct R :::; Re :::; oo. Aceast proprietate este folosit ntr-o clas larg de amplificatoare cunoscute ca amplificatoare cu reacie negativ, pentru a crete rezistena efectiv a uneia sau a ambelor pori.

3) k:::; O. n aceast situaie, sursa comandat are polaritate opus sursei independente aplicate circuitului, astfel nct cderea efectiv de tensiune pe R este mai mare dect valoarea tensiunii aplicate. Aceasta determin o cretere a valorii curentului i deci o scdere a rezistenei aparente, O :::; Re S: R. Proprie-tatea este folosit n amplificatoarele cu reacie negativ, pentru a reduce rezistena efectiv a uneia sau a ambelor pori.

4) k > 1. Deoarece valoarea sursei comandate este mai mare dect a sur-sei aplicate, are loc o schimbare a sensului curentului, ceea ce conduce la un regim cu rezisten negativ: Re< O.

Dac n cazul rezistenei pozitive sursa aplicat genereaz putere, n ca-zul rezistenei negative ea primete putere. Acest regim este folosit ntr-o clas larg de amplificatoare, cunoscute ca amplificatoare cu reacie pozi-tiv, i st la baza circuitelor regenerative, cum sunt oscilatoarele, triggerele Schmitt i flip-flopsurile.

O aplicaie extrem de important a surselor comandate const n modelarea unor dispozitive de interes . practic deosebit, pe care le vom prezenta n continuare.

1.2.6. Elemente de circuit speciale

1.2.6.1. Transformatorul ideal

Transformatorul electric ideal este un element de circuit rezistiv ideal cu dou perechi de bome (pori). nfurarea primar joac rolul porii de intrare, iar nfurarea secundar. pe cel al porii de ieire.


n aplicaiile din sistemele de putere, porii de intrare i se aplic o ten-siune sinusoidal, n aplicaiile audio un semnal audio, iar n aplicaiile din sfera comunicaiilor i controlului un tren de impulsuri.

n figura 1.27 este prezentat simbolul unui transformator (a) i modela-rea acestuia cu ajutorul surselor comandate (b ).

a. b.

c.

Fig. 1.27

ntre mrimile celor dou pori exist relaiile:

(1.84) I

(1.85)

unde k = N1 1 N2 se numete raport de transformare (raportul numrului de spire al celor dou nfurri- primar i secundar).

Modelarea transformatorului se bazeaz pe urmtoarele observaii: - faptul c ~ satisface relaia (1.84), independent de sarcin (i2 ), suge-reaz c nfurarea secundar poate fi modelat printr-o surs de tensiune comandat n tensiune;

-faptul c i1 depinde de sarcin dup relaia (1.85), independent de sur-sa de excitaie ( u1), sugereaz c nfurarea primar poate fi mode lat printr-o surs de curent comandat n curent.

Prelucrnd relaiile (1.84) i (1.85) obinem:


R -!i- (1/ k)t~ _j_R 1 - ii - kiz - kz 2 . (1.86)

Relaia (1.86) arat c rezistena secundar R2 apare n primar ca o re-zisten echivalent R1 = R2 1 k 2 (fig. 1.27,c), numit i rezisten secunda-r raportat la primar.

Cum din ecuaia (1.86) se poate exprima i relaia invers R2 = k 2 R1, rezult c transfonnarea rezistenei se aplic n ambele direcii.

Prin urmare, n paralel cu transformarea curentului i tensiunii, se poate gpune c transformatorul electric (fig. 1.28,a) realizeaz i o transformare a rezistenei, astfel nct pe baza relaiilor (1.84) i (1.86) se obine schema

echivalent din figura 1.28,b.

e e

a. b. Fig. 1.28

Observatii '

1. Aceast transformare se aplic de asemenea inductivitii i capa-citii, ntr-un cuvnt impedanei;

2. Transformatorul ideal nici nu disip, nici nu stocheaz energie. El ce-deaz bornele secundare o putere egal cu cea primit pe la bornele pnmare

(1.87)

1.2.6.2. Gyratorul

Este un element ideal diport cu simbolul prezentat n figura 1.29,a, caracterizat de ecuaiile

(1.88)

(1.89)

a. b. c.

unde G = ct. se numete conductana gyratorului. Ca i transformatorul ideal, gyratorul ideal este un element neenergetic.

Proprietatea fundamental a unui gyrator ideal este dat ecuaia:

( 1.90)

Interpretnd relaia (1.90) rezult c atunci cnd un gyrator are la poarta de ieire conectat o rezisten Rz liniar, poarta de intrare se comport ca un rezistor liniar cu rezistena Gz 1 Gz.

Dac la poarta de ieire este conectat un condensator, poarta de intrare se comport ca o bobin. urmare, gyratorul este un element util proiectarea filtrelor fr bobine.

O alt proprietate a gyratorului este c dac la poarta sa de ieire este conectat un rezistor controlat n curent, adic uz = f (-iz), atunci poarta de intrare devine un rezistor controlat n tensiune, deoarece, dac G = 1, din (1.88) i (1.89) rezult

(1.91)

Gyratoarele fizice care aproximeaz proprietile gyratorului ideal frecvene joase de funcionare (sub 10 kHz) sunt disponibile sub modulelor de circuite integrate.

Modelele gyratorului ideal cu surse comandate de curent sau cu surse comandate de tensiune sunt reprezentate n figura 1.29 ,b, respectiv c.

1.2.

Un amplificator operaional este un amplificator cu ctig (amplificare) nalt o structur constituit

34 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE nente electronice de circuit (tranzistoare i diode), n form capsulat, avnd mai multe terminale (bome) care pot fi conectate la alte componente externe.

Amplificatorul operaional ideal al crui simbol este prezentat n figura 1.30,a, iar modelul de circuit n figura 1.30,b, se caracterizeaz prin rezisten de intrare 'i ~ oo, rezisten de ieire "e = O, iar amplificarea n tensiune la funcionarea fr sarcin (n bucl deschis) a~ oo.

Cu aceste caracteristici, ecuaiile de funcionare ale elementului referi-toare la curenii terminalelor de intrare i la tensiunea terminalului de ie-

ire sunt

(1.92a)

(1.92b)

(1.92c)

unde potenialele ve, v2 , v1 sunt msurate fa de terminalul legat la pmnt.

a. b. c.

Fig. 1.30

Pe baza acestor ecuaii, modelul elementului de circuit se poate re-prezenta ca n figura 1.30,c, punnd n eviden mrimea de comand a sursei de tensiune comandat n tensiune.

Terminalele de intrare se numesc invertor i neinvertor, fiind identifi-cate cu simbolurile (-) respectiv ( + ).

1.2. 6.4. Nulorul

Nulorul este un ansamblu de dou elemente ideale de circuit, unul numit nulator, iar altul norator.

a. b. Fig. 1.31


Fig. 1.32

Nulatorul este un element ideal de circuit dipolar care este caracterizat de dou ecuaii:

u=O

i =O.

(1.93)

(1.94)

Simbolul lui este cel din figura (1.3l,a). Noratorul (fig. 1.3l,b) este un element dipolar ideal de circuit carac-

terizat de faptul c tensiunea la bornele lui i intensitatea curentului care-1 parcurge pot lua orice valori, determinate exclusiv de circuitul exterior la care acest element este conectat.

Un nulator mpreun cu un norator formeaz o pereche numit nulor, care este un circuit diport normal, avnd numrul ecuaiilor caracteristice egal cu numrul porilor.

Semnificaia fizic a nulorului este aceea a unui amplificator opera-ional idealizat (fig.1.32), care are la poarta de intrare tensiunea i curentul nule, iar la poarta de ieire o tensiune i o intensitate nedeterminate ( ob-inute prin nmulirea mrimilor nule de la intrare cu cte un factor de am-plificare infinit).

Un amplificator se comport din punct de vedere al ieirii ca un norator i al intrrii ca un nulator.

1.2.6.5. Tranzistorul

Fig. 1.33

O aplicaie important a surselor coman-date este modelarea tranzistoarelor, dispozi-tive electronice utilizate n construcia ampli-ficatoarelor electronice. n figura 1.33 se pre-zint modelarea tranzistorului cu jonciune npn n regim staionar i la semnale mici, cu ajutorul unei surse de curent comandat n

36 TEORJA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRJCE curent. De regul tensiunea VsE = O, 7 V, iar factorul de amplificare al curentului B = 100. Schema echivalent permite studierea circuitelor cu tranzistoare cu ajutorul tehnicilor din analiza circuitelor electrice.

1.3. CIRCUITE ELECTRICE

1.3.1. Clasificarea circuitelor electrice

Circuitele sau reelele electrice sunt ansambluri de elemente de circuit conectate n diverse noduri prin suprapunerea bornelor acestora. Se obine astfel o structur cu un numr n de borne (poli sau terminale) de acces. Fiecare born se caracterizeaz prin curentul ik i potenialul vk, iar dife-rena potenialelor a dou borne se numete tensiune la borne.

"1

-

Fig.1.34

Fig. 1.36

' ' \

1 f 1

1 1

/ "k /

u

Fig. 1.35

1.37


Un circuit cu n bome de acces se numete multipol electric sau n-pol electric (fig. 1.34). n particular, dac n = 2, circuitul se numete dipol,

dac n = 3 - i dac n = 4 - electric. ntlnit i n repre-zentarea elementelor de circuit pasive, structura de tip dipol a circuitelor electrice (fig. 1.35), se caracterizeaz prin intensitatea curentului absorbit printr-o born i prin tensiunea ntre dou borne. Relaia u = f (i) sau i:::: g(u) se numete caracteristica dipolului. Pentru sensurile de referin ale curentului i tensiunii la bome din figur reprezentnd de receptoare, puterea absorbit pe la bome de dipol, p = ui >O, iar dipolul se numete receptor. Pentru un sens invers al tensiunii Ia bome- convenia de Ia generatoare, puterea la bornele dipolului p = -ui

38 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE Un regim periodic particular foarte important n practic este regimul

sinusoidal. Regimurile variabile prin care se face trecerea de la unele regimuri de

curent continuu sau regimuri periodice la alte regimuri de curent continuu sau periodice se numesc regimuri tranzitorii.

Rezolvarea sistemelor de ecuatii ce descriu functionarea circuitelor , '

electrice n unul din regimurile de mai sus prezint particulariti specifice fiecrui regim, ceea ce determin abordarea de tehnici de analiz specifice. Acestea se grupeaz n trei mari categorii:

1. Analiza regimurilor de curent continuu, cuprinznd metode de ana-liz ce conduc la rezolvarea unui sistem de ecuaii algebrice care descriu funcionarea circuitului. Efortul de calcul este determinat exclusiv de nu-mrul de ecuaii ale sistemului. Cele mai utilizate metode matematice n acest caz sunt algebra matriceal i metodele numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaii algebrice;

2. Analiza regimurilor sinusoidale, cu ajutorul metodei simbolice a re-prezentrii n complex. Prin intermediul acestei tehnici, numit i metoda

simbolic, sistemul de ecuaii difereniale ce descriu funcionarea circui-tului n regim sinusoidal se transform ntr-un sistem de ecuaii algebrice,

satisfcute de valorile complexe ale necunoscutelor, a crui rezolvare este mult mai simpl. Analiza se ncheie prin revenirea din domeniul complex n domeniul real, obinndu-se astfel valorile instantanee ale mrimilor electrice calculate - cureni, tensiuni, poteniale electrice;

3. Analiza regimurilor variabile oarecare, prin metoda operaional. Tehnica cea mai utilizat de analiz folosit n acest caz se bazeaz pe transformata Laplace i permite transformarea ecuaiilor difereniale ale circuitului n ecuaii algebrice, satisfcute de transformatele Laplace ale necunoscutelor. Metoda este similar celei simbolice :folosite n analiza re-gimurilor sinusoidale. Dup obinerea soluiilor sub forma transformatelor Laplace (numite funcii imagine), se aplic transformata Laplace invers pentru a se obine valorile instantanee ale necunoscutelor (numite funcii original). Pentru rezolvarea acestor regimuri exist ns i alte metode, care se bazeaz pe utilizarea altor transformate, sau pe alte principii.

1.3.3. Teoremele generale ale teoriei circuitelor electrice

1.3.3.1. Teoremele lui Kirchhoff

a) n regim cvasistaionar legea conservrii sarcinii electrice pentru o suprafa nchis ~ care nconjoar un nod oarecare (nj) al circuitull\!.,


intersecteaz toate conductoarele laturilor lk E (n1) i nu trece prin dielec-tricii condensatoarelor ( fig.l.3 8), conduce la

i -- dq~ =o (1.96) ~- dt . Dac se atribuie semnul

( +) curenilor care ies din nodul ( n 1) (au sensul de refe-rin acelai cu al normalei n~)

i semnul (-) celor care intr n nod, relaia (1.96) conduce la

L (A)ik =o. (1.97) lkE(nj)

Fig. 1.38

Relaia (1.97) reprezint prima teorem a lui Kirchhoff, care se enun astfel: suma algebric a intensitilor curenilor din laturile lk incidente n nodul (n1) al unui circuit este nul.

b) Aplicnd legea induciei electromagnetice pe conturul r, n ipoteza localizrii cmpului magnetic numai n bobine (avnd o valoare nul n afara elementelor de circuit) se obine

.~:-- d

TEORJA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE

Observaie

Teoremele lui Kirchhoff obinute sub formele (1.97) i (1.99) sunt inde-pendente de natura elementelor de circuit i de modul de variaie n timp a tensiunilor i curenilor. Ele sunt consecine ale structurii topologice ( deri-vnd din modul de interconexiune a elementelor de circuit) a reelei.

1.3.3.2 Teorema Tellegen

Aceasta este o teorem general, reprezentnd o consecin direct a teoremelor lui Kirchhoff.

Fiind date dou regimuri oarecare de funcionare ale unui circuit elec-tric, notate cu ( ') respectiv ( ''), curenii i tensiunile corespunztoare, care verific independent cele dou teoreme ale Kirchhoff, satisfac urmtoarele relaii:

(u'/ =O (1.100) l

( ')t 11 ( ")t ., - o u l - u l- , (1.101) unde u este vectorul tensiunilor (porilor) circuitului, iar i este vectorul intensitilor curenilor laturilor (porilor) circuitului.

Demonstrarea celor dou relaii [5] se bazeaz pe proprietatea de orto-gonalitate a matricelor de inciden laturi-seciuni i laturi-bucle ( 2.3), ceea ce le confer valabilitate att pentru regimuri diferite, produse de ex-

citaii sau condiii iniiale diferite, ntr-un acelai circuit, ct i pentru regi-muri diferite ale unor circuite diferite, dar avnd aceeai structur topo-

logic (acelai graf).

1.3.3.3. conservrii puterilor

Pentru cazul particular cnd cele dou regimuri se confund, teorema lui Tellegen conduce la urmtoarea relaie ntre tensiunile i curenii porilor, corespunztoare unui regim oarecare al unui circuit:

=o. (1.1

Relaia (1.102) reprezint teorema consen;rii puterilor instantanee. Dac numrul total al porilor (elementelor) este nP,

.102) poate fi forma:

de baz in teoria circuitelor electrice

(1.103)

unde Pk = ukik reprezint puterea instantanee primit prin poarta k a (elementului) circuitului, cnd sensurile curentului i tensiunii la bornele porii sunt asociate dup convenia de la receptoare.

Din (1.1 02) i (1.1 03) rezult expresia np np

2:ukik = LPk =O, (1.104) k=l k=l

cu enunul: suma algebric a puterilor instantanee primite la porile (bor-nele elementelor) unui circuit este n fiecare moment nul.

cu (Vaschy)

a) Teorema surselor cu aciune dac se in-troduc n serie cu fiecare element conectat intr-un nod al unui circuit sur-se ideale de tensiune, avnd aceeai t.e.m. i orientate la fel fa de nod (fig.l.39), tensiunile i curenii prin elementele circuitului nu ,

42 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE b) Teorema surselor ideale de curent cu aciune nul: dac n

paralel cu fiecare element (latur) de circuit ce formeaz un contur nchis (bucla bh) se conecteaz cte o surs ideal de curent, orientat n sensul buclei i avnd aceeai intensitate (fig.l.40), tensiunile i curenii prin elementele circuitului nu se modific.

Validitatea teoremei este evident, cci introducerea surselor de curent nu schimb ecuaiile Kirchhoff: n prima termenii noi (j) care apar se

anuleaz reciproc, iar a doua nu se modific. Aplicaii ale teoremei: pasivizarea unei laturi (element) din circuit, anu-

larea sarcinii electrice iniiale, respectiv a tensiunii iniiale a unui conden-sator (condiia iniial nenul fiind reprezentat printr-o surs echivalent de curent), anularea curentului iniial al unei bobine (echivalent cu o surs de curent).


BIBLIOGRAFIE

1. L.O. Chua, P.M. Lin, "Computer-aided analysis of electronic circuits", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.

2. L.O. Chua, C.A. Desoer, E.S. Kuh, "Linear and nonlinear circuits", McGraw-Hill Book Company, New York, 1987.

3. A.F. Schwarz, "Computer-aided design of microelectronic circuits and systems. Fundamentals, Methods and Tools", Academic Press, New York, 1987.

4. C.I. Mocanu, "Teoria circuitelor electrice", Editura Didactic i Peda-gogic, Bucureti, 1979.

5. M. Preda, P. Cristea, "Bazele electrotehnicii", vol. II. Circuite elec-trice, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1980.

6. M. Hasler, J. Neirynck, "Circuits nonlineaires", Presses Polytech-niques Romandes, Lausanne, 1985.

7. N. Balabanian, T. Bickart, S. Seshu, "Teoria modern a circuitelor", Editura Tehnic, Bucureti, 1974.

8. W. J. McCalla, "Fundamentals of Computer-Aided Circuit Simu-lation", Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordecht/Lancaster, 1988.

9. S. Franco, "Electric Circuits Fundamentals", Saunders College Publi-shing, New York, 1995.

10. A. Timotin, Viorica Hortopan, A. Ifrim, M. Preda, "Lecii de Bazele Electrotehnicii", Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1970.

11. A. Moraru, "Bazele electrotehnicii", vol. II. Teoria circuitelor, Tipo-grafia Universitii Politehnica Bucureti, 1993.

12. D. Topan, "Circuits electriques", Editura Universitaria, Craiova, 1996.

CAPITOLUL 2

Tensiunile i curenii laturilor oricrui circuit electric cu parametri concentrai satisfac, n principal, trei relaii de baz: prima teorem a lui Kirchhoff, a doua teorem a lui Kirchhoff i relaia caracteristic ( consti-tutiv) a fiecrui element de circuit.

Teoremele lui Kirchhoff sunt relaii algebrice liniare ntre tensiunile sau curenii laturilor, independente de caracteristicile elementelor de circuit, care depind exclusivitate de modul de interconectare a laturilor.

Analiza topologic a circuitelor electrice (sau scurt topologia circuitelor) se ocup cu acele proprieti ale circuitelor electrice liniare sau neliniare cu parametri concentrai, care depind numai de interconexiunea laturilor [1,2,4,18,22]. Ramura matematicii care stu-

diaz proprietile geometrice independente de forma i dimensiunile obiectelor (care se menin la deformarea lor continu) se numete topologie.

Majoritatea circuitelor electrice cu parametri concentrai, neliniare, fi modelate printr-o interconectare de elemente caracteristici specificate. O descriere complet a unui model trebuie s conin urmtoarele informaii:

a) modul n care sunt conectate laturile; b) sensurile de referin ale curenilor i tensiunilor laturilor; c) caracteristicile laturilor.

TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE Un mod simplu i natural de a obine primele dou informaii, men-ionate mai sus, este acela prin care circuitului analizat i se asociaz un graf orientat G (numit i graf de conexiune al circuitului) dup urmtoarea regul: fiecare element dipolar din circuit se nlocuiete printr-un arc de curb, orientat n acelai sens cu sensul intensitii curentului prin latur. n cele ce urmeaz vom presupune c sensurile de referin ale tensiunilor laturilor circuitului coincid cu cele ale intensitilor

curenilor (regula de asociere a sensurilor de referin de la receptoare). De exemplu, n figura 2.1 ,b se reprezint graful orientat G, asociat circuitului electric din figura 2.l,a.

Cnd sensurile curenilor i tensiunilor laturilor nu prezint interes, se poate asocia circuitului analizat un grafneorientat Gn (fig. 2.l,c), care se obine simplu din G prin ndeprtarea sgeilor.

Definiia 2.1.1. Se numete graf orientat tripletul G = ( L, N x N, f) n care funcia f: L -----7 N x N face ca fiecrui element din mulimea L (L c N) s-i corespund o pereche i numai una din mulimea perechilor ordonate N x N de elemente ale unei mulimi N (N c N). Mulimea N (L) se numete mulimea nodurilor (laturilor) grafului G. Elementele mul-imii N (L) se numesc noduri (laturi) ale grafului. n cazul n care funcia f: L -----7 N N face ca fiecrui element din mulimea L s-i corespund o pereche neordonat i numai una din mulimea perechilor neordonate NN de elemente ale mulimii N, tripletul Gn = ( L, N N, f) se numete graf neorientat.

Se poate da i o alt definiie grafului neorientat. Se noteaz: f'(X) - clasa submulimilor (prilor) mulimii X; lXI - cardinalul (numrul elementelor) mulimii X i fiB -restricia funciei/la mulimea B. Fie N i L dou mulimi finite cu !Ni~ 2 (N c N,L c N) i v = ~lx E P(x),jxj = 2}.

Definiia 2.1.2. Tripletul Gn = (L, N, ./) cu f: L -----7 V se numete graf neorientat, [3].

Elementele mulimii L se numesc laturi, iar elementele mulimji U f (l) - noduri. !EL

Definiia 2.1.3. Orice triplet G'n = (L', N,fi), cu L' se numete sub graf al grafului Gn = (L, A:./), [3].

Noiuni de topologia circuitelor electrice 4 7

e

a. b.

c.

Fig. 2.1

Reprezentarea geometric a grafului este un graf (geometric) n care mulimea nodurilor este o mulime de puncte, iar mulimea laturilor este o mulime de arce de curb. Prin conectarea arcelor la noduri se indic relaia binar a grafului.

Definiia 2.1.4. n reprezentarea geometric a grafului G, punctele termi-nale ale unei laturi se numesc nodurile terminale ale laturii respective.

Defmiia 2.1.5. Orice nod al unui graf care nu este nod terminal pentru nici o latur a grafului se numete nod izolat al grafului (nodul n4 din fig.2.2).

Definiia 2.1.6. O latur l care are ca nod terminal un nod n se numete latur incident la nodul n. Latura iJ (fig.2.2) este incident la nodurile n1 i n3


Numrul laturi inci-16 dente la un nod se numete

respectiv. De exemplu, nodul n2 (fig.2.2) are gradul 4. Unii autori [25] consider gradul unui nod egal cu numrul de noduri adiacente nodului respectiv. acest caz, nodul n2 (fig.2.2) are gradul 2 (are dou

t3 noduri adiacente: nodul n1 i nodul n3). Un nod de grad 1 se numete iar latura care are un singur nod tem1inal poart numele de

Tripletul S = ( Ls, N x N, f) se numete G dac mulimea laturilor sale Ls este coninut n mulimea L a

grafului G. Orice graf G este propriul su subgraf. n figura 2.3 sunt prezentate

trei exemple de subgrafuri S1, S2, S3 care sunt subgrafuri ale grafului G din figura 2.2.

nt,. .. 14

n3

13

a.

ls

n3

c.

2.3

11

b.

Un subgraf S al unui graf G poate conine numai o parte din nodurile grafului G; altfel spus un subgraf S al unui graf G rmne subgraf al lui G

i dup ce se elimin nodurile sale izolate. Dou subgrafuri S1, S2 ale aceluiai graf G se numesc

(unul altuia) dac:

a) nu au nici o latur comun; b) conin toate laturile i toate nodurile grafului G. Pentru subgrafuri complementare se utilizeaz notaia S1 = sau

s2 = CS1 . Subgrafurile S1 i S2 din figura 2.3 sunt tare n graful G figura 2.2.

Subgraful care conine dou noduri gradul nti, iar celelalte noduri ale sale au toate gradul al doilea se numete ( C). Nodurile de gradul nti se numesc cnd toate laturile cii au acelai sens (n lungul cii) calea se

(subgraful {z5 ,z2 } al grafului prezentat n figura 2.2 formeaz o cale orientat).

G figura 2.2 laturile {!1, !5} formeaz o cale cu nodurile terminale n2, n3. Trebuie remarcat faptul c o cale este o curb deschis (un arc de curb) care unete nodurile ei terminale, fr s treac de mai multe ori prin acelai nod al cii .

. Un graf G care conine cel puin o cale ntre oricare dou noduri ale sale se numete graf conex. Un graf neconex conine mai multe (care nu au nici laturi i nici noduri comune).

exemplu, grafurile re-prezentate n figurile 2.l,b i 2.1,c sunt conexe. Graful din figura 2.4 este un graf neconex cu dou subgrafuri separate.

Un sub-graf conex care are toate no-durile de gradul al doilea se numete De exemplu, n graful din figura 2.2 sub-

graful {!1,!4 ,!2 } formeaz o bucl cu trei laturi. n cazul n care toate la-turile unei bucle au acelai sens n lungul buclei, aceasta se numete

orientat (sub graful {l2 , !3 } din fig.2.2 formeaz o bucl orientat ). A O,bucl care conine o singur latur poart numele de In figura 2.2 latura !6 formeaz o bucl proprie.

Trebuie remarcat faptul c o bucl este o curb nchis alctuit laturi ale care are proprietatea c poate fi parcurs

singur dat prin fiecare nod al ei. graf conex ce nu conine nici o bucl se numete

arbore. Un arbore se noteaz A. n figura 2.5 sunt prezentai trei arbori

50 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE

A 1, A 2 i A 3 Arborele A, este un arbore radial, iar arborele A2 este o cale.

Fig. 2.5

Definiia 2.1.14. Un arbore A se numete arbore al unui graf G (arbore de acoperire al grafului G) dac conine toate nodurile grafului G. n cazul unui graf neconex se definete cte un arbore pentru fiecare subgraf conex, iar reuniunea acestora numit pdure caracterizeaz graful neconex.

Se pot demonstra simplu urmtoarele teoreme [1]: Teorema 2.1.1. Arborii unui graf G cu n noduri conin fiecare n - 1

laturi. Teorema 2.1.2. Un graf G cu n noduri este arbore dac i numai dac

este satisfcut una din cele ase condiii echivalente de mai jos: a) G este conex i nu conine nici o bucl; b) G are n - 1 laturi i nu conine nici o bucl; c) G este conex i conine n - 1 laturi; d) G este conex i eliminnd o latur a sa nu mai este conex; e) ntre oricare pereche de noduri graful G conine o cale i numai una; f) G nu conine nici o bucl i adugnd o latur la G se genereaz o bucl i numai una.

Definiia 2.1.15. Un subgraf complementare al unui arbore A al unui graf G se numete coarbore al grafului G.

Cu notaia de la definiia 2.1.9 rezult:

e=CA. (2.1)

De exemplu, arborele A 1 = {!1,!2,!3 } al grafului G din figura 2.1,b are coarborele e, = {!4,15,16}.

Laturile unui arbore se numesc ramuri, iar laturile unui coarbore se numesc coarde. Notnd cur numrul de laturi ale unui arbore i cu c '

Noiuni de topologia circuitelor electrice 51

numrul de laturi ale coarborelui su, din definiia coarborelui rezult relaia:

r + c = /, (2.2)

unde l este numrul de laturi ale grafului. Definiia 2.1.16. Fie un graf G i un arbore rl al acestuia. Bucla format

dintr-o coard Ck a coarborelui e = Crl i laturile cii din arbore se numete bucla coardei Ck i se noteaz bek sau prescurtat bk.

Definiia 2.1.17. Sistemul de bucle be1

, be2

, , bec corespunztoare coardelor c1, c2 , , ce ale unui coarbore dintr-un graf se numete sistem fundamental de bucle ataat coarborelui e.

n formularea pe .calculator a ecuaiilor corespunztoare anumitor regimuri de funcionare a circuitelor electrice, un rol important l are selectarea unui arbore n graful orientat G asociat circuitului studiat, care s conin anumite tipuri de elemente de circuit, numit arbore normal (AN) sau de referin (AR) (pdure normal (PN) sau de referin (PR), pentru circuitele neconexe), [2,3,6].

n cazul analizei circuitelor electrice nereciproce, cnd pentru for-mularea sistematic a teoremelor lui Kirchhoff se asociaz circuitului analizat dou grafuri orientate, unul de curent Gi i altul de tensiune GU [3,5,6,7,8], este necesar alegerea aceluiai arbore normal n cele dou grafuri, numit - arbore normal (de referin) comun (ANC sau ARC)

(pdure normal (de referin) comun (PNC sau PRC), pentru circuitele neconexe ).

De asemenea, n determinarea n forma simbolic sau numeric -simbolic (hibrid sau parial simbolic) a funciilor de circuit (reea) ale unui circuit electric dat, cea mai laborioas parte o constituie generarea (enumerarea) tuturor arborilor sau coarborilor din grafurile asociate circuitului, [1-7, 13-24].

Analiza topologic a circuitelor electrice are o importan deosebit, nu numai n formularea propriu zis a ecuaiilor circuitului, ci i n analiza

calitativ a circuitelor electrice [2,8,9,18]. Nu intenionm s prezentm n acest capitol toate conceptele de baz din topologia circuitelor electrice, ele fiind fundamentate ntr-o serie de lucrri [1,2,4,5,18,22]; ne vom limita la prezentarea acelor aspecte din topologia circuitelor care au o importan ~senial~. n simularea, analiza i proiectarea asistat de calculator a circuitelor electrice.

TEOR1A MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE

de

conex, orientat i fr bucle proprii poate fi carac-terizat Ac = (ant.) 1 1 l:$i:::;n;l:::;j::::;t

elemente sunt """''''-"'_ ....... ~ .... definiie, au urmtoarele valori:

1-1, daca ni este

an;l; = O, daca nodul ni nu este nod al laturii z1 1, daca ni este nodul iniial (de

cum se arat i n figura 2.6. -1,

+ 1,

al laturii z1

Coeficienii ni nodului ni) a unei matrice inciden laturi-noduri

coeficienii celorlalte linii deoarece

a = a n;l1 nklj ' kc~l kcti

' (2.3)

(2.4)

unde n - este numrul de noduri conex. Aceast proprietate rezult faptul c, grafurile conexe i fr bucle


care latur orientat este conectat la dou noduri, cu un coeficient de inciden + 1 i altul -1.

n consecin, suma coeficienilor de inciden de pe fiecare coloan corespunztoare unei laturi ~- oarecare este nul:

n

""'ant = O. L.,; 1 J i=l

(2.5)

n conformitate cu proprietatea 2.2.1 a matricei de inciden laturi-noduri, caracterizarea complet a structurii unui graf conex, orientat i fr bucle proprii, poate fi obinut prin matricea redus de inciden noduri A, care prin definiie se obine din matricea de inciden laturi-noduri Ac, eliminnd linia corespunztoare nodului n.

Matri cele Ac i A ale grafului conex, orientat i fr bucle proprii G din figura 2.l,b au urmtoarele structuri:

/1 !2 !3 !4 ls !6 /1 !2 13 14 ls !6

nl o -1 o -1 o 1 ~l nr -1 o -1 o 4=~ -1 1 1 o o o (2.6) A=~ -1 1 1 o o n:, o o -1 1 1 o n3 O o -1 1 1 n4 1 o o o -1 -1

Definiia 2.2.1. Se numete subgraf 1t al unui graf G cu numr de noduri n, un sub graf format din n - 1 laturi ale grafului G.

Definiia 2.2.2. Determinantul major format din matricea A, lund cele n - 1 coloane corespunztoare laturilor coninute n subgraful 1t, se nu-

mete majorul M A1t al sub grafului 1t. Proprietatea 2.2.2. Un major M A7t este egal cu zero dac 1t nu este

arbore i este egah:u 1 dac 1t este un arbore. Demonstraie. Dac cele n - 1 laturi ale subgrafului 1t nu formeaz un

arbore n graful G, atunci ele fie formeaz cel puin o bucl, fie nu sunt conectate la toate nodurile. n cazul cnd laturile lui 1t nu sunt conectate la unul din nodurile nh, nh, ... ,nin-J, corespunztoare liniilor lui MAit, linia acestui nod are numai elemente nule i deci M A7t = O. Dac laturile 1t nu sunt conectate la nodul n 11 , care nu este coninut n M A7t, atunci pe fiecare coloan a sa sunt dou i numai dou elemente nenule, unul + 1 i

cellalt . Suma liniilor detenninantului d o linie cu toate elementele nule i deci MAit =O.

54 TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE n cazul n care laturile lui 1t formeaz o bucl i sunt orientate n acelai

sens, suma coloanelor acestor laturi este nul n M AJt i deci M AJt = O. Aceasta, deoarece coeficienii de inciden ai acestor laturi sunt diferii de zero numai pentru nodurile buclei. Cum la fiecare nod al acestei bucle sunt incidente numai dou laturi ale buclei i coeficienii lor de inciden au suma nul (laturile sunt orientate n acelai sens n lungul buclei) - aa cum se

arat n figura 2.7,b pentru subgraful1t= {a,,B,y,nl>n2,n3,n4} al grafului G din figura 2. 7 ,a.

ni

l'lJ. n3 n4

--

1 1

... a ... ~ ... y

1 -1 -1 1

(a)

... a

ni

l'lJ. 1 =

~ -1 n4

(b)

Fig. 2.7

"' "" ns \ \

~ ... a+~+y

o =0

1 o

Dac se schimb sensul de referin al uneia din laturile buclei, coeficienii de inciden ai laturii respective schimb semnul. Multiplicnd cu ( -1) elementele coloanei acestei laturi, se ajunge la aceeai sum nul ca

i n cazul laturilor identic orientate n lungul buclei. n consecin, valoarea zero a determinantului M AJt se menine chiar dac laturile buclei sunt orientate arbitrar n lungul ei.

n cazul n care cele n - 1 laturi ale sub grafului 1t formeaz llf\ arbore A, atunci acesta, prin definiie, conine toate nodurile grafului i este conex. Cel puin o latur l/

1 a arborelui A este conectat la nodul nn (considerat ca


nod de referin al grafului) pentru care nu s-a considerat nici o linie n matricea A. Coloana acestei laturi conine n majorul M AJt un singur element diferit de zero an 1. , egal cu -1 sau + 1 (deoarece al doilea coe-IJ )] ficient de inciden nenul al laturii corespunde nodului nn i ca urmare nu

figureaz n determinant). Dezvoltnd determinantul MAJt dup elemen-tele coloanei liJ, modulul acestuia rezult egal cu modulul determinantului M Alt!, obinut din M AJt prin suprimarea coloanei 111 i a liniei ni1 Pentru c arborele A este un graf conex, el conine cel puin o latur 112 legat la nodul ni

1 sau nn, care nu sunt coninute n MAJti Deci, dezvoltnd

determinantul M Alti dup col~ana 112 , care are un singur element nenul -1 sau + 1, se observ c modulul acestuia este egal cu modulul deter-minantului MAJt 2 , obinut din MAJt1 prin eliminarea coloanei 112 i a liniei

corespunztoare nodului ni2

la care este conectat aceast latur. Acest procedeu de dezvoltare se continu i pentru determinantul M AJt2 i aa mai departe pn la ultimul determinant cu o singur coloan /1. i o sin-n-I gur linie n1. , care contine un singur element nenul egal cu -1 sau + 1, n-1 ' deoarece nodul nin-I este i el legat n arborele A cu o latur (chiar latura /1. la unul din nodurile n1. , n1. , , n1. ). Deci, dac laturile corespun-n-1 1 2 n-1 ztoare coloanelor majorului MAJt formeaz un arbore, valoarea acestui determinant este . n figura 2.8 se exemplific modul de calcul al majorului corespunztor arborelui A= {!1,/2 ,/3 } al grafului din figura 2.l,b.

-1 1 o

Fig. 2.8

Proprietatea 2.2.3. Numrul de arbori na (egal cu numrul de coarbori ne) dintr-un graf conex G este dat de relaia

(2.7)

TEORIA MODERN A CIRCUITELOR ELECTRICE Demonstraie. Dezvoltnd determinantul cu formula Binet-Cauchy se obine

det(A At )= ~A~k = ~1 = na. (2.8) k=l k=l

Observaia 2.2.1. Numrul arborilor na (egal cu numrul de coarbori ne) dintr-un graf conex G se poate determina i cu relaia

na = det(E), (2.9)

unde matricea E = ( enkn 1

)t::;k::;;n-l are elementele: enknk - numrullaturilor lsj:::;n-1

incidente (conectate) la nodul nk i enknJ = enJnk (-1) x numrul laturilor conectate ntre laturile nk i nj (pentru k:t::.j). Evident, se poate arta uor c E=AA1

Teorema 2.2.1. Pentru un graf conex G, toate liniile matricei reduse de inciden laturi-noduri A sunt liniar independente.

Demonstraie. Pentru un graf conex G cu l laturi i n noduri, matricea redus de inciden laturi-noduri A este de dimensiunea (n -1)xl. Presu-punem c liniile matricei au structura

al= (a11,a12, ... ,au) lX2, = (a21,a22, ... ,a2l)

(2.10)

an-1 = (an-11 an-12,an-1t) '' ' '

i linia eliminat din Ac pentru a obine matricea A este

(2.11)


Pentru a demonstra c liniile matricei A sunt liniar independente, folo~ sim metoda reducerii la absurd.

Presupunem c liniile matricei A sunt liniar dependente. Atunci exist numerele reale k1, k2 , , kn-I , nu toate nule, astfel nct

(2.12)

Fr s se piard din generalitate, se presupune c k1,k2 , ,km; n -1? m? 1 sunt nenule i km+lkm+z, ... ,kn-l sunt nule. n acest caz, ecuaia (2.12) devine

(2.13)

Matricea complet de inciden laturi-noduri Ac se poate partiiona astfel:

(2.14)

an-1

an

unde Am i Ar au fiecare cel puin o linie, deoarece m ? 1 i Ar conine linia n Deoarece din ecuaia (2.13) nu rezult structura coloanelor matricei Am, atunci pot exista urmtoarele trei cazuri:

L Fiecare coloan a lui Am este o coloan zero (cu toate elementele nule). Prin urmare fiecare din cele m noduri ale grafului G nu este conectat dtrnici un alt nod al grafului. Deci graful G este neconex.

2. Fiecare coloan~ lui Am are exact un element + 1 i un element (n resnoate elementele sunt zero). n acest caz rezult c matricea Ar este o matrice nul i deci graful G este neconex.

58 TEORIA MODERN A CIRCUlTELOR ELECTRICE 3. Anumite coloane ale lui Am au un + 1 i un -1 (n rest toate elementele

sunt zero), iar alte coloane ale lui Am sunt nule. Atunci matricea Ac poate fi mai departe partiionat (eventual dup permutarea coloanelor) dup cum urmeaz:

A =[[Am]]= [ O ( 1,0)] c [Ar] (1,0) O ' (2.15)

unde notaia (1, O) reprezint o matrice ale crei elemente constau numai din -1, + 1 sau O.

Relaia (2.15) arat c nu exist nici o cale ntre, de exemplu, nodul n1 i nodul nn. Deci graful G este neconex.

Din cele prezentate mai sus, rezult c dependena liniilor a 1, a 2 , , an-l, presupus iniial, conduce la concluzia c graful G considerat este neconex. Aceasta contrazice ipoteza. Prin urmare, liniile a 1, a 2 , . , an-l sunt liniar independente i teorema 2.2.1 este de-monstrat.

Corolarul 2.2.1. Ecuaiile independente rezultate din aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff n nodurile unui circuit conex C pot fi exprimate n urmtoarea form matriceal:

Ai1 =O, (2.16)

unde i1 reprezint vectorul curenilor laturilor circuitului C.

2.2.2. Matricea de incident laturi-sectiuni ' '

Fie un graf conex i orientat G, un arbore r! al acestuia i un sistem :L de suprafee (de seciune) nchise care intersecteaz fiecare (o dat) cte o ramur a arborelui r! i numai una (fig.2.9). Suprafaa nchis care intersecteaz ramura rk se noteaz Lk Aceste suprafee nchise se numesc seciuni fundamentale, iar sistemul lor 2: = { 2:1,2:2 , ... , Ln-l}

ataat unui arbore r! poart numele de sistem fundamental de seciuni. Pe fiecare seciune Lk se selecteaz ca sens de referin (pentru traversarea seciunii) sensul ramurii rk creia i este ataat

seciunea (fig.2.9).


Matricea de inciden laturi-seciuni se noteaz Q = (q}:;dj )t~k~n-1 (2.17) ~. I~j~l

i are ca elemente coeficienii de inciden ai laturilor la seciuni, definii ca n figura 2.10. Ca exemplu, n figura 2.11,b se prezint matricea de inciden laturi-seciuni a unui graf conex G n care, pentru claritate, laturile arborelui (ramurile) s-au desenat ngroat (fig.2.11 ,a).

Trebuie remarcat faptul c dac laturile grafului se numeroteaz n ordinea ramuri, coarde, atunci prima parte a matricei (alctuit din primele r coloane corespunztoare ramurilor) este o matrice unitate. Deci, utiliznd aceast convenie de notare, orice matrice de inciden laturi-seciuni poate fi adus la forma normal

Q= [1rr D], (2.18) unde prima parte lrr (matricea unitate de dimensiunea (r x r)) este partea

neesenial a matricei Q, iar a doua parte esenial a matricei Q, numit i matricea incidenelor eseniale coarde-ranmri (matricea de inciden a coardelor la suprafeele de seciune ataate ramurilor), se noteaz cu D. Pentru graful orientat din figura 2.11 ,a avem:

Ramuri Coarde Coarde ,----A- ----, r----"------.. r-- -----A------., II 14 ls 17 12 13 16 lg 12 13 16 lg

It 1 o o o 1 1 o o It 1 1 o o L4 o 1 o o o -1 -1 o L4 o -1 -1 o Q= D= . (2.19) Ls o o 1 o o o 1 -1 ' Ls o o 1 -1 I1 o o o 1 -1 -1 o -1 :l:1 -1 -1 o -1

1 f --::.--.... r2

Er-"""', } \ ...... _."

Fig. 2.9


-1, ~ Ek

q'Lk t1 = o, ct< tk

+ 1, ~ o Fig. 2.10

, , -- ......... r:1 \

lt lz 13 14 15 16 !7 lg lj Lt 1 1 1 o o o o o

0=24 o o -1 1 o -1 o o Ls o o o o 1 1 o -1 ~ o -1 -1 o o o 1 -1

(a) (b)

Fig. 2.11

Dac n matricea Q din figura 2.11 ,b la linia corespunztoare seciunii 2:7 , nmulit cu ( -1 ), adugm linia corespunztoare seciunii 2

Teoria Moderna a Circuitelor Electrice, by Dumitriu, Iordache, 1998

Documents

Transcript of Teoria Moderna a Circuitelor Electrice, by Dumitriu, Iordache, 1998