SPERANTE_OLIMPICE
18
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „SPERANŢE OLIMPICE” Colegiul Naţional „Mihail Sadoveanu” Localitatea Paşcani, Judeţul Iaşi EDIŢIA a XII-a 3 noiembrie 2012 clasa a III -a Subiecte 1. a) Aflati suma a+b+c+d stiind ca a,b,c,d sunt numere pare consecutive , iar a + c =96. b)Ordonati crescator numerele a-2, 2a-3, 3a-2, 2a-1, stiind ca a este mai mare sau egal cu 2. 2. Se considera sirul de numere naturale 42, 72, 102, 132,…. a) Scrieti urmatorii 3 termeni ai sirului. b)Aflati al 100-lea termen al sirului. 3. a) In cate moduri putem forma un sir indian compus din 4 baieti si 3 fete astfel incat :2 fete sa nu stea una langa alta ,iar sirul sa nu inceapa cu o fata. b) Maria a cules nuci. Vazand ca poate forma un numar exact de grupe de 12 nuci, ea da cate 4 nuci din fiecare grupa prietenei sale si constata ca diferenta dintre numarul nucilor care i-au ramas si al celor date este 36. Cate nuci a cules Maria? Nota : Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect va fi punctat de la 1 7
-
Upload
mariana-chetrari -
Category
Documents
-
view
217 -
download
0
description
dgfujyklui;lk
Transcript of SPERANTE_OLIMPICE
COALA ,,NICOLAE BLCESCU DRGANI
CONCURSUL INTERJUDEEAN DE MATEMATIC
SPERANE OLIMPICE
Colegiul Naional Mihail Sadoveanu
Localitatea Pacani, Judeul Iai
EDIIA a XII-a
3 noiembrie 2012
clasa a III -a
Subiecte1. a) Aflati suma a+b+c+d stiind ca a,b,c,d sunt numere pare consecutive , iar a + c =96.
b)Ordonati crescator numerele a-2, 2a-3, 3a-2, 2a-1, stiind ca a este mai mare sau egal cu 2.
2. Se considera sirul de numere naturale 42, 72, 102, 132,.
a) Scrieti urmatorii 3 termeni ai sirului.
b)Aflati al 100-lea termen al sirului.
3. a) In cate moduri putem forma un sir indian compus din 4 baieti si 3 fete astfel incat :2 fete sa nu stea una langa alta ,iar sirul sa nu inceapa cu o fata.
b) Maria a cules nuci. Vazand ca poate forma un numar exact de grupe de 12 nuci, ea da cate 4 nuci din fiecare grupa prietenei sale si constata ca diferenta dintre numarul nucilor care i-au ramas si al celor date este 36. Cate nuci a cules Maria?
Nota : Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare subiect va fi punctat de la 17
Timp de lucru 2 ore si 30 min
(30 minute acomodare cu subiectul, timp de luru 2 ore)
CONCURSUL INTERJUDEEAN DE MATEMATIC
SPERANE OLIMPICE
EDIIA a XII-a
3 noiembrie 2012
clasa a IV -a
Subiecte1. a) Calculeaza
175-{[(40 x 10 100) :100+18] x 3-12}:3.
b) Sa se calculeze a+b+c, stiind ca:
a x b=60, a x c=90 si b+c=10.
2. a)Aflati valoarea lui a pentru a face adevarata egalitatea : (+):a-a=119
b) Fie trei numere naturale a caror suma este 170. Daca marim dublul celui de-al doilea
cu 4, obtinem cincimea primului numar. Sa se determine numerele, stiind ca suma
ultimelor doua numere este mai mare decat primul cu 10.
3 a) Suma a sapte numere naturale este 2012. Se poate termina produsul lor in 2013? Justificati.
b) Demonstrati ca din 61 de numere naturale distincte a caror suma nu depaseste 2012, putem alege doua a caror suma este 61.
Nota: Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare subiect va fi punctat de la 17
Timp de lucru 2 ore si 30 min
(30 minute acomodare cu subiectul, timp de luru 2 ore)CONCURSUL INTERJUDEEAN DE MATEMATIC
SPERANE OLIMPICE
EDIIA a XII-a
3 noiembrie 2012
clasa a V -a
Subiecte1. Se considera numarul A=.
a) Determinati cifra a pentru care A este patrat perfect.
b) Aratati ca nu exista valori pentru a, astfel incat A sa fie cub perfect.
c) Determinati a, pentru care restul impartirii lui A la 9 este egal cu 3.
2. a) Aratati ca exista a,b,c numere naturale, astfel incat 62009=a3+b3+c3b)Sa se determine ultimele tei cifre ale numarului a=34n+4+2 4n+2+34n.
3. Scriem, pe rand, 2013 numere naturale nenule distincte, cu proprietatea ca suma oricaror doua numere vecine sa fie un numar par.
a) Sa se demonstreze ca cea mai mica suma posibila a celor 2013 numere este patrat perfect.
b) Sa se arate ca oricum am alege sapte din aceste numere exista cel putin doua numere a caror diferenta se imparte exact la 12.
Nota: Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare subiect va fi punctat de la 17
Timp de lucru 2 ore si 30 min
(30 minute acomodare cu subiectul, timp de luru 2 ore)CONCURSUL INTERJUDEEAN DE MATEMATIC
SPERANE OLIMPICE
EDIIA a XII-a
3 noiembrie 2012
clasa a VI -a
Subiecte1. a) Aratati ca n(n+3)+2=(n+1)(n+2), oricare ar fi nN.
b) Demonstati ca numarul
A= este natural.
2. a) Aflati numerele naturale x si y stiind ca suma lor este 250 si catul impartirii(cu rest) a lui x la y este 7.
b) Sa se afle restul impartirii numarului S=11+22+33+44+55+66++20092009 la 4.
3. a) Determinati numerele naturale x si y stiind ca x2+x+y=58 si y este numar prim.
b) Scrieti numarul 2010 ca o suma a unor numere naturale si ca produs al acelorasi numere naturale.
Nota: Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare subiect va fi punctat de la 17
Timp de lucru 2 ore si 30 min
(30 minute acomodare cu subiectul, timp de luru 2 ore)
CONCURSUL INTERJUDEEAN DE MATEMATIC
SPERANE OLIMPICE
EDIIA a XII-a
3 noiembrie 2012
clasa a VII -a
Subiecte1. Pe un cerc sunt 11 numere naturale astefel incat suma oricaror 3 numere alaturate este cel mult 19, iar suma oricaror 4 numere alaturate este cel putin 25. Sa se determine suma celor 11 numere.
2. Fie a,b,cR*, aratati ca:
a) =-2a2+b2 ;
b) .
3. Se da patratul ABCD cu latura 7 si M,N,P,Q pe laturile [AB] , respectiv[BC],[CD],[DA], astfel incat AM=BN=CP=DQ=3.
Demonstrati ca MNPQ este patrat si precizati latura acestuia.
Nota: Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare subiect va fi punctat de la 17
Timp de lucru 2 ore si 30 min
(30 minute acomodare cu subiectul, timp de luru 2 ore)CONCURSUL INTERJUDEEAN DE MATEMATIC
SPERANE OLIMPICE
EDIIA a XII-a
3 noiembrie 2012
clasa a VIII -a
Subiecte1. a) Aratati ca
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , n *b) Calculalti suma : S=
2. a)Determinati numerele reale x,y,z stiind ca:
3(x+y+1)
b) Aratati ca numerele a=(2+1)(22+1)(22+1).(22+1) si b=42 sunt consecutive.
3. Triunghiul ABC are = si . Fie M astfel incat . Demonstrati ca .
G.M. nr. 9/2012
Nota: Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare subiect va fi punctat de la 17
Timp de lucru 2 ore si 30 min
(30 minute acomodare cu subiectul, timp de luru 2 ore)
clasa a III -a
Borderou de corectare si notare1. a) .............................................2p
...................................................................................1p
b) , , , ............................................2p
..1p
Oficiu .................................................................................................................1p
2.a) Diferenta a doi termeni consecutivi este 30 ...............................................1p
Scrie urmatorii 3 termeni .................................................................................2p
b) Termenul al 100-lea este .................................................3p
Oficiu .................................................................................................................1p
3.a) Baietii se pot aranja in moduri ..................................................1p
Fetele in moduri......................................................................................1p
In total vor fi moduri de a forma sirul..1p
b) Observa ca in fiecare grupa raman cate 8 nuci. Diferenta dintre numarul nucilor ramase si al celor date din fiecare grupa este nuci...................1p
Observa numarul grupelor mama formeaza 9 grupe de cate 12 nuci ....1p
Mama a cules nuci ...........................................................................1p
Oficiu .................................................................................................................1p
clasa a IV -a
Borderou de corectare si notare1. a) ..................................................................................1p
.................................................................................................1p
......................................................................................................1p
b) ..................................................................................................1p
EMBED Equation.3 ......................................................................................1p
............................................................................................1p
Oficiu .................................................................................................................1p
2. a) Prin incercari .............................................................................................3p
sau ..................................................................................1,5p
..........................................................................................1,5p
b)
.......................................................................................................1p
.....................................................................................1p
........................................................................................................1p
Oficiu .................................................................................................................1p
3. a) Cel putin un numar este par................................................................... 1,5p
Produsul este par, deci nu se termina in 2013................................................1,5p
b) Cele mai mici 61 numere naturale cu proprietatea ca nu exista printre ele doua cu suma 61 sunt 1, 2, 3, .., 30, 62, ...., 92 ..................................................1p
Suma lor
.............................................................................1,5p
Suma depaseste 2012, deci exista doua numere cu suma 61.........................0,5pOficiu ................................................................................................................1p
clasa a V -a
Borderou de corectare si notare1. A = 11a + 33 = 11(a + 3) ................................................................................2p
a) patrat perfect ..............................................................................................2p
b) cub perfect cifra... ........ .....................................1p
c) se imparte exact la 3 poate fi 3, 6 sau 9 .Verifica a=3......................................................................................................................1pOficiu ........................................................................ ........................................1p
2. a)
............................................................................3p
b) ultimele 3 cifre sunt 100.................................3p
Oficiu .................................................................................................................1p3. Deoarece suma oricaror doua numere vecine este numar par toate numerele au aceeasi paritate ...........................................................................1p
a).............................................................................2p
b) Impartind sapte numere de aceeasi paritate la 12 se pot obtine 6 resturi distincte (pare sau impare) ...............................................................................1p
Din principiul cutiei deducem ca, avand 7 numere, exista cel putin doua numere care dau acelasi rest la impartirea cu 12, deci diferenta lor se va divide cu 12..................2pOficiu ................................................................................................................1pclasa a VI -a
Borderou de corectare si notare1. a) Se verifica prin calcul direct.......................................................................2p
b) Avem succesiv, folosind a):
, pentru numarator...............................................1p
, pentru numitor..................................................1p
Rezulta: .............................................................1p
Deci: ......................................................................................................1pOficiu .................................................................................................................1p
2. a) , cu
Deci: adunand in toti membrii inegalitatii, obtinem: ,
Rezulta: ..................................................................................................1p
Atunci: si , obtinem ........................................................1p
Daca , rezulta
Daca , rezulta
Daca , rezulta
Daca , rezulta ..................................................................1p
b)
Evident: ............................................................................................................1p
.......1p
Rezulta: , deci restul impartirii lui la 4 este 1 .................1p
Oficiu .................................................................................................................1p
3. a) Din , deduce ca este numar par..............................1p
Din , deduce ca este numar par, de unde rezulta ca (deoarece trebuie sa fie prim).............................................................1p
Din , rezulta x = 7..............................................................................1p
b) Descompune pe .................................................................................................1p
Scrie .........................................................................1p
Scrie .....................................................................................1p
Oficiu .................................................................................................................1p
clasa a VII -a
Borderou de corectare si notare1. Fie numerele
...........................................................2p
..................................................................1p
...............................................2p
................................................................1p
deci ................................................................................................1p
2. a) ...........................................................1p
b) deducem ......................................................................1p
si analoagele ..........................................................................................1p
.......................................................................................................1p
.................................................................................1p
deducem
................................................................................1p
3.
Fie latura patratului. Se exprima aria patratului in doua moduri.
.......1p
.......................................................................................................1p
....................................................................................................1p
D
P
EMBED Equation.3
deci EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - romb
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
deci EMBED Equation.3 ..................................................................1p
C
A
Q
B
M
1
2
3
N
_1413454718.unknown
_1413459714.unknown
_1413460410.unknown
_1413472869.unknown
_1413472909.unknown
_1413472945.unknown
_1413473026.unknown
_1413473106.unknown
_1413473111.unknown
_1413473132.unknown
_1413473101.unknown
_1413472950.unknown
_1413472931.unknown
_1413472939.unknown
_1413472916.unknown
_1413472888.unknown
_1413472902.unknown
_1413472881.unknown
_1413472308.unknown
_1413472546.unknown
_1413472861.unknown
_1413472382.unknown
_1413460470.unknown
_1413460499.unknown
_1413460527.unknown
_1413460451.unknown
_1413460452.unknown
_1413460426.unknown
_1413460450.unknown
_1413459815.unknown
_1413460208.unknown
_1413460302.unknown
_1413460326.unknown
_1413460236.unknown
_1413459998.unknown
_1413460132.unknown
_1413460153.unknown
_1413460067.unknown
_1413459923.unknown
_1413459743.unknown
_1413459790.unknown
_1413459773.unknown
_1413459733.unknown
_1413459740.unknown
_1413455464.unknown
_1413456570.unknown
_1413457605.unknown
_1413457926.unknown
_1413459040.unknown
_1413459100.unknown
_1413459160.unknown
_1413459699.unknown
_1413459112.unknown
_1413459063.unknown
_1413458090.unknown
_1413458177.unknown
_1413457950.unknown
_1413457827.unknown
_1413457862.unknown
_1413457646.unknown
_1413457334.unknown
_1413457422.unknown
_1413457574.unknown
_1413457403.unknown
_1413456782.unknown
_1413457224.unknown
_1413456595.unknown
_1413455970.unknown
_1413456080.unknown
_1413456517.unknown
_1413456056.unknown
_1413455688.unknown
_1413455787.unknown
_1413455665.unknown
_1413454948.unknown
_1413455341.unknown
_1413455457.unknown
_1413455459.unknown
_1413455371.unknown
_1413455095.unknown
_1413455213.unknown
_1413455031.unknown
_1413454867.unknown
_1413454898.unknown
_1413454913.unknown
_1413454883.unknown
_1413454797.unknown
_1413454741.unknown
_1413454763.unknown
_1413453712.unknown
_1413454232.unknown
_1413454429.unknown
_1413454568.unknown
_1413454707.unknown
_1413454440.unknown
_1413454278.unknown
_1413454412.unknown
_1413454259.unknown
_1413453915.unknown
_1413453948.unknown
_1413454099.unknown
_1413453933.unknown
_1413453876.unknown
_1413453897.unknown
_1413453736.unknown
_1413452213.unknown
_1413452306.unknown
_1413452468.unknown
_1413452539.unknown
_1413453454.unknown
_1413453468.unknown
_1413452749.unknown
_1413452771.unknown
_1413452496.unknown
_1413452510.unknown
_1413452481.unknown
_1413452388.unknown
_1413452441.unknown
_1413452323.unknown
_1413452264.unknown
_1413452280.unknown
_1413452229.unknown
_1413451377.unknown
_1413451829.unknown
_1413452156.unknown
_1413452164.unknown
_1413452110.unknown
_1413451468.unknown
_1413451638.unknown
_1413451679.unknown
_1413451786.unknown
_1413451815.unknown
_1413451644.unknown
_1413451610.unknown
_1413451409.unknown
_1413451442.unknown
_1413451463.unknown
_1413451436.unknown
_1413451399.unknown
_1413450913.unknown
_1413451307.unknown
_1413451356.unknown
_1413450639.unknown
_1413450323.unknown
