SUBIECTE LICEN˜Ă · 2020. 2. 26. · mai sus, S(m) poate genera permutari cu˘ n elemente, dar nu...

SUBIECTE LICENŢĂ

INFORMATICĂ 2009-2019MATEMATICĂ 2009-2019

CTI 2012-2019 (fără �zică)

Universitatea din Bucuresti, Facultatea de Matematica si InformaticaConcursul de admitere iulie 2009, Domeniul de licenta - Matematica

I. Algebra 1. Sa se rezolve ecuatiile:a) x3 + 2x2 + 2x+ 1 = 0, unde x ∈ C.

b) 4x − 3 · 2x + 2 = 0, unde x ∈ R.

c) x2 + 2x = 4, unde x ∈ Z5.

d) 1√x−2

= 2√x−3, unde x ∈ [3,∞).

e) xy + y = 4, unde x, y ∈ Z.

2. Fie matricea A =

(1 20 1

)din M2(R).

a) Sa se determine matricele X ∈ M2(R) pentru care AX = XA.b) Sa se arate ca multimea M = {X ∈ M2(R) | AX = XA} este inel comutativ cu adunarea si

ınmultirea matricelor.

II. Analiza matematica 1. a) Determinati a, b ∈ R astfel ıncıt

2x+ 1

x2(x+ 1)2=

a

x2+

b

(x+ 1)2, pentru x ∈ R \ {−1, 0}.

b) Aratati ca sirul an =n∑k=1

2k + 1

k2(k + 1)2este convergent si calculati limita sa.

2. Fie f : R −→ R, f(x) = xarctgx− ln(1 + x2), x ∈ R.a) Sa se calculeze f ′′ si sa se arate ca derivata functiei f este o functie crescatoare.b) Sa se stabileasca monotonia si punctele de extrem ale functiei f .c) Sa se rezolve inecuatia f(x) > 0.d) Sa se traseze graficul functiei f .

III. Geometrie 1. Fie ABCD un patrat, E ∈ [AC], F ∈ [BC] astfel ıncıt [AE] ≡ [AB] si EF ⊥ AC.a) Demonstrati ca [EC] ≡ [EF ] ≡ [FB].

b) Determinati α, β ∈ R pentru care avem−→AE= α

−→AB +β

−→AD.

2. a) Determinati m ∈ R astfel ca distanta dintre punctele A(m,−1) si B(5,m+ 1) sa fie egala cu 5.b) Aratati ca punctele M(−1, 2), N(2, 5) si P (1, 3) nu sunt colineare si scrieti ecuatia ınaltimii din M

a triunghiului MNP .

c) Fie vectorii→u si

→v astfel ıncıt sa aiba loc relatiile |→u|= 3, |→v |= 4 si cos (

→u,→v ) = 1

6. Calculati produsul

scalar (3→u − →v ) · (2 →u +4

→v ).

d) Fie α ∈ (0, π2) pentru care sinα = 1

5. Calculati cos 2α si sin 2α.

IV. Informatica Sa se rezolve urmatoarele cerinte ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ınliceu (Pascal/C/C++):

a) Sa se scrie o procedura/functie care primeste ca parametru un numar natural k, cuprins ıntre 1 si100 si returneaza numarul de solutii de forma (x, y), cu x, y numere naturale, ale ecuatiei x2 − y2 = k.

b) Sa se scrie o procedura/functie care primeste ca parametru un numar natural k, cuprins ıntre 1 si100 si decide daca numarul k poate fi scris ca suma de numere impare consecutive.

Pentru fiecare solutie se vor explica informal detaliile de implementare sub forma de program: variabile,structuri de date, structuri iterative, instructiuni conditionale.

1

Universitatea din Bucuresti,Facultatea de Matematica si Informatica

Concursul de admitere septembrie 2009,Domeniul de licenta - Matematica

I. Algebra1. Sa se rezolve ın R ecuatiile:a) x3 − 2x2 − 2x+ 1 = 0.b) 22x+1 − 3 · 2x + 1 = 0;

c)

∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 2 41 3 9

∣∣∣∣∣∣ = 0.

2. Fie multimea G ={(

1 a0 1

)| a ∈ Q

}. Sa se arate ca:

a) G este parte stabila ın M2(Q) ın raport cu operatia de ınmultire a matricelor.b) (G, ·) este grup abelian.c) Grupul (G, ·) este izomorf cu grupul aditiv (Q,+).

II. Analiza1. Fie a, b ∈ R si functia f : R→ R cu

f(x) ={x+√x2 − 1 pentru x ∈ (−∞,−1] ∪ [1,∞)

ax+ b pentru x ∈ (−1, 1).

a) Determinati a si b astfel ıncat functia f sa fie continua.b) Determinati ecuatiile asimptotelor la graficul functiei f .

2. Fie functiile f, g : (0,∞)→ R cu f(x) = x2 + x lnx si g(x) = 2x+ 1 + lnx.a) Sa se arate ca functia f este o primitiva a functiei g.

b) Sa se calculeze

e2∫e

g(x)dx.

c) Sa se calculeze

e∫1

f(x)g(x)dx.

III. Geometrie1. Sa se determine x > 0 pentru care x, x+ 7, x+ 8 sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

2. Se considera vectorii→u=→i −

→j si

→v= 2

→i +4

→j . Sa se calculeze modulul vectorului

→u +

→v .

3. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(2,−1) si B(−2, a), a ∈ R . Sa se determine a ∈ R astfelıncat dreapta AB sa contina punctul O(0, 0).

4. Fie α ∈(0, π2

)pentru care sinα = 1

3 . Sa se calculeze cos(α+ π3 ).

5. Se considera punctele A(2, 3), B(4, n), C(2, 2) si D(m, 5). Sa se determine m,n ∈ R astfel ıncat patrulaterulABCD sa fie paralelogram.

IV. InformaticaSe citesc de la tastatura doua numere naturale a si b mai mici ca 30000. Sa se determine si sa se afiseze

numarul de zerouri ın care se termina produsul a · b, fara a efectua produsul.Nota: Cerinta va fi rezolvata ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal/C/C++).

Se vor explica informal detaliile de implementare sub forma de program: variabile, structuri de date, structuriiterative, instructiuni conditionale.

Timp de lucru 3 ore.

1


Concursul de admitere iulie 2010,Domeniul de licenta - Matematica

I. Algebra1. Fie x1, x2 ∈ C radacinile ecuatiei x2 + 2x+m = 0, unde m ∈ R.a) Sa se determine valorile lui m pentru care x1, x2 ∈ R.b) Sa se calculeze x21 + x22 si x31 + x32 ın functie de m.c) Daca m = −22p cu p ∈ N, aratati ca ecuatia nu are radacini ıntregi.

2. Fie A = {a+ b√3 | a, b ∈ Z}. Sa se arate ca:

a) A este inel comutativ fara divizori ai lui zero ın raport cu operatiile uzuale de adunare si ınmultire a nu-merelor reale;

b) 2 +√3 este un element inversabil al inelului A. Deduceti ca A are o infinitate de elemente inversabile.

II. Analiza1. Fie functia f : (0,∞)→ R cu f(x) =

x lnx− 1

x, ∀x > 0.

a) Studiati monotonia functiei f .b) Determinati asimptotele la graficul functiei f .c) Definim sirul (xn)n∈N cu x0 > e si xn+1 = xnf(xn) + 1, ∀n ∈ N. Calculati lim

n→∞xn.

2. Fie In =

1∫0

xn

xn + 1dx, unde n ∈ N∗.

a) Sa se calculeze I1 si I2.b) Sa se arate ca In < 1 si In+1 < In pentru orice n ∈ N∗.

III. Geometrie1) Fie paralelogramul ABCD. Notam cu

−→u =

−→AB si

−→v =

−→AD. Fie E mijlocul lui AD si punctele R,S astfel

ıncat−→CS= 1

3

−→CB si

−→DR= 1

3

−→DC. Sa se exprime vectorii

−→BE si

−→RS ın functie de

−→u si

−→v si sa se arate ca

BE ‖ RS.2) Fie M un punct interior dreptunghiului ABCD. Sa se arate ca

MA2 +MC2 = MB2 +MD2.

3) In sistemul cartezian de coordonate xOy consideram punctele A(3,−2), B(2, 0) si C(4, 1). Sa se scrieecuatia dreptei care trece prin punctul C si este paralela cu dreapta AB.

4) Stiind ca sinx− cosx = 12 , sa se calculeze sin 2x.

IV. InformaticaFie S(m) un sistem de triaj cu o stiva de dimensiune m si doua operatii:1. se introduce ın stiva un numar citit de la tastatura2. se afiseaza la consola un numar extras din stiva nevida,

oricare dintre cele doua operatii putand fi aplicata ori de cate ori este posibil.Prin citirea de la tastatura a numerelor 1, . . . , n, ın aceasta ordine, cu n ≤ m si aplicarea operatiilor descrise

mai sus, S(m) poate genera permutari cu n elemente, dar nu toate.a) Dati exemplu de permutare cu 3 elemente care nu poate fi generata de S(m), (n = 3, m ≥ 3).b) Fie p o permutare arbitrara cu n ≤ 100 elemente, data. Sa se scrie un program ıntr-unul dintre limbajele

studiate ın liceu (Pascal/C/C++) care sa decida daca p poate fi generata de S(m).

Nota: Se vor preciza detaliile algoritmului folosit si ale implementarii sub forma de program: variabile, structuride date, structuri iterative, instructiuni conditionale.


1


Concursul de admitere septembrie 2010,Domeniul de licenta - Matematica

I. Algebra1. Fie m un numar real si fie functia f : R→ R definita prin f(x) = (m+ 1)x2 + 2(m+ 1)x+m,

pentru orice x ∈ R.a) Sa se determine valorile lui m pentru care f(1) < 0.b) Sa se determine valorile lui m pentru care f(x) < 0, pentru orice x ∈ R.

2. Fie λ un numar real. Consideram sistemul

λx + y = 1x + λy = 2

.

a) Sa se rezolve sistemul pentru λ = 2.b) Sa se determine valorile lui λ pentru care sistemul este incompatibil.

II. Analiza

1. Fie functia f : [0, 2]→ R, data prin f(x) =2x− 2

x3 + 1.

a) Sa se determine numerele a, b, c astfel ıncat sa avem: f(x) =a

x+ 1+

bx+ c

x2 − x+ 1, pentru orice

x ∈ [0, 2].

b) Sa se calculeze

2∫0

f(x)dx.

2. Fie functia f : D → R data prin f(x) =√

2x+ 3.

a) Sa se stabileasca domeniul maxim de definitie D si sa se calculeze f ′(x) pentru orice x ∈ (−3

2,∞).

b) Sa se studieze monotonia functiei f .c) Sa se reprezinte grafic functia.d) Sa se afle aria cuprinsa ıntre graficul functiei, axa Ox si dreptele x = −1; x = 1.

III. Geometrie1. Calculati aria patrulaterului ABCD stiind ca AD = 3, AB = 4, BC = BD = 5, CD = 6.2. Fie punctele P = (1, 1), Q = (2, 3) si dreapta d de ecuatie (d) : x+ y − 1 = 0. Determinati un

punct R pe dreapta d astfel ıncat triunghiul ∆PQR sa fie isoscel. Cate astfel de puncte R exista?3. Rezolvati ın R ecuatia

sin(x+π

6) = cos(x).

IV. InformaticaFie n ≤ 100 un numar natural nenul si x1, . . . , xn un vector v de numere ıntregi, cu proprietatea

| xi |≤ 32000, oricare ar fi i de la 1 la n.a) Sa se scrie un program care va afisa un k ∈ {1, . . . , n} si k indici 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n

astfel ıncat n divide pe xi1 + xi2 + . . .+ xik sau va afisa 0 daca nu exista un astfel de k.b) Exista un algoritm liniar (ın timp O(n) ın raport cu dimensiunea n a vectorului v) pentru

cerinta de la punctul a)? Daca da, sa se implementeze acest algoritm sub forma de program.

Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele studiate ın liceu (Pascal,C,C++). Pentru fiecaresolutie se vor preciza detaliile algoritmului folosit si ale implementarii sub forma de program: variabile,structuri de date, structuri iterative, instructiuni conditionale.


1

Universitatea din Bucuresti, Facultatea de Matematica si InformaticaConcursul de admitere, iulie 2011. Domeniul de licenta - Matematica

I. Algebra (1) Sa se rezolve ecuatiile:(a)√

5x− 1 = x+ 1, unde x ∈ R.(b) 2x + 4x = 72, unde x ∈ R.(c) x3 + 8x2 + 8x+ 1 = 0, unde x ∈ C.(d) z = z2, unde z ∈ C.

(2) Fie multimea A = {a+ b√

3 | a, b ∈ Z}. Sa se arate ca:(i) A este parte stabila ın raport cu adunarea si ınmultirea numerelor reale.(ii) (A,+, ·) este inel comutativ.(iii) Elementul 7 + 4

√3 este inversabil ın inelul A.

II. Analiza matematica 1. Fie functia f : R→ R, f(x) = (x2 + x+ 1)ex.a) Sa se calculeze f ′(x) si sa se determine punctele de extrem ale functiei f .b) Sa se determine asimptotele la graficul functiei f .c) Sa se arate ca sirul

(an)n∈N cu a0 ∈ R si an+1 = e−anf(an), ∀n ∈ N

este crescator si limn→∞

an = +∞.

2. Fie f : [1, e]→ R, f(x) = 3x2 +1

x.

a) Sa se caluleze

e∫1

f(x)dx.

b) Sa se determine primitivele functiei g = f ′f pe intervalul (1, e).

III. Geometrie 1. Sa se calculeze aria triunghiului echilateral ABC stiind ca A(−1, 1) siB(3,−2).

2. Sa se calculeze |~u|2 − |~v|2, stiind ca ~u+ ~v = 2~i+ 3~j si ~u− ~v = 3~i+ 2~j.

3. Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC stiind ca AB = 6, B =π

4, C =

π

6.

IV. Informatica Fie n,m, p ≤ 100 numere naturale si fie ~xi, cu i = 1, . . . , n si ~yj, cu j =1, . . . ,m vectori p-dimensionali de numere reale.

a) Sa se scrie un program care sa calculeze elementele d(i, j) = ‖~xi− ~yj‖2 (norma euclidianala patrat).

b) Daca oricare 2 vectori (~xi, ~yj)j=1,...,mi=1,...,n sunt ortogonali, sa se scrie un program care sa

calculeze elementele d(i, j), cu efectuarea unui numar cat mai mic de operatii.

Nota. Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu(Pascal, C, C++). Pentru fiecare solutie se vor descrie informal detaliile algoritmului folositsi ale implementarii sub forma de program: semnificatia variabilelor, a structurilor de date, astructurilor repetitive, a instructiunilor conditionale.

Timp de lucru - 3 ore.

1

Universitatea din BucurestiFacultatea de Matematica si Informatica

Concursul de admitere iulie 2012Domeniul de licenta - Matematica

I. Algebra1. Sa se arate ca:

(i) Multimea G =

(x −yy x

)x, y ∈ R, x2 + y2 = 1

este parte stabila ın raport cu ınmultirea matricelor

si ca (G, ·) este grup abelian.(ii) Multimea U = {z | z ∈ C, |z| = 1} este parte stabila ın raport cu ınmultirea numerelor complexe si (U, ·)

este grup.(iii) Grupurile U si G sunt izomorfe.

2. Fie polinomul cu coeficienti reali P (X) = X4 + aX2 + bX − 1. Sa se determine a si b pentru care P (X) sedivide cu X2 +X + 1 si ın acest caz sa se determine toate radacinile complexe ale lui P (X).

II. AnalizaFie functia f : R \ {−1} → R, f(x) =

x

(x+ 1)2.

(i) Determinati ecuatiile asimptotelor graficului functiei f .(ii) Studiati monotonia si determinati punctele de extrem local ale functiei f .

(iii) Sa se arate ca

1∫0

f(x)dx = ln 2− 1

2.

(iv) Sa se arate ca sirul (xn)n∈N definit prin x0 > 0 si xn+1 = f(xn), ∀n ∈ N, este convergent la 0.

III. Geometrie(i) Se considera paralelogramul ABCD si punctele E si F astfel ıncat

−→AE =

−−→EB si

−−→DF = 2

−−→FE. Sa se

demonstreze ca punctele A, F si C sunt coliniare.(ii) Sa se determine ecuatia simetricei dreptei d : 2x− 3y + 1 = 0 fata de punctul A(−3, 4).(iii) Stiind ca sinα+ cosα = 1

3 , sa se calculeze sin 2α.

IV. InformaticaSe dau n cercuri de raze r1, r2, . . . , rn. Aceste cercuri sunt “ımpachetate” ıntr-un dreptunghi astfel: toate

cercurile sunt tangente la baza dreptunghiului, cercurile sunt aranjate ın ordinea initiala (cel mai din stanga fiindcercul de raza r1, cel mai din dreapta cercul de raza rn), iar cercurile consecutive (de raze ri si respectiv ri+1)sunt tangente. Sa se scrie un program care calculeaza latimea minima a dreptunghiului ın care ıncap cercurile.Rezultatul se va afisa cu trei zecimale exacte.

Spre exemplu, daca n = 3, r1 = 2, r2 = 1 si r3 = 2, atunci rezultatul care trebuie afisat este 9.656.

Nota: Programul va fi scris ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal,C,C++). Se vordescrie informal detaliile algoritmului folosit si ale implementarii sub forma de program: semnificatia variabilelor,a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instructiunilor conditionale.


1

Universitatea din Bucuresti 20.07.2013

Facultatea de Matematica si Informatica

Concursul de admitere iulie 2013

Domeniul de licenta - Matematica

I. Algebra.

(a) Fie polinomul P (X) = X3 −mX2 + (2m − 1)X − 2 ∈ R[X]. Sa se determine m pentru care P are

radacina 1 si ın acest caz sa se gaseasca toate radacinile complexe ale lui P .

(b) Sa se arate ca multimea M =

(

a 2b

b a

)a, b ∈ Z

este parte stabila ın raport cu adunarea si

ınmultirea matricelor si ca M este inel comutativ ımpreuna cu aceste operatii.

(c) Matricea

(a 2b

b a

)∈M este element inversabil ın inelul M daca si numai daca |a2 − 2b2| = 1.

(d) Inelul M are o infinitate de elemente inversabile.

II. Analiza. Fie functia f : R \ {0} → R, f(x) =ex

ex − 1.

(a) Calculati limx→0

xf(x).

(b) Determinati ecuatiile asimptotelor graficului functiei f .

(c) Sa se studieze convexitatea functiei f .

(d) Sa se arate ca

∫ ln 4

ln 2f(x) dx = ln 3.

III. Geometrie.

(a) Fie ABC un triunghi cu laturile AB = 4, AC = 6 si m(A) = π3 . Sa se calculeze ınaltimea cores-

punzatoare laturii BC.

(b) Pe laturile AB si AC ale unui triunghi ABC se considera punctele D si respectiv E, astfel ıncat

4−−→AD = 3

−−→AB si 4

−→AE = 3

−→AC. Pe dreptele BE si CD se considera punctele E′ si respectiv D′, astfel

ıncat−−→EE′ = 3

−−→BE si

−−→DD′ = 3

−−→CD. Sa se arate ca punctele D′, A si E′ sunt coliniare.

(c) Sa se determine parametrul real a pentru care dreptele de ecuatii d1 : y = x, d2 : y = 2x + 1 si

d3 : x + ay + 1 = 0 sunt concurente.

IV. Informatica. Se considera o secventa de numere naturale x1, x2, . . . , xn. Din aceasta secventa se pot

obtine alte secvente folosind urmatoarea operatie: se extrage elementul de pe pozitia i (i > 1), se muta toate

elementele situate la stanga pozitiei i cu o pozitie la dreapta, iar elementul de pe pozitia i se plaseaza pe

prima pozitie a secventei.

(a) Sa se realizeze un program care primind o secventa de numere naturale x1, x2, . . . , xn afiseaza toate

secventele care se pot obtine din aceasta folosind o singura data operatia definita mai sus. Ordinea ın

care sunt afisate secventele rezultate nu conteaza. De exemplu din secventa 1,2,3 folosind o singura

operatie, mutand elementul de pe pozitia 2 se pot obtine secventa 2,1,3 si mutand de pe pozitia 3 se

obtine secventa 3,1,2.

(b) Sa se realizeze un program care primind doua permutari x1, x2, . . . , xn si y1, y2, . . . , yn ale multimii

{1, . . . , n} afiseaza o secventa de operatii de tipul de mai sus prin care permutarea x1, x2, . . . , xn se

poate transforma ın permutarea y1, y2, . . . , yn. O operatie va fi afisata prin acel element xi care se

muta pe prima pozitie. De exemplu daca se primesc permutarile: 4,5,6,7,8,9,3,1,2 si 4,9,6,5,7,8,3,1,2

o posibila iesire a programului este: 6,9,4 adica din prima permutare se extrage 6 si se pune ın fata,

apoi se extrage 9 si se pune in fata, iar apoi se extrage 4 si se pune in fata.

Nota: Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal,C,C++).

Pentru fiecare solutie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit si ale implementarii sub forma de pro-

gram: semnificatia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instructiunilor conditionale.






I. Algebra. Fie matricea A =

(1 1

−3 −2

)∈M2(R).

(a) Sa se arate ca A3 = I2 si sa se calculeze A2014.

(b) Sa se determine matricele X ∈M2(R) pentru care AX =

(0 1

1 1

).

(c) Fie n un numar natural care nu este divizibil cu 3. Sa se arate ca exista X ∈ M2(R) astfel ıncat

Xn = A.

II. Analiza. Fie f : R→ R, f(x) = x− arctg x.

(a) Studiati monotonia functiei f .

(b) Determinati ecuatiile asimptotelor la graficul functiei f .

(c) Consideram sirul (xn)n∈N dat de x0 > 0 si xn+1 = f(xn), ∀n ∈ N. Demonstrati ca sirul (xn)n∈Neste convergent si ca lim

n→∞xn = 0.

(d) Calculati

∫ 1

0f(x) dx.

III. Geometrie.

(a) In planul xOy fie punctele A(−1,−2), B(−4, 1) si C(5, 4). Sa se determine lungimea segmentului

[GO], unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC, iar O este centrul cercului circumscris

acestui triunghi.

(b) Fie α ∈ (0, π2 ). Sa se calculeze tgα, stiind ca are loc egalitatea sin α2 − cos α2 =

√33 .

(c) Fie ABCD un paralelogram. Se considera punctele M si N date de relatiile−−→AM = 1

3

−−→MB, respectiv

−−→DN = 1

3

−−→DC. Se noteaza cu P intersectia dintre dreapta AB si paralela dusa prin C la dreapta OM ,

unde O este punctul de intersectie a diagonalelor paralelogramului. Sa se determine α, β ∈ R pentru

care are loc egalitatea−−→NP = α

−−→AB + β

−−→AD.

IV. Informatica.

Se considera ecuatia de gradul al 2-lea cu coeficienti reali ax2+bx+c = 0 cu a 6= 0 si expresia: Sn = xn1 +xn2 ,

unde x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei. Sa se scrie un program care primind coeficientii a, b, c ai ecuatiei si un

numar natural n calculeaza si afisaza valoarea expresiei Sn, stiind ca Sn este un numar real indiferent daca

radacinile ecuatiei sunt reale sau nu. De exemplu, daca programul va primi la intrare numerele: 1 1 1 6 (ceea

ce ınseamna ca ecuatia este x2 + x+ 1 = 0 si se cere S6) va afisa 2.









I. Algebra. Fie ecuatia (m + 1)x2 − (2m + 1)x− 2m = 0, unde m ∈ R \ {−1}.(a) Determinati radacinile reale ale ecuatiei pentru m = 1.

(b) Determinati valorile parametrului m astfel ıncat ecuatia sa aiba toate radacinile reale.

(c) Determinati valorile parametrului m astfel ıncat x21 + x22 = −8, unde x1, x2 sunt radacinile complexe

ale ecuatiei.

(d) Sa se determine toate valorile ıntregi ale lui m pentru care ambele radacini ale ecuatiei sunt ıntregi.

II. Analiza. Fie f : R→ R, f(x) =

1− e−x

x, daca x < 0

a daca x = 0ln(1 + x)

xdaca x > 0

, a ∈ R si In =

2∫1

f(x)

xndx, ∀n ∈ N.

(a) Determinati a astfel ıncat functia f sa fie continua.

(b) Aratati ca daca functia f este continua, atunci ea este si derivabila.

(c) Demonstrati ca f(x) ∈ (0, 1), ∀x > 0.

(d) Aratati ca I1 =3

2ln

4

3.

(e) Demonstrati ca sirul (In)n∈N este descrescator si ca limn→∞

In = 0.

III. Geometrie. Consideram paralelogramul ABCD.

(a) Fie E un punct cu proprietatea ca−→CE= 2

−→DE si fie F un punct cu proprietatea ca

−→AF= −2

−→BF .

Determinati x, y ∈ R pentru care−→EF= x

−→AB +y

−→AC.

(b) Demonstrati ca AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2).

(c) Presupunem ca exista un punct M pentru care MA2 + MC2 = MB2 + MD2. Demonstrati ca, ın

acest caz, ABCD este dreptunghi.

IV. Informatica.

(a) Sa se arate ca orice numar natural nenul se poate scrie ın mod unic ca o suma de puteri ale lui 2 care

nu se repeta (exemplu: 77 = 20 + 22 + 23 + 26).

(b) Numerele naturale de la 1 la 255 se codifica astfel:

– puterile lui 2 se reprezinta prin literele: a = 1, b = 2, c = 4, d = 8, e = 16, f = 32, g = 64,

h = 128;

– orice alt numar din intervalul mentionat va fi reprezentat ca o combinatie de aceste litere, aranjate

ın ordine alfabetica, ın care orice litera apare cel mult o singura data, astfel ıncat suma valorilor

acestor litere sa fie egala cu valoarea numarului (exemplu: acdg = 77).

Sa se scrie un program care, citind doua siruri de caractere ce reprezinta numere ın conventia de

mai sus, sa scrie, la iesire, sirul ce reprezinta suma numerelor astfel reprezentate (exemplu: daca la

intrare programul primeste sirurile acdg si ac atunci, la iesire, va scrie beg). Sirurile de intrare sunt

alese astfel ıncat suma numerelor pe care le reprezinta sa fie mai mica sau egala cu 255.

Este posibil ca programul sa calculeze sirul de iesire fara a transforma sirurile ın numere? Daca

da, dati o astfel de solutie.

Nota: Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal, C, C++).









(2 1

3 2

)∈M2(R).

(a) Sa se calculeze 2A2 − 3A.

(b) Sa se arate ca (2A2 − 3A)A = A(2A2 − 3A).

(c) Sa se determine toate matricele X ∈M2(R) pentru care AX = XA.

(d) Sa se arate ca multimea C = {X ∈ M2(R)| AX = XA} este parte stabila ın raport cu adunarea si

ınmultirea matricelor si ca C este inel ımpreuna cu aceste operatii.

(e) Sa se arate ca An 6= I2 pentru orice n ∈ N∗.

II. Analiza. Fie functia f : R→ R, f(x) = ex(x2 − 5x + 7).

(a) Determinati ecuatia asimptotei spre −∞ la graficul functiei f si punctele de extrem local ale acestei

functii.

(b) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N∗ ecuatia f (n)(x) = 0 are doua solutii reale, unde f (n) este derivata

de ordinul n a functiei f .

(c) Calculati I =

1∫0

f(x) dx.

(d) Demonstrati ca limn→∞

1

9n

2∫1

(f(x))n dx = 0.

III. Geometrie. Fie ABCDEF un hexagon regulat de latura 2.

(a) Calculati aria triunghiului ACE.

(b) Calculati |−→AC +

−→BD |.

(c) Pe segmentele (AC) si (CE) se considera punctele M respectiv N astfel ıncat AMAC = CN

CE = k.

Determinati numarul k astfel ıncat punctele B,N si M sa fie coliniare.

IV. Informatica.

Se da un sir de n numere ıntregi, cu n numar natural nenul, mai mic decat 32000. Se elimina primul

element din sir si toate elementele sirului aflate pe pozitii care reprezinta numere prime, ın ordinea crescatoare

a pozitiilor. Operatia se repeta cu elementele ramase ın sir, repozitionate dupa eliminarea celorlalte, pana

cand este eliminat si ultimul element ramas. Sa se scrie un program care afiseaza elementele sirului initial,

ın ordinea ın care au fost eliminate conform algoritmului descris mai sus.

Exemplul 1. Pentru n = 10 si sirul 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 programul va afisa 1 2 3 5 7 4 6 8 10 9.

Exemplul 2. Pentru n = 20 si sirul 4, 23, 16, −7, 89, 115, 23, 11, 15, 2, −8, −9, 21, 0, 75, 23, 32, −1, 4, 5

programul va afisa 4 23 16 89 23 −8 21 32 4 −7 115 11 2 0 5 15 −9 75 −1 23.

Nota: Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal, C, C++).








I. Algebra. Fie multimea A = {a + b 3√

2 | a, b ∈ Q} si fie z = 1 + 3√

2. Sa se arate ca:

(a) z3 − 3z2 + 3z = 3.

(b) Toate radacinile reale ale ecuatiei x6 − 3x3 + 2 = 0 se gasesc ın multimea A.

(c) Multimea A este parte stabila ın raport cu adunarea numerelor reale si (A,+) este grup abelian.

(d) z2 /∈ A.

II. Analiza. Fie functiile fn : R→ R, fn(x) = n√xn + (1− x)n, unde n ∈ N, n ≥ 2.

(a) Sa se determine ecuatiile asimptotelor la graficul functiei f2.

(b) Sa se determine punctele de extrem local ale functiei f3.

(c) Sa se studieze continuitatea functiei f : R→ R, f(x) = limn→∞

fn(x).

(d) Sa se calculeze I =

1∫0

1

f2(x)dx.

III. Geometrie. In planul de coordonate xOy se considera punctele A(a, 0), B(−a, 0), C(0, a) si

D(0, b), unde a, b > 0 si patratul ADEF , cu punctele E si F situate ın cadranul I (ambele coordonate

strict pozitive).

(a) Exprimati vectorul−→OE ın functie de vectorii

−→OA si

−→OD.

(b) Aratati ca punctele B,C,E sunt coliniare.

(c) Aratati ca ariile triunghiurilor FCO si EBO sunt egale.

IV. Informatica.

Consideram triunghiul infinit de mai jos, format din numere naturale:

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Spunem ca perechea de numere (x, y) este adiacenta daca x si y sunt vecini pe aceeasi linie sau pe

diagonala, pe linii consecutive. Spre exemplu, (8,9), (12,8) si (8,13) sunt adiacente, dar (8,14) sau

(18,8) nu sunt adiacente.

Numim drum de la x la y de lungime p − 1, cu p ≥ 1, o secventa de numere x1 x2 x3 . . . xp, cu

x = x1 si y = xp si cu proprietatea ca toate perechile (xi, xi+1), cu i de la 1 la p− 1, sunt adiacente.

Scrieti un program, ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal,C,C++), care

primeste ca date de intrare 2 numere naturale nenule x si y si afiseaza un drum de la x la y de lungime

minima. Spre exemplu, 1 2 5 8 13 este un drum de lungime minima de la 1 la 13.

Nota: Se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit si ale implementarii sub forma de program:

semnificatia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instructiunilor conditionale.






I. Algebra. Fie matricea A(m) =

m + 2 −2 3

0 m 3

0 0 m + 3

∈ M3(R), unde m este un parametru

real.

(a) Determinati m ∈ R astfel ıncat A(m) sa fie inversabila.

(b) Aratati ca A(0)3 − 5A(0)2 + 6A(0) = O3.

(c) Calculati A(0)2018 si A(1)2018.

(d) Fie B ∈ M3,2(R) si C ∈ M2,3(R) astfel ıncat B · C = A(0). Calculati det(CB) si tr(CB),

unde am notat cu tr(CB) suma elementelor de pe diagonala principala a matricei CB.

II. Analiza. Fie functia f : R→ R, definita prin f(x) =√|x2 − 6x + 8|, pentru orice x ∈ R.

(a) Determinati asimptotele la graficul functiei f .

(b) Determinati punctele ın care functia f nu este derivabila si intervalele de convexitate ale lui f .

(c) Calculati4∫2

f 2(x)dx.

(d) Pentru orice numar natural n ≥ 1 notam In =4∫3

(f(x))ndx. Demonstrati ca sirul (In)n este

convergent si calculati limn→∞

In.

III. Geometrie. In planul de coordonate xOy se considera punctele A(3, 0) si M(a, 0), unde a ∈(0, 3). Pe segmentul OA se construiesc triunghiurile echilaterale OMP si MAQ, de aceeasi parte a

segmentului OA, cu punctele P si Q situate ın cadranul I (ambele coordonate strict pozitive). Fie N

mijlocul segmentului PQ.

(a) Daca a = 1, gasiti coordonatele punctelor P si Q si aratati ca dreptele PQ si QA sunt

perpendiculare.

(b) Daca a = 1, fie B punctul de intersectie al dreptelor OP si AQ. Aratati ca punctele M , N si

B sunt coliniare.

(c) Gasiti valoarea lui a pentru care dreptele PQ si OP sunt perpendiculare.

(d) Aratati ca pentru orice valoare a lui a ∈ (0, 3) dreptele MN trec printr-un punct fix.

IV. Informatica. Ionut a fost admis la FMI si tatal lui i-a facut cadou o masina la mana a doua ca

sa calatoreasca cu ea ın vacanta, ımpreuna cu prietena sa Mariuca. Din pacate, masina este veche si

la scurt timp, acul vitezometrului se rupe. Descurcaret de mic, Ionut ıl lipeste cu adeziv, dar ısi da

seama ca ın urma reparatiei, acul nu mai indica viteza corecta. Facand mai multe experimente, Ionut

realizeaza ca viteza pe care o indica acul vitezometrului difera de viteza reala a masinii cu un numar

real constant c, a carui valoare absoluta e mai mica decat 100 km/ora.

Pentru a calcula constanta c, Ionut merge pe 3 segmente de drum succesive, pe fiecare dintre ele

cu viteza constanta si ısi noteaza viteza indicata de acul defect al vitezometrului pe fiecare segment

de drum:

- pe primul segment de drum, de 40 km, acul ıi indica o viteza de 50 km/ora;

- pe al doilea segment de drum, tot de 40 km, parcurs la o alta viteza, acul ıi indica 60 km/ora;

- pe al treilea segment de drum, de 100 km, acul ıi indica 90 km/ora.

In acest timp, Mariuca ınregistreaza timpii ın care sunt parcurse cele 3 segmente de drum, dar pentru

ca vrea sa ıl puna la ıncercare pe Ionut, la final nu ıi spune decat timpul total t de 5 ore ın care a

parcurs toate cele 3 segmente de drum cumulate. Dupa ce ısi aduce aminte din liceu ca viteza se

calculeaza ca raportul dintre distanta si timp, Ionut ajunge la concluzia ca acul vitezometrului indica

ıntotdeauna cu 30 km/ora mai mult decat viteza reala a masinii.

Scrieti un program care citeste numarul natural n, reprezentand numarul segmentelor succesive de

drum pe care Ionut le parcurge, numarul real t, reprezentand timpul total (ın ore) ın care acestea sunt

parcurse, precum si n perechi de numere reale, fiecare reprezentand lungimea unui segment de drum

(ın km) si valoarea indicata de acul vitezometrului pe segmentul de drum respectiv (ın km/ora), iar

apoi afiseaza valoarea numerica a constantei reale c (ın km/ora), calculata cu o precizie de 2 zecimale,

cu care viteza indicata de acul defect difera de viteza reala a masinii.

Note:

1. Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal, C,

C++). Pentru fiecare solutie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit si ale imple-

mentarii sub forma de program: semnificatia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor

repetitive si a instructiunilor conditionale.

2. Programele vor folosi instructiunile de baza ale limbajului de programare ales, functii din bib-

lioteci de baza (inclusiv cele de intrare/iesire), dar nu si alte functii din biblioteci specializate.






I. Algebra. Consideram polinomul P (X) = (X + i)12 + (X − i)12.

(a) Calculati P (0).

(b) Aratati ca suma patratelor radacinilor polinomului P este 132.

(c) Demonstrati ca numarul ctg( π

24) este o radacina a lui P .

(d) Demonstrati ca toate radacinile polinomului P sunt reale.

(e) Fie Q = (X + i)12 +m(X − i)12, unde m este un numar complex. Demonstrati ca polinomul

Q are (cel putin) o radacina reala daca si numai daca |m| = 1.

II. Analiza. Fie functia

f : R → R, f(x) =

sin x

x, x 6= 0

1, x = 0.

(a) Calculati f(π2) + f(π).

(b) Demonstrati ca f este derivabila pe R si determinati asimptotele la graficul functiei f .

(c) Aratati ca functia f are exact 3 puncte de extrem local ın intervalul (−2π, 2π).

(d) Calculati

∫

π

0

x3f 2(x)dx.

(e) Pentru orice numar natural n ≥ 1, notam In =

∫ 2(n+1)π

2nπ

f(x)dx. Demonstrati ca sirul (In)n

este strict monoton si calculati limn→∞

In.

III. Geometrie. In planul de coordonate xOy fie punctele A(1, 1), B(−1, 3), C(−a − 1, a + 5),

D(−a+ 1, a+ 3), unde a ∈ R este un parametru.

(a) Aratati ca, pentru orice valoare a parametrului a, punctele C si D se afla pe dreapta de ecuatie

x+ y − 4 = 0.

(b) Demonstrati ca pentru orice valoare a lui a, punctele A,B,C,D determina un paralelogram si

calculati aria acestuia.

(c) Fie a = 0. Consideram B′ simetricul lui B ın raport cu C si punctele M si N astfel ca−→

AM= 12

−→

AC,−→

AN= λ−→

AB (λ ∈ R). Determinati λ astfel ıncat vectorii−→

MN si−→

MB′ sa fie

coliniari.

(d) Fie a = 0. Notam cu A1 proiectia lui A pe CD si cu C1 proiectia lui C pe AB. Demonstrati ca

dreptele A1C1, AC si BD au un punct comun. Justificati daca proprietatea ramane valabila

pentru o valoare oarecare a lui a.

(e) Pentru ce valoare a lui a perimetrul paralelogramului ABCD este minim? Justificati!

Subiectul de Informatica se gaseste pe verso.

IV. Informatică

Fie v un tablou unidimensional format din n numere naturale nenule (n 2). Singura operație permisă asupra unui element al tabloului v constă în înlocuirea sa cu cel mai mare divizor comun dintre el și vecinul său din stânga sau vecinul său din dreapta, oricare dintre aceştia există. Scrieți un program care primește la intrare numărul n și cele n elemente ale tabloului v, iar apoi determină și afișează numărul minim de înlocuiri de tipul

precizat, necesare pentru ca toate elementele tabloului să devină egale cu 1 sau mesajul “Imposibil” în cazul în

care acest lucru nu se poate realiza.

Exemple:

Date de intrare Date de ieșire Observații n = 5

v = (2, 6, 3, 1, 5)

4 Numărul minim de operații de înlocuire necesare este 4 și se poate obține, de exemplu, astfel: înlocuim 3 cu cmmdc(3,1)=1, deci v = (2, 6, 1, 1, 5)

înlocuim 6 cu cmmdc(6,1)=1, deci v = (2, 1, 1, 1, 5)



n = 5

v = (3, 15, 5, 5, 10)

6 Numărul minim de operații de înlocuire necesare este 6 și se poate obține, de exemplu, astfel: înlocuim 15 cu cmmdc(3,15)=3, deci v = (3, 3, 5, 5, 10)

înlocuim al doilea 3 cu cmmdc(3,5)=1, deci v = (3, 1, 5, 5, 10)

înlocuim primul 5 cu cmmdc(1,5)=1, deci v = (3, 1, 1, 5, 10)




Note:

1. Programele vor fi scrise într-unul dintre limbajele de programare studiate în liceu (Pascal, C sau C++).

Pentru fiecare soluție se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit și ale implementării sale sub formă de program: semnificația variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive și a instrucțiunilor condiționale.

2. Programele vor folosi doar instrucțiunile de bază ale limbajului de programare ales și funcții din biblioteci pentru citirea și scrierea datelor.

3. Citirea datelor se poate face de la tastatură sau dintr-un fișier text. Afișarea se va face doar pe monitor.

4. Se va considera că datele de intrare ale programelor sunt oricât de mari, dar fără a pune probleme de

reprezentare în memorie cu ajutorul tipurilor de date standard.

Timp total de lucru: 3 ore

Universitatea din Bucuresti, Facultatea de Matematica si InformaticaConcursul de admitere iulie 2009, Domeniul de licenta - MatematicaBarem corectura

I. Algebra 1. 1 pt. din oficiu.a) x1 = −1, x2,3 = −1±i

√3

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.b) x1 = 0, x2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.c) x = 4 solutie unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.d) x = 3 solutie unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.e) (x, y) ∈ {(3, 1), (1, 2), (0, 4), (−2,−4), (−3,−2), (−5,−1)} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pt.

2. 1 pt. din oficiu.

a) X =(x y0 x

), cu x, y ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pt.

b) M parte stabila fata de adunarea si ınmultirea matricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.02, I2 ∈M, X ∈M implica −X ∈M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.Restul axiomelor inelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.Verificarea comutativitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pt.

Analiza matematica 1. 1 pt. din oficiua) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 pt.b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pt.2. 1 pt. din oficiu.a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 pt.b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 pt.d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.

Geometrie 1. 1 pt. din oficiuFigura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pt.a) Triunghiul ECF isoscel implica [EC] ≡ [EF ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 pt.Triunghiurile ABF si AEF congruente implica [EF ] ≡ [FB] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.

b) descompunerea−→AE= 1√

2

−→AB + 1√

2

−→AD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.

2. 1 pt. din oficiu.a) Formula distantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.m ∈ {1, 2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.b) M,N,P nu sunt colineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.Ecuatia dreptei NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pt.Ecuatia ınaltimii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.c) Produsul scalar

→u · →v= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pt.

(3→u − →v ) · (2 →u +4

→v ) = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.

d) cos 2α = 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.

sin 2α = 4√

625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pt.

Informatica 1. 1 pt. din oficiua) Algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.Limbaj de programare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.Detalii de implementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pt.b) Algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pt.Limbaj de programare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.Detalii de implementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pt.

1

Universitatea din BucurestiFacultatea de Matematica si Informatica 10 septembrie 2009

Examen de Admitere

Domeniul de licenta Matematica

Barem de corectura

• Algebra1. Oficiu 1pa) 3pb) 3pc) 3p2. Oficiu 1pa) 3pb) 4pc) 2p

• Analiza1. Oficiu 1pa) studiul continuitatii ın −1 2pa) studiul continuitatii ın 1 2pa) a = 1 si b = 0 1pb) y = 0 asimptota orizontala spre −∞ 2pb) y = 2x asimptota oblica spre +∞ 2p2. Oficiu 1pa) 3pb) 3pc) 3p

• GeometrieOficiu 1p1. 2p2. 2p3. 2p4. 2p5. 1p

• InformaticaOficiu 1pdeterminarea exponentilor lui 2 si 5 ın a, respectiv b 4pdeterminarea exponentilor lui 2 si 5 ın a · b 2pdeterminarea numarului de zerouri ın a · b 1plimbaj 1pdetalii de implementare 1p

1

Universitatea din BucurestiFacultatea de Matematica si Informatica 18 iulie 2010

Examen de AdmitereDomeniul de licenta Matematica

Barem de corectura

• Algebra - IOficiu 1p1. a) 2pb) 2pc) 1p

2. a) 3pb) 1p

• Analiza - IIOficiu 1p1. a) f strict crescatoare pe (0,∞) 1pb) x = 0 asimptota verticala 1p

Nu exista asimptote orizontale, oblice 2pc) xn+1 = xn lnxn, xn > e, (xn) crescator si lim

n→∞xn =∞ 1p

2.a) I1 = 1− ln 2 1p

I2 = 1− π

41p

b)xn

xn + 1< 1⇒ In < 1 1p

In+1 − In < 0⇒ In+1 < In 1p

• Geometrie - IIIOficiu 1p1. exprimarea vectorilor 1p

paralelismul 1p

2. 2p

3. calculul pantei 1pconditia de paralelism 1pfinalizare 1p

4. formula sinusului arcului dublu 1pfinalizare 1p

• Informatica - IVOficiu 1pa) Exemplu 2pb) Implementarea corecta a stivei 2p

Verificarea lui p 3pDetalii de algoritm si implementare 1pSintaxa limbajului de programare 1p

1



Barem de corectura

• Algebra - IOficiu 1p1. a) 2p

b) 3p

2. a) 2pb) 2p

• Analiza - IIOficiu 1p1. a) 2p

b) 2p

2. a) 2pb) 1pc) 1pd) 1p

• Geometrie - IIIOficiu 1p1. 3p2. 4p3. 2p

• Informatica - IVOficiu 1pAlgoritm a) 4pAlgoritm b) +1pCorectitudine implementare 2pDetalii de algoritm si implementare 2p

1

Universitatea din Bucuresti, Facultatea de Matematica si InformaticaConcursul de admitere, iulie 2011. Domeniul de licenta - MatematicaBarem de corectare

I. Algebra 1 p. din oficiu.1. (a), (b), (c), (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cate 1 p.2. (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p.(ii) Enuntarea axiomelor inelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p.(iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.

II. Analiza 1 p. din oficiu.1. a) Calculul lui f ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Punctele de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p.b) Asimptota orizontala la −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.c) Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.2. a), b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cate 2 p.

III. Geometrie 1 p. din oficiu.1. Calculul laturii AB sau aflarea coordonatelor lui C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p.2. Gasirea lui ~u si ~v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p.Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.3. Determinarea laturilor AC, BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p.

IV. Informatica 1 p. din oficiu.a) Algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p.b) Algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Sintaxa limbajului de programare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p.Detalii de algoritm si de implementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p.

1



Barem de corectura

• Algebra - IOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p1. (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2,5p

(ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5p(iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2. Determinarea lui a si b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pAflarea radacinilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

• Analiza - IIOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

(i) y = 0 asimptota orizontala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1px = −1 asimptota verticala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

(ii) Calculul lui f ′(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pf crescatoare pe (-1,1] si descrescatoare pe (−∞,−1) si [1,∞) . . . . . . . . . . . 1px = 1 punct de maxim local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

(iii) Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p(iv) Studiul convergentei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Calculul limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

• Geometrie - IIIOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

(i) Exprimarea lui−→AF ın functie de

−−→AD si

−−→AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p(ii) Alegerea unui punct pe d si determinarea simetricului sau fata de A . . . . 1p

Determinarea pantei simetricei lui d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pFinalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

(iii) Ridicarea la patrat a relatiei date . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pFinalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

• Informatica - IVOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Corectitudine algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5pSintaxa limbajului de programare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pDetalii de algoritm si de implementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p

Nota: Se pot scadea maxim 2 puncte pentru greseli de limbaj sau de imple-mentare sub forma de program.

1





Barem

I. Algebra. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(a) • m = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

• x1 = 1, x2 = 1+i√7

2, x3 = 1−i

√7

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

(b) • Rezolvare corecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 puncte.

(c) • Rezolvare corecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(d) • Rezolvare corecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

II. Analiza. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 punct.

(a) • Valoarea limitei egala cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

(b) • x = 0 asimptota verticala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• y = 1 asimptota orizontala spre +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• y = 0 asiptota orizontala spre −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(c) • Calculul lui f ′(x) si f ′′(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• f concava pe (−∞, 0) si f convexa pe (0,∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(d) • Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(a) • Calculul laturii BC = 2√

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Calculul ariei triunghiului cu formula S = bc sinA2

= 6√

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Scrierea formulei S = aha

2si finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(b) • DE‖AE ′ si DE‖AD′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

• E ′, A,D′ coliniare (unicitatea paralelei printr-un punct) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(c) • Punctul P de intersectie al dreptelor d1 si d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Conditia P ∈ d3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

IV. Informatica. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(a) • Programul genereaza o secventa corecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Programul genereaza numai secvente corecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

• Programul genereaza toate secventele corecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

(b) • Programul gaseste o secventa corecta de operatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 puncte.

− Programele nu au greseli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 puncte.

− Claritatea rezolvarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

1





Barem

I. Algebra. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(a) • A3 = I2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 puncte

• A2014 = A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte

(b) • X =

(−1 −3

1 4

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 puncte

(c) • Orice rezolvare corecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 puncte

II. Analiza. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(a) • Calculul lui f ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• f crescatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(b) • Calculul limitei limx→−∞

f(x) si y = x+ π/2 asimptota oblica spre −∞ . . . . . . . . . . . 1 punct

• Calculul limitei limx→∞

f(x) si y = x− π/2 asimptota oblica spre +∞ . . . . . . . . . . . . 1 punct

(c) • Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 punct

• Marginirea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Calculul limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(d) • Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte

III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(a) • Determinarea centrului de greutate G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 puncte

• Triunghiul ABC este dreptunghic cu m(A) = 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Determinarea centrului cercului circumscris O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Calculul lungimii segmentului [GO] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 puncte

(b) • Ridicare la patrat, calculul lui sinα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Calculul lui cosα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(c) • P este mijlocul lui [AB] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Scrierea unei relatii vectoriale care sa conduca la determinarea lui−−→NP . . . . . . . . . 1 punct

• Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

IV. Informatica. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 punct

• Calculul lui S1 si S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Gasirea relatiei de recurenta pentru Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 puncte

• Implementarea corecta a relatiei de recurenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 puncte

• Programele nu au greseli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 punct

• Claritatea rezolvarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct1





Barem

I. Algebra. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(a) Calculul radacinilor: 2 si −1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(b) Determinarea lui m: m ∈ (−∞,−1) ∪ (−1, −3−√6

6 ] ∪ [−3+√6

6 ,+∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

(c) Determinarea lui m: m = −3/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(d) Determinarea lui m ∈ Z astfel ıncat ecuatia are radacini ıntregi: m ∈ {0,−2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

II. Analiza. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(a) f este continua pe R \ {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Studiul continuitatii ın 0 si a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,5 p

(b) Studiul derivabilitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(c) Demonstrarea apartenentei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(d) Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(e) Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Calculul limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(a) Determinarea pozitiei punctelor E si F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

x = 83 , y = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(b) Enuntarea sau utilizarea unei teoreme care permite demonstratia (teorema cosinusului, teorema

medianei, etc.) sau reformularea problemei ın limbaj analitic sau vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Demonstrarea relatiei din enunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

IV. Informatica. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(a) Numarul poate fi scris ca suma de puteri ale lui 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Exista cel putin o scriere a numarului ın care puterile lui 2 nu se repeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Aceasta scriere este unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Programul citeste corect sirurile de caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Programul “aduna” sirurile corect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Programul afiseaza corect sirul rezultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Programul nu transforma sirurile ın numere ci le “aduna” direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Programele nu au greseli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Claritatea rezolvarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

1





Barem


(a) Calculul lui 2A2 − 3A:

(8 5

15 8

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(b) Verificarea egalitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) Determinarea matricelor X:

(x y

3y x

), cu x, y ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(d) C parte stabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(C,+, ·) - inel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(e) An 6= I2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


(a) y = 0 asimptota orizontala spre −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

x = 1 si x = 2 puncte de extrem local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(b) Calculul derivatei de ordinul n: f (n)(x) = ex(x2 + (2n− 5)x + (n2 − 6n + 7)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Ecuatia x2 + (2n− 5)x + (n2 − 6n + 7) = 0 are doua radacini reale ∀n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(c) I = 8e− 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(d) Demonstrarea inegalitatii 0 ≤ f(x) ≤ 3e, ∀x ∈ [1, 2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p



(a) Calculul ariei triunghiului ACE (3√

3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

(b) |−→AC +

−→BD | = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

(c) k = 1√3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p


Generarea tuturor numerelor prime pana la n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Eliminarea corecta a elementelor pentru o iteratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Efectuarea tuturor iteratiilor pentru obtinerea solutiei corecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

Programele nu au greseli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Claritatea rezolvarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

1





Barem


(a) Verificarea egalitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(b) Ecuatia are doua radacini reale: 1, 3√

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(c) A parte stabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(A,+) - grup abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(d) z2 /∈ A⇔ 3√

4 /∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Demonstratia 3√

4 /∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p


(a) y =√

2x−√22 asimptota oblica spre +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

y = −√

2x +√22 asimptota oblica spre −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(b) Calculul lui f ′3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

x = 1/2 punct de extrem local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) f(x) =

{1− x x ∈ (−∞, 1/2]

x x ∈ (1/2,∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

f este continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(d) I =√

2 ln(√

2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p


(a) Determinarea coordonatelor punctului E : (b, a + b)

(analitic sau folosind congruente de triunghiuri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

Scrierea vectorului−→OE= b

a

−→OA +a+b

b

−→OD (daca au fost determinate mai ıntai coordonatele lui E) 2p

Daca se obtine scrierea vectorului−→OE direct prin metode vectoriale se acorda 4 puncte

(b) Scrierea conditiei de coliniaritate (analitic, vectorial, etc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Demonstrarea coliniaritatii (finalizarea) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) Determinarea coordonatelor punctului F : (a + b, a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Calculul ariilor celor doua triunghiuri si demonstrarea egalitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(*) Pentru o solutie care trateaza corect doar cazul particular a = b se acorda 7 puncte. Pentru o solutie

care trateaza corect si complet cazul general fara a aminti de cazul particular se va acorda punctajul

maxim. Orice alta solutie completa (transformari geometrice, numere complexe, etc.) va fi notata cu

punctaj maxim.


Tratarea celor trei cazuri x < y, x = y, x > y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Determinarea nivelului pe care se afla un numar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Determinarea corecta a tuturor vecinilor (adiacentelor) unui numar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Afisarea unui drum corect pentru orice x si y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Afisarea unui drum corect minim pentru orice x si y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p





Barem


(a) A(m) inversabila daca si numai daca detA(m) 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Calculul determinantului: m(m + 2)(m + 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

m ∈ R \ {−3,−2, 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(b) Calculul puterilor A(0)2 si A(0)3 ale matricei A(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Verificarea egalitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) A(0)2018 =

22018 −22018 32018

0 0 32018

0 0 32018

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p

A(1)2018 =

32018 1− 32018 42018 − 1

0 1 42018 − 1

0 0 42018

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p

(d) tr(CB) = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

det(CB) = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p


(a) y = x− 3 asimptota oblica spre +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

y = −x + 3 asimptota oblica spre −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

f nu are asimptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p

(b) f este derivabila pe R \ {2, 4} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Studiul derivabilitatii ın x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75 p

Studiul derivabilitatii ın x = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75 p

Calculul derivatei a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p

Concluzia: f concava pe (−∞, 2], [2, 4], [4,∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(c) calculul integralei I = 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

(d) (In)n descrescator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(In)n marginit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

limn→∞

In = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


(a) P (12 ,√32 ) si Q(2,

√3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Demonstrarea perpendicularitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Demonstrarea coliniaritatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

(c) P (a2 ,a√3

2 ) si Q(a+32 , (3−a)

√3

2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Expresiile pantelor mOP =√

3 si mPQ =√3(3−2a)

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Conditia de perpendicularitate si calculul lui a = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(d) Ecuatia dreptei MN : (x− a)3√

3− y(3− 2a) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Identificarea punctului fix B(32 ,3√3

2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


Gasirea relatiei care permite aflarea constantei c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Considerarea unui interval de cautare pentru constanta c care contine si valori negative . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Gasirea constantei c prin cautare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

Respectarea aproximarii de 2 zecimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p





Barem

I. Algebra. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(a) Calculul lui P (0) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) s1 = 0, s2 = −66 (relatiile lui Viete) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Calculul sumei patratelor = 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) Utilizarea sau enuntarea formulei lui Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Demonstratia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p

(Punctajul se poate acorda integral daca la d) sunt determinate efectiv toate radacinile,

iar una dintre acestea este scrisa ın forma ctg( π24

) )

(d) Observatia ca numerele ctg (2k+1)π24

, k = 0, 1, . . . , 11 sunt radacini ale lui P , sau scrierea

ecuatiei P = 0 ın forma echivalenta(X+iX−i

)12= −1, sau observatia ca, pentru o radacina

x, avem |x+ i| = |x− i| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Demonstratia faptului ca polinomul are toate radacinile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(e) Implicatia directa (daca are o radacina reala, atunci |m| = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Implicatia inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

II. Analiza. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(a) Suma = 2π

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Calculul derivatei ın 0 (f ′(0) = 0), folosind definitia sau teorema Lagrange . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Argumentarea faptului ca f este derivabila pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Calculul limitelor functiei la ±∞ (egale cu 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Concluzia (dreapta de ecuatie y = 0 este asimptota orizontala spre ±∞; nu exista

asimptote verticale sau oblice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(c) Calculul derivatei f ′(x) =

{x cosx−sinx

x2, x 6= 0

0, x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(Acest punctaj se acorda si ın cazul ın care derivata a fost deja calculata explicit la b))

Studiul ecuatiei f ′(x) = 0 pe intervalul (−2π, 2π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Concluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(d) Enuntarea / utilizarea metodei de integrare prin parti, sau a metodei de schimbare de

variabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Calculul integralei (= π2

4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p

(e) Demonstrarea monotoniei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Calculul limitei (= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p1

2

III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(a) Verificarea conditiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(b) Verificarea proprietatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Aria paralelogramului este egala cu 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) Coordonatele punctelor B′(−1, 7), M(0, 3), N(1− 2λ, 1 + 2λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Scrierea si prelucrarea unei conditii de coliniaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Finalizarea λ = 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(d) Coordonatele punctelor A1(2, 2), C1(−2, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Dreptele au un punct comun (M(0, 3)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Justificarea faptului ca proprietatea este valabila pentru orice a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(e) Formularea si justificarea unei conditii de minim (patrulaterul este dreptunghi /

expresia a2 + 2a+ 2 trebuie sa aiba valoarea minima) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Finalizarea a = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

IV. Informatica.

Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Citirea datelor de intrare si afiarea rezultatului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Calculul cmmdc-ului a doua numere naturale nenule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p

Rezolvarea cazului ın care tabloul contine cel putin un element egal cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Rezolvarea cazului ın care tabloul contine cel putin o pereche de elemente avandcmmdc-ul egal cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Rezolvarea cazului ın care tabloul contine cel putin o secventa formata din minim3 elemente avand cmmdc-ul egal cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Rezolvarea cazului ın care problema nu are solutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Universitatea din Bucuresti, Facultatea de Matematica si InformaticaConcursul de admitere iulie 2009, Domeniul de licenta - Informatica

I. Algebra 1. Fie matricele A =

0 1 10 0 −10 0 0

si B =

1 1 10 1 −10 0 1

din M3(R).

a) Sa se calculeze A2 si A3.b) Sa se arate ca A nu este inversabila si B este inversabila. Sa se calculeze B−1.c) Sa se calculeze Bn, n ∈ N∗.

2. Fie A multimea numerelor complexe de forma a + bi, cu a, b ∈ Z.a) Sa se arate ca A este inel ın raport cu adunarea si ınmultirea numerelor complexe.b) Sa se determine elementele u ∈ A cu | u |= 1.c) Sa se determine elementele u ∈ A pentru care exista v ∈ A cu uv = 1.d) Aratati ca nu exista u ∈ A cu | u |2= 100003.

II. Analiza 1. Se considera functia f : (0,∞)→ R, f(x) =lnx

x.

a) Sa se studieze variatia si sa se traseze graficul functiei precizand intervalele de convexitate.

b) Sa se calculeze∫ 2

1f(x)dx.

2. Fie functia g : R→ R data astfel:

g(x) =

{3x− 2 daca x ≤ 0

4x− 2 + ln(x2 − x + 1) daca x > 0

a) Sa se studieze derivabilitatea functiei g pe R.b) Sa se aplice teorema lui Lagrange functiei g pe intervalul [−1, 1] si sa se gaseasca punctul intermediar din

teorema lui Lagrange.

III. Geometrie 1. Fie ABC un triunghi echilateral, M un punct oarecare ın interiorul triunghiului si A0, B0,C0 proiectiile ortogonale ale lui M pe laturile [BC], [AC] respectiv [AB].

a) Demonstrati ca valoarea sumei MA0 + MB0 + MC0 este independenta de alegerea punctului M .b) Demonstrati egalitatile:

AB20 + BC2

0 + CA20 = AC2

0 + BA20 + CB2

0 ,

AB0 + BC0 + CA0 = AC0 + BA0 + CB0.

2. Intr-un sistem cartezian xOy consideram punctele A(1, 3), B(3, 4) si C(−2, 9).a) Demonstrati ca triunghiul ABC este dreptunghic.b) Calculati coordonatele centrului Q al cercului circumscris triunghiului ABC.c) Calculati coordonatele punctului D pentru care ABCD este paralelogram.d) Pentru fiecare m ∈ R consideram punctul Pm(2m + 3,−3m + 4). Determinati m astfel ıncıt distanta PmQ

sa fie minima.

IV. Informatica Sa se rezolve urmatoarele cerinte ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu(Pascal/C/C++):

a) Dandu-se doua cuvinte reprezentate ca siruri de caractere peste alfabetul {a, . . . , z} (litere mici, fara dia-critice), sa se verifice daca unul dintre cuvinte este anagrama a celuilalt.

Un cuvant este anagrama a altui cuvant daca este format din exact aceleasi litere, aranjate ıntr-o alta ordine.Exemplu: caras si scara.

b) Dandu-se o multime de n cuvinte peste alfabetul {a, . . . , z}, sa se verifice daca printre elementele multimiidate exista anagrame.

c) Exista o solutie la punctul b) de complexitate timp O(n log n)? Daca da, dati o astfel de solutie.Pentru fiecare solutie se va preciza argumentat complexitatea timp a algoritmilor folositi si se vor explica infor-

mal detaliile de implementare sub forma de program: variabile, structuri de date, structuri iterative, instructiuniconditionale.

Timp de lucru: 3 ore.

1


Concursul de admitere septembrie 2009,Domeniul de licenta - Informatica

I. Algebra1. Sa se determine m ∈ R pentru care ecuatia x3 +x2 +mx−3 = 0 are radacina x1 = 1. Sa se arate ca pentru

aceasta valoare a lui m celelalte doua radacini x2 si x3 ale ecuatiei nu sunt reale si ca xn1 + xn

2 + xn3 ∈ R pentru

orice n ∈ N∗.

2. Fie sistemul x + y + mz = 0x− y + (m− 2)z = 2x + 2y + 3z = n,

unde m si n sunt parametri reali.a) Sa se calculeze determinantul matricei sistemului.b) Sa se determine m si n pentru care sistemul este compatibil determinat.c) Sa se rezolve sistemul daca m = 2 si n = −1.

II. Analiza1. Fie functia f : (−1,∞)→ R cu

f(x) =ex

x + 1.

a) Studiati monotonia functiei f si determinati punctul de extrem local.b) Aratati ca ex2 ≥ x2 + 1 pentru orice x ∈ R.c) Calculati lim

x→ −1x > −1

f(x) · ln |x|.

2. Fie n ∈ N∗ si In =

1∫0

(xn + 1)exdx.

a) Sa se calculeze I1 si I2.b) Sa se arate ca In+1 = (n + 3)e− (n + 2)− (n + 1)In, pentru orice numar natural n ≥ 1.

III. Geometrie1. Sa se calculeze aria unui paralelogram ABCD cu AB = 10, AD = 6 si m(BAD) = 300.

2. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat punctele A(3, 3), B(2, 4) si C(2m, 1−m) sa fie coliniare.

3. Fie vectorii→u= (2m− 1)

→i +m

→j si

→v = 2

→i +(m− 3)

→j . Sa se calculeze

→u · →v . Sa se determine m ∈ R

pentru care vectorii→u si

→v sunt perpendiculari.

4. Fie a, b ∈ R astfel ıncat sin a + sin b = 1 si cos a + cos b = 12 . Sa se calculeze cos(a− b).

IV. InformaticaSe citesc urmatoarele date:

• n numar natural n ≥ 1.

• k numar natural k ≥ 1.

• un vector de dimensiune n cu elemente numere ıntregi.

Se elimina elementele vectorului din k ın k ıncepand cu pozitia 1 pana cand vectorul contine un singur element.Cand numaratoarea ajunge la sfarsitul vectorului, se continua cu primul element al sau. Sa se afiseze pozitia ınvectorul dat a unicului element ramas dupa eliminare.

Nota: Cerinta va fi rezolvata ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal/C/C++).Se vor preciza informal complexitatea timp a solutiei date si detaliile de implementare sub forma de program:variabile, structuri de date, structuri iterative, instructiuni conditionale.


1


Concursul de admitere iulie 2010,Domeniul de licenta - Informatica

I. Algebra1. a) Sa se arate ca

√2 + i este radacina a ecuatiei x4 − 2x2 + 9 = 0 si sa se determine si celelalte radacini

complexe ale ecuatiei.b) Sa se arate ca Sn = (

√2 + i)n + (

√2− i)n este numar real pentru orice n ∈ N∗ si ca Sn este numar ıntreg

pentru orice n ∈ N∗ par.

2. Pentru fiecare numar ıntreg k consideram multimea Ak =

(

x yky x

)x, y ∈ Z

. Sa se arate ca:

a) Ak este inel comutativ cu adunarea si ınmultirea matricelor pentru orice k ∈ Z;b) exista X,Y ∈ A1 nenule cu XY = 0 (unde 0 este matricea nula din M2(Z));c) daca X,Y ∈ A2 si XY = 0, atunci X = 0 sau Y = 0.

II. Analiza1. Fie functia f : R→ R cu f(x) = x− 1 + e−x, ∀x ∈ R.

a) Calculati derivata functiei f si¸ limx→−∞

f(x)

f ′(x).

b) Studiati monotonia functiei f si aratati caf(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ R.c) Definim sirul (xn)n∈N cu x0 > 0 si xn+1 = f(xn), ∀n ∈ N. Aratati ca sirul (xn)n∈N este convergent si aflati

limita sa.

2. Fie functiile f, g : R→ R cu f(x) =1

2

(x√1 + x2 + ln

(x+

√1 + x2

))si g(x) =

√1 + x2, ∀x ∈ R.

a) Sa se arate ca functia f este o primitiva a functiei g.

b) Sa se calculeze I1 =

π∫0

sinx√

1 + cos2 x dx si I2 =

π∫0

cosx√

2− cos2 x dx.

III. Geometrie1. Se da patrulaterul convex ABCD si M,N mijloacele diagonalelor AC si respectiv BD. Sa se arate ca

−→AB +

−→AD +

−→CB +

−→CD= 4

−→MN .

2. Pe cercul C de centru O si raza R se considera doua puncte diametral opuse A si B si un punct M diferit deA si de B. Fie N punctul de intersectie al dreptei AM cu tangenta ın B la cercul C. Sa se exprime distantele NA,NB si MN ın functie de R si de masura unghiului MAB.

3. Sa se determine m ∈ R pentru care punctele A(2 + m,m), B(0, 4) si C(5, 3) sunt varfurile unui triunghidreptunghic cu ipotenuza BC.

4. Sa se rezolve ın R ecuatia cos 2x−√3 cosx+ 1 = 0.

IV. InformaticaFie multimea de numere H = {2x · 3y · 5z | x, y, z ∈ N}. Sa se rezolve urmatoarele cerinte ıntr-unul dintre

limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal/C/C++):a) Sa se scrie o procedura care pentru un numar natural a ≤ 32000 decide daca a apartine multimii H. Sa se

determine complexitatea timp a acestei proceduri ın functie de a.b) Dandu-se un numar natural n ≤ 100, sa se afiseze primele n numere ale multimii H, ın ordine crescatoare.

De exemplu, pentru n = 8 trebuie afisate numerele: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9.c) Dati o solutie ın timp O(n), liniar ın functie de n, pentru cerinta de la punctul b). Justificati.

Nota: Pentru fiecare solutie se vor preciza detaliile algoritmului folosit si ale implementarii sub forma deprogram: variabile, structuri de date, structuri iterative, instructiuni conditionale.


1


Concursul de admitere septembrie 2010,Domeniul de licenta - Informatica

I. Algebra(I) Fie m si n numere reale si fie polinomul f = X4 − 3X3 + 3X2 + mX + n.

(a) Sa se determine valorile lui m si n pentru care f se divide cu polinomul X2 + 1.(b) Pentru valorile lui m si n determinate la punctul precedent, sa se determine radacinile lui f .

(II) Fie matricea A =

1 1 11 1 11 1 1

∈M3(R).

(a) Sa se arate ca det(A) = 0 si A2 = 3A.(b) Sa se arate ca matricea I3 − A este inversabila si (I3 − A)−1 = I3 − 1

2A, unde I3 este matriceaidentitate de ordin 3.(c) Sa se calculeze An, unde n ∈ N∗.

II. Analiza1. Fie functiile f : D1 → R si g : D2 → R, date prin

f(x) =√

4x2 − 5 + 1; g(x) = −√

4x2 − 5 + 1,

unde D1 si D2 sunt domeniile maxime de definitie ale celor doua functii.a) Sa se determine D1 si D2 si sa se studieze derivabilitatea functiilor.b) Sa se afle valorile lui x pentru care f ′(x) = g′(x) si cele pentru care f ′(x) + g′(x) = 0.

2. Fie functia f : R→ R data prin: f(x) =x2

1 + x2.

a) Sa se reprezinte grafic functia.b) Sa se calculeze primitivele lui f .c) Sa se afle aria cuprinsa ıntre graficul functiei, axa Ox si dreptele x = 0, x = 1.

III. Geometrie1. Calculati aria si perimetrul trapezului dreptunghic ABCD (ın care AB||CD,AB ⊥ BC) stiind

ca DC = BC = 3, AD = 5.2. Fie punctele P = (1, 1), Q = (−1,−1) si dreapta d de ecuatie (d) : x + y − 1 = 0. Determinati

un punct R pe dreapta d astfel ıncat triunghiul ∆PQR sa fie dreptunghic. Cate astfel de puncte Rexista?

3. Rezolvati ın R ecuatiasin(x) + cos(2x) = 1.

IV. InformaticaFie n ≤ 100 un numar natural nenul si x1, . . . , xn un vector v de numere naturale cel mult egale

cu 32000.a) Sa se scrie un program care sa evalueze expresia

S =1

n

n∑i=1

(xi −1

n

n∑i=1

xi)2

. b) Exista un algoritm care sa evalueze expresia S ın timp O(n) ın raport cu dimensiunea n avectorului v? Daca da, sa se implementeze acest algoritm sub forma de program.

Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele studiate ın liceu (Pascal,C,C++). Pentru fiecaresolutie se vor preciza detaliile algoritmului folosit si ale implementarii sub forma de program: variabile,structuri de date, structuri iterative, instructiuni conditionale.


1

Universitatea din Bucuresti, Facultatea de Matematica si InformaticaConcursul de admitere, iulie 2011. Domeniul de licenta - Informatica

I. Algebra 1. (a) Fie n ≥ 1 un numar natural. Sa se demonstreze ca suma cuburilor primelor n

numere naturale nenule este n2(n+1)2

4 .(b) Sa se determine numerele naturale x1 < x2 < . . . < x10 pentru care x31 + x32 + . . .+ x310 = 2025.

2. Fie matricea X =

(a b1 −1

), cu a, b ∈ R.

(i) Sa se calculeze X2.(ii) Sa se arate ca X este inversabila ın M2(R) daca si numai daca a+ b 6= 0.(iii) Sa se determine a si b pentru care X3 = O2.

II. Analiza matematica 1. Fie functia f : (−∞,−1)⋃

(0,∞)→ R, f(x) = ln

(1 +

1

x

).

a) Sa se calculeze f ′(x) si sa se studieze monotonia functiei f .b) Sa se determine ecuatiile asimptotelor la graficul functiei f .

c) Fie sirul (an)n∈N cu an =f(1) + f(2) + · · ·+ f(n)

n, ∀n ∈ N. Sa se calculeze lim

n→∞an.

2. Fie In =

π∫0

xn sin2 x dx si Jn =

π∫0

xn cos2 x dx, ∀n ∈ N.

a) Sa se calculeze I0 si J0.

b) Sa se arate ca In + Jn =πn+1

n+ 1, ∀n ∈ N.

III. Geometrie 1. Se considera punctele A(2, 3), B(4, n), C(2, 2) si D(m, 5). Sa se determinem,n ∈ R astfel ıncat patrulaterul ABCD sa fie paralelogram.

2. Fie a, b ∈ R astfel ın cat sin a+ sin b = 1 si cos a+ cos b = 12 . Sa se calculeze cos(a− b).

3. Se considera vectorii→u=

→i −

→j si

→v= 2

→i +4

→j . Sa se calculeze modulul vectorului

→u +

→v .

IV. InformaticaSe da un vector v de n elemente egale cu 1. Prin partitie a vectorului v ıntelegem o ımpartire a vec-

torului ın subvectori, astfel ıncat fiecare element al vectorului v apare exact o data ıntr-unul dintre sub-vectori. Pentru fiecare partitie a vectorului v ın k subvectori v11, . . . , v1n1 , v21 . . . , v2n2 , . . . , vk1, . . . , vknk

,

se calculeaza produsul sumelor elementelor din fiecare subvector al partitiei, adica∏ki=1 ni.

a) Sa se scrie un program care determina cel mai mare produs calculat ın acest fel pentru toatepartitiile posibile ale vectorului v.

b) Exista o solutie la punctul a) care sa nu calculeze toate produsele posibile? Justificati.

Nota. Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pas-cal,C,C++). Pentru fiecare solutie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit si ale im-plementarii sub forma de program: semnificatia variabilelor, a structurilor de date, a structurilorrepetitive, a instructiunilor conditionale.

Timp de lucru - 3 ore.

1


Concursul de admitere iulie 2012,Domeniul de licenta - Informatica

I. Algebra(I) Fie multimea G = {(a, b) | a, b ∈ R, a 6= 0}.

(i) Sa se arate ca ımpreuna cu operatia ∗ definita prin (a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad+ b), G este grup care nueste abelian.(ii) Sa se determine toate elementele (a, b) din G pentru care exista n ≥ 2 astfel ıncat(a, b) ∗ (a, b) ∗ . . . ∗ (a, b) = (1, 0), unde ın membrul stang apar n de (a, b).

(II) Fie z ∈ R astfel ıncat z +1

z= 3.

(i) Sa se calculeze zn +1

znpentru n ∈ {2, 3, 4, 5}.

(ii) Sa se arate ca zn +1

zn∈ Q pentru orice numar natural n ≥ 1.

II. Analiza

Fie functia f : (0,∞)→ R, f(x) =lnx√x

.

1. Determinati ecuatiile asimptotelor graficului functiei f .

2. Studiati monotonia si determinati valoarea maxima a functiei f .

3. Sa se arate ca

e∫1

f(x) dx = 4− 2√

e.

4. Sa se arate ca sirul (xn)n∈N definit prin x0 > 0 si xn+1 = f (exn), ∀n ∈ N, este convergent la 0.

III. Geometrie

1. Fie ABCD un paralelogram si fie P,Q puncte astfel ca−→PC= 1

3

−→AC, respectiv

−→BQ= 2

−→QD. Sa

se determine α, β ∈ R cu proprietatea ca−→AP +

−→BQ= α

−→AB +β

−→AD si sa se arate ca dreptele

PQ si BA sunt paralele.

2. Fie A(1, 3), B(−1,−1), C(5, 1). Sa se determine ecuatia dreptei suport a bisectoarei din A atriunghiului ABC.

3. Stiind ca tgα2 =√

2, sa se calculeze sin 2α.

IV. InformaticaSe considera sirul de numere naturale x = 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . . (fiecare numar natural nenul

apare, ın ordine, de un numar de ori egal cu el ınsusi). a) Se da un numar natural nenul n. Sa sescrie un program care afiseaza primii n termeni al sirului x. b) Se da un numar natural nenul n. Sase scrie un program care afiseaza ın timp constant (care nu depinde de n) al n-lea termen al siruluix. c) Se da un numar natural nenul n si n numere naturale nenule y1, . . . , yn. Sa se scrie un programcare verifica (afisand ”DA”, respectiv ”NU”) daca exista o permutare a termenilor y1, . . . , yn care safie identica cu primii n termeni ai sirului x. d) Dati o solutie ın timp liniar (ın functie de n) cerinteide la punctul c).

Nota: Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pas-cal,C,C++). Pentru fiecare solutie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit si ale im-plementarii sub forma de program: semnificatia variabilelor, a structurilor de date, a structurilorrepetitive, a instructiunilor conditionale.


1




Domeniul de licenta - Informatica

I. Algebra.

(a) Fie n ≥ 2 un numar natural. Consideram n numere reale cu proprietatea ca oricum am alege unul

dintre ele, suma celorlalte n− 1 numere ramase este 0. Sa se arate ca toate cele n numere sunt egale

cu 0.

(b) Cate elemente are multimea M =

(

a b

−b a

)a, b ∈ Z3

?

(c) Sa se arate ca multimea M de la punctul precedent este parte stabila ın raport cu adunarea si

ınmultirea matricelor din M2(Z3) si ca M este corp comutativ ımpreuna cu aceste operatii.

II. Analiza. Fie functiile f :[−π

2 ,π2

]\ {0} → R, f(x) =

x

sin2 xsi g :

[−π

2 ,π2

]\ {0} → R, g(x) = xf(x).

(a) Determinati limitele laterale ale functiei f ın punctul 0.

(b) Aratati ca ecuatia sinx− x cosx = 0 are o singura solutie ın intervalul[−π

2 ,π2

].

(c) Aflati multimea valorilor functiei g.

(d) Calculati I =

∫ π/2

π/6f(x)dx.

III. Geometrie.

(a) Fie A(1, 2) si B(3,−1) doua puncte ın plan. Determinati ecuatiile dreptelor care trec prin punctul A

si sunt situate la distanta 2 fata de punctul B.

(b) Determinati numerele naturale a pentru care a, a + 1 si a + 2 sunt lungimile laturilor unui triunghi

obtuzunghic.

(c) Fie ABCDEF un hexagon regulat de latura 2. Sa se calculeze norma vectorului−→AC +

−−→BD.

IV. Informatica. Fie n un numar natural nenul si m = 2n. Se da vectorul 0, 1, 2, 3, . . . ,m,m + 1 si p, cu

1 ≤ p ≤ m. In acest vector, marcam numerele 0, p si m + 1 ca fiind sterse. Exemplu: Pentru n = 3 si p = 5,

avem vectorul X, 1, 2, 3, 4, X, 6, 7, 8, X unde elementele 0, 5 si 9 sunt marcate cu X ca fiind sterse.

(a) Scrieti un program care sa stearga toate elementele vectorului, ın n pasi, ın asa fel ıncat la pasul k

sa se stearga 2k−1 elemente, dintre cele nesterse pana la pasul respectiv. Programul va afisa m − 1

perechi de forma (k, q) unde q este unul dintre elementele vectorului, diferit de p, iar k este pasul la

care a fost sters q. Programul scris trebuie sa aiba complexitatea timp liniara ın functie de m, adica

numarul de instructiuni ale programului sa fie aproximativ egal cu dimensiunea vectorului.

(b) Scrieti un program similar cu cel de la punctul (a), dar cu urmatoarea conditie suplimentara: dupa

pasul k, ıntre oricare doua elemente deja sterse consecutive sa nu fie o distanta mai mare de 2n−k,

unde prin distanta dintre i si j se ıntelege |j− i|. Calculati complexitatea timp ın functie de n a pro-

gramului pe care l-ati scris. Exemplu: Consideram vectorul X, 1, 2, 3, 4, X, 6, 7, 8, X. Printr-o posibila

strategie de stergere, continutul vectorului dupa fiecare pas k este: X, 1, X, 3, 4, X, 6, 7, 8, X (dupa pa-

sul 1), X, 1, X, 3, X,X, 6, X, 8, X (dupa pasul 2), respectiv X,X,X,X,X,X,X,X,X,X (dupa pasul

3). Rezultatul afisat de program ın acest caz este secventa (1,2),(2,4),(2,7),(3,1),(3,3),(3,6),(3,8).








Domeniul de licenta – Informatica


(1 2

−1 1

)∈M2(R).

(a) Sa se determine matricele X ∈M2(R) pentru care AX = XA.

(b) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N∗ exista doua numere ıntregi xn si yn astfel ıncat An =

(xn −2ynyn xn

).

(c) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N∗ numerele xn si yn de la (b) sunt nenule.

II. Analiza. Fie f : R \ {0} → R, f(x) = 1x2 e

1x .

(a) Determinati ecuatiile asimptotelor la graficul functiei f .

(b) Aratati ca f(x) ≤ 4e2

, ∀x ∈ (−∞, 0).

(c) Consideram sirul (xn)n∈N dat de x0 ∈(0, 12)

si xn+1 = f(

1xn

), ∀n ∈ N. Demonstrati ca sirul

(xn)n∈N este convergent si ca limn→∞

xn = 0.

(d) Calculati

∫ 2

1f(x) dx.

III. Geometrie.

(a) Fie A(1, 1) si B(3, 2) doua puncte ın plan. Sa se determine punctul M(x, 0) astfel ıncat valoarea

sumei AM + MB sa fie minima. Sa se gaseasca minimul acestei sume.

(b) Sa se rezolve ecuatia cos4 x− sin4 x =

√3

2.

(c) Fie ABC un triunghi cu laturile AB = c, BC = a si AC = b. Sa se exprime suma de produse scalare−−→AB ·

−→AC +

−−→BC ·

−−→BA +

−→CA ·

−−→CB ın functie de a, b si c.

IV. Informatica. Se da operatia − : {1, 2} → {1, 2} astfel ıncat 1 = 2 si 2 = 1. Operatia se extinde

asupra oricarei secvente formate cu cifre de 1 si 2, de exemplu 1211212121 = 2122121212. Se considera sirul

infinit s format cu cifre de 1 si 2, generat incremental prin extindere dupa urmatoarea regula de concatenare:

s1 = 1221, s2 = 1221211221121221, . . . , sk+1 = sksksksk, . . ., pentru orice numar natural nenul k.

Fie n un numar natural nenul, n < 1000000.

(a) Sa se scrie un program care citeste n si afiseaza primele n cifre ale sirului s.

Exemplu: Pentru n = 18 programul va afisa 122121122112122121.

(b) Sa se scrie un program care citeste n si afiseaza a n-a cifra a sirului s, astfel ıncat numarul de pasi ai

programului sa fie proportional cu log2 n (complexitate timp logaritmica ın functie de n).

Exemplu: Pentru n = 11 programul va afisa 1, iar pentru n = 20 programul va afisa 2.









I. Algebra. Fie numarul complex z = 1 + 2i.

(a) Sa se calculeze |1 + z| si |z3|.(b) Sa se arate ca pentru orice n ∈ N∗ numarul zn este de forma an + ibn cu an, bn ∈ Z.

(c) Sa se arate ca bn+2 − 2bn+1 + 5bn = 0 pentru orice n ∈ N∗.(d) Aratati ca zn /∈ R pentru orice n ∈ N∗.

II. Analiza. Fie f : R→ R, f(x) = 3√

3x2 − 2x3 si In =

∫ 1

0xnf(x) dx, ∀n ∈ N.

(a) Studiati derivabilitatea functiei f si determinati punctele sale de extrem local.

(b) Fie m ∈ (0, 1). Determinati numarul de solutii reale distincte ale ecuatiei f(x) = m.

(c) Fie x0 ∈ (0, 1) si xn+1 = f(xn), ∀n ∈ N. Aratati ca (xn)n∈N este convergent si determinati limn→∞

xn.

(d) Aratati ca I1 − I2 = 18 .

(e) Aratati ca sirul (In)n∈N este descrescator si demonstrati ca limn→∞

In = 0.

III. Geometrie. Pe laturile AB si AC ale triunghiului ABC cu AB = 1, AC = 2, m(BAC) = 30◦, se

construiesc, spre exterior, triunghiurile echilaterale ABM si ACN .

(a) Calculati lungimile segmentelor BC si MN .

(b) Fie D,E, F mijloacele segmentelor AM , AN si BC. Aratati ca triunghiul DEF este echilateral.

(c) Calculati−→AB ·

−→AM si

−→AB ·

−→AN , apoi determinati numerele x si y pentru care are loc relatia:

−→MN= x

−→AB + y

−→AC.

IV. Informatica. Se citesc numerele naturale nenule a, b, c, n, urmate de o secventa de n numere naturale

distincte, notata cu s.

(a) Sa se scrie un program care afiseaza toate perechile (x, y) cu proprietatea ca x si y sunt numere

diferite din secventa s, care verifica ecuatia ax2 + by2 = c.

Exemplu: Daca programul citeste la intrare 1 1 25 5 3 18 5 0 4, atunci afiseaza perechile (3,4) (4,3)

(0,5) (5,0), nu neaparat ın aceasta ordine.

(b) Daca secventa s citita la intrare este formata din numere ın ordine crescatoare, sa se scrie un program

cat mai eficient care afiseaza numarul de perechi (x, y) cu proprietatea de la punctul (a). Sa se

calculeze complexitatea timp a solutiei prezentate.

Exemplu: Daca programul citeste la intrare 1 1 25 5 0 3 4 5 18, atunci afiseaza 4.









I. Algebra. Fie multimea A = {a+ ib√3 | a, b ∈ Z}.

(a) Sa se arate ca (5 + 2i√3)2 = 13 + 20i

√3.

(b) Sa se calculeze |5 + 2i√3|.

(c) Sa se arate ca A este parte stabila ın raport cu adunarea si ınmultirea numerelor complexe si

A este inel ımpreuna cu aceste operatii.

(d) Daca u, v ∈ A si uv = 5+2i√3, atunci sa se arate ca unul dintre numerele u si v este 1 sau −1.

(e) Sa se determine u ∈ A pentru care u2 = 13 + 8i√3.

II. Analiza. Fie functia f : [−1, 1] → R, f(x) = arcsin(1− 2x2).

(a) Sa se determine punctele din domeniul de definitie al functiei f ın care aceasta nu este deri-

vabila.

(b) Studiati convexitatea functiei f .

(c) Calculati I =

√

2

2∫

1

2

f(x) dx.

(d) Demonstrati ca functia g :[

1

2,√

2

2

]

→[

0, π6

]

, g(x) = f(x) este bijectiva si determinati

J =

π

6∫

0

g−1(x) dx.

III. Geometrie. Pe laturile (AB) si (AC) ale triunghiului ABC se considera punctele D respectiv

E astfel ıncat AD

DB= k si AE

EC= p.

(a) Daca p = k, sa se gaseasca valoarea lui k pentru care DE

BC= 2

3.

(b) Daca p = k iar (CD si (BE sunt bisectoarele unghiurilor ∠BCA si ∠CBA, sa se arate ca

triunghiul ABC este isoscel.

(c) Sa se arate ca mijloacele segmentelor (AB), (AC) si (DE) sunt coliniare daca si numai daca

p = 1

k.


Universitatea din București 21.07.2016 Facultatea de Matematică și Informatică IV. Informatică.

Ionuț tocmai a terminat liceul și susține examenul de admitere la facultate. Știind că s-a pregătit

foarte bine pentru examen, el dorește să își anunțe reușita după examen printr-o postare pe Facebook.

Iounț cunoaște n utilizatori reprezentați de numerele de la 1 la n, între care există m relații de prietenie

de forma i j, unde i și j sunt utilizatori, iar n și m sunt numere naturale nenule. Un utilizator nu poate fi

prieten cu el însuși, iar o relație de prietenie între doi utilizatori ne spune că fiecare dintre ei este prieten

cu celălalt.

Întrucât dorește ca postarea lui să fie cât mai răspândită, Ionuț vrea să afle care sunt utilizatorii

cei mai bine conectați din mulțimea sa de cunoscuți, pentru ca eventual să le ceară prietenia. Pentru

aceasta, Ionuț trebuie să găsească cea mai mare submulțime de utilizatori cunoscuți, în care fiecare

utilizator din această submulțime are cel puțin k prieteni aflați la rândul lor în submulțime, unde k este

un număr natural nenul.

Fiind date la intrare numerele n, m și k, pe aceeași linie, separate prin spațiu, precum și 2m

numere naturale cuprinse între 1 și n, pe o linie nouă, separate prin spațiu, reprezentând în ordine cele

m relații de prietenie între cei n utilizatori, ajutați-l pe Ionuț să găsească o soluție la problema sa,

rezolvând următoarele subpuncte:

a) Să se determine și să se afișeze, în ordine de la 1 la n, numărul de prieteni al fiecăruia dintre cei

n utilizatori, conform relațiilor de prietenie date.

b) Să se determine și să se afișeze, printr-o soluție de complexitate timp cât mai bună, în funcție de

datele de intrare, membrii celei mai mari submulțimi de utilizatori, cu proprietatea că fiecare

utilizator din această submulțime are cel puțin k prieteni aflați la rândul lor în submulțime. În

cazul în care nu există o astfel de submulțime pentru k dat, răspunsul va fi cuvântul NU.

Exemple:

Date de intrare Date de ieșire 5 5 2 1 2 5 1 3 2 4 5 1 4

a) 3 2 1 2 2 b) 1 4 5

5 5 3 1 2 5 1 3 2 4 5 1 4

a) 3 2 1 2 2 b) NU

11 18 3 1 8 4 7 7 10 11 10 2 1 2 3 8 9 8 3 9 3 9 2 5 6 5 11 1 4 10 6 7 6 2 8 11 7 11 6

a) 3 4 3 2 2 4 4 4 3 3 4 b) 2 3 6 7 8 9 10 11

Note:

1. Programele vor fi scrise într-unul dintre limbajele de programare studiate în liceu

(Pascal,C,C++). Pentru fiecare soluție se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit și ale

implementării sub formă de program: semnificația variabilelor, a structurilor de date, a

structurilor repetitive, a instrucțiunilor condiționale.

2. Programele vor folosi doar instrucțiunile de bază ale limbajului de programare ales, inclusiv

cele de intrare/ieșire, dar nu și alte funcții din biblioteci specializate.

3. Se va considera că datele de intrare ale programelor sunt oricât de mari, dar fără a pune

probleme de reprezentare în memorie cu ajutorul tipurilor de date standard.






(

3 −1

−5 2

)

∈ M2(R).

(a) Sa se calculeze A2 si A3.

(b) Sa se determine toate matricele X ∈ M2(R) pentru care AX = 2X.

(c) Sa se determine valorile reale ale lui m pentru care exista o matrice nenula B ∈ M2(R) cu

AB = mB.

(d) Fie n, p ∈ N∗, n 6= p. Sa se arate ca nu exista λ ∈ R astfel ıncat An = λAp.

II. Analiza. Fie functia f : R∗ → R, f(x) = arctg1

x− arcctg

1

x.

(a) Studiati monotonia si convexitatea functiei f .

(b) Decideti si justificati daca functia g : R∗ →(

−3π

2, π2

)

, g(x) = f(x) este sau nu este bijectiva.

(c) Aratati ca pentru orice n ∈ N∗, ecuatia f(x) = 1

nare o solutie reala unica, notata cu xn.

Demonstrati ca sirul (xn)n∈N∗ este convergent si determinati limn→∞

xn.

(d) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele de

ecuatii x =1√3si x =

√3.

III. Geometrie. In sistemul de coordonate xOy se considera punctul M(3, 3) si triunghiul ABC

determinat de dreptele AB : x+ 2y − 4 = 0, BC : 3x+ y − 2 = 0 si CA : x− 3y − 4 = 0.

(a) Sa se calculeze aria triunghiului ABC.

(b) Fie P,Q si R proiectiile punctului M pe dreptele OA, OB si respectiv AB. Sa se demonstreze

ca punctele P,Q si R sunt coliniare.

(c) Notam cu m numarul punctelor din interiorul patrulaterului BCAM care au ambele coordo-

nate numere ıntregi si cu n numarul punctelor de pe reuniunea laturilor patrulaterului BCAM

care au ambele coordonate numere ıntregi. Sa se verifice ca aria patrulaterului BCAM este

m+ 1

2n− 1.


Universitatea din București 14.07.2017

Facultatea de Matematică și Informatică

Se tratează 2 subiecte, din care cel de Informatică obligatoriu. Timp total de lucru: 3 ore.

IV. Informatică.

Fie n un număr natural nenul. Fie v un vector cu n poziții numerotate de la 1 la n și elemente numere naturale diferite, de la 1 la n, într-o ordine oarecare. Pentru i și j numere naturale între 1

și n, numim FLIP(n, v, i, j) operația care inversează ordinea elementelor din v situate pe pozițiile

de la i la j.

a) Să se scrie în limbaj de programare o procedură (sau funcție) care implementează operația FLIP(n, v, i, j).

b) Să se scrie un program care sortează crescător vectorul v, folosind pentru schimbarea

ordinii elementelor în v doar operația FLIP(n, v, 1, k), cu k de la 2 la n. c) Considerăm că n este o putere a lui 2 (n = 2

m, cu m număr natural nenul) și vectorul v are

proprietatea că pentru orice i de la 1 la m și orice j de la 1 la 2m-i, există k de la 1 la 2m-i, astfel încât pe pozițiile din v de la 2

i(j-1)+1 la 2

ij se află numerele naturale de la 2

i(k-1)+1

la 2ik, într-o ordine oarecare. Să se scrie un program care sortează crescător vectorul v, folosind pentru schimbarea ordinii elementelor în v doar operația FLIP(n, v, 2

i(j-1)+1, 2

ij),

cu i de la 1 la m și j de la 1 la 2m-i

, printr-un algoritm mai eficient decât cel implementat la

punctul b), care se bazează pe proprietatea vectorului v.

Exemple:

Date de intrare Date de ieșire a) FLIP(9, [3 2 6 8 5 9 1 7 4], 1, 6) v = [9 5 8 6 2 3 1 7 4]

FLIP(4, [2 1 4 3], 1, 4) v = [3 4 1 2]

FLIP(16, [14 13 15 16 11 12 9 10 2 1 4 3 8 7 6 5], 5, 8) v = [14 13 15 16 10 9 12 11 2 1 4 3 8 7 6 5]

b) n = 9

v = [3 2 6 8 5 9 1 7 4]

v = [1 2 3 4 5 6 7 8 9]

c) n = 4

v = [2 1 4 3]

v = [1 2 3 4]

n = 16

v = [14 13 15 16 11 12 9 10 2 1 4 3 8 7 6 5]

v = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]

Note:

1. Programele vor fi scrise într-unul dintre limbajele de programare studiate în liceu

(Pascal,C,C++). La fiecare subpunct a), b), c), se va preciza complexitatea timp, în funcție de n, a soluției implementate și se vor descrie informal detaliile algoritmului

folosit și ale implementării sub formă de program: semnificația variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instrucțiunilor condiționale.

2. Toate operațiile de tip FLIP se vor face în vectorul v, fără a se folosi alți vectori auxiliari. 3. La subpunctul a), datele se transmit ca parametri ai procedurii/funcției FLIP(n, v, i, j). La

subpunctele b) și c), se citesc de la tastatură n și v, fiecare pe un rând separat și se afișează vectorul v sortat crescător, pe un singur rând. Se va considera că datele de intrare

ale programelor sunt oricât de mari, dar fără a pune probleme de reprezentare în memorie cu ajutorul tipurilor de date standard.

4. Programele vor folosi doar instrucțiunile de bază ale limbajului de programare ales,

inclusiv cele de intrare/ieșire, dar nu și alte funcții din biblioteci specializate.





I. Algebra. Fie polinomul P (X) = X3 +mX2− 3X + 1 cu m ∈ R, care are radacinile x1, x2, x3 ∈ C.

(a) Pentru m = −3 calculati radacinile polinomului P .

(b) Calculati ın functie de parametrul m expresia x31 + x3

2 + x33.

(c) Determinati m ∈ R astfel ıncat radacinile polinomului P sa fie ın progresie geometrica.

(d) Pentru m = 0 aratati ca 2 cos(2π9

) este o radacina a lui P .

(e) Demonstrati ca cos(2π9

) + cos(4π9

) + cos(8π9

) = 0.

II. Analiza. Fie functia f : R \ {−5} → R data prin f(x) = (x− 1)e−1x+5 pentru orice x ∈ R \ {−5}.

(a) Determinati asimptotele la graficul functiei f .

(b) Aflati punctele de extrem local ale lui f .

(c) Pentru m ∈ R precizati numarul de solutii reale ale ecuatiei f(x) = m.

(d) Calculati limn→∞

n21∫0

xnf(x)dx.

III. Geometrie. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(−2, 1), B(4,−1) si C(−2,−3).

(a) Gasiti ecuatia mediatoarei segmentului AB si coordonatele centrului cercului circumscris tri-

unghiului ABC.

(b) Aratati ca sin(2A)·−→O′A + sin(2B)·

−→O′B + sin(2C)·

−→O′C= ~0, unde O′ este centrul cercului

circumscris triunghiului ABC iar A, B si C sunt unghiurile triunghiului ABC.

(c) Fie D mijlocul segmentului AB si M un punct variabil pe ınaltimea din B a triunghiului ABC.

Gasiti coordonatele lui M pentru care suma AM + MD este minima.

IV. Informatica.

(a) Se citeste un numar natural L (20 ≤ L ≤ 1000) si un sir de cel mult 10000 de caractere ce

contine cuvinte despartite ıntre ele prin cate un spatiu. Fiecare cuvant din sirul de caractere

citit este format din cel mult L litere mari ale alfabetului englez. Sa se scrie un program care

afiseaza aceste cuvinte, ın ordinea ın care se citesc, pe linii de cel mult L caractere, astfel ıncat

orice linie ıncepe si se termina cu un cuvant si oricare doua cuvinte de pe aceeasi linie sunt

separate printr-un singur spatiu. Oricare linie este folosita la maxim, adica daca un cuvant

are loc pe acea linie va fi pus acolo si nu va fi trecut pe linia urmatoare sau spart pe 2 linii.

Exemplu: se citeste L = 22 si sirul de caractere PROBLEMA DE LA EXAMEN NU MI SE PARE

FOARTE GREU DE REZOLVAT IN TIMPUL ACORDAT. Programul va afisa:

PROBLEMA DE LA EXAMEN

NU MI SE PARE FOARTE

GREU DE REZOLVAT IN

TIMPUL ACORDAT

(b) Intr-un text formatat pe linii ca la punctul (a), doua spatii sunt conectate daca se ınvecineaza

pe verticala sau pe diagonala. Pentru textul formatat mai sus avem mai multe exemple de

spatii conectate: spatiul de pe pozitia 9, linia 1, ce separa literele A si D este conectat cu cel

de pe pozitia 9, linia 2; spatiul de pe pozitia 15, linia 1, este conectat cu cel de pe pozitia 14,

linia 2. Spatiul de pe pozitia 3, linia 2, nu este conectat cu niciun alt spatiu. Sa se scrie un

program care citeste numerele naturale L,N si apoi un text formatat pe N linii de cel mult L

caractere ca la punctul (a) si afiseaza mesajul DA daca ın tot textul exista cel putin o pereche

de spatii conectate, altfel afiseaza mesajul NU.

(c) In arta tipografica un rau este o ınsiruire de spatii care se ıntinde pe verticala, pe liniile

consecutive ale unui text. Mai precis, un rau este definit ca o secventa de cel putin 2 spatii

ın care oricare 2 spatii de pe linii consecutive sunt conectate. Spre exemplu, pentru textul

de la punctul (a), avem un rau de lungime 4 format din: spatiul de pe pozitia 9, linia 1;

spatiul de pe pozitia 9, linia 2; spatiul de pe pozitia 8, linia 3 si spatiul de pe pozitia 7, linia

4. De remarcat, faptul ca de pe pozitia 17, linia 3, nu porneste nici un rau ıntrucat linia 4 se

termina pe pozitia 14. Sa se scrie un program, cu o complexitate de timp cat mai buna, care

citeste numerele naturale L,N si apoi un text formatat pe N linii de cel mult L caractere ca

la punctul (a) si afiseaza lungimea celui mai lung rau posibil, daca acesta exista sau mesajul

NU, daca nu exista niciun rau.

Note:

1. Programele vor fi scrise ıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ın liceu (Pascal, C,

C++). Pentru fiecare solutie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit si ale imple-

mentarii sub forma de program: semnificatia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor

repetitive si a instructiunilor conditionale.

2. Programele vor folosi instructiunile de baza ale limbajului de programare ales, functii din bib-

lioteci de baza (inclusiv cele de intrare/iesire), dar nu si alte functii din biblioteci specializate.

3. Citirea datelor se poate face de la tastatura sau dintr-un fisier text. Afisarea se va face numai

la monitor. Cele 3 subpuncte se pot rezolva independent, dar functiile descrise la un subpunct

pot fi folosite si la subpunctele urmatoare.

Timp de lucru: 3 ore





I. Algebra. Asezam succesiv toate numerele naturale impare ıntr-un triunghi, astfel:

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19...............................

(Asezarea numerelor continua ın mod analog. In aceasta asezare, linia a treia a triunghiului este deci

cea care contine numerele 7, 9 si 11.)

(a) Cu ce numar ıncepe a 15-a linie a triunghiului?

(b) Pe ce linie a triunghiului se afla numarul 501?

(c) Aratati ca, pentru orice n ≥ 1, suma tuturor numerelor de pe linia n a triunghiului este cub

perfect.

(d) Demonstrati ca, oricum am alege doua numere diferite de pe o aceeasi linie a triunghiului de

mai sus, ele nu se divid unul pe celalalt.

(e) Polinomul P are grad m (unde m ≥ 1), iar coeficientii sai sunt (ıntr-o ordine oarecare) toate

numerele din linia m + 1 a triunghiului de mai sus. Demonstrati ca, daca t este o radacina

ıntreaga a polinomului P , atunci t = −1.

II. Analiza. Fie functia f : (0,∞) → R, f(x) =| ln x|

x.

(a) Comparati numerele f(e) si f(e2).

(b) Determinati punctele din intervalul (0,∞) ın care functia f nu este derivabila si stabiliti

intervalele de convexitate si intervalele de concavitate ale functiei f .

(c) Discutati, ın functie de valoarea parametrului m ∈ R, numarul de solutii reale ale ecuatiei

f(x) = m.

(d) Calculati

∫e

1

(f(x))2dx.

(e) Fie P ∈ R[X] un polinom de grad n, cu n ≥ 2. Stim ca multimea solutiilor reale ale ecuatiei

P (f(x)) = 0 are exact 3n− 1 elemente. Demonstrati ca P (−1) · P ′(1

e) 6= 0.

III. Geometrie. In planul de coordonate xOy se considera punctele A(1, 5), B(−1,−1), C(7, 3) si

dreapta d de ecuatie d : x−2y−6 = 0. Fie punctele B′ si C ′ date de {B′} = BA∩d si {C ′} = CA∩d.

(a) Demonstrati ca dreptele BC si d sunt paralele.

(b) Aratati ca triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

(c) Determinati numerele reale α si β pentru care are loc relatia−→

B′C ′= α−→

AB +β−→

AC.

(d) Aratati ca triunghiurile B′BC si C ′CB au arii egale.

(e) Fie δ o dreapta arbitrara din plan care nu coincide cu niciuna dintre drepteleAB,AC,BC,B′C ′,

B′C,BC ′. Consideram multimea Mδ a punctelor de intersectie dintre δ si cele sase drepte

enumerate. Justificati care este numarul maxim posibil si care este numarul minim posibil de

elemente ale lui Mδ.


IV. Informatică Suntem în anul 2050. Resursele de apă de pe planeta noastră sunt limitate din cauza schimbărilor climatice. Ca aspirant la statutul de membru FMI (Formațiunea pentru Mediu Înconjurător) prima voastră sarcină este de a rezolva două probleme de distribuire a resurselor de apă către principalele orașe ale planetei. a. Prima problemă pe care trebuie să o rezolvați este determinarea capacității maxime de stocare a apei a unui oraș. Sistemul de stocare al unui oraș a evoluat în timp, ajungându-se la o configurație flexibilă formată din n pereţi verticali paraleli p1, p2, ..., pn. Fiecare perete pi are forma unui dreptunghi cu înălțimea ai şi lăţimea de 1 km, iar oricare doi pereţi alăturaţi pi, pi+1 se află la distanţa de 1 km, faţă în faţă. Fiecare dintre acești pereți poate fi coborât complet, prin culisare pe verticală, iar un bazin poate fi format din oricare doi pereți pi, pj (rămaşi după coborârea tuturor celorlalți) şi din pereţi laterali, care întregesc conturul de bazin. Capacitatea unui bazin este dată de produsul dintre înălţimea peretelui celui mai mic dintre cei doi pi, pj din care este format bazinul şi distanța dintre aceşti doi pereți. Sistemul de stocare poate fi descris de un șir de numere naturale a1, a2, ..., an strict pozitive, unde a1 reprezintă înălțimea în kilometri a peretelui p1, a2 reprezintă înălțimea în kilometri a peretelui p2 și așa mai departe. Scrieți un program care primește la intrare numărul de pereți n 2 și înălțimile acestora a1, a2, ..., an, iar apoi determină și afișează capacitatea maximă de apă care poate fi stocată în acel oraș. Exemplu:

Date de intrare Date de ieșire Observații n = 9 a = [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]

49 Peretele al doilea de înălțime 8 km și cel de-al nouălea de înălțime 7 km rămân ridicați (toți ceilalți fiind coborâți), ei determinând astfel bazinul de capacitate maximă care poate reține 49 km3 de apă.

b. Pentru ca toți locuitorii unui oraș să supraviețuiască în cazul unei catastrofe, orașul trebuie să aibă o rezervă de cel puțin 1 km3 de apă. Pentru a face față mai ușor unor catastrofe, orașele pot forma alianțe în care se pot împrumuta reciproc cu apă. Astfel, într-o alianță formată din h orașe, fiecare oraș trebuie să aibă o rezervă de cel puțin h km3 de apă (pentru a putea supraviețui toți locuitorii săi și a putea să împrumute cu câte 1 km3 de apă fiecare dintre celelalte h - 1 orașe aliate). Cea de-a doua problemă a voastră este de a determina cel mai mare număr de orașe h care se pot alia. Fiind dat numărul m de orașe și un șir de m numere naturale strict pozitive, notate cu c1, c2, ..., cm, unde fiecare număr ci reprezintă capacitatea maximă de stocare a orașului i, să se determine numărul maxim de orașe h care pot forma o alianță, adică există cel puțin h orașe care pot reține fiecare o cantitate de apă cel puțin egală cu h km3. Scrieți un program, cu o complexitate de timp cât mai bună, care primește la intrare numărul natural m 1 și șirul de numere c1, c2, ..., cm, după care determină și afișează numărul h. Specificați și justificați complexitatea algoritmului propus. Exemplu:

Date de intrare Date de ieșire Observații m = 5 c = [3, 1, 6, 1, 5]

3 Avem 5 orașe care pot reține cantitățile de apă 3, 1, 6, 1 și 5. Sunt cel puțin 3 orașe care pot reține o cantitate de apă mai mare sau egală cu 3, dar nu există 4 orașe care pot reține o cantitate de apă mai mare sau egală cu 4.

Note: 1. Programele vor fi scrise într-unul dintre limbajele de programare studiate în liceu (Pascal, C sau C++). Pentru

fiecare soluție se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit și ale implementării sale sub formă de program: semnificația variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive și a instrucțiunilor condiționale.

2. Programele vor folosi doar instrucțiunile de bază ale limbajului de programare ales și funcții din biblioteci pentru citirea și scrierea datelor.

3. Citirea datelor se poate face de la tastatură sau dintr-un fișier text. Afișarea se va face doar pe monitor. 4. Se va considera că datele de intrare ale programelor sunt oricât de mari, dar fără a pune probleme de

reprezentare în memorie cu ajutorul tipurilor de date standard. Timp total de lucru: 3 ore

Universitatea din Bucuresti, Facultatea de Matematica si InformaticaConcursul de admitere iulie 2009, Domeniul de licenta - InformaticaBarem corectura

I. Algebra 1. 1 pt. din oficiu.

A2 =

0 0 −10 0 00 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.

A2 = 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pt.det A = 0 implica A nu e inversabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.det B = 1 6= 0 implica B inversabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.

B−1 =

1 −1 −20 1 10 0 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.

Bn =

1 n n(3−n)2

0 1 −n0 0 1

pentru n ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pt.

Nota: Pentru calculul unor puteri: B2, B3 ... se acorda 1 pt. Pentru intuirea unei formule, fara demonstratie, se acorda1 pt.

2. 1 pt. din oficiu.a) Parte stabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.0, 1 ∈ A; u ∈ A implica −u ∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.Restul axiomelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.b) u ∈ {1,−1, i,−i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.c) u ∈ {1,−1, i,−i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.d) u = a + bi ∈ A⇒| u |2= a2 + b2 care poate da numai unul dintre resturile 0, 1, 2 la ımpartirea cu 4, deci | u |2 6= 100003

1 pt.

II. Analiza 1. 1 pt. din oficiu.Calculul lui f ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.Calculul lui f ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.Trasarea graficului lui f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 pt.Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.

2. 1 pt. din oficiu.Studiul derivabilitatii lui f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pt.Aplicarea teoremei lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pt.Aflarea punctului intermediar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.

III. Geometrie 1. 1 pt. din oficiu.Figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pt.MA0 + MB0 + MC0 independenta de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.AB2

0 + BC20 + CA2

0 = AC20 + BA2

0 + CB20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.

AB0 + BC0 + CA0 = AC0 + BA0 + CB0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 pt.

2. 1 pt. din oficiuAB =

√5, AC =

√45, BC =

√50, BC2 = AB2 + AC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pt.

Q( 12 , 13

2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.D(−4, 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.m = − 25

26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.

IV. Informatica 1 pt. din oficiu.a) Algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pt.Complexitatea timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 pt.Detalii de implementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 pt.b) Algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pt.Complexitatea timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 pt.Detalii de implementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 pt.c) Solutia ın O(n log n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pt.Limbaj de programare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.

Nota finala se calculeaza astfel:NotaMat.1+NotaMat.2

2+ NotaInf.

2.

1


Examen de Admitere

Domeniul de licenta Informatica

Barem de corectura

• Algebra1. Oficiu 1px1 = 1⇒ m = 1 3px2 si x3 sunt radacini ale ecuatiei x2 + 2x + 3 = 0 cu ∆ < 0 4px2 = x3 ⇒ xn

2 = (x3)n = (xn3 )⇒ xn

1 + xn2 + xn

3 ∈ R 2p2. Oficiu 1pa) determinantul sistemului este egal cu 2m− 4 3pb) m 6= 2, n ∈ R 3pc) x = 1− t, y = −1− t, z = t, unde t ∈ R 3p

• Analiza1. Oficiu 1pa) studiul monotoniei 3pa) determinarea punctului de extrem 2pb) 2pc) 2p2. Oficiu 1pa) calculul integralei I1 4pa) calculul integralei I2 3pb) 2p

• GeometrieOficiu 1p1. 3p2. 3p3. 2p4. 1p

• InformaticaOficiu 1peliminarea/marcarea elementelor vectorului 2pparcurgerea circulara a vectorului 2pfinalizarea algoritmului 2plimbaj 1pcomplexitate 1pdetalii de implementare 1p

1


Examen de AdmitereDomeniul de licenta Informatica

Barem de corectura

• Algebra - IOficiu 1p1. a)

√2 + i radacina 1p

Celelalte radacini 1pb) Sn ∈ R 1p

Sn ∈ Z pentru n par 1p

2. a) Ak parte stabila ın M2(Z) 1pAk este inel comutativ 2p

b) Exemplu de X,Y nenule ın A1 cu XY = 0 1pc) 1p

• Analiza - IIOficiu 1p1. a) f ′(x) = 1− e−x 1p

limx→−∞

f(x)

f ′(x)= −1 1p

b) f este strict descrescatoare pe (−∞, 0) si strict crescatoare pe (0,∞) 1p0 punct de minim global, f(0) = 0⇒ f(x) ≥ 0, ∀x 1p

c) xn > 0, (xn) descrescator ⇒ (xn) convergent 1plimn→∞

xn = 0 1p

2.a) f ′ = g 1pb) I1 =

√2 + ln(

√2 + 1) 1p

I2 = 0 1p

• Geometrie - IIIOficiu 1p1. cate 1p pentru aplicarea relatiei medianei 3p2. figura 1p

finalizare 1p3. conditia de triunghi dreptunghic 1p

finalizare 1p4. substitutia si rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea 1p

finalizare 1p

• Informatica - IVOficiu 1pa) Algoritm 2p

Complexitate 1pb) Algoritm 3pc) Algoritm liniar 1p

Detalii de algoritm si implementare 1pSintaxa limbajului de programare 1p

1



Barem de corectura

• Algebra - IOficiu 1p1. a) 2p

b) 2p

2. a) 2pb) 2pc) 1p

• Analiza - IIOficiu 1p1. a) 2p

b) 2p

2. a) 3pb) 1pc) 1p

• Geometrie - IIIOficiu 1p1. Trasarea figurii: 1p

Calculul lui AB: 1pCalculul ariei: 0,5pCalculul perimetrului: 0,5p

2. Parametrizarea R = (t, 1− t): 1pPunerea unei conditii de perpendiculariate: 1pFinalizarea calculelor: 1pJustificarea faptului ca RPQ 6= π

2 , RQP 6= π2 : 0,5p

3. Formula cos(2x) = 1− 2 sin2(x): 0,5pDeterminarea valorilor sin(x) = 0, sin(x) = 1

2 : 1pFinalizarea calculelor: 1p

• Informatica - IVOficiu 1pAlgoritm a) 4pAlgoritm b) +1pCorectitudine implementare 2pDetalii de algoritm si implementare 2p

1

Universitatea din Bucuresti, Facultatea de Matematica si InformaticaConcursul de admitere, iulie 2011. Domeniul de licenta - InformaticaBarem de corectare

I. Algebra 1 p. din oficiu.1. (a) Abordarea prin metoda inductiei si verificarea pentru n=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.Pasul de inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p.(b) Observatia faptului ca 13 + 23 + · · · 93 = 2025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5p.Deducerea faptului ca x1 = 0, x2 = 1, . . . , x10 = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p.2. (i) Calculul lui X2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.(ii) detX = −a− b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p.X inversabila ⇔ a + b 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p.(iii) X3 = 02 ⇒ detX = 0⇒ b = −a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Calculul lui X3 folosind b = −a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Deducerea faptului ca a = 1, b = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.Varianta: Calculul lui X3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Rezolvarea sistemului ın a si b astfel obtinut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p.

II. Analiza 1 p. din oficiu.a) Calculul lui f ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Monotonia lui f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.b) Asimptote orizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Asimptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.c) Limita sirului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p.2. a) I0, J0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cate 1 p.b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p.

III. Geometrie 1 p. din oficiu.1. O conditie ca cele patru puncte sa formeze un paralelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p.Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.2. Formula lui cos(a− b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Calculul patratelor (sin a + sin b)2 = 1 si (cos a + cos b)2 = 1

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p.3. Calcul u + v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.Calculul normei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p.

IV. Informatica 1 p. din oficiu.a) Corectitudine algoritm (inclusiv descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p.b) Solutie directa 1 p.c) Sintaxa limbajului de programare (inclusiv detalii de implementare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p.

1



Barem de corectura

• Algebra - IOficiu 1p

(I) (i) (G, ∗) grup 3pG neabelian 1p(ii) 1p

(II) (i) 2p(ii) 2p

• Analiza - IIOficiu 1p

a) x = 0 asimptota verticala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1py = 0 asimptota orizontala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pb) Calculul lui f ′(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pf crescatoare pe (0, e2] si descrescatoare pe [e2,∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pValoarea maxima egala cu 2/e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pc) Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pd) Studiul convergentei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pCalculul limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

• Geometrie - IIIOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

1. Demonstrarea relatiei 2pDemonstrarea paralelismului 1p

2. Observatia ca triunghiul ABC este isoscel 1pDeterminarea coordonatelor mijlocului segmentului BC 1pEcuatia bisectoarei 1p

3. sin 2α = 2 sinα cosα 1p

sinα =2 tan α

2

1 + tan2 α2

, cosα =1− tan2 α

2

1 + tan2 α2

1p

Finalizare 1p

• Informatica - IVOficiu 1pa) 4pb) 1pc) 3pd) 1p

Nota: Se pot scadea maxim 2 puncte pentru greseli de limbaj sau de imple-mentare sub forma de program.

1





Barem

I. Algebra. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(a) • Formalizarea algebrica a problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Toate numerele sunt 0 (demonstratie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

(b) • M are 9 elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(c) • Parte stabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

• M este corp comutativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 puncte.

II. Analiza. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(a) • ls(0) = −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• ls(0) = +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(b) • Ecuatia are cel putin o solutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 punct.

• sinx− x cosx este strict crescatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(c) • Calculul lui g′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 punct.

• Im(g) =(

1, π2

4

]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 puncte.

(d) • Aplicarea metodei integrarii prin parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• I = π√3

6 + ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(a) • Ecuatiile dreptelor d ce trec prin punctul A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Expresiile distantelor de la punctul B la dreaptele d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(b) • Conditia de unghi obtuz (teorema cosinusului) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Determinarea valorilor posibile ale parametrului a ∈ (−1, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Alegerea valorii lui a pentru care se poate construi un triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(c) • Egalitatea−→AC +

−−→BD =

−−→AB +

−−→BC +

−−→BD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Egalitatea−→AC +

−−→BD =

−−→AD +

−−→BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 punct.

• Egalitatea−−→AD +

−−→BC = 2

−−→BC +

−−→BC = 3

−−→BC si finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 punct.

Raspunsuri: (a) 5x + 12y − 29 = 0 si x = 1; (b) a = 2; (c) |−→AC +

−−→BD| = 6

IV. Informatica. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(a) • Programul nu sterge un element deja sters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

• Programul sterge toate elementele din vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte.

• Programul este liniar ın m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(b) • Programul respecta cerinta suplimentara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

• Calculul complexitatii programului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 puncte.

− Programele nu au greseli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 puncte.

− Claritatea rezolvarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.





Barem

I. Algebra. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(a) • Calculul produselor AX si XA si scrierea sistemului de ecuatii . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte

• Determinarea matricei: X =

(x −2z

z x

), cu x, z numere reale arbitrare. . . . . . . . . 2 puncte

(b) • Demonstratie prin inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 puncte

(c) • Orice rezolvare corecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 puncte

II. Analiza. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(a) • y = 0 asimptota orizontala spre ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• limx→0,x<0

f(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• x = 0 asimptota verticala la dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(b) • Calculul lui f ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• x = −1/2 punct de maxim global pe (−∞, 0) si f(−1/2) = 4/e2 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(c) • Monotonia si marginirea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Calculul limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(d) • Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte

III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct.

(a) • Considerarea punctului A′(1,−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 puncte

• Demonstratia faptului ca M este intersectia axei Ox cu dreapta A′B . . . . . . . . 1,5 puncte

– pentru enuntarea proprietatii fara demonstratie 0,5

• Scrierea ecuatiei dreptei A′B si aflarea coordonatei x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 puncte

• Calculul minimului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 puncte

Orice metoda corecta si completa (de exemplu folosind analiza matematica) se puncteaza maxim.

(b) • Descompunerea (cos2 x− sin2 x)(cos2 x + sin2 x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75 puncte

• cos2 x + sin2 x = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 puncte

• cos2 x− sin2 x = cos 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75 puncte

• Rezolvarea ecuatiei cos 2x =

√3

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

– solutie incompleta 0,5p

(c) • Formula produsului scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Teorema cosinusului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct1

2

IV. Informatica. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 punct

(a) • Sirul s este generat corect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 puncte

• Programul afiseaza exact n cifre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

• Cifrele afisate sunt corecte ın raport cu sirul s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

(b) • Programul afiseaza corect a n-a cifra, ıntr-o complexitate mai mica decat O(n) . 1 punct

• Programul afiseaza corect a n-a cifra, ıntr-o complexitate egala cu O(log n) . . . . .1 punct

– Programele nu au greseli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct

– Claritatea rezolvarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 punct





Barem


(a) |1 + z| = 2√

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

|z3| = 5√

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

(d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


(a) Calculul lui f ′(x) pentru x 6= 0 si x 6= 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

f nu este derivabila ın 0 si ın 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

x = 0 si x = 1 sunt puncte de extrem local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Pentru m ∈ (0, 1) ecuatia f(x) = m are 3 solutii reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) Monotonia si marginirea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Determinarea limitei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(d) Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(e) Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p



(a) BC =√

5− 2√

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

MN =√

5 + 2√

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

(c)−→AB ·

−→AM= 1

2 ,−→AB ·

−→AN= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

x = −2− 2√

3, y = 2 +√32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


(a) Afisarea a cel putin unei perechi (daca exista) cu proprietatea din enunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Afisarea doar a unor perechi cu proprietatea din enunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Afisarea tuturor perechilor cu proprietatea din enunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(b) Afisarea corecta a numarului de solutii, indiferent de complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Afisarea corecta a numarului de solutii ın timp cel mult O(n log n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Afisarea corecta a numarului de solutii ın timp cel mult O(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Calculul corect al complexitatii timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Programele nu au greseli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Claritatea rezolvarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

1





Barem


(a) Verificarea identitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) |5 + 2i√

3| =√

37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) A e parte stabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

(A,+, ·) inel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(d) Demonstrarea faptului ca uv = 5 + 2i√

3 implica u ∈ {±1} sau v ∈ {±1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(e) Determinarea solutiilor u1 = 4 + i√

3 si u2 = −4− i√

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


(a) Calculul lui f ′(x) pentru x 6= −1, x 6= 0 si x 6= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

f nu este derivabila ın −1, 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(b) f este concava pe (−1, 0) si pe (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

f este concava pe [−1, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) I =√

3−√

2− π

12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(d) Demonstrarea bijectivitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

J =√

3−√

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


(a) DE‖BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

DE/BC = 2/3 implica k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(b) Teorema bisectoarei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

(c) Orice solutie: analitica (de exemplu axa Ox data de BC, axa Oy data de ınaltimea

prin A), vectoriala sau sintetica (Menelaus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p


Modelarea enuntului sub forma de graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(a) Orice solutie corecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(b) Implementarea corecta a relatiilor de prietenie cu ajutorul unei structuri de adiacenta . . . . . . . . . . 1 p

Orice solutie corecta, indiferent de complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

la care se adauga pentru o solutie de complexitate O(n2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

si pentru o solutie de complexitate mai buna decat O(n2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Programele nu au greseli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Claritatea rezolvarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

1





Barem


(a) Calculul lui A2:

(14 −5

−25 9

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Calculul lui A3:

(67 −24

−120 43

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Determinarea matricelor X: O2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(c) Scrierea sistemului care rezulta din AB = mB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Determinarea lui m: m = 5−√21

2sau m = 5+

√21

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(d) Demonstrarea faptului ca nu exista λ ∈ R cu proprietatea din enunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p


(a) f este descrescatoare pe (−∞, 0) si pe (0,∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

f este concava pe (−∞, 0) si convexa pe (0,∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Imaginea functiei g este(−3π

2, π2

)\{−π

2

}, deci g nu este bijectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(c) Ecuatia f(x) = 1n

are o solutie unica xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Sirul (xn)n∈N∗ este marginit si crescator, deci convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

limn→∞

xn = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(d) Aria este egala cu

1∫1√3

f(x) dx−

√3∫

1

f(x) dx =π√

3

9+ ln

3

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p


(a) Determinarea coordonatelor punctelor A(4, 0), B(0, 2) si C(1,−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Aria triunghiului ABC este 5 (formula ariei cu determinant sau observand ca triunghiul ABC

este dreptunghic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Determinarea coordonatelor punctelor Q(0, 3) si P (3, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Punctul R are coordonatele (2, 1) (analitic sau observand ca R este intersectia diagonalelor

patratului BCAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

Demonstrarea coliniaritatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(c) m = 9, n = 4, patrulaterul BCAM este patrat cu aria egala cu 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

1

2

(*) La punctul (b) solutia ın care se foloseste teorema lui Simson primeste 4 puncte daca sunt

verificate conditiile (punctul M se afla pe cercul circumscris triunghiului AOB). La punctul

(c) pentru enuntarea teoremei Pick (fara verificare) se acorda 1 p.

IV. Informatica. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(a) Folosirea corecta a notiunii de procedura / functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Implementarea fara vector auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Corectitudinea solutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

(b) Determinarea maximului dintr-un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Utilizarea FLIP conform cerintei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Corectitudinea solutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

(c) Corectitudinea solutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p





Barem


(a) x1 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Descompunerea (x + 1)(x2 − 4x + 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

x2,3 = 2±√

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(b) Scrierea relatiilor lui Viete (cel putin o relatie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Finalizarea si obtinerea expresiei x31 + x3

2 + x33 = −m3 − 9m− 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p

(c) x32 = −1 sau sistem ın care apare ratia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Finalizarea si m = −3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(d) Verificarea faptului ca 2 cos(2π9

) este o radacina a lui P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(e) Demonstrarea egalitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p


(a) Calculul pantei asimptotei oblice la ±∞: m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p

Calculul ordonatei la origine a asimptotei oblice la ±∞: n = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Scrierea explicita a ecuatei y = x− 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Calculul limitelor laterale ın −5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Explicitarea ecuatiei asimptotei verticale si a tipului ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(b) Calculul derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Tabelul de variatie al functiei/semnul derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Concluzia: punctele de extrem local ale lui f sunt: −8 (maxim) si −3 (minim) . . . . . . . . 0,5 p

(c) Trasarea graficului/ Sirul lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Concluzia: numarul de solutii ale ecuatiei f(x) = m este:

2 solutii pentru m ∈ (−∞,−9 3√e) ∪ (−4√

e, 0)

1 solutie petru m ∈{−9 3√e, −4√

e

}∪ [0,∞)

0 solutii pentru m ∈(−9 3√e, −4√

e

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(d) Integrarea prin parti (aplicare corecta a formulei) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Calculul limitei limn→∞

n2

(n+1)(n+2)

1∫0

xn+2f ′′(x) dx=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Finalizare: limita este −f ′(1) = −e− 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

1

2


(a) Determinarea ecuatiei mediatoarei segmentului AB: 3x− y − 3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Dreapta de ecuatie y = −1 este mediatoarea segmentului AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Coordonatele centrului cercului circumscris O′(23,−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Demonstrarea relatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

(c) AM + MD = CM + MD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Finalizare M(0,−1)/centrul de greutate al triunghiului ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


(a) Citirea sirului de caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Gasirea cuvintelor separate prin spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75 p

Distribuirea cuvintelor pe o linie cu cel mult L caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Incarcarea liniei la maxim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p

Cuvintele sunt continute integral pe o linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Afisarea corecta a liniilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p


Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

(b) Utilizarea unei structuri de date pentru mentinerea informatiei necesare . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Verificarea conectivitatii pe cazul general (cu 3 vecini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Verificarea conectivitatii pe cazurile particulare (cu 0, 1, 2 vecini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Tratarea cazului pentru DA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Tratarea cazului pentru NU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p


Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

(c) Corectitudinea solutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Optimalitatea solutiei corecte O(L ·N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Deducerea complexitatii solutiei prezentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p





Barem


(a) Scrierea formulei termenului de pe locul n al progresiei aritmetice, sau completarea

urmatoarelor linii ale triunghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Determinarea termenului cu care ıncepe linia 15, adica 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Scrierea conditiei n2 − n+ 1 ≤ 501 ≤ n2 + n− 1, sau continuarea triunghiului pana

se ajunge la 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Explicitarea n = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(c) Formularea unui rezultat sau scrierea formulei pentru suma progresiei aritmetice . . . . . . 0,5 p

Calculul sumei (= n3) si concluzia / demonstratie prin inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p

(d) Demonstratia (ın care apare, de exemplu, faptul ca (n2 + n− 1)/(n2 − n+ 1) < 2)

(Pentru analiza doar a unor cazuri particulare, de ex. verificarea proprietatii pentru

liniile ce apar scrise, se acorda 0,25 p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

(e) Numarul t este negativ, impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Gradul m este numar impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Concluzia problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p


(a) f(e) = 1e, f(e2) = 2

e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Concluzia (eventual, bazata pe calculul primei derivate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Calculul f ′s(1) = −1; f ′d(1) = +1 (folosind definitia, sau teorema Lagrange) . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Concluzia (f nu e derivabila ın 1, dar e derivabila ın rest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Calculul f ′′(x) =

{3−2 lnxx3

, x ∈ (0, 1)2 lnx−3x3

, x ∈ (1,+∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Concluzia: f este convexa pe intervalele (0, 1] si [e√e,+∞); f este concava pe

intervalul [1, e√e] (se admit la raspunsuri si intervale deschise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

(c) Calculul limitelor lui f ın 0 si la +∞ (egale cu +∞, respectiv cu 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Discutia: ecuatia nu are solutii pentru m ∈ (−∞, 0); are o solutie pentru

m ∈ {0} ∪ (1e,+∞); are doua solutii pentru m = 1

e; are trei solutii pentru m ∈ (0, 1

e) . . . 1,5 p

(d) Aplicarea / enuntarea formulei de integrare prin parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

I = −1e

+ 2∫ e1

lnxx2dx = 2− 5

e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p

1

2

(e) Ecuatia este echivalenta cu ecuatiile: f(x) = ai, unde ai sunt radacinile reale ale

polinomului P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Ecuatia are exact 3n− 1 solutii daca si numai daca P are n radacini reale, distincte,

n− 1 dintre ele ın intervalul (0, 1e), o radacina =1

e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Concluzia (dedusa din faptul ca P nu are radacina −1, iar 1e

nu poate fi radacina dubla,

deci P ′(1e) 6= 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p


(a) Verificarea conditiei de paralelism (prin calculul pantei: ambele drepte au panta 12

sau prin scrierea ecuatiei dreptei BC : x− 2y − 1 = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(b) Triunghiul ABC este isoscel (AB = AC = 2√

10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Triunghiul ABC este dreptunghic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

(c) Determinarea coordonatelor punctelor B′(−2,−4) si C ′(10, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Calculul α = −32, β = 3

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

(d) Enuntarea / utilizarea unei formule pentru calculul ariei unui triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p

Calculul ariei (ambele triunghiuri au aria egala cu 10) / demonstrarea egalitatii . . . . . . . 1,5 p

(O solutie ın care se demonstreaza ca triunghiurile sunt congruente si se deduce

ca au ariile egale va primi punctaj maxim)

(e) Numarul maxim de elemente este 6 (enuntare rezultat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,25 p

Numarul maxim de elemente este 6 (justificare rezultat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,25 p

Numarul minim de elemente este 3 (enuntare rezultat / exemplificare) . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p

Numarul minim de elemente este 3 (justificare rezultat, demonstarea faptului ca Mδ

nu poate avea mai putin de 3 elemente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p


(a) Citirea corecta a datelor de intrare si afisarea rezultatului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p

Calculul corect a capacitatii unui bazin determinat de doi pereti verticali . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Determinarea capacitatii maxime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p

Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p

(b) Gasirea unei solutiei corecte, indiferent de complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

la care se adauga pentru o solutie de complexitate O(m2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p

si pentru o solutie de complexitate O(m logm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p

si pentru o solutie de complexitate O(m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Specificarea si justificarea complexitatii solutiei prezentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p

Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p

Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p

Universitatea din București 21.07.2013 Facultatea de Matematică și Informatică


Domeniul de licență - Calculatoare și Tehnologia Informației Informatică (1)

1. Se consideră secvenţa de instrucţiuni alăturată. Valoarea variabilei result la sfârșitul executării

secvenței este:

int k, result; result = 0; for ( k = 0; k < 5; k++ ) { if ( ( k % 3 ) == 1 ) result = result + k; else result = result + 1; }

var k, result : integer; begin result := 0; for k := 0 to 4 do

if k MOD 3 = 1 then result := result + k;

else result := result + 1;

end; end;

5 6 7 8

2. Fie următoarele două secvențe de cod:

P1:P1:P1:P1: int sum, i; sum = 0; for (i = 1; i <= m; i++)

sum = sum + i;

P1:P1:P1:P1: var sum, i : integer; begin sum := 0; for i := 1 to m do

sum := sum + i; end;

P2:P2:P2:P2: int sum, i; sum = 0; i = <initial>; while ( <condition> ) {

i = i + 1; sum = sum + i;

}

P2:P2:P2:P2: var sum, i : integer; begin sum := 0; i := <initial>; while <condition> do

begin i := i + 1; sum := sum + i; end;

end;

Cu ce trebuie înlocuite <initial> și <condition> astfel încât cele două secvențe de cod să fie echivalente (în final variabila sum să aibă aceeași valoare)?

0 și i < m 0 și i < m + 1 1 și i < m 1 și i < m + 1

3. O procedură care listează nodurile unui arbore binar în postordine va produce pentru următorul arbore ieșirea:

ABCDEF ABDECF DEBFCA DEFBCA

A B C D

A B C D

A B C D

4. Numerele 5, 2, 2, 3, 3, 3 reprezintă gradele vârfurilor unui graf neorientat cu 6 noduri. Numărul de muchii al grafului este:

6 9 12 15

5. Dacă a și b sunt două variabile întregi inițializate atunci următoarea secvență de instrucțiuni are ca efect:

a = a + b; b = a - b; a = a - b;

a := a + b; b := a - b; a := a - b;

atribuirea valorii 0 celor două variabile păstrarea neschimbată a celor două variabile

interschimbarea celor două variabile atribuirea valorii a+b celor două variabile

6. Pentru a calcula în mod eficient media aritmetică a elementelor diagonalei principale a unui tablou bidimensional pătratic de dimensiune n cu componente numere naturale este necesar și suficient să se execute:

o singură instrucțiune de atribuire o singură parcurgere a diagonalei principale și o atribuire

o singură parcurgere a diagonalei principale și n atribuiri

o singură parcurgere a tabloului și n+1 atribuiri

7. Se consideră definite două variabile întregi x și y și următoarele două expresii:

u = ! ( (x == y) && (x == z) ); v = (x != y) || (x != z);

u := NOT ( (x = y) AND (x = z) ); v := (x <> y) OR (x <> z);

Care dintre urmatoarele afirmații este adevarată:

există x,y,z, astfel încât u diferit de v oricare ar fi x,y,z, u egal cu v

oricare ar fi x,y,z, u diferit de v u egal cu v dacă și numai dacă x egal cu y

8. Se consideră tabloul unidimensional v cu elementele cu elementele v1=11, v2=7, v3=5, v4=3. În algoritmul de sortare scris alăturat, s-a notat cu <- operația de atribuire și cu <-> operația de interschimbare. Pentru a sorta crescător cele patru elemente ale tabloului v, numărul de interschimbări realizate prin executarea secvenței alăturate este:

i <- 4 repetă max=v1 k=1 pentru j <- 2..i execută dacă max<vj atunci max= vj k=j

dacă k ≠ i atunci vi <-> vk i <- i-1

până când i=1

2 3 4 5

9. Dacă x și y sunt variabile întregi având valori disctincte, expresia următoare:

(x + y – abs(x - y) ) / 2 (x + y – abs(x - y) ) DIV 2

are ca valoare:

cel mai mare dintre x și y cel mai mic dintre x și y

suma dintre x și y diferența dintre x și y

A B C D

A B

C D

A B C D

A B

C D

A B

C D

A B

C D



Domeniul de licență - Calculatoare și Tehnologia Informației

Informatică (1)

1. Se consideră următoarea funcție recursivă:

int Fun(int n) { if (n == 4) return 2; else return 2 * Fun(n + 1); }

function Fun(n : integer) : integer; begin if n=4 then Fun:=2 else Fun:=2*Fun(n+1) end;

Valoarea returnată de apelul Fun(2) va fi:

2 4

8 apelul Fun(2) nu se termină niciodată

2. Fie A un tablou unidimensional cu n elemente și procedura Swap care realizează interschimbarea valorilor pe care le primește. Atunci următoarea secvență de cod sortează descrescător tabloul A.

int n; for (int j = 0; j < n–1; j++) for (int k = 0; k < n–j–1; k++) if (A[k] < A[k+1]) Swap(A[k], A[k+1]);

var k, j, n : integer; begin for j:=0 to n-2 do for k:=0 to n-j do if A[k] < A[k+1] then Swap(A[k], A[k+1]) end;

Câte apeluri ale procedurii Swap vor fi făcute daca inițial A[i]=i pentru i=0, 1, …, n-1?

n(n-1)/2 n

n-1 n(n-1)

3. Se consideră un graf neorientat cu 8 vârfuri, a cărui matrice de adiacență este:

00010000

00000001

00000000

10000010

00000001

00000001

00010000

01001100

Numărul de componente conexe ale grafului este:

1 2

3 4

A B

C D

A B

C D

A B

C D

4. Se consideră definite două variabile întregi x și y și următoarele două expresii:

u = ! ( (x == y) || (x == z) ); v = (x != y) && (x != z);

u := NOT ( (x = y) OR (x = z) ); v := (x <> y) AND (x <> z);

Care dintre urmatoarele afirmații este adevarată: există x,y,z, astfel încât u diferit de v oricare ar fi x,y,z, u egal cu v

oricare ar fi x,y,z, u diferit de v u egal cu v dacă și numai dacă x egal cu y

5. Care dintre următorii algoritmi sortează în mod eficient elementele unui tablou unidimensional de dimensiune n cu componente numere naturale din mulțimea {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}:

metoda bulelor căutare binară

sortare prin selecție directă sortare prin numărare

6. Știind că variabila întreagă x reține o valoare de cel mult 3 cifre, stabiliți care dintre următoarele expresii este adevărată dacă și numai dacă x este format numai din cifre pare:

x%2==0 && x%10%2==0 && x%100%2==0 x%2==0 && x/10%2==0 && x/100%2==0

x/10%2==0 && x/100%2==0 x/2==0 && x%10%2==0 && x%100%2==0

(varianta Pascal)

(x mod 2=0) and (x mod 10 mod 2=0) and (x mod 100 mod 2=0)

(x mod 2 = 0) and (x div 10 mod 2 = 0) and (x div 100 mod 2 = 0)

(x div 10 mod 2 = 0) and (x div 100 mod 2 = 0)

(x div 2 = 0) and (x mod 10 mod 2 = 0) and (x mod 100 mod 2 = 0)

7. Un arbore cu rădăcină are 359 de noduri numerotate de la 1 la 359. Dacă vectorul de tați al acestui

arbore (vector notat cu t) are proprietatea că t[i]=

2

i, pentru orice i de la 1 la 359, unde [x]

reprezintă partea întreagă a numărului x, atunci numărul de noduri care au exact un descendent direct în acest arbore este:

2 1

179 0

8. Fie un număr x care aparține intervalului [590,618]. Care este numărul minim de numere care trebuie testate dacă sunt divizori ai lui x pentru a putea afirma fără dubiu că x este prim:

309 24

2

x-1, unde [x] este partea întreagă a lui x

10

9. Se generează în ordine lexicografică toate tripletele vocală-consoană-vocală formate cu literele A,B,C,D,E: ABA, ABE, ACA, ACE, ADA, ADE, EBA, EBE, ECA, ECE, EDA, EDE. Dacă se generează, folosind aceeași metodă și aceleași litere, toate tripletele consoană-vocală-consoană, stabiliți care dintre următoarele variante este o secvență de triplete generate unul imediat după celălalt:

DAD DAC DAB ACE ADA ADE

BEC BED CAB BEC CEC DEC

A B

C D

A B

C D

A B

C D

A B

C D

A B

C D

A B

C D

A

B

C

D

Universitatea din București 19.07.2015

Facultatea de Matematică și Informatică



Informatică (Varianta 1)

1. Se consideră următoarea funcție recursivă:

int f(int n) { if (n == 1) return 0; else if (n == 2) return 1; else return f(n-2) + f(n–1);

}

function f(n : integer) : integer; begin if n = 1 then f := 0 else if n = 2 then f := 1 else f:=f(n-2)+f(n-1) end;

Câte apeluri recursive vor fi făcute pentru n = 5 (apelul inițial f(5) nu se consideră)?

14 4 8 apelul f(5) nu se termină

2. Se consideră următoarea secvență de cod, unde z este o variabila globală inițializată cu valoarea 10:

int s(int x) { z –= x; return (x * x); }

function s (x : integer); begin z := z – x; s := x * x; end;

Valoarea returnată prin apelarea s(10) şi valoarea variabilei globale z după apel sunt:

10 0 100 0 10 10 100 10

3. Se consideră următoarea secvență de cod:

a = 12; b = 20; i = 0; j = 3; do { switch(a) { case 1: j++; break; case 12: i++; break; default: j = j; } b - -; } while (b >= 0);

a := 12; b := 20; i := 0; j := 3; repeat case a of 1: j := j + 1; 12: I := I + 1; else j := j; end; b := b – 1; until b < 0;

Valorile variabilelor i şi b după execuţia secvenţei sunt:

20 0 20 -1 21 -1 21 0

4. Se consideră definite patru variabile întregi cu valorile a = 5, b = 3, c = 1, d = 3. Câte dintre expresiile următoare au valoarea 0 (C/C++), respectiv false (Pascal)?

(a < b) || c ((b == d) && c) || (a >= b) c && (d > b) (a > b) || !(d < a)

(a < b) OR c ((b = d) AND c) or (a >= b) c AND (d > b) (a > b) OR NOT (d < a)

0 1 2 3

5. Se consideră un graf neorientat cu 6 vârfuri, al cărui vector de muchii este M = {(1,2), (2,3), (3,4), (3,5), (5,6)}. Care este nodul rădăcină pentru ca arborele astfel obţinut să aibă înălţime minimă?

5 4 6 3

6. Ce valoare are expresia a/b/c*d-a pentru a = 36, b = 6, c = 3, d = 4?

36 40 -28 -38

7. Se consideră următoarea secvență de cod. Ce reprezintă nr pentru n?

nr = 0; while (n) { nr += (n & 1); n = n >> 1; }

nr := 0; while (n > 0) do begin nr := nr + (n AND 1); n := n SHR 1; end;

numărul de biţi din reprezentarea binară a lui n numărul de biţi de 1 din reprezentarea binară a lui n

numărul de biţi de 0 din reprezentarea binară a lui n reprezentarea binară a lui n

8. Cum se numește o matrice pătratică cu proprietatea că pentru orice pereche de indici (i,j) avem relația:

a[i][j] == a[j][i] a[i,j] = a[j,i]

matrice identitate matrice superior triunghiulară

matrice inferior triunghiulară matrice simetrică faţă de diagonala principală

A B

C D

A B

C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

9. Se consideră următoarea secvență de cod care încearcă să găsească un element x într-un vector y folosind căutare binară (x este un întreg, iar y un vector de întregi).

i = 0; j = 9; do { k = (i + j)/2; if( y[k] < x) i = k; else j = k; } while (y[k] != x && i < j); if(y[k] == x) printf ("x a fost gasit "); else printf ("x nu a fost gasit ");

i := 0; j := 9; repeat k := (i + j)/2; if y[k] < x then i := k else j := k; until (y[k] = x OR i >= j); if y[k] = x then writeln ("x a fost gasit ") else writeln ("x nu a fost gasit ");

Pentru care dintre următoarele valori ale lui x și y execuția secvenței de cod de mai sus nu se termină niciodată?

y = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] și x < 10 y = [1 3 5 7 9 11 13 15 17 19] și x < 1

y = [2 2 2 2 2 2 2 2 2 2] și x > 2 Y = [2 4 6 8 10 12 14 16 18 20] și 2 < x < 20 și x este par

10. Se consideră polinomul p(x) = a0 + a1x + a2x2 +a3x

3 unde ai este nenul pentru orice i. Numărul minim de înmulțiri

necesar pentru evaluarea polinomului p în punctul x este (ridicările la putere sunt considerate înmulțiri repetate):

3 5 6 8

11. Ce calculează funcția f2 definită mai jos?

int f1(int x, int y) { if (y == 0) return 0; return (x + f1(x, y-1)); } int f2(int a, int b) { if (b == 0) return 1; return f1(a, f2(a, b-1)); }

function f1(x:integer,y:integer):integer begin if y = 0 then f1 := 0 else f1 := x + f1(x, y-1); end; function f2(a:integer,b:integer):integer begin if b = 0 then f2 := 1 else f2 := f1(a, f2(a, b-1)); end;

a * b a + a * b ab

ba

12. Parcurgerile în inordine și preordine ale unui arbore binar sunt d b e a f c g și respectiv a b d e c f g. Parcurgerea în postordine a aceluiași arbore este:

e d b g f c a e d b f g c a d e b f g c a d e f g b c a

13. Se consideră patru funcții cu scopuri diferite, fiecare folosind o singură structură repetitivă de tipul for în cadrul căreia este executat același set de instrucțiuni. Dacă cele patru structuri repetitive for sunt cele de mai jos, iar n este dimensiunea intrării (pozitivă), care dintre funcții este cea mai eficientă din punct de vedere al duratei de execuție?

i) for(i = 0; i < n; i++) ii) for(i = 0; i < n; i += 2) iii) for(i = 1; i < n; i *= 2) iv) for(i = n; i > -1; i /= 2)

i) for i := 0 to n - 1 do i := i + 1; ii) for i := 0 to n - 1 do i := i + 2; iii) for i := 1 to n - 1 do i := i * 2; iv) for i := n downto 0 do i := i / 2;

i) ii) iii) iv)

14. Se dă următorul program:

for (i = 0; i < n; ++i) { ok = 1; for (j = 0; j < n - 1; ++j)

if (v[j] < v[j+1]) { aux = v[j]; v[j] = v[j+1]; v[j+1] = aux; ok = 0; } if (ok == 1) break;

}

for i := 0 to n-1 do begin ok := 1; for j := 0 to n – 2 do if v[j] < v[j+1] then begin aux := v[j];

v[j] := v[j+1]; v[j+1] := aux; ok := 0;

end; if ok=1 then break; end;

Pentru care din următorii vectori programul face mai puține interschimbări:

v = [1 4 9 23 6 71 44] v = [2 120 44 56 64 82] v = [10 9 8 5 4 3 2 1] v = [1 2 3 4]

15. Ȋnălțimea unui arbore binar este dată de numărul maxim de noduri de pe un drum de la rădăcină la oricare dintre frunze. Numărul maxim de noduri dintr-un arbore binar de inălțime h este:

2h

- 1 2h-1

- 1 2h+1

- 1 2 * (h + 1)

A B

C D

C D

A B C D

A B

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

Universitatea din Bucureşti 23.07.2016

Facultatea de Matematică şi Informatică


Domeniul de licenţă - Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei


1. Se consideră următoarea secvenţă de cod, în care variabilele x şi y memorează numere naturale pozitive:

for (i = y - 1; i >= 1; i--)

if (i % x == 0) k++;

for i := y – 1 downto 1 do

if i mod x = 0 then k := k + 1;

Ştiind ca variabila întreagă k memorează iniţial valoarea 0, stabiliţi ce reprezintă valoarea memorată de aceasta

după executarea secvenţei de cod:

numărul de multipli nenuli ai lui y mai mici decât x numărul de divizori ai lui i mai mici decât y

numărul de multipli nenuli ai lui x mai mici decât y numărul de divizori ai lui y

2. Se dă următorul program:

int n, i, j, p; float E;

int main() {

n = 5 ; E = 1 ; p = 1 ;

for (i = 1 ; i <= n-1 ; i++) {

p = p * i ;

E = E + 1.0 / p ;

}

return 0;

}

var n, i, j, p : integer; E:real;

begin

n := 5; E := 1; p := 1;

for i := 1 to n-1 do

begin

p := p*i;

E := E + 1/p ;

end;

end.

Care este prima zecimală a numărului memorat în E la sfârşitul execuţiei acestui program?

6 7 8 1

3. Câte dintre următoarele expresii au valoarea 1 (C/C++), respectiv true (Pascal) dacă şi numai dacă x este un

număr natural par care nu aparţine intervalului (10,20)?

!(x>10 && x<20) && ( (x & 1 )==0)

(x%2==0) && (x<10 || x>20)

!(x%2==1) && (x>10 && x<20)

!( (x%4==1) || (x%4==3) || !(x<=10 || x>=20))

not( (x>10) and (x<20)) and ( (x and 1 ) = 0)

(x mod 2=0) and ((x<10) or (x>20))

not(x mod 2=1) and ((x>10) and (x<20))

not((x mod 4=1) or (x mod 4=3) or not((x<=10) or (x>=20)))

1 2 3 0

4. Se considera un vector v cu n componente (primul element fiind pe poziţia 1) care urmează a fi sortat crescător

folosind următoarea secvenţă de cod:

for (i = 2; i<=n; i++){

x = v[i]; j = i – 1;

while (j>0 && x < v[j])

{ v[j+1] = v[j]; j--; }

v[j+1] = x;

}

for i := 2 to n do

begin x := v[i]; j := i – 1;

while (j > 0) AND (x < v[j]) do

begin v[j+1] := v[j]; j := j - 1; end;

v[j+1] := x;

end;

Care este numărul minim de comparaţii între elementele vectorului efectuate în cadrul secvenţei pentru ca

vectorul v să devină sortat?

n n - 1 n2 1

5. Considerând variabilele întregi n, s, i, j declarate, ce complexitate are secvenţa de cod următoare?

s = 0; i = 1;

while (i<n) {

j = 1;

while (j<n)

{s += i + j; j *=2;}

i = j;

}

s := 0; i := 1;

while (i<n) do

begin j := 1;

while j<n do

begin s := s + i + j; j := j *2; end;

i = j;

end;

O (n) O (log2(n)) O (n2) O (n log2(n))

6. Se foloseşte metoda backtracking pentru a genera submulţimile mulţimii {1, 3, 5, 7, 9}. Câte soluţii care

obligatoriu conţin elementul 3 şi nu conţin elementul 7 s-au generat?

8 2 16 4

7. Se consideră o stivă şi o coadă iniţial vide. Se introduc pe rând în stivă numerele prime mai mici decât 25, în

ordine crescătoare. Se introduc pe rând aceleaşi numere, în aceeaşi ordine, în coadă. Se repetă următoarea

operaţie: se extrag simultan un element din stivă şi un element din coadă, până când cele două elemente extrase

simultan sunt egale sau stiva devine vidă. Care este elementul din vârful stivei după executarea acestor operaţii?

7 11 13 stiva este vidă

A B C D

A B C D

A B

C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

8. Se consideră o matrice pătratică de dimensiune n având liniile şi coloanele numerotate de la 1 la n. Condiţia ca

elementul de pe linia i şi coloana j să fie situat deasupra diagonalei secundare este:

i<j i+j<n+1 i+j-2<n i<n+j

9. Următoarea secvenţă de cod efectuează 3 etape din sortarea prin metoda bulelor a unui vector v de numere întregi

cu 6 elemente (primul element fiind pe poziţia 1).

for(i=1;i<=6;i++) scanf("%d",&v[i]); | cin>>v[i];

for(i=1;i<=3;i++)

for(j=1;j<=5;j++)

if(v[j]>v[j+1]){

aux=v[j]; v[j]=v[j+1]; v[j+1]=aux; }

for(i=1;i<=6;i++)

printf("%d ",v[i]); | cout<<v[i]<<" ";

for i:=1 to 6 do read(v[i]);

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 5 do

if v[j]>v[j+1] then

begin aux:=v[j]; v[j]:=v[j+1]; v[j+1]:=aux;

end;

for i:=1 to 6 do write(v[i],' ');

Care dintre următoarele variante nu poate fi rezultatul afişat de această secvenţă de cod?

3 5 7 9 12 14 11 13 12 14 20 21 10 7 6 8 11 12 3 2 1 4 10 10

10. Se consideră următoarele funcţii:

int f2(int x);

int f1(int x ){

if(x<=1) return 1;

return x*f2(x-1);

}

int f2(int x){

if(x<=1) return 1;

return f1(x-1);

}

function f2(x:integer):integer; forward;

function f1( x:integer ):integer;

begin if x<=1 then f1:=1

else f1:=x*f2(x-1);

end;

function f2(x:integer):integer;

begin if x<=1 then f2:=1

else f2:=f1(x-1);

end;

Care dintre următoarele expresii este egală cu x!, pentru orice x număr natural pozitiv?

f1(x) f2(x) f1(x)*f2(x) x*f2(x)

11. Se consideră următoarele subprograme:

int B (int n){

if (n < 10) return n;

else return ((n%10) + B(n/10));

}

int A (int n, int k){

if (n<10) return n;

else{

int p= pow(10,k);

return A(n / p, k) + B(n % p);

}

}

function B(n : integer) : integer;

begin if n < 10 then B := n

else B := n mod 10 + B(n div 10) end;

function A(n : integer; k: integer) : integer;

var p:integer;

begin if n < 10 then A := n

else begin

p:=trunc(power(10,k)) ;

A := A(n div p, k)+ B(n mod p);

end;

end;

De cate ori se apelează funcţia B în urma apelului A(12345, 2)?

6 4 5 8

12. Se consideră următoarea secvenţă de cod, în care variabila i este de tip întreg şi variabila s poate memora un şir

de cel mult 20 de caractere:

strcpy(s, "caiete") ;

for(i=0;i<strlen(s); i++)

if(strchr("aeiou", s[i]))

strcpy(s+i,s+i+1);

printf("%s",s); | cout<<s;

s:='caiete' ;

for i:= 1 to length(s) do

if pos(s[i],'aeiou')<>0 then

delete(s,i,1);

write(s);

Care este şirul afişat în urma executării secvenţei de cod?

ct cite cit cte

13. Se cunosc următoarele informaţii despre matricea de adiacenţă a unui graf neorientat: are 10 linii, are exact 24

de valori nenule şi suma elementelor pe fiecare coloană este mai mare sau egală cu 2. Care este valoarea maximă

pe care o poate avea gradul unui nod într-un astfel de graf?

6 nu există astfel de graf 9 8

14. Care este numărul de grafuri neorientate cu mulţimea nodurilor {1,2,3,4,5,6,7,8} în care atât nodurile 1 şi 2, cât

şi nodurile 1 şi 3 sunt neadiacente?

44 227 414-2 413

15. Fie G un graf neorientat conex care are exact două cicluri elementare. Ştiind că cele două cicluri elementare nu

au noduri în comun şi au lungimile a, respectiv b, care este numărul total de arbori parţiali ai grafului G?

a+b a·b (a-1)·(b-1) (a+1)·(b+1)

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

Universitatea din Bucureşti 16.07.2017

Facultatea de Matematică şi Informatică


Domeniul de licenţă - Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei


Toate secvențele de cod (C/C++/Pascal) din subiect folosesc variabile anterior declarate de tipul corespunzător. 1. Ştiind că în variabila întreagă x este memorat un număr natural de exact 4 cifre, stabiliţi care dintre următoarele

expresii este adevărată dacă şi numai dacă x este palindrom.

x/100 == x%100 x div 100=x mod 100

(x%10 == x/1000) && (x%100 == x/100) (x mod 10=x div 1000) and (x mod 100=x div 100)

x/100 == x%10*10 + x%100/10 x div 100=x mod 10*10+x mod 100 div 10

x%100 == x/100%10 + x/1000 x mod 100=x div 100 mod 10+x div 1000

2. Se consideră următoarea secvenţă de cod, în care variabilele k şi n sunt de tip întreg. k=0; while(n>0){ if(n%2==0) {k++; n=n/10; } else k--; n=n/10; }

k:=0; while n>0 do begin if n mod 2=0 then begin k:=k+1; n:=n div 10; end else k:=k-1; n:=n div 10; end;

Ştiind că n memorează un număr natural de 4 cifre, care dintre următoarele valori nu poate fi valoarea memorată de variabila k după execuţia acestei secvenţe de cod?

2 -1 -4 0

3. Se consideră următoarea secvenţă de cod, în care variabilele i,j,x,k sunt de tip întreg. k=0; x=1;j=1; for(i=1;i<=105;i++){ k++; if (k == j) {x++; k=0;j++;} }

k:=0; x:=1; j:=1; for i:=1 to 105 do begin k:=k+1; if k=j then begin x:=x+1; k:=0; j:=j+1; end; end;

Care este valoarea variabilei x după execuţia acestei secvenţe de cod?

10 14 15 105

4. Se dau matricele A și B de numere întregi. A are m linii și n coloane, B are n linii și p coloane. Numărul de înmulţiri elementare între elementele matricelor A și B realizate de algoritmul clasic de înmulţire a celor două matrice (bazat pe definiţia produsului a două matrice) este: m + n + p m*n + n*p m*n*p m + 2*n + p

5. În următoarea secvență de cod a este un vector ordonat crescător cu n elemente(primul element este pe pozitia 1). i = 1 ; s = 0 ; while (i<=n) { j = i + 1 ; while (j<=n && a[i] == a[j]) j++;

s++ ; i = j ;

}

i := 1 ; s := 0 ; while i <= n do begin j := i + 1 ; while (j<=n) and (a[i] = a[j]) do j := j + 1;

s := s + 1 ; i := j ;

end ;

Stabiliţi ce reprezintă valoarea memorată în variabila s şi ce tip de algoritm este din punct de vedere al complexităţii. numărul de elemente distincte din a / algoritm liniar numărul de elemente distincte din a / algoritm pătratic

numărul de valori consecutive din a / algoritm pătratic numărul de valori consecutive din a / algoritm liniar

6. Utilizând metoda backtracking se generează toate permutările mulțimii {1, 2, 3, 4, 5} în ordine lexicografică. Primele cinci soluții generate sunt 12345, 12354, 12435, 12453, 12534. Spunem că o permutarea p a mulțimii {1, 2, 3, 4, 5} are numărul de ordine k dacă este a k-a permutare generată astfel. Permutarea 12354 are numărul de ordine 2, iar permutarea 12534 are numărul de ordine 5. Care este numărul de ordine al permutării 51423?

101 100 103 105

7. Fie n>1 număr natural. Care este numărul minim de muchii ale unui graf neorientat cu 2n noduri care are exact două componente conexe, cele 2 componente conexe fiind grafuri complete? n(n-1) n(n-1)/2 2n(n-1) (2n-1)(n-1)

8. Într-un graf neorientat conex, distanța dintre două noduri u și v se definește ca fiind lungimea minimă a unui lanț de la u la v. Statusul unui nod v se definește ca fiind suma distanțelor de la v la celelalte noduri. Care este valoarea maximă pe care o poate avea statusul unui nod într-un graf conex neorientat cu n>1 noduri? n (n-1)2 n(n-1)/2 n(n+1)/2

A B

C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

C D B A

A B C D

A

B

C

D

A

B

C

D

9. Fie doi vectori a și b ordonați crescător cu na respectiv nb elemente. Prin algoritmul de interclasare se obține vectorul ordonat care conține toate elementele din a și b. Pe cazul cel mai favorabil, numărul minim de comparații între elementele celor doi vectori este:

min(na,nb) max(na, nb) na + nb (na + nb)/2

10. Se consideră următoarea secvenţă de cod, în care variabilele i și j sunt de tip întreg şi variabila s poate memora un şir de cel mult 20 de caractere: strcpy(s,"calculatoare"); i=0; j=strlen(s); while(j>i){ j=j-i;i++; } i=strchr(s,s[i])-s+1;

s:='calculatoare' ; i:=0; j:=length(s); while j>i do begin j:=j-i; inc(i); end; i:=pos(s[i+1],s);

Care este valoarea memorată în variabila i după executarea secvenţei de cod?

1 2 3 5

11. Se consideră o stivă şi o coadă iniţial vide. Se introduc pe rând în coadă primele 5 pătrate perfecte nenule, în ordine crescătoare. Se extrag apoi din coadă două elemente și se adaugă în stivă, în ordinea în care au fost extrase. Care este elementul din vârful stivei după executarea acestor operaţii?

1 4 25 9

12. În următoarea secvență de cod, x este o variabilă care memorează un număr întreg, st, dr, mijl și gasit sunt variabile de tip întreg, iar v este un vector cu 20 elemente numere întregi, primul element fiind pe poziția 1. Vectorul v are elementele ordonate crescător. Secvența de cod caută numărul memorat în x în vectorul v, folosind metoda căutării binare. st=1; dr=20;gasit=0; while((st<=dr) && (gasit==0)){ mijl=(st+dr)/2; printf(“%d “, v[mijl]); | cout<<v[mijl]<<" "; if(v[mijl]==x) gasit=mijl; else if(v[mijl]>x) dr=mijl-1; else st=mijl+1; }

st:=1; dr:=20;gasit:=0; while (st<=dr) and (gasit=0) do begin mijl:=(st+dr) div 2; write(v[mijl],' '); if v[mijl]=x then gasit:=mijl else if v[mijl]>x then dr:=mijl-1 else st:=mijl+1; end;

Care dintre următoarele variante nu poate fi rezultatul afişat de această secvenţă de cod?

10 20 30 10 15 20 16 18 10 25 17 11 25 10

13. Fie v un vector de n elemente întregi, pe poziții numerotate de la 1 la n și secvența de cod de mai jos care realizează ordonarea crescătoare a elementelor acestuia.

for (i = 1; i<n;i++) for (j = i+1; j<=n; j++) if (v[i] > v[j]) { aux = v[i]; v[i] = v[j]; v[j] = aux; }

for i := 1 to n-1 do for j : = i+1 to n do if v[i] > v[j] then begin aux := v[i]; v[i] := v[j]; v[j] := aux; end;

Numărul de comparații între elementele lui v realizat de algoritmul de mai sus pe cazul cel mai favorabil este:

n 0 n-1 n(n-1)/2

14. Care este numărul maxim de frunze ale unui arbore binar (fiecare nod are cel mult 2 fii) cu 67 de noduri?

8 36 34 66

15. Se consideră următoarea funcţie: int calc(int n,int d){ if(n<=2) return d; if(n%d==0) return calc(n/d,d); else return calc(n,d+1); }

function calc(n:integer ; d:integer):integer; begin if n<=2 then calc:=d else if n mod d=0 then calc:=calc(n div d,d) else calc:=calc(n,d+1); end ;

Ce returnează apelul calc(n,2), unde n este un număr natural cu n > 1 ?

cel mai mare divizor al lui n cel mai mare divizor prim al lui n puterea la care apare 2 în descompunerea în factori primi a lui n n - 1

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B

C D

A B C D

A B C D

INFORMATICĂ – VARIANTA 1

1. În următoarea secvență de cod variabilele p, m și s sunt de tip întreg.

p=10; m=12345; s=0;

while(m>0){

p=p*10; s=s+m%p; m=m/p;

}

p:=10; m:=12345; s:=0;

while m>0 do begin

p:=p*10; s:=s+m mod p; m:=m div p;

end;

Care este ultima cifră (a unităților) a valorii memorate în s la sfârșitul execuției acestei secvențe de cod?

a) 7 b) 5 c) 8 d) 9

2. În următoarea secvență de cod variabilele x și k sunt de tip întreg. Înainte de executarea acestei secvențe de cod,

k este strict mai mare decât x. Stabiliți care este valoarea expresiei abs(k – x) la sfârșitul executării secvenței,

unde abs este o funcție care returnează modulul unui număr întreg primit ca parametru.

while (k > x – 3)

k--;

x++; k--;

while k > x – 3 do

k := k – 1;

inc(x); dec(k);

a) 5 b) 4 c) 2 d) 1

3. În următorul algoritm descris în pseudocod, v este un vector de n elemente întregi, primul element fiind pe

poziția 1. Se notează prin operația de interschimbare.

pentru j 1, 2 execută

pentru i 1, n-1 execută

dacă v[i] > v[i+1] atunci

v[i] v[i+1]

Care este numărul maxim de interschimbări ce se pot realiza prin executarea algoritmului pentru n=5?

a) 10 b) 8 c) 7 d) 9

4. În următorul algoritm a este o matrice cu n linii și n coloane având elemente întregi; liniile și coloanele matricei a

sunt numerotate de la 1 la n. Variabilele i, j, s sunt de tip întreg.

s=0; i=1;

while(i<=n){

j=n;

while(j>=1){

if(i==j)

s = s + a[i][j];

j--;

}

i++;

}

s:=0; i:=1;

while i<=n do begin

j:=n;

while j>=1 do begin

if i=j then

s := s + a[i,j];

dec(j);

end;

inc(i);

end;

Stabiliți ce reprezintă valoarea memorată în variabila s la finalul execuției algoritmului și care este

complexitatea algoritmului.

a) suma elementelor de pe diagonala principală / O(n) b) suma elementelor de pe diagonala secundară / O(n)

c) suma elementelor de pe diagonala principală / O(2n) d) suma elementelor de pe diagonala principală/ O(n2)

5. Se consideră următorul subprogram:

int doi(int n){

int p=1;

while(n>1){

n=n/2; p++;

}

return p;

}

function doi(n:integer):integer;

var p:integer;

begin

p:=1;

while n>1 do

begin

n:=n div 2; p:=p+1;

end;

doi := p;

end;

Pentru un număr real x notăm cu [x] partea sa întreagă. Care afirmație este valabilă pentru valoarea returnată de

apelul doi(n), unde n este un număr natural strict pozitiv ? a) este egală cu [log2(n)] b) este egală cu puterea la care apare 2 în descompunerea în

factori primi a lui n

c) este egală cu [log2(n)] + 1 d) este un număr nenul dacă și numai dacă n este putere a lui 2

6. Câți dintre următorii vectori nu pot reprezenta vectorul de tați al unui arbore cu rădăcină?

(3, 4, 0, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 1) , (0, 6, 1, 2, 8, 4, 1, 1, 1, 1), (0, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

7. Fie G un graf neorientat cu n > 2 noduri şi m muchii. Numărul de subgrafuri ale lui G cu cel puțin două noduri

este:

a) 2m

– 1 b) 2n – n – 1 c) 2

n – n d) 2

m – 2

8. Care sunt numărul minim și numărul maxim de arce ale unui graf orientat tare conex cu 10 vârfuri?

a) 10 și 45 b) 9 și 45 c) 10 și 90 d) 9 și 90

9. Generarea folosind metoda backtracking a tuturor șirurilor de 3 elemente, fiecare element putând fi orice număr

din mulțimea {1, 2, 3, 4, 5}, se realizează cu ajutorul unui algoritm echivalent cu cel de generare a:

a) permutărilor b) aranjamentelor c) combinărilor d) produsului cartezian

10. Se consideră două variabile globale x si y, ambele inițializate cu valoarea 1 și următorul subprogram:

void f(int x){

x+=3;

y=--x;

}

procedure f(x:integer) ;

begin

inc(x,3); x:=x-1; y:=x;

end;

Care sunt valorile variabilelor globale x şi y după execuția apelului f(2)?

a) 4 și 4 b) 4 și 5 c) 3 și 3 d) 1 și 4

11. Dacă G este un graf neorientat eulerian cu 10 noduri şi 16 muchii şi lista de adiacenţă a fiecărui nod din G este

formată din cel puțin un element, atunci câte dintre afirmațiile de mai jos sunt adevărate?

G este conex

G are cel puțin un nod de grad egal cu 2

G este hamiltonian

G nu conține cicluri elementare de lungime 3.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

12. Se consideră funcția f definită mai jos. Ce valoare va returna f(1,2)?

int f(int m, int n)

{

if (m==0) return n+1;

if (m>0 && n==0) return f(m-1,1);

if (m>0 && n>0) return f(m-1,f(m,n-1));

}

function f (m,n:integer): integer;

begin

if m=0 then f:= n+1;

if (m>0) AND (n=0) then f:= f(m-1,1);

if (m>0) AND (n>0) then f:= f(m-1,f(m,n-1));

end;

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4

13. Fie f și g două subprograme cu definițiile de mai jos. Ce valoare va returna apelul g(6)?

int f(int x){

if (x%2==0)

return f(x/2);

else return x;

}

int g(int x){

if(x<1) return 1;

else return f(x*g(x-1));

}

function f (x:integer): integer;

begin

if x mod 2=0 then f:= f(x div 2)

else f:= x;

end;

function g(x:integer): integer;

begin

if x < 1 then g:=1

else g:= f(x*g(x-1));

end;

a) 315 b) 3 c) 45 d) 15

14. Fie A, B şi C 3 stive iniţial vide. Se consideră că, în oricare dintre cele 3 stive, o valoare poate fi adăugată doar

dacă este strict mai mică decât valoarea aflată în vârf sau dacă stiva este vidă. Printr-o mutare a unei valori

înțelegem scoatere ei dintr-o stivă și adăugarea ei în altă stivă. Dacă în stiva A sunt introduse pe rând numerele 5,

4, 3, 2, 1 în această ordine, care este numărul minim de mutări de valori folosind cele 3 stive în urma cărora stiva

B conține toate elementele care inițial erau în stiva A.

a) 5! b) 25 c) 2

5 - 1 d) 10

15. Se dau mulțimile A și B având același număr n de elemente. Reprezentăm mulţimile prin vectori sortați crescător.

Care este complexitatea algoritmului optim de aflare a intersecției celor două mulțimi?

a) O(n2) b) O (n log(n)) c) O(n) d) O(log(n))

1

INFORMATICĂ – Varianta 1

În cele ce urmează se consideră: 1) x mod y - restul împărțirii lui x la y; 2) x div y – câtul împărțirii lui x la y; 3) ← înseamnă atribuire; 4) = semnifică verificarea egalității; 5) 𝑀!×! – M este matrice cu l linii și c coloane, 𝑀!" este elementul matricei M corespunzător liniei i și coloanei j, numerotarea liniilor și a coloanelor începe de la 1.

1. Se dă matricea 𝐴!×! (A este matrice cu n linii și n coloane ) cu n > 0 și secvența de pseudocod următoare: pentru i ← 1, n execută

pentru j ← 1, n execută

𝐴!" ← (i+j) mod n

Suma elementelor de pe diagonala secundară a matricei A în urma execuției secvenței va fi: a) n(n+1) b) n c) n2 d) 0

2. Fie v un vector ce conține toate numerele naturale de la 99 la 1, ordonate descrescător. Numim inversiune a lui v o pereche (i, j) cu proprietatea că i < j și v[i] > v[j]. Câte inversiuni are vectorul v?

a) 5050 b) 4950 c) 4851 d) 4753

3. Se consideră algoritmul următor, scris în pseudocod: citește z, y, x (numere naturale)

cât timp y > 0 execută

dacă z = y - x atunci

scrie y mod 10

x ← y

citește y

Care dintre următoarele variante poate fi rezultatul afişat de această secvenţă de cod? a) 5815 b) 4321 c) 5816 d) 9357

4. Fie C o coadă inițial vidă. La fiecare pas i, i ≥ 1, se introduc în coadă 2*i valori și se extrag i valori. Câte elemente vor fi în coadă după executarea primilor 10 pași?

a) 66 b) 45 c) 55 d) 50

5. În pseudocodul următor x și y sunt numere naturale: subprogram f(x, y)

dacă x = 0 atunci

scrie y

dacă x mod 3 > 0 atunci

apelează f(x div 3, y+1)

Pentru câte valori ale lui x din mulțimea {2019, 1321698, 78320103} subprogramul nu afișează nimic la apelare: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

6. Fie matricele 𝐴!×!, 𝐵!×!, 𝐶!×!, 𝐷!×!. Folosind proprietatea de asociativitate a înmulțirii matricelor se poate determina numărul minim x de înmulţiri între elementele matricelor necesare pentru a calcula 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 × 𝐷. Valoarea lui x este:

a) 60 b) 66 c) 48 d) 64

7. Se dă vectorul v ce conține numerele naturale de la 1 la n în ordine crescătoare (n ≥ 100, n este par). Pentru câte numere naturale x căutarea binară a lui x în v se încheie după accesarea a cel mult două elemente din v?

a) 1 b)[ 𝑙𝑜𝑔!𝑛 ] c) 3 d) [n/2]

8. În pseudocodul următor v este un vector cu n elemente numerotate de la poziția 1, iar s și d sunt numere naturale. Cu ce secvenţă de instrucțiuni se pot înlocui punctele de suspensie astfel încât la apelul suma(v,1,n) subprogramul să returneze suma elementelor vectorului v?

subprogram suma(v, s, d)

dacă s = d atunci

returnează ……

altfel

returnează suma(v, s, (s+d) div 2)+suma(v, (s+d) div 2 + 1,d)

a) v[(s+d) div 2 - 1] b) 0 c) v[s] d) v[(s+d) div 2 + 1]

2

9. În pseudocodul următor n, s, i, j, k sunt numere naturale: citește n s ← 0

pentru i ← 1, n * n execută pentru j ← 1, i div 2 execută s ← s + i + j

k ← 1

cât timp k < j execută s ← s + k

k ← k * 2

scrie s

Care este complexitatea secvenței de cod anterioare? a) O(n3 ) b) O (n3 log n) c) O(n2 log n) d) O(n4)

10. Se consideră algoritmul următor, scris în pseudocod, unde x, p și n sunt numere naturale: citește n (număr natural)

x ← 0

p ← 1

cât timp n > 0 execută

x ← x + (n mod 10 - n mod 2)*p

p ← p * 10

n ← n div 10

scrie x

Câte dintre numerele din intervalul [1,10000] nu pot fi afișate folosind algoritmul dat? a) 2500 b) 736 c) 9376 d) 624

11. Fie G graf neorientat, cu toate nodurile având grad par nenul. Câte dintre următoarele afirmații sunt adevărate: 1) G este hamiltonian; 2) G este eulerian; 3) G conține cel puțin un lanț elementar de lungime 3; 4) G are cel puțin un ciclu?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

12. Care este numărul maxim de muchii pentru un lanț elementar într-un arbore cu rădăcină ce are 1093 de noduri, în care fiecare nod intern are exact 3 fii? a) [log31093] b) 2*([log3(2*1093+1)]-1) c) 3*[log31093] d) 2*[log31093]+1

13. Care este numărul de cicluri elementare (ce nu conțin același nod de mai multe ori) de lungime impară ale grafului complet cu 17 noduri?

a) 55196 b) 65159 c) 96559 d) 65519

14. Fie mulțimea de litere A = {a, b, c, d, e, i}. Cu ajutorul metodei backtracking se construiesc toate secvențele formate din 5 litere distincte (din mulțimea A) ce nu conțin două vocale alăturate. Câte soluții vor fi generate?

a) 562 b) 224 c) 252 d) 256

15. Fie următoarea secvență de cod: C/C++

char s[16]="Examen-C.-T.-I.", *p, c1, c2; p=strchr(s,'-'); c1=s[p-s+1]; cout<<s[p-s+1]<<s[p-s]; | printf(“%c%c”, s[p-s+1],s[p-s]); while(p) { c2=c1;

c1=s[p-s+1]; p=strchr(p+1,'-'); }

cout<<c1<<c2<<"2019"; | printf(“%c%c2019”,c1,c2);

Pascal

var s,s1:string[255]; p: integer; c1,c2:char; begin s:='Examen-C.-T.-I.'; p:=pos('-',s); c1:=s[p+1]; write(s[p+1],s[p]); while p<>0 do begin c2:=c1; c1:=s[p+1];

s:=copy(s,p+1,length(s)-p); p:=pos('-',s); end; write(c1,c2,'2019'); end.

Ce se afișează în urma rulării secvenței? a) IT-C2019 b) CTI-2019 c) T.I.2019 d) C-IT2019

1 D 1 C 1 C 1 A

2 C 2 A 2 D 2 D

3 B 3 D 3 B 3 A

4 D 4 C 4 A 4 C

5 B 5 A 5 D 5 A

6 A 6 C 6 B 6 A

7 A 7 B 7 C 7 B

8 B 8 B 8 D 8 C

9 B 9 C 9 D 9 D

1 C 1 D 1 A 1 B

2 A 2 B 2 C 2 D

3 C 3 D 3 A 3 B

4 A 4 B 4 C 4 D

5 A 5 B 5 C 5 D

6 A 6 B 6 C 6 D

7 B 7 C 7 D 7 A

8 B 8 C 8 D 8 A

9 A 9 B 9 C 9 D

Varianta 1 Varianta 2 Varianta 4

Informatica

Fizica

Varianta 1 Varianta 2 Varianta 3 Varianta 4

Varianta 3

2012

Universitatea din Bucuresti 21.07.2013Facultatea de Matematica si Informatica

Concursul de admitere iulie 2013Domeniul de licenta – Calculatoare si Tehnologia Informatiei

Barem

Varianta I Varianta a II-a

Algebra1 C2 C3 B4 C5 A6 A7 D8 A9 A

Analiza1 B2 C3 A4 B5 D6 C7 B8 A9 D

Geometrie1 B2 D3 A4 A5 D6 B7 B8 D9 D

Informatica1 D2 A3 C4 B5 C6 C7 B8 A9 B

Fizica1 A2 C3 D4 A5 C6 A7 B8 B9 C

Algebra1 D2 D3 A4 D5 B6 B7 C8 B9 B

Analiza1 A2 D3 B4 A5 C6 D7 A8 B9 C

Geometrie1 A2 C3 B4 B5 C6 A7 A8 C9 C

Informatica1 C2 B3 D4 A5 D6 D7 A8 B9 A

Fizica1 B2 D3 C4 B5 D6 B7 A8 A9 D

Varianta a III-a Varianta a IV-a

Algebra1 A2 A3 D4 A5 C6 C7 B8 C9 C

Analiza1 D2 A3 C4 D5 B6 A7 D8 C9 B

Geometrie1 D2 B3 C4 C5 B6 D7 D8 B9 B

Informatica1 B2 C3 A4 D5 A6 A7 D8 C9 D

Fizica1 C2 A3 B4 C5 A6 C7 D8 D9 A

Algebra1 B2 B3 C4 B5 D6 D7 A8 D9 D

Analiza1 C2 B3 D4 C5 A6 B7 C8 D9 A

Geometrie1 C2 A3 D4 D5 A6 C7 C8 A9 A

Informatica1 A2 D3 B4 C5 B6 B7 C8 D9 C

Fizica1 D2 B3 A4 D5 B6 D7 C8 C9 B

Universitatea din Bucuresti 20.07.2014Facultatea de Matematica si Informatica

Concursul de admitere iulie 2014Domeniul de licenta – Calculatoare si Tehnologia Informatiei

Barem

Varianta I Varianta a II-a

Algebra1 B2 D3 B4 C5 D6 A7 C8 A9 A

Analiza1 D2 A3 B4 B5 C6 B7 D8 A9 C

Geometrie1 B2 C3 D4 A5 A6 B7 A8 D9 D

Informatica1 C2 A3 C4 B5 D6 B7 D8 B9 C

Fizica1 A2 C3 D4 A5 B6 D7 A8 B9 C

Algebra1 C2 A3 C4 D5 A6 B7 D8 B9 B

Analiza1 C2 C3 A4 D5 A6 C7 B8 B9 D

Geometrie1 C2 D3 A4 B5 B6 C7 B8 A9 A

Informatica1 B2 C3 D4 D5 A6 A7 B8 A9 D

Fizica1 B2 D3 A4 B5 C6 A7 B8 C9 D

Varianta a III-a Varianta a IV-a

Algebra1 D2 B3 D4 A5 B6 C7 A8 C9 C

Analiza1 B2 A3 A4 C5 D6 D7 D8 B9 C

Geometrie1 D2 A3 B4 C5 C6 D7 C8 B9 B

Informatica1 A2 D3 A4 C5 B6 C7 C8 D9 A

Fizica1 C2 A3 B4 C5 D6 B7 C8 D9 A

Algebra1 A2 C3 A4 B5 C6 D7 B8 D9 D

Analiza1 D2 A3 C4 C5 B6 D7 B8 A9 A

Geometrie1 A2 B3 C4 D5 D6 A7 D8 C9 C

Informatica1 D2 B3 B4 A5 C6 D7 A8 C9 B

Fizica1 D2 B3 C4 D5 A6 C7 D8 A9 B




Matematică / Informatică / Fizică

Barem (toate variantele)


M I F

1 B C A

2 C B C

3 C C D

4 D B C

5 A D B

6 A C C

7 D B C

8 B D D

9 A C C

10 C A B

11 B C C

12 C C D

13 D C A

14 C C C

15 C A B

M I F

1 A A C

2 D D B

3 A C C

4 D B D

5 A D C

6 A B D

7 C B A

8 D D B

9 B B B

10 A A B

11 D A A

12 C B C

13 A C B

14 B A C

15 D C A

M I F

1 B D D

2 B B B

3 C C A

4 A C A

5 C C D

6 A A D

7 D D A

8 D D A

9 C A D

10 D C A

11 D B B

12 A B D

13 B B A

14 C C B

15 B C C

M I F

1 C C D

2 D B B

3 A B B

4 D D D

5 D A A

6 C D A

7 A D D

8 B A A

9 D C A

10 C A A

11 C C D

12 A A C

13 D B B

14 D B B

15 B C C







M I F

1 A C B

2 B B D

3 C B B

4 B B B

5 D B A

6 C A A

7 B A C

8 D B A

9 C C D

10 B C D

11 A B A

12 B C C

13 C A C

14 D D D

15 C B A

M I F

1 B A D

2 A A B

3 C D B

4 B C A

5 A D A

6 D C D

7 A D C

8 B A D

9 C B C

10 B A D

11 D C A

12 A A D

13 B D B

14 A A D

15 C D C

M I F

1 C B C

2 D C B

3 A B C

4 B D D

5 A A A

6 C D A

7 D D D

8 A C A

9 D A A

10 B A D

11 A A C

12 D A A

13 B B B

14 A B B

15 D C B

M I F

1 B D A

2 C D D

3 D C D

4 A A A

5 D D B

6 D B D

7 C B D

8 A D D

9 D D B

10 C C B

11 B D B

12 C B D

13 D D D

14 C C A

15 A A C







M I F

1 C C A

2 D D A

3 A C A

4 C C B

5 B A C

6 A A C

7 C A D

8 B C B

9 B A A

10 D C C

11 C B C

12 C D B

13 B D D

14 B C B

15 A B D

M I F

1 D D A

2 B D A

3 A A B

4 A D A

5 C B D

6 B A C

7 B D A

8 A B A

9 A D C

10 D C D

11 B D C

12 C B B

13 D B D

14 B C A

15 A A B

M I F

1 A B D

2 A C D

3 D D C

4 D C B

5 C A B

6 A D A

7 B A A

8 C C D

9 A A D

10 D B A

11 C A A

12 A C B

13 D A C

14 D B D

15 B A D

M I F

1 B D A

2 C B C

3 C A C

4 D A D

5 D C D

6 A B D

7 C C B

8 B D B

9 C C A

10 D B C

11 B B D

12 C D B

13 A B D

14 D D B

15 D B A







M I F 1 C C A 2 D A C 3 B C D 4 C D A 5 A C A 6 C B A 7 A B A 8 D C D 9 B D C

10 A D D 11 B B D 12 C D C 13 C C A 14 D C A 15 B C B

M I F 1 B C B 2 D D B 3 C A B 4 A D B 5 D D B 6 A A D 7 B A D 8 B B D 9 C D A

10 A D C 11 B A A 12 C C B 13 A D B 14 B C A 15 D D A

M I F 1 D A C 2 A B A 3 A A A 4 B A C 5 D B D 6 A A C 7 B D C 8 D D C 9 A D B

10 C A A 11 A A C 12 C A B 13 B B B 14 D B C 15 C C B

M I F 1 B B A 2 A B C 3 C B B 4 D C D 5 C B B 6 B A D 7 D C C 8 D C B 9 B C D

10 D B D 11 A D C 12 A B D 13 C B D 14 C A D 15 D A C







M I F 1 C B D 2 A C C 3 B B C 4 C C D 5 D D A 6 D A B 7 A C B 8 C C D 9 B D B

10 B C A 11 C A C 12 B B A 13 D D D 14 A C A 15 D D C

M I F 1 B D D 2 D D A 3 D D B 4 A B D 5 C D A 6 B C B 7 C A C 8 A A A 9 D B B

10 C A D 11 A A C 12 C C D 13 A D B 14 B D C 15 B C A

M I F 1 A A D 2 D B C 3 C A C 4 B D A 5 A A B 6 B D B 7 B A B 8 C C D 9 A B C

10 C A A 11 A A B 12 C B C 13 B B D 14 D C A 15 D D A

M I F 1 C B B 2 A C D 3 A C A 4 B B A 5 D C D 6 D A B 7 B D C 8 A B D 9 D C B

10 C A B 11 D B A 12 B B C 13 A A D 14 C D C 15 B B C

SUBIECTE LICEN˜Ă · 2020. 2. 26. · mai sus, S(m) poate genera permutari cu˘ n elemente, dar nu...

Documents

Transcript of SUBIECTE LICEN˜Ă · 2020. 2. 26. · mai sus, S(m) poate genera permutari cu˘ n elemente, dar nu...