subiecte-topologie
1
Subiecte Topologie ¸ si funct ¸ii reale Master I, 2014–2015 1) Not ¸iunile de topologie, mult ¸ime deschis˘ a, mult ¸ime ˆ ınchis˘ a;propriet˘at ¸i 2) Not ¸iunea de vecin˘ atate;propriet˘at ¸i 3) Interior, aderent ¸˘ a, frontier˘ a, puncte de acumulare; propriet˘at ¸i 4) S ¸iruri ¸ si ¸ siruri generalizate convergente; caracteriz˘ari ale punctelor aderente ¸ si ale punctelor de acumulare 5) Spat ¸ii topologice produs 6) Funct ¸ii continue; definit ¸ie ¸ sicaracteriz˘ari 7)Metric˘a¸ si topologia indus˘a de o metric˘a 8) Tipuri de ¸ siruri ˆ ın spat ¸ii metrice ¸ si leg˘aturile dintre ele 9) Teorema lui Cantor de caracterizare a completitudinii unui spat ¸iu metric 10) Teorema lui Banach de punct fix 11) Teoremele lui Baire 12) Spat ¸ii topologice compacte ¸ sicaracteriz˘ari 13) Mult ¸imi m˘arginite ¸ si total m˘arginite; caracterizarea mult ¸imilor total m˘arginite 14) Spat ¸ii metrice compacte ¸ sicaracteriz˘ari 15) Lungimea unui interval; propriet˘at ¸i 16) M˘asura mult ¸imilor deschise; propriet˘at ¸i 17)M˘asuraexterioar˘aLebesgue;propriet˘at ¸i 18) Aditivitatea num˘ arabil˘ a a m˘asurii exterioare Lebesgue pentru ¸ siruri (A n ) n≥1 cu d(A n ,A m ) > 0dac˘a n ̸= m 19) Mult ¸imi m˘asurabile Lebesgue ¸ si m˘asura Lebesgue; definit ¸ii ¸ sipropriet˘at ¸i 20) M˘asurabilitatea mult ¸imilor ˆ ınchise ¸ si a complementarei unei mult ¸imim˘asurabile 21) Aditivitatea num˘ arabil˘ a a m˘asurii Lebesgue 22)M˘asuriabstracte;propriet˘at ¸i 23) Funct ¸ii m˘asurabile: definit ¸ie,caracteriz˘ari 24) Clase de funct ¸iim˘asurabile 25) Operat ¸ii cu funct ¸ii m˘asurabile (inclusiv m˘asurabilitatea limitei) 26) Tipuri de convergent ¸˘ a pentru ¸ siruri de funct ¸ii m˘asurabile ¸ si leg˘aturile dintre ele 27) Teorema lui Riesz (referitoare la ¸ siruri de funct ¸iim˘asurabile) 28) Aproximarea funct ¸iilor m˘asurabile prin funct ¸ii etajate 29) Integrala Lebesgue a funct ¸iilor etajate; propriet˘at ¸i 30) Integrala Lebesgue a funct ¸iilor pozitive m˘asurabile¸ si teorema convergent ¸ei monotone 31) Aditivitatea num˘ arabil˘ a a integralei Lebesgue a funct ¸iilor pozitive ˆ ın raport cu funct ¸ia de integrat ¸ si cu mult ¸imea pe care se face integrarea 32) Lema lui Fatou 33) Integrala Lebesgue a funct ¸iilor m˘asurabile. Definit ¸ie ¸ si Teorema de dominare 34) Integrala unei funct ¸ii f ∈L 1 + (A) este o m˘asur˘ a absolut continu˘ aˆ ın raport cu λ 35) Structura de spat ¸iu liniar seminormat a lui L 1 (A)¸ si aditivitatea num˘ arabil˘ a a inte- gralei Lebesgue 36) Teoremele convergent ¸ei dominate ¸ si m˘arginite (ale lui Lebesgue) 37) Completitudinea spat ¸iului seminormat L 1 (A) 38)Inegalit˘at ¸ile lui H¨older ¸ si Minkowski 39) Structura de spat ¸iu liniar seminormat complet a lui L p (A) pentru p ∈ (1, ∞) 1
-
Upload
ana-maria-ciobanu -
Category
Documents
-
view
39 -
download
0
description
topologie
Transcript of subiecte-topologie
Subiecte Topologie si functii realeMaster I, 2014–2015
1) Notiunile de topologie, multime deschisa, multime ınchisa; proprietati2) Notiunea de vecinatate; proprietati3) Interior, aderenta, frontiera, puncte de acumulare; proprietati4) Siruri si siruri generalizate convergente; caracterizari ale punctelor aderente si ale
punctelor de acumulare5) Spatii topologice produs6) Functii continue; definitie si caracterizari7) Metrica si topologia indusa de o metrica8) Tipuri de siruri ın spatii metrice si legaturile dintre ele9) Teorema lui Cantor de caracterizare a completitudinii unui spatiu metric10) Teorema lui Banach de punct fix11) Teoremele lui Baire12) Spatii topologice compacte si caracterizari13) Multimi marginite si total marginite; caracterizarea multimilor total marginite14) Spatii metrice compacte si caracterizari15) Lungimea unui interval; proprietati16) Masura multimilor deschise; proprietati17) Masura exterioara Lebesgue; proprietati18) Aditivitatea numarabila a masurii exterioare Lebesgue pentru siruri (An)n≥1 cu d(An, Am) >
0 daca n = m19) Multimi masurabile Lebesgue si masura Lebesgue; definitii si proprietati20) Masurabilitatea multimilor ınchise si a complementarei unei multimi masurabile21) Aditivitatea numarabila a masurii Lebesgue22) Masuri abstracte; proprietati23) Functii masurabile: definitie, caracterizari24) Clase de functii masurabile25) Operatii cu functii masurabile (inclusiv masurabilitatea limitei)26) Tipuri de convergenta pentru siruri de functii masurabile si legaturile dintre ele27) Teorema lui Riesz (referitoare la siruri de functii masurabile)28) Aproximarea functiilor masurabile prin functii etajate29) Integrala Lebesgue a functiilor etajate; proprietati30) Integrala Lebesgue a functiilor pozitive masurabile si teorema convergentei monotone31) Aditivitatea numarabila a integralei Lebesgue a functiilor pozitive ın raport cu functia
de integrat si cu multimea pe care se face integrarea32) Lema lui Fatou33) Integrala Lebesgue a functiilor masurabile. Definitie si Teorema de dominare34) Integrala unei functii f ∈ L1
+(A) este o masura absolut continua ın raport cu λ35) Structura de spatiu liniar seminormat a lui L1(A) si aditivitatea numarabila a inte-
gralei Lebesgue36) Teoremele convergentei dominate si marginite (ale lui Lebesgue)37) Completitudinea spatiului seminormat L1(A)38) Inegalitatile lui Holder si Minkowski39) Structura de spatiu liniar seminormat complet a lui Lp(A) pentru p ∈ (1,∞)
1
