6. Cinematica analitică a structurii. Modelul direct şi invers al

vitezelor

Componentele vectorului x al poziţiei generalizate (15) sunt funcţii de

coordonatele robot, global, de vectorul coordonatelor robot q, adică:

(20)

Mai departe se consideră cazul structurilor cu orientarea complet determinată

ce au n = 6, vectorul q având 6 componente

Relaţia (19) se poate scrie în exprimare dezvoltată:

(21)

Derivând (20) în raport cu timpul se obţine:

(22)

Relaţia (22) reprezintă modelul direct al vitezelor.

În această relaţie este vectorul generalizat al vitezelor şi este vectorul vitezelor

robot:

, (23)

Matricea J se numeşte jacobianul sistemului de funcţii şi cuprinde derivatele parţiale

funcţie de coordonatele robot:

În exprimare detaliată:

(24)

Utilizarea tehnicii de calcul permite calculul jacobianului prin derivare

numerică. Funcţiile (21) nu sunt explicit cunoscute, ele se calculează succesiv cu

relaţiile prezentate până acum. Se aplică, apoi, formula de derivare numerică:

(25)

Se alege o valoare . Eroarea este de ordinul a . Pe această bază

se poate dezvolta un subprogram de calcul al jacobianului, care nu este redat aici.

Modelul cinematic direct al vitezelor presupune cunoscute vitezele robot .

Calculul vitezelor se face cu relaţia (22). Se obţin astfel componentele vitezei liniare

a obiectului de lucru (primele trei componente ale lui ).

Ultimele trei componente reprezintă componentele vitezei kardan

.

Viteza unghiulară a obiectului de lucru se poate calcula din viteza kardan

astfel:

(26)

Matricea Tk are expresia:

(27)

Rezolvarea problemei inverse a vitezelor se deduce din (22) :

(28)

Inversarea Jacobianului se face prin una din metodele cunoscute în

calculul matriceal.

Cinematica pe traiectorie va permite determinarea vectorului generalizat al

vitezelor în punctele în care a fost dicretizată traiectoria. Se determină separat

partea ce reprezintă viteza liniară a punctului caracteristic pe

traiectorie şi vitezele kardan: . Detalii privind cinematica

pe traiectorie sunt date în & III.6. 2.

Problema inversă a acceleraţiilor nu se poate rezolva comod analitic,

deoarece dacă se derivă relaţia (22) apare , greu de obţinut, chiar numeric. Se

poate face un calcul aproximativ prin derivare numerică în raport cu timpul a vitezelor

robot, plecând de la definiţia:

; (i = 1…6).

Aceasta se va putea face, însă, numai după analiza cinematicii pe traiectorie când se

vor putea corela valorile vitezelor robot cu timpul de parcurs. Asupra acestor aspecte

se va reveni mai departe.