TAIMS [BREVIAR 1]

TAIMS / Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/ conf. V.E. Oltean

BREVIAR MATEMATICĂ ŞI TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE

I. Sisteme liniare continue - preliminarii matematice Cuvinte cheie: ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi, ecuaţie caracteristică, sistem diferenţial liniar cu coeficienţi constanţi, matrice, polinom caracteristic al unei matrice, valori proprii, exponenţiala unei matrice, sistem dinamic liniar continuu şi invariant, vector de stare (componenta liberă şi componenta forţată), matrice de tranziţie, transformarea Laplace.

1 Ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi

Cazul omogen (liber) Fie ecuaţia diferenţială liniară, omogenă, cu coeficienţi constanţi,

,0 ,,0 ,

,0)(d

)(d...d

)(dd

)(d011

1

1

≠=∈

=++++−

−

−

ni

n

n

nn

n

n

ania

tyattya

ttya

ttya

R

( 1)

unde R este mulţimea numerelor reale şi R∈t este variabila timp (continuu). Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei ( 1) este

0... 011

1 =++++ −− aaaa n

nn

n λλλ . ( 2)

Numărul întreg n ≥ 1 se numeşte ordinul ecuaţiei diferenţiale. Dacă se cunosc cele n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice ( 2), λ1, …, λn, atunci se poate determina familia de soluţii ale ecuaţiei ( 1) (tabelul 1); dacă, în plus, se precizează cele n condiţii iniţiale

00

1)1(

0'000 d

)(d, ... ,d

)(d),(tt

nn

tt ttyy

ttyytyy

=−

−

=

===1n-

(în general, t0=0), atunci se poate determina unica

soluţie a ecuaţiei ( 1), care satisface condiţiile iniţiale date.

Cazul neomogen (forţat) Fie u : R → R o funcţie continuă şi derivabilă de ordin m şi ecuaţia diferenţială neomogenă

. ,0 ,,0 ,,0 ,, ,d

)(dd

)(d

00

nmamjnibat

tubt

tya njij

jm

jj

n

ii

i

i <≠==∈=∑∑==

R ( 3)

Soluţia generală a ecuaţiei ( 3) este de forma

)()()( tytyty fl += , ( 4)

unde yl(.) este soluţia ecuaţiei omogene ( 1), ataşate ecuaţiei ( 3), iar yf(.) este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.

Tabelul 1. Tipologia soluţiilor ecuaţiei diferenţiale omogene ( 1)

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice ( 2) Forma soluţiei ecuaţiei diferenţiale omogene ( 1).

I) n rădăcini reale şi distincte λ1, λ2,…, λn reale constante,

,...)(

21

2121

C,...,CCeCeCeCty

n

tn

tt nλλλ +++=

II) rădăcina λ1 este reală şi multiplă de ordinul r1, 1 ≤ r1 ≤ n

Componenta soluţiei, corespunzătoare rădăcinii λ1, este:

reale constante,

,)...()(

110

12

11

01

1

11

11

C,...,CC

eCtCtCty

r

tr

rr

−

−−− +++= λ

III) k rădăcini reale, λ1, λ2,…, λk, multiple, cu ordinele de multiplicitate,

respectiv,

r1, r2,…, rk şi nrk

i i =∑ =1

12

11

01

111

...)(

,)(...)()()( 22

11

−−−

−

−−−

+++=

+++=

iii

i

kk

rrr

r

tr

tr

tr

CtCtCtQ

etQetQetQty λλλ

IV) două rădăcini complex conjugate, simple1

R∈±= βαβαλ , ,2,1 j

Componentele soluţiei, corespunzătoare rădăcinilor βα j± , sunt:

tetytety tt ββ αα sin)( ;cos)( 21 ==

2 Sisteme dinamice liniare, continue şi invariante

2.1 Preliminarii: elemente de algebră liniară Fie matricea pătrată, reală2

ni,jaaa

aaA ij

nnn

n

,...,2,1 , ,

1

111

=∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= R

L

MOM

L

. ( 5)

Se notează . nnnjiijaA ×

≤≤ ∈= R,1)(Matricea unitate de ordinul n este

. 10

01

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

L

MOM

L

nI ( 6)

Polinomul caracteristic al matricei A este polinomul de grad n, definit prin

nnn

n

nA

aa

aaAIP

−−

−−=−=

λ

λλλ

L

MOM

L

1

111

)det()( . ( 7)

Fie o matrice oarecare, un vector nenul, cu n componente şi

numărul complex λ∈C. Dacă

nnA ×∈R⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−∈

0

0Mnx R

xAx λ= , ( 8)

1 Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini complexe multiple, se procedează ca în cazul III. 2 Rezultatele prezentate în continuare sunt mai generale, fiind valabile pentru matrice pătrate complexe . nnA ×∈C

______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 2/19

atunci λ se numeşte valoare proprie a matricei A iar x este un vector propriu asociat lui λ. Consecinţă: valorile proprii ale matricei A sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice

0)( =λAP . ( 9)

Spectrul matricei A este mulţimea valorilor proprii3

C⊂=Λ ,...,,)( 21 nA λλλ . ( 10)

Seria ∑ ≥=+++++=

0

2

!!!2!11

k

kka

ka

kaaae LL este convergentă, cu a∈R un număr arbitrar

şi fixat. Pentru orice matrice , se numeşte exponenţiala matricei A suma seriei nnA ×∈R

∑≥

=+++++=0

2

!1

!1

!21

!11

k

kkn

A Ak

Ak

AAIe LL . ( 11)

Seria ( 11) este convergentă, deoarece condiţia ∞<= ∑ ji ijaA,

este îndeplinită [11]. nnA ×∈∀ R

Fie R∈t variabila timp (continuu). Exponenţiala de matrice de funcţii (de timp) este

∑≥

=+++++=0

22 )(!

1!

1!2

1!1

1

k

kkkn

At Atk

tAk

tAAtIe LL . ( 12)

Câteva proprietăţi ale exponenţialei de matrice

P1. , cu matricea nulă de ordin n. nIe nn =×0nn×0

C∈∀== λλλλ ),(ediagIee nIn (a se vedea nota4).

P2. Dacă , atunci nnndiagA ×∈= R),,( 21 λλλ K ),,,( 21 neeediage A λλλ K=

şi . R∈∀= teeediage tttAt n ),,,,( 21 λλλ K

P A) Dacă şi AnnBA ×∈R, B = B A atunci . În plus, BAABBA eeeee +=⋅=⋅R∈∀=⋅=⋅ + teeeee tBAAtBtBtAt ,)( .

B) şi . R∈∀⋅=+21

)( , ,2121 tteee AtAtttA nnA ×∈∀ RC) şi . R∈∀===⋅ ×−− tIeeee n

ttAAAtAt nn , 0)( nnA ×∈∀ RConsecinţă: este inversabilă şi Ate

,][ 1 R∈∀= −− tee AtAt şi . nnA ×∈∀ R ( 13) P4. Derivarea unei matrice de funcţii înseamnă derivarea fiecărui element al matricei şi

,dd R∈∀⋅= teAet

AtAt şi . nnA ×∈∀ R ( 14)

P5. Dacă , cu T o matrice inversabilă (de schimbare de coordonate), atunci

.

nnTA ×∈R,

R∈∀⋅⋅= −−

tTeTe AtTAtT ,1)(1

3 Valorile proprii sunt reale sau complex conjugate, deoarece polinomul caracteristic PA(λ) are coeficienţii reali.

4 este matricea pătrată care are elementele de pe diagonală egale cu a şi restul elementelor nule. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

a

aadiag

K

MOM

K

0

0)(


2.2 Sisteme dinamice liniare, continue şi invariante Un sistem dinamic liniar, continuu, invariant (cu coeficienţi constanţi), monovariabil (cu o intrare şi o ieşire), notat , este descris de ecuaţiile de stare ),,)(( TcbAΣ

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+=Σ•

),()(

,)( ),()()( )( 00

txcty

xtxtbutAxtxT

( 15)

unde: este continuă (eventual pe porţiuni), RR →:(.)u

n

n tx

txtx R∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

)(

)()(

1

M este vectorul de stare (sau starea sistemului),

RU ⊂∈)(tu este intrarea (sau comanda), cu U mulţimea valorilor intrării, R∈)(ty este ieşirea (sau măsura), respectiv, la momentul R∈t ,

00 )( xtx = este condiţia iniţială, (în general, t0=0), nnA ×∈R este matricea sistemului ( 15) (de forma ( 5)),

11

×∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= n

nb

bb RM este vectorul coloană al coeficienţilor intrării, iar

( ) nn

T ccc ×∈= 11 RK este vectorul linie al coeficienţilor ieşirii.

În ( 15), concentrează toată istoria sistemului care influenţează evoluţia acestuia pentru .

00 )( xtx =

0tt ≥Starea sistemului ( 15), la un moment , este 0tt ≥

∫ −− +=t

t

tAttA buexetx0

0 d)()( )(0

)( θθθ , ( 16)

iar ieşirea sistemului ( 15) este

∫ −− +=t

t

tATttAT buecxecty0

0 d)()( )(0

)( θθθ . ( 17)

În expresia ( 16), starea este suma dintre componentă liberă , reprezentând 0)( 0)( xetx ttA

l−=

soluţia sistemului liber , cu )()( tAxtx =•

00 )( xtx = şi componenta forţată

∫ −=t

t

tAf buetx

0

d)()( )( θθθ , ce depinde de intrarea u. Similar, răspunsul ( 17) se descompune în

răspunsul liber şi răspunsul forţat . 0)( 0)( xecty ttAT

l−= ∫ −=

t

t

tATf buecty

0

d)()( )( θθθ

)( 0)( ttAet −=Φ , R∈t , se numeşte matricea de tranziţie de la t0 la t a sistemului ( 15), iar relaţia ( 16), cu , este soluţia sistemului diferenţial din ( 15). R∈tIncluderea perturbaţiilor în modelul unui sistem dinamic liniar, continuu, invariant şi monovariabil

Dacă se consideră atât acţiunea perturbaţiilor v, cât şi o distincţie între măsură şi mărimea reglată, atunci modelul ( 15) se rescrie sub forma

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=++=

Σ

•

),()(

),()(

,)( ),()()()(

)(00

txgtz

txcty

xtxtvetbutAxtx

T

Tv

( 18)


unde: este continuă (eventual pe porţiuni), , RR →:(.)u ntx R∈)( R∈)(tu , , ,

şi au, respectiv, aceeaşi semnificaţie ca în ecuaţiile ( 15); este perturbaţia şi este mărimea reglată (sau de calitate), respectiv, la

R∈)(ty nnA ×∈R1×∈ nb R nTc ×∈ 1R R∈)(tvR∈)(tz R∈t ; ( ) 1

1×∈= nT

nvvv eee RK este

vectorul coeficienţilor perturbaţiei v, iar ( ) nn

T ggg ×∈= 11 RK este vectorul coeficienţilor

mărimii z.

x0x0

Mărimea reglată z

Măsura yComanda uIeşireIntrare

yu (Σ) x∈R n

(stare)

a)

(Σ) x∈R n

(stare)

Perturbaţiav

b) Fig. 1 – a) Schema bloc a sistemului dinamic descris de ecuaţiile de stare ( 15); b) schema bloc a modelului sistemic ( 18).

Modelul unui sistem dinamic liniar, continuu şi multivariabil

Un sistem dinamic liniar, continuu, invariant, multivariabil (cu m intrări şi p ieşiri) şi neperturbat este descris de ecuaţiile de stare

⎪⎩

⎪⎨⎧

==+=Σ

•

),()(,)( ),()()()( 00

tCxtyxtxtButAxtx

( 19)

unde: este continuă (eventual pe porţiuni), mu RR →:(.)

n

n tx

txtx R∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

)(

)()(

1

M este vectorul de stare,

m

m tu

tutu R∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

)(

)()(

1

M este vectorul de comenzi (sau comanda),

p

p ty

tyty R∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=)(

)()(

1

M este vectorul ieşirilor (sau măsurilor),

nnA ×∈R este matricea sistemului, mnB ×∈R este matricea coeficienţilor intrărilor, iar npC ×∈R este matricea coeficienţilor ieşirilor.

um

.

.

.

x0

yp

y1

.

.

.

u1(Σ)

x ∈ R n

Fig. 2 - Schema bloc a sistemului multivariabil ( 19).


Liniarizarea ecuaţiilor de stare ale unui sistem neliniar, continuu, multivariabil, invariant şi neperturbat. Puncte staţionare.

Fie ecuaţiile neliniare şi invariante ale unui sistem cu m intrări5

))(),(()( tutxftx =•

, 00 )( xtx = , ( 20) unde mu RR →:(.) este continuă (eventual pe porţiuni), iar ( ) nT

n txtxtx R∈= )()()( 1 K şi

( ) mTm tututu R∈= )()()( 1 K sunt, respectiv, starea şi intrarea (sau comanda) la momentul R∈t .

este un vector de funcţii diferenţiabile, , . ( Tnfff K1= ) RRR →× mn

if : ni ,,2,1 K=mnux RR ×∈),( ** este un punct staţionar al sistemul ( 20) dacă . 0),( ** =uxf

Definim abaterile *)()( xtxtx −= şi *)()( ututu −= . Ecuaţiile de stare liniare de forma ( 19) se obţin, în general, prin liniarizarea ecuaţiilor neliniare ( 20) în jurul unui punct staţionar

şi reprezintă dinamica “micilor abateri” în jurul punctului staţionar ales. mnux RR ×∈),( **

Matricele A şi B din ( 19) se obţin, respectiv, conform relaţiilor următoare:

),(1

1

1

1

),(1

1

1

1

**

**

),(),(

),(),(

),(),(

),(),(

uuxxm

nn

m

uuxxn

nn

n

uuxf

uuxf

uuxf

uuxf

B

xuxf

xuxf

xuxf

xuxf

A

==

==

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

L

MM

L

L

MOM

L

( 21)

1. Ecuaţiile de stare ale unui sistem dinamic permit o evaluarea a comportării interne a sistemului. Componentele vectorului de stare se numesc variabile de stare (sau variabile interne).

2. Modelul monovariabil ( 15) este o particularizare a modelului ( 19). 3. Modelele ( 15), ( 18) şi ( 19) sunt adecvate cercetărilor teoretice (calcule analitice privind

proprietăţile sistemelor), aplicării tehnicilor de optimizare dinamică cu criteriu pătratic [3] şi aplicării metodelor numerice de integrare.

4. Calculul componentei libere a stării unui sistem liniar ( 15), (( 18) sau ( 19)) este relativ simplu şi intervine în definiţia stabilităţii interne a sistemului dinamic respective.

5. Fără a intra în detalii, reamintim că oricărei ecuaţii diferenţiale, liniare, cu coeficienţi constanţi, de ordinul n, de forma ( 3), i se poate asocia o familie de ecuaţii de stare ( 15), adică o familie de triplete . Această transformare de modele se face, în ),,)(( TcbAΣprincipiu, prin scrierea unui sistem diferenţial (neunic!) de ordinul n (alcătuit din n ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi), pe baza ecuaţiei ( 3). Problema alegerii variabilelor de stare este o chestiune nu întotdeauna simplă.

5 Pentru simplitate, se consideră că întregul vector de stare se regăseşte la ieşire.


3 Transformarea Laplace

3.1 Definiţie, proprietăţi fundamentale şi exemple Fie , , o funcţie reală de variabila timp RR →:f )(tft a R∈t . Funcţia este o funcţie de tip original Laplace dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 1)

f0)( =tf , pentru orice , 2) este

continuă pe porţiuni pe intervalul 0<t f

[ )∞,0 şi 3) 0>∃M un majorant şi R∈∃a , numit indice de creştere, astfel încât atMetf <)( , . Se notează cu O mulţimea funcţiilor original Laplace0≥∀t 6.

Notăm cu C mulţimea numerelor complexe (sau planul complex) şi fie C∈+= ωσ js variabila complexă.

Fie o funcţie fixată de indice şi fie semiplanul O∈f a )Re(|)( assaD >=∈= σC . Funcţia complexă , definită prin C→)(: aDF

∫∞

−=≡0

d)()()( tetftfsF stL , ( 22)

se numeşte transformata Laplace a funcţiei . Se mai notează, pe scurt: f

)()( sFtfL→ sau fF L= . ( 23)

Transformarea Laplace, notată L, este un operator definit pe mulţimea O, care face să corespundă oricărei funcţii , funcţia complexăO∈f fF L= , definită în ( 22).

Principalele proprietăţi ale transformării Laplace sunt descrise, succint, în tabelul 2, iar transformatele Laplace ale unor funcţii elementare, reprezentând semnale uzuale în tehnica reglării automate, sunt listate în tabelul

3.2 Calculul transformatei Laplace inverse prin descompunerea în expresii raţionale simple

Fie şi presupunem că transformata sa Laplace este o raţională strict proprie O∈f)()()(

sPsZsF = , adică

şi sunt polinoame cu proprietatea )(sZ )(sP PZ gr gr < . Se consideră problema calculului funcţiei

, numită transformata Laplace inversă a funcţiei . Pentru aceasta, se parcurg următorii paşi:

)()( 1 sFtf −= L )(sF

Pasul 1. Se descompune raţionala în raţionale simple, de forma celor din coloana din dreapta a

tabelului )(sF

Pasul 2. Pentru fiecare termen al descompunerii, se folosesc corespondenţele din tabelul Apoi, în baza teoremei de liniaritate (tabelul 2), se calculează ca sumă a imaginilor, în timp, astfel obţinute.

)()( 1 sFtf −= L

În descompunerea raţionalei )()()(

sPsZsF = pot să apară patru cazuri principale.

a) Dacă are n poli reali, simpli, , atunci )(sF nss ,,1 K

n

n

ssR

ssRsF

−++

−= L

1

1)( , ( 24)

iar problema constă în determinarea reziduurilor , iR ni ,1= .

6 Funcţiile de timp cu aceste proprietăţi modelează, printre altele, semnalele ce apar, în tehnică, în momentul conectării unor echipamente. De exemplu, conectarea unui motor electric la o sursă de tensiune constantă se poate modela printr-un semnal de tip treaptă (a se vedea şi tabelul 3).


b) Dacă are un pol real , cu multiplicitatea r, atunci el va genera, în descompunere, un termen de forma

)(sF ks

k

kr

k

rkr

k

rk

ssR

ssR

ssR

−++

−+

− −− 1,

11,,

)()(L , ( 25)

unde , ikR , ri ,1= , sunt reziduurile ce trebuie calculate.

c) Dacă are doi poli complex conjugaţi simpli, )(sF βα js ±=2,1 , atunci lor le corespunde, în descompunere, un termen de forma

22)( βα +−+⋅

sRsR ba , ( 26)

unde şi sunt reziduuri ce trebuie calculate. aR bR

d) Dacă are doi poli complex conjugaţi, )(sF βα js ±=2,1 , cu multiplicitatea r, atunci lor le corespunde, în descompunere, un termen de forma

221,1,

1221,1,

22,,

)(])[(])[( βαβαβα +−

+⋅++

+−

+⋅+

+−

+⋅−

−−

sRsR

sRsR

sRsR ba

rrbra

rrbra

L , ( 27)

unde , , iaR , ibR , ri ,1= , sunt reziduuri ce trebuie calculate.

În expresiile ( 24), ( 25), ( 26) şi ( 27), reziduurile se calculează fie prin identificarea coeficienţilor polinomului de la numărătorul expresiei în care s-a descompus transformata – aduse la acelaşi numitor - cu coeficienţii polinomului , fie prin aplicarea formulei generale prezentate în continuare.

)(sF)(sZ


Tabelul .2 Proprietăţi de calcul uzuale ale transformării Laplace

Denumirea teoremei Relaţia de calcul, cu notaţiile: f - funcţia original şi )()( tfsF L≡ - transformata Laplace

Teorema de liniaritate ),()()()( 2121 sFsFtftf βαβα +=+L R∈∀ βα , şi O∈∀ 21, ff

Teorema asemănării ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=αα

α sFtf 1)(L , , 0 >∈∀ αα R

Teorema deplasării argumentului complex

)()( asFetf at −=L , a,a 0 >∈∀ R

Teorema derivării transformatei n

nnn

ssFtft

d)(d)1()( −=L

Teorema integrării originalului

)(1d)(0

sFs

ft

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫ θθL

Teorema derivării originalului

)0()(d

)(d+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ fssF

ttfL

)0(')0()(d

)(d 22

2

++ −−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

fsfsFst

tfL

)0()0()0()(d

)(d )1()2(1+

−+

−+

− −−−−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ nnnn

n

nfsffssFs

ttf

KL

cu , )(lim)0( )(

00

)( tff k

tt

k

>→

+ = nk <≤0 şi derivata de ordinul k a lui f )(kf

Teorema valorii finale Dacă este derivabilă şi derivata sa este O∈f O∈'f şi, în plus, există , atunci )(lim)( tff

t ∞→=∞ )()(lim

0∞=

→fssF

s.

Teorema valorii iniţiale Dacă este derivabilă şi derivata sa este O∈f O∈'f şi dacă există şi , atunci )(lim)0(

00

tfftt>→

+ = )(lim ssFs ∞→

)0()(lim +∞→

= fssFs

.

Transformata Laplace a produsului de convoluţie a două semnale

Dacă O∈21, ff şi O∈∗ 21 ff , atunci

)()(d)()())(( 210

2121 sFsFtfftfft

⋅→−=∗ ∫L

θθθ

Teorema întârzierii Dacă O∈21, ff , 0>θ , 0)(1 =tf , dacă θ<t şi )()( 21 θ−= tftf , dacă θ≥t ,

atunci )()( 21 sFesF sθ−=


Tabelul .3 Transformate Laplace ale unor funcţii elementare

Funcţia O∈f Transformata Laplace )()( tfsF L≡

)(tδ 7 (impulsul Dirac de arie unitară, cu ) 1d)( =∫∞

∞−ttδ 1

⎩⎨⎧

≥<

=0 ,10 ,0

)(1tt

t (funcţia treaptă unitară) s1

tt ⋅)(1 (funcţia rampă unitară) 21s

!)(1

ntt

n⋅ 1

1+ns

C∈⋅ aet at ,)(1 as −1

atn

entt ⋅⋅

!)(1 1)(

1+− nas

tt ωsin)(1 ⋅ 22 ωω+s

tt ωcos)(1 ⋅ 22 ω+ss

tet at ωsin)(1 ⋅⋅ 22)( ωω

+− as

tet at ωcos)(1 ⋅⋅ 22)( ω+−

−

asas

Observaţii finale

1) În general, dacă )()()(

sPsZsF = este o raţională cu proprietatea şi care are

poli distincţi, cu multiplicităţile, respectiv, , astfel încât

PZ gr gr <

qss ,,1 K qrr ,,1 K Pnrq

k k gr 1

==∑ =, atunci

semnalul în domeniul timp are expresia

tsjq

k

r

j

kj kk

etjR

sFtf 1

1 1

1

)!1()()( −

= =

− ⋅−

== ∑∑L , , 0≥t ( 28)

cu reziduurile

k

k

k

k

ss

rkjr

jr

kkj sssF

sjrR

=−

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

= ]))(([dd

)!(1 )(

. ( 29)

2) Dacă, în raţionala )()()(

sPsZsF = , polinoamele şi au proprietatea )(sZ )(sP PZ gr gr = ,

atunci în descompunerea în fracţii simple apare un reziduu suplimentar 0)(lim ≠=∞→∞ sFR

s.

7 Fie funcţia dreptunghiulară . Atunci impulsul (sau distribuţia) Dirac este

⎩⎨⎧ ≤≤

=altfel ,0

0pentru ,/1)(

εεδε

tt )(lim)(

00

tt ε

εε

δδ>→

= .


3.3 Aplicaţii ale transformării Laplace în studiul sistemelor dinamice

Rezolvarea, în mulţimea O, a ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi

Ipoteză: în ecuaţia ( 3), . Aplicând proprietăţile transformării Laplace din tabelul 2 şi folosind corespondenţele din tabelul 3, se parcurg următorii paşi:

O∈(.)u

1) Se calculează transformata Laplace a intrării )()( tusU L= . Se transformă ecuaţia diferenţială ( 3) în domeniul operaţional, obţinându-se o ecuaţie algebrică cu necunoscuta

. )()( tysY L=2) Se rezolvă ecuaţia algebrică de la pasul 1, explicitând dependenţa lui de (şi,

eventual, de condiţiile iniţiale, dacă acestea sunt nenule). )(sY )(sU

3) Se calculează , aplicând metoda expusă în subsecţiunea 2. )()( 1 sYty −= L

Ecuaţia diferenţială(variabila t)

Ecuaţia algebrică(variabila s)

Transformarea L

Soluţionare înoperaţional ⇒ Y(s)

Soluţionare în domeniultimp ⇒ y(t)

Transformarea L−1

Fig. 3 – Schema de calcul a soluţiei ecuaţiei diferenţiale liniare ( 3), folosind transformata Laplace.

Calculul analitic al exponenţialei de matrice Ate

Fie matricea . [11], ceea ce reprezintă o generalizare a relaţiei

scalare , cu (tabelul 3), iar

nnA ×∈R 1)()(1 −−=⋅ AsIet nAtL

1)()(1 −−=⋅ aset atL R∈a

)( 11 −− −= AsIe nAt L , . 0≥t ( 30)

Se reaminteşte că

)det()(adj)( 1

AsIAsIAsI

n

nn −

−=− − , ( 31)

unde este chiar polinomul caracteristic ( 7) al matricei A. )det()( AsIsP nA −=


Tabelul 4 Elemente standard de transfer

Sim-bol Denumire Ecuaţia diferenţială Funcţia de transfer

)(/)()( sUsYsH f= şi parametrii modelului

u y= yfH (s)

P Element

proporţional )()( tKuty = ,

- nu este o ecuaţie diferenţială, ci o relaţie pur statică

KsH =)(

K > 0 – factorul de amplificare

I Element integrator )(

d)(d

tutty

TI = sT

sHI

1)( =

TI [sec] > 0 – constanta de timp de integrare

D Element derivator t

tuTty D d

)(d)( =

- este un element ideal

sTsH D=)(

TD [sec] > 0 – constanta de timp de derivare

PT1 Element proporţional, de întârziere de ordinul 1

)()(d

)(dtKuty

tty

T =+ 1

)(+

=Ts

KsH

K > 0 – factorul de amplificare T [sec] > 0 – constanta de timp

PT2 Element proporţional, de întârziere de ordinul 2

)()(d

)(d2

d)(d

2

22 tKuty

tty

Tt

tyT =++ ζ

sau

)()(d

)(d2

d)(d 22

2

2tuKty

tty

tty

nnn ωωζω =++

12)(

22 ++=

TssTKsHζ

sau

22

2

2)(

nn

n

ssK

sHωζω

ω++

=

K > 0 – factorul de amplificare T [sec] > 0 – constanta de timp ωn = 1/T[sec-1] > 0 – frecvenţa

naturală ζ ∈[0, 1] – factorul de amortizare


Tabelul 5 Funcţii de transfer asociate comportărilor dinamice ale unor elemente fizice analogice

Tipul sistemului fizic

Electric Mecanic - translaţie Mecanic - rotaţie

Blocul de transfer

iu H(s)

i [A] – intensitate u [V] – tensiune

vF H(s)

F [N] – forţă v [m/sec] – viteză de

translaţie

ωM H(s)

M [N.m] – moment ω [1/sec] – viteză de

rotaţie

Element fizic

Rezistenţă

rezistenţă R [Ω]

Amortizor coeficient de frecare vâscoasă

qv [N.sec/m]

Amortizor coeficient de frecare vâscoasă

qr [N.m.sec]

Legea fizică uR

i ⋅=1 F

qv

v⋅=

1 Mqr

⋅=1ω

Elem

ente

pro

porţi

onal

e

Funcţia de transfer R

1 vq

1 rq

1

Element fizic

Condensator

capacitate C [F]

Resort

rigiditate k [ N/m]

Resort

rigiditate kr [N.m]

Legea fizică

tuCi

dd⋅=

tF

kv

dd1⋅=

tM

kr dd1⋅=ω

Elem

ente

der

ivat

oare

Funcţia de transfer

Cs sk⋅

1 skr

⋅1

Element fizic Bobină

inductivitate L [H]

Corp

de masă m [kg]

Corp cu momentul de inerţie

J [kg.m2]

Legea fizică

∫= tu

Li d 1 ∫= tF

mv d 1 ∫= tM

Jd 1ω

Elem

ente

inte

grat

oare

Funcţia de transfer Ls

1 ms1

Js1


Tabelul 5 Funcţii de transfer asociate comportărilor dinamice ale unor elemente fizice analogice – continuare

Tipul sistemului fizic

Hidraulic Pneumatic Termic

Blocul de transfer

q∆p H(s)

∆p [N/m2] – diferenţă de

presiune q [m3/sec] – debit volumic

dm/dt∆p H(s)

∆p [N/m2] – diferenţă de presiune qm=dm/dt [kg/sec] – debit masic

φθ H(s)

θ [K] – temperatură φ [kJ/h] – flux de căldură

Element fizic

Rezistenţă rezistenţă hidraulică

rh[kg/m3.sec]

Rezistenţă rezistenţă pneumatică

rp [1/m.sec]

Perete neted rezistenţă termică

rt [K.h/kJ]

Legea fizică pr

qh

∆⋅=1 p

rtm

p∆⋅=

1dd θφ ⋅=

tr1

Elem

ente

pro

porţi

onal

e

Funcţia de transfer hr

1 pr1

tr1

Element fizic

Rezervor

capacitate hidraulică

Ch [m4.sec2/kg]

Rezervor capacitate pneumatică

Cp [m.sec2]

Rezervor

capacitate calorică

Ct [kJ/K]

Legea fizică

tp

Cq h dd⋅=

tp

Ctm

p dd

dd

⋅= t

Ct ddθφ ⋅=

Elem

ente

der

ivat

oare

Funcţia de transfer

sCh sC p sCt

Element fizic

Element cu inductivitatea hidraulică

Lh [kg/m4]

Element cu inductivitatea pneumatică

Lp [1/m]

Legea fizică ∫ ∆= tpL

qh

d 1 ∫ ∆= tpLt

m

pd 1

dd

Elem

ente

inte

grat

oare

Funcţia de transfer sLh

1 sL p

1


Tabelul 6 Graficele răspunsurilor indiciale ale elementelor standard de transfer (formele curbelor).

Element Funcţia de transfer )(/)()( sUsYsH f=

y = yfH (s)

u

Polii funcţiei de transfer Graficul răspunsului indicial u(t)=1(t)

u

t

1

0

P KsH =)(

K > 0

- yf

t

K

0

I sT

sHI

1)( =

TI [sec] > 0 s1=0

jω

σ

tgα=1/TI

α

yf

t0

D sTsH D=)(

TD [sec] > 0

- yf = TD δ

t0

PT11

)(+

=Ts

KsH

K > 0, T [sec] > 0 s1

−1/T

jω

σ

yf

t

K

0

ζ∈(0,1) s2

σ

21 ζω −njs1

jω

21 ζω −− nj−ζωn

yf

t

K

0

2K

ζ = 0 s2

s1 njω

σ

jω

njω−

yf

t

K

0

2K

PT222

2

2)(

nn

n

ssKsH

ωζωω

++=

K > 0,

ζ ∈ [0, 1],

ωn [sec-1] > 0

ζ = 1 −ωn

s1 = s2

σ

jω yf

t

K

0


Tabelul 7 Reprezentări în frecvenţă ale elementelor standard de transfer (formele curbelor).

Element Funcţia de transfer Caracteristicile (semi)logaritmice

dB)]([ ωH , )(ωϕ .

Hodograful )(UVV = , , 0>ω

HU Re)( =ω , HV Im)( =ω .

P KsH =)(

K > 0

0

[H(ω)]dB

ω[lg(ω )]ϕ(ω)

ω[lg(ω )]

K > 1

(K,0)0

V

U

I sT

sHI

1)( =

TI [sec] > 0 1/TI

[H(ω)]dB

ω[lg(ω )]ϕ(ω)

ω[lg(ω )]

-20[dB/dec]

-π/20

0

V

U

D sTsH D=)(

TD [sec] > 0

0ω[lg(ω )]

1/TD

[H(ω)]dB

ω[lg(ω )]ϕ(ω)

+20[dB/dec]

π/2

0

V

U

PT11

)(+

=Ts

KsH

K > 0, T [sec] > 0

[H(ω)]dB

ω[lg(ω )]ϕ(ω)

ω[lg(ω )]

-20[dB/dec]

-π/2

1/T

0

(K,0)0

V

U

PT222

2

2)(

nn

n

ssKsH

ωζωω

++=

K > 0,

ζ ∈ [0, 1],

ωn [sec-1] > 0

[H(ω)]dB

ω[lg(ω )]ϕ(ω)

ω[lg(ω )]

-40[dB/dec]

-π/2

-π

ζ ∈ (0, 1)

ωn

0

(K,0)0

V

U


II. Puncte de echilibru ale sistemului liniar de ordinul 2 –portrete de fază Fie sistemul dinamic

)(xfx =& , , open, nW R→:f nW R⊂ (1)

cu f de clasă . 1CPentru o condiţie iniţială , urma lăsată de soluţia lui (1) în spaţiul stărilor, 0x WI →γ : ,

, se numeşte traiectorie şi, cf. teoremei de unicitate, prin orice punct trece o singură traiectorie. Reprezentarea geometrică a mulţimii traiectoriilor se numeşte portret de fază.

),( 0xtt φa

Fie o aproximare liniară a sistemului (1) în jurul unui punct singular W∈x~ , descrisă de sistemul

xAx ˆˆ =& , (2)

unde

xxx ~ˆ −= , )~(xfA x∇= . (3)

Reamintim că soluţia problemei de condiţie iniţială

Axx =& , nR∈= Kx )0( (4)

este

Kx Atet =φ ))0(,( . (5)

Sistemul (2) are un echilibru în origine 0x = dacă A este nesingulară şi respectiv un continuum de echilibre, altfel.

Pentru sisteme de ordinul 2 de forma (2), dacă A este nesingulară, atunci valorile proprii ale lui A oferă informaţii calitative despre natura punctelor singulare ale sistemului iniţial (1).

Iată cele mai importante cazuri. Cazul I. A are valori proprii reale de semne opuse µ<<λ 0 . Originea este numită punct şa

(saddle) (Fig.2a) Cazul II. Ambele valori proprii au partea reală negativă, 0<λ , 0<µ . Acest caz se numeşte

atractor (sink), şi 0)(lim =∞→

tt

x , pentru orice iniţializare Kx =)0( .

Dacă A este diagonalizabilă cu valorile proprii egale 0<λ=µ , atunci portretul de fază descrie un focar (stabil) (Fig.2b). Dacă A este diagonalizabilă cu valorile proprii distincte, , 0<λ 0<µ ,

, portretul de fază este un nod (Fig.2c). µ≠λDacă A NU este diagonalizabilă şi are valorile proprii cu partea reală negativă, portretul de

fază se numeşte nod degenerat (improper node) (Fig2d). Dacă valorile proprii ale lui A sunt β±α j , 0<α , portretul de fază este un focar stabil (spiral

sink) (Fig.2e). Cazul III. Toate avlorile proprii au partea reală POZITIVA. În acest caz, numit sursă,

(source) ∞=∞→

)(lim tt

x and 0)(lim =−∞→

tt

x .

Cazul IV. Valorile proprii sunt pur imaginare, β± j . Acest caz este numit centru (centre) şi soluţiile sunt periodice cu aceaaşi periadă (Fig.2f).


a-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-60

-40

-20

0

20

40

60

x1

x2

saddle, eigenvalues: -0.1, 0.1

b-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

stable focus, eigenvalues:-1, -1

c-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

stable node, eigenvalues:-2, -1

d-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

improper node, eigenvalues:-1, -1

e-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

spiral sink (focus), eigenvalues:-1+j, -1-j

f-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

center, eigenvalues:+j, -j

Fig. 4. Exemple de reprezentare grafică folosind simularea în MATLAB a portretelor de fază pentru sisteme de ordinul 2

Axx =& .


TAIMS [BREVIAR 1]

Documents

Transcript of TAIMS [BREVIAR 1]