Un Model Economico - Matematic al Cererii de Moneda Bazat pe Teoria Gestiunii Stocurilor
Teoria Asteptarii Model Cu o Statie
5
TEORIA AŞTEPTĂRII Model cu o singură staţie de servire Se consideră un fenomen (model) de aşteptare, caracterizat prin următoarele ipoteze: 1 0 Există o singură staţie de servire 2 0 Unităţile solicitante (clienţii) provin dintr-o populaţie infinită (mulţimea clienţilor potenţiali e infinită) 3 0 Sosirile (intrările în şirul de aşteptare) sunt aleatoare, independente şi au loc la momente de timp repartizate după o lege (de repartiţie) exponenţială negativă (de tip Poisson) cu parametrul : F(t) = e t 4 0 Servirile sunt aleatoare şi independente, iar timpii de servire sunt repartizaţi tot după o lege exponenţială negativă cu parametrul µ: G(t) = µe µt [ rata medie a sosirilor; µ rata medie a servirii] 5 0 Disciplina şirului este: “primul venit – primul servit” Ecuaţiile ce descriu fenomenul de aşteptare Presupunem că, la momentul t + t avem n ( 0) unităţi (clienţi) în sistem (în curs de servire sau în firul de aşteptare). În intervalul [t, t + t] se pot produce unele evenimente (în funcţie de numărul de clienţi n’ la momentul t): I. n’ = n – 1: o sosire (intrare) şi nici o plecare (ieşire); II. n’ = n: nici o sosire şi nici o plecare; III. n’ = n + 1: nici o sosire şi o plecare. Fie A(t) probabilitatea de a avea o sosire în intervalul t (t, t + t) şi B(t), probabilitatea de a avea o plecare. Atunci: probabilitatea evenimentului I este: A(t) ∙ [1 B(t)], probabilitatea evenimentului II este: [1 A(t) ] [1 B(t)], iar probabilitatea evenimentului III este: [1 A(t) ] B(t). Notăm P n (t) probabilitatea ca la un moment t să existe n clienţi în sistem (în aşteptare sau în curs de servire). Este evident că: 1
description
UPG Ploiesti
Transcript of Teoria Asteptarii Model Cu o Statie
Laborator 1:
TEORIA ATEPTRII
Model cu o singur staie de servireSe consider un fenomen (model) de ateptare, caracterizat prin urmtoarele ipoteze:10 Exist o singur staie de servire 20 Unitile solicitante (clienii) provin dintr-o populaie infinit (mulimea clienilor poteniali e infinit)30 Sosirile (intrrile n irul de ateptare) sunt aleatoare, independente i au loc la momente de timp repartizate dup o lege (de repartiie) exponenial negativ (de tip Poisson) cu parametrul (: F(t) = (e((t40 Servirile sunt aleatoare i independente, iar timpii de servire sunt repartizai tot dup o lege exponenial negativ cu parametrul : G(t) = e(t[(( rata medie a sosirilor; ( rata medie a servirii]
50 Disciplina irului este: primul venit primul servitEcuaiile ce descriu fenomenul de ateptare
Presupunem c, la momentul t + (t avem n (( 0) uniti (clieni) n sistem (n curs de servire sau n firul de ateptare).n intervalul [t, t + (t] se pot produce unele evenimente (n funcie de numrul de clieni n la momentul t):I.n = n 1: o sosire (intrare) i nici o plecare (ieire);II.n = n: nici o sosire i nici o plecare;III.n = n + 1: nici o sosire i o plecare.Fie A((t) probabilitatea de a avea o sosire n intervalul (t ( (t, t + (t) i B((t), probabilitatea de a avea o plecare.Atunci: probabilitatea evenimentului I este: A((t) [1 ( B((t)], probabilitatea evenimentului II este: [1 ( A((t) ] ( [1 ( B((t)],
iar probabilitatea evenimentului III este: [1 ( A((t) ] ( B((t).
Notm Pn(t) probabilitatea ca la un moment t s existe n clieni n sistem (n ateptare sau n curs de servire). Este evident c:
Rezult:
(1)Calculm
(facem ca intervalul (t, t + (t) s tind la 0)
Din (1) rezult:
(1)Rezult:
n (1), mprim la (t i facem ca (t ( 0.Obinem:
(2)Se definete ca fiind probabilitatea independent de timp ca s existe n clieni n sistem.
Facem, n (2), t ( ( , rezultnd o ecuaie n regim staionar. Cum , rezult: , valabil pentru n ( 1.Dac n = 0, rezult (n mod analog): .
Deci, , unde ( este factorul de serviciu (intensitatea de trafic, ce indic numrul mediu de clieni ce apar pe durata timpului mediu de servire n sistem).
Din:
Se poate demonstra, prin inducie matematic, c: .
Din definiia lui Pn(t) i pn , rezult c: ,
de unde .Cum , rezult:
Deci ,
iar
(3)
Se pot calcula urmtoarele caracteristici:
a) L numrul mediu de uniti n ateptare sau n curs de servire:
, pentru 0 < ( < 1,
(4)b) L numr mediu de uniti n ateptare: , unde c numrul de staii de servire; conform ipotezei 1, c = 1, deci:
c) timpul mediu de rmnere n sistem (de ateptare + de servire):
(5)d) W- timpul mediu de ateptare n ir
(5)
e) probabilitatea ca un client s atepte servirea (s fie servit):
f) probabilitatea ca un client s nu atepte servire (s fie servit):
Relaiile (1) (5) se vor modifica, dac se modific legile de repartiie F(t) i G(t) sau A((t) i B((t).Exemplu (problema irurilor de ateptare ntr-un cabinet medical): Un cabinet stomatologic funcioneaz zilnic 8 ore i are un singur medic stomatolog (o singur staie de servire). Sosirile pacienilor au loc independent i aleator, dup o lege exponenial negativ, iar numrul de pacieni tratai zilnic este, n medie, de 40. Servirile (tratarea) pacienilor sunt independente i aleatoare dup o lege exponenial negativ, cu timpul mediu de consultare i tratare de 10 minute. Costul mediu (pentru cabinet) al unui tratament de 10 minute este de 100 mii de lei. Se cere: 1) s se calculeze caracteristicile irului de ateptare (parametrii L, L, W, W, p(>0) i p(=0); 2) s se calculeze timpul mediu de servire (tratare) care ar duce la un numr mediu de pacieni n irul de ateptare L = 1/2; 3) s se stabileasc care situaie este mai economic (dintre 1 i 2), tiind c o descretere a timpului de tratare cu 1 minut conduce la creterea costului cu 10 mii de lei (n medie) pe fiecare pacient tratat, dar c se pierde (de ctre cabinet) cte o mie de lei (n medie) pentru fiecare minut de ateptare n plus n sistem al unui pacient (se presupune c, dac au mult de ateptat, pacienii vor merge la alt cabinet).Rezolvare 1: rata sosirilor (medie)
rata medie a servirii
a) numrul mediu de pacieni n (irul de) ateptare (4)
pacienib) numrul mediu de pacieni n ateptare sau n curs de servire
pacieni (4)c) timpul mediu de ateptare n ir pentru un pacient:
(5)
d) timpul mediu de ateptare n sistem pentru un pacient (ateptare + servire)
(5)sau W = W + timp mediu servire = 50 min + 10 min = 60 min.
e) probabilitatea ca un pacient s atepte s fie servit (tratat): p(>0) = ( = 5/6 = 83,33%
f) probabilitatea ca un pacient s nu atepte s fie tratat: p(=0) = 1 ( ( = 1 ( 5/6 = 1/6 = 16,67%
Rezolvare 2:Se cere ca cu soluia (1 = 1/2Cum ( = const. , (1 = (/(1 = 5/ = 10 pacieni/or,
Deci timpul de servire va fi (n minute): 60/(1 = 6 min.
Ceilali parametri vor fi: pacient
Rezolvare 3:n al doilea caz, costul tratamentului unui pacient crete cu (10 min 6 min)(10 = 40 mii lei, deci costul total pentru un pacient este 100 mii + 40 mii = 140 mii lei (fa de 100 mii lei n primul caz), iar costul mediu zilnic devine 140 40 = 5600 mii lei, fa de 100 40 = 4000 mii lei n primul caz ( > cu 1600 mii lei).n primul caz ns, fa de al doilea, se pierde pentru fiecare pacient: (W ( W1) 1 = 60 12 = 48 mii lei, iar zilnic se pierd 40 48 = 1 920 mii lei.
Deci, al doilea caz este mai economic cu (n medie) 1920 1600 = 320 mii lei/zi (se cheltuiesc n plus 1600 mii lei, n medie, dar se recupereaz 1920).PAGE 1
_1146305829.unknown
_1146381101.unknown
_1399957552.unknown
_1461079652.unknown
_1461079682.unknown
_1461079937.unknown
_1399958238.unknown
_1399962741.unknown
_1461079631.unknown
_1399958269.unknown
_1399958224.unknown
_1146389366.unknown
_1146476686.unknown
_1146479542.unknown
_1146479628.unknown
_1146479772.unknown
_1146477315.unknown
_1146476108.unknown
_1146476378.unknown
_1146475835.unknown
_1146385215.unknown
_1146385506.unknown
_1146384912.unknown
_1146308066.unknown
_1146308319.unknown
_1146310237.unknown
_1146308165.unknown
_1146306387.unknown
_1146308032.unknown
_1146306229.unknown
_1146304809.unknown
_1146305535.unknown
_1146305625.unknown
_1146304925.unknown
_1146304120.unknown
_1146304660.unknown
_1144493276.unknown
