tablouri_semantice

1 ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ

1.1 LOGICA PROPOZIŢIILOR

REGULILE TABLOURILOR SEMANTICE (LOGICA PROPOZIŢIONALĂ)

A ¬

F(x)

x)¬A(M

¬F

A(x)

x)¬F(M

∧A

A(y)

A(x)

y)A(x

M

M

∧

∧F

F(y) F(x)

y)F(x ON

∧

∨A

A(y) A(x)

y)A(xON

∨

∨F

F(y)

F(x)

y)F(x

M

M

∨

→A

A(y) F(x)

y)A(xON

→

→F

.

F(y)

A(x)

y)F(x

M

M

→

⇔A

F(y) A(y)F(x) A(x)

y)A(xON

⇔

⇔F

A(y) F(y)F(x) A(x)

y)F(xON

⇔

1.1.1 Decideţi, cu ajutorul regulilor tablourilor semantice, dacă există o situaţie în care cele trei afirmaţii de mai jos pot fi adevărate împreună şi, dacă există, care este această situaţie (Keisler) Trei indivizi S, P, R sunt cercetaţi în legătură cu comiterea unei infracţiuni. Ei declară următoarele: S: P este vinovat iar R este nevinovat P: Dacă este vinovat S, atunci este vinovat şi R R: Eu sunt nevinovat, dar cel puţin unul din ceilalţi doi este vinovat. Rezolvare: dacă procedăm la următoarea abreviere: p: P este vinovat r: R este vinovat

s: S este vinovat,

atunci structura logică a celor trei declaraţii este:

S: p ∧ ¬r

P: s → r

R: ¬r ∧(s ∨ p)

Pentru a testa dacă cele trei declaraţii pot fi simultan adevărate, trebuie să verificăm dacă

tabloul semantic complet, corespunzător conjuncţiei celor trei declaraţii, are cel puţin o

ramură deschisă

✓

✓

✓

✓

✓

✓

Observăm că tabloul semantic are o ramură deschisă, prin urmare există o situaţie în care

cele trei afirmaţii sunt adevărate. Citind asignările variabilelor propoziţionale de pe această

ramură obţinem situaţia în care cele trei declaraţii sunt adevărate simultan, respectiv:

A(p) [v(p) = 1]

F(s) [v(s) = 0]

F(r) [v(r) = 0]

1.1.2 Determinaţi, cu ajutorul regulilor tablourilor semantice, dacă următoarele

argumente sunt valide. În cazul în care nu sunt valide, oferiţi o evaluare a variabilelor

propoziţionale care să constituie un contraexemplu:

a) Logica e grea sau logica nu e agreată de studenţi.

Dacă matematica e uşoară, atunci logica nu e grea.

Logica este agreată de studenţi.

Matematica nu e uşoară.

x 5./A din 12.A(s) 5./A din 11.A(p)

x 2./A din A(r) 10. 2./A din F(s) 9.

¬7./A sau ¬/A 4. din F(r) 8.

1./A din r)¬A( 7.

1./A din A(p) 6.

3./A din s) A(p 5.

3./A din r)¬4.A(

s)) (p r¬A( 3.r) A(s 2.r)¬ A(p 1.

∨∨

→→

∧

∧

∧∨

∧

∨∧→∧

ON

ON

M

M

M

M

M

Rezolvare:

dacă procedăm la următoarea abreviere:

p = logica e grea

q = logica e agreată de studenţi

r = matematica e uşoară,

atunci structura logică a argumentului este:

p v ¬q

r → ¬p

q

¬r

Pentru a determina validitatea argumentului trebuie să verificăm dacă există o situaţie în

care premisele sunt adevărate iar concluzia argumentului este falsă, ceea ce revine la a testa

dacă tabloul semantic de mai jos are cel puţin o ramură deschisă:

✓

✓

✓

✓

✓

Tabloul semantic nu are nici o ramură deschisă, ceea ce înseamnă că nu există nici o situaţie

în care premisele sunt adevărate şi concluzia falsă, prin urmare argumentul este valid.

b) Dacă populaţia lumii continuă să crească, atunci oraşele vor deveni suprapopulate.

Dacă oraşele devin suprapopulate, atunci poluarea va deveni intolerabilă.

Populaţia lumii continuă să crească.

Poluarea va deveni intolerabilă.

x

9./A din F(p) 11.

x x

7./A din F(q) 10. 2./A din p)A( 9. 2./A din F(r) 8.

1./A din q)A( 7. 1./A din A(p) 6.

4./F din A(r) 5.

r)F( 4.

A(q) 3.

p)A(r 2.

q)A(p 1.

¬

¬→¬→

∨¬∨

¬

¬

¬→¬∨

M

MON

ON

M

Rezolvare:


p = populaţia lumii continuă să crească

q = oraşele vor deveni suprapopulate

r = poluarea va deveni intolerabilă,


p → q

q → r

p

r




✓ ✓

Tabloul semantic nu are nici o ramură deschisă ceea ce înseamnă că nu există nici o situaţie


c) Dacă vei minţi, atunci te vor urî zeii.

Dacă vei spune adevărul, atunci te vor urî oamenii.

Fie minţi, fie spui adevărul.

Fie te vor urî zeii, fie te vor urî oamenii

Rezolvare:


p = vei minţi

q = te vor urî zeii

r = vei spune adevărul

s = te vor urî oamenii,


x x

2./A din A(r) 8. 2./A din F(q) 7.

x

1./A din A(q) 6. 1./A din F(p) 5.

F(r) 4.

A(p) 3.

r)A(q 2.

q)A(p 1.

→→

→→

→→

ON

ON

p → q

r → s

p v r

q v s




✓ ✓ ✓

✓

Tabloul semantic nu are nici o ramură deschisă, ceea ce înseamnă că nu există nici o situaţie


d) Dacă dorim diminuarea efectului de seră, atunci trebuie să optăm pentru energia

nucleară.

Dacă dorim diminuarea riscului unui accident nuclear, atunci trebuie să optăm pentru

energia convenţională.

Fie nu vom opta pentru energia nucleară, fie nu vom opta pentru energia convenţională.

Fie nu vom diminua efectul de seră, fie nu vom diminua riscul unui accident nuclear.

x x

3./A din 12.A(r) 3./A din A(p) 11.

x

2./A din A(s) 10. 2./A din F(r) 9.

x

din1./A A(q) 8. 1./A din F(p) 7.

4./F din F(s) 6.

4./F din F(q) 5.

s) F(q v 4.

r) vA(p 3.

s)A(r 2.

q)A(p 1.

∨∨

→→

→→

∨

∨

→→

ON

ON

ON

M

e) Fie guvernanta, fie majordomul, fie bucătarul au comis crima.

Dacă bucătarul a comis crima, atunci arma crimei este un cuţit.

Dacă arma crimei este un cuţit, atunci este fals că fie guvernanta, fie majordomul au

comis crima.

Arma crimei a fost un cuţit.

Bucătarul a comis crima.

f) Mecanica newtoniană nu poate fi adevărată dacă mecanica relativistă este adevărată.

Mecanica relativistă este adevărată dacă şi numai dacă spaţiul este neeuclidian.

Spaţiul este neeuclidian sau mecanica newtoniană este adevărată.

g) Dacă matematica este apreciată de studenţi, atunci logica este apreciată de studenţi

Dacă matematica este uşoară, atunci matematica este apreciată de studenţi

Dacă logica nu este apreciată de studenţi, atunci matematica este uşoară

Logica este apreciată de studenţi.

h) Propunerea de grant este la poştă.

Dacă comisia va primi propunerea de grant până vineri, o va soluţiona în timp util.

Dacă propunerea de grant este la poştă, comisia o va primi până vineri.

Comisia va soluţiona propunerea de grant în timp util.

i) Fie toate cărţile spun ceea ce spune Coranul, fie nu spun ceea ce spune Coranul.

Dacă nu spun ce spune Coranul, trebuie arse.

Dacă spun ce spune Coranul, trebuie arse.

Toate cărţile trebuie arse.

1.1.3 Determinaţi validitatea următoarelor scheme argumentative:

a) ¬z¬y)(¬x →∧

z→ (x v y)

b) p v q

p → r

q → s

r v s

c) p v q

q → r

p → r

d) ¬z→¬y)∧(¬x

(¬x ∧ z ) → y

e) ¬t) z(¬y)(x ∨∧∨

(x∧ z) v (x∧ ¬t) v (¬y∧ z) v (¬y∧ ¬t)

f) m → (k → b)

¬k → ¬m

m∧l

b

g) a ∧ (b ∨ c)

¬h) h(h)c( →¬ ∧∨

a∧ b

h) p → (q → r)

(p → q) → (p → r)

i) r)q (q)(p(p s)))(r∧(∧ →→→∧

s

j) o→(s∧ (b∨ r))

(¬s ∨ x)∧ ((¬b∨ y) ∧ (¬r∨ z))

(¬x∨ ¬y)

o

r

1.1.4 Determinaţi validitatea următoarelor argumente:

a) Dacă seiful a fost spart, atunci a fost spart de Smith cu ajutorul lui Brown sau Robinson.

Nici unul dintre cei trei nu ar fi putut fi implicat decât dacă ar fi lipsit de la întâlnire.

Dar ştim că fie Smith, fie Brown au fost prezenţi la întâlnire. Atunci, din moment ce

seiful a fost spart, rezultă că Robinson a fost cel care a ajutat la spargerea lui.

Sugestie: dacă procedăm la următoarea abreviere:

o = seiful a fost spart

s = seiful a fost spart de Smith

b = seiful a fost spart cu ajutorul lui Brown

r = seiful a fost spart cu ajutorul lui Robinson

x = Smith a lipsit de la întâlnire

y = Brown a lipsit de la întâlnire

z = Robinson a lipsit de la întâlnire,


o → (s ∧ (b ∨ r))

(¬x → ¬s) ∧ ((¬y → ¬b) ∧ (¬z → ¬r))

¬x ∨ ¬y

o

r

b) Cancerul la plămâni nu este cauzat de fumat, din următoarele motive: Cancerul la

plămâni este mai frecvent printre fumătorii bărbaţi decât printre fumătorii femei. Dacă

fumatul ar fi fost cauza cancerului, propoziţia anterioară nu ar fi adevarată. Faptul că

această boală este mai frecventă printre fumătorii bărbaţi decât printre fumătorii femei

implică faptul că ea este cauzată de ceva din constituţia bărbaţilor. Dar dacă boala e

cauzată de ceva din constituţia bărbaţilor, atunci nu e cauzată de fumat.


m = cancerul la plămâni este mai frecvent printre fumătorii bărbaţi decât printre fumătorii

femei

l = cancerul la plămâni este cauzat de fumat

u = cancerul la plămâni este cauzat de ceva din constituţia bărbaţilor,

atunci structura logică a argumentului este următoarea:

m

l → ¬m

m → u

u → ¬l

¬l

c) Avortul nu este greşit din punct de vedere moral, deoarece avortul este greşit din punct

de vedere moral numai dacă fetusul are dreptul de a folosi organele altor persoane ca să

supravieţuiască. Dar, (deoarece nimeni nu are acest drept), fetusul nu are acest drept.


w = avortul este greşit din punct de vedere moral

u = fetusul are dreptul de a folosi organele altor persoane ca să supravieţuiască,


w → u

¬u

¬w

d) Dacă ventriculele transmit 60 g de sânge la fiecare bătaie, atunci, dacă bat de 60 de ori

pe minut, ele vor transmite peste 3 kg de sânge într-un minut. Să presupunem că

ambele condiţii sunt adevărate. Ventriculele nu vor transmite 3 kg de sânge pe minut

dacă venele nu le alimentează cu această cantitate de sânge. Dacă sângele nu circulă, nu

există nici o posibilitate ca venele să alimenteze ventriculele cu această cantitate de

sânge. De aici rezultă clar că sângele circulă.


v = ventriculele transmit 60 g de sânge la fiecare bătaie

b = inima bate de 60 de ori pe minut

t = ventriculele transmit peste 3 kg de sânge într-un minut

w = venele alimentează ventriculele cu 3 kg de de sânge pe minut

c = sângele circulă,


h → (b → t)

v

b

¬w → ¬t

¬c → ¬w

c

e) Pariul lui Pascal: Dacă eu cred în Dumnezeu, atunci, dacă El există, câştig, iar dacă nu

există, atunci nu pierd. Dacă, pe de altă parte, nu cred în Dumnezeu, atunci, dacă El

există, pierd, iar dacă nu există, nu câştig. De aici rezultă că dacă eu cred în Dumnezeu,

atunci ori câştig ori nu pierd, în timp ce, dacă nu cred, atunci ori pierd ori nu câştig.


c = eu cred în Dumnezeu,

e = Dumnezeu există,

g = eu câştig,

p = eu pierd,


c → ((e → g) ∧ (¬e → ¬p))

g)¬ e¬( p) ((e c¬ →∧→→ )

(c → (g∨ ¬p)) ∧ (¬c → (p∨ ¬g))

f) Dacă inteligenţa este în totalitate ereditară şi gemenii identici au aceeaşi ereditate,

atunci faptul că au fost crescuţi în familii separate nu va diminua similitudinea

inteligenţei între gemenii identici, deşi, în fapt, similitudinea se reduce. Gemenii

identici provin dintr-un spermatozoid şi un ovul comun. Ultima propoziţie e adevărată,

dacă şi numai dacă gemenii au ereditate identică. În concluzie, inteligenţa nu este pe

deplin ereditară.


h = inteligenţa este în totalitate ereditară

i = faptul că au fost crescuţi în familii separate va diminua similitudinea inteligenţei între

gemenii identici,

t = gemenii identici au aceeaşi ereditate,

p = gemenii identici provin dintr-un spermatozoid şi un ovul comun,


((h ∧ t) → ¬i) ∧ i

p tp ≡

¬h

g) Dacă unele ţări îşi vor reduce inflaţia anul viitor, atunci Brazilia îşi va reduce inflaţia cel

mai mult şi Argentina sau Anglia o vor urma. Nici una dintre aceste trei ţări nu îşi va

reduce inflaţia decât dacă vor creşte dobânzile. Dar, fie Brazilia, fie Argentina nu vor

creşte dobânzile. Din moment ce unele ţări îşi vor reduce inflaţia anul viitor, rezultă că

Anglia va urma Braziliei în reducerea inflaţiei.


i = unele ţări îşi vor reduce inflaţia anul viitor,

b = Brazilia îşi va reduce inflaţia cel mai mult,

a = Argentina urmează Braziliei în reducerea inflaţiei,

m = Anglia urmează Braziliei în reducerea inflaţiei,

x = Brazilia va creşte dobânzile,

y = Argentina va creşte dobânzile,

z = Anglia va creşte dobânzile,


i → (b ∧ (a ∨ m))

(¬x → ¬b) ∧ ((¬y → ¬a) ∧ (¬z → ¬m))

¬x ∨ ¬y

i

m

h) Dacă există un număr infinit de puncte într-o linie finită L, atunci, dacă acele puncte au

mărime, L va fi infinit de lungă, iar dacă nu au mărime, L nu va avea lungime. Linia L

nu este nici infinit lungă şi nici fără lungime. Aceasta dovedeşte că nu există un număr

infinit de puncte în linia L

i) Dacă lumea e haotică, nu poate fi reorganizată decât dacă apare un înţelept, dar nici un

înţelept nu va apărea, dacă lumea e haotică. În concluzie, lumea nu poate fi reorganizată

dacă e haotică.

j) Oamenilor nu li se va da mită, dacă descurajăm mituirea. Dar dacă oamenilor nu li se dă

mită, atunci nu vor apărea în atenţia publicului cazuri de mituire, iar oamenii nu vor şti

că mituirea e un lucru incorect, decât dacă li se aduce la cunoştinţă acest lucru. Date

fiind toate acestea şi principiul moral: mituirea e un lucru incorect, iar oamenii ştiu ce

este un lucru incorect, putem extrage următoarea concluzie surprinzătoare: Mituirea e

un lucru incorect numai dacă nu o descurajăm.

k) Vom juca tenis şi vom merge la alergat numai dacă temperatura va ajunge la 25°C.

Temperatura nu va ajunge la 25°C. Deci nu vom juca tenis şi nu vom merge la alergat.

(exerciţiile a) şi g) sunt adaptate după: Graeme Forbes, Modern Logic, New York: Oxford

Univesity Press, 1994, p. 86, 88, restul exerciţiilor fiind adaptări după: Ernest Lepore,

Meaning and Argument, Malden, MA.; Oxford, UK: Blackwell, 2000, pp. 98 – 100.)

l) Dacă x şi y sunt numere reale astfel încât x2 + y2 = 0, atunci x şi y sunt numere reale

astfel încât x = 0 şi y = 0. Prin urmare, dacă x şi y sunt numere reale astfel încât cel puţin

unul dintre ele este nenul (adică x ≠ 0 sau y ≠ 0), atunci x şi y sunt numere reale astfel

încât x2 + y2 ≠ 0

m) Dacă avionul nu s-ar fi prăbuşit, atunci am fi reuşit să stabilim legătura radio cu ei. Dar,

din faptul că nu am reuşit să luăm legătura radio cu ei rezultă că avionul s-a prăbuşit.

n) Dacă azi este joi, atunci mâine este vineri. Dacă mâine este vineri, atunci poimâine este

sâmbătă. Dar poimâine nu este sâmbătă. Prin urmare, azi nu este joi.

tablouri_semantice

Documents

Transcript of tablouri_semantice