SS-cap2

Semnale si Sisteme

Radu Stefan, Cristian Oara

Facultatea de Automatica si CalculatoareUniversitatea “Politehnica” Bucuresti

e-mail: [email protected]: http://www.riccati.pub.ro/

octombrie 2010

Capitolul 2 - Semnale

2. SEMNALE

2.1. Definitie. Exemple.

Un semnal este o functie de timp.

Marimi fizice variabile ın timp: forta F care actioneaza asupra unui punct material,tensiunea vo la iesirea unui AO, presiunea p a unui fluid.

Notatie.• F , vo, p sau F (·), vo(·), p(·) se refera la semnal sau functie;• F (t), vo(10.33), p(t−1) desemneaza valoarea semnalelor la momentele t, 10.33, t−1.

Definitia 1. Se numeste semnal o functie f : T → A, unde A este o multime datanumita imaginea (sau multimea de valori a) semnalului iar T este axa (sau domeniul dedefinitie al) semnalului.Daca T ⊂ R (multime “continua”), atunci u este un semnal continual; ın cazul ın careT ⊂ Z (multime “discreta”) atunci u este un semnal discret.

Capitolul 2 - Semnale Semnale 1

Esantionare (conversie analogic-numeric)

Esantionarea transforma un semnal continual (semnal cu timp continuu) intr-un semnal(cu timp) discret: fd(k) := f(t0 + kTs), unde Ts > 0 se numeste perioada (sau pas) deesantionare (discretizare). Numim frecventa (sau rata) de esantionare inversul lui Ts,

νs =1

Ts.

-1 0 1 2

3

4 5

h

f(t)f(k)d

f(k)= kf(0+ h)d

k

t

Figura 1: Semnal esantionat


Problema: Reconstructia unui semnal din esantioane.

Cum se alege Ts ca sa nu se piarda din “informatie” si sa se poata reconstrui semnalul?

Raspunsul mai tarziu (ianuarie 2010).


Exemple

1) Cursul leu-dolar. Axa semnalului: discreta; imaginea: R+.

2) O secventa semi-infinita de biti: 0111001 . . .. Axa semnalului: Z+; imaginea: {0, 1}.

3) Tensiunea de iesire a unui AO. Axa semnalului: R+; imaginea: R.

4) Nivelul apelor Dunarii: semnal esantionat.


Extrapolare (conversie numeric-analogic)

Descriem 2 metode simple de a reconstrui un semnal continual din esantioanele fd(k) =f(kTs).

Extrapolator de ordin 0: f(t) ≈ f(kTs), kTs ≤ t < (k + 1)Ts.

Extrapolator de ordin 1: f(t) ≈ f(kTs) +f((k+1)Ts)−f(kTs)

Ts(t− kTs),

kTs ≤ t < (k + 1)Ts.

Figura 2: Extrapolator de ordin 0 si 1


Notatie. Clasificari.

• Notam cu SA, SdA multimea semnalelor continuale, respectiv discrete care iau valori ın

multimea A.

• In mod uzual vom lucra cu semnale reale sau complexe: imaginea semnalelor va fiA = R sau A = C. Multimi de semnale ıntalnite frecvent: SR, SC, Sd

R, SdC.

• Semnalele pot avea

a) axa finita: T = (a, b) - interval finit; T = {n, n+ 1, . . . , n+ l} - multime finita;

b) axa semi-infinita: T = R+ (t ≥ 0), T = R− (t ≤ 0) sau T = Z+ (k ≥ 0),T = Z− (k ≤ 0);

c) axa infinita: T = R, T = Z.

• Semnale scalare (A = R sau A = C), semnale vectoriale (A = Rm sau A = Cm).


Semnale standard

a) Treapta unitara: 1(t) =

{1 t ≥ 00 t < 0

Semnal scalar real, continuu pe portiuni. De tip “curent continuu”.

b) Treapta unitara discreta: 1(k) =

{1 k ≥ 00 k < 0

c) Rampa : ramp(t) =

{t t ≥ 00 t < 0

Semnal scalar real, continuu pe portiuni. Observatie: ramp(t) = t1(t).Functie de tip “polinomial”.

In mod similar se defineste si semnalul rampa discret.


1

t

ramp(t)

t

1(t)

Figura 3: Semnal treapta si rampa

d) Impuls discret: δ(k) =

{1 k = 00 k = 0


D(n)

1

-2 +1 +2-1n

Figura 4: Impuls discret

e) Impuls dreptunghiular: rect(t) =

{1 a ≤ t ≤ b0 altfel

f) Impuls triunghiular: trian(t) =

{1− |t| −1 ≤ t ≤ 1

0 altfel


rect(t)rect(t)

trian(t)

t

t

-1/2 1/2

1

1

-1


g) Semnal de tip armonic:u(t) = A cos(ωt+ ϕ)

A - amplitudineaω - pulsatie; ω = 2πf = 2π/T unde f ∈ R+ este frecventa semnalului iar T ∈ R+ esteperioada acestuia.ϕ - faza (sau defazajul)

Reprezentarea complexa a semnalelor armonice (a ∈ C):

u(t) = a ejωt = Aejϕejωt = A cos(ωt+ ϕ) + j A sin(ωt+ ϕ)

Semnale “reale”.Radio (AM,FM)Satelit, cablu TVVideo (Pal/Secam, NTSC)Telefonie (mobila, fixa)

Aceste semnale nu sunt definite de formule matematice, ci de anumite caracteristici:frecventa amplitudine, factor de umplere (raportul ıntre durata unui impuls si durataunui spatiu ıntre impulsuri), etc.


2.2 Clase de semnale

Am mentionat deja ca vom lucra frecvent cu semnale din SR, SdR, SC, Sd

C.

Aceste multimi de semnale sunt foarte bogate; vom considera (din ratiuni tehnice dar si utilitare) submultimi ale acestora.

In general, semnalele continuale sunt functii continue pe portiuni si/sau local integrabile.

Observatia 2. Pe SR si SdR (SC si Sd

C) se poate introduce o structura de spatiu vectorial peste R (peste C).

Semnale = Vectori

Operatii cu semnalele (vectorii) ?

Concepte de baza ?


Semnale: cu actiune finita , de energie finita , marginite

a) Semnale cu actiune finita.

L1(R) = {u ∈ SR : u masurabila,

∫ +∞

−∞|u(τ)|dτ < ∞} - semnale absolut integrabile pe R.

l1(Z) = {x ∈ Sd

R :

+∞∑k=−∞

|x(k)| < ∞} - semnale absolut sumabile pe Z.

Terminologia. Sa consideram un punct material de masa m asupra caruia actioneaza o forta F , pe un interval dat de timp, finit sau infinit; avem∫ t2

t1F (τ)dτ = m(v(t2)− v(t1)), unde v este viteza punctului material. Daca v(t1) = 0, rezulta v(t2) =

1

m

∫ t2

t1F (τ)dτ . “Actiunea” fortei

are ca efect modificarea vitezei punctului material.


b) Semnale de energie finita.

L2(R) = {u ∈ SR : u masurabila,

∫ +∞

−∞|u(τ)|2dτ < ∞} - semnale de patrat integrabil pe R.

l2(Z) = {x ∈ Sd

R :

+∞∑k=−∞

|x(k)|2 < ∞} - semnale de patrat sumabil pe Z.

Terminologia. Puterea unei rezistente R parcursa de un curent de intensitate i(t) este P (t) = i2(t)R. Energia disipata pe un interval dat de timp,

finit sau infinit, este

∫ t2

t1P (τ)dτ = R

∫ t2

t1i2(τ)dτ .


c) Semnale (esential) marginite.

L∞

(R) = {u ∈ SR : u masurabila, essup|u(t)| < ∞} - semnale esential marginite pe R (marginite aproape peste tot).

Vom considera in mod uzual semnale marginite:

u ∈ SR este marginit daca exista M > 0 astfel incat |u(t)| < M (< ∞), pentru orice t ∈ R.

Orice semnal marginit este si esential marginit. Exista semnale esential marginite care nu sunt marginite ?

In cazul discret, l∞

(Z) = {x ∈ SdR : sup|x(k)| < ∞} - semnale marginite pe Z.

Observatia 3. Vom considera ın mod obisnuit semnale avand axa de timp semi-infinita l∞(Z+), L1(R+). Axa de timp poate fi de asemenea un

interval finit oarecare: L2([0, 2π]).


Putem “masura” un semnal ?

Norme de semnale Fie u ∈ L1(R), x ∈ l1(Z). Atunci

∥u∥1 :=

∫ +∞

−∞|u(τ)|dτ si ∥x∥1 :=

+∞∑k=−∞

|x(k)|

sunt norme bine definite pe L1(R), respectiv pe l1(Z). Aceste norme masoara “actiunea” semnalului u, respectiv x.

In mod similar, radacina patrata a energiei totale a unui semnal u ∈ L2(R), x ∈ l2(Z) defineste o norma pe L2(R), respectiv pe l2(Z):

∥u∥2 :=

(∫ +∞

−∞|u(τ)|2dτ

)12

si ∥x∥2 :=

+∞∑k=−∞

|x(k)|2

12.

In fine, norma sup este definita la fel pentru semnalele marginite, indiferent daca sunt continuale sau discrete:

supt∈R

|u(t)|, supk∈Z

|x(k)| =: ∥x∥∞.

Se observa ca ın cazul discret norma sup coincide ıntotdeauna cu norma l∞. In cazul continual, este posibil ca norma L∞ sa fie bine definita∥u∥∞ := essup|u(t)| < ∞, adica u sa fie un semnal esential marginit, dar care sa nu fie neaparat marginit, deci norma sup a lui u sa nu existe.

Exemplu: u(t) =

{sin t daca t ∈ R − Nt daca t ∈ N

Avem ∥u∥L∞ = 1, chiar daca u nu este marginit.


Alte exempleExemplul 4. Fie semnalele continuale

u(t) = 1(t); v(t) =

{t−12 0 < t ≤ 1

0 ın rest.

Este evident ca u este un semnal marginit, cu supt∈R

|u(t)| = 1 (si deci cu ∥u∥∞ = 1), dar care nu apartine nici lui L1(R), nici lui L2(R).

v nu este (esential) marginit ( limt↘0

v(t) = +∞) si nici un semnal de energie finita, insa v ∈ L1(R) si ∥v∥1 = 2.


Alte masuri (de “curent alternativ”)

Media valorii absolute1 a unui semnal (continual) este data de

AA(u) := limT→∞

1

2T

∫ T

−T|u(τ)|dτ

Puterea medie a unui semnal (continual) este definita de

p(u) = limT→∞

1

2T

∫ T

−T|u(τ)|2dτ.

In electronica, valoarea unui semnal de curent alternativ este exprimata de radacina medie patratica (root mean square=RMS)

RMS(u) := [p(u)]12 .

1AA=absolute average


De exemplu, pentru semnalul treapta unitara, AA(1(t)) = 1/2 si RMS(1(t)) = 1/√2.

Pentru un semnal sinusoidal, RMS este1√2× amplitudinea semnalului.

Norme de semnale si sisteme: mai tarziu.


Structura spatiilor de semnale

• Structura algebrica: spatii vectoriale.

• Structura topologica: spatii Banach (spatii vectoriale normate si complete).

• Structura geometrica: spatii Hilbert (spatii vectoriale normate, complete, cu norma definita de un produs scalar).

Suntem interesati de

- proprietati calitative: semnal marginit/nemarginit, convergent catre 0 cand t → ∞, periodic, etc.

- proprietati cantitative: ∥u∥∞, ∥u∥2, cat de repede converge la 0, etc.


2.3 Operatii cu semnaleSuma, Produs, Inmultire cu scalari

(f + g)(t) = f(t) + g(t)

(f g)(t) = f(t) g(t)

(α f)(t) = α f(t), α ∈ C (R)

Transformarea (liniara a) axei de timp: scalare, inversare, translatie ın timp

ϕ(t) = αt+ β

fϕ(t) = (f oϕ)(t) = f(αt+ β)

Scalare: α > 0, β = 0, fα(t) = f(αt); α > 1, α < 1 - contractare, respectiv dilatarea axei de timp.

Inversare: α = −1, β = 0, f−(t) = f(−t).

Translatie: α = 1, β = −τ , fτ(t) = f(t− τ).


Translatia ın timp

Operatie care joaca un rol important ın definirea proprietatii de invarianta ın timp

Definitia 5. Fie τ ∈ R (l ∈ Z). Se numeste operator de translatie (sau shift), operatorulστ : SR → SR (σl : Sd

R → SdR), definit de

(στ u)(t) = u(t− τ), t ∈ R((σl x)(n) = x(n− l), n ∈ Z

)(1)


Figura 5: Translatie ın timp (τ = 1)


Convolutia

Structura de spatiu vectorial: adunare (f + g), ınmultire cu scalari (α · f , α ∈ R sau C).

Structura de algebra (Banach): se introduce o operatie de ınmultire.

Aceasta poate fi produsul uzual (f × g) sau un alt tip de “inmultire”:de exemplu, convolutia.

Definitia 6.

1. Fie u, v ∈ SR. Presupunem ca pentru t ∈ R, functia τ → u(t − τ)v(τ) esteintegrabila pe R. Atunci

w(t) =

∫ +∞

−∞u(t− τ)v(τ)dτ =: (u ∗ v)(t) (2)

θ=t−τ=

∫ +∞

−∞u(θ)v(t− θ)dθ = (v ∗ u)(t)

este o functie bine definita ın t ∈ R si se numeste produsul de convolutie sauCONVOLUTIA semnalelor continuale u si v.


2. Fie x, y ∈ SdR. Presupunem ca pentru n ∈ Z, functia k → x(n − k)y(k) este

sumabila pe Z. Atunci

z(n) =

+∞∑k=−∞

x(n− k)y(k) =: (x ∗ y)(n) (3)

l=n−k=

+∞∑k=−∞

x(l)y(n− l) = (y ∗ x)(n)

este o functie bine definita ın n ∈ Z si se numeste produsul de convolutie sauCONVOLUTIA semnalelor discrete x si y.


Proprietati

1. Daca u, v ∈ L1(R), atunci u ∗ v este bine definita a.p.t. ın R si u ∗ v ∈ L1(R). In plus, ∥u ∗ v∥1 ≤ ∥u∥1 ∥v∥1. Se poate arata ca

(L1(R),+, ·, ∗) este o algebra Banach.

2. Daca h ∈ L1(R), u ∈ L2(R), atunci h ∗ u este bine definita a.p.t. ın R si h ∗ u ∈ L2(R). De asemenea, ∥h ∗ u∥2 ≤ ∥h∥1 ∥u∥2.

Demonstratie: mai tarziu.

Q: Exista element neutru la convolutie, adica un semnal d astfel ıncat f ∗ d = d ∗ f = f ,pentru orice f ?

Raspunsul la aceasta ıntrebare difera substantial ıntre convolutia semnalelor continualesi a celor discrete.


2.4 Semnale cu impulsuri (semnale singulare)

• Motivatie: exista situatii ın care anumite semnale (functii) actioneaza pe intervalefoarte scurte de timp, unde pot lua valori extrem de mari.

• Consecinta: este imposibil sa se masoare valorile instantanee ale unui astfel desemnal (exista o limita fizica a masurarii unui interval de timp!); se poate insaobserva/masura efectul actiunii acestui semnal.

Exemplul 7. Lovirea unei mingi (de tenis, de fotbal). Presupunem ca o forta Factioneaza asupra mingii (de masa m) ın intervalul t0 = 2.999sec si t1 = 3.001sec.Presupunem ca la momentul t0 mingea se afla ın repaus. Efectul acestei actiuni este datde∫ 3.001

2.999

F (τ)dτ = mv(3.001)−mv(2.999), v(3.001) = v(2.999) +1

m

∫ 3.001

2.999

F (τ)dτ.

Cu alte cuvinte, putem observa efectul fortei F pe intervalul considerat, masurand vitezamingii dupa ıncetarea actiunii fortei F .Exemplul 8. Incarcarea rapida (instantanee) a unui condensator. Se considera circuituldin figura de mai jos (figura 6).


i(t)

t=0

1V v(t) C=1F+

-

Figura 6: Incarcarea unui condensator

Presupunem ca v(0) = 0 si q(0) = 0. La ınchiderea circuitului tensiunea la bornelecondensatorului C, v(t), creste (aproape instantaneu) la valoarea V , iar curentul ıncircuit va atinge o valoare foarte mare, dupa care va fi practic nul (vezi graficele dinfigura 8, cand R → 0). De asemenea, sarcina va fi transferata la bornele condensatoruluiaproape instantaneu,

Qtot =

∫ ∞

0

i(τ)dτ = CV = 1, daca C = 1F, V = 1V.

Se constata ca desi i este 0 a.p.t (i(t) = 0 pentru t = 0, i(t) ≈ ∞ pentru t = 0), avem∫ ∞

0

i(τ)dτ = 0!


Am neglijat cu totul rezistenta existenta ın circuit.

Concluzii. Astfel de semnale (F , dar mai ales i) au un comportament impulsiv. Elese mai numesc si semnale impulsive sau singulare. Studiul semnalelor singulare esteıncadrat de Teoria Distributiilor (L. Schwartz, 1950).

Ne vom limita la studiul (din punctul de vedere al ingineriei electrice, si nu al teorieidistributiilor) unui singur semnal singular, impulsul Dirac.


Impuls Dirac

Definitia 9. Se numeste impuls Dirac, notat δ(t), (un “obiect” care este) o idealizarea unui semnal avand proprietatile:

a. este foarte mare intr-o vecinatate a lui t = 0: δ(t) este nedefinit ın 0; poate fi chiarinfinit.

b. este foarte mic ın afara acestei vecinatati: δ(t) = 0 pentru t = 0.

c.

∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1.


Circuitul RC

Notam cu R rezistenta ın circuitul din figura 6.

+

-

v

i

C

R

V+

-

Figura 7: Circuit RC

Din i =dq

dt= C

dv

dtsi Ri = V − v rezulta

dv

dt= − 1

RCv +

1

RCV ;

daca v(0) = 0, solutia acestei ecuatii se poate scrie

v(t) = V (1− e−t

RC )C=1, V=1

= 1− e−tR .


Deducem ca i(t) =V

Re−

tRC

C=1, V=1= 1

R e−tR .

Graficele lui v si i sunt date ın figura de mai jos:

1

v(t)

t t

i(t)

R R

1

R

Figura 8: Tensiunea si curentul condensatorului

Se constata ca limR→0

v(t) = 1(t), limR→0

i(t) =

{0 t = 0∞ t = 0

.

Este δ(t) = limR→0

i(t) ? NU, deoarece

∫ +∞

−∞( limR→0

i(t))dt = 0 !


Pe de alta parte,

limR→0

(∫ +∞

−∞i(t)dt

)= lim

R→0(CV ) = CV,

adica i(t) este o “aproximatie” a impulsului Dirac δ(t) pentru valori “mici” ale lui R (ınconditiile ın care C = 1, V = 1).


Aproximatii ale lui δ

In figura 9, avem pε(t) = 1(t)− 1(t− ε), de unde

δ(t) = limε↘0

1(t)− 1(t− ε)

ε=

d1(t)

dt!

Se poate arata riguros ca, ın sens distributional, impulsul Dirac δ(t) este intr-adevarderivata treptei unitare 1(t).

Nu conteaza forma si valorile pe care le ia o aproximatie oarecare a lui δ, ci efectulactiunii acesteia, adica faptul ca

∫R = 1.


Figura 9: Aproximatii ale lui δ


Mai precis, distributia (impulsul) Dirac este o functionala (pe spatiul functiilor test)definita prin

δ(f) = f(0)FORMAL!

=

∫ +∞

−∞δ(τ)f(τ) dτ , (4)

unde f este o functie continua ın 0.

Se poate defini ın mod similar distributia asociata semnalului treapta unitara,

1(f) :=

∫ +∞

−∞1(τ)f(τ) dτ =

∫ ∞

0

f(τ) dτ .

Sa mai notam ca, ın conformitate cu (4), impulsul Dirac este element neutru la convolutiepentru semnalele continuale (se ia f(τ) := h(t− τ), t fixat).

Spre deosebire de δ (semnal singular), elementul neutru al operatiei de convolutie discretaeste impulsul discret, care este un semnal regulat.


2.5 Analiza Fourier

Rolul exponentialei: ept.

Care este solutia ecuatiei diferentiale

x = px?

Exponentiala este ”produsa” de ecuatia de mai sus.

Ce devine ecuatiax+ x+ x = u(t),

daca se ınlocuieste x(t) = ept ?

Multiplu de ept. Exponentiala: “functie proprie”.

Clasa speciala de semnale:

f(t) =∑k

fk epkt (5)

Cat de ”bogata” este aceasta clasa?

Reformulare: care sunt semnalele care se pot scrie ın forma (5) ?


Semnale periodice

Clasa speciala de exponentiale: ejωt (atunci cand Re p = 0).

Reamintim ca ejωt = cosωt+ j sinωt este un semnal periodic cu perioada T =2π

ω.

Un semnal f(t) se numeste periodic, daca exista T > 0 a.ı. x(t+ T ) = x(t), ∀t ∈ R.

Cel mai mic T cu aceasta proprietate este perioada fundamentala T0.

ω0 =2π

T0se numeste frecventa (sau pulsatia) fundamentala.

Legatura dintre semnalele armonice si cele periodice ?

Invers: semnal periodic —> semnale armonice = serii Fourier


Reprezentarea semnalelor periodice ca serii Fourier

f(t) =

∞∑k=−∞

akejkω0t − sinteza (6)

unde

- {ak}k sunt coeficientii Fourier

- k = 0: “curent continuu”

- k = ±1: prima armonica

- k = ±2: a doua armonica etc.


f(t) ∈ R

Semnalele periodice cu valori reale (f(t) = f(t))se pot scrie echivalent

f(t) =α0

2+

∞∑k=1

αkcos(kω0t) + βksin(kω0t) (7)

unde

ak =αk − jβk

2, a0 =

α0

2


Analiza: calculul coeficientilor

Dandu-se f(t), cum se calculeaza coeficientii Fourier ?

Se ınmulteste relatia (6) cu1

T0e−jnω0t, dupa care se integreaza pe un interval de lungime

T0:

1

T0

∫T0

f(t) e−jnω0tdt =∞∑

k=−∞

ak1

T0

∫T0

ej(k−n)ω0tdt =∞∑

k=−∞

ak δ(k − n) = an

Asadar

ak =1

T0

∫T0

f(t)e−jkω0tdt − analiza (8)

Remarcam faptul ca a0 =1

T0

∫T0

f(t)dt este media semnalului.


Coeficientii αk, βk din formula de sinteza pentru semnale reale (7) se pot exprima astfel:

αk =2

T0

∫T0

f(t) cos kω0t dt

βk =2

T0

∫T0

f(t) sin kω0tdt

Observatii.

1. Convergenta seriei Fourier (6) se poate analiza ın norma L2 si are loc pentru semnaleperiodice care satisfac anumite conditii.

2. Frecventele (pulsatiile) ωk = kω0 reprezinta spectrul ın frecventa al lui f(t). Acestaeste discret.

3. Cazul semnalelor aperiodice se trateaza considerand T0 → ∞; altfel spus, compo-nentele armonice sunt din ce ın ce mai apropiate: suma “devine” integrala - ideeaoriginala a lui Fourier.


Conditiile Dirichlet

1. f este absolut integrabila pe o perioada:∫T|f(t)|dt < ∞.

2. Pe orice interval finit f(t) are variatie marginita.

3. Pe orice interval finit f(t) are un numar finit de discontinuitati.

Continuitatea nu este esentiala: semnalele de interes practic satisfac aceste conditii, deexemplu, orice puls dreptunghiular.

Seria Fourier - din egalitatea de sinteza (6) - converge la f(t) pentru orice t unde feste continua. In punctele de discontinuitate (finite ca numar) seria Fourier converge lamedia limitelor laterale ale lui f ın punctele respective.

Alt tip de conditii: f are energie finita pe o perioada:

∫T

|f(t)|2dt < ∞. Atunci

seria Fourier si f au aceeasi energie,

∫T

|f(t)|2dt =∫T

|∑k∈Z

akejkω0t|2dt ceea ce ınsa nu

implica neaparat convergenta punctuala.


Fenomenul Gibbs

Seria Fourier trunchiata

fN(t) =

k=N∑k=−N

akejkω0t

prezinta ın apropierea punctelor de discontinuitate ale lui f

• ”salturi” (depasiri de valori)

• componente de frecventa ınalta.

Loc de joaca pentru copii: http://www.jhu.edu/∼signals/


Analiza unui semnal dreptunghiular periodic

Fie 0 < T1 < T/2. In intervalul [−T/2, T/2] se defineste impulsul dreptunghiular dedurata 2T1

f(t) = 1, −T1 ≤ t ≤ T1; f(t) = 0, in rest.

Din ecuatia (8) rezulta a0 =1

T

∫T

f(t)dt =2T1

Tunde ω0 = 2π/T si

ak =1

T

∫T

f(t)e−jkω0tdt =1

T

∫ T1

−T1

e−jkω0tdt =sin kω0T1

kπ


Sinteza unui semnal dreptunghiular periodic

Figura 10: Semnal dreptunghiular periodic


Cazul semnalelor aperiodice

Functia

f(t) =∑k

akejωkt

este o suma de armonici de frecventa si amplitudini diferite.

Spectru discret: {ωk}k.

Spectru continuu: f(ω), atunci cand f este data de

f(t) =

∫ ∞

−∞f(ω)ejωtdω

formal=∑ω

[f(ω)dω

]ejωt. (9)

f(ω) se mai numeste si densitate spectrala a functiei f .

Justificam scrierea egalitatii (9) si ilustram similitudinea acesteia cu egalitatea de sintezaa seriilor Fourier.


Semnale aperiodice - continuare

Presupunem - pt. fixarea ideilor - ca f(t) are suport finit (este nula ın afara unui intervalfinit).

Altfel, argumentatia ramane valabila pentru functii care verifica conditiile Dirichlet.

Introducem functia f(t) =

{f(t) −T/2 < t < T/2

periodica in rest

Cand T → ∞, f(t) = f(t), pentru orice t.

Deoarece f(t) este periodic, se pot scrie (cu ω0 := 2π/T ) relatiile de sinteza si analizacorespunzatoare:

f(t) =

∞∑k=−∞

ak ejkω0t

ak =1

T

∫ T/2

−T/2

f(t)e−jkω0tdtf(t)=f(t)

=1

T

∫ T/2

−T/2

f(t)e−jkω0tdt =1

T

∫ ∞

−∞f(t)e−jkω0tdt


Definim F (jω) =

∫ ∞

−∞f(t)e−jωtdt si obtinem din egalitatile de mai sus

ak =1

TF (jkω0).

Asadar pentru −T/2 < t < T/2 putem scrie

f(t) = f(t) =+∞∑

k=−∞

1

TF (jkω0) e

jkω0t =1

2π

+∞∑k=−∞

ω0F (jkω0)ejkω0t.

Din aceasta ultima egalitate rezulta, atunci cand T → ∞ si∑

ω0 =

∫dω, urmatoarele

ecuatii de analiza si sinteza:

F (jω) :=

∫ +∞

−∞f(t) e−jωt dt

f(t) :=1

2π

∫ +∞

−∞F (jω) ejωt dω


2.6 Transformari

Transformarea Fourier + Fourier pentru semnale discrete + Fourier discreta

Transformarea Laplace + Laplace discreta sau transformarea Z

Transformarea Fourier.

Definitia 10. Fie f ∈ L1(R), f continua. Atunci functia

F : jR → C, F (jω) :=

∫ +∞

−∞f(t) e−jωt dt (10)

este bine definita, continua si marginita pe R, si se numeste transformata Fourier a luif ın punctul jω.Aplicatia f 7→ F , F = F(f), se numeste transformarea Fourier; F este un operatorliniar, F : L1(R) → C0, unde C0 este multimea functiilor continue si marginite pe R,avand limitele la ±∞ egale cu 0.


Interpretare fizica

Nota. Am notat domeniul de definitie a lui F cu jR (ın loc de R), respectiv argumentulfunctiei F cu jω (ın loc de ω) pentru a sublinia diferenta ıntre axa reala a momentelorde timp si axa reala a frecventelor.

Spectrul ın frecventa al semnalului f(t)

F (jω) = |F (jω)|︸︷︷︸amplitudinea

e

j arg[F (jω)]︸︷︷︸faza (11)

Amplitudinea (ın frecventa) a lui f(t) se masoara ın decibeli (dB) iar faza (ın frecventa)a lui f(t) se masoara ın radiani.

Formula (12) (pagina urmatoare) poate fi interpretata ca o combinatie liniara de oscilatiiarmonice ejωt de amplitudine variabila |F (jω)|.

F este o rezolutie de frecventa a lui f , evidentiind amplitudinile (|F (jω)|) oscilatiilorarmonice (ejωt) din care este compusa f .


Proprietati

0. Formula de inversare. Daca F ∈ L1(jR), adica

∫ +∞

−∞|F (jω)| dω < ∞, atunci

transformata Fourier inversa a lui F , f = F−1(F ), este bine definita si data de

f : R → C, f(t) :=1

2π

∫ +∞

−∞F (jω) ejωt dω. (12)

1. Liniaritate. F(αf + βg) = αF(f) + βF(g).

2. Scalarea axei de timp (asemanare). f(αt)F−→ 1

α F (jωα ), α > 0.

3. Translatie ın timp. f(t− τ)F−→ e−jωτ F (jω), τ ∈ R.

4. Translatie ın frecventa. ejλtf(t)F−→ F (j(ω − λ)), λ ∈ R.

5. Convolutie ın domeniul timp. (Produs ın domeniul frecventa).

f ∗ g F−→ F(f) F(g) = FG.

(f ∗ g)(t) = F−1(FG) =1

2π

∫ +∞

−∞F (jω)G(jω) ejωt dω.


6. Produs ın domeniul timp. (Convolutie ın domeniul frecventa).

f gF−→ =

1

2π

∫ +∞

−∞F (j(w − α))G(jα) dα.

7. Egalitatea lui Parseval. Fie u ∈ L1(R) ∩ L2(R) (care este o multime densa ınL2(R)) si U = F(u). Atunci

(∫ +∞

−∞|u(t)|2 dt

)12

= ∥u(t)∥2 =1√2π

∥U(jω)∥2 =1√2π

(∫ +∞

−∞|U(jω)|2 dω

)12

iar transformarea u 7→ 1√2πF(u) este un izomorfism de spatii Hilbert, de la L2(R) la

L2(jR).


Convolutie. Filtrare.

Ecuatiile y(t) = (h ∗ u)(t) Y (jω) = H(jω) U(jω) descriu un filtru de frecventa.

De exemplu, sistemul auditiv se comporta ca un filtru.

Convolutia “distruge” toate frecventele (oscilatiile armonice) care intra ın componentalui u, dar care nu apar ın h. Sunt frecventele la care H(jω) este 0 sau foarte apropiatde 0.

Filtrare & predictie: N. Wiener 1930.

Fie h ∈ L1(R), cu H(jω) = 0, ∀ ω ∈ R si fie de asemenea un semnal y ∈ SR. Atunci,

pentru orice ε > 0, exista u cu proprietatea ca

∫ +∞

−∞|(h ∗ u)(t)− y(t)|dt < ε.

Exemplu. Filtru trece-jos: circuitul RC.


Transformarea Fourier pentru semnale discrete

Prin analogie cu transformarea Fourier pentru semnale continuale, se poate introducetransformarea Fourier pentru semnale discrete x(n) astfel

X(ejω) :=

+∞∑n=−∞

x(n) e−jωn (13)

cu formula de inversare asociata

x(n) :=1

2π

∫ π

−π

X(ejω) ejωn dω. (14)

Particularitati remarcabile:

1. X(ejω) este periodica. Explicati de ce.

2. Integrarea ın ecuatia de sinteza se efectueaza pe un interval finit.


Proprietati: similare cu cele ale transformarii Fourier pt. semnalecontinuale

Convergenta seriei din relatia de analiza (13) este asigurata de conditia ca x(n) sa fieabsolut sumabila pe Z:

+∞∑n=−∞

|x(n)| < ∞. (15)

1. Liniaritate. F(αx+ βy) = αX + βY .

2. Scalarea axei de timp (asemanare). Daca

x(k)(n) =

{x(n/k), n = rk

0, n nu este multiplu al lui k

atunci x(k)(n)F−→ X(ejkω).

3. Translatie ın timp. x(n− n0)F−→ e−jωn0 X(ejω), n0 ∈ Z.

4. Translatie ın frecventa. ejω0nx(n)F−→ X(ej(ω−ω0)), ω0 ∈ R.


5. Convolutie ın domeniul timp. (Produs ın domeniul frecventa).

x ∗ y F−→ F(x) F(y) = XY .

(x ∗ y)(n) = F−1(XY ) =1

2π

∫ π

−π

X(ejω)Y (ejω) ejωn dω.

6. Produs ın domeniul timp. (Convolutie ın domeniul frecventa).

x yF−→ =

1

2π

∫ +π

−π

X(ej(w−α))G(ejα) dα.

7. Egalitatea lui Parseval. Fie x ∈ l2(Z) si X = F(x). Atunci

(+∞∑

n=−∞|x(n)|2

)12

= ∥x(n)∥2 =1√2π

∥X(ejω)∥2 =1√2π

(∫ +π

−π

|X(ejω)|2 dω)1

2

iar transformarea u 7→ 1√2πF(x) este un izomorfism de spatii Hilbert, de la l2(Z) la

l2(∂D).


Transformarea Fourier discreta2

Consideram multimea de momente de timp finita T = {0, 1, 2, . . . , N − 1}, N ≥ 2.Orice sir (xn)n∈T se numeste semnal finit cu N esantioane.

Definitia 11. Se numeste transformare Fourier discreta a semnalului (xn)n∈T un altsemnal finit (Xk)k∈T definit de

Xk =N−1∑n=0

xn e−j2πN kn =N−1∑n=0

xn akn, a := e−j2πN . (16)

Xk se numeste esantionul spectrului lui x pe frecventa k.

2Se va trata pe larg la cursul de Prelucrare Numerica a Semnalelor


Daca notam xT =[x0 x1 · · · xN−1

]si XT :=

[X0 X1 · · · XN−1

]atunci

relatia (16) se poate rescrie ın forma matriceala

X = Wx, unde W :=

1 1 · · · 11 a · · · aN−1

1 a2 · · · a2(N−1)

... ... ...1 aN−1 · · · a(N−1)×(N−1)

.

Deoarece W W = W W = N IN , rezulta imediat formula de inversare a transformateiFourier discrete:

x =1

NW X. (17)

Cu W s-a notat conjugata matricii W .

Transformata Fourier discreta este utilizata la calculul transformatei Fourier.

Relatiile (16) si (17) pot fi vazute si ca relatii de analiza respectiv sinteza pentruscrierea ın serie Fourier a unui semnal periodic discret de perioada N .


Presupunem ca x(t) este nula ın afara unui interval I. Se aleg (in I) N esantioane(N = 2p) si se obtine (xn)n∈T . Se calculeaza esantioanele spectrului X(jω) ın punctele0, 2π/N , 4π/N , ..., 2π(N − 1)/N ,

X(j2π

Nk) =

∫I

x(t) e−j2πN kt dt.

Integrala se aproximeaza cu ajutorul unei sume ın care apar cele N esantioane ale lui x.

Transformata Fourier Rapida: Procedura de calcul eficient.

Observatiile de mai sus au la baza faptul ca exponentialele (complexe) discrete caredifera ın frecventa cu un multiplu de 2π sunt identice.


Transformarea Laplace

Consieram transformarea Laplace unilaterala (la dreapta).

Definitia 12. Fie f ∈ SR. Se numeste transformata Laplace unilaterala la dreapta a luif ın punctul s

F (s) :=

∫ ∞

0

f(t) e−std t. (18)

F este bine definita ın s (integrala improprie converge) daca s ∈ S+f ,

unde S+f = {s ∈ C : (18) este absolut convergenta}.

Aplicatia fL+7→ F se numeste transformarea Laplace (unilaterala la dreapta).

Nota: Se pot defini ın mod similar transformatele Laplace unilaterala la stanga (L−) sibilaterala (L): orizontul de integrare se ia ın (18) (−∞, 0), respectiv (−∞,∞).

Notatie: Vom nota de aici ınainte pe L+ cu L; discutam numai despre transformareaLaplace unilaterala la dreapta.


Functii original (Laplace)

Introducem clasa functiilor original (Laplace). Spunem ca f : R → C este o functieoriginal Laplace, f ∈ O, daca f are urmatoarele proprietati:

(i) f(t) = 0, pentru t < 0.

(ii) f este continua pe portiuni ın [0,∞).

(iii) exista M > 0, s0 > 0 astfel ıncat |f(t)| < M es0t, pentru orice t ≥ 0. Numarulreal s0 se numeste indice de crestere (exponentiala).

Teorema 13. Fie f ∈ O o functie fixata de indice s0.Atunci S+

f = {s ∈ C : Re s > s0} si F (s) este olomorfa ın S+f .


Notatie. Terminologie.

Transformata Laplace a functiei f ın punctul s: F (s) = L{f(t)}(s).

Transformarea Laplace: F = L(f).

Functia F se numeste functia imagine (Laplace) a functiei (original) f .

Exemplu. Functia treapta unitara 1(t) este o functie original avand s0 = ε > 0.Atunci S+

f = {s ∈ C : Re s > 0} si

L{1(t)}(s) =∫ ∞

0

e−stdt =1

s.


Proprietati

0. Transformata Laplace inversa. Fie f ∈ O cu indicele de crestere s0 si F = L(f).Atunci

f(t) :=1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞F (s) est ds, ∀ σ > s0 si t ≥ 0. (19)

1. Liniaritate. L{αf + βg}() = αF + βG.

2. Asemanare (scalarea axei de timp). L{f(αt)}(s) = 1

αF (

s

α).

3. Translatie (ıntarziere) ın timp. L{f(t− τ)}(s) = e−τs F (s), τ > 0.

4. Translatie ın frecventa. L{e−at f(t)}(s) = F (s+ a).

5. Derivarea imaginii. L{tn f(t)}(s) = (−1)n F (n)(s).

6. Derivarea functiei original. Daca f, f′, . . . , f (n) ∈ O, atunci

L{f (n)(t)}(s) = snF (s)− sn−1 f(0+)− . . .− f (n−1)(0+),

unde g(0+) = limt↘0

g(t) este limita la dreapta ın 0 a functiei g.

In particular, L{f ′(t)}(s) = sF (s)− f(0+).


7. Teorema valorii finale. Daca f, f′ ∈ O si daca exista lim

t→∞f(t)

not= f(∞)< ∞,

atunci lims→0

sF (s) = f(∞).

8. Teorema valorii initiale. Daca f, f′ ∈ O si daca exista lim

s→∞sF (s), atunci

lims→∞

sF (s) = f(0+).

9. Convolutia. Daca h, u ∈ O si h ∗ u este bine definita, atunci y = h ∗ u este functieoriginal si

L{y(t)}(s) = H(s)U(s) (20)


Exemple

1. L{t 1(t)}(s) 5=

1

s2. L{ tn−1

(n−1)! 1(t)}(s)5=

1

sn.

2. L{eat 1(t)}(s) 4=

1

s− a.

3.

L{cosωt 1(t)}(s) = L{12(ejωt + e−jωt) 1(t)}(s) 1

=1

2L{ejωt1(t)}(s) + 1

2L{e−jωt1(t)}(s)

4=

1

2

1

s− jω+

1

2

1

s+ jω=

s

s2 + ω2

In mod similar se obtine L{sinωt 1(t)}(s) = ω

s2 + ω2.

4. Transformata Laplace pentru: e−t cos 3t, te2t, t sin t, t ≥ 0.


Transformarea Z

Definitia 14. Fie x : Z → R (C) un semnal discret. Se numeste transformata Z(bilaterala) a lui x, functia X : D ⊂ C → C definita de

X(z) =

∞∑k=−∞

x(k) z−k, (21)

unde D este domeniul de convergenta al seriei dublu-infinite.Vom nota in mod obisnuit X(z) = Z{x(k)}(z), sau, mai simplu, X = Z{x}.Aplicatia x 7→ X se numeste transformarea Z.

Multimea D este in mod uzual o coroana circulara.

Ne vom concentra atentia (ca si in cazul continuu) asupra transformatei Z unilateralela dreapta,

X(z) =

∞∑k=0

x(k) z−k. (22)


Exemple

a) Impulsul discret: Z{d(k)}(z) = d(0) + d(1)z−1 + d(2)z−2 . . . = d(0) = 1.Domeniu de convergenta: C.

b) Treapta unitara discreta: 1(k) = 1, pt. k ≥ 0 si 1(k) = 0, pt. k < 0. Avem

Z{1(k)}(z) = 1 + z−1 + z−2 + . . . = limn→∞

z−n − 1

z−1 − 1=

z

z − 1.

Domeniu de convergenta: |z| > 1.

c) Esantionarea exponentialei: x(k) = e−αtk = e−αkT = ak, a = e−αT . Avem

Z{x(k)}(z) = 1 + az−1 + a2z−2 + . . . = limn→∞

(a−1z)−n − 1

(a−1z)−1 − 1=

1

1− az−1=

z

z − a.

Domeniu de convergenta: |z| > |a|.

Coexista 2 tipuri de notatii: in z si in z−1. Cea de-a doua este folosita frecvent inIdentificarea Sistemelor si in Prelucrarea Numerica a Semnalelor.

Exercitiu. Sa se determine transformata Z pentru x(n) = a|n|. Discutie dupaa > 0, a = 1.

Indicate: Se scrie x(n) = an1(n) + a−n1(−n− 1) si se analizeaza convergenta celor 2factori ai sumei.


Proprietati

• Convergenta seriei din (21) depinde exclusiv de r = |z|, seria fiind convergenta

acolo unde x(n)r−n este absolut sumabila pe Z,∞∑

n=−∞|x(n) r−n| < ∞. Daca seria

converge ın z0, atunci converge evident pentru orice z cu |z| = |z0|.

• Domeniul de convergenta va contine asadar cercuri concentrice, centrate ın juruloriginii planului complex.

• Domeniul de convergenta nu poate contine poli ai lui X(z).

• Pentru semnalele cu suport finit, convergenta are loc pentru orice z ∈ C, eventual cuexceptia originii si a punctului de la infinit.

• Daca domeniul de convergenta al transformatei Z a unui semnal x(n), cu x(n) = 0pentru orice n < N0, contine cercul |z| = r0, atunci seria din (21) va converge pentruacei z pentru care |z| > r0 (eventual si pentru z = ∞).


X(z) rationala3

• In cazul frecvent ıntalnit, ın care X(z) este rationala (adica este raportul a douapolinoame ın z), atunci domeniul de convergenta va fi marginit de polii lui X(z) sause va extinde la infinit.

• Daca X(z) este rationala si, ın plus, x(n) = 0 pentru orice n < N0, atunci domeniulde convergenta se va gasi ın afara discului definit de modulul celui mai departat deorigine pol al lui X(z).

• Daca X(z) este rationala si, ın plus, x(n) = 0 pentru orice n < 0 (adica x(n) estede tip ”original”), atunci domeniul de convergenta include si punctul z = ∞.Pentru astfel de semnale, transformarea Z coincide practic cu transformarea Zunilaterala la dreapta, pentru care se aplica consideratiile de mai sus.

3Detalii suplimentare despre rationale de variabila complexa- ın cap. 4


Proprietati - continuare

1. Liniaritate: Z{α1x1 + α2x2}(z) = α1Z{x1}(z) + α2Z{x2}(z).

2. Inversarea timpului: Z{x(−n)}(z) = X(z−1) - Z bilaterala

3. Translatie in timp: Z{x(k − l)}(z) = z−lX(z), l ∈ Z - Z bilaterala

3’. Translatie in timp (la dreapta): Z{x(k − l)1(k − l)}(z) = z−lX(z)

3”. Translatie in timp (la dreapta): Z{x(k − l)}(z) = z−lX(z) +∑l

m=1 x(−m)zm−l,l ≥ 1

3”’. Translatie in timp (la stanga): Z{x(k + l)1(k)}(z) = zlX(z)−∑l−1

m=0 x(m)zl−m,l ≥ 1

4. Translatie in frecventa: Z{akx(k)}(z) = X(a−1z).

5. Derivarea imaginii: Z{k x(k)}(z) = −zdX(z)dz .

6. Convolutie: Z{(x ∗ y)(k)}(z) = X(z)Y (z).

7. Teorema valorii initiale: x(0) = limz→∞

X(z).

8. Teorema valorii finale: Daca exista limk→∞

x(k), atunci limk→∞

x(k) = limz→1

(1− z−1)X(z).


9. Transformarea Z inversa:

Z−1{X(z)}(k) = 1

2πj

∮zk−1X(z)dz. (23)

Atentie la domeniul de convergenta!


Alte exemple

1. Fie x(n) =

(1

3

)n−2

1(n− 2). Atunci

X(z)2= z−2 Z{

(1

3

)n

1(n)}(z) 3= z−2 Z{1(n)}(3z) = z−2 3z

3z − 1=

3

3z2 − z

2. Semnale armonice esantionate:

x(k) = cos(ωtk) = cos(ω kT ) =ejω kT + e−jω kT

2=

a−k + ak

2

unde a = e−jωT .


Rezulta

Z{cos(ω kT )}(z) = 1

2(Z{a−k}(z) + Z{ak}(z)) = 1

2

(z

z − a−1+

z

z − a

)=

z(z − cos(ωT ))

z2 − 2z cos(ωT ) + 1.

Similar, pentru y(k) = sin(ω kT ) se obtine

Z{sin(ω kT )}(z) = z sin(ωT )

z2 − 2z cos(ωT ) + 1.

3. Fie x(n) = 3

(1

4

)n

1(n) + 2

(1

3

)n

1(n). Atunci

X(z)1= 3Z{

(1

4

)n

1(n)}(z) + 2Z{(1

3

)n

1(n)}(z) = 12z

4z − 1+

6z

3z − 1


SS-cap2

Documents

Transcript of SS-cap2