26 3. SPATII VECTORIALE

Spatiul vectorial V este de dimensiune nita (sau nit dimensional) daca este nitgenerat. Orice doua baze ntr-un spatiu de dimensiune nita au acelasi numar deelemente. Se numeste dimensiune a unui spatiu vectorial nit dimensional V si senoteaza dimV , numarul de vectori dintr-o baza oarecare a sa. Un spatiu vectorialse numeste innit dimensional cnd contine o multime innita libera.

Daca dim V = n; atunci orice submultime libera S = fe1; e2; :::; ekg V , cuk n, poate completata pna la o baza fe1; e2; :::ek; ek+1; :::eng a lui V . Sianume, daca Vk = Spfe1; e2; :::ekg = V , nu avem ce sa completam. Daca Vk 6= V ,luam ek+1 2 VVk si construim Vk+1 = Spfe1; :::; ek; ek+1g. Continuam apoirationamentul cu Vk+1 in locul lui Vk: Deoarece dimV = n, putem face acest lucrupna la Vn=k+(nk), deci procedeul se termina dupa n k pasi.

Daca B V este un sistem nit de vectori, se numeste rangul sistemuluiB, numarul maxim de vectori liniar independenti din B. Este clar ca rangB =dimSp(B). Fie E o baza n V . Matricea M , ale carei coloane contin coodonatele(unic determinate) ale ecarui vector din B n raport cu baza E, se numeste ma-tricea sistemului B n raport cu baza E. Are loc rangB = rangM . (teoremarangului).

Teorema lui Grassmann. Daca si sunt subspatii nit dimensionale ale unuispatiu vectorial, atunci

dim(S1 + S2) = dimS1 + dimS2 dim(S1 \ S2).

Daca B = fe1; e2; :::; eng si B0 = ff1; f2; :::; fng sunt doua baze n spatiulvectorial V , atunci matricea patrata, unic determinata C = (cij)i;j=1;n, care sa-

tisface relatiile fj =nPi=1

cijei, 1 j n, se numeste matricea de trecere de la

baza B la baza B0. n plus, daca x 2 V se scrie x =nPi=1

xiei =nPi=1

x0ifi, atunci

(x1; x2; :::; xn)t= C (x01; x

02; :::; x

0n)t.

2. Probleme rezolvate

1. a) Sa se arate ca n R3, vectorii v1 = (1; 1; 1), v2 = (0; 1; 1), v3 = (0; 0; 1)formeaza un sistem de generatori si sunt liniar independenti. Sa se calculeze coor-donatele vectorului x = (1; 2; 3) n raport cu baza fv1; v2; v3g;

b) Aceeasi problema n R4, pentru vectorii v1 = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; 1;1;1),v3 = (1;1; 1;1), v4 = (1;1;1; 1) si x = (1; 2; 1; 1);

c) Aceeasi problema n R2, pentru vectorii v1 = (1; 2), v2 = (3;5), si x =(1;3).

Solutie. a) Fie x 2 R3, x = (x1; x2; x3). Vom arata ca putem determina 1, 2,3 astfel nct x = 1v1 + 2v2 + 3v3. Aceasta relatie se mai scrie (x1; x2; x3) =(1; 1 + 2; 1 + 2 + 3), de unde 1 = x1, 1 + 2 = x2, 1 + 2 + 3 = x3.Rezulta 1 = x1, 2 = x2 x1, 3 = x3 x2, deci v1, v2, v3 formeaza un sistemde generatori pentru R3. n plus, vectorii v1, v2, v3 sunt liniar independenti. ntr-adevar, daca pentru 1, 2; 3 2 R are loc relatia 1v1 + 2v2 + 3v3 = (0; 0; 0),atunci 1 = 0, 1 + 2 = 0, 1 + 2 + 3 = 0, de unde 1 = 2 = 3 = 0.n consecinta, fv1; v2; v3g este o baza n R3. Tinnd seama de prima parte, daca

2. PROBLEME REZOLVATE 27

x = (1; 2; 3) = 1v1+2v2+3v3, obtinem coordonatele lui x n raport cu aceastabaza: 1 = 1, 2 = 1, 3 = 1, deci (1; 2; 3) = 1 v1 + 1 v2 + 1 v3.

b) Din x = (x1; x2; x3; x4) = 1v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4 obtinem 1 + 2 +3 + 4 = x1, 1 + 2 3 4 = x2, 1 2 + 3 4 = x3, 1 2 3 + 4 = x4, deci 1 =

1

4(x1 + x2 + x3 + x4), 2 =

1

4(x1 + x2 x3 x4), 3 =

1

4(x1 x2 + x3 x4), 4 =

1

4(x1 x2 x3 + x4). Prin urmare, v1, v2, v3, v4

formeaza un sistem de generatori pentru R4. n plus, vectorii v1, v2, v3, v4 suntliniar independenti. ntr-adevar, daca 1v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4 = (0; 0; 0; 0), dinrelatiile anterioare gasim 1 = 2 = 3 = 4 = 0. Asadar, fv1; v2; v3; v4g este obaza n R4. Totodata, daca x = (1; 2; 1; 1) = 1v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4, obtinem

coordonatele lui x n raport cu aceasta baza: 1 =5

4, 2 =

1

4, 3 =

1

4, 4 =

1

4.

c) Similar, din x = (x1; x2) = 1v1+2v2 rezulta 1+32 = x1, 2152 = x2,deci 1 =

1

11(5x1 + 3x2), 2 =

1

11(2x1 x2), iar din 1v1 + 2v2 = (0; 0), gasim

1 = 2 = 0. n consecinta, fv1; v2g este o baza n R2. Folosind relatiile anterioare,se obtin coordonatele lui x n aceasta baza: 1 =

4

11, 2 =

5

11.

2. Fie a 2 R. Sa se arate ca functiile pi : R! R, pi(x) = (x a)i, 0 i n,formeaza o baza n spatiul functiilor polinomiale de grad cel mult n pe R.

Solutie. DacanP

k=0

k(x a)k = 0, atunci, derivnd de n ori relatia, obtinem

n n! = 0, deci n = 0. Derivnd acum, de n 1 ori relatian1Pk=0

k(x a)k = 0,

obtinem n1 (n 1)! = 0, deci n1 = 0. Procedeul continua. n nal, rezulta0 = 1 = ::: = n = 0, deci polinoamele p0, p1, ...,pn sunt liniar independente. Saaratam ca aceste polinoame formeaza un sistem de generatori. ntr-adevar, dacaf(x) = 0 1+1 (x a)+ :::+n (x a)n, atunci 0 = f(a). Derivnd, obtinem

1 =f 0(a)

1!. Derivnd din nou, gasim 2 =

f 00(a)

2!. Continund procedeul, rezulta

ca k =f (k)(a)

k!, 0 k n. n consecinta, functiile polinomiale pk, 0 k n,

formeaza un sistem de generatori, deci o baza n spatiul functiilor polinomiale degrad cel mult n pe R.

3. n spatiul vectorial real al functiilor continue pe R, cu valori reale, sa searate ca functiile 1, cos t, cos2 t, cos3 t sunt liniar independente. Aceeasi problemapentru functiile 1, cos t, cos 2t, cos 3t

Solutie. Fie , , , 2 R astfel ca 1 + cos t + cos2 t + cos3 t = 0,8t 2 R. Dnd succesiv lui t valorile 0,

4,

2, , se obtin relatiile + + + = 0,

+

p2

2+

1

2

+

p2

4 = 0, = 0, + = 0. Determinantul sistemului omogen

astfel obtinut este nenul, deci admite numai solutia banala = = = = 0.Prin urmare, functiile 1, cos t, cos2 t, cos3 t sunt liniar independente. Similar, daca 1 + cos t+ cos 2t+ cos 3t = 0, 8t 2 R, tinnd seama ca cos 2t = 2 cos2 t 1,cos 3t = 4 cos3 t 3 cos t, rezulta ca + ( 3) cos t+2 cos2 t+4 cos3 t = 0,8t 2 R. Deoarece functiile 1, cos t, cos2 t, cos3 t sunt liniar independente, obtinem

28 3. SPATII VECTORIALE

= 0, 3 = 0, 2 = 0, 4 = 0, deci = = = = 0, adica functiile 1,cos t, cos 2t, cos 3t sunt liniar independente.

4. Fie x = (1; 2; 3) 2 R3. Sa se determine coordonatele vectorului x n bazaB0 = fe01; e02; e03g, unde e01 = (1; 0; 1), e02 = (1;1; 0), e03 = (2; 0; 1).

Solutie. Fie B = fe1; e2; e3g baza canonica din R3. Deoarece e01 = e1 + e3,e02 = e1 e2, e03 = 2e1 + e3, rezulta ca matricea de trecere de la baza B la baza B0

este C =

0@ 1 1 20 1 01 0 1

1A. Totodata e1 = e01+e03, e2 = e01e02+e03, e3 = 2e01e03,deci matricea de trecere de la baza B0 la baza B este C1 =

0@ 1 1 20 1 01 1 1

1A.Daca x = x01e

01+x

02e02+x

03e03, atunci se obtine

0@ x01x02x03

1A = C10@ 12

3

1A =0@ 32

0

1A.Asadar x = 3e01 2e02.

5. Fie S1, S2 doua subspatii vectoriale ale lui R4, generate de vectorii f1 =(1; 1; 0; 0), f2 = (0; 1; 1; 0), f3 = (0; 0; 1; 1) respectiv g1 = (1; 0; 1; 0), g2 = (0; 2; 1; 1),g3 = (1; 2; 1; 2). Sa se ae dimensiunile si cte o baza n S1, S2, S1 + S2 si S1 \ S2.

Solutie. Deoarece rangff1; f2; f3g = 3, rangfg1; g2; g3g = 3, rezulta ca dimS1 =dimS2 = 3, iar ff1; f2; f3g si fg1; g2; g3g sunt baze n S1 respectiv S2. Pe de altaparte, n mod evident, ff1; f2; f3; g1; g2; g3g genereaza S1 + S2 R4. Deoarecerangff1; f2; f3; g1g = 4, atunci dim(S1 + S2) = 4, adica S1 + S2 = R4. Putem luaca baza n S1 + S2 vectorii f1; f2; f3; g1, de exmplu. Din teorema lui Grassmann,dim(S1 \ S2) = 2. Vom determina o baza n S1 \ S2. Daca u 2 S1 \ S2, atunciu = f1 + f2 + f3 =

0g1 + 0g2 +

0g3. Se obtine sistemul liniar8>>>: = 0 + 0

+ = 20 + 20

+ = 0 + 0 + 0

= 0 + 20

.

Din ecuatiile 1, 2, 4, rezulta = 0 + 0, = 0 + 20 + 0, = 0 + 20.Introducnd n ecuatia 3, gasim 0 = 0+0. Atunci u = 0(1; 2; 2; 1)+0(2; 2; 2; 2).Vectorii (1; 2; 2; 1) si (2; 2; 2; 2) ind liniar independenti, rezulta ca formeaza o bazan S1 \ S2.

3. Probleme propuse

1. Fie V = (0;1). Sa se arate ca n raport cu operatiile x y = xy, x; y 2 Vsi x = x, 2 R, x 2 V , V devine spatiu vectorial real. Sa se arate ca vectoriip2 si

p3 sunt liniar dependenti.

2. Fie V un K-spatiu vectorial si v 2 V , v 6= 0V . Denimx y = x+ y v, x; y 2 V , x = x+ f () v, 2 K, x 2 V ,

unde f : K ! K. Sa se determine f () astfel nct V nzestrat cu cele douaoperatii sa e spatiu vectorial.

3. PROBLEME PROPUSE 29

3. Sa se precizeze care din urmatoarele submultimi ale lui R3 sunt subspatiivectoriale ale lui R3.

a) S1 = f(x1; x2; x3) j x1 + 2x2 3x3 = 0g;b) S2 = f(x1; x2; x3) j x1 x2 + x3 = 1g;c) S3 = f(x1; x2; x3) j jx1j+ jx2j = 1g;d) S4 = f(x1; x2; x3) j x21 x2 = 0g;e) S5 = f(x1; x2; x3) j x1 = 2x2g.

4. n Mn (R), e S1 = fA 2 Mn (R) j At = Ag, S2 = fA 2 Mn (R) jAt = Ag. Sa se arate ca S1 si S2 sunt subspatii vectoriale ale lui Mn (R) siMn (R) = S1 S2. Sa se gaseasca dimensiunile acestor subspatii.

5. Fie A 2 Mm;n (R), A = (aij) si S = fx 2 Rn, x = (x1; :::; xn) jnPj=1

aijxj =

0, 1 i mg. Sa se arate ca S este un subspatiu vectorial al lui Rn.

6. Fie V un spatiu vectorial. Sa se arate ca daca v1, v2, v3 2 V sunt liniarindependenti atunci si vectorii w1 = v1+v2+v3, w2 = v1+v2v3, w3 = v1v2+v3sunt liniar independenti.

7. Sa se arate ca vectorii v1 = (1; 2; 2; 1), v2 = (5; 6; 6; 5), v3 = (1;3; 4; 0),v4 = (0; 4;3;1) sunt liniar dependenti. Sa se scrie v4 ca o combinatie liniara dev1, v2, v3.

8. Sa se arate ca vectorii v1 = (2; 1;3), v2 = (3; 2;5), v3 = (1;1; 1)formeaza o baza a lui R3. Sa se determine coordonatele vectorilor x = (4; 4;9) siy = (6; 2;7) n aceasta baza.

Aceeasi problema pentru vectorii v01 = (1; 2; 1), v02 = (1; 1; 1), v

03 = (1; 3; 2),

x0 = (2; 1; 1), y0 = (1; 1; 0).

9. Sa se arate ca vectorii v1, v2, v3, v4 formeaza o baza a lui R4. Sa sedetermine coordonatele vectorului x n raport cu aceasta baza:

a) v1 = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; 2; 1; 1), v3 = (1; 1; 2; 1), v4 = (1; 3; 2; 3);x = (1;4;2;5);

b) v1 = (1; 0; 0; 1), v2 = (2; 1; 3; 1), v3 = (1; 1; 0; 0), v4 = (0; 1;1; 1);x = (0; 0; 0; 1).

10. Sunt liniar independente matricele A =

2 15 3

, B =

5 32 1

,

C =

1 12 3

? Dar functiile f1; f2; f3 : R ! R, f1(x) = ex, f2(x) = ex,

f3(x) = e2x?

11. Sa se determine dimensiunea subspatiului generat si o baza a subspatiuluigenerat de vectorii:

a) v1 = (1; 1; 1), v2 = (1; 2; 3), v3 = (0; 1; 1), v4 = (0; 0; 0);b) v1 = (1; 0; 0;1), v2 = (2; 1; 1; 0), v3 = (1; 1; 1; 1), v4 = (1; 2; 3; 4),

v5 = (0; 1; 2; 3).

12. Sa se determine dimensiunile sumei si intersectiei subspatiilor generate:a) u1 = (1; 2;1), u2 = (3; 4;2), u3 = (2; 2;1), respectiv v1 = (0; 1; 1),

v2 = (1; 2; 0);

30 3. SPATII VECTORIALE

b) u1 = (1; 1; 1; 1), u2 = (1;1; 1;1), u3 = (1; 3; 1; 3), respectivv1 = (1; 2; 0; 2), v2 = (1; 2; 1; 2), v3 = (3; 1; 3; 1).

13. Sa se completeze sistemul format din vectorii v1 = (2;1; 3), v2 = (4; 1; 1)la o baza a lui R3.

14. Sa se arate ca functiile f1 = t, f2 = t2 + 1, f3 = t2 + t formeaza o bazan spatiul functiilor polinomiale de grad cel mult 2. Sa se determine coordonatelefunctiilor t2 + 2t+ 4 respectiv t2 + 3 n raport cu aceasta baza.

15. Sa se gaseasca o baza n spatiul vectorial al solutiilor sistemului x1 + x2x3 = 0, x1 x2 + x4 = 0, x2 + x4 = 0.

16. n spatiul vectorial al functiilor f : R ! R sa se arate ca functiilef1 (t) = sin t, f2 (t) = cos t, f3 (t) = t sunt liniar independente.

17. Sa se gaseasca rangul matricelor:

a)

0BB@1 2 32 1 0

2 1 31 4 2

1CCA; b)0@ 2 1 3 2 44 2 5 1 7

2 1 1 8 2

1A.17. Fie S1 si S2 subspatiile vectoriale ale lui R4 date de: S1 = f(x1; x2; x3; x4) j

x2 + x3 + x4 = 0g, S2 = f(x1; x2; x3; x4) j x1 + x2 = 0, x3 = 2x4g. Sa se gaseascadimensiunile si baze ale acestor subspatii, precum si ale subspatiilor S1\S2, S1+S2.

18. n R2 e x = 2f1 + f2, unde f1 = (1; 1), f2 = (2; 3). Sa se determinecoordonatele lui x n baza fg1; g2g, unde g1 = (1; 3), g2 = (3; 8).

19. Sa se determine matricea de trecere de la baza B = ff1; f2; f3g la bazaC = fg1; g2; g3g, daca f1 = (1; 0; 0), f2 = (1; 1; 0), f3 = (1; 1; 1), g1 = (3; 0; 2),g2 = (1; 1; 4), g3 = (3; 5; 2). Cum se schimba coordonatele unui vector cnd setrece de la baza B0 la baza B?

20. Fie a1, a2, ..., an numere reale distincte. Se considera functiile polinomialeLi : R! R, 1 i n,

Li(x) =(x a1)(x a2):::(x ai1)(x ai+1):::(x an)

(ai a1)(ai a2):::(ai ai1)(ai ai+1):::(ai an).

Sa se arate ca:a) Sa se calculeze Li(aj), 1 i; j n;b) Sa se arate ca functiile Li, 1 i n, sunt liniar independente;c) Sa se arate ca functiile Li, 1 i n, formeaza o baza n spatiul vectorial

real al functiilor polinomiale de grad cel mult n 1.

4. Indicatii si raspunsuri

1. (V;) coincide cu grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive, deci auloc proprietatile 1)-4). Elementul neutru este 1, simetricul unui x 2 V este 1

x. 5)

1 x = x1 = x, 8x 2 V . 6) ( x) = (x) = (x) = x = () x, 8, 2 R, 8x 2 V . 7) ( + ) x = x+ = x x = x x = ( x) ( x),8, 2 R, x 2 V . 8) (x y) = (xy) = x y = x y = ( x) ( y),8 2 R, 8x, y 2 V .

p2 =

p3, unde = log3 2. 2. Proprietatile 1)-4) sunt

satisfacute, elementul neutru ind v, iar simetricul unui x 2 V este x0 = x+ 2v.