Static Aii 2

1

Partea I

Metoda general a forelor

1.1. Principiul metodei

Rezolvarea structurilor nedeterminate (determinarea strii de eforturi i deplasri) impune

respectarea concomitent a condiiilor de echilibru i continuitate a deformatei, ntruct pentru aceast

categorie de structuri este necesar considerarea situaiei reale de echilibru elastic pe forma deformat.

Metoda general a forelor abordeaz structurile din punct de vedere al nedeterminrii statice.

Ideea care st la baza acestei metode este de a transforma structura nedeterminat static ntr-o

structur static determinat creia i se impune s se comporte identic cu cea iniial.

Necunoscutele problemei sunt forele (de legtur) corespunztoare legturilor suprimate pentru

alctuirea structurii determinate static.

Calculul se conduce pe structura static determinat (sau pe orice structur a crei rezolvare este

cunoscut), pentru care se pot determina cu uurin att eforturile (diagramele de eforturi), ct i

deplasrile punctuale.

1.1.1.Etapele metodei

1. Stabilirea gradului de nedeterminare static al structurii. Gradul de nedeterminare static, , al unei structuri se poate stabili prin mai multe metode:

Prin aplicarea formulei: , n care r este numrul de legturi simple cu terenul,

l este numrul de legturi simple dintre corpuri,

c este numrul corpurilor care compun structura

Prin eliminarea succesiv de legturi simple pn la obinerea unei structuri determinat static. Numrul legturilor suprimate reprezint gradul de nedeterminare static al

structurii.

Prin aplicarea procedeului contururilor nchise, conform cruia , cu precizarea c un contur nchis (alctuit numai din bare sau din bare i teren ntre care exixt doar legturi de

ncastrare) este de trei ori static nedeterminat.

!Atenie la numrarea contururilor nchise! Fiecare contur nchis trebuie s conin cel

puin o bar care nu este coninut n alt contur!

2. Alegerea sistemului de baz Se suprim un numr de legturi (exterioare sau interioare) egal cu gradul de nedeterminare static

al structurii, iar pe direcia legturilor nlturate se introduc forele de legtur corespunztoare, care vor

constitui necunoscutele problemei. Rezultatul acestei operaiuni este obinerea unei structuri static

determinate, acionat de ncrcrile direct aplicate (fore, cedri de reazeme, variaii de temperatur) i cu

necunoscutele-fore, introduse pe direcia legturilor suprimate, numit Sistem de baz (S.B.).

Sistemul de baz, rezultat n urma eliminrii unui numr de legturi egal cu gradul de nederminare

static al structurii, trebuie s fie corect din punct de vedere al asigurrii invariabilitii geometrice i fixrii

fa de teren, adic s nu prezinte zone de mecanism sau sistem critic.

2

n vederea reducerii volumului de calcul (prin anularea unor coeficieni secundari, sau obinerea

unor relaii de calcul mai simple), la alegerea sistemului de baz se au n vedere urmtoarele aspecte:

Diagrama de moment ncovoietor din fore exterioare pe sistemul de baz s se extind pe ct mai puine bare.

Pe barele structurii diagramele de moment din forele exterioare s rezulte de forme geometrice cu arie cunoscut (parabol, triunghi, dreptunghi).

Se recomand ca alegerea sistemului de baz s se fac astfel nct diagrama de moment ncovoietor din fore exterioare, pe sistemul de baz s fie conform cu

diagrama final de moment ncovoietor.

3. Trasarea diagramelor de moment pe sistemul de baz Sistemul de baz, astfel obinut, se ncarc succesiv cu forele exterioare i cu fiecare necunoscut

egal cu unitatea i se traseaz diagramele de moment ncovoietor aferente: , respectiv ,( ). Sistemul de baz este n echilibru pentru orice set de valori ale necunoscutelor.

4. Scrierea i rezolvarea sistemului ecuaiilor de condiie Se scrie condiia ca sistemul de baz ncrcat cu forele exterioare date i cu necunoscutele-fore s

se comporte identic cu structura iniial (nedeterminat static). Continuitatea deformatei structurii se

exprim prin impunerea de deplasri nule* pe direcia legturilor suprimate (n realitate deplasarea este

blocat de legtura respectiv), rezultnd, astfel, un sistem de n ecuaii cu n necunoscute (o ecuaie pentru

fiecare legtur suprimat).

Forma general a sistemului ecuaiilor de condiie este:

(1)

Toi coeficienii necunoscutelor i termenii liberi au semnificaia de deplasri ale puctelor de

aplicaie ale necunoscutelor:

este deplasarea punctului de aplicaie al necunoscutei pe direcia acesteia din ncrcarea sistemului de baz cu

este deplasarea punctului de aplicaie al necunoscutei pe direcia acesteia din

ncrcarea sistemului de baz cu

este deplasarea punctului de aplicaie al necunoscutei pe direcia acesteia din

ncrcarea sistemului de baz cu forele exterioare direct aplicate.

Expresiile acestor deplasri punctuale sunt:

Cazul ncrcrii cu fore exterioare

(2)

(3)

3

(4)

unde:

sunt eforturile din seciunea curent, pe sistemul de baz ncrcat cu

sunt eforturile din seciunea curent, pe sistemul de baz ncrcat cu

, , sunt eforturile din seciunea curent, pe sistemul de baz ncrcat cu forele exterioare date.

Cazul ncrcrii cu variaii de temperatur

(5)

unde:

este coeficientul de dilatare termic a materialului este variaia de temperatur pe nlimea seciunii transversale (dintre feele seciunii) h este nlmea seciunii transversale a barei

t este variaia temperaturii n axa barei fa de temperatura de montaj

Cazul ncrcrii cu cedri de reazeme

(6)

unde

este reaciunea care se dezvolt, pe direcia cedrii de reazem k din ncrcarea sistemului de baz cu cedarea de reazem dup direcia k.

n cazul structurilor solicitate la variaii de temperatur i cedri de reazeme coeficienii secundari

din sistemul ecuaiilor de condiie au aceleai semnificaii i se calculeaz cu formulele (2) (3).

Aceast etap are ca finalitate obinerea soluiilor sistemului ecuailor de condiie, respectiv

valorile necunoscutelor pentru care sunt ndeplinite condiiile de echilibru static i de continuitate a

deformatei structurii.

Observaii

Terrmenul de deplasare definete o deplasare generalizat care poate fi rotire sau translaie.

Termenul de for se refer la o for generalizat care poate fi moment ncovoietor sau for.

5. Trasarea digramelor finale de eforturi pe structur. Trasarea diagramei finale de moment pe structur

Momentele ncovoietoare la capetele barelor structurii nedeterminate static se calculeaz

considernd efectele cumulate, pe sistemul de baz, ale forelor exterioare date i ale necunoscutelor

determinate n etapa precedent, astfel:

4

(7)

unde:

este valoarea momentului ncovoietor la captul J al barei JK pe structura real (static nederminat).

este valoarea momentului ncovoietor la captul J al barei JK, pe sistemul de baz obinut

n urma ncrcrii acestuia cu forele exterioare date (valoarea aferent din diagrama ).

este valoarea momentului ncovoietor la captul J al barei JK, pe sistemul de baz, obinut

n urma ncrcrii acestuia cu necuoscuta (valoarea aferent din diagrama ). Pentru determinarea celorlalte eforturi (T i N), pe structura real, se pot aplica relaii similare celei

utilizate la calculul momentelor ncovoietoare la capetele barelor(7).

O alt metod pentru trasarea diagramelor de eforturi T i N are la baz echilibrul fiecrei pri din

structur sub aciunea forelor exterioare direct aplicate i a prilor nlturate (eforturile n seciunile care

delimitez corpul: capetele barei, respectiv feele nodului).

Trasarea diagramei de for tietoare pe structura real

Fiecare bar se desprinde din structur i se consider simplu rezemat i ncrcat cu forele

exterioare direct aplicate i cu momentele ncovoietoare de la capetele ei, calculate cu formula (7).

Din acest ncrcare, se traseaz diagrama de for tietoare pe fiecare bar a structurii.

Se transcriu pe structur diagramele de for tietoare trasate pe bare, rezultnd, astfel, diagrama

final a acestui efort.

Trasarea diagramei de efort axial pe structura real

Se izoleaz fiecare nod al structurii i se ncarc cu forele direct aplicate i cu forele tietoare

dezvoltate prin ndeprtarea barelor.

Se scrie echilibrul nodului exprimat prin dou ecuaii de proiecii dup dou direcii perpendiculare

din plan.

6. Verificarea diagramelor de eforturi a. Verificarea coeficienilor din ecuaiile de condiie se realizeaz parcurgnd urmtoarele etape:

Se calculeaz suma coeficienilor (principali i secundari) determinai

Se ncarc sistemul de baz concomitent cu necunoscutele i se traseaz diagrama de moment ncovoietor corespunztoare, Se calculeaz:

Dac este satisfcut relaia

coeficienii sunt corect calculai.

b. Verificarea termenilor liberi din ecuaiile de condiie Se calculeaz suma termenilor liberi

5

Se calculeaz

Se verific dac este ndeplinit egalitatea

c. Verificarea diagramelor de eforturi Condiia de echilibru static: se verific echilibrul nodurilor i al barelor

Condiia de continuitate: se verific dac deplasrile n anumite seciuni pe sructura static

nedeterminat corespund situaiei reale.

,

Unde,

este momentul ncovoietor n seciunea curent pe structura real

este momentul ncovoietor n seciunea curent pe sistemul de baz ncrcat cu fora

unitate introdus pe direcia deplasrii calculate.

Pentru calculul deplasrilor, sistemul de baz se alege ct mai convenabil (nu este necesar s

fie acelai sistem de baz utilizat pentru rezolvarea problemei).

Pentru etapa de verificare, se recomand s se verifice deplasrile n seciuni diferite de cele

utilizate n calculul structurii.

d. Verificarea cu ajutorul principiului lucrului mecanic virtual nul.

1.1.2. Precizri teoretice

Necunoscutele n Metoda Forelor sunt fore care evideniaz efectul legturilor suprimate asupra structurii n seciunile modificate.

Legturile cu terenul exercit asupra seciunilor n care sunt aplicate dou aciuni: -confer o libertate de deplasare concretizat prin posibiliti de deplasare dup anumite

direcii n plan, proprietate cunoscut sub denumirea de grad de libertate al seciunii de rezemere,

-dezvolt fore reactive asupra seciunii de aplicare, pe direcia deplasrilor mpiedicate

(respectiv a gradelor de libertate blocate), denumite generic reaciuni.

Suprimarea unei legturi cu terenul este asociat cu introducerea unei fore pe direcia acesteia, a

crei valoare rezult din impunerea condiiei de deplasare nul pe direcia legturii nlturate.

Suprimarea unei legturi n structur (legtur interioar) produce deplasarea relativ a feelor seciunii

abordate. Refacerea continuitii n aceste seciuni se poate realiza, pe structura static determinat obinut

n urma efecturii acestei operaiuni, prin aplicarea unor perechi de efoturi de valoare necunoscut pe

direcia legturii suprimate i impunerea condiiei de deplasare relativ nul pe direcia legturii suprimate.

*Exist situaii n care deplasarea pe direcia necunoscutelor este diferit de zero i are o valoare cunoscut sau care se poate determina prin calcul:

Cazul cedrilor de reazeme

Cazul structurilor cu tirani la care rezolvarea se face prin eliminarea tiranilor.

6

Orice ecuaie i din sistemul ecuaiilor de condiie exprim faptul c deplasarea pe direcia necunoscutei este egal cu zero (sau are o valoare cunoscut). Fiecare coeficient i termenul

liber din ecuaia i va avea primul indice i.

1.2. Cadre static nedeterminate 2. 1.2.1. Particulariti ale calculului practic

Aplicarea Metodei Forelor la calculul structurilor alctuite din bare drepte solicitate predominant la

ncovoiere (cadre, grinzi) permite efectuarea unor simplificri n ceea ce privete calculul coeficienilor i a

termenilor liberi. Astfel, n relaiile (2), (3), (4), ponderea momentului ncovoietor la determinarea

deplasrilor punctuale este mult mai mare comparativ cu efectul celorlalte eforturi, acestea din urm

neinfluennd practic comportarea stucturii.

n aceste situaii, coeficienii i termenii liberi se calculeaz cu relaiile:

(8)

(9)

(10)

n plus, ntruct diagramele de moment ncovoietor pe sistemul de baz ncrcat cu necunoscutele rezult cel mult liniare, pentru calculul integralelor se poate utiliza regula lui Veresceaghin.

1.2.2. Exemple de calcul

Aplicaia1 Fig.1.1.

1. Structura este o dat nedeterminat static.

Fig.1.1.

2. Se studiaz structura i se traseaz calitativ diagrama de moment ncovoietor din forele exterioare pe mai multe sisteme de baz posibile. Se constat:

- Suprimarea unei legturi cu terenul n reazemul A determin obinerea de diagrame de moment

7

ncovoietor pe toate barele structurii. Se testeaz efectul nlturrii altor legturi.

- Eliminarea unei legturi cu terenul n captul B implic obinerea unei bare cu moment ncovoietor

nul (bara C-B devine dublu articulat i nenrcat).La capetele 1 ale barelor 1-C i 1-A valoarea

momentului ncovoietor va fi diferit de zero, iar pe bara 1-C variaia momentului va fi parabolic, dar de

arie necunoscut (necesit descompunere n arii elementare).

- Suprimarea legturii interioare din nodul 1 produce

moment nul pe bara A-1 ( bar dublu articulat i nencrcat) i

obinerea de diagrame de moment de forme elementare pe barele

1-C i C-B, respectiv parabol simetric cu tangenta orizontal i

triunghi.

Din analiza acestor aspecte, se dovedete a fi avantajoas alegerea

sistemului de baz din figura 1.2.

Fig.1.2.

3. Pe sistemul de baz ales, se traseaz diagramele de moment ncovoietor din forele exterioare date, Mf, i din necunoscuta, , m1.

Fig.1.3.

4. Se impune sistemului de baz acionat de forele exterioare date i de necunoscuta X1, condiia de comportare identic cu structura iniial (static nedeterminat). Altfel spus, se scrie condiia ca

rotirea relativ a capetelor de bare concurente n nodul 1 s fie egal cu zero (valoarea real pe

structura dat), condiie exprimat prin cuaia Se calculeaz coeficientul secundar i termenul liber prin integrarea diagramelor aferente de

moment cu regula lui Veresceaghin.

5. Momentele ncovoietoare finale de la capetele barelor rezult:

8

Pe barele A-1 i C-B momentul ncovoietor variaz liniar (bare nencrcate cu fore exterioare).

Pe bara 1-C, ncrcat cu fora uniform distribuit, momentul ncovoietor variaz dup o parabol de

ordinul II. Modul de variaie al momentului ncovoietor pe astfel de bare depinde de variaia forei tietoare

pe acest interval. Din acest motiv se procedeaz astfel:

- se desprinde bara din structur, - se consider simplu rezemat la capete, - se ncarc cu forele exterioare direct aplicate pe ea i cu momentele ncovoietoare de la -

capete i

- se traseaz diagrama de for tietoare i de moment ncovoietor pe aceast bar

Fig.1.4.

Diagrama de for tietoare pe structur (Fig.1.4) se traseaz considernd echilibrul fiecrei bare sub

aciunea forelor direct aplicate i a prilor nlturate (momentele ncovoietoare, cunoscute, de la capetele

barelor), aa cum s-a procedat la trasarea diagramei T i M pentru bara 1-C.

Observaie: Barele nencrcate desprinse din structur sunt acionate numai de momentele

din q=12kN/m

din M=15,76kNm

9

ncovoietoare de pe capete. Momentul de pe captul barei, este anulat de un cuplu de fore care

reprezint forele tietoare de la capetele barelor din aceast ncrcare. Valoarea forei tietoare

va fi

, l fiind lungimea barei.

Semnul forei tietoare se stabilete n funcie de sensul de rotire (+ dac rotete n sens orar).

Trasarea diagramei de efort axial pe structur se realizeaz pe baza echilibrului nodurilor (Fig.1.4) .

Echilibrul nodului 1:

Aplicaia 2 (Fig.1.5.)

1. Structura este o dat static nedeterminat. 2. Suprimarea unei legturi cu terenul din reazemele A sau B determin obinerea de

diagrame de moment ncovoietor din forele exterioare pe toate barele sistemului de

baz. Se opteaz pentru alegerea sistemului de baz ca n figura

3. Diagramele i sunt trasate n figura 4. Ecuaia de condiie

5. Momentele ncovoietoare finale de la capetele barelor sunt:

10

Fig.1.5.

11

Diagramele de for tietoare i de efort axial rezult prin echilibrul barelor respectiv al nodurilor

(Fig.1.5).



Aplicaia 3 (Fig.1.6)

1.Structura este de doua ori static nedeterminat.

Fig.1.6

2. Sistemul de baz s-a ales ca n figura 1.6.

Observaie:Suprimarea legturii orizontale din reazemul B , n locul legturii interioare din

nodul 2, produce aceeai diagram Mf.

3. Diagramele de moment ncovoietor pe sistemul de baz sunt trasate n figura 1.7.

Fig.1.7.

12

4.Se scriu condiiile de rotiri relative nule pe directia perechilor de momente X1, respectiv X2

Fig.1.8.

5. Momentele ncovoietoare de la capetele barelor au valorile:

13

Diagramele de moment ncovoietor, de for tietoare i de efort axial sunt trasate n

figura 1.8.

Aplicaia 4 (Fig.1.9)

1. Structura este de dou ori nedeterminat static. 2. Se adopt sistemul de baz din figura 1.9. 3. Diagramele de moment ncovoietor pe sistemul de baz sunt trasate n figura 1.9. 4. Sistemul ecuaiilor de condiie:

1. Diagramele finale de eforturi sunt trasate n figura 1.9.

14

Fig.1.9.

15


Structura este din beton armat i are n alctuire un tirant metalic.

Caracteristicile de rigiditate sunt:

EI0=41600kNm2, pentru seciunea din beton

EtAt=131900kN pentru tirantul metalic.

Efectul tirantului asupra comportrii srtucturilor static nedeterminate este de a limita

deplasarea relativ a seciunilor ntre care este montat, introducnd totodat un grad de

nedeterminare static n plus structurii.

Structura are gradul de nedeterminare static egal cu doi.

Sistemul de baz se alege prin suprimarea legturii aferente momentului ncovoietor din ncastrarea

A i secionarea tirantului.

Observaie: Secionnd tirantul, deplasarea pe direcia necunoscuteei aferente acestuia este

egal cu zero, dar n calculul coeficientului intervine efectul efortului de ntindere din tirant.

Momentele ncovoietoare de la capetele barelor sunt:

16

Fig.1.10.

Se pot trasa acum diagramele T i M, care sunt prezentate n figura 1.10.

Determinarea diagramei N (Fig.1.10) se face exprimnd echilibrul forelor care acioneaz pe nodul 1 :

17

=-76,55


Structura din figura 1.11 este solicitat simultan la aciunea forelor exterioare, cedri de

reazeme i variaii de temperatur. Constantele de material sunt

Coeficientul de dilatare termic Modulul de elasticitate

n seciunea de ncastrare A s-a produs o tasare pe vertical a reazemului asociat cu o

rotire a seciunii barei n acest punct, ncrcri detaliate n figura 1.20.

Fig.1.11.

Cadrul este de dou ori nedeterminat static.

Sistemul de baz s-a ales prin suprimarea legturilor corespunztoare momentelor

ncovoietoare din ncastrarea A i de la captul 2 al barei 2-C.

Elementele cadrului au seciune dreptunghiular diferite pentru grinzi i stlpi. Se

calculeaz momentele de inerie ale celor dou tipuri de seciuni i se alege ca moment de inerie

de referin cel cu valoarea cea mai mic (momentul de inerie al stlpului)

Pentru stlpi (30x40):

18

Pentru rigle (30x50):

Fig.1.12.

Se calculeaz coeficienii ecuaiilor de condiie (independeni de tipul ncrcrii), prin integrare

conform figurii 1.12.

19

Se calculeaz termenii liberi pentru fiecare tip de ncrcare. Se rezolv sistemul ecuaiilor de

condiie separat pentru fiecare caz de ncrcare i se determin diagramele aferente de eforturi.

Cazul ncrcrii cu fore exterioare.

Momentele ncovoietoare la capetele barelor din ncrcarea cu fore sunt:

Fig.1.13.

20

Cazul ncrcrii cu variaie de temperatur.

Momentele ncovoietoare la capetele barelor din ncrcarea cu variaii de temperatur sunt:

Fig.1.14.

Cazul ncrcrii cu cedri de reazeme.

21

Momentele ncovoietoare la capetele barelor din ncrcarea cu cedri de reazeme sunt:

Fig.1.15.

Observaie

ncrcarea cu cedri de reazeme a structurilor static nedeterminate exercit asupra

acestea un efect important. Pentru valori mici ale deplasrilor din reazeme se

nregistreaz momente ncovoietoare mari pe barele structurii.

1.2.3. Structuri simetrice

Particularitatea de simetrie a structurilor se poate utiliza la simplificarea

sistemului ecuaiilor de condiie prin anularea unor coeficieni secundari.

Rezultatul integrrii unei diagrame simetrice cu o diagram antiasimetric

(sau invers) este zero. Utilizare n calcul a acestei constatri impune ndeplinirea

urmtoarelor condiii:

- Sistemul de baz s se aleag simetric. - Necunoscutele s reprezinte ncrcri simetrice i antisimetrice. Astfel, la alegerea necunoscutelor sistemului de baz trebuie s se aib n vedere

urmtoarele aspecte:

- n general, n cazul cadrelor cu deschidere central se recomand

22

secionarea barei n dreptul axei de simetrie, prin aceast operaiune

rezultnd perechi de necunoscute simetrice i antisimetrice.

- Orice ncrcare poate fi descompus ntr-o ncrcare simetric i una antisimetric.

Concluzii:

Cnd ncrcarea este simetric, necunoscutele antisimetrice sunt nule se scrie doar sistemul de ecuaii care conine necunoscutele simetrice.

Cnd ncrcarea este antisimetric, necunoscutele simetrice sunt nule se scrie doar sistemul de ecuaii care conine necunoscutele antisimetrice.


Structura simetric dat este de 4 ori nedeterminat static. Sistemul de baz se

alege simetric, iar rezolvarea se face folosind grupri de necunoscute (simetrice i

antisimetrice), dup cum se vede n figura 1.15. ncrcarea exterioar dat se

descompune ntr-o component simetric i o component antisimetric.

n aceste condiii avem:

Sistemul necunoscutelor simetrice

Sistemul necunoscutelor antisimetrice

23

Fig.1.16.

24

Momentele ncovoietoare de la capetele barelor au valorile:

Diagramele de eforturi T,M i N sunt trasate n figura 1.16.


Structura este simetric i de 5 ori nedeterminat static.

Sistemul de baz se alege simetric, prin secionarea structurii n dreptul axei de simetrie

i eliminarea reazemelor simple din C i D, rezultnd astfel perechile de necunoscute

simetrice i perechile de necunoscute antisimetrice . ncrcarea fiind simetric, necunoscutele antisimetrice sunt nule.

Sistemul ecuaiilor de condiie este:

25

Fig.1.17.

26

Momentele ncovoietoare de la capetele barelor sunt:

Diagramele finale de eforturi se prezint n figura 1.17.

27

1.3. Grinzi continue

1.3.1.Noiuni teoretice de baz

Grinzile continue sunt grinzi drepte dispuse pe mai multe reazeme dintre care unul este fix (articulaie sau ncastrare), iar celelalte sunt mobile (reazeme

simple). Datorit acestei rezemri, variaia lungimii pe direcia axei barei nu este

mpiedicat, n consecin, efortul axial nu reprezint o nedeterminare static a

acestor structuri.

Gradul de nedeterminare static al grinzilor continue este egal cu numrul reazemelor intermediare ale acestora.

Dac grinda este ncastrat la un capt, gradul de nedeterminare static este egal cu numrul reazemelor simple.

Dac grinda este ncastrat la ambele capete, una dintre cele dou ncastrri trebuie s permit deplasarea n lungul axei barei.

Rezolvarea acestei categorii de structuri se poate realiza relativ simplu prin

aplicarea unei ecuaii, derivat din metoda forelor, numit ecuaia celor trei momente.

Aceast ecuaie s-a determinat cu metoda forelor, prin considerarea unui sistem de baz

particular, rezultat prin suprimarea legturilor aferente momentelor ncovoietoare de pe

reazemele intermediare.

Necunoscutele problemei sunt momentele de pe reazemele intermediare ale

grinzii.

Sistemul de baz astfel obinut reprezint o succesiune de grinzi simplu rezemate a crui

comportare are urmtoarea particularitate care st la baza stabilirii ecuaiei celor trei

momente:

Diagramele de moment ncovoietor produse din ncrcarea sistemului de

baz cu necunoscutele(perechi de momente) Xi=1, se ntind doar pe deschiderile

adiacente reazemului pe care acioneaz.

Fig. 1.18

29

Astfel, considernd grinda continu, cu seciune constant pe deschideri (Fig.

1.18), ecuaia celor trei momente aplicat reazemului j, situat ntre i i k, se scrie sub

forma:

(12)

sau

(13)

Unde:

definete lungimea transformat a barei ij

mj se numete factor de ncrcare, iar valoarea lui se stabilete din tabele n funcie

de tipul ncrcrii(Tabelul 1)

Rspunsul barelor la aciunile exterioare depinde de rigiditatea relativ a acestora.

Lungimea transformat a barelor definete o valoare echivalent a lungimilor acestora

corespunztoare aceluiai moment de inerie, Ic, al barelor.

Ecuaia (12) exprim condiia de rotire relativ nul impus capetelor de bare

conectate n dreptul reazemului j.

Cazuri particulare:

Grind cu o consol ncrcat (la stnga reazemului k):

MC este momentul ncovoietor generat de ncrcarea de pe consol, pe reazemul k

(14)

Grind cu o extremitatea j ncastrat perfect:

(15)

1.3.2.Exemplu de calcul

Aplicaia 8 (Fig. 1.19)

Se aplic ecuaia celor trei momente, reazemelor 2 i 3.

1-2-3:

2-3-4

30

Factorii de ncrcare, preluai din tabelul 1, sunt:

Fig. 1.19.

Sistemul de ecuaii devine:

Diagramele de moment ncovoietor sunt prezentate n figura 1.19.

31

2.3. Probleme propuse

2.3.1. Pentru structura din figur, care dintre urmtoarele enunuri este adevrat ?

a). Structura este un cadru cu noduri deplasabile.

b). Cadrul are gradul de nedeterminare elastic egal cu 1.

c). Gradul de nedeterminare geometric al structurii este egal cu 2.

d). Structura este geometric determinat.

e). Structura are un grad de libertate cinematic.

2.3.2. Pentru structura din figur, care este diagrama momentelor de ncastrare perfect pe barele

sistemului de baz (structura cu nodurile blocate) din ncrcarea acesteia cu fore exterioare date?

32

a). b). c).

d). e).

2.3.3.

33

Pentru structura din figur, care este diagrama de moment ncovoietor m1 pe sistemul de baz

(structura cu nodul blocat) ncrcat cu rotirea de nod Z1=1?

a) b). c).

d). e).

34

2.3.4. Pentru structura din figur, care este valoarea coeficientului k11 din ecuaia de condiie?

a). 1.4 EI0 b). -2 EI c). 2 EI0 d). 3,8 EI0 e). 2,2 EI0

2.3.5. Pentru structura din figur, care este deformata sistemului de baz (structura cu nodul blocat) din

ncrcarea acestuia cu rotirea de nod Z1=1?

a) b). c).

35

d). e).


36

a). Structura este geometric determinat.

b). Structura este un cadru cu noduri fixe.

c). Cadrul are gradul de nedeterminare elastic egal cu 1.

d). Gradul de nedeterminare geometric al structurii este egal cu 1.


2.3.7. Pentru structura din figur, care dintre urmtoarele enunuri este adevrat:

a). structura are un grad de libertate cinematic

b). cadrul este cu noduri deplasabile

c). gradul de nedeterminare geometric al structurii este egal cu 1

d). cadrul este cu un nod fix

e). cadrul are un grad de libertate elastic

37

2.3.8. Care este diagrama de momente de ncastrare perfect corect, din incrcarea sistemului de baz

cu fortele exterioare, pentru urmtoarea structur?

a). b).

c). d). e)

2.3.9. Care este diagrama m1 corect, din incrcarea sistemului de baz (structura cu nodul

blocat) cu deplasarea elastic 1=1, pentru urmtoarea structur?

38

a). b).

c ). d). e).

2.3.10. Pentru cadrul din figura de mai jos, se cere s se determine valoarea corect a

coeficientului k11 din ecuaia de condiie.

39

a). 5,25EI0 b). 3,60EI0 c). 4,05EI0 d). 3,05EI0 e). 2,80EI0

2.3.11. Pentru cadrul din figura de mai jos, s se determine valoarea corect a coeficientului R1f din ecuaia de condiie.

a). 101.67 b). -35 c). 115

d). 35 e). -115

2.3.12. Care este forma corect a deformatei din incrcarea sistemului de baz cu necunoscuta Z1=1,

pentru structura din figura de mai jos?

40

a). b).

c ). d).

e).

41

2.3.13. Pentru structura din figur i diagrama final de moment ncovoietor, care este diagrama corect

de fort tietoare?

a). b).

c ). d).

e).

42

2.3.14. Care este numrul gradelor de nedeterminare geometric a structurii din figura urmtoare?

a). 4 b). 2 c). 1 d). 0 e). 3

2.3.15. Pentru structura din figura de mai jos, care este diagrama corect a momentelor de ncastrare

perfect pe barele sistemului de baz aferent (structura cu nodurile blocate), rezultat din

ncarcarea acestuia cu forele exterioare date.

43

a). b).

c ). d).

e).

44

2.3.16. Pentru structura din figura de mai jos, care este diagrama de moment corect, pe sistemul de baz

(structura cu nodurile blocate), rezultat din ncarcarea acestuia cu deplasarea elastic 1=1?

a). b).

c ). d) .

e).

45

2.3.17. Pentru structura din figura de mai jos, care este forma corect a deformatei din ncarcarea

sistemului de baz cu deplasarea elastic 1=1?

a). b).

c ). d).

e).

46

2.3.18. Pentru cadrul din figura de mai jos, se cere s se determine valoarea corect a coeficientul de

distribuie d12 :

a). 0,333 b). 0,40 c). 0,667

d). 0,60 e). 0,833


distribuie d1A :

47

a). 0,40 b). 0,333 c). 0,667

d). 0,30 e). 0,20


distribuie d21 :

a). 0,50 b). 0,210 c). 0,474

d). 0,529 e). 0,429


distribuie d2B :

48

a). 0,235 b). 0,333 c). 0,50

d). 0,210 e). 0,316

2.3.22. Pentru cadrul de mai jos se cere sa sedetermine valoarea corecta a coeficientul de distributie d2C :

a). 0,210 b). 0,667 c). 0,50

d). 0,235 e). 0,316

2.3.23. Pentru structura din figura de mai jos, care dintre urmtoarele enunuri este adevrat?

49

a). Cadrul este cu noduri fixe

b). Structura are un grad de libertate cinematic

c). Structura are dou grade de libertate elastic

d). Gradul de nedeterminare geometric al structurii este egal cu 3

e). Cadrul este static determinat


a). Cadrul este cu noduri deplasabile

b). Cadrul este geometric determinat

c). Structura are un grad de libertate cinematic

d). Gradul de nedeterminare geometric al cadrului este 1

e). Structura are un grad de libertate elastic

2.3.25.

50

Pentru structura din figura de mai jos, care dintre diagramele de momente din deplasri

elastice 1=1 este corect?

a). b).

c ). d).

e).

51

2.3.26. Pentru structura din figur, care este diagrama de moment corect rezultat din ncarcarea

sistemului de baza (structura cu nodurile blocate) cu fortele exteroare date.

a) b)

c ) d)

52

e)

2.3.27. Pentru structura din figura de mai jos, care dintre valorile R1f este corect?

a). -22.5 b). 45 c). -45 d). -67,5 e). 67,5


53

FIG_22

a). 22.5 b). -15.5 c). -17.5

d). -22,5 e). 0,00

2.3.29. Pentru structura din figur, ncrcat cu variaii de temperatur (t), care dintre diagramele de

momente ncovoietoare pe sistemul de baz (structura cu noduri blocate) este corecta?

a). b).

54

c).

2.3.30. Pentru structura din figur, incarcat cu cedari de reazeme, care dintre diagramele de momente

pe sistemul de baza (structura cu noduri blocate) este corecta?

FIG_24

a) b)

55

c)

2.3.31.

1. Pentru structura din figur, care dintre diagramele finale de moment incovoietor este

corect?

a). b).

56

FIG_25_a FIG_25_b

c).

2.3.32. Care este gradul de nedeterminare geometrica al structurii din figura?

a). 2 b). 3 c). 1 d). 4 e). 0

2.3.33. Pentru structura din figura, care este diagrama momentelor de incastrare perfecta pe barele

57

sistemului de baza (structura cu nodurile blocate) incarcat cu fortele exterioare date?

a). b).

c). d).

58

e).

2.3.34. Pentru structura din figura, care este diagrama de moment incovoietor m1 pe sistemul de baza

(structura cu nodul blocat) incarcat cu rotirea de nod Z1=1?

a). b).

59

c). d).

e).

60

2.3.35. Pentru structura din figura, care este valoarea coeficientului k11 din ecuatia de conditie?

a). -2,8 EI0 b). -2,7 EI0 c). 0,3 EI0

d). 1,2 EI0 e). 2,7 EI0

2.3.36. Pentru structura din figura, care este valoarea coeficientului R1f din ecuatia de conditie?

a). 72,75 KNm b). -35,25 KNm c). 35,25 KNm

d). -25,25 KNm e). 48,20 KNm

2.3.37. Pentru structura din figura, care este deformata sistemului de baza (structura cu nodul blocat) din

incarcarea acestuia cu rotirea de nod Z1=1?

61

a). b).

c). d).

e).

62

2.3.38. Pentru structura din figura si diagrama finala de moment incovoietor aferenta, care este diagrama

de forta taietoare T?

a). b).

c). d).

e).

63


a). 1 b). 3 c). 2 d). 4 e). 0


sistemului de baza din incarcarea acestuia cu fortele exterioare date?

a).

64

b).

c).

d).

e).



65

a). b).

c). d).

e).

2.3.42. Pentru sistemul de baza din figura, care este valoarea coeficientului k11 din sistemul de ecuatii de

66

conditie?

a). 3,75 EI0 b). -4,45 EI0 c). 2,05 EI0

d). 4,45 EI0 e). -1,25 EI0


conditie?

a). 0,64 EI0 b). -0,61 EI0 c). 0,61 EI0

d). 0,48 EI0 e). 0,56 EI0

2.3.44. Pentru structura din figura, care este diagrama corecta m2 din deplasarea elastica 2=1?

67

a). b).

c). d).

e).

2.3.45.

68

Pentru structura din figura, care este diagrama corecta m2 din deplasarea elastica 2=1?

a). b).

c) d).

e).

69

2.3.46. Structura din figura va fi rezolvata cu procedeul iterativ de distributie a momentelor (metoda

Cross). Care este valoarea coeficientului de distributie d1A?

a). 0.350 b). 0.505 c). 0.270

d). 0.375 e). 0.225

2.3.47. Pentru structura din figura, care este diagrama finala de moment incovoietor M?

a). b).

70

c). d).

e).



71

a). b).

c). d).

e).

72

2.4. RSPUNSURI 2.3.1. d

2.3.2. a

2.3.3. c

2.3.4. c

2.3.5. a

2.3.6. b

2.3.7. d

2.3.8. b

2.3.9. e

2.3.10. d

2.3.11. b

2.3.12. c

2.3.13. d

2.3.14. e

2.3.15. b

2.3.16. d

2.3.17. d

2.3.18. c

2.3.19. b

2.3.20. c

2.3.21. d

2.3.22. e

2.3.23. d

2.3.24. d

2.3.25. a

2.3.26. e

2.3.27. c

2.3.28. d

2.3.29. a

2.3.30. a

2.3.31. c

2.3.32. c

2.3.33. b

2.3.34. d

2.3.35. e

2.3.36. c

2.3.37. a

2.3.38. e

2.3.39. c

2.3.40. b

2.3.41. a

2.3.42. d

2.3.43. b

2.3.44. a

2.3.45. b

73

2.3.46. e

2.3.47. a

2.3.48. e

74

Partea a doua

Metoda general a deplasrilor

2.1. Principiile generale ale metodei

Metoda general a deplasrilor abordeaz structurile din punct de vedere al

nedeterminrii geometrice i este specific rezolvrii structurilor de tip cadre.

Ipoteza simplificatoare acceptat n analiza acestor structuri este: n urma deformrii structurii,

lungimile barelor nu se modific.

Se numesc cadre structurile cu toate barele, sau numai o parte dintre ele, legate rigid n

noduri, la care solicitarea dominant este ncovoierea.

Un nod rigid are trei grade de libertate: o rotire i dou translaii dup dou direcii

diferite din plan.

Un nod articulat are dou grade de libertate: translaii dup dou direcii

perpendiculare din plan.

Deplasrile unui nod rigid, rotire i translaie, sunt comune tuturor capetelor de bare care

se ntlnesc n acel nod. Rezult c poziia deformat a structurii este determinat de

deplasrile nodurilor, motiv pentru care, n metoda deplasrilor sunt aleese ca parametri

independeni.

Din punctul de vedere al posibilitilor de deplasare ale nodurilor, avnd la baz

ipoteza invariabilitii lungimilor barelor, cadrele se clasific n:

cadre cu noduri fixe i cadre cu noduri deplasabile.

Termenii fix i deplasabil se refer numai la posibilitile de translaie ale nodurilor.

Cadrele cu noduri fixe sunt cele care se deformeaz numai prin rotiri de noduri

(Fig.2.1,a).

Fig.2.1

Identificarea cadrelor cu noduri fixe:

75

Dac prin introducerea de articulaii n toate nodurile rigide ale structurii i n ncastrri, se obine o structur articulat satic determinat, cadrul iniial este cu

noduri fixe.

Vizual, se poate aprecia: dac fiecare nod al structurii este legat de dou puncte fixe (legturi cu terenul sau noduri fixe), cadrul este cu noduri fixe.

Numrul parametrilor ce definesc poziia deformat a unui cadru cu noduri fixe este egal

cu numrul nodurilor rigide.

Din numrul total de noduri se exclud nodurile articulate.

Cadrele cu noduri deplasabile sunt acele cadre care se deformeaz att prin rotiri de

noduri ct i prin translaii de noduri (Fig.2.2,a).

Fig.2.2

Identificarea cadrelor cu noduri deplasabile:

Dac prin introducerea de articulaii n toate nodurile rigide ale structurii i n

ncastrri, se obine un mecanism (cu un anumit numr de grade de libertate cinematic), cadrul

iniial este cu noduri deplasabile. Numrul gradelor de libertate cinematic ale mecanismului

obinut definete numrul gradelor de libertate elastic ale structurii.

Numrul parametrilor independeni care definesc poziia deformat a unui cadru cu

noduri deplasabile este egal cu numrul nodurilor rigide la care se adaug numrul

gradelor de libertate elastic ale structurii (egal cu numrul gradelor de libertate cinematic

ale schemei articulate).

Precizri privind stabilirea numrului gradelor de libertate elastic ale unui cadru:

- n cazul cadrului cu tirani (Fig.2.3,a), tirantul nu mpiedic deplasarea relativ a

nodurilor pe care le unete, doar o limiteaz, deci nu influeneaz numrul gradelor de libertate

elastic ale structurii.

76

- Cadrele care au o bar curb au un grad de libertate n plus fa de acelai cadru cu

grinda dreapt, (Fig.2.3,b).

Fig.2.3

Necunoscutele deplasri sunt:

pentru cadrele cu noduri fixe - rotirile nodurilor rigide.

pentru cadrele cu noduri deplasabile - rotirile nodurilor rigide i parametrii care definesc deplasrile corespunztoare gradelor de libertate elastic.

n metoda deplasrilor, sistemul de baz va fi o structur geometric determinat, deci

la care toate deplasrile nodurilor sunt nule.

Blocarea nodurilor se realizeaz prin introducerea unor legturi fictive, dispuse astfel

nct s mpiedice att rotirile ct i translaiile nodurilor structurii.

- Legtura care mpiedic rotirea unui nod se numete blocaj de nod i n ea se dezvolt o reaciune-moment.

- Legtura care mpiedic deplasarea dup direcia unui grad de libertate se numete blocaj de grad de libertate i n ea se dezvolt o reaciune-for.

Prin blocarea nodurilor (la rotire i translaie) structura devine un ansamblu de bare dublu

ncastrate i/sau ncastrate la un capt i rezemate oarecum la cellalt, care lucreaz independent.

Aceste bare sunt static nedeterminate, dar ele pot fi rezolvate cu uurin prin metoda forelor.

Sistemul de baz, cu rezolvarea cunoscut, se ncarc cu forele exterioare date i cu

necunoscutele, notate cu iZ (Fig.2.4), i se impune condiia ca el s se comporte identic su

structura dat.

Fig.2.4

77

ntruct condiia de continuitate a deformatei structurii a fost impus la alctuirea sistemului de

baz, comportarea identic a celor dou structuri se obine prin impunerea condiiei de echilibru

static. Astfel, se pune condiia ca reaciunile din blocajele nodurilor sistemului de baz s fie

egale cu zero.

Obiectivul metodei deplasrilor l constituie determinarea momentelor ncovoietoare de

la capetele barelor (numite momente ncovoietoare de capt), care, odat cunoscute, permit

determinarea diagramelor de eforturi.

Convenia de semn utilizat n metoda deplasrilor este: se consider pozitive rotirile i

momentele ncovoietoare de capt care au sens orar.

2.1.1. Etapele metodei

1. Stabilirea gradului de nedeterminare geometric al structurii. - se introduc articulaii n toate nodurile structurii si se calculeaz

Dac n=0 cadrul este cu noduri fixe (C.N.F.)

Dac n

78

Pentru trasarea diagramei de efort axial se scrie echilibrul nodurilor sub aciunea forelor

direct aplicate i al prilor nlturate prin izolarea nodului, respectiv forele tietoare i eforturile

axiale.

7. Verificarea diagramei finale de moment ncovoietor

Se verific echilibrul fiecrui nod

i

ihM 0

Utiliznd diagrama final de moment ncovoietor i schema cinematic a structurii articulate, se aplic principiul lucrului mecanic virtual nul.

2.1.2. Precizri teoretice

n metoda deplasrilor necunoscutele sunt rotiri i translaii de noduri.Pentru orice cadru

cu noduri deplasabile, translaia unui noe se poate exprima n fincie de rotirea unei bare. Astfel,

considernd cadrul din figura 2.5, translaia 1 se exprim n funcie de rotirea 1A (a barei

1A ) prin relaia 111 AAh .

Fig. 2.5

Rezult c necunoscutele-translaii de noduri pot fi nlocuite prin necunoscute-rotiri de

bare, astfel c toate necunoscutele sunt rotiri.

Se lucreaz cu rotiri i cu momente de capt.

Adoptarea noii convenii de semn impune cteva precizri cu privire la perechea de

momente ncovoietoare care apare pe feele unei seciuni. n vechea convenie cele dou

momente ncovoietoare, reprezentnd efectul de continuitate dintr-o seciune, au acelai semn. n

noua convenie ele au semne contrare (Fig.2.6). Deci, pentru un moment de capt, se disting:

moment aplicat pe bar i moment aplicat pe nod. Datorit conveniei adoptate, trebuie s se

stabileasc de la nceput cu care dintre ele se va lucra. Se convine s se opereze cu momentele

aplicate pe bare.

79

Fig. 2.6

Blocarea nodurilor de cadru la rotire i translaie produce o separare a barelor. Astfel, din

punct de vedere al rezemrii, se disting dou tipuri de bare, dublu ncastrate i ncastrate la un

capt i rezemate oarecum la cellelt. Situaiile tip de ncrcare pentru bara dreapt sunt cele

indicate n figura 2.7.

Fig.2.7

Din ncrcarea cu fore (Fig.2.8,a), la extremitile barei iau natere momentele de

ncastrare perfect hiM i ihM . Dac bara este articulat la captul i , 0ihM .

80

mpunnd nodului h o rotire h (Fig.2.7,b), bara se deformeaz i la cele dou

extremiti se dezvolt momentele ncovoietoare hiM i ihM care, pe baza ipotezei

proporionalitii, se pot exprima astfel:

hhihi KM i hhihihihiih KMM (2.2)

unde:

- hiK este rigiditatea barei la rotire de nod (h) i reprezint momentul ncovoietor

care ia natere la extremitatea h , cnd acolo se produce o rotire egal cu unitatea,

- hi se numete factor de transmitere al momentului ncovoietor de capt (de la h la i).

Pentru unele simplificri, se poate introduce notaia

hihi EK 4 (2.3)

n care hi poart numele de coeficient de rigiditate la rotire de nod (h).

Cu aceast notaie relaiile (2.2) se scriu:

hhihi EM 4 i hhihiih EM 4 (2.4)

Se impune nodului h o deplasare astfel nct bara se rotete cu hi , i rezult

momentele ncovoietoare de capt:

hihihi KM i hiihih KM (2.5)

unde hiK i ihK poart numele de rigiditi la rotire de bar (pentru captul h , respectiv i ) i

reprezint momentele care iau natere la cele dou capete ale barei, cnd acesteia i se aplic

o rotire egal cu unitatea.

Dac se noteaz:

hihi EK 4 i ihih EK 4 (2.6)

unde hi i ih poart numele de coeficieni de rigiditate la rotire de bar (pentru captul h ,

respectiv i ), rezult:

hihihi EM 4 i hiihih EM 4 (2.7)

Elementele stabilite permit scrierea expresiilor generale ale momentelor ncovoietoare de

capt la bara ncrcat simultan cu fore, rotiri de noduri i rotire de bar, astfel:

- bara ih unete dou noduri:

hiihiihhhihiihih

hihiiihihhhihihi

EM

EM

4

4

M

M (2.8)

- bara ih unete un nod cu o ncastrare perfect (i):

81

Tabelul2.1.

Tabelul2.2.

82

hiihhhihiihih

hihihhihihi

EM

EM

4

4

M

M (2.9)

- bara ih unete un nod cu un reazem articulat (i)

hihihhihihi EM 4M (2.10)

n tabelele 2.1 (bara dublu ncastrat) i 2.2 (bara cu o ncastrare i un reazem simplu)

sunt date expresiile momentelor ncovoietoare de ncastrare perfect pentru cazurile uzuale de

ncrcri, atunci cnd bara este cu seciune constant.

Pentru calculul coeficienilor de rigiditate i a factorilor de transmitere, bara se ncarc cu

rotirile de nod h i i , precum i cu rotirea de bar hi . Toate aceste rotiri se consider

pozitive.

Expresiile sunt date n tabelul 2.3.

Tabelul 2.3

Tipul barei Bar cu I constant

kij

hi i

hi

2

1

1 ih i

ih

2

1

hi i

2

3

ih i2

3

kij

hi i

2 hi

2

1

hi i2

3

ih i

2

3

kij

hi

i4

3

3 hi

0

hi i

4

3

l

Ii

l

Ii o

o

83

2.2.Cadre cu noduri fixe

2.2.1. Precizri privind rezolvarea practic

Cadrele cu noduri fixe sunt cele care sub aciunea forelor exterioare, se deformeaz

numai prin rotirea nodurilor.

Necunoscutele sunt rotirile nodurilor, i (Zi).

Numrul necunoscutelor este egal cu numrul nodurilor rigide (blocate la rotire) Condiia de comportare identic cu structura iniial a sistemului de baz ncrcat cu forele

exterioare i cu necunoscutele rotiri reale se exprim prin sistemul ecuaiilor de condiie:

0......

.

0......

.

0......

0......

2211

2211

2222222112

1111212111

nfnnninihnhnn

ifniniiihihii

fnniihh

fnniihh

Rkkkkk

Rkkkkk

Rkkkkk

Rkkkkk

(2.11)

unde

iik - reaciunea care ia natere n blocajele nodului i , din ncrcarea sistemului de baz cu

deplasarea elastic 1i ,i este egal cu suma rigiditilor la rotire de nod ale capetelor de

bare legate n nodul i , cnd sistemul de baz este ncrcat cu rotirea de nod i=1, respectiv

.

ihk - reaciunea care ia natere n blocajele nodului i, din ncrcarea sistemului de baz cu

deplasarea elastic 1h i este egal cu suma rigiditilor barelor conectate n nodul i, cnd

sistemul de baz este ncrcat cu rotirea de nod h=1, respectiv momentul ncovoietor transmis

n captul h al barei ih cnd nodului i ise aplic o rotire egal cu unitatea Rif - reaciunea din blocajul nodului i, din ncrcarea sistemului de baz cu forele exterioare i

este egal cu suma momentelor de ncastrare perfect de pe capetele barelor conectate n nodul i.

Semnificaia ecuaiei i din sistemul ecuaiilor de condiie () : Reaciunea din blocajul

nodului i din ncrcarea sistemului de baz cu forele exterioare i cu rotirile reale 1, 2,

..,n este egal cu zero.

n vederea simplificrii calculului practic, se definete coeficientul de rigiditate la rotire ne nod

corectatih

ihih

c

cih

l

I

I

l ' , cu care rigiditatea barei la rotire de nod devine:

(2.12)

n acest mod, coeficienii din ecuaiile de condiie se pot scrie sub forma:

84

i

ihiiii

c

c

i i

ih

c

c

ih

ihih

c

c

c

c

i

ihii rcurl

EI

l

EI

l

I

I

l

l

EIEk '' ;

4444 (2.13)

'' ;444

4 hihiihihc

chihi

c

c

hi

hihi

c

chi

c

chihiih rcur

l

EI

l

EI

l

I

I

l

l

EIEk (2.14)

Coeficientul de rigiditate la rotire de nod corectat este adimensional, dar are o valoare

proporional cu rigiditatea barei.

c

c

I

l - este un raport convenabil ales, astfel nct s rezulte pentru coeficienii

'

ih , valori ct mai

simple. Cu aceste notaii ecuaia i devine

0......4

2211 ifniniiihihiic

c Rrrrrrl

EI (2.15)

Dac se face substituia nii

c

ci

l

EIZ

,1

4

, numit rotire corectat, se obine sistemul ecuaiilor de

condiie cu necunoscute rotiri corectate. Se observ c aceast rotire corectat are uniti de

msur corespunztoare unui moment ncovoietor.

Cu aceste notaii, sistemul ecuaiilor de condiie se scrie sub forma:

0......

.

0......

.

0......

0......

2211

2211

2222222112

1111212111

nfnnninihnhnn

ifniniiihihii

fnniihh

fnniihh

RZrZrZrZrZr

RZrZrZrZrZr

RZrZrZrZrZr

RZrZrZrZrZr

(2.16)

n care

iir - reaciunea care ia natere n blocajele nodului i, din ncrcarea sistemului de baz cu

deplasarea elastic 1Zi . Unitatea de msur (moment) este adus de necunoscuta Zi, cu

care acesta este multiplicat.

ihr - reaciunea care ia natere n blocajele nodului i, din ncrcarea sistemului de baz cu

deplasarea elastic 1Zh . Unitatea de msur (moment) este adus de necunoscuta Zh, cu

care acesta este multiplicat.

Coeficienii iir , numii coeficieni principali, sunt ntotdeauna diferii de zero

85

Coeficienii )( hirih , numii coeficieni secundari, sunt diferii de zero numai atunci

cnd cei doi indici identific o bar. Mai mult, n baza reciprocitii reaciunilor unitare, hiih rr .

Rezult c matricea coeficienilor necunoscutelor este simetric fa de diagonala principal i

conine muli coeficieni secundari nuli, ceea ce simplific mult rezolvarea sistemului ecuaiilor

de condiie.

Dup obinerea valorilor rotirilor nodurilor, iiZ , se trece la determinarea momentelor ncovoietoare de la capetele barelor, folosind relaiile (2.8), (2.9) i (2.10), n care 0hi , astfel:

- bara ih unete dou noduri

iihhhihiihih

iihihhhihihi

EM

EM

4

4

M

M (2.17)

- bara ih unete un nod cu o ncastrare perfect (i)

hhihiihih

hhihihi

EM

EM

4

4

M

M (2.18)


hhihihi EM 4 M (2.19)

Alctuirea sistemului de ecuaii, folosind expresiile coeficienilor necunoscutelor

conform relaiilor (1.25), conduce la valori foarte mari ale acestora (datorit modulului de

elasticitate E) i implicit la valori foarte mici pentru necunoscute. De aceea n practic se obine

o important simplificare dac se lucreaz cu mrimi corectate astfel.

Expresiile momentelor ncovoietoare de capt sunt:

- bara ih unete dou noduri

iihhhihiihih

iihihhhihihi

M

M

''

''

M

M (2.20)

- bara ih unete un nod cu o ncastrare perfect (i)

hhihiihih

hhihihi

M

M

'

'

M

M (2.21)


hhihihiM ' M (2.22)

Calculul se ncheie cu verificarea corectitudinii rezultatelor. Din cele prezentate se

constat c tot timpul a fost ndeplinit condiia de continuitate. nseamn c verificarea eficient

86

este cea care folosete condiia de echilibru static. Este vorba de a verifica echilibrul fiecrui nod

i

ihM 0 , operaie foarte simpl.

Observaie: Dac pe nodul i, de exemplu, acioneaz un moment concentrat i

M , atunci

i

i

ihiiMMR M


Aplicaia 2.1. (Fig.2.8)

Cadrul are un nod fix.

Se blocheaz nodul la rotire i se pune condiia ca reaciunea din blocajul nodului s fie egal cu

zero.

01111 fRZr

Fig. 2.8

Se determin caracteristicile de rigiditate ale barelor, respectiv se calculeaz coeficienii de

rigiditate la rotire de nod corectai pentru fiecare bar.

Se calculeaz momentele de ncastrare perfect de la capetele barelor ncrcate i se traseaz

diagrama momentelor de ncastrare perfect pe sistemul de baz.

kNmA 75,1816

42531

M

kNmC 5,678

615 2

1

M

Se ncarc sistemul de baz cu rorirea de nod corectat Z1=1, i se traseaz deformata sistemului

de baz. Momentele de la capetele barelor conectate n nod (coeficienii de rigiditate corectai ai

barelor la rotire de nod) sunt marcate pe shema deformat n figura 2.9.

Bara 1-A 1-B 1-C

5

5,1

4

3 0I 4

0I 6

3

4

3 0I

' 4,5 5 7,5

87

Fig. 2.9

175,755,411 r

75,485,6775,181 fR

8676,217

75,481 Z

NmM A k65,318676,25,475,181

kNmM B 34,148676,251

kNmM C 99,458676,25,75,671

kNmMB 17,78676,25,21

Diagramele de eforturi sunt date n figura 2.10.

Fig. 2.10

88

Aplicaia 2.2. (Fig.2.11.)

1. Structura are dou noduri fixe. 2. Se introduc blocaje la rotire n cele dou noduri i se evideniaz necunoscutele-rotiri

de noduri, obinnd astfel, sistemul de baz al structurii (geometric determinat).

3. Se calculeaz caracteristicile de rigiditate pentru fiecare bar a sistemului de baz.

Se alege 0

12

II

l

c

c

Se calculeaz momentele de ncastrare perfect la capetele barelor ncrcate cu fore

exterioare

kNm3012

610 2

2112

MM

1. Se ncarc sistemul de baz cu forele exterioare date i se traseaz diagrama momentelor de ncastrare perfect pe barele sistemului de baz.

Se ncarc sistemul de baz cu fiecare necunoscut-rotire de nod egal cu unitatea i

se traseaz deformatele sistemului de baz i diagramele corespunztoare de moment.

2. Se scrie sistemul ecuaiilor de condiie

0

0

2222121

1212111

f

f

RZrZr

RZrZr

Coeficienii necunoscutelor i termenii liberiau valorile:

4,64,2411 r

22112 rr

5,1135,4422 r

30121 MfR

30212 MfR

Sistemul ecuaiilor de condiie rezult:

0305,112

03024,6

21

21

ZZ

ZZ

i soluia

62,3,82,5 21 ZZ

Bara 1-A 1-2 2-B 2-C

i 5

0I 6

2 0I 4

0I 4

2 0I

5

0I 6

2 0I 4

0I 4

2

4

3 0I

' 2,4 4 3 4,5

89

Fig.2.11.

3. Valorile momentelor ncovoietoare la capetele barelor sunt:

kNmM A 96,1382,54,21

kNmM A 98,682,52,11

kNmM 96,1362,3282,543012 kNmM 15,2762,3482,523021

kNmM B 86,1062,332 kNmM B 43,562,35,12 kNmM C 29,1662,35,42

4. Verificare:

90

1

1 096,1396,13hM

2

2 029,1686,1015,27hM

Diagramele de eforturi se dau n figura 2.11.

2.3. Cadre cu noduri deplasabile

2.3.1. Precizri privind calculul pracric

Poziia deformat a unui cadru cu noduri deplasabile, caracterizat prin rotiri i translaii

de noduri, este definit de un numr de parametri egal cu numrul nodurilor rigide plus numrul

gradelor de libertate elastic ale structurii.

Necunoscutele sunt rotirile nodurilor i deplasrile distincte dup direciile gradelor de libertate.

Calculul se conduce pe sistemul de baz, pentru obinerea cruia se folosesc cele dou

tipuri de blocaje definite mai nainte.

n vederea simplificrii calculului, se lucreaz cu mrimi corectate, respectiv cu coeficieni de

rigiditate corectai la rotire de nod i coeficieni de rigiditate corectai la rotire de bar.

Sistemul ecuaiilor de condiie exprim faptul c reaciunile corectate din legturile

fictive ale sistemului de baz, ncrcat cu forele exterioare date i cu necunoscutele iZ , sunt

egale cu zero.

Pentru cazul general, se scrie:

0......

.

0......

0......

0......

0......

0......

11

11

11

11

11

111111111

nfnnniknkjnjinihnhn

kfnknkkkjkjikihkhk

jfnjnkjkjjjijihjhj

ifninkikjijiiihihi

hfnhnkhkjhjihihhhh

fnnkkjjiihh

RZrZrZrZrZrZr

RZrZrZrZrZrZr

RZrZrZrZrZrZr

RZrZrZrZrZrZr

RZrZrZrZrZrZr

RZrZrZrZrZrZr

(2.23)

Dac i este un nod, ecuaia 0iR arat c reaciunea-moment din blocajul de nod este

nul. Ea este numit ecuaie de nod i se deosebete de cea scris n cazul cadrelor cu noduri fixe

prin aceea c apar termeni suplimentari, rezultai din ncrcarea sistemului de baz cu deplasri

dup direciile gradelor de libertate.

Pentru stabilirea elementelor necesare scrierii sistemului ecuaiilor de condiie se

consider cadrul de form oarecare din figura 2.12,a i sistemul de baz corespunztor

(Fig.2.12,b).

91

Fig.2.12

Sistemul de baz se ncarc cu forele exterioare date i cu necunoscutele iZ (rotiri de

noduri i rotiri de bare) i se pune condiia ca reaciunile din legturile fictive introduse s fie

egale cu zero. Aa dup cum s-a vzut, n cazul acestor structuri, se disting ecuaii de nod i

ecuaii de grad de libertate. n cele ce urmeaz se va prezenta modul concret de alctuire al

acestora (Fig.2.13).

Fig.2.13

Ecuaia de nod. Forma general a ecuaiei de condiie, scris pentru nodul i , este

011 ifninjijiiihihi RZr...ZrZrZr...Zr (2.24)

92

Coeficienii necunoscutelor i termenul liber au aceeai semnificaie ca i n cazul

cadrelor cu noduri fixe. Dac h este nod i j este grad de libertate, se determin:

i

ihiif

j'

hi

i

'

ihij

hi

'

hiih

'

i

i

'

ihii

MR

r

r

r

M

)( (2.25)

Ecuaia de grad de libertate. Pentru scrierea ecuaiilor de grad de libertate se folosete

principiul lucrului mecanic virtual, exprimat sub forma (1.46). Dac se evideniaz efectul

fiecrei necunoscute i al forelor exterioare, corespunztor gradului de libertate j , se scrie

011 jfnjnkjkjjjijij RZr...ZrZrZr...Zr (2.26)

Not: Termenii acestei ecuaii au acum semnificaie de lucru mecanic.

Calculul coeficienilor necunoscutelor i al termenilor liberi se face folosind schema

cinematic i considernd deplasrile cinematice corespunztoare fiecrui grad de libertate.

Deplasrile cinematice (Fig.2.14,f,g) se aleg n aa fel nct s aib aceleai configuraii ca i

deplasrile elastice (Fig.1.14,d,e). Acest mod de a opera prezint urmtoarele avantaje:

- determinarea rotirilor barelor se face o singur dat pentru cele dou deplasri, elastic

i cinematic, corespunztoare unui grad de libertate,

- numai n felul acesta se realizeaz verificarea reciprocitii coeficienilor jiij rr , n

care i este nod, iar j este grad de libertate.

Analiznd ecuaia de grad de libertate scris, dac i este nod i k este grad de libertate,

vor trebui determinate expresiile urmtorilor termeni: jjr , jir , jkr i jfR .

Semnificaia acestora este urmtoarea:

- jjr reprezint lucrul mecanic efectuat de momentele de capt rezultate din ncrcarea

sistemului de baz cu rotirea de bar 1jZ , cnd este parcurs deplasarea cinematic 1jZ ,

- jir reprezint lucrul mecanic efectuat de momentele de capt rezultate din ncrcarea

sistemului de baz cu rotirea de nod 1iZ , cnd este parcurs deplasarea cinematic 1jZ ,

- jkr reprezint lucrul mecanic efectuat de momentele de capt rezultate din ncrcarea

sistemului de baz cu rotirea de bar 1kZ , cnd este parcurs deplasarea cinematic 1jZ ,

- jfR reprezint lucrul mecanic efectuat de forele exterioare date i de momentele de

ncastrare perfect datorate acestor fore, acionnd pe sistemul de baz, cnd este parcurs

deplasarea cinematic 1jZ .

Pe baza semnificaiei pe care o are fiecare termen i opernd schimbarea de semn cerut

de ecuaia (1.46), rezult expresiile:

93

)(

)()(

)()(

)()(

j

hi

j

ihhi

(j)

fjf

j

hi

k'

hi

kj,

'

ih

'

hijk

j'

hi

i

'

ih

j

hi

i

ih

'

ihji

j

hi

j'

hi

j

'

ih

'

hijj

LR

r

1r

r

MM

(2.27)

Observaie: n scopul diferenierii, rotirile de bar din schema cinematic s-au notat cu simboluri barate.

Odat alctuit, sistemul ecuaiilor de condiie se rezolv i se obin valorile

necunoscutelor iZ , dup care se trece la calculul momentelor ncovoietoare finale ce iau natere

la capetele barelor.

Verificarea folosind condiia de echilibru static:

- Cunoscnd momentele ncovoietoare finale de la capetele barelor, se verific echilibrul

fiecrui nod ( 0i

ihM ).

- Considernd schema cinematic ncrcat cu forele exterioare date i cu momentele de

capt, schem care este n echilibru, corespunztor fiecrui grad de libertate se dau deplasri

virtuale compatibile cu legturile i se controleaz dac n fiecare caz lucrul mecanic este egal cu

zero ( 0)()( jfj

M LL ).

94



Cadrul are un nod rigid i un grad de libertate elastic.

Bara 1-A 1-B 1-C

64

3 0I 5

4

4

3 0I 4

2 0I

' 1 4,8 4

' 1 4,8 6

kNmCC 1212

49 2

11

MM

0

0

2222121

1212111

f

f

RZrZr

RZrZr

Coeficienii ecuaiei de nod:

8,948,4111 r

612 r

121 fR

Coeficienii ecuaiei de grad de libertate:

612421 r 1216622 r

722492 fR

072126

01268,9

21

21

ZZ

ZZ

7647,7Z,5294,3Z 21

kNm53,35294,31M A1 kNm94,165294,38,4M B1

kNm47,207647,765294,3412M C1 kNm50,517647,765294,3212M 1C

Diagramele T, M i N se prezint n figura 2.14.

95

Fig.2.14

96



Se calculeaz, pentru fiecare bar a sistemului de baz, coeficienii de rigiditate la rotire

de nod corectai i coeficienii de rigiditate la rotire de bar corectai.

Bara 1-A 1-B 1-C

5

3

4

3 0I 4

0I 4

2

4

3 0I

' 3,6 2 3

' 3,6 3 3

Momentele de ncastrare perfect de la capetele barei ncrcate

kNmC 1516

42031

M

0

0

2222121

1212111

f

f

RZrZr

RZrZr

6,8326,311 r

312 r

151 fR

311221 r 613322 r

02 fR

063

01536,8

21

21

ZZ

ZZ

057,1,113,2 21 ZZ

kNmM A 606,7113,26,31

kNmM B 055,1057,13113,221

kNmM B 058,1057,13113,211

kNmM C 661,8113,23151

Diagramele T, M, N de eforturi sunt date n figura 2.15.

97

Fig.2.15.

98



Momentul concentrat este aplicat n nod, nu produce momente de ncastrare perfect la capetele

barelor, iar semnul lui este dat de sensul de rotire (+ n sens orar).

0

0

2222121

1212111

f

f

RZrZr

RZrZr

Reaciunea moment din blocajul nodului 1 este egal i de sens contrar momentului direct

aplicat pe nod.

5,25,1111 r

5,112 r

301 fR

5,115,121 r 5,115,122 r 02 fR

05,15,1

0305,15,2

21

21

ZZ

ZZ

30,30 21 ZZ

kNmM A 303011

kNmM A 15305,01

0305,1305,11 AM

Diagramele finale de eforturi se prezint n figura 2.16.

Bara 1-A 1-C

5

0I 5

2

4

3 0I

' 1 1,5

' 1,5 1,5

99

Fig.2.16

100

2.3. Probleme propuse


a). Structura este un cadru cu noduri deplasabile.

b). Cadrul are gradul de nedeterminare elastic egal cu 1.

c). Gradul de nedeterminare geometric al structurii este egal cu 2.

d). Structura este geometric determinat.


2.3.2. Pentru structura din figur, care este diagrama momentelor de ncastrare perfect pe barele

sistemului de baz (structura cu nodurile blocate) din ncrcarea acesteia cu fore exterioare date?

101

a). b). c).

d). e).

2.3.3.

102

Pentru structura din figur, care este diagrama de moment ncovoietor m1 pe sistemul de baz

(structura cu nodul blocat) ncrcat cu rotirea de nod Z1=1?

b) b). c).

d). e).

103

2.3.4. Pentru structura din figur, care este valoarea coeficientului k11 din ecuaia de condiie?

a). 1.4 EI0 b). -2 EI c). 2 EI0 d). 3,8 EI0 e). 2,2 EI0

2.3.5. Pentru structura din figur, care este deformata sistemului de baz (structura cu nodul blocat) din

ncrcarea acestuia cu rotirea de nod Z1=1?

b) b). c).

104

d). e).


a). Structura este geometric determinat.

b). Structura este un cadru cu noduri fixe.

c). Cadrul are gradul de nedeterminare elastic egal cu 1.

d). Gradul de nedeterminare geometric al structurii este egal cu 1.


105

2.3.7. Pentru structura din figur, care dintre urmtoarele enunuri este adevrat:

a). structura are un grad de libertate cinematic

b). cadrul este cu noduri deplasabile

c). gradul de nedeterminare geometric al structurii este egal cu 1

d). cadrul este cu un nod fix

e). cadrul are un grad de libertate elastic

2.3.8. Care este diagrama de momente de ncastrare perfect corect, din incrcarea sistemului de baz

cu fortele exterioare, pentru urmtoarea structur?

a). b).

106

c). d). e)

2.3.9. Care este diagrama m1 corect, din incrcarea sistemului de baz (structura cu nodul

blocat) cu deplasarea elastic 1=1, pentru urmtoarea structur?

a). b).

107

c ). d). e).

2.3.10. Pentru cadrul din figura de mai jos, se cere s se determine valoarea corect a

coeficientului k11 din ecuaia de condiie.

a). 5,25EI0 b). 3,60EI0 c). 4,05EI0 d). 3,05EI0 e). 2,80EI0

2.3.11. Pentru cadrul din figura de mai jos, s se determine valoarea corect a coeficientului R1f din ecuaia de condiie.

a). 101.67 b). -35 c). 115

d). 35 e). -115

108

2.3.12. Care este forma corect a deformatei din incrcarea sistemului de baz cu necunoscuta Z1=1,

pentru structura din figura de mai jos?

a). b).

c ). d).

e).

109

2.3.13. Pentru structura din figur i diagrama final de moment ncovoietor, care este diagrama corect

de fort tietoare?

a). b).

c ). d).

e).

110

2.3.14. Care este numrul gradelor de nedeterminare geometric a structurii din figura urmtoare?

a). 4 b). 2 c). 1 d). 0 e). 3

2.3.15. Pentru structura din figura de mai jos, care este diagrama corect a momentelor de ncastrare

perfect pe barele sistemului de baz aferent (structura cu nodurile blocate), rezultat din

ncarcarea acestuia cu forele exterioare date.

111

a). b).

c ). d).

e).

2.3.16. Pentru structura din figura de mai jos, care este diagrama de moment corect, pe sistemul de baz

(structura cu nodurile blocate), rezultat din ncarcarea acestuia cu deplasarea elastic 1=1?

112

a). b).

c ). d) .

e).

2.3.17. Pentru structura din figura de mai jos, care este forma corect a deformatei din ncarcarea

sistemului de baz cu deplasarea elastic 1=1?

113

a). b).

c ). d).

e).


distribuie d12 :

a). 0,333 b). 0,40 c). 0,667

d). 0,60 e). 0,833

114


distribuie d1A :

a). 0,40 b). 0,333 c). 0,667

d). 0,30 e). 0,20


distribuie d21 :

a). 0,50 b). 0,210 c). 0,474

d). 0,529 e). 0,429


distribuie d2B :

115

a). 0,235 b). 0,333 c). 0,50

d). 0,210 e). 0,316

2.3.22. Pentru cadrul de mai jos se cere sa sedetermine valoarea corecta a coeficientul de distributie d2C :

a). 0,210 b). 0,667 c). 0,50

d). 0,235 e). 0,316

116


a). Cadrul este cu noduri fixe

b). Structura are un grad de libertate cinematic

c). Structura are dou grade de libertate elastic

d). Gradul de nedeterminare geometric al structurii este egal cu 3

e). Cadrul este static determinat


a). Cadrul este cu noduri deplasabile

b). Cadrul este geometric determinat

c). Structura are un grad de libertate cinematic

d). Gradul de nedeterminare geometric al cadrului este 1

e). Structura are un grad de libertate elastic

117

2.3.25. Pentru structura din figura de mai jos, care dintre diagramele de momente din deplasri

elastice 1=1 este corect?

a). b).

c ). d).

e).

118

2.3.26. Pentru structura din figur, care este diagrama de moment corect rezultat din ncarcarea

sistemului de baza (structura cu nodurile blocate) cu fortele exteroare date.

a) b)

c ) d)

119

e)


a). -22.5 b). 45 c). -45 d). -67,5 e). 67,5


120

a). 22.5 b). -15.5 c). -17.5

d). -22,5 e). 0,00


a). 2 b). 3 c). 1 d). 4 e). 0



a). b).

121

c). d).

e).

2.3.34. Pentru structura din figura, care este diagrama de moment incovoietor m1 pe sistemul de baza

(structura cu nodul blocat) incarcat cu rotirea de nod Z1=1?

122

a). b).

c). d).

e).

2.3.35. Pentru structura din figura, care este valoarea coeficientului k11 din ecuatia de conditie?

123

a). -2,8 EI0 b). -2,7 EI0 c). 0,3 EI0

d). 1,2 EI0 e). 2,7 EI0

2.3.36. Pentru structura din figura, care este valoarea coeficientului R1f din ecuatia de conditie?

a). 72,75 KNm b). -35,25 KNm c). 35,25 KNm

d). -25,25 KNm e). 48,20 KNm



124

a). b).

c). d).

e).

2.3.38. Pentru structura din figura si diagrama finala de moment incovoietor aferenta, care este diagrama

125

de forta taietoare T?

a). b).

c). d).

e).

126


a). 1 b). 3 c). 2 d). 4 e). 0


sistemului de baza din incarcarea acestuia cu fortele exterioare date?

a).

b).

127

c).

d).

e).



128

a). b).

c). d).

e).


129

conditie?

a). 3,75 EI0 b). -4,45 EI0 c). 2,05 EI0

d). 4,45 EI0 e). -1,25 EI0


conditie?

a). 0,64 EI0 b). -0,61 EI0 c). 0,61 EI0

d). 0,48 EI0 e). 0,56 EI0

2.3.44. Pentru structura din figura, care este diagrama corecta m2 din deplasarea elastica 2=1?

130

a). b).

c). d).

e).

2.3.45.

131

Pentru structura din figura, care este diagrama corecta m2 din deplasarea elastica 2=1?

a). b).

c) d).

e).

132

2.3.46. Structura din figura va fi rezolvata cu procedeul iterativ de distributie a momentelor (metoda

Cross). Care este valoarea coeficientului de distributie d1A?

a). 0.350 b). 0.505 c). 0.270

d). 0.375 e). 0.225

2.3.47. Pentru structura din figura, care este diagrama finala de moment incovoietor M?

a). b).

133

c). d).

e).



a). b).

134

c). d).

e).

135

2.4. RSPUNSURI 2.3.1. d

2.3.2. a

2.3.3. c

2.3.4. c

2.3.5. a

2.3.6. b

2.3.7. d

2.3.8. b

2.3.9. e

2.3.10. d

2.3.11. b

2.3.12. c

2.3.13. d

2.3.14. e

2.3.15. b

2.3.16. d

2.3.17. d

2.3.18. c

2.3.19. b

2.3.20. c

2.3.21. d

2.3.22. e

2.3.23. d

2.3.24. d

2.3.25. a

2.3.26. e

2.3.27. c

2.3.28. d

2.3.32. c

2.3.33. b

2.3.34. d

2.3.35. e

2.3.36. c

2.3.37. a

2.3.38. e

2.3.39. c

2.3.40. b

2.3.41. a

2.3.42. d

2.3.43. b

2.3.44. a

2.3.45. b

2.3.46. e

2.3.47. a

2.3.48. e

Static Aii 2

Documents

Transcript of Static Aii 2