7/26/2019 Tehnici avansate de conducere a proceselor

1/8

Nichiforov Cristina

AII

Tema de casa TACP

Cerinta:

Se considera un sistem dinamic linear stationar caracterizat prin matricele:

A=2n+1 7.5 8

n2

7 n

2 1 2

b=0

0

1

c=000

n = 3.

Sa se determine comanda optimala pentru un criteriu de calitate:

( )

+=0

dtRuuQxxJ TT

unde, Q =

I3

si R = 1.

1) Verificati controlabilitatea sistemului.) !eterminati comanda optimala pentru Q,R impus.3) "nalizati cazurile :

Q=10Q , R=1 ;

Q=0.1 Q , R=1 ;

Q=Q , R=10 ;

Q=Q , R=0.1 .

#) "preciati modul in care matricile Q si R modifica raspunsul sistemului pentru o

initializare0=

10

10

10

x

.

1

7/26/2019 Tehnici avansate de conducere a proceselor

2/8

Nichiforov Cristina

AII

Rezol$are:

1)

Studiem pentru %nceput controlabilitatea. &entru aceasta $om utiliza criteriul de

controlabilitate complete: Sistemul este complet controlabil sau altfel spus perechea (A,b) e

complet controlabil, dac i numai dac matricea de controlabilitate(P) este nesinular!

&entru n = 3 =' A=7 7.5 8

9 7 3

2 1 2

( b=0

0

1

.

!eoarece oridnul matricei " este 3 rezulta ca matricea de controlabilitate este:

P=(b Ab A2 b)

n continuare este prezentat un pro*ram, realizat %n +atlab, prin care se $erific

controlabilitatea sistemului dat.

n = 3(" = -n/1 . 2(n 3 n( 1 45 = -0( 0( 14& = ctrb6",b)7 matricea de controlabilitated = det6&)if6d8=0)disp69d8 = 0 =' Sistemul este controlabil9)end

2

7/26/2019 Tehnici avansate de conducere a proceselor

3/8

Nichiforov Cristina

AII

)

Comanda optimal este

( ) ( )tPx"Rtu T1=

unde & este solu;ia ecua;iei al*ebrice Riccati continue

0

1=+

P"P"RPAPAQ TT

Valoarea minim a criteriului este %n acest caz

00

.

1PxxJ T=

.Solu;ia & a ecua;iei Riccati este simetric nd R este matrice unitate, func;ia

-&,?,@4 = care6",5,Q)

calculeaz solu;ia unic & a ecua;iei al*ebrice Riccati

0=++ QPP""PAPA TT

unc;ia care calculeaz de asemenea matriceaP"R# T1=

7/26/2019 Tehnici avansate de conducere a proceselor

4/8

Nichiforov Cristina

AII

Vom calcula solu;ia ecua;iei al*ebrice Riccati :0=++ QPP""PAPA

TT

cu func;ia

care.

n = 3(

" = -n/1 . 2( n 3 n( 1 4(5 = -0( 0( 14 (Q = ee63)(R = 1(-&, ?, @4 = care6", b, Q, R)

Se obtine:

Vom calcula acum solu;ia sistemului cu reac;ia dup stare

u = D @E.

functiondE = fct6t, E)n = 3(

4

7/26/2019 Tehnici avansate de conducere a proceselor

5/8

Nichiforov Cristina

AII

" = -n/1 . 2(n 3 n( 1 4(b = -0( 0( 14 (@ = -.F1# 1.#GG 33.2F24(dE = 6" D b @) E(

Vom calcula solu;ia sistemului pe #s %n condi;iile ini;iale0=00

1

x

. &ro*ramul este

urmtorul:

t = -0, #4(E0 = -0( 0( 14(-t, E4 = ode#6Hfct, t, E0)(plot6t, E)*rid

Elabel69t-s49)label69E9)

Se obtine e$olutia starii sistemului:

5

7/26/2019 Tehnici avansate de conducere a proceselor

6/8

Nichiforov Cristina

AII

3)

6

7/26/2019 Tehnici avansate de conducere a proceselor

7/8

Nichiforov Cristina

AII

7

7/26/2019 Tehnici avansate de conducere a proceselor

8/8

Nichiforov Cristina

AII

Se obser$a ca, cazurile 1D#, respecti$e D3 sunt identice.

#)

&entru un $ector de initializare0=

10

10

10

x

se obtin amplitudini mai mici.

8