Controlul Sistemelor Auto 2011-2012 Laborator 2

1

STRUCTURI DE REGLARE CU REGULATOARE PID

Obiectiv: Lucrarea de faţă îşi propune studiul metodelor de acordare ale regulatoarelor PID pentru sistemele de reglare automată. Se vor prezenta următoarele metode:

Criterii experimentale de acordare, în circuit deschis bazate pe răspunsul la semnal treaptă

Proiectarea regulatoarelor numerice bazate pe modelul discret al partii fixate. I. Consideratii teoretice

Legile de reglare tipizate sunt des utilizate în aplicaţiile industriale datorită bunei cunoaşteri a acestora, implementării uşoare şi posibilităţilor de reglare şi acordare prin metode clasice, precum şi gradului ridicat de robusteţe conferit buclei de reglare. În plus, legile de reglare tipizate au structură fixă, lucru care permite standardizarea constructivă a echipamentului de reglare. Obţinerea unor performanţe satisfăcătoare necesită însă o reacordare periodică a regulatoarelor PID. Algoritmul de reglare PID folosit în aplicaţiile industriale prezintă următoarele forme: - forma standard, denumită şi forma ISA sau PID fără interinfluenţă:

)(11)( sEsTsT

KsU di

R ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ,

unde: U(s) = transformata Laplace a mărimii de comandă (mărimea de ieşire din regulator), E(s) = transformata Laplace a erorii (mărimea de intrare în regulator), KR = factorul de proporţionalitate al regulatorului (introduce componenta

proporţională P), Ti = constanta de timp de integrare (introduce componenta integrală I), Td = constanta de timp de derivare (introduce componenta derivativă D);

- forma PID serie, denumită şi PID cu interinfluenţă:

( ) )(111)( ''

' sEsTsT

KsU di

R +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= ,

unde parametrii regulatorului pot fi calculaţi cu ajutorul formulelor:

'

'''

i

diRR

T

TTKK

+= , ''

dii TTT += , ''

''

di

did

TT

TTT

+= .

- forma PID paralel, utilizată şi în simulările din mediul MATLAB:

)()( sEsKs

KKsU d

i ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= ,

unde parametrii regulatorului pot fi calculaţi cu ajutorul formulelor: KK R = , ii KKT /= , KKT dd /= .

Se observă că toate cele trei legi de reglare sunt irealizabile fizic. Pentru a îndeplini condiţia de realizabilitate fizică şi pentru a limita amplificarea frecvenţelor înalte (zgomote) de către componenta derivativă, se introduce un element de filtrare de ordinul I, având

constanta de timp dTα , termenul derivativ devenind d

dTs

sTα+1

. Pentru alfa = 0.1 elementul

de filtrare are o influenţă neglijabilă asupra performanţelor sistemului de reglare automată. Acordarea se realizează cu scopul îndeplinirii criteriului de performanţă “amortizare la sfert de amplitudine”. Acest criteriu impune pentru sistemul automat o formă a răspunsului

Controlul Sistemelor Auto 2011-2012 Laborator 2

2

indicial caracterizată de un raport 1/4 între două maxime succesive (factor de amortizare 0.25). Amortizarea la sfert de amplitudine este un indice global de calitate a regimului tranzitoriu determinând pentru sistemul automat o rezervă de stabilitate suficient de bună, fără a asigura obţinerea suprareglării, respectiv timpului de răspuns impuse tehnologic. În aceste condiţii criteriile de acordare Ziegler-Nichols trebuie privite ca realizând o acordare preliminară a regulatorului, iar în vederea obţinerii performanţelor specificate urmând să se facă necesarele corecţii ale parametrilor de acord. II. Criteriul Ziegler-Nichols bazat pe răspunsul la semnal treaptă

Una din metodele Ziegler-Nichols de acordare a regulatoarelor PID este bazată pe

observarea răspunsului la un semnal treaptă de amplitudine uΔ a părţii fixate şi aproximarea pe perioada regimului tranzitoriu cu răspunsul unui sistem de ordinul I cu timp mort. Astfel procesul este caracterizat de 3 parametrii prin funcţia de transfer:

sT

r

pp

uesT

KsG −

⋅+=

1)(

unde: Kp - este factorul de amplificate a sistemului (G(0)) Tr – constanta de timp a sistemului Tu – timpul mort a sistemului

Fig. 1. Raspunsul la semnal trepta

Parametrii sistemului pot fi uşor determinaţi grafic de pe reprezentarea răspunsului la semnal treaptă ca în figura 1. Astfel, se trasează tangenta în punctul de inflexiune (de pantă maximă) al răspunsului, iar punctele de intersecţie ale acesteia cu cele două axe determină valorile parametrilor Tu şi Tr. Valorile parametrilor de acord ai regulatorului PID se determină direct funcţie de parametrii Tu,Tr şi Kp din tabelul 1.

Tabelul 1 P

TuKpTr⋅⋅1

- -

PI TuKpTr⋅⋅9.0

Tu⋅33.0 -

PID TuKpTr⋅⋅2.1

Tu⋅2 Tu⋅5.0

Controlul Sistemelor Auto 2011-2012 Laborator 2

3

III. Proiectarea regulatoarelor numerice bazate pe modelul discret al partii fixate

In unele aplicaţii practice utilizarea unor legi de reglare tipizate acordate experimental nu corespunde satisfacerii unor performanţe impuse tehnologic: suprareglare, durata regimului tranzitoriu, eroare staţionară de poziţie (la intrări de tip treaptă), eroare staţionară de viteză (la intrări de tip rampă). Se propune, în aceste cazuri, proiectarea analitică a regulatorului automat in funcţie de modelul matematic cunoscut al instalaţiei reglate (determinat prin identificare) şi performanţele impuse buclei de reglare. In structura unui sistem de conducere automata regulatorul PID se regaseste fie ca echipament de sine statator, fie ca pachete software, in sistemele de conducere numerica. Odata cu dezvoltarea tehnicii de calcul, implementarea legii de reglare PID se face folosind procesoare numerice de semnal. Pentru a implementa legea de reglare PID continua pe un echipament digital, este necesara discretizarea algoritmului.

Fig. 2. Discretizarea semnalelor

T0 –perioada de esantionare u(k), y(k) –semnale de intrare/iesire esantionate la momente discrete de timp

Optimizarea parametrilor de acord ai unui regulator PID numeric include si alegerea optima a perioadei de esantionare. Criteriile utilizate pentru alegerea perioadei de esantionare: performantele impuse sistemului de reglare, dinamica procesului, tipul elementului de executie, echipamentul de masura, spectrul de frecventa al perturbatiilor, modelul procesului si eficienta economica. Alegerea perioadei de esantionare se face tinand cont de teorema lui Shannon conform careia T0 nu poate fi mai mare decat jumatate din cea mai mica constanta de timp a procesului. Mecanismul de esantionare prin care se determina valorile discrete y(k) ale masurii, introduce efectul de aliasing care trebuie compensat prin introducerea unui filtru analogic eliminand astfel toate componentele semnalului cu frecvente mai mari decat jumatatea frecventei de esantionare.

Calculul aproximativ al solutiei u(t) la momentele de esantionare k T0 se poate realiza cu metode de discretizare aproximativa. Pentru sistemele automate se utilizeaza frecvent trei tehnici de discretizare: metoda dreptunghiului in avans, metoda dreptunghiului si metoda trapezului (Tustin):

1

10 0

1 1z zsT z T

−

−

− −→ = metoda dreptunghiului in avans

1

0 0

1 1z zszT T

−− −→ = metoda dreptunghiului

1

10 0

2 1 2 11 1

z zsT z T z

−

−

− −→ =

+ + metoda trapezului

Folosind cele trei metode aproximative de discretizare se poate afla forma discreta atat a partii fixate cat si a algoritmului PID.

u(kt)

T0 2T0 3T0 System u(kT0) y(t y(kT0u(t

t

y(kT0)

T0 2T0 3T0

Controlul Sistemelor Auto 2011-2012 Laborator 2

4

Metoda alocării este o metodă de proiectare analitică şi constă în transpunerea performanţelor impuse într-o anumită repartiţie a polilor şi zerourilor funcţiei de transfer a sistemului în buclă închisă.

Cunoscând modelul discret al părţii fixate 1( )fG z− se proiectează structura şi

parametrii regulatorului 1( )RG z− astfel încât răspunsul sistemului automat obţinut, având schema bloc prezentată în Fig. 2, să satisfacă un set de performanţe impuse:

- suprareglarea: impusσσ ≤ ;

- durata regimului tranzitoriu: impustt tt ≤ ;

- lărgimea de bandă: impusBB ωω ≤ ;

- eroarea de poziţie: 0=pε ;

- eroarea de viteză: impusvv εε ≤ . Peformantele de regim tranzitoriu se pot calcula cu urmatoarele relatii:

Suprareglarea este descrescătoare în raport cu factorul de amortizare ξ:

21 ξ

πξ

σ −

−

= e Timp creştere:

ncresteret ω/8.1≈ Timp răspuns:

ξω

ξω

nraspuns

nraspuns

t

t

3

4

%5

%2

≈=

≈=

pentru 0.4<ξ<0.7

nraspunst

ωξ6%5 ≈ , pentru 0.7<ξ<1

Uzual, valoarea parametrului ζ se alege 707.02/2 ≅≥ζ , alegere ce determină o suprareglare %32.4≤σ .

1( )RG z − 1( )fG z−

y(k) r(k) u(k) ε(k) + -

Fig. 3. Structura de reglare automata folosita pentru determinarea regulatorului discret

Determinarea parametrilor regulatorului discret prin metoda alocarii se face respectand urmatoarea metodologie: 1. Determinarea modelul matematic in domeniul discret al procesului :

( )1 1 ( 1)

1 1

1 1 ( 1)0 1 1

1 ( 1)10 1 1

1 ( 1)1 1

( ) 1

( )

( ) ( )( ) 1

n nn n

d m mm m

m md m m

n nn n

A z a z a z a z

B z z b b z b z b z

b b z b z b zY z z G zU z a z a z a z

− − − − −−

− − − − − −−

− − − −− −−

− − − −−

= + + + +

= + + +

+ + += =

+ + + +

L

K

K

L

Controlul Sistemelor Auto 2011-2012 Laborator 2

5

2. Alegerea algoritmul PID standard in domeniul discret:

1

22

110

1

11

1)()()( −

−−

−

−−

−++

==z

zqzqqzPzQzGR

2. Determinarea functiei de transfer in circuit inchis si a polinomului caracteristic:

d

d

fR

fR

zzBzQzAzPzzBzQ

zGzGzGzG

zG −−−−−

−−−

+=

+=

)()()()()()(

)()(1)()(

)( 1111

11

0

Polinomul caracteristic corespunzator sistemului in circuit inchis:

)...)((

)...1)(1()(1

12

21

10

11

110

mm

mnc

zbzbzqzqq

zazazzP−−−−

−−−−

+++++

++++−=

Parametri de acord ai regulatorului PID discret- q0, q1, q2 se determina pe baza performanţelor impuse structurii de reglare automata. 4. Pentru satisfacerea performanţelor 0,, =pB εωσ se propune ca SRA să aibă polinomul caracteristic dorit de forma:

22

1 23

( ) ( ) ( )m

cd ii

P z z z zα α α+

=

= + + −∏

Conditia de realizabilitate fizica este indeplinita daca:

0( ) ( ) 2cd cn m grad P grad P m≥ ⇒ = = +

Coeficientii polinomului caracteristic dorit sunt determinati cu relatiile: ( )

2,3,

1cos22

2

21

+==

=

−−=

−

−

−

mie

e

Te

pTi

T

nT

n

n

α

α

ζωαζω

ζω

unde np ω⋅≥ 5 se considera pol indepartat introdus suplimentar pentru a indeplini conditia de la punctul 4., influenta acestuia asupra performantelor sistemului fiind neglijata.

Din conditia )()(0 zPzP cdc ≡ rezultă m+2 ecuaţii cu 3 necunoscute (q0, q1, q2); Pentru m=1⇒ solutie unica

Dacă m=2 sistemul este nedeterminat şi se alege regulatorul PID cu filtrarea

componentei derivative:

In variabila discreta 1−z , eng.“backward shift operator”: )1)(1(

)( 11

22

1101

−−

−−−

−−++

=zzzqzqqzG

dR α

sau

In variabila discreta z , eng.“forward shift operator”:))(1(

)(2

210

pzzzczcc

zGR +−++

=

Daca m>2⇒ regulator netipizat

Controlul Sistemelor Auto 2011-2012 Laborator 2

6

IV. Modul de lucru in laborator

- Se vor testa cele doua metode de acordare a regulatoarelor PID utilizand modelul Simulink engine_idle_speed.mdl:

a. Ziegler-Nichols bazat pe răspuns la semnal treaptă. b. Metoda alocării cu următorii paşi:

1. Se determina modelul discret G(z) utilizand toolboxul IDENT. Indicatie: Modelul discretizat are forma:

1 22

1 2

( ) b z bG zz a z a

+=

+ +

2. Se proiectează regulatorul discret conform metodologiei de sinteză specificată mai sus şi cerinţelor impuse.

Indicatie: Regulatorul discret are forma : 2

0 1 2( )( 1)( )R

c c z c zG zz z p+ +

=− +

3. Se determina parametrii regulatorului discret 0 1 2, , ,p c c c . Indicatie: Pentru identificarea coeficientilor se obtine sistemul de ecuatii liniare:

0 11

2 1 11 2 1

1 2 22 1 2 1

0 32 2

11 0 01 0

00 0

p d abc d aa b bc d aa a b bc da b

− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Parametrii di ce trebuie determinati prin identificare sunt expresii intre coeficientii polinomului caracteristic dorit:

0 1 3 4

1 3 4 1 3 4 2

2 1 3 4 2 3 4

3 2 3 4

( )( )

( )

dddd

α α αα α α α α αα α α α α αα α α

= − += − + += − +=

4. Se rezolva sistemul si se salveaza regulatorul.