Stabilitate_dinamica

CONSTANTIN IONESCU

STABILITATEA I DINAMICA CONSTRUCIILOR

EDITURA SOCIETII ACADEMICE "MATEI-TEIU BOTEZ" IAI - 2007

3

CUPRINS C Cap.1 Stabilitatea i Dinamica Construciilor 6

1.1.Generaliti 1.2. Dinamica construciilor

Cap.2 Sisteme cu un grad de libertate dinamic 21 2.1. Vibraiile libere ale sistemelor cu 1GLD 2.2.1. Vibraii libere cu amortizare vscoas

P.1 Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD vibraii libere 37

Cap.3 Sisteme vibrante cu 1GLD 49 3.1 Vibraii forate neamortizate 3.2. Vibraii forate amortizate 3.3. Etape de calcul pentru trasarea diagramelor de eforturi

maxime i minime n cazul vibraiilor forate

Cuprins

4

3.4. Vibraii forate produse de fore perturbatoare n alte situaii de ncrcare

P.2 Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD vibraii forate 59

E.1 Probleme propuse pentru rezolvare. Sisteme cu 1GLD vibraii libere i forate 82 Cap.4 Sisteme vibrante cu n GLD 87

4.1 Vibraii libere. Metoda forelor de inerie sau metoda matricei de flexibilitate

4.2. Aplicaie 4.3. Determinarea matricei de flexibilitate

Cap.5 Sisteme vibrante cu n GLD 102 5.1. Vibraii libere ale sistemelor cu n GLD. Metoda matricei de rigiditate 5.2. Aplicaie sistem vibrant cu 2GLD 5.3. Proprietatea de ortogonalitate a formelor proprii de vibraie 5.4. Normalizarea formelor proprii de vibraie 5.5. Proprietile pulsaiilor proprii 5.6. Determinarea matricei de rigiditate a sistemului vibrant

P.3 Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD vibraii libere 117

Cap.6 Sisteme vibrante cu n GLD. Vibraii forate produse de aciunea unor fore perturbatoare armonice

145 6.1. Metoda matricei de rigiditate 6.2. Metoda matricei de flexibilitate

P.4 Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD vibraii forate 154

E.2 Probleme propuse pentru rezolvare. Sisteme cu n GLD vibraii libere i forate 171 Cap.7 Sisteme vibrante cu n GLD 175 7.1. Analiza modal a rspunsului dinamic al sistemelor cu nGLD

7.2. Etape de calcul n analiza modal a rspunsului dinamic al sistemelor cu nGLD

Cap.8 Calculul de stabilitate. Calculul de ordinul II 180 8.1. Consideraii generale 8.2. Calculul de stabilitate. Tipuri de pierdere a stabilitii

Cap.9 Calculul de ordinul II 189 9.1. Grinda ncastrat

STABILITATEA I DINAMICA CONSTRUCIILOR 5

9.2. Calculul de ordinul II. Determinarea eforturilor i deplasrilor prin metoda parametrilor n origine 9.3. Aplicaii

Cap.10 Calculul deplasrilor i rigiditilor de ordinul II 200

10.1 Metoda Mohr - Maxwell 10.2. Aplicaii. Calculul deplasrilor 10.3. Calculul rigiditilor de ordinul II la bara dreapt 10.4. Momentele de ncastrare perfect de ordinul II ale grinzii dublu ncastrate

Cap.11 Calculul de stabilitate a cadrelor utiliznd matricea de flexibilitate 219 11.1. Ecuaia de stabilitate

11.2. Etape n calculul de stabilitatea a cadrelor 11.3. Aplicaii

Cap.12 Calculul de ordinul II al cadrelor prin metoda forelor 234 12.1. Metoda forelor n calculul de ordinul I

12.2. Calculul de ordinul II

Cap.13 Studiul de stabilitate i calculul de ordinul II al cadrelor cu noduri fixe prin metoda deplasrilor 248 13.1. Studiul de stabilitate a cadrelor cu noduri fixe folosind matrice de rigiditate

13.2. Calculul de ordinul II al cadrelor cu noduri fixe folosind metoda deplasrilor

Cap.14 Calculul de ordinul II i de stabilitate. Cadre cu noduri deplasabile 263

14.1. Metoda deplasrilor 14.2. Relaii difereniale ntre eforturi i ncrcri 14.3. Calculul de ordinul II al cadrelor cu noduri deplasabile 14.4. Calculul de stabilitate a cadrelor cu noduri deplasabile folosind matricea de rigiditate. Etape de calcul

B. Bibliografie 287

CAPITOLUL 1 STABILITATEA I DINAMICA

CONSTRUCIILOR

1.1.Generaliti Obiectul de studiu Stabilitatea i Dinamica Construciilor se

pred studenilor, care aprofundeaz profilul construcii, n anul al III-lea, semestrul 6, pe durata a 14 sptmni.

Disciplina se compune din trei pri distincte: a) Dinamica Construciilor; b) Stabilitatea Construciilor i c) Calculul de Ordinul II.

Dinamica construciilor este o tiin care face parte din Mecanica construciilor, alturi de: Mecanica Teoretic, Rezistena Materialelor, Statica Construciilor, Teoria Elasticitii etc. Are ca obiect


de studiu echilibrul dinamic al structurilor, exprimat prin metode specifice pentru aflarea strii de efort i deformaie, produs de aciuni.

Scrierea ecuaiilor de echilibru se face aplicnd principiul lucrului mecanic virtual, principiul lui DAlembert, ecuaiile lui Lagrange de spea a doua sau principiul lui Hamilton.

Stabilitatea Construciilor i Calculul de Ordinul II. Exprimarea echilibrului unei structuri n raport cu poziia sa deformat, face obiectul de studiu al stabilitii i calculului de ordinal II.

Calculul de stabilitate const din identificarea naturii echilibrului poziiei deformate a unei structuri. Mrimile eforturilor axiale sunt necunoscute.

Calculul de ordinul II al unei structuri de rezisten, const din determinarea strii de tensiune i deformaie prin exprimarea echilibrului n raport cu poziia sa deformat. n calculul de ordinul II, sarcinile transversale i eforturile axiale se presupun cunoscute.

1.2. Dinamica construciilor 1.2.1. Aciuni. Sistem. Rspuns Abordarea sistemic a problemelor din Dinamica Structurilor

presupune definirea sistemului vibrant, a aciunilor i a rspunsului.

Aciunea reprezint o cauz care produce, n elementele unei structuri de rezisten a unei construcii, eforturi i tensiuni, deplasri i deformaii, pulsaii etc. Pentru calcul, aciunea se reprezint sub form de fore i deplasri, caracterizate cantitativ prin parametri corespunztori.

Aciunea dinamic reprezint o cauz rapid variabil n timp, ce se manifest asupra unui sistem dinamic, genernd eforturi ineriale. Exemple de aciuni dinamice:

a) aciuni produse de utilaje i echipamente: maini unelte, motoare cu mecanism biel manivel, prese i maini de forat, concasoare i mori (din industria materialelor de construcii);

b) sarcini mobile: trafic, autovehicule, poduri rulante, vagoane de cale ferat etc.;

c) aciunea vntului; d) aciunea seismic; e) explozii.

Sistem. Un sistem vibrant este constituit din structura propriu-zis a unei construcii la care se ataeaz mase distribuite (dup o anumit lege) i/sau mase concentrate.

Stabilitatea i Dinamica Construciilor 8

Orice structur este capabil, sub aciunea unor cauze cu caracter dinamic (variabile n timp), s efectueze micri relative n jurul unei poziii de echilibru. Acest fenomen se datoreaz faptului c structura posed proprieti ineriale (mase concentrate i distribuite) i elastice (definite prin flexibilitate sau rigiditate).

Deoarece micarea unui asemenea sistem se repet, n timp, dup anumite legi de variaie, tipul de comportament al sistemului se numete micare vibratorie sau vibraie.

Rspuns. Rspunsul dinamic liber caracterizeaz micarea unui sistem vibrant n anumite condiii iniiale (deplasare sau vitez), dup ce a ncetat cauza care a produs micarea.

Rspunsul dinamic forat caracterizeaz micarea unui sistem dinamic pe timpul istoric al aplicrii aciunii dinamice. Rspunsul dinamic se exprim n mrimi cinematice fundamentale: deplasri, viteze i acceleraii sau derivate: energii, fore generalizate, eforturi, tensiuni i deformaii.

Obiectul de studiu al Dinamicii Structurilor l constituie identificarea relaiilor existente ntre aciunile dinamice, parametrii de definire a sistemului vibrant i rspunsul dinamic al acestuia.

1.2.2. Aspecte fundamentale n Dinamica Structurilor Cele trei probleme fundamentale ale Dinamicii Structurilor sunt

urmtoarele: a) Analiza; b) Sinteza i c) Identificarea.

Analiza. Prin analiza unui sistem vibrant se nelege determinarea caracteristicilor de rspuns ale acestuia cnd se cunosc: aciunea i caracteristicile sistemului.

Sinteza. Sinteza unui sistem dinamic reprezent modul cel mai complex de a trata problemele de dinamic. Se pune problema determinrii caracteristicilor fizice ale sistemului cunoscnd: aciunea i rspunsul.

Identificarea excitaiei. n cazul n care se cunosc caracteristicile sistemului dinamic i rspunsul acestuia, se poate determina aciunea aplicat pe sistem. Sistemul joac rolul unui instrument de msur.

1.2.3. Clasificarea micrilor vibratorii Micrile vibratorii pot fi clasificate din mai multe puncte de

vedere, funcie de cauza care produce vibraia, forele de rezistent, de excitaie etc.


a) Dup reprezentarea analitic: i. vibraii armonice micri reprezentate prin funcii

trigonometrice; ii. vibraii periodice micri care se repet identic dup

un interval de timp, T, numit perioad de vibraie; iii. vibraii descresctoare amplitudinile micrii se

micoreaz n timp; iv. vibraii cresctoare amplitudinile micrii cresc n timp.

b) Dup cauza care produce vibraia: i. vibraii libere produse de un oc (condiii iniiale: vitez

i deplasare). Cauza dispare i sistemul vibreaz liber, pe toat durata micrii sistemul nmagazineaz energie;

ii. vibraii forate sunt produse de o excitaie perturbatoare exterioar independent de caracteristicile sistemului vibrant. Sistemul nmagazineaz energie pe toat durata micrii; forele perturbatoare pot fi armonice, periodice sau oarecare;

iii. vibraii parametrice sunt produse de vibraia periodic a unui parametru al micrii: masa, constanta elastic sau amortizarea, care sunt variabile n timp;

iv. vibraii autoexcitate produse de cauze interne ale sistemului;

v. ocul caracterizeaz un fenomen extrem de rapid i de mare intensitate; dac ocul este de foarte scurt durat vibraia se transform n vibraie liber.

c) Dup fora de rezisten: i. vibraii neamortizate forele de frecare sunt mici i se

neglijeaz;

ii. vibraii amortizate forele interioare nu se pot neglija i n interiorul sistemului se produc disipri importante de energie.

d. Dup modul de exprimare a excitaiei sau a rspunsului: iii. vibraii deterministe orice mrime ce caracterizeaz

vibraia poate fi determinat, la un moment dat, cunoscnd funcia prin care este reprezentat vibraia;

iv. vibraii aleatoare (nedeterministe) mrimile caracteristice ale vibraiei sunt determinate pe baze probabilistice.


1.2.4. Modelarea sistemelor Structurile de rezisten ale construciilor sunt sisteme cu mas

distribuit continuu dup a anumit lege. Caracteristicile acestor sisteme pot defini un model fizic i un model matematic.

Modelul fizic este compus din schema static a structurii, obinut prin reducerea elementelor de construcie la axele sale, de exemplu: grinzi simplu rezemate, grinzi cu console, grinzi cu zbrele, arce, cadre etc., la care se ataeaz mase concentrate sau distribuite (dup o anumit lege). Modelul astfel obinut, poart denumirea de sistem dinamic sau vibrant. n figurile 1.1, 1.2. i 1.3. sunt prezentate exemple de modelri dinamice.

l/4

cb

l/2 l/4

m

Fig.1.1. Grinda simplu rezemat:

a. grinda propriu zis cu mas distribuit; b. schema static a grinzii, c. sistemul dinamic (vibrant) cu mas concentrat

b. c.

m

m

d.

m1

m2

m

a.

Fig.1.2. Grinda ncastrat :a. grinda propriu zis cu mas distribuit; b., c. i d. sisteme

dinamic e (vibrante ) cu mase concentrate


Orice sistem vibrant este capabil, sub aciunea unor cauze cu caracter dinamic (variabil n timp), s efectueze micri relative n jurul

b.

Fig. 1.3. Cadru static nedeterminat: a. cadru propriu-zis; b., c. sisteme dinamice

a.

m

c.

m1 m 2

unei poziii de echilibru. Acest fenomen se datoreaz faptului c modelul posed caracteristici elastice i ineriale. Caracteristicile elastice sunt definite prin rigiditi i/sau flexibiliti. Cele ineriale sunt statuate prin mase concentrate sau/i distribuite.

Micarea care se repet, n timp, dup o anumit lege se numete vibraie sau micare vibratorie. Micarea vibratorie dup o anumit perioad de timp nceteaz datorit caracteristicilor de amortizare ale sistemului dinamic.

Modelul matematic este constituit din ecuaiile de echilibru dinamic al modelului vibrant.

1.2.5. Coordonate dinamice Poziia instantanee a unui sistem vibrant, n orice moment al micrii, poate fi determinat printr-o infinitate de parametri independeni sau coordonate dinamice, numite i grade de libertate dinamic (notate, pe scurt, GLD).

Deplasrile msurate pe direcia GLD reprezint necunoscutele fundamentale ale Dinamicii Structurilor.


n vederea simplificrii modelului dinamic, sistemul dinamic cu mas distribuit poate fi transformat, presupunnd un anumit grad de aproximare, ntr-un sistem cu mase concentrate. Gradul de aproximare este cu att mai mare cu ct numrul de mase este mai mic.

Pentru un sistem static, numit i model static, se pot evidenia caracteristicile statice, definite prin intermediul gradului de nedeterminare static, notat GNS i gradul de nedeterminare cinematico-elastic, GNCE, figura 1.4.

x

y

Fig. 1.4. Cele dou poziii: iniial i deplasat ale unui cadru; x, y i coordonate statice

Prin grad de nedeterminare static, al unei structuri static nedeterminat, se nelege numrul minim de legturi care trebuie suprimate pentru ca structura s devin static determinat. Se determin cu relaia:

( ) crlGNS 3+= (1.1) sau skGNS = 3 (1.2) unde: l reprezint numrul de legturi simple interioare, r numrul de legturi simple din reazeme; k numrul de contururi distincte; s numrul de legturi simple lips unui contur pentru ca acesta s fie de trei ori static nedeterminat; c numrul de corpuri.

Prin grad de nedeterminare cinematico-elastic a unei structuri se nelege posibilitile distincte de deplasare a nodurilor. Se stabilete cu relaia:

NGNCE = 3 , (1.3)


pentru structuri plane i cu formula

NGNCE = 6 , (1.4) pentru structuri spaiale.

Gradul de nedeterminare cinematico-elastic a unei structuri se poate determina i cu relaia:

gNGNCE += , (1.5) ( )rlcg += 3 , (1.6) unde: N reprezint numrul de noduri rigide, g numrul de grade de libertate, care se determin pe o structur obinut din structura dat (static nedeterminat) prin introducerea de articulaii n nodurile rigide i n reazemele ncastrate; c, l, r idem relaia (1.1).

Gradul de libertate dinamic se determin cu relaiile:

NGLD = 3 (1.7) pentru sisteme dinamice plane i

NGLD = 6 , (1.8) pentru sistemele dinamice aflate ntr-o stare spaial de comportare, unde N reprezint numrul de mase concentrate, sau cu formula:

=GLD , (1.9) n cazul sistemelor dinamice cu mase distribuite dup o anumit lege de variaie.

Asemnarea dintre relaii (1.3) i (1.6), respectiv (1.4) cu (1.7) ne relev faptul c gradul de nedeterminare cinematico-elastic, determinat pentru un model static, este egal cu gradul de libertate dinamic, dac sistemul dinamic, pe care de determin GLD, este obinut prin concentrarea maselor n nodurile rigide ale modelului static, figura 1.5.

Referitor la relaiile (1.6) i (1.7) este de menionat faptul c la acordarea numrului de grade de libertate dinamic se va lua n considerare numai deplasrile importante. Astfel, n cazul situaiilor din figura 1.6, numrul real al gradelor de libertate este mai mic dect cel obinut din calcul, aplicnd relaia (1.6), deoarece unele deplasri dinamice sunt nesemnificative n comparaie cu altele.


1.2.6. Sistem dinamic (vibrant) Asocierea urmtoarelor caracteristici fundamentale:

a) inerial (generat de micare); b) disipativ (generat de capacitatea de amortizare); c) elastic, datorat proprietilor de deformabilitate ale

sistemului, care nu se modific pe toat durata micrii, se numete (reprezint un) sistem dinamic (model dinamic, sistem vibrant).

1x

2y

3 6

4x

5y

Fig. 1.5. Model static i model dinamic. Comparaie ntre gradele de nedeterminare cinematico-elastice i gradele de libertate dinamic:

a. structura deformat a modelului static se caracterizeaz prin GNCE = 6 (dou noduri a cte trei deplasri);

b. modelul dinamic definete un GLD = 6 (dou mase a cte 3GLD)

)t(x1

)t(y2

)t(3 )t(6

)t(x4

)t(y5

a.

b.


GLD=3, conform relatiei (1.6.)GLD=3, acordate

1

2

1m

2m

1

2

1

2c.

1

2m1mb.

1 2

GLD=3, conform relatiei (1.6.)GLD=1, acordat

GLD=6, conform relatiei (1.6.)GLD=2, acordate

GLD=2 acordate GLD=2, acordate

d. e.

Fig. 6. Modalitti de acordare a gradelor de libertate dinamic pentru diverse modele dinamice

Cel mai simplu sistem dinamic poate fi obinut prin asamblarea unei mase cu un element elastic caracterizat prin flexibilitate, notat sau rigiditate, notat k, n anumite condiii de fixare n plan sau spaiu, figura 1.7.


a.

1GLD

b.

x(t)

Fig. 1.7. Sisteme dinamice cu 1GLD

m

kx(t)

k m

a.

b.x(t)

Fig. 1.8. Sisteme dinamice complete cu 1GLD

m

kx(t)

m

k

c

c

x(t)

mk

c

n Dinamica Structurilor pentru realizarea sistemelor dinamice se

utilizeaz o serie de modele reologice, printre care menionm: modelul Hooke, modelul Newton, modelul Kelvin Voigt, modelul Maxwell etc., figura 1.9.

Descrierea analitic a comportrii unui sistem dinamic se realizeaz pe baza unui model matematic.

Masa. Masa a fost definit de Newton ca o noiune care reflect proprietile generale i obiective de inerie i gravitaie ale materiei.


Fig. 1.9. Modele reologice: a. Hooke; b. Newton; c.Kelvin-Voigt; d. Maxwell

k

c

kckc

a. b. c. d.

Masa se determin cu relaia:

Vm = ,[kg] (1.9) unde: reprezint densitatea materialului, [kg m-3]; V volumul materialului, [m3]. Masa se poate calcula i cu relaia:

Gm = , [kg] (1.10)

n care: reprezint greutatea specific a materialului, unitatea de msur: [N m-3]; G greutatea corpului, unitatea de msur: [N].

Egalnd relaiile (1.9) i (1.10) rezult:

GV =

sau

mg

GV == ,

n final:

g

Vm = . (1.11)

Relaia (1.11) se utilizeaz pentru determinarea masei prin intermediul volumului materiei, V, greutatea specific a acesteia, i acceleraia gravitaional, g.

Caracteristica disipativ. n cazul amortizrii vscoase, caracteristic disipativ se evideniaz prin intermediul coeficientului de amortizare vscoase, notat c. Considernd fora de amortizare


proporional cu viteza prin intermediul coeficientului de amortizare, aceasta se determin cu relaia:

vcFa = (1.12) unde: Fa reprezint fora de amortizare, [N]; v viteza, [ms-1]; c coeficientul de amortizare vscoas.

a1

1GLD

a2

1 GLDm

b1

1,1

a3

b2

1,1

b3

Fig. 1.10. Sisteme vibrante. Situaii de ncrcare pentru determinarea

flexibilitii, . Din relaia (1.12) se exprim coeficientul de amortizare:

vF

c a= (1.13)


i apare evident c unitatea de msur este: [N m-1s] sau [kg s-1].

Caracteristica elastic. Flexibilitatea, notat , se definete ca fiind deplasarea msurat pe direcia gradului de libertate dinamic a unui sistem vibrant, produs de o for egal cu unitatea aplicat n dreptul masei i pe direcia GLD. Se calculeaz cu relaia Mohr - Maxwell:

dxEI

)x(M)x(M = , [m N-1] (1.14) n figura 1.10 sunt prezentate diverse situaii de ncrcare pentru

calculul flexibilitii.

Rigiditatea reprezint, n cazul unui sistem vibrant cu 1 GLD, fora care acionnd n dreptul masei i pe direcia GLD, produce pe aceast direcie o deplasare egal cu unitatea, figura 1.11.

Rigiditatea este inversul flexibilitii. Rezult relaia:

1= k . (1.15) Apare evident c unitatea de msur a rigiditii este: [N m-1].

Obs. Pentru aflarea numrului de grade de nedeterminare static a unei structuri se folosete i relaia:

sakGNS = 23 (1.16) unde: k reprezint numrul de conturi nchise;

3 - numrul de nedeterminri simple introduse de un contur nchis;

a numrul de articulaii simple. Articulaia simpl leag dou bare ntre ele. ntr-un nod cu n bare articulate ntre ele sunt n-1 articulaii simple;

s numrul reazemelor simple.

Obs. 1. Orice articulaie simpl interioar sau ntr-un reazem presupune o legtur mai puin n comparaie cu continuitatea. Existena unei articulaii simple reduce gradul de nedeterminare static cu o unitate.

2. Un reazem simplu presupune dou legturi simple mai puin fat de reazemul ncastrat, deci reduce cu dou uniti gradul de nedeterminare static.

n cazul determinrii numrului de grade de libertate a unui cadru se poate utiliza i relaia:

sabg = 23 (1.17)


n care: b reprezint numrul de bare dintr-un mecanism (sistem cinematic cu un singur grad de libertate cinematic); 3 numrul de grade de libertate ale unui corp n plan, deci pentru b bare care alctuiesc o structur vor exista 3b grade de libertate; a numrul de articulaii simple; 2 numrul de legturi simple introduse de o articulaie n plan; s numrul de legturi simple (reazeme simple legturi simple cu terenul).

CAPITOLUL 2 SISTEME CU UN GRAD DE

LIBERTATE DINAMIC

2.1. Vibraiile libere ale sistemelor cu 1GLD 2.1.1. Ecuaii de echilibru

Ecuaiile de echilibru care guverneaz micrile unui sistem cu 1 GLD, figura 2.1, se deduc prin exprimarea echilibrului dinamic instantaneu. Echilibrul dinamic, conform principiului lui dAlembert, se reduce la un echilibru static prin includerea i a forei de inerie. Echilibrul dinamic se exprim n raport cu poziia de echilibru static al sistemului vibrant.

Sisteme cu un grad de libertate dinamic. Vibraiile libere

22

u(t) x(t)

b.

u(t)

m

a.

F(t) m

x(t)

Fig.2.1. Modaliti de acionare a sistemelor cu 1GLD: a. aplicarea direct a aciunii, b. aplicarea indirect a aciunii

Forele care intervin n ecuaiile generale de condiie sunt incluse n dou categorii:

a. fore active, care ntrein micarea, clasificate n: i. aciuni exterioare; ii. fore de inerie, generate de masele n micare;

b. fore pasive, care se opun micrii, numite i fore de rezisten, generate de caracteristicile elastice i disipative (de amortizare), distingem:

i. fora elastic; ii. fora de amortizare.

Aciunile exterioare care se manifest asupra sistemelor cu 1GLD se pot clasifica n dou categorii, n acest sens nominalizm:

a. aciuni aplicate direct pe sistem, figura 2.1.a, notate F(t); b. aciuni aplicate indirect prin intermediul unei deplasri

aplicate bazei de rezemare a sistemului, figura 2.1.b, notate u(t).

Forele care particip la echilibrul dinamic instantaneu, n cazul aciunilor aplicate direct pe sistem, figura 2.1, sunt urmtoarele:

a. fora de inerie: i. notaie - Fi(t); ii. relaie de calcul:

)t(xm)t(Fi &&= ; (2.1)


iii. unitate de msur [N], unde : m reprezint masa concentrat a sistemului vibrant; x(t) deplasarea dinamic instantanee; - acceleraia; )t(x&&

b. fora de amortizare: i. notaie - Fa(t); ii. relaie de calcul:

)t(xc)t(Fa &= ; (2.2) iii. unitate de msur [Kgs-1],

n care: reprezint coeficientul de amortizare vscoas; c - viteza; )t(x&

c. fora perturbatoare: i. notaie - F(t); ii. relaie de calcul, n cazul aciunilor armonice:

t sinF)t(F 0= ; (2.3) iii. unitate de msur [N],

unde: F0 reprezint amplitudinea forei perturbatoare, msurat n [N], pulsaia proprie a forei perturbatoare, msurat n [rad s-1];

d. fora elastic: i. notaie - Fe(t); ii. relaie de calcul:

)t(kx)t(Fe = ; (2.4) iii. unitate de msur [N],

n care: k reprezint rigiditatea msurat n [Nm-1].

Obs.: n cazul aplicrii indirecte a aciunilor pe sistemul vibrant, prin intermediul deplasrii bazei sistemului, de exemplu producerea unei micri seismice, fora de inerie se determin cu relaia:

))t(u)t(x((m)t(Fi &&&& += , (2.5) unde: reprezint acceleraia absolut instantanee. )t(u+)t(x &&&& Ecuaiile micrii vor fi:

a. n cazul aplicrii directe a aciunilor:

)t(F)t(F)t(F)t(F iea +=+ (2.6) sau introducnd expresiile forelor, relaiile: (2.2), (2.4) i (2.5), se ajunge la forma: tsinF)t(kx)t(xc)t(xm 0=++ &&& ; (2.7)


24

b. pentru situaia aplicrii indirecte a aciunilor:

)t(F)t(F)t(F iea =+ (2.8) sau nlocuind relaiile de definire a forelor, relaiile: (2.1), (2.2) i (2.4), obinem

)t(um)t(kx)t(xc)t(xm &&&&& =++ . (2.9) 2.1.2. Vibraii libere fr amortizare Se consider un sistem vibrant cu 1GLD, fr caracteristici

disipative, constituit dintr-o mas i un element elastic, figura 2.2. Cum forele perturbatoare sunt nule, atunci ecuaia (2.7) se reduce la forma:

x(t)

m

k

Fig. 2.2. Model dinamic simplu

0=+ )t(kx)t(xm && . (2.10) Prin mprirea termenilor ecuaiei prim mas, ecuaia (2.10) devine:

0=+ )t(xmk)t(x&& . (2.11)

Pentru a defini pulsaia proprie a sistemului se introduce relaia:

mk =2 , (2.12)

n care: reprezint pulsaia proprie a sistemului vibrant. Ecuaia (2.10) are alura:

. (2.13) 02 =+ )t(x)t(x&&


Deoarece vibraiile unui sistem dinamic, fr a fi acionat de fore perturbatoare, au un caracter armonic, soluia ecuaiei (2.13) este:

t cosCt sinC)t(x 21 += . (2.14) Prin derivri succesive se calculeaz expresiile vitezelor i acceleraiilor:

t sinCt cosC)t(x 21 =& , (2.15) . (2.16) t cosCt sinC)t(x 22

21 =&&

Constantele 1 se determin din condiiile iniiale ale micrii, pentru o deplasare i o vitez. Deci, la momentul , cunoatem:

2C0=t

C i

. (2.17)

===

00

000

v)(xx)(x

t &

Introducnd condiiile (2.17) n relaiile (2.14) i (2.15) se obin expresiile:

v

C 01 = , 02 xC = . (2.18) Cu expresiile (2.18), relaia (2.14) devine:

t cosxt sinv

)t(x 00 += (2.19)

sau comparnd cele dou micri rezult:

)tsin(A)t(x += . (2.20) Amplitudinea micrii, notat A, se determin cu relaia:

202

0 xv

A +

= , (2.21)

iar faza iniial a vibraiei, :

0

0v

xarctg = . (2.22)

Derivnd succesiv relaia (2.20) se deduc variaiile vitezelor i acceleraiilor sistemului vibrant:

)t cos(A)t(x +=& , (2.23) . (2.24) )t(x)t sin(A)t(x 22 =+=&&


26

Conform relaiilor de mai sus, viteza este defazat cu naintea deplasrii, iar acceleraia cu naintea deplasrii.

2/2/

n figura 2.3 sunt prezentate reprezentrile grafice ale expresiilor: (2.20), (2.23), (2.24).

T 2=

A0x

t

)t(x

T 2=

02x

2A

)t(x&&

t

T2=

00 xv =

At

)t(x&

Fig.2.3. Sistem cu 1GLD. Reprezentarea grafic a deplasrilor, vitezelor i acceleraiilor

Analiznd reprezentrile grafice constatm:

a. reprezentrile definesc vibraii armonice; b. micrile (deplasri, viteze i acceleraii) au aceeai pulsaie

i, deci, aceeai pulsaie T;


c. vibraia liber are un caracter permanent i de durat infinit, datorit absenei forei de amortizare.

Din studiul relaiei (2.12) rezult c pulsaia proprie de vibraie, , este o caracteristic intrinsec a sistemului vibrant, deoarece depinde de doi parametri de definire ai sistemului: masa, m i rigiditatea, k. Se determin cu relaia:

mk

= , (2.25)

iar dac nlocuim rigiditatea cu flexibilitatea, deoarece k=1, rezult:

. (2.26) 5.0)m( = Pulsaia proprie de vibraie reprezint numrul de vibraii complete care se produc ntr-un interval de timp egal cu 2 secunde.

Perioada proprie de vibraie se identific cu timpul minim necesar pentru ca o micare simpl periodic sau oarecare s se repete identic. Se calculeaz cu relaia:

[s] ,

T2= . (2.27)

Frecvena proprie semnific numrul de vibraii complete produse ntr-un interval de timp egal cu o secund, se determin cu expresia:

[Hz] sau ][s ,

Tf 1-2

1 == . (2.28)

2.1.3. Etape pentru calculul caracteristicilor proprii ale unei vibraii

Pentru determinarea caracteristicilor proprii de vibraie ale unui sistem vibrant se folosesc relaiile de calcul: (2.25) sau (2.26), (2.27) i (2.28), urmnd urmtoarea ealonare a calculelor:

a) Stabilirea sistemului vibrant. Se pleac de la sistemul constructiv real, pentru care se construiete modelul static (schema static a structurii), iar prin concentrarea masei ntr-o seciune i acordarea gradului de libertate semnificativ se obine sistemul vibrant (modelul dinamic), cu un GLD.

b) Determinarea flexibilitii sau a rigiditii sistemului vibrant: b.1.) Calculul flexibilitii, figura 2.4:

i. notaii: sau f; ii. definiie flexibilitatea reprezint deplasarea msurat

pe direcia gradului de libertate dinamic a unui sistem


28

vibrant, produs de o for egal cu unitatea aplicat n dreptul masei i pe direcia gradului de libertate;

iii. unitate de msur [ ]1mN ; iv. schema de calcul, figura 2.4;

1GLD

m MD m

MD1 MS

1

MS

1

MD MS

MD

1

MS

Fig. 2.4. Modele dinamice i situaii de ncrcare pentru calculul flexibilitii

v. relaie de calcul:


dxEI

)t(M)t(Ml= 0 . (2.29)

Aplicarea relaiei (2.29) presupune existena a dou situaii (stri) de ncrcare: starea real i starea virtual (fictiv). Starea real a fost definit n figura 2.4. Starea virtual se constituie din structura dat (schema static, modelul static) acionat n dreptul masei i pe direcia pe care dorim s determinm deplasarea, aici direcia este tot direcie GLD, de o for egal cu unitatea. Rezult c n cazul sistemelor cu 1GLD cele dou stri, real i virtual, coincid;

vi. Metode pentru trasarea diagramelor de eforturi. n cazul structurilor static nedeterminate, n vederea trasrii diagramelor de eforturi momente ncovoietoare, se folosesc dou metode: a eforturilor (a forelor) i a deplasrilor (deformaiilor).

b.2.) Calculul rigiditii, figura 2.5: i. notaie: k; ii. definiie rigiditatea reprezint fora care aplicat n

dreptul masei i pe direcia GLD, produce pe aceast direcie o deplasare egal cu unitatea;

iii. unitate de msur [ ]Nm 1 ; iv. scheme de calcul, figura 2.5.

Exist dou posibiliti de a afla valoarea unei rigiditi. Prima metod const n aplicarea definiiei. Fora aplicat pe structur, figura 2.5.a sau b, notat , necunoscut, determin pe direcia GLD o deplasare egal cu unitatea. Se aplic metoda Mohr-Maxwell i se calculeaz expresia deplasrii produse de fora , care prin egalare cu unitatea evideniaz o ecuaie, n care necunoscuta este fora . Prin soluionarea ecuaiei se obine valoarea rigiditii.

k

kk

A doua cale pentru gsirea valorii rigiditii const n blocarea deplasrii pe direcia GLD, figura 2.5.c sau d, printr-un blocaj de tip reazem simplu, pentru deplasarea liniar sau un blocaj de nod, pentru deplasarea unghiular. Reaciunea din blocaj (blocaj de nod sau reazem simplu), n cazul n care sistemul este acionat cu o cedare de reazem egal cu unitatea, n blocajul introdus fictiv, pe direcia GLD, reprezint rigiditatea sistemului.

Prin introducerea blocajelor (pentru deplasri liniare sau unghiulare) sistemul vibrant i mrete nedeterminarea static, n cazul unei structuri static nedeterminat i devine static nedeterminat, n cazul unei structuri static determinat.


30

m

kk

=1 1

MD MS MS

k

1GLD

m MD

k

=1

MS

1

MS

a.

a.

b.

c.b.

c.

Fig. 2.5. Modele dinamice i situaii de ncrcare pentru aflarea rigiditii: a. model dinamic. b. schem de calcul cu

rigiditatea aplicat ca aciune; c. schem de calcul pentru determinarea rigiditii ca reaciune

c) Determinarea pulsaiei, frecvenei i perioadei proprii de vibraie: c.1.) n cazul n care se lucreaz cu flexibilitatea sistemului,

pentru aflarea caracteristicilor dinamice se utilizeaz relaiile: (2.26), (2.27) i (2.28).

c.2.) Atunci cnd se folosete rigiditatea n soluionarea unui sistem dinamic cu un grad de libertate dinamic, la calculul caracteristicilor dinamice se folosesc expresiile: (2.25), (2.27) i (2.28).


2.2. Vibraii libere cu amortizare vscoas Se consider un sistem vibrant, figura 2.6, definit prin trei caracteristici:

a) masa (inerial), ; m

b) disipativ, definit prin intermediul coeficientului de amortizare vscoas, c ;

c) elastic, coeficientul de rigiditate, k .

m

x(t)

c

k

Fig. 2.6. Model dinamic complet Un astfel de sistem, supus aciunii unui oc: deplasare i vitez iniiale, ntr n vibraii libere. Dar, deoarece posed capacitate de amortizare, micarea sa nceteaz dup un interval de timp, datorit producerii unei disipri de energie.

n ecuaia de echilibru dinamic instantaneu intervin urmtoarele fore:

a) fora de inerie: )t(xm)t(Fi &&= ; (2.30)

b) fora de amortizare:

)t(xc)t(Fa &= ; (2.31) c) fora elastic:

)t(kx)t(Fe = . (2.32) Ecuaia de micare va avea forma de mai jos:

)t(F)t(F)t(F iea =+ (2.33)


32

Se introduce n ecuaia (2.33) expresiile forelor, relaiile (2.30),

(2.31) i (2.32), i se obine ecuaia:

0=++ )t(kx)t(xc)t(xm &&& . (2.34) Pentru a transforma ecuaia (2.34) ntr-o ecuaie integrabil, toi termenii ecuaiei se mpart prin masa sistemului, , rezult: m

0=++ )t(xmk)t(x

mc)t(x &&& . (2.35)

Se introduc notaiile:

mc 2= (2.36)

i

2mk = , (2.37)

iar ecuaia (2.35) devine:

, (2.38) 02 2 =++ )t(x)t(x)t(x &&&cu ecuaia caracteristic:

, (2.39) 02 22 =++ rrale crei rdcini sunt:

2221 r , = . (2.40) n funcie de valoarea discriminantului, distingem urmtoarele cazuri de amortizare n sistemul vibrant:

a) amortizare critic cnd este ndeplinit condiia:

; (2.41) 022 = b) amortizare supracritic:

; (2.42) 022 > c) amortizare subcritic:

. (2.43) 022


de unde

mccr 2= . (2.44) Se introduce noiunea de fraciune din amortizarea critic, notat

, care, prin definiie, reprezint raportul dintre coeficientul de amortizare, c i coeficientul de amortizare critic, , astfel:

crc

crcc = (2.45)

sau dac expresiile (2.36) i (2.44) se introduc n relaia (2.45), aceasta devine:

mm

22= . (2.46)

Din ultima expresie, se poate pune n eviden o relaie de calcul

pentru coeficientul de amortizare , funcie de fraciunea din amortizarea critic i pulsaia proprie:

= . (2.47) Micarea vibratorie, n cazul amortizrii critice, i pierde caracterul vibratori i poart denumirea de micare aperiodic.

Amortizarea supracritic nu este proprie construciilor, micarea sistemului este tot o micare aperiodic. Se vor analiza, n continuare, sistemele vibratorii care posed amortizarea subcritic, propriii construciilor. Aceste sisteme sunt caracterizate prin:

crcc < i

1


34

iar reprezint pulsaia proprie a sistemului vibrant, cnd se ia n considerare amortizarea.

Soluia ecuaiei (2.38) este:

(2.51) trtr BeAe)t(x 21 +=i

(2.52) t)j(t)j( BeAe)t(x + +=

sau

. (2.53) )BeAe(e)t(x tjtjt +=

De asemenea, se poate exprima deplasarea prin relaia:

(2.54) tcosCtsinC(e)t(x t += 21sau

, (2.55) )tsin(Ae)t(x t +=unde

2221 CCA += , (2.56)

12

CC

tg = . (2.57)

Constantele de integrare se determin din condiii iniiale:

, (2.58)

===

0

0

v(0)xxx(0)

t &0

rezult:

+=

xvC 001 , (2.59)

02 xC = . (2.60) Micarea descris de funcia (2.55) reprezint o micare armonic de pulsaie i amplitudine , care descrete exponenial n timp i care se numete micare pseudoarmonic. Reprezentarea unei astfel de micri este prezentat n figura 2.7.

* tAe

Caracteristicile dinamice proprii ale micrii sunt:

a) pulsaia proprie, calculat cu relaia:

22 * = (2.61)


0x

A

AtAe

tAe = T 2

nx1+nx

nt 1+nt

)t(x

t

Fig. 2.7. Reprezentarea grafic a unei micri pseudoarmonice

i conform expresiei (2.47) rezult:

21 * = ; 2.62) b) frecvena proprie:

21 ff* = ; (2.63) c) perioada proprie:

21

TT *

= . (2.64)

Experimental s-au obinut valori ale fraciunii din amortizarea critic pentru diferite materiale i construcii, acestea sunt prezentate n tabelul nr.1.


36

Tabelul nr.1. Fraciunea din amortizarea critic

Construcii i terenuri , fraciunea din amortizarea critic

Construcie cu structura din beton armat monolit 0.02 0.14

Construcie cu structura din zidrie 0.06 0.18

Construcie industrial cu structura monolit 0.02 0.06

Poduri din beton armat 0.03 0.016

Poduri metalice 0.02 0.08

Construcii masive 0.05 0.1

Terenuri de fundare 0.06 0.3

Nisip compact 0.1

Analiznd global valorile din tabel, se constat c pentru sectorul de construcii se poate accepta, referitor la fraciunea din amortizarea critic, valoarea: 20. (2.65) i, deci

. (2.66) TT ,ff , *** = Gradul de amortizare al unei construcii se definete prin intermediul decrementului logaritmic, notat . Decrementul logaritmic al amortizrii reprezint logaritmul natural al raportului dintre dou amplitudinii succesive decalate de o perioad, figura 2.7.

1+

=n

n

xx

ln . (2.67)

Dar, se cunoate c

(2.68) ntn Aex=

si

. (2.69) 11 ++ = nn Aex Introducnd (2.68) i (2.69) n (2.67) rezult

*** TTTT 2=== (2.70)

sau 2= . (2.71)

PROBLEME REZOLVATE 1 SISTEME CU 1 GLD VIBRAII LIBERE

Problema 1.1 S se calculeze pulsaia, perioada i frecvena proprie de vibraie pentru urmtoarele sisteme dinamice.

m

0.5 l 0.5 l

1.1.1.

1

constEI =

Fig.1.1

Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD vibraii libere

38

2l l

m

1

1.1.2

constEI =

Fig.1.2

1m

EI=const

h

1.1.3

m

l

1.1.4. 1

2l

h

0.5h

Fig.1.3 Fig.1.4

EA=const. m

1l l

h

1.1.5.

l

Fig. 1.5


Tabelul 1.1. Date numerice

Nr. apl.

E (Nm-2)

I (m4)

A (m2)

l (m)

h (m)

m (kg)

F Obs.

1.1.1. 2.11011 510-5 0.37510-1

5.0 - 410-3 10 G=0.4E EI=c

1.1.2. 2.11011 510-5 - 5.0 - 410-3 10 EI=c 1.1.3. 2.11011 510-5 0.25

10-1 - 3.5 410-3 10 G=0.4E

EI=c 1.1.4. 2.11011 510-5 - 5.0 3.5 410-3 10 EI=c 1.1.5. 2.11011 510-5 0.375

10-1 5.0 3.5 410-3 10 EI=c

1.2.1. 2.11011 510-5 - 5.0 - 410-3 10 EI=c 1.2.2. 2.11011 510-5 - 5.0 - 410-3 10 EI=c 1.2.3. 2.11011 510-5 - 5.0 - 410-3 10 EI=c 1.2.4. 2.11011 510-5 - 5.0 - 410-3 10 EI=c 1.2.5. 2.11011 510-5 - 5.0 3.5 410-3 10 EI=c

0

4

4 4

4 4

4 4 4 4 4

Breviar teoretic 1. Sistem vibrant, SV

Sistemul vibrant este constituit din urmtoarele mrimi: o caracteristica inerial, masa m[kg]; o caracteristica disipativ, coeficientul de amortizare vscoas c

[kgs-1]; caracteristica elastic, coeficientul de flexibilitate [mN sau coeficientul de rigiditate k[Nm-1

-1] ].

2. Flexibilitate, Flexibilitatea reprezint deplasarea msurat pe direcia GLD la structura acionat n dreptul masei i pe direcia GLD de o for egal cu unitatea. Flexibilitatea se calculeaz cu relaia Mohr - Maxwell:

= (1.1). ++ dxEA )x(N)x(NdxGA )x(T)x(TKdxEI )x(M)x(MFlexibilitatea se obine prin integrarea diagramelor de eforturi M, N, T, trasate n starea real, SR, de acionare a structurii (o for egal cu unitatea aplicat n dreptul masei i pe direcia GLD) cu diagramele de eforturi M, N, T, trasate n starea virtual, SV, de acionare a structurii (o for egal cu unitatea aplicat n dreptul seciunii i pe direcia de determinare a deplasrii).

3. Rigiditate, k

Rigiditatea reprezint fora care acionnd structura considerat n dreptul masei i pe direcia GLD produce pe acea direcie o deplasare


40

egal cu unitatea. Rigiditatea se poate determina i prin inversarea flexibilitii:

1K = (1.2)

Rigiditatea se definete i ca reaciunea din blocajul introdus pe direcia GLD, n structura dat i n care se produce o cedare egal cu unitatea. Conform acestei definiii, rigiditatea se poate calcula prin metodele Staticii Construciilor.

4. Fore

Forele care particip la echilibrul dinamic instantaneu, n cazul vibraiilor libere neamortizate ale unui SV, sunt:

o fora de inerie, F & (1.3) i(t) = - mx& (t);

o fora elastic, F (1.4) e(t) = kx(t);

n care: x(t) reprezint deplasarea msurat pe direcia GLD; x&& (t) reprezint acceleraia sistemului.

5. Ecuaia de echilibru

Echilibrul dinamic instantaneu se exprim prin aplicarea principiului lui dAlambert: - Fi(t) + Fe(t) = 0 (1.5)

sau - mx&& (t) + kx(t) = 0 Soluia ecuaiei de micare de mai sus are forma:

x(t) = A sin( t + ) (1.6) n care:

A = 202

0 xV +

reprezint amplitudinea micrii; tg =

0

0V

x

apreciaz faza iniial a oscilaiei (). Condiiile iniiale sunt: x0 i V0 (deplasarea i viteza la timpul t=0).


6. Pulsaia proprie, Pulsaia proprie reprezint numrul de vibraii complete efectuate de un SV n timp de 2 secunde. Pentru calculul pulsaiei proprii se utilizeaz relaia:

= m

1mk = [rad s-1] (1.7)

7. Perioada proprie, T. Frecvena proprie, f.

Pentru determinarea perioadei proprii i frecvenei proprii se utilizeaz relaiile:

T = ]s [2

i

f = ]Hz[],s[T1 1 (1.8)

Aplicaii Aplicaia 1.1 (fig.1.1.)

1. Trasarea diagramelor de eforturi

Se constituie cele dou stri de acionare: starea real (SR) prin ncrcarea sistemului oscilant n dreptul masei i pe direcia GLD cu o for egal cu unitatea i starea virtual (SV) prin ncrcarea sistemului cu o for egal cu unitatea n seciunea i pe direcia pentru care se determin deplasarea . Diagramele de eforturi se traseaz utiliznd metodele din Statica Construciilor. 2. Calculul flexibilitii, Coeficientul de flexibilitate, , se determin prin integrarea diagramelor de eforturi, fig.1.6:

(M) = EI48

l4l

4l

32/l

EI12dx

EI)x(M)x(M 3==

(T) = GA4lk

21

21

2l

GA1k2dx

GA)x(T)x(Tk ==

= (M) + (T) =GA4lk

EI48l3 +

3. Determinarea pulsaiei proprii,


42

= )

GA4lk

EI48l(m

1m

13

+

1,1

SR SV

l/2l/2

M.M

1/2

1/2

T.T

l/4

Fig.1.6

nlocuind datele numerice din tabelul 1.1 n relaiile de mai sus rezult:

(M) = 2,48015910-7 (mN-1), (T) = 4,761904810-10 (mN-1), (M+T) = 31,71858 (rad.s-1), (M) = 31,749016 (rad.s-1). 4. Calculul perioadei i frecvenei:

T = )M(

2 = 0,1979 (s),

f = T1 = 5,053 (s-1).


Aplicaia 1.2, (fig.1.2) 1. Trasarea diagramelor de eforturi M i M Diagramele de eforturi n cele dou stri de ncrcare (SR i SV) sunt prezentate n figura 1.7

1,1

2l l

SV SR

l

M.M

Fig.1.7

2. Calculul flexibilitii, Integrnd diagramele de momente, figura 1.8 se obine valoarea coeficientului de flexibilitate:

= EIlll

EI3lll

EI3l2dx

EI)x(M)x(M 3=+=

3 i 4. Determinarea caracteristicilor dinamice, , T i f Pulsaia proprie se determin cu relaia:

= 3ml

EIm

1 =

i prin aplicarea datelor numerice din tabelul 1.1 rezult:

= 1,190476110-5(mN-1), = 4,58257(rad.s-1) T = 1s7293,0

T1f),s(3711,1

2 === .


44

Aplicaia 1.3 (fig.1.3) 1. Trasarea diagramelor de eforturi, M i M n figura 1.6 sunt trasate cele dou diagrame de eforturi.

1,1

h SR SV T

M.M T

h

+

1

Fig.1.8

2. Calculul flexibilitii, Integrnd diagramele de eforturi obinem mrirea coeficientului de flexibilitate:

= GAhk

EI3h3 +

i utiliznd datele numerice din tabelul 1.1, rezult:

= 1,3624410-6 (mN-1). 3 i 4. Determinarea caracteristicilor dinamice, , T i f

= m

1 =13,546 (rad s-1)

T = T2 =0,4628 (s) f =

T1 =2,1559 (s-1).

Aplicaia 1.4 (fig.1.4) 1. Trasarea diagramelor de eforturi, figura 1.9


= 2

l+ h2

2

M.M

h/3

h

l

H 1 =1/3

= V1 h/2l V2=4/2l 2l

H2=2/3 hh

h/2 1,1

l 1

Fig. 1.9

2. Calculul flexibilitii, Prin integrarea diagramelor de eforturi, M i M , rezult:

)lh29

lh9h10(

EI31

hhEI3h5,1hh

EI3l2

3h

3h

EI3l

3h

3h

EI3h

2123

1

++=

=+++=

i utiliznd datele numerice din tabelul 1.1 se obine:

= 5,433910-6 (mN-1) 3 i 4. Determinarea caracteristicilor dinamice, , T i f = 6,782859 (rad s-1), T = 0,92633 (s),

f = 1,07952 (s-1).

Aplicaia 1.5 (fig.1.5) 1. Determinarea eforturilor din barele structurii

Structura fiind o grind cu zbrele articulat n noduri, pentru calculul eforturilor din bare se folosete metoda izolrii nodurilor. Cele dou stri de ncrcare sunt prezentate n figura 1.10

Eforturile din bare se determin prin echilibrul forelor ce concur n nodurile grinzii cu zbrele, figura 1.11 obinndu-se urmtorul sistem de ecuaii:


46

nodul 1:

=+==+=

0sinN31;0y

0NcosN;0x

12

1312

h

l l l

1

2

3

4

7 5

6

V1=1/3 V2=2/3

SR SV

Fig. 1.10

3 1

2 4 6

7 5 V1=1/3 V2=2/3 1

N12

N13

N24

N23 N12 N34 N45 N12 N56 N67

N35 N57

N12 N12 N12

N46

Fig.11

nodul 2:

==

;0y

;0x

0sinNsinN

0NcosNcosN

2312

242312

=+=++


nodul 3:

==

;0y

;0x

0)90cos(N)90cos(N

0cosNNcosNN

3423

34352313

=+=+

nodul 4:

==

;0y

;0x

0sinNsinN

0cosNNcosNN

4534

45463424

=+=

nodul 5:

==

;0y

;0x

01sinNsinN

0cosNNcosNN

5645

56574535

=+=++

nodul 6:

==

;0y

;0x

0sinNsinN

0cosNcosNN

5756

575646

=+=+

Tabelul 1.2.

Bare i,j li,j (m) EA (N) Ni,j, Ni,j (N) Ni,jNi,jli,j 1.2 4,3 7.875108 -0.4095 0.721 1,3 5,0 0.238 0.283 2,3 4,3 0.4095 0.721 2,4 5,0 -0.476 1.133 3,4 4,3 -0.4095 0.721 3,5 5,0 0.714 2.549 4,5 4,3 0.4095 0.721 4,6 5,0 -0.952 4.532 5,6 4,3 0.819 2.884 5,7 5,0 0.476 1.133 6,7 4,3 -0.819 2.894

=Ni,jNi,j 10.282 EAi,j


48

nodul 7:

==

;0y

;0x

0sinN

32

0cosNN

67

6757

=+=

Rezolvnd sistemele de ecuaii de mai sus i utiliznd datele numerice din tabelul 1.1, se obin eforturile axiale din tabelul 1.2.

2. Calculul flexibilitii, n cazul structurilor cu zbrele cu barele articulate n noduri, coeficientul de flexibilitate se determin cu relaia:

= j,ij,i

j,ij,i lEA

NN i folosind datele din tabelul 1.2 rezult:

= 3215,210875,7

282,188

=

(mN-1).

CAPITOLUL 3 SISTEME VIBRANTE CU 1GLD

3.1 Vibraii forate neamortizate

Se consider un sistem vibrant cu 1GLD acionat de o for perturbatoare de tip armonic, figura 3.1.

Forele care i fac echilibru sunt:

a) fora de inerie

)t(xm)t(Fi &&= ; (3.1)

Sisteme vibrante cu 1GLD. Vibraii forate neamortizate

50

b) fora elastic

)t(kx)t(Fe = ; (3.2) c) fora perturbatoare

tsinF)t(F 0= . (3.3)

k

F(t)m

x(t)

Fig. 3.1. Sistem vibrant acionat

de o for armonic

Conform principiului lui dAlembert ecuaia de echilibru dinamic instantaneu va avea forma:

)t(F)t(F)t(F ie += (3.4) sau nlocuind expresiile forelor, relaiile (3.1), (3.2) i (3.3), n ecuaia (3.4), aceasta devine:

tsinF)t(kx)t(xm 0=+&& . (3.5) Se mparte fiecare termen al ecuaiei prin masa sistemului vibrant i se obine o nou form a ecuaiei

tsinm

F)t(x)t(x 02 =+&& . (3.6)

Soluia general a ecuaiei (3.6) este:

)t(x)t(x)t(x FL += , (3.7) unde: reprezint soluia ecuaiei omogene corespunztoare

vibraiilor libere i are forma:

)t(xL

tcosCtsinC)t(xL 21 += ; (3.8)


- soluia particular, corespunde perturbaiei armonice i

reprezint rspunsul forat al sistemului, se prezint sub forma:

)t(xF

tcosNtsinM)t(xF += . (3.9) Aceast soluie, relaia (3.9), trebuie s satisfac ecuaia micrii (3.6). Pentru aceasta, soluia (3.9) se deriveaz succesiv de dou ori:

(3.10) tsinN -tcosM=)t(xF&i

. (3.11) tcosN -tsinM -=)t(x 22F&&&

Introducnd expresiile (3.9), (3.10) i (3.11) n ecuaia (3.6) se obine:

tsinm

F)tcosNtsinM()tcosNtsinM( 022 =+++ (3.12)

sau

tsinm

Ftcos)((Ntsin)(M 02222 =+ . (3.13)

Prin identificarea coeficienilor funciilor trigonometrice se determin constantele M i N:

m

F)(M 022 = (3.14)

i

(3.15) 022 = tcos)((Nsau

)(m

FM 22

0= (3.16)

i

0=N (3.17) Soluia particular devine:

tsin)(m

F)t(xF 22

0= , (3.18)

iar cea general:

tsin)(m

FtcosCtsinC)t(X 22

021 ++= (3.19)

i


52

tcos)(m

FtsinCtcosC)t(X 22

021 +=

& . (3.20)

Constantele 1 1C se determin din condiii iniiale: C i

. (3.21)

===

00

000

v)(x

x)(xt &

Conform relaiilor (3.19), (3.20) i (3.21) rezult:

)(m

F

vC 22

001 = , (3.22)

02 xC = . (3.23) Soluia general ia forma:

)tsin

t(sin

)(m

Ftcosxtsin

v)t(X ++= 22

00

0 . (3.24)

n regim staionar soluia este:

)tsin

t(sin

)(m

F)t(X = 22

0 . (3.25)

Factorul adimensional al relaiei (3.25) se rearanjeaz sub forma:

0

2

20

2

22

2

0

2

22

022

0

11

11F

(

k

F

)

(

k

F

)

(m

F

)(m

F =

=

=

= ,(3.26)

unde poart numele de coeficient dinamic sau factor de amplificare

dinamic, se determin cu relaia:

2

21

1

= . (3.27)

Cu notaiile de mai sus, expresia deplasrii dinamice, se

determin cu relaia:

)t(x

)tsin

t(sinF)t(X = 0 . (3.28)

Lund n considerare faptul c vibraiile proprii se amortizeaz (sunt caracterizate, dup cum rezult n relaia (3.28), prin funcia

) relaia de mai sus se simplific devenind: tsin

tsinF)t(X 0= . (3.29)


3.2. Vibraii forate amortizate

Se consider un sistem vibrant, alctuit prin asocierea a trei caracteristici: inerial, disipativ i elastic, acionat de o for perturbatoare, figura 3.2.

k,c

F(t)m

x(t)

Fig. 3.2. Sistem vibrant complet acionat de o for armonic

tsinF)t(F 0= . (3.30) Ecuaia micrii este:

tsinF)t(kx)x(xc)t(xm 0=++ &&& (3.31) sau

tsinm

F)t(x

m

k)t(x

m

c)t(x 0=++ &&& (3.32)

i

tsinm

F)t(x)t(x)t(x 022 =++ &&& . (3.33)

Soluia general a ecuaiei (3.33) are forma:

)t(x)t(x)t(x FL += . (3.34) Soluia vibraiilor libere este:

(3.35) )tcosCtsinC(e)t(X **tL 21 += sau

. (3.36) )tsin(Ae)t(x **tL += Soluia particular se adopt de forma:


54

tcostsinM)t(xF += , (3.37) Soluie (3.37) trebuie s verifice ecuaia (3.33) i astfel se determina constantele de integrare (M i N):

tsin

m

FtcosNtsinM

)tsinNtcosM(tcosNtsinM

022

22 2=++

++ (3.38)

sau

tsinm

F=tcos)M2+)-(N(+tsin)N2-)-(M( 02222 .(3.39)

Constantele M i N se determin prin identificarea coeficienilor funciilor trigonometrice din relaia (3.39):

0=M2+)(Nm

F=N2)(M

22

022

---

. (3.40)

Constantele de integrare se obin prin rezolvarea sistemul de ecuaii (3.40), astfel:

22222

0

4+)(

2

m

F=N -- , (3.41)

22222

220

+)(

)(

m

F=M -

-. (3.42)

Se introduc constantele (3.41) i (3.42) n expresia soluiei particulare (3.37) i se obine soluia vibraiilor forate:

)tsin(A)t(xF 11 = , (3.43) unde

221 MNA += (3.44) sau introducnd relaiile (3.41) i (3.42), rezult:

(3.45) *FA 01 =n care

2

222

2

241

1

)

(

*

+= (3.46)

i


M

Ntg

==

1

21 . (3.47)

Parametrul poart numele de factor de amplificare dinamic i

se calculeaz n funcie de amortizarea sistemului.

*

Soluia general are forma:

)tsin(*F+)tcosC+tsinC(e=)t(X 10*

2*

1t . (3.48)

Constantele 1C i C se determin din condiii iniiale: 2

. (3.49)

===

00

000

v)(x

x)(xt &

Se deduc constantele:

**

N

MC =1 , (3.50)

NC =2 . (3.51)

3.3. Etape de calcul pentru trasarea diagramelor de eforturi maxime i minime n cazul vibraiilor forate

n vederea trasrii diagramelor de eforturi minime i maxime, pentru modelele dinamice ale unor structuri, se parcurg urmtoarele etape de calculul:

a) Se determin rigiditatea sistemului, [ ]1Nm k ; b) Se calculeaz pulsaia proprie de vibraie, , cu relaia:

m

k = , [ ]1rads ;

c) Se determin factorul de amplificare dinamic, , aplicnd

relaia (3.26) sau (3.46), dup cum lum sau nu n considerare amortizarea n procedura de calcul;

d) Se ncarc structura dat, sistemul dinamic, cu amplitudinea forei de inerie i amplitudinea forei perturbatoare.

Dac fora perturbatoare este aplicat n dreptul masei i pe direcia GLD, atunci cele dou fore se nsumeaz formnd aa zisa for dinamic, notat F , deci: )t(d


56

)t(F)t(F)t(F id += sau

tsinF)t(xm)t(Fd 0+= && , (3.52) iar utiliznd relaia (3.29), expresia (3.52) devine:

(3.53) tsinF+tsinFm=)t(F 02

0d

ori

tsinF)t(Fd 0= . (3.54) Amplitudinea forei dinamice se calculeaz cu relaia:

0FFd = , (3.55) n cazul vibraiilor forate neamortizate i cu relaia:

, (3.56) 0FF*

d =n cazul vibraiilor forate amortizate.

Pentru trasarea diagramelor de eforturi minime i maxime, fora dinamic are dublu sens.

3.4. Vibraii forate produse de fore perturbatoare n alte situaii de ncrcare

Se vor analiza mai multe situaii de ncrcare:

a) Aciunea unei fore perturbatoare aplicat pe sistem n alt seciune dect n cea n care este concentrat masa, figura 3.3.

Pentru aflarea rspunsului n deplasri al sistemului vibrant acionat de o for perturbatoare armonic n seciunea se utilizeaz relaiile (3.29), n cazul vibraiilor forate neamortizate i (3.43) coroborat cu (3.45), n cazul vibraiilor amortizate. Rezult expresiile:

k

tsin)t(F)t(x k,jkj 0= (3.57) i

. (3.58) )tsin()t(F)t(x k,jk*

j 10 =b) Aciunea mai multor fore de aceeai pulsaie, de forma

tsinF)t(F k,k 0= (3.59)


Fig. 3.3. Sistem vibrant ncrcat cu o for perturbatoare

jm

k

xj(t)

1

1

ik

ii

tsinF)t(F k,k 0=

Rspunsul n deplasri se calculeaz cu expresia (3.29), n cazul vibraiilor forate neamortizate, i (3.43) coroborat cu (3.45), n cazul vibraiilor amortizate. Se deduc relaiile:

(3.60) =

=m

kk,jkj tsin)t(F)t(x

10

i

. (3.61) =

=n

kk,jk

*j )tsin()t(F)t(x

110

c) Aciunea mai multor fore perturbatoare de pulsaii diferite:

tsinF)t(F il,l 0= (3.62) tsinF)t(F kk,k 0= . (3.63)

Pentru aflarea rspunsului n deplasri se folosesc relaiile (3.29), (3.43) i (3.45). Se gsesc relaiile:

tsin)t(Ftsin)t(F)t(x kk,jkkll,jllj 00 += (3.64) sau

, (3.65) =

==n

kkk,jkkj n1,2,.....,k tsin)t(F)t(x

10

i


58

(3.66) n1=k

1kk,0jk*kj )-tsin(F=)t(x

unde

2

21

1

kk

= (3.67)

i

2

2l

l

-1

1= , (3.68)

referitor la relaia (3.65) i

2

222

2

241

1

)

(

kk

*k

+= , (3.69)

n ceea ce privete expresia (3.66),

iar . (3.70) 5.0-jj )m(=

PROBLEME REZOLVATE 2 SISTEME CU 1 GLD VIBRAII FORATE

Problema 2.1 Pentru urmtoarele structuri acionate de ncrcarea gravitaional, Q i fora perturbatoare, F(t), s se traseze diagramele de eforturi maxime i minime, n regim staionar, figurile 2.1 2.4.

F(t)=F0sint

0.5l 0.5l

EI=const

2.1

m

Fig.2.1

Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD vibraii forate 60

F(t)=F0sint

2l l

EI=const2.2.

m

Fig.2.2

2.3.F(t)=F0sint

l 2l

EI=const

m

0.5l

Fig.2.3

F(t)=F0sint

l2l

EI=const.

m

l 2l

2.4

Fig.2.4

Problema 2.2 S se reprezinte grafic vibraiile masei m exprimate n deplasri, viteze i acceleraii pentru:

2.1. Vibraiile libere neamortizate ale sistemului vibrant2.1, x0=0.02m i v0=1ms-1;

2.2. Vibraiile libere amortizate ale sistemului 2.1, x0=0.02m, v0=0.5ms-1 i =0.1; 2.3. Vibraiile forate n regim staionar de acionare a forei perturbatoare ale sistemelor din figurile 2.2- 2.5


EI

EI

EI2EI

m

F(t)=F0sint 0.5h

h

l

2.5.

Fig.2.5 Cadru static nedeterminat

Problema 2.3 S se determine presiunile pe talpa unei fundaii paralelipipedice din beton care susine o main cu greutatea Q1 i care produce o ncrcare dinamic pe vertical F(t)=F0sint, figura 2.6.

F(t)

Q1

Q21.50m

2.00m

2.00m

Fig.2.6 Fundaie de maini


Breviar teoretic 1. Fore

Forele care intervin n echilibrul dinamic instantaneu n cazul vibraiilor forate cu amortizare vscoas, sunt urmtoarele:

o fora de inerie F x )t(&& (2.1) i(t) = - m

o fora de amortizare F x (2.2) )t(&a(t) = c

o fora elastic F x(t) (2.3) e(t) = k

o fora perturbatoare F(t) = F0sint (2.4) 2. Ecuaii de condiie

Ecuaia de micare va avea forma final:

tsinmF

)t(x)t(x2)t(x 02 =++ &&& (2.5)

unde s-au introdus notaiile:

2mc = ,

reprezint un factor de amortizare

mk2 = ,

pulsaia proprie a sistemului oscilant neamortizat.

3. Rspunsul exprimat n deplasri

Rspunsul forat staionar, fr a considera amortizarea se determin cu expresia:

x(t) = t(sinF0 )tsin (2.6)

sau x(t) = F0sint, (2.7) considernd numai influena rspunsului forat.


n expresiile de mai sus cu s-a notat coeficientul dinamic sau factorul de amplificare dinamic care se determin cu relaia:

22 p1

1

)(1

1 == (2.8)

n care p = /. Rspunsul forat, n cazul vibraiilor forate cu amortizare, se

calculeaz cu relaia:

x(t) = F0sin(t - ) = X0sin(t - ) (2.9) unde factorul dinamic cu considerarea amortizrii este:

= 2222 p4)p1(

1

+ (2.10)

i x0=F0 reprezint amplitudinea deplasrii forate, iar:

= arc tg 2p1

p2

(2.11)

n care factorul sau procentul din amortizarea critic are expresia:

2

m2m2

cccr

====

100cc%cr

=

4. Rspunsul exprimat n eforturi Pentru trasarea diagramelor de eforturi maxime i minime, n cazul unui sistem oscilant acionat de fore perturbatoare, structura se ncarc cu urmtoarele fore:

- amplitudinea forei de inerie, I0: F & 2F0sint (2.12) i(t) = - mx& (t) = m I 2F0 = m2X0 (2.13) 0 = m

- amplitudinea forei perturbatoare, F sint); 0 (F(t) = F0

- fora gravitaional, G = mg.


Obs. 1. In cazul vibraiilor forate cu amortizare n relaiile de mai sus se nlocuiete cu . Obs. 2. In cazul n care fora perturbatoare este aplicat n dreptul masei pe direcia GLD, primele dou fore de mai sus se nlocuiesc cu amplitudinile forei dinamice, Fd:

F (2.14) d(t) = F(t)+Fi(t)

cu amplitudinea: F F0; d = sau

F F0 (2.15) d = Aplicaii Aplicaia 2.1

1-3. Calculul pulsaiei proprii, Conform aplicaiei 1.1.1 =2,48015910-7mN-1 =31,749016 rad s-1 4. Determinarea factorului de amplificare dinamic,

= 657895,1)

744016,3120(1

1

)(1

122

=

=

5. Calculul forei dinamice, Fd Amplitudinea forei dinamice se calculeaz cu relaia:

F Fo=1,657895104d = N; iar fora gravitaional: Q = mg = 41039,81=3,924104N 6. Trasarea diagramelor de eforturi maxime i minime Diagramele de eforturi se traseaz prin suprapunerea efectelor i sunt prezentate n figura 2.7.

Aplicaia 2.2

1-3. Calculul pulsaiei proprii, Conform aplicaiei 1.2: =1,190510-5 mN-1 =4,5826 rad S-1


4. Determinarea factorului de amplificare dinamic, 35,0

)5826,49(1

1

1

12

2

2=

=

=

5. Calculul forei dinamice, Fd Amplitudinea forei dinamice, Fd, rezult:

Fd

Q

(Fd+Q)l/4=6.97737104 Nm

l/2(Fd+Q)=2.79095104 N

Mmax

Tmax

Mmin

Tmin

(Q-Fd)l/4=2.8326104 Nm l/2(Q-Fd)=1.133104 N

Fig.2.7

F Fo = -3,5103d = N iar a forei gravitaionale

Q=mg=41039,81=3,924104N 6. Diagramele de eforturi maxime i minime: Mmax i Mmin


Diagramele de momente ncovoietoare sunt prezentate n figura 2.8.

FdQ

(Fd+Q)l=1.787105 Nm

Mmax

Mmin

(Q-Fd)l=2.137105 Nm

Fig.2.8 Aplicaia 2.3

1. Calculul factorului de amplificare dinamic, . Diagrama de momente pentru calculul flexibilitii este trasat n

figura 2.9.

Coeficientul de flexibilitate rezult:

163

mN1072817,2EI48l11 == ,

iar pulsaia proprie

= 9,57269 rad s-1 i factorul de amplificare:

14925,2)

57269,97(1

1

1

12

2

2=

=

=

2. Determinarea rspunsului exprimat n deplasri y(t)=F0 sint=0,0586352 sin7t


M,M

1,1

l/2 l/4

Fig.2.9

y F0 =0,0586352m d = Deplasarea produs de fora gravitaional

Y = 41039,812,7281710-6Q = Q YQ = 0,1070534 m

Deplasrile finale (maxime i minime) rezult:

Ymax = Yd+YQ=0,1656886m

Ymin = YQ-Yd=0,0484182m

3. Determinarea rspunsului exprimat n eforturi

Calculm valorile forelor maxime i minime:

F F0 = 2,14925104d = N Q = mg = 3,924104N F 104N max = Q + Fd = 6,07325 F 104N min = Q - Fd = 1,77475i trasm diagramele de eforturi, figura 2.10.

Aplicaia 2.4

1. Calculul flexibilitii, Constituim cele dou stri de acionare: reale i virtuale, figura 2.11.


Fmax Q

Mmax

15.183104

7.59156104

Mmin

Fmin

2.2184375104 Nm

4.436875104 Nm

Fig.2.10

1.1 SR, SV

l 2l l 2l

1.1

1 SV

1 2 3 4

Fig.2.11


Diagramele de momente M, M vor fi trasate prin procedeul distribuirii i transmiterii momentelor, figurile 2.12, 2.13 i 2.14.

Determinm rigiditile la rotire, rigiditile nodurilor, factorii de distribuie i momentele de ncastrare perfect:

KlEI3 K2 = K21+K23 = l3

EI13 21 =

d21 = 6923,0KK

2

21 =

K23 = l3EI4

Kl3

EI4 K3 = K32+K34 = l3EI10 32 =

d32 = 4,KK

3

32 0=

0.4 0.6 0.6923 0.3077

-1076.911

-33.1366

-1.0196

-1111.0672

1111.111

-444.444

-478.6444

47.8645

-14.7279

1.4728

-1.0196

1111.0672

1333.3332

143.5933

4.4183

0.136

-2222.222

888.888

-239.3222

95.7289

-7.3639

2.9456

-0.2266

-1481.4808

1481.4808

0.0906

740.7404

Fig.2.12

Kl2

EI4 34 =


d 6,KK

3

34 0= 34 =

M Nm11111,1l92

)l3(

ll

l 2

2

2

2==21Pab = 23 =

M Nm22222,2l94

)l3(

l)l2(1

l

b2

2

2

2===Pa 32 =

Verificarea diagramei M:

++

++=

975324,113l

975324,12

1111067,12(EI6l21111067,1

EI3ldx

EIMM1

)90094,7901296,7(

EI6l

)481481,131

31975324,12(

EI6l)111067,1

31

=

=+

M,M

1.975324

1.111067 1.481481

0.7074

1 1.11067 1.481481

2l l

Fig.2.13

3T 105,4100901296,790094,7901296,7% == < 0,1

Calculm coeficientul de flexibilitate:


l 2l l 2l

1 1/3

1

Fig.2.14

+

+==2

2

)975324,1(2

)111067,1(2(EI6l2111067,1111067,1

EI3ldx

EIMM

+

++481481,1975324,12

)481481,1(2)975324,1(2EI6l

)975324,1111067,12 22

EI6l16049927,27

74074,0481481,12)74074,0(2)481481,1(2EI6l2 22

=

++

=2,15559510-6 mN-1

1radS7693,10m

1 ==

2. Determinarea factorului de amplificare dinamic, . = 72072,1

7693,10

7)05,0(4)4693,10

71(

1

2

222

2

2=

+

F Fo=1,72072104d = N 3. Determinarea rspunsului n eforturi Cunoscnd mrimea forei dinamice se determin forele maxime i minime:


6.27166104

11.15015104

8.36254104

4.18127104

2.448104

4.35219104

3.26412104

1.63206104

Fig.2.15

Fmax=Q+Fd=41039,81+1,72072104=5,64472104N min=Q-Fd=3,924104-1,72072104=2,20328104N iar diagramele de eforturi sunt trasate n figura 2.15.

Aplicaia 2.5

1. Calculul flexibilitii, Pentru calculul coeficientului de flexibilitate utilizm metoda

forelor, figura 2.16.

1,1

SR,SV

1

SR

1

SV

Fig.2.16.a.


h/2

h EI

2E EI

l x2

x1

h h

M1,M1

1,1

l

1,1 M2,M2

1,1

Fig. 2.16.b.

Calculul coeficienilor:

+== EIlhEI2hdxEIMM23

1111

+== EI4 lhEI2 hldxEIMM22

2112

1,1

1,1

(h+l)

h/2

1,1

h/2

3h/2 Mp

h

l

M3,M3

Fig. 2.16.c.

+== EI2 hlEI3ldxEIMM23

2222

Verificarea coeficienilor:


EI2

lh3EI2hl3

EI3l

EI3h2

2233

221211ss +++=++=

+++== EI2 lh3EI2hl3EI3lEI3hdxEIMM2233

ssss

Calculul termenilor liberi:

== EI24h5EI2 lhdxEIMM32p1

p1

== EI2 lhEI4hldxEIMM22p2

p2

Verificarea termenilor liberi:

EI

lhEI4

hlEI24

h5 223p2p1sp +=+=

+== EIlhEI4hlEI24h5dxEIMM223ps

sp

Sistemul de ecuaii de condiie:

=++=++

0XX

0XX

p2222121

p1212111

Pentru datele din tabelul nr. 1 i expresiile coeficienilor i termenilor liberi determinate mai sus, rezult soluia:

X1=0,0777927

X2=0,5608432

Diagrama de momente finale se determin prin suprapunerea efectelor, figura 2.17.

M X1+M2(x)X2+Mp(x). f(x)=M1(x)Verificarea diagramei finale de momente:

- deplasarea dup direcia necunoscutei X1:

=== EIBAEI 42684033,1542682342,15dxEIMM f21X %1,010096,1100

ABA% 4T


Mf Mf

2.4457

0.27227

1.3264

1.75 1.477726

M

1

h/2

3h/2

Fig. 2.17

- deplasarea dup direcia necunoscutei X2:

== EI 85749667,1685747708,16dxEIMM f22X %1,010162,1% 4T


3. Determinarea rspunsului n eforturi Calculm fora dinamic:

F Fo=1,556393104d = (N) iar diagramele de eforturi sunt trasate n figura 2.18.

3.8066104

0.423765104 2.299922104

2.06524104

Q Fd

Mmax

2.72104

3.81040.42104

2.29104

2.06524104

2.723687104

Q Fd

Mmin

Fig.2.18

Problema nr. 2.2

Aplicaia 2.6

Variaiile deplasrilor, vitezelor i acceleraiilor masei m a unui sistem cu 1 GLD se determin cu expresia:

x(t) = A sin(t + ) x(t) = A cos(t + ) x(t) = -A2sin(t + ) unde:

2020 x)

v

(A +=

0

0v

xarctg= .

Sistemul oscilant are o pulsaie proprie de oscilaie calculat n cadrul aplicaiei 1.1


=31,7490 rad s-1, lund n considerare i condiiile iniiale, aflm:

A=0,0373 (m), A=0,1846 ms-1, A2=37,6088 ms-2 =0,5657 (s), /=0,01782 Expresiile x sunt reprezentate n figura 2.19. )t(x),t(x),t( &&&

0.02=x0

/=0.017

T = 0.197 s

0.0373A

X(t)

t

Fig. 2.19

0.5=x0

T = 0.197 s

A=0.1846 ms-1 x(t)

t /=0.01782 s

Fig.2.19.a


x02 T = 0.197 s

A=37.6088 ms-2

X(t)

t

/=0.01782 s

Fig.2.19.b

Aplicaia 2.7

Pentru a reprezenta grafic variaia deplasrilor masei m utilizm expresia:

)tsin(Ae)t(x t += unde:

20200 x)

xv(A ++=

00

0xv

xarctg +=

Introducnd n expresiile de mai sus urmtoarele date numerice:

= 4,5826 rad s-1, T=1,3711 s (vezi 1.2) 12 radS5596,41 ==

S378,11

TT2

=

=

x ms-1 i = 0,1 o = 0,02 m, vo = 0,5rezult:

A = 0,1134, = 0,1772 i 0389,0

=


Reprezentarea grafic a variaiei deplasrilor masei m este dat n figura 2.20.

x(t

A=0.1134 (m)

/=0.038

t

A=0.1846 1

T* = 1.378

0.5=x0

Fig. 2.20

Aplicaia 2.8

n cadrul aplicaiei 2.5, pentru sistemul oscilant analizat s-au obinut:

= 7,4297710-7 (m), T = 0,3425 (s) i = 1,556393 Variaia deplasrilor masei m a sistemului oscilant, n regim permanent de acionare a forei perturbatoare se determin cu relaia:

x(t) = Fo sin(t - 1) unde: Fo = 1,5563931047,4297710-7 = 0,01156 (m)

31221

10209,6

rad1193,0

2arctg ==

=

n figura 2.21 este prezentat variaia deplasrilor masei sistemului oscilant.

Aplicaia 2.8

n figura 1.25 este prezentat fundaia pentru care se cere s se efectueze o analiz dinamic. Datele numerice ale ansamblului utilizat, fundaie i teren sunt urmtoarele:

b = 24 KN/m3, Q1 = 400 KN, F0 = 40 KN, = 60 rad/s


*F0sin(-1)

T = 0.3425 s

A=0.1846 ms1

X(t)

t

/

Fig. 2.21

= 18%, Rt = 2 daN/cm2, Cz = 4 daN/cm3(pt.Rt=2daN/cm2),

2f

CORECTATZ cm/daN3,6A

10C ==

Rezolvare

Pulsaia proprie a ansamblului fundaie + teren se determin cu relaia:

mk =

unde:

, fCORECTATZ ACk =

g

QQm 21

+= ,

Km14424)5,122(VQ b2 === , rezult:

s/rad3,6710544

2003,6981QQACg

221

fZ =

=+=

Factorul de amplificare dinamic:


89,03,67

60p;

p4)p1(

12222

===+

=

6,289,018,04)89,01(

12222

=+

= .

Presiunile maxime i minime pe talpa fundaiei se calculeaz cu expresia:

max min = Fo n care:

22

f

21

f

Q cm/daN36,120020010544

AQQ

AQ =

=+==

i

22

f

oFo cm/daN1,02002001040

AF

===

Obinem n final:

t22

max Rcm/daN2cm/daN62,1 =

PROBLEME PROPUSE 1 SISTEME CU 1GLD VIBRAII LIBERE I FORATE Probleme propuse spre rezolvare: 1.1 S se determine caracteristicile dinamice T, , f pentru urmtoarele sisteme vibrante:

l/3 2l/3 2l/3

y(t)

m

h/3

EI=const.

Fig. 1.1


l

y(t)

m

hEI=const.

l l

Fig.1.2

2ly(t)

m

l

l/2 l/2 ll/2

Fig. 1.3

l/2 l/2 l/2 l l

m

y(t)

Fig. 1.4

Probleme propuse. Sisteme cu 1 GLD vibraii libere i forate 84

l/2 l/2 l/2 l/2

h

y(t)

m

Fig. 1.5

1.2 S se traseze diagramele de eforturi M, T, N maxime i minime pentru sistemele urmtoare:

tsinF)t(F 0=

l/3 2l/3 2l/3

y(t)

m

h/3

EI=const.

Fig.1.6


2ly(t)

m

l

l/2 l/2 ll/2

tsinF)t(F 0=

Fig.1.7

tsinF)t(F 0=

m

h

h

1.5 l l

Fig. 1.8

tsinF)t(F 0=

m

l 1.5 l1.5 l

Fig.1.9

Probleme propuse. Sisteme cu 1 GLD vibraii libere i forate 86

m

h

h

l l

tsinF)t(F 0=

Fig. 1.10

CAPITOLUL 4 SISTEME VIBRANTE CU nGLD

4.1 Vibraii libere. Metoda forelor de inerie sau metoda matricei de flexibilitate

Se consider un sistem vibrant cu nGLD. Sistemul este alctuit dintr-o grind simplu rezemat (modelul static) cu n mase concentrate crora li se acord nGLD. Deplasrile necunoscute fiind deplasrile msurate pe direcia gradelor de libertate dinamic, notate , figura

4.1.a. )t(y j

Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraii libere. Metoda matricei de flexibilitate 88

njj2j1 jj

1

1n2111 1j

1d.

)t(yn)t(y2)t(y1 )t(y j

)t(I j)t(I1 )t(I2 )t(Inc.

)t(yn)t(y2)t(y1 )t(y j

b.

1 2 nj

1m 2m jm nmSV

a.

Fig. 4.4. Sistem vibrant cu n GLD

Sub aciunea unui impuls iniial (deplasare i vitez) sistemul vibrant va vibra n jurul unei poziii de echilibru static, figura 4.1.b. La momentul al micrii se pot msura deplasrile dinamice instantanee pe direcia gradelor de libertate, de exemplu , pentru gradul de

libertate . Pentru toate cele n deplasri se constituie vectorul deplasrilor dinamice instantanee, vectorul (matricea coloan) { }

t

j

)t(y j

)t(y :


(4.1) { }

=

)t(y.

)t(y. )t(y)t(y

)t(y

n

j

21

Pe direcia gradelor de libertate iau natere fore de inerie, pentru GLDj, se noteaz fora de inerie , iar pentru toate gradele de libertate ale sistemului vibrant se constituie vectorul forelor de inerie notat

)t(Ij

{ })t(I :

(4.2) { } [ ]{ })t(ym

)t(ym.

)t(ym.

)t(ym)t(ym

)t(I.

)t(I. )t(I)t(I

)t(I

nn

jj

n

j

&&

&&

&&

&&&&

=

=

=22

1121

unde: [ ]m reprezint matricea diagonal a maselor sau matricea de inerie;

- vectorul acceleraiilor. { )t(y&& } Prin aplicarea pe sistemul virant a forelor de inerie, pe direcia gradelor de libertate dinamic, figura 4.c, se obine deformata dinamic a sistemului dinamic, iar pe direcia GLD se msoar deplasrile . Acest lucru se datoreaz principiului lui dAlembert.

)t(yi

Dac n locul forelor de inerie, se aplic pe sistem cte o singur for, egal cu unitatea, pe direcia GLD, n n situaii de ncrcare, corespunztoare celor nGLD, figura 4.1.d, e..., atunci pe direciile gradelor de libertate dinamic se msoar n seturi de cte n deplasri unitare, notate: . Cu

aceste deplasri unitare se constituie o matrice cu n linii i n coloane, notat

nnjj,j, ...., , ......, ....., , 12111

[ ] , relaia (4.3). Un element al matricei [ ] , notat reprezint deplasarea msurat pe direcia GLDj, cnd sistemul vibrant este acionat pe direcia GLDn cu o for egal cu unitatea.

jn


(4.3) [ ]

= ..

........

........

....

nnnjnn

jnjjjj

nj

nj

21

21

222221111211

Prin suprapunerea efectelor, deplasrile pe direciile gradelor de libertate 1, 2,..., j i , respectiv, n, se determin cu relaiile:

. (4.4)

+++++=

+++++=

+++++=+++++=

)t(I...)t(I...)t(I)t(I)t(y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )t(I...)t(I...)t(I)t(I)t(y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )t(I...)t(I...)t(I)t(I)t(y)t(I...)t(I...)t(I)t(I)t(y

nnnjnjnnn

njnjjjjjj

nnjj

nnjj

2211

2211

222221212112121111

Ecuaiile (4.4) formeaz un sistem de ecuaii care, sub form matriceal, poate fi scris:

{ } [ ] { })t(I )t(y = (4.5) Prin introducerea n sistemul (4.5) a vectorului forelor de inerie, relaia (4.2), se obine:

[ ] [ ] { } { } { }0=+ )t(y)t(y m && , (4.6) care reprezint ecuaia matriceal a vibraiilor libere ale sistemelor vibrante cu nGLD.

Sistemul de ecuaii (4.6) este verificat de soluii particulare armonice de forma: )tsin(A)t(y jj += (4.7) n care j reprezint amplitudinea deplasrii dinamice, iar pentru toate gradele de libertate dinamice se constituie vectorul deplasrilor:

A

{ } { } )tsin(A)t(y += (4.8) i vectorul vitezelor: { } { } )tsin(A)t(y += 2&& (4.9) unde { }A este vectorul amplitudinilor deplasrilor dinamice.


Soluiile particulare (4.8) i (4.9) caracterizeaz vibraiile proprii ale sistemului dinamic. Se introduc aceste soluii n sistemul de ecuaii (4.6) i se obine:

{ } [ ][ ]{ } { }02 =+++ )tsin(Am)tsin(A (4.10) sau [ ] [ ] [ ] { } { }02 = A)Im ( , (4.11) care reprezint ecuaia general a vibraiilor proprii, unde [ ]I este matricea diagonal unitate (toate elementele de pe diagonala principal sunt egale cu unitatea, iar celelalte elemente sunt nule).

Ecuaia matriceal (4.11) este algebric, liniar i omogen.

Sistemul vibreaz atunci cnd 0jA , deoarece soluia banal verific ecuaia (4.11), dar nu este interensant deoarece corespunde unei poziii de repaus a sistemului.

Pentru ca sistemul de ecuaii (4.11) s admit soluii diferite de zero, determinantul prrincipal trebuie s fie nul:

[ ] [ ] [ ] 02 = Im (4.12) sau

(4.13) 0

1

1

11

2222

211

2

2222

211

2

22

22

2222

1212

12

12

2122

1112

=

nnnjnjnn

njnjjjjj

nnjj

nnjj

m.m.mm......

m.m.mm......

m.m.mmm.m.mm

Dac se noteaz 21

= ecuaia (4.13) devine:

(4.14) 0

2211

2211

2222212111212111

=

m.m.mm......m.m.mm......m.m.mmm.m.mm

nnnjnjnn

njnjjjjj

nnjj

nnjj

sau prin dezvoltare:


(4.15) 011 =+++++ nknknn a....... a....... a De asemenea, dezvoltnd determinantul (4.13) se obine o ecuaie de gradul n n numit ecuaie caracteristic sau ecuaia frecvenelor (pulsaiilor) sistemului vibrant.

2

Rezolvnd ecuaia caracteristicilor (4.15) se obin n rdcini reale i pozitive notate:

ni ....,..........,...,..........,, 21

reprezentnd pulsaiilor proprii (naturale) ale sistemului dinamic.

Pulsaia proprie cu valoarea cea mai mic, notat prin , se numete pulsaie proprie fundamental, iar celelalte valori, n general notate, , reprezint pulsaiile proprii de ordin superior:

1

i

....n,,i,i 321 => . Cunoscnd cele n pulsaii proprii ale sistemului dinamic se determin direct frecvena proprie fundamental, , perioada proprie fundamental, i celelate valori proprii de ordin superior, notate generic, i .

1f

1T

if iT

Prin urmare, valorile proprii sunt caracteristici intrinseci ale sistemelor dinamice deoarece depind exclusiv de proprietile ineriale i elastice ale modelelor dinamice.

Fiecrei valori proprii i corespunde o deformat a sistemului numit form proprie de vibraie (principal, natural).

Forma proprie coincide cu deformata sistemului acionat de amplitudinile forelor de inerie:

(4.16) i,jjii,j ymI2=

sau { } [ ]{ }iii ymI 2= (4.17) unde: reprezint amplitudinea forei de inerie corespunztoare gradului de libertate , n modul i de vibraie;

i,jI

j

- amplitudinea deplasrii msurat pe direcia GLD n modul

de vibraie; i,jy

i

{ }iy - vectorul (matricea coloan) amplitudinilor, vectorul formei proprii i .


Ansamblulul format dintr-o form proprie { }iy i perioada proprie corespunztoare , formeaz un mod propriu de vibraie, n acest caz, modul propriu i de vibraie.

iT

Configuraia geometric a formelor proprii (vectori proprii) se determin prin introducerea succesiv a valorilor proprii n sistemul de ecuaii (4.11). Se obine ecuaia urmtoare:

2i

[ ] [ ] [ ] { } { }02 = ii A)Im ( , (4.18) numit ecuaia general a vectorilor proprii (dimensionali).

Ecuaia stemul de ecuaii (4.18) are forma: j din si

01 21222221112 =+++++ i,nnjnii,jjjii,jii,ji Am...A)m(...AmAm . (4.19)

Se mparte ecuaia (4.19) prin . Se noteaz: i,A1

i,ni,

i,ni,j

i,

i,ji,

i,

i, yAA

... ,yAA

... ,yAA ====

111

1

1 1 (4.20)

Cu aceste notaii ecuaia (4.19.) devine:

.(4.21) 1122

12

2222 1 mym...y)m(...ym jii,nnjnii,jjjii,ji =++++

Dac se mpart toate ecuaiile sistemului de ecuaii (4.18) prin , atunci aceast sistem, n form matriceal, devine: i,A1

[ ] [ ] [ ] { } { }02 = ii y)Im ( , (4.22) care reprezint ecuaia general a vectorilor proprii adimensionali.

Ecuaia matriceal (4.22) are numai n-1 necunoscute deoarece (v. relaiile (4.20)) i pentru aflarea soluiei se vor utiliza numai

primele n-1 ecuaii, ultima ecuaie fiind folosit pentru verificarea rezultatelor.

11 =i,y

Se definete matricea spectral, notat [ ] , ca o matrice diagonal care cuprinde pe diagonala principal ptratele pulsaiile proprii de vibraie ale unui sistem dinamic cu n GLD, iar celelalte elemente fiind nule:


. (4.23) [ ]

=

2

2

22

21

n

i

.

.

De asemenea, definim matricea modal a unui sistem dinamic cu nGLD, ca o matrice alctuit prin scrierea pe coloane a formelor proprii de vibraie. Este notat [ ]Y :

(4.24) [ ]

=

n,ni,n,n

Stabilitate_dinamica

Documents

Transcript of Stabilitate_dinamica