Subiecte Sae

8/16/2019 Subiecte Sae

1/14

1. Conversia N/AFiind dată o succesiune de numere x(nT), se pune problema restabilirii semnalului continuu i

din informaţia conţinută în acest tren de impulsuri (sau dintr-o succesiune de valori numerice). procesul de reconstituire a datelor poate fi considerat ca un proces de extrapolare. O metodă o de voltarea în serie de puteri a lui x!(t) în intervalul dintre momentele de e"antionare nT "i (n#$)T.

.....)(%&

)('))(()()(

)$(

&nT t nT xnT t nT xnT xt x

T nt nT

n −+−+=

+


2/14

Dacă tensiunea obţinută de CNA este mai mare decât tensiunea de măsurat, bitul cel maisemnicativ este adus la "0". Dacă tensiunea de la CNA este mai mică decât tensiunea de măsurat, bitulcel mai semnicativ este menţinut în 1 logic. La următorul tact al RAS, este poziţionat în 1 logicurmătorul bit ca semnicaţie din RAS şi procesul de aproximări succesive se repetă până când bituldeplasat ajunge în cel mai puţin semnicativ bit al RAS, care determină schimbarea stării semnalului deieşire al interfeţei, care indică că datele sunt accesibile de către echipamentul de calcul pe care esteimplementat regulatorul numeric.

lte metode de conversie 12 sunt+ conversia 12 cu urmărirea semnalului de intrare, conversiinte0rare, conversia 12 cu pantă dublă (dublă inte0rare).

3. Extrapolatorul de ordin 0

4/nd este folosit numai primul termen al seriei de puteri din relaţia

.....)(%&

)('))(()()(

)$(

&nT t nT x

nT t nT xnT xt x

T nt nT

n −+−+=

+


3/14

entru t : &T răspunsul indicial este nul. Funcţia de transfer a extrapolatorului de ordin $ se deduce

răspusul la impuls "i re ultă+ 95)(9$)5(9)()5()5()(5 =−=−−+= T x xt

T T x x

xt x

entru

T t

t xt ghT t T

T t

t xt ghT t

−==


4/14

făcând substituţia k-n = m şi ţinând cont că f(t) = 0 pentru t < 0.Într-un mod asemănător se procedea ă în ca ul calculului transformatei a unei funcţii anticipate.

F( ) c/nd tinde la B. rin definiţie, transformata a funcţiei f(t) este

C).&eorema valorii finale.*acă f(t) are o transformată "i dacă F( ) nu are poli pe cercul unitar sau în afara acestuia în planul ,

*emonstraţia se poate face consider/nd două sume finite consecutive

6e presupune că f(t) este definită numai pentru t : 5, astfel înc/t termenul f(-T) ce apare în ultima relaţie este nu

D).&eorema derivatei parţialeFiind notată cu F( ,a) transformata a funcţiei f(t,a), unde a este o variabilă independentă sau o

transformata a derivatei parţiale a lui f(t,a) în raport cu a este dată de*emonstraţia este imediată "i se obţine tot cu a>utorul formulei dedefiniţie

E).&eorema deplasării 'n $omplex.ceastă teoremă stabile"te că dacă f(t) are transformata F( ), atuncirin definiţie

).Produsul de $onvoluţie 'n real.


5/14

entru a demonstra aceasta pornim tot de la relaţia de definiţie a transformatei .

Făc/nd substituţia A - n 8 m sau A 8 m # n re ultă

(. &eorema lui )*annon+ Oscilaţia de frecvenţă maximă =max, de perioadă T p 8 &G1=maxtrebuie e"antionată cel puţin & ori pe perioadă. Trebuie menţionat că semnale continue de bandă limitată nu apar în realitate în comsisteme automate. Totu"i, în sistemele discrete, frecvenţa 6?annon, numită "i frecvenţă 2HIuist =6? 8 =5.1&8G1T >oacrol important, cel puţin ca frecvenţă de referinţă.

(. &ransformata inversă Răspunsul în domeniul timpului trebuie obţinut din expresiile transformatei z, analog transformării

Laplace. Unul din dezavantajele transformatei z este că aceasta conţine informaţia referitoare la funcţiade timp corespunzătoare numai momentelor de eşantionare, adică X(z) corespunde numai lui X*(t). Dacăpulsaţia de eşantionare este cel puţin dublă faţă de pulsaţia cea mai înaltă a semnalului continuu x(t),poate reconstituit x(t) din X*(t) cu un ltru trece- jos ideal. Atunci X(z) poartă virtual toata informaţiacuprinsă în transformata Laplace X(s). Totuşi, dacă nu se cunoaşte nimic despre caracteristicile lui x(t),transformata inversă z n u este în general, unică deoarece funcţia discretă de timp x*(t) obţinută din X(z)poate reprezenta orice funcţie continuă X(t) care are aceleaşi valori ca şi X*(t) în momentele deeşantionare. Au fost elaborate unele metode pentru evaluarea semnalelor între momentele deeşantionare. Acestea sunt metoda transformatei z divizate şi metoda transformatei z modicate.

Transformata z i nversă poate calculată prin următoarele metode:1) Metoda dezvoltării în fracţii simple.

Transformata z, X(z) este pusă sub forma unei sume de funcţii prin dezvoltarea în fracţii simple. Seutilizează apoi tabelele cu transformate z p entru a determina funcţiile de timp corespunzătoare.

2) Metoda seriilor de puteri.Transformata z, X(z), este dezvoltată într-o serie de puteri după puterile lui z-1. Coecientul termenuluiz-n corespunde cu valoarea funcţiei de timp x(t) în momentul de eşantionare nT.

3) Formula de inversiuneFuncţia discretă de timp x!(t) poate fi obţinută din J( ) printr-o inte0rală de inversiune

,. )uma de $onvoluţie+K"antionoarele sunt plasate înainte "i după procesul liniar, av/nd funcţia de transfer L(s) sau răspunsul la im

6emnalul aplicat la intrarea procesului este+

unde M este un cerc de ra ă 8 ecT cu centrul în ori0inea planului , iar c este astfel ales înc/t toţi polii lui J( ) să fieconţinuţi în interiorul conturului circular.


6/14

"i determinanţii

6emnalul la ie"irea procesului se obţine cu suma de convoluţie dintre răspunsul la impuls "i semnalulintrarea procesului

*acă ie"irea "i intrarea procesului sunt e"antionate sincron, re ultă pentru t 8 nT+

4a "i în ca ul inte0ralei de convoluţie din ca ul continuu, valoarea semnalului la ie"ire în momentul nT es prin suma produselor u(AT) "i 0((n-A)T) care este deplasată în timp nT în directie opusă. *eplasarea în timp poîn funcţia răspuns la impuls, 0((n-A)T), sau în semnalul de intrare, u((n-m)T) ceea ce se poate vedea "i danterioara.

-. Criteriul )*ur Co*n urNi prin acest criteriu se de voltă unele condiţii pentru coeficienţii polinomului caracteristic+

pentru a asigura plasarea polilor în interiorul cercului de rază unitară.Se scriu matricele:

4ondiţiile necesare "i suficiente pentru ca polii lui ( ) să se situe e în interiorul cercului de ra ă $ sunt+

entru sistemele de ordin mare, efortul de calcul re ultă relativ important. *in acest motiv un criteriu demai simplu ba at pe criteriul 6?ur-4o?n- urH, care mai este numit "i 'criteriul urH', este pre entat în continua

6e scrie următoarea sc?emă, presupun/nd am : 5.

Klementele din 0rupurile de c/te & r/nduri din sc?emă se calculea ă astfel+


7/14

P

4ondiţiile necesare "i suficiente pentru ca polii lui ( ) să se situe e în interiorul cercului de ra ă unitară su

9. Metoda timpului nit

Se consideră sistemul de reglare din g. 8.1 cu reacie negativă unitară, funcia de transferdiscretă a procesului ind dată de relaia (8.1) i considerată cunoscută, având ordinul m. De asemenea,se consideră că p rocesul este fără timp mort (d = 0).

La momentul k = 0, se consideră o modicare treaptă unitară a ref erineir(k) = 1 k = 0,1,2,....

Se impune ca, după m perioade de eantionare, sistemul să se a e într-un regim staionar.H A r A u A u m( ) ( )( ) ( )

= ==

$ pentru k ≥m

Comportarea sistemului în regim tranzitoriu este stabilită de către proiectant prin valorile impuseieirii sistemului în momentele de eantionare y(kT), k < m, pe baza performanelor de regi m tranzitoriuspecicate prin problema de proiectare ( σ,ξ,t t). Astfel este complet determinat răspunsul sistemului îndomeniul timpului (y(k), k ≥ 0).

Rezultă:

Q H H H m m( ) ( ) ( ) .... ( ) .....= + + + − +− − − −$ & $$ & $ ; ( ) = − =

− −$$

$ $

@ u u u m u m u mm m m( ) ( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) .....= + + + − + + +− − + − − −5 $ $$ $ $

Dispunând de R(z) i Y(z) se poate determina:

L Q;

H AA

A 5

$ $

$$( ) ( )

( )( ) ( ) ( ).− −

=

∞ −= = − =∑Rin/nd cont că+

Q H H H m m m( ) ( ) ( ) .... ( )= + + + − +−

− − − + −−$ & $

$$

$ & $$ şi

;e ultă că pentru un sistem de ordin m se obţin m#$ condiţii.entru sisteme de ordin redus se obţin următoarele re ultate+

*acă primul sau ultimul element din r/nd este 5 sau între0ul r/ndeste 5, apar 'ca uri sin0ulare' care trebuie tratate diferit.

De asemenea:@;

u A SA

A ( )( )

( ) ( ) ( ).= − =−=

∞ −∑$ $5


8/14

@ u u u m u mm m( ) ( ) ( ) .... ( ) ( )= + + + − +−

− − + −−5 $ $

$$

$ $$

re ultă+ L H H H H m m5 $ $ &$ & $ $ $( ) ( ) ( ( ) ( )) .... ( ( ))− − − −= + − + + − −sau L p p pm m5 $ $ $ $ & &( ) ( ) .....− − − − −= = + + +

şi pii

m=

=∑ $

$⇒ = + + +

− −L p p p

m mm

m5$

$&

&( ) ..... .

Ecuaia caracteristică este z m = 0, adică sistemul în buclă deschisă va avea m poli, toti situai înoriginea planului z.

*eoarece LL L

L L p ;

p ; 5 $( )

( ) ( )( ) ( )

,= +

se poate determina funcia de transfer a regu latorului L LL

L; p( )

( )( )

( ).= −

$$

5

5=>

L Q@ S p

( ) ( )( )

( )( )

= =

"i atunci funcţia de transfer a re0ulatorului poate fi rescrisă astfel+L S( I I I I

p p p; m

m

mm( )

)( )

..........

=−

= + + + +− − − −

− − −

− −$ $5 $

$&

&

$$

&&

unde coeficienţii I5 - Im pot fi calculaţi cu u"urinţă dinI uI u u

I u m u mm

5$

5$ 5

$

== −

= − −

( )( ) ( )

( ) ( ).( .$E)

Parametrii regulatorului I i m p i mi i, , , , ,= =5 $ pot determinai comod dacă se ine cont de f aptulcă:

L b b ba a a

p p pI I I p

m m

mm

m m

mm( ) ........

........

= + + ++ + + +

= + + ++ + +

− − −− − −

− − −− −

$ $ & &

$$

&&

$ $ & &

5 $$$

(9.18)

I a I p b II a I p b I

I a I p b Im m m m

$ $ 5 $ $ 5& & 5 & & 5

5 5

= == == =

.

(9.19)

iar q 0 ,care este i valoarea iniială a comenzii u(0), se obine din (9.12)

p b I I b b bii

mi

i

m

m= =∑ ∑= = ⇒ = + + +$ 5$ 5 $ &$

$.. .

. (9.20)

Funcia de transfer a reg ulatorului poate deci calculată într-un mod foarte simplu. Cu relaiile(9.19) rezu ltă:

I 7S I( ) ( )( ) ( )== 55 (9.21)

iar funcţia de transfer a re0ulatorului mai poate fi pusă în forma+LI

I 7; ( ) ( )

( ).=

−5

5$( .&&)

La implementarea algoritmului "dead beat" trebuie inut cont de faptul ca valoarea iniială acomenzii depinde de suma coecienilor b i ai procesului. Acest fapt poate conduce la saturarearegulatorului în cazul în care rezultă sume mici ale coecienilor. Singura posibilitate de a modica

unde+

p H p H H

p H mm

$&

$& $

$ $

== −

= − −

( )( ) ( )

( )


9/14

valoarea iniială a comenzii este de a a lege o a ltă perioadă de eantionare. Creterea perioadei deeantionare conduce la creterea sumei coecienilor i, deci, la scăderea valorii iniiale a comenzii u(0).

Rezultă că a legerea unei perioade de eantionare optime este esenială pentru obinerea unuialgoritm de reglare implementabil. Pentru alegerea perioadei de eantionare este recomandată relaia:

TT

TTΣ

≥ ≥5 3D 5 $CU

, , (9.23)

unde: T Σ = su ma constantelor de timp ale procesuluiT95% = timpul de ridicare.

10. Metoda timpului minim

Metoda îi propune proiectarea unui sistem automat discret cu timp de stabilire minim i eroarestaionară nulă în momentele de eantionare pentru un semnal de referină în formă de treaptă, rampăsau parabolă. Referindu-ne la sistemul cu conguraia din g. 8.1., se poate proiecta un regulator G R(z)zic rea lizabil care să satisfacă următoarele criterii de proiectare:

1) eroare staionară nulă pentru semnalul de referină prescris;2) durata regimului tranzitoriu să e minimă;3) regulatorul să e zic realizabil.

Un răspuns care satisface aceste condiii se numete răspuns "minimal".Se va arăta că p entru a obine eroare st aionară nulă în răspunsul sistemului în buclă închisă la

semnale de probă de forma r(t) = t m, trebuie să se i mpună anumite condiii funciei 1 - G 0(z).Transformata a erorii este+K ; Q ; L( ) ( ) ( ) ( )( ( )).= − = −$ 5

plic/nd teorema valorii finale ultimei ecuaţii re ultă+lim ( ) lim( ) ( )( ( )).n e nT ; L→∞ →−= − −

$$

5$ $ ( .&<

Vmpun/nd condiţia de eroare staţionară nulă din ( .&


10/14

Prin urmare, pentru ca eroarea staionară să se anuleze în domeniul unui interval de timp nit,când semnalul de intrare este de forma t m, ecuaia caracteristică a sistemului este de forma (9.29),răspunsul sistemului ind de tipul "dead beat".

Limitările impuse lui D(z) prin posibilităile de realizare zică, restrâng alegerea funciei G 0(z) asistemului în buclă închisă.

Dacă condiia ca excesul poli-zerouri al lui G 0(z) să e mai mare sau egal decât excesul poli-zerouri

al procesului (G p(z))nu este îndeplinită, se a pelează la polinomul F(z).În general, se poate demonstra că dacă G p(z) are o î ntârziere sa u zerouri pe sau în interiorul

cercului de rază unitară, F(z) nu poate ales arbitrar.Dacă G p(z) are poli pe sau în afara cercului de rază unitară se impune încă o restricie lui G 0(z), i

anume ca el să conină, de asemenea, aceti poli instabili ai lui G p(z).Dacă procesul G p(z) nu are t imp mort, iar toate zerourile reale sunt situate în interiorul cercului

de rază unitară, F(z) poate ales egal cu 1 i se obin răspunsuri minimale pentru ecare tip de semnalde referină, după cum urmează (conform (9.28)):

r t t Lr t t L

r t t L

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) .

= == = −= = − +

−− −

− − −

$&

3 3

5 $

5$ &

&5

$ & 3

11.ControlabilitateaDeoarece în literatură se u tilizează mai multe deniii pentru controlabilitate, în cele ce u rmează

va folosită următoarea:Un sistem dinamic liniar s e numeşte controlabil dacă exi stă o secvenţă d e control u(k) care s ă

conducă stările si stemului, într-un interval de t imp nit NT, dintr-o st are i niţială x(0) într-o st are nală x(N).

Termenul detectactibilitate este folosit î n loc de controlabilitate pentru cazul special în caresistemul este adus într-o stare nală din starea x(0) = 0.

Pentru a obine intrarea u(k) se poate porni de la relaia (10.28).x 2 x u 2 2 2( ) ( ) , .......= + −φ φΓ φ5 $Γ Γ (10.36) unde [ ])5(u...)& 2(u),$ 2(uu 2 −−= ($5.3E)

Vntrarea poate fi determinată unic dacă 2 8 n.u u x n xn 2 n n= = −− −....... ( ) ( )Γ Γ φΓ φ φ$ $ 5 ($5.3dacă det ....... .Γ Γ φΓ φn− ≠$ 5

4 n= −.......Γ Γ φΓ φ $ este denumită matricea de controlabilitate. ceastă matrice nu trebuie să aibcoloanele liniar dependente. *eci condiţia de controlabilitate se obţine+ ;an0 4 8 n ($5.3 )

cu n ind ordinul sistemului. Pentru N < m nu există soluie pentru n, iar pentru N > n nu există soluieunică.

12. ObservabilitateaUn proces liniar este denumit controlabil dacă orice stare x(k) poate obinută dintr-un număr

nit d e variabile de intrare i de ieire y(k), y(k+1).... y(k+N-1), u(k),u(k+1).....u(k+N-1).Condiia de observabilitate poate obinută după cum urmează:

Aceste relaii indică faptul că eroarea staionară se vaanula după un tact pentru referină treaptă, respectiv 2

tacte pentru referină rampă i aa mai departe. În general,pentru o mărime de intrare de forma t m, timpul minim destabilire al sistemului cu răspuns minimal este m + 1


11/14

- din ecuaţia ie"irii+

[ ] .)$ 2A (u

)$A (u

)A (u

ccc5)A (xc)$ 2A (H

)A (uc)A (uc)A (xc)&A (H

)A (uc)A (xc)$A (H

)A (cx)A (H

+ultW;e)A (cx)A (H

& 2$ 2

&

−+

+Γ φΓ φΓ +φ=−+

Γ +Γ φ+φ=+Γ +φ=+

==

−−

($5.


12/14

ponderată cu o matrice H astfel încât să asigure convergena dintre stările modelului i ale procesului. Acest model este numit estimator de erger

Matricea constantă H trebuie aleasă astfel încât x A ( )+$ să se aproprie asimptotic de x(k+1)pentru k →∞. Fig. 10.3 ne conduce la următoarele ecuaii ale estimatorului:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))x A x A u A X l A x A u A X H A 4x A + = + + = + + −$ φ φΓ ∆ Γ (10.62)

iar eroarea de estimare esteY( ) ( ) ( ).x A x A x A + = + − +$ $ $ (10.63)

Din (10.61) i (10.63) rezultă:

).A (xY)X4())A (xZ)A (x(X4)A (u)A (xZ)A (u)A (x)$A (xY

−φ==−−Γ −φ−Γ +φ=+

(10.64)

Se obine astfel o ecuaie cu diferene omogenă. Vectorul variabilelor de stare depinde numai destarea iniială a stării Y( )x 5 i este independent de intrarea u(k). Pentru convergena la 0 a erorii deestimare este necesar ca lim

Y( ) ,A

x A →∞

=5 (10.64) trebuie să e asimptotic stabilă. Deci ecuaia caracteristică:

det ( )( )...(....)V X4 n

n nn− + = − − − == + + + =−φγ γ

$ &$ 5

(10.65)

poate avea rădăcinile doar în interiorul cercului de rază unitară i ni < =$ $, , . Amplasarea polilor esteinuenată de alegerea matricei H.

Dacă se i mpun polii dorii ai estimatorului z 1....z n, se pot ca lcula coecienii γ i i n, ,=$ i d indet- V X4− + =φ 5 , prin egalizarea coecienilor celor două ecuaii rezultă un sistem de n ecuaii cu nnecunoscute. Rezolvând acest sistem de ecuaii se determină ? i ni , , .=$

Dacă pentru ecuaia caracteristică dorită din (10.65) se impune o comportare deat-beat, adică oecuaie caracteristică de tipul i nn i= ⇔ = =5 5 $γ , , , ? i ni , ,= $ se determină în acelai mod.

16. Controlul după stare prin metoda timpului nit (deadbeat)

6e consideră un proces monovariabil controlabil de ordin n+x A x A u A ( ) ( ) ( )+ = +$ φ Γ ($5.C&)6-a arătat în secţiunea $5.C că acest proces poate fi condus din orice stare iniţială în starea x(2)

n perioade de e"antionare. 6ecvenţa mărimilor de comandă poate fi calculată cu a>utorul relaţiei ($5.36ecvenţa mărimilor de comandă poate fi, de asemenea, 0enerată printr-o reacţie după stare+u A [x A ( ) ( )= − ($5.C3

stfel se obţine+x A [ x A x A ( ) ( ) ( ) ( )+ = − =$ φ φΓ ($5.C


13/14

(10.55) satisface,demenea, N = n

α1 = α2 =...= αn = 0.

Kcuaţia caracteristică devine deci+ [ ]det .V n− = =φ 5 ($5.C )Comportarea de tip deadbeat este dată de existena unui pol multiplu de ordin n în origine.Folosind forma canonică controlabilă a si stemului

x A

a a a

x A u A

n n

( ) ( ) ( ).+ =

− − −

+

−

$5 $ 5

5 5 $

55

5$$ $

u A [x A l l l x A n n( ) ( ) ..... ( )= − = − −$ $ , (10.47)

cu ajutorul ecuaiei feedback-ului u(k) = -Lx(k)(10.47) substituită în expresia lui x(k+1) se poatedetermina matricea de evoluie a sistemului în buclă închisă Φ-Γ L i apoi ecuaia caracteristică.

det\

( ) ( ) ..... ( )...... 9 , ,

V [

a l a l a la l a l l a i nn n n n

n n

n n i i

− + =

= + + + + + + + =⇒ = − = − = − =− −

−φ Γ

$ $ $ $$

$ $5$ (10.59)

Controlerul deadbeat descris în 9.1 conduce procesul din orice stare iniială x(0)=0 în n perioade deeantionare cătr e o stare nală i ieire constantă.

)(H.....)$n(H)n(H ∞==+=

i către o comandă constantă).(u.....)$n(u)n(u ∞==+=

Controlerul deadbeat descris în această seciune conduce procesul din orice stare iniială x(0) ≠0către o st are nală x(n)=0. Ambele sisteme au aceeai ecuaie caracteristică z n = 0, au aceeai comportarepentru perturbaii iniiale x(0), deoarece comportarea la perturbaii iniiale depinde numai de ecuaiacaracteristică (vezi 10 .28, 10.33).

17. Corespondenţa dintre planul s şi planul z

Atât pentru polii complex-conjugai cât i pentru polii

> > > >s ω±δ= (6.13)

din planul s în planul z este:

] e e e e >s >T T > > > >T > >T= = =± ±( ) .δ ω δ ω (6.14)

În consecină, polii z j vor avea modulul i faza

e > >T= δ şi ϕ ω > >T= ± . (6.15)


14/14

Conform ecuaiei de transformare rezultă următoarele:a) axa imaginară 5 &≤ ≤ = > > >T >

eω ω π din planul s devine un semicerc de rază unitară în planul z;

b) axa imaginară − ≤ ≤ > >e >ω ω& 5 din planul s devine semicercul inferior de ra ză unitară în planul z;

Vm

;e

>ωe 1&8> πT

>ω >T85

>ωe&

πT8

Vm

ω >T8 πT

ω >T85;e

ω >T8 - πT

ω >T ^

ω >T

ω >T8 π

lanul s lanul

Fig.6.3. Transformarea planului s în plan z

c) axa reală negativă −∞ < ≤δ > 5 din planul s (j ω j = 0) devine în planul z segmentul de axă 0 < z j ≤ 1.d) axa reală pozitivă ∞ > ≥δ > 5 din planul s (j ω j = 0) devine în planul z poriunea din axă reală

pozitivă $≤ < ∞ > .e) Paralela la axa negativă > >Teω

π= cu −∞ < ≤δ > 5 din planul s este mapată pe axa negativă aplanului z în poriunea − ≤ ≤$ 5 > .

f) Semiplanul stâng al planului s devine interiorul cercului de rază unitară în planul z.g) Semiplanul drept al planului s devine exteriorul cercului de rază unitară în planul z, ceea ceînseamnă că polii instabili din planul s vor situai în această regiune.

h) Polii critic stabili de pe axa imaginară a planului s sunt situai pe cercul de rază unitară în planulz.

-

Subiecte Sae

Documents

Transcript of Subiecte Sae