8/8/2019 teoreme[1]

1/3

TEOREME DIN GEOMETRIE DEMONSTRATE TRIGONOMETRIC

1. TEOREMA BISECTOAREI

ntr-un triunghi, bisectoarea interioar determin pe latura opus segmente

proporionale cu laturile unghiului. B2 1

A 1 CM

Fie ABC i un punct M ( ) AC , astfel nct ( ) ( )21 Bm Bm = Aplicnd teorema sinusurilor obinem:

BC

M

MC

B11 sinsin = ( )CBM

( ) BA

M

BA

M

MA

B112

sin180sinsin=

= ( ) ABM

mprind aceste egaliti membru cu membru avem:

1

1

2

1

sinsin

sinsin

M

M

BC

BA

B

B

MC

MA= (1)

Din ( ) ( ) 2121 sinsin B B Bm Bm == (2)

Din relaiile (1) si (2) BC

BA

MC

MA= (teorema bisectoarei)

2. TEOREMA NLIMII

ntr-un triunghi dreptunghic, lungimea nlimii din vrful unghiului drept emedia geometric a lungimilor proieciilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuz.

C Fie ABC . Construim ADBCD

21

A BAplicnd teorema sinusurilor obinem:

BD

A

AD

B1sinsin = ( ) ABD

( ) ADC

Prin mprirea acestor dou egaliti membru cu membru avem:

AD

C

DC

A sinsin 2 =

8/8/2019 teoreme[1]

2/3

C

A

BD

AD

A

B

AD

DC

sinsin

sinsin 1

2

= (1)

2 A B (unghiuri cu laturile perpendiculare) 2sinsin A B =

1 AC (unghiuri cu laturile perpendiculare) 1sinsin AC =

Astfel relaia (1) devine: DC BD AD BD AD

AD

DC

==2

(teorema nlimii)

3. TEOREMA CATETEI

ntr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometric lungimii ipotenuzei i a lungimii proieciei ei pe ipotenuz.

C

D1

1

A BAplicnd teorema sinusurilor obinem:

AB

C

BC

A sinsin= ( ) BAC

BD

A

AB

D11 sinsin = ( ) ABD

mprind aceste dou egaliti membru cu membru obinem:

11 sinsin

sinsin

A

C

AB

BD

D

A

BC

AB= (1)

11 sinsin)()( D A Dm Am = (2)( )1)( AC m (unghiuri cu laturile perpendiculare) 1sinsin AC = (3)

Din relaiile (1); (2) i (3) BD BC AB AB

BD

BC

AB== 2 (teoreme catetei)

Analog se demonstreaz c: DC BC AC =2

4. RELATIA LUI STEWART

Fie A, M, C trei puncte coliniare si un punct B care nu aparine dreptei AC.B

2 1

1A M C

8/8/2019 teoreme[1]

3/3

Unim punctul B cu punctele A, M si C, aplicnd teorema sinusurilor obinem:( ) ( ) ABC

BA

C

AC

B B

BC

A=+= sinsinsin 21 (1)

( ) ( ) ABM BA

M

BA

M

AM

B

BM

A=== sin180sinsinsin 112 (2)

(3)

Din relaia (1) avem:

AC

B B B B

BC

A

AC

B B

BC

A122121 cossincossinsin)sin(sin +=+=

Din relaiile(2) si (3) A BA

BM A sinsin = ; 12 sinsin M BA

AM B = ; 11 sinsin M

BC

MC B =

Conform teoremei cosinusului avem:;

2cos

222

1

BC BM

AM BC BM B

+=

BM BA

AM BM BA B

+=2

cos222

2

nlocuind n relaia (4) obinem:

++

+

=

AC

BC BM

MC BC BM

BA

AM

BM BA

AM BM BA

BC

MC M

BC BA

BM M

22sin

sin

222222

1

1

( ) BM BC BA

MC BC BM AM

BM BA BC

AM BM BAMC

BC BA

AC BM

++

+=

2)(

2

222222

22222222 MC AM BC AM BM AM AM MC BAMC BAMC AC BM +++= ( ) ( ) AC BM AM BC MC AM BM BAMC MC AM MC AM +++=+ 2222 2

nlocuind AM+MC cu AC obinem: AM BC AC BM MC BA AC MC AM += 222 (Relaia lui Stewart)

5. Dac lum2

AC MC AM == avem:

224222

3 AC BC AC BM

AC BA

AC +=

224

22

22 BC BM

BA AC +=

( )4

2 2222 AC BC BA BM += (Teorema medianei)

( )CBM BC

M

MC

B

BM

C ==

sinsinsin 11