ALGEBRA LINIAR A S˘I GEOMETRIE DIFERENT˘IALA · 2018-12-17 · 86 5.2 Vectori liberi Fie E 3...

61
UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIS ¸OARA ALGEBR ˘ A LINIAR ˘ AS ¸I GEOMETRIE DIFERENT ¸ IAL ˘ A Note de curs Anania Gˆ ırban c 2018 Anania Gˆ ırban 2018

Transcript of ALGEBRA LINIAR A S˘I GEOMETRIE DIFERENT˘IALA · 2018-12-17 · 86 5.2 Vectori liberi Fie E 3...

UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMISOARA

ALGEBRA LINIARA SI GEOMETRIE

DIFERENTIALA

Note de curs

Anania Gırban

c© 2018 Anania Gırban

2018

Cuprins

Capitolul 1RECAPITULARE 11.1 Polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Capitolul 2SPATII VECTORIALE 72.1 Dependenta si independenta liniara. Sistem de generatori . . . . . . . . . . . 92.2 Baza. Dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Schimbari de baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Intrebari de verificare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Capitolul 3APLICATII LINIARE 363.1 Nucleul si imaginea unei aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Matricea unei aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Vectori si valori proprii ai unui operator liniar . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Determinarea vectorilor si valorilor proprii ai unui operator liniar . . 493.4 Intrebari de verificare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Capitolul 4FORME BILINIARE. FORME PATRATICE 624.1 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1 Forma canonica a unei forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Intrebari de verificare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Capitolul 5SPATII VECTORIALE EUCLIDIENE 805.1 Procedeul de ortonormare Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2

CUPRINS 3

5.2 Vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.4 Dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.5 Simetricul unui punct fata de un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.6 Simetricul unui punct fata de o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.7 Probleme de distanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Capitolul 6GEOMETRIA DIFERENTIALA A CURBELOR SI SUPRAFETELOR

DIN E3 1026.1 Elemente de geometrie diferentiala a curbelor . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.1.1 Triedrul lui Frenet ıntr-un punct regulat al unei curbe ın E3 . . . . . 1036.1.2 Unghiul a doua curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2 Elemente de geometrie diferentiala asuprafetelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2.1 Planul tangent si normala ıntr-un punct regulat al unei suprafete ın E3 1136.2.2 Prima forma fundamentala a unei suprafete ın E3 . . . . . . . . . . . 117

Capitolul 7CONICE SI CUADRICE 1237.1 Conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.1.1 Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.1.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.1.3 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.2 Cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2.1 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2.2 Hiperboloidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2.2.1 Hiperboloidul cu o panza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.2.2.2 Hiperboloidul cu doua panze . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.2.3 Paraboloidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.3.1 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.3.2 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.2.4 Conul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2.5 Cilindrul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.2.5.1 Cilindrul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2.5.2 Cilindrul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.5.3 Cilindrul parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Capitolul 8MODEL SUBIECT DE EXAMEN 1348.1 Model subiect de examen ETC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.2 Model subiect de examen ET+EE, INFO, CT . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

CAPITOLUL 5SPATII VECTORIALE EUCLIDIENE

Fie (V,+, ·) un spatiu vectorial cu dim V = n,

B = {v1, . . . , vn} o baza a lui V ,

ϕ : V × V → R o forma biliniara simetrica ⇒ (∃)f : V → R forma patratica asociata formei biliniare ϕ.

Definitia 5.1.

• Daca f este pozitiv definita, atunci ϕ se numeste produs scalar si se noteaza

ϕ(u, v) =not< u, v > .

• Perechea (V, ϕ) =not E se numeste spatiu vectorial euclidian.

• Produsul scalar ϕc : V × V → R,

ϕc(u, v) =def x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn, (5.1)

unde u = (x1, . . . , xn)B, v = (y1, . . . , yn)B, se numeste produsul scalar canonic.

• Lungimea sau norma vectorului v este numarul pozitiv

‖v‖ =def √< v, v > ≥ 0 (∀)v ∈ V

81

si este bine definita deoarece forma patratica f(v) =< v, v > este pozitiv definita.

Propozitia 5.1 (Cauchy-Schwartz). In spatiul euclidian E = (V,< ·, · >) are loc

| < u, v > | ≤ ‖u‖ · ‖v‖, (∀)u, v ∈ V.

Relatia de mai sus este echivalenta cu

| < u, v > |‖u‖ · ‖v‖

∈ [−1, 1], (∀)u, v ∈ V

si aunci are sens definitia

Definitia 5.2.

• Numarul θ ∈ [0, π] definit de egaliatea

cos θ =| < u, v > |‖u‖ · ‖v‖

se numeste unghiul vectorilor u, v.

• u si v sunt ortogonali u ⊥ v d.n.d. < u, v >= 0.

• Se numeste distanta dintre doi vectori, numarul real pozitiv

‖u− v‖ ∈ R+.

• v ∈ V se numeste versor daca

‖v‖ = 1.

82

• B se numeste baza ortogonala daca

vi ⊥ vj, (∀)i 6= j.

• B se numeste baza ortonormata daca

vi ⊥ vj, (∀)i 6= j,

‖vi‖ = 1, (∀)i.

• Daca dim V = 3 si Bc = {e1, e2, e3} este baza canonica din V , atunci vectorul

u× v =def

{‖u‖ · ‖v‖ sin θ · e, pentru u, v liniar independenti,

0, pentru u, v liniar dependenti

=

∣∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣∣= e1︸︷︷︸

∈V

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸∈R

− e2︸︷︷︸∈V

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸∈R

+ e3︸︷︷︸∈V

∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸∈R

∈ V.

unde

* e este un versor perpendicular pe u si pe v

* u = (x1, x2, x3)Bc, v = (y1, y2, y3)Bc

* θ este unghiul dintre u si v

se numeste produsul vectorial al vectorilor u si v.

83

5.1 Procedeul de ortonormare Gram-Schmidt

Propozitia 5.2. Fie E = (V,< ·, · >) un spatiu vectorial euclidian. Atunci exisa o

baza ortonormata ın E.

Demonstratie. Fie B = {v1, . . . , vn} o baza oarecare a lui V . Construim vectorii

u1 = v1,

u2 = v2 − λ21u1,

u3 = v3 − λ31u1 − λ32u2,

. . . . . .

un = vn − λn1u1 − λn2u2 − . . .− λnn−1un−1,

(5.2)

unde

λki =< vk, ui >

< ui, ui >.

Atunci sistemul de vectori astfel construit, B1 = {u1, . . . , un} este o baza ortogonala a

lui V .

Fie acum

v′i =1

‖ui‖· ui. (5.3)

Vectorii v′i formeaza o baza ortonormata B′ = {v′1, . . . , v′n} a lui V . �

Exemplul 5.1. Fie spatiul vectorial euclidian E = (R3, < ·, · >can) cu produsul scalar

canonic si baza

B = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0), v3 = (−1, 0, 1)}.

84

Sa se determine o baza ortonormata ın E folosind procedeul de ortonormare Gram-

Schmidt.

Solutie.

u1 = v1 = (1, 1, 1) ,

u2 = v2 − λ21u1, unde

λ21 =< v2, u1 >

< u1, u1 >

=< (− 1, 1, 0), (1, 1, 1) >

< (1, 1, 1), (1, 1, 1) >

= 0.

⇒ u2 = v2 = (−1, 1, 0) .

u3 = v3 − λ31u1 − λ32u2, unde

λ31 =< v3, u1 >

< u1, u1 >

=< (−1, 0, 1), (1, 1, 1) >

< (1, 1, 1), (1, 1, 1) >

= 0

λ32 =< v3, u2 >

< u2, u2 >

=< (−1, 0, 1), (−1, 1, 0) >

< (−1, 1, 0), (−1, 1, 0) >

=1

2

⇒ u3 = (−1, 0, 1)− 1

2(−1, 1, 0) =

(−1

2,−1

2, 1

).

⇒ B1 =

{u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 1, 0), u3 =

(−1

2,−1

2, 1

)}este o baza ortogonala a lui

R3.

O baza ortonormata o obtinem cu relatia (5.3):

v′1 =1

‖u1‖· u1 =

(√3

3,

√3

3,

√3

3

)

v′2 =1

‖u2‖· u2 =

(−√

2

2,

√2

2, 0

)

v′3 =1

‖u3‖· u3 =

(−√

6

6,−√

6

6,

√6

3

)

85

⇒ B′ =

{v′1 =

(√3

3,

√3

3,

√3

3

), v′2 =

(−√

2

2,

√2

2, 0

), v′3 =

(−√

6

6,−√

6

6,

√6

3

)}este o

baza ortonormata a lui R3.

86

5.2 Vectori liberi

Fie E3 spatiul punctual tridimensional al geometriei elementare.

[AB] un segment orientat: A este originea, iar B extremitatea.

Definitia 5.3.

• directia lui [AB] este dreapta suport a segmentului [AB] sau orice dreapta par-

alela cu ea.

• lungimea lui [AB] este lungimea segmentului [AB]

• sensul lui [AB] este sensul parcurs pe dreapta suport de la A laB.

Notam multimea

−→AB :=def {[CD|[CD] are aceiasi directie, lungime si sens cu [AB]}.

Definitia 5.4.

• Multimea−→AB ⊂ E3 se numeste vector liber.

• Segmentul [AB] se numeste reprezentant al multimii−→AB.

Notam

V3 =not {−→AB, (∀)A,B ∈ E3}

multimea tuturor vectorilor liberi.

Propozitia 5.3. (V3/R,+.·) este un spatiu vectorial, unde

• ′′ + “ este adunarea vectorilor cu regula triunghiului

87

• ′′ · “ este ınmultirea unui vector cu un scalar.

In spatiul vectorial V3 consideram

M0 ∈ E3,

B = {~v1, ~v2, ~v3} o baza a sa si notam

Bc = {~i,~j,~k} baza canonica din V3,

oricarui vector−→AB i se pot asocia coordonatele sale ın baza B:

−→AB = (xAB, yAB, zAB)B,

< ·, · > este produsul scalar canonic (5.1) definit pe spatiul vectorial V3,

(V3/R, < ·, · >) este spatiu vectorial euclidian.

Definitia 5.5.

• R = {M0, ~v1, ~v2, ~v3} se numeste reper ın E3.

M0 numeste originea reperului R.

v1, v2, v3 numesc vectorii reperului R.

• Reperul format cu vectorii bazei canonice

R =(O; i, j, k

)se numeste reperul ortonormat canonic.

• Pentru orice punct P ∈ E3, vectorul−→OP se numeste vectorul de pozitie al lui

P .

−→OP ∈ V3, B baza ın V3 ⇒

−→OP = (xP , yP , zP )B

• (xP , yP , zP ) se numesc coordonatele punctului P ın reperul R si notam

P (xP , yP , zP )B.

88

Propozitia 5.4. Daca doua puncte din E3 au coordonatele ın baza B, M(xM , yM , zM)B

si N(xN , yN , zN)B, atunci vectorul−−→MN are coordonatele ın baza B

−−→MN = (xN − xM , yN − yM , zN − zM)B.

Demonstratie. Din regula triunghiului avem ca−−→OM +

−−→MN =

−−→ON ⇒

−−→MN =

−−→ON −

−−→OM

= (xN , yN , zN)B − (xM , yM , zA)B

= (xN − xN , yN − yM , zB − zM)B.

Observatia 5.1.

• In baza canonica notam simplu, fara a mai preciza baza,

P (xP , yP , zP ).

• Daca putem identifica un vector prin coordonatele sale ıntr-o baza B, atunci

produsul scalar canonic ıntre doi vectori din V3 este:

< ~u,~v >= x1y1 + x2y2 + x3y3,

unde ~u = (x1, x2, x3)B si ~v = (y1, y2, y3)B.

• Distanta dintre doua puncte M(xM , yM , zM) si N(xN , yN , zN) este

d(M,N) = ‖−−→MN‖ =

√(xM − xN)2 + (yM − yN)2 + (zM − zN)2.

• Daca P (xP , yP , zP ) este mijlocul segmentului [MN ], atunci coordonatele lui P

89

sunt:

xP =xM + xN

2, yP =

yM + yN2

, zP =zM + zN

2.

Propozitia 5.5. (V3, < ·, · >) este spatiu vectorial euclidian.

Propozitia 5.6.

1) Multimea tuturor vectorilor coliniari cu un vector dat ~u 6= ~0

V1 = {~v ∈ V3|~v = λ~u, λ ∈ R, ~u 6= ~0}

este un spatiu vectorial de dimensiune 1.

2) Multimea tuturor vectorilor coplanari cu doi vectori dati ~u,~v 6= ~0

V2 = {~w ∈ V3|~w = α~u+ β~v, α, β ∈ R, ~u,~v necoliniari}

este un spatiu vectorial de dimensiune 2.

3) dim V3 = 3.

4) sensul produsului vectorial al doi vectori este dat de regula burghiului drept.

90

5.3 Planul

Fie M0(x0, y0, z0) ∈ E3

~v1 = (l1,m1, n1), ~v2 = (l2,m2, n2) ∈ V3 doi vectori necoliniari.

Definitia 5.6. Multimea

π = {M ∈ E3|−−−→MM0 = λ1~v1 + λ2~v2, λ1, λ2 ∈ R}

se numeste planul care trece prin punctul M0 si are vectorii directori ~v1 si ~v2.

Ecuatiile unui plan care trece prin punctul M0(x0, y0, z0), are directiile ~v1 = (l1,m1, n1)

si ~v2 = (l2,m2, n2) si directia normalei ~n = (a, b, c) sunt:

Definitia 5.7 (Ecuatiile planului).

* Ecuatia carteziana a unui plan π ce trece prin punctul M0(x0, y0, z0) si are

directiile ~v1 = (l1,m1, n1) si ~v2 = (l2,m2, n2):

π :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

* Ecuatia unui plan π ce trece prin trei puncte M0(x0, y0, z0) M1(x1, y1, z1)

si M2(x2, y2, z2):

91

π :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

* Ecuatiile parametrice ale unui plan π ce trece prin punctul

M0(x0, y0, z0) si are directiile ~v1 = (l1,m1, n1) si ~v2 = (l2,m2, n2):x = x0 + λ1l1 + λ2l2,

y = y0 + λ1m1 + λ2m2,

z = z0 + λ1n1 + λ2n2, .

* Ecuatia planului ce trece prin punctul M0(x0, y0, z0) si are directia nor-

malei ~n = (a, b, c) este:

π : a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.

* Ecuatia carteziana generala a unui plan π este:

π : ax+ by + cz + d = 0.

Din ecuatia carteziana generala a unui plan

π : ax+ by + cz + d = 0

putem deduce componentele vectorul normalei care sunt coeficientii lui x, y, z:

~n = (a, b, c).

Atentie:

92

Propozitia 5.7. Doua plane cu normalele ~n1 = (a1, b1, c1), respectiv ~n2 = (a2, b2, c2)

sunt paralele d.n.d.a1

a2

=b1

b2

=c1

c2

.

93

5.4 Dreapta

Fie M0(x0, y0, z0) ∈ E3

~v = (l,m, n) ∈ V3.

Definitia 5.8. Multimea

π = {M ∈ E3|−−−→MM0 = t~v, t ∈ R}

se numeste dreapta care trece prin punctul M0 si are directia ~v.

Ecuatiile unei drepte care trece prin punctul M0(x0, y0, z0), are directia ~v = (l,m, n) sunt:

Definitia 5.9 (Ecuatiile dreptei).

* Ecuatiile canonice ale unei drepte d ce trece prin punctul

M0(x0, y0, z0) si are directia ~v = (l,m, n) sunt:

d :x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n.

94

Daca egalam sirul de rapoarte de mai sus cu t, adica:

d :x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n= t,

obtinem

* Ecuatiile parametrice ale dreptei d ce trece prin punctul

M0(x0, y0, z0) si are directia ~v = (l,m, n):

d :

x = x0 + tl,

y = y0 + tm,

z = z0 + tn

, t ∈ R.

* Ecuatiile dreptei data ca intersectie ıntre doua plane sunt:

d :

{l1x+m1y + n1z + a1 = 0,

l2x+m2y + n2z + a2 = 0.

Cele doua plane

π1 : l1x+m1y + n1z + a1 = 0

si

π2 : l2x+m2y + n2z + a2 = 0

au normalele

~n1 = (l1,m1, n1)

respectiv

~n2 = (l2,m2, n2)

cu ~n1 ⊥ ~v si ~n2 ⊥ ~v.

95

Atunci directia dreptei d este data de perpendiculara comuna a vectorilor ~n1 si ~n2,

~v = ~n1 × ~n2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (l,m, n).

Coordonatele unui punct M0(x0, y0, z0) de pe dreapta d sunt o solutie particulara a sistemului

d :

{l1x+m1y + n1z + a1 = 0,

l2x+m2y + n2z + a2 = 0.

Date ecuatiile canonice ale unei drepte

d :x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n

putem gasi direct coordonatele unui punct al dreptei M0(x0, y0, z0) de la numaratorii

sirului de rapoarte si coordonatele directiei dreptei ~v = (l,m, n) de la numitorii sirului

de rapoarte.

Daca ın sirul de rapoarte un numitor este 0, atunci si numaratorul este 0.

De exemplu, dreapta d de ecuatii

d :x− 2

−3= y + 5 =

z − 7

0

Atentie:

96

se poate scrie

d :x− 2

−3=y − (−5)

1=z − 7

0

⇒ trece prin punctul de coordonate M0(2,−5, 7) si are directia ~v = (−3, 1, 0), iar

ecuatiile dreptei sunt echivalente cu

d :

{x− 2 = −3(y + 5)

z − 7 = 0.

Propozitia 5.8. Doua drepte de vectori directori ~v1 = (l1,m1, n1), respectiv ~v2 =

(l2,m2, n2) sunt paralele d.n.d.

• l1l2

=m1

m2

=n1

n2

d.n.d.

• ~v1 si ~v2 sunt coliniari (liniar dependenti).

97

5.5 Simetricul unui punct fata de un plan

Simetricul punctului M(xM , yM , zM) fata de planul

π : ax+ by + cz + d = 0

se gaseste astfel:

• scriem ecuatia dreptei d care trece prin M si este perpendiculara pe planul π, adica

are ca directie directia normalei planului, ~v = ~n = (a, b, c):

d :x− xM

a=y − yM

b=z − zM

c

• gasim punctul de intersectie a lui π cu d rezolvand sistemul:

M0 :

x− xM

a=y − yM

b=z − zM

c= t

ax+ by + cz + d = 0⇔

M0 :

x = xM + ta

y = yM + tb

z = zM + tc

ax+ by + cz + d = 0

98

• Punem conditia ca M0 sa fie mijlocul segmentului [MN ]:

xM0 =xM + xN

2, yM0 =

yM + yN2

, zM0 =zM + zN

2

de unde aflam coordonatele punctului N .

99

5.6 Simetricul unui punct fata de o dreapta

Simetricul punctului M(xM , yM , zM) fata de dreapta

d :x− xM

l=y − yMm

=z − zMn

se gaseste astfel:

• scriem ecuatia planului π care trece prin M si este perpendicular pe dreapta d, adica

are directia normalei directia dreptei d, ~n = ~v = (l,m, n):

π : lx+my + nz + d = 0

• gasim punctul de intersectie a lui π cu d rezolvand sistemul:

M0 :

x− xM

l=y − yMm

=z − zMn

= t

lx+my + nz + d = 0⇔

M0 :

x = xM + tl

y = yM + tm

z = zM + tn

lx+my + nz + d = 0

100

• Punem conditia ca M0 sa fie mijlocul segmentului [MN ]:

xM0 =xM + xN

2, yM0 =

yM + yN2

, zM0 =zM + zN

2

de unde aflam coordonatele punctului N .

Exemplul 5.2. Fie punctele A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 2) si M(1, 2, 3).

a) Sa se gaseasca simetricul lui M fata de planul (ABC).

b) Sa se gaseasca simetricul lui M fata de dreapta AB.

101

5.7 Probleme de distanta

1) Distanta de la un punct A la o dreapta d

Fie o dreapta d de directie ~v si un punct M0 ∈ d.

Daca A /∈ d, atunci distanta de la punctul A la dreapta d este

d(A, d) =‖~v ×M0A‖‖~v‖

.

2) Distanta de la un punct P0(x0, y0, z0) la planul π : ax+ by + cz + d = 0 este

d(P0, π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2.

Exemplul 5.3. Fie dreptele

d1 :

{x+ y + 1 = 0

y + 2z = 0

d2 :x− 11

2=

y

−2=z

1

si punctul A(3, 0, 0).

a) Sa se stabileasca daca d1 si d2 determina un plan si ın caz afirmativ sa se scrie

ecuatia planului π.

b) Sa se calculeze d(A, d1) si d(A, π).

CAPITOLUL 6GEOMETRIA DIFERENTIALA A

CURBELOR SI SUPRAFETELOR DIN E3

6.1 Elemente de geometrie diferentiala a curbelor

Fie I un interval deschis din Rα : I → R3, α(t) = (x(t), y(t), z(t)) o functie diferentiabila pe I.

Definitia 6.1.

• Se numeste curba din E3 imaginea functiei diferentiabile α,

Γ = Im(α) ⊂ R3.

• α se numeste parametrizare.

• t ∈ I se numeste parametru.

• Punctul M0(x0, y0, z0) ∈ Γ al curbei Γ, unde

x0 = x(t0),

y0 = y(t0),

z0 = z(t0)

103

(sau M0(t0) ∈ Γ) se numeste punct regulat daca vectorul

α′(t0) 6= (0, 0, 0).

6.1.1 Triedrul lui Frenet ıntr-un punct regulat al unei curbe ın E3

Fie α : I → R3, α(t) = (x(t), y(t), z(t)) o parametrizare a curbei Γ.

M0(x0, y0, z0) ∈ Γ (sau M0(t0) ∈ Γ) un punct regulat de pe curba.

Definitia 6.2.

• T (t0) = α′(t0) = (x′(t0), y′(t0), z′(t0))

se numeste vectorul tangentei ın punctul M0 la curba Γ.

Versorul tangentei T (t0) se noteaza

τ(t0) :=not 1

‖T (t0)‖T (t0).

• B(t0) = α′(t0)× α′′(t0) :=not (A,B,C)

se numeste vectorul binormalei ın punctul M0 la curba Γ.

Versorul binormalei B(t0) se noteaza

b(t0) :=not 1

‖B(t0)‖B(t0).

• N(t0) = B(t0)× T (t0) :=not (l,m, n)

se numeste vectorul normalei principale ın punctul M0 la curba Γ.

Versorul binormalei N(t0) se noteaza

n(t0) :=not 1

‖N(t0)‖N(t0).

104

Propozitia 6.1. B = {τ(t0), b(t0), n(t0)} formeaza o baza ortonormata ın spatiului

vectorial V3 al vectorilor liberi.

Definitia 6.3.

• Reperul R =(M0; τ(t0), b(t0), n(t0)

)numeste reperul mobil al lui Frenet

asociat curbei Γ ın punctul M0.

• Dreapta ce trece prin M0 si are directia T (t0) se numeste tangenta ın punctul

M0 la curba Γ.

• Planul ce trece prin M0 si are directia normalei T (t0) se numeste planul nor-

mal.

• Dreapta ce trece prin M0 si are directia B(t0) se numeste binormala ın punctul

M0 la curba Γ.

• Planul ce trece prin M0 si are directia normalei B(t0) se numeste planul oscu-

lator.

105

• Dreapta ce trece prin M0 si are directia N(t0) se numeste normala principala

ın punctul M0 la curba Γ.

• Planul ce trece prin M0 si are directia normalei N(t0) se numeste planul rec-

tificant.

• Se numeste unghiul a doua curbe care se intersecteza ın M0, unghiul format

de vectorii tangentelor la cele doua curbe ın M0.

• Daca A(t = a) si B(t = b) sunt doua puncte pe cuba Γ, atunci se numeste

lungimea arcului de curba AB numarul pozitiv

b∫a

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

106

• Se numeste curbura curbei Γ ın punctul M0, numarul pozitiv

ρ(t0) =‖α′(t0)× α′′(t0)‖‖α′(t0)‖3

.

• Se numeste produsul mixt a trei vectori v1 = (x1, y1, z1),

v2 = (x2, y2, z2) si v3 = (x3, y3, z3) valoarea determinantului

(v1, v2, v3) =

∣∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣∣∣ .• Se numeste torsiunea curbei Γ ın punctul M0, numarul real

θ(t0) =(α′(t0), α′′(t0), α′′′(t0))

‖α′(t0)× α′′(t0)|2.

Axele, planele si dreptele triedrului lui Frenet ıntr-un punct M0 la o curba sunt ilustrate

ın urmatoarea figura:

Propozitia 6.2.

• Ecuatia tangentei ın punctul M0 la curba Γ este:

x− x(t0)

x′(t0)=y − y(t0)

y′(t0)=z − z(t0)

z′(t0).

107

• Ecuatia planului normal ın punctul M0 este:

x′(t0)[x− x(t0)] + y′(t0)[y − y(t0)] + z′(t0)[z − z(t0)] = 0.

• Ecuatia binormalei ın punctul M0 la curba Γ este:

x− x(t0)

A=y − y(t0)

B=z − z(t0)

C.

• Ecuatia planului osculator ın punctul M0 este:

A[x− x(t0)] +B[y − y(t0)] + C[z − z(t0)] = 0.

• Ecuatia normalei principale ın punctul M0 la curba Γ este:

x− x(t0)

l=y − y(t0)

m=z − z(t0)

n.

• Ecuatia planului rectificant ın punctul M0 este:

l[x− x(t0)] +m[y − y(t0)] + n[z − z(t0)] = 0.

• Γ este o parte a unei drepte daca si numai daca ρ(t) = 0, (∀)t ∈ I.

• Γ este o curba plana daca si numai daca θ(t) = 0, (∀)t ∈ I, iar planul ın care

este inclusa curba este planul osculator.

6.1.2 Unghiul a doua curbe

Date curbele

C1 :

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t)

t ∈ I1 si C2 :

x = x(s),

y = y(s),

z = z(s)

s ∈ I2

• calculam coordonatele punctului de intersectie al celor doua curbe:

108

– sau rezolvand sistemul

M0 :

x(t) = x(s),

y(t) = x(s),

z(t) = x(s)

⇒ t = t0, s = s0.

– sau daca cele doua curbe sunt curbe de coordonate C1 : t = t0 si C2 : s = s0 pe o

suprafata, atunci M0(t = t0, s = s0).

Coordonatele lui M0 le obtinem ınlocuind t0 ın C1 sau s0 ın C2: M0(x0, y0, z0), unde

M0 :

x0 = xC1(t0) = xC2(s0),

y0 = yC1(t0) = yC2(s0),

z0 = zC1(t0) = zC2(s0)

.

• calculam vectorul tamgentei ın M0 la fiecare din cele doua curbe:

~TC1(t0) =[x′C1

(t0), y′C1(t0), z′C1

(t0)]

respectiv

~TC2(s0) =[x′C2

(s0), y′C2(s0), z′C2

(s0)].

• calculam cosinusul unghiului vectorilor ~TC1(t0) si ~TC2(s0)

cos(~TC1(t0), ~TC2(s0)) =<[x′C1

(t0), y′C1(t0), z′C1

(t0)],[x′C2

(s0), y′C2(s0), z′C2

(s0)]>

‖[x′C1

(t0), y′C1(t0), z′C1

(t0)]‖ · ‖

[x′C2

(s0), y′C2(s0), z′C2

(s0)]‖.

Exemple

1) Cicloida

109

2) Cardioida

3) Deltoida

110

4) Astroida

5) Lemniscata lui Bernoulli

6) Curba lui Viviani

111

7) Elicea circulara

112

6.2 Elemente de geometrie diferentiala a

suprafetelor

Fie D o multime deschisa si conexa din R2

r(u, v) : D → R3, r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) o functie diferentiabila pe I.

Definitia 6.4.

• Se numeste suprafata din E3 imaginea functiei diferentiabile r,

S = Im(r) ⊂ R3.

• r se numeste parametrizare.

• u, v se numesc parametri.

• Punctul M0(u0, v0) al suprafetei S se numeste punct regulat daca vectorii

r′u(u0, v0) si r′v(u0, v0) sunt liniar independenti.

• O curba Γ ⊂ R3 definita de parametrizarea α : I → R3 este o curba pe

suprafata S daca toate punctele de pe Γ sunt si pe suprafata S, adica Γ ⊂ S.

• Curbele

Γ1 :

{u = u0

v = vΓ2 :

{u = u

v = v0

se numesc o curbele de coordonate ce trec prin M0.

113

6.2.1 Planul tangent si normala ıntr-un punct regulat al unei suprafete

ın E3

Fie r : D → R3, r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) o parametrizare a suprafetei S.

M0(x0, y0, z0) ∈ S, unde

x0 = x(u0, v0),

y0 = y(u0, v0),

z0 = z(u0, v0)

(sau se mai poate scrie M0(u0, v0) ∈ S) un

punct regulat de pe suprafata.

Definitia 6.5.

• Planul ce trece prin M0 si are directiile r′u(u0, v0) si r′v(u0, v0) se numeste planul

tangent la suprafata S ın punctul M0.

• Perpendiculara ın M0 pe planul tangent ın M0 la S se numeste normala ın

punctul M0 la suprafata S.

• Suprafata S se numeste orientabila daca pe una din fete versorii normalelor

au acelasi sens, iar pe cealalta fata au sens opus.

Exemple.

• Torul o suprafata orientabila.

114

• Banda lui Mobius este o suprafata neorientabila.

• Sticla lui Klein este o suprafata neorientabila.

https://www.youtube.com/watch?v=sRTKSzAOBr4

Propozitia 6.3.

• Ecuatia planului tangent ın punctul M0 la suprafata S este:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

x′u(u0, v0) y′u(u0, v0) z′u(u0, v0)

x′v(u0, v0) y′v(u0, v0) z′v(u0, v0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

• Vectorul normalei ın punctul M0 la suprafata S este:

r′u(u0, v0)× r′v(u0, v0) :=not (R1, R2, R3).

115

• Ecuatia normalei ın punctul M0 la suprafata S este:

x− x0

R1

=y − y0

R2

=z − z0

R3

.

Exemplul 6.1. Fie suprafata

S :

x(u, v) = u

y(u, v) = v

z(u, v) = u3 + v3.

a) Sa se determine punctele de pe suprafata ın care normala la S este perpendicu-

lara pe planul

π : 3x+ 3y − z + 11 = 0.

b) Sa se calculeze unghiul curbelor C1 : u = 1 si C2 : v = 2.

Solutie. a) Normala la S este perpendiculara pe planul π ⇒ ~NS||~nπ, unde ~nπ este

vectorul normalei la planul π. Din ecuatia planului π putem deduce componentele lui ~nπ

care sunt coeficientii lui x, y, z: ~nπ = (3, 3,−1).

r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = (u, v, u3 + v3)

r′u(u, v) = [x′u(u, v), y′u(u, v), z′u(u, v)] = (1, 0, 3u2)

r′v(u, v) = [x′v(u, v), y′v(u, v), z′v(u, v)] = (0, 1, 3v2).

Normala la suprafata S are directia

~NS = ~r′u(u, v)× ~r′v(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

1 0 3u2

0 1 3v2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−3u2,−3v2, 1).

116

~NS||~nπ ⇔−3u2

3=−3v2

3=

1

−1⇔ u2 = v2 = 1⇔ u = ±1, v = ±1⇒ punctele sunt

M1(u = 1, v = 1)⇔M1(1, 1, 2),

M2(u = 1, v = −1)⇔M2(1,−1, 0),

M3(u = −1, v = 1)⇔M3(−1, 1, 0),

M4(u = −1, v = −1)⇔M4(−1,−1,−2).

b) Ecuatiile curbelor C1 : u = 1 si C2 : v = 2 se obtin ınlocuind ın ecuatiile lui S pe u = 1,

respectiv, v = 2:

C1 :

x(1, v) =not x(v) = 1

y(1, v) =not y(v) = v

z(1, v) =not z(v) = 1 + v3,

, C2 :

x(u, 2) =not x(u) = u

y(u, 2) =not y(u) = 2

z(u, 2) =not z(u) = u3 + 1.

Punctul de intersectie al celor doua curbe este {M0(u = 1, v = 2)} = C1 ∩ C2.

Calculam vectorii tangentelor ın M0 la fiecare curba:

~TC1(M0) = [x′C1(v = 2), y′C1

(v = 2), z′C1(v = 2)] = (0, 1, 3v2)|v=2 = (0, 1, 12),

~TC2(M0) = [x′C2(u = 1), y′C2

(u = 1), z′C2(u = 1)] = (0, 1, 3u2)|u=1 = (0, 1, 3).

Unghiul format de cele doua curbe este unghiul vectorilor ~TC1(M0) si ~TC2(M0). Cosinusul

unghiului celor doi vectori este

cos[~TC1(M0), ~TC2(M0)] =< (0, 1, 12), (0, 1, 3) >

‖(0, 1, 12)‖ · ‖(0, 1, 3)‖=

37√145√

10=

37

5√

29⇒

](C1, C2) = arccos37√

29

145.

117

6.2.2 Prima forma fundamentala a unei suprafete ın E3

Fie S ⊂ R3 o suprafata definita de

parametrizarea r(u, v) : D → R3, r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) care are toate

punctele regulate, adica

vectorii r′u(u, v) si r′v(u, v) sunt liniari independenti pentru orice (u, v) ∈ D.

Propozitia 6.4. Multimea

TMS = {xr′u(u, v) + yr′v(u, v), x, y ∈ R} ⊂SSV V3

este un subspatiu vectorial al spatiului vectorial al vectorilor liberi V3, iar

B = {r′u(u, v), r′v(u, v)} este o baza a sa.

Definitia 6.6. Subspatiul vectorial

TMS = {xr′u(u, v) + yr′v(u, v), x, y ∈ R} ⊂ V3

se numeste spatiul tangent ın punctul M la suprafata S.

Consideram produsul scalar canonic din V3 restrictionat la TMS definit de forma biliniara

simetrica notata:

ΦM : TMS × TMS → R, ΦM(w1, w2) =< w1, w2 > (=not w1.w1).

Daca

w1 = x1r′u(u, v) + y1r

′v(u, v) = (x1, y1)B

si

w2 = x2r′u(u, v) + y2r

′v(u, v) = (x2, y2)B,

118

atunci

ΦM [(x1, y1)B, (x2, y2)B] = ΦM(w1, w2) =< w1, w2 >

=< x1r′u(u, v) + y1r

′v(u, v), x2r

′u(u, v) + y2r

′v(u, v) >

= x1x2‖r′u(u, v)‖2 + (x1y2 + x2y1)r′u(u, v).r′u(u, v) + y1y2‖r′v(u, v)‖2.

Daca notam

E =not ‖r′u(u, v)‖2, F =not r′u(u, v).r′v(u, v), G =not ‖r′u(u, v)‖2,

atunci

[ΦM [(x1, y1)B, (x2, y2)B] = x1x2E2 + (x1y2 + x2y1)F + y1y2G

2]

iar matricea lui ΦM ın baza B este

[ΦM ]B =

E F

F G

.

Definitia 6.7.

• Produsul scalar canonic ΦM din spatiul tangent ın punctul M la suprafata S se

numeste prima forma fundamentala a supafetei S ın punctul M .

• Numerele reale E(u0, v0), F (u0, v0), G(u0, v0) se numesc coeficientii primei

forme fundamentale a supafetei S ın punctul Mu = u0, v = v0.

• Functia Φ care asociaza fiecarui punct M de pe suprafata S produsul scalar ΦM ,

Φ(M(u, v)) = ΦM se numeste prima forma fundamentala a supafetei S.

• Se numeste elementul de arc al curbei Γ : {u = u(t), v = v(t)} de pe

supafata S

ds =√E[u(t), v(t)]u′(t)2 + 2F [u(t), v(t)]u′(t)v′(t) +G[u(t), v(t)]v′(t)2dt.

119

• Se numeste elementul de arie al supafetei S

dσ =√E(u, v)G(u, v)− F (u, v)2dudv.

• Se numeste metrica pe supafata S

ds2 = E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv +G(u, v)dv2.

Exemplul 6.2. Fie suprafata

S :

x(u, v) =1

2v+

1

2u

y(u, v) =1

2v− 1

2u

z(u, v) =1

2uv.

a) Sa se determine lungimea arcului AB de pe curba C : v = 2 pe suprafata S,

unde A(u = 1, v = 2), B(u = 2, v = 2).

b) Sa se determine elementul de arc al curbei C de pe S.

c) Sa se determine elementul de arie, metrica si matricea primei forme fundamen-

tale ın punctul A.

Solutie. a) Ecuatiile parametrice ale curbei C : v = 2⇔ C : {u = t, v = 2} se obtin din

ecuatiile lui S pentru u = t si v = 2:

C :

x(t, 2) =not x(t) =1

4+

1

2t

y(t, 2) =not y(t) =1

4− 1

2t

z(t, 2) =not z(t) =1

4t.

120

Cum A(u = 1, v = 2) se obtine pe curba C : v = 2⇒ A(t = u = 1), iar B(u = 2, v = 2) are

pe curba C : v = 2 coordonatele B(t = u = 2)⇒

LAB =

2∫1

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

Cum

x′(t) = − 1

2t2, y′(t) =

1

2t2, z′(t) = − 1

4t2⇒

LAB =

2∫1

√1

4t4+

1

4t4+

1

16t4dt

=

2∫1

√9

16t4dt =

3

4

2∫1

t−2dt

=3

4

t−1

−1

∣∣∣∣21

=3

8.

b) Elementul de arc al curbei C este:

ds =√E[u(t), v(t)]u′(t)2 + 2F [u(t), v(t)]u′(t)v′(t) +G[u(t), v(t)]v′(t)2dt.

r′u(u, v) = [x′u(u, v), y′u(u, v), z′u(u, v)]

=

(− 1

2u2,

1

2u2,− 1

2u2v

)r′v(u, v) = [x′v(u, v), y′v(u, v), z′v(u, v)]

=

(− 1

2v2,− 1

2v2,− 1

2uv2

)

121

E(u, v) = ‖r′u(u, v)‖2 =1

4u4+

1

4u4+

1

4u4v2

=1

2u4+

1

4u4v2

F (u, v) = r′u(u, v).r′v(u, v) =1

4u2v2− 1

4u2v2+

1

4u3v3

=1

4u3v3

G(u, v) = ‖r′v(u, v)‖2 =1

4v4+

1

4v4+

1

4u2v4

=1

2v4+

1

4u2v4.

Pe curba C, u = t si v = 2⇒

E(t, 2) =1

2t4+

1

16t4=

9

16t4, F (t, 2) =

1

32t3, G(t, 2) =

1

32+

1

64t2

Cum u′(t) = t′ = 1, si v′(t) = 0, atunci elementul de arc este

ds =√E(t, 2)u′(t)2 + 2F (t, 2)u′(t)v′(t) +G(t, 2)v′(t)2dt

=√E(t, 2)dt =

√9

16t4dt =

3

4t2dt.

c) Elementul de arie este

dσ =√E(u, v)G(u, v)− F (u, v)2dudv

=

√(1

2u4+

1

4u4v2

)(1

2v4+

1

4u2v4

)− 1

16u6v6dudv

=1

2u2v2

√1 +

1

2u2+

1

2v2dudv.

Metrica pe S este

ds2 = E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv +G(u, v)dv2

=

(1

2u4+

1

4u4v2

)du2 +

2

4u3v3dudv +

(1

2v4+

1

4u2v4

)dv2.

Calculam coeficientii primei forme fundamentale ın punctul A(u = 1, v = 2):

E(1, 2) =9

16, F (1, 2) =

1

32, G(1, 2) =

3

64.

122

Atunci matricea primei forme fundamentale este

[ΦA] =

[E(1, 2) F (1, 2)

F (1, 2) G(1, 2)

]=

9

16

1

32

1

32

3

64

.

CAPITOLUL 7CONICE SI CUADRICE

7.1 Conice

Conicele se obtin din intersectia unui con cu un plan.

7.1.1 Cercul

C : (x− xC)2 + (y − yC)2 = r2. (7.1)

Ecuatiile parametrice polare ale cercului:

C :

{x = xC + r cos t

y = yC + r sin t, t ∈ [0, 2π), (7.2)

Figure 7.1. Cercul de centru C si raza r.

124

x 2+y 2=1

Figure 7.2. Cercul de centru O(0, 0) si raza 1.

7.1.2 Elipsa

E :x2

a2+y2

b2= 1, (7.3)

unde b2 = a2 − c2.

Ecuatiile parametrice polare ale elipsei:{x = a cos t

y = b sin t, t ∈ [0, 2π).

Figure 7.3. Elipsa de focare F si F ′.

125

x 2

a 2+

y 2

b2=1

Figure 7.4. Elipsa de semiaxe a si b.

7.1.3 Hiperbola

H :x2

a2− y2

b2= 1, (7.4)

unde b2 = c2 − a2.

Ecuatiile parametrice ale hiperbolei:{x = a cosh t

y = b sinh t, t ∈ R.

Reamintim ca prin sinh t =1

2(et − e−t) si respectiv cosh t =

1

2(et + e−t), am notat functiile

trigonometrice hiperbolice sinus hiperbolic, respectiv cosinus hiperbolic.

Figure 7.5. Hiperbola de focare F si F ′.

126

x 2

a 2+

y 2

b2=1

Figure 7.6. Hiperbola de semiaxe a si b.

7.1.4 Parabola

P : y2 = 2px. (7.5)

Aceasta ecuatie se numeste ecuatia carteziana implicita a parabolei P.

Ecuatiile parametrice ale parabolei:x =

t2

2p

y = t

, t ∈ R.

Figure 7.7. Parabola de focar F si directoare d.

127

y 2=2px

Figure 7.8. Parabola.

7.2 Cuadrice

7.2.1 Elipsoidul

Este cuadrica de ecuatie:x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

unde a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului.

Ecuatiile parametrice ale elipsoidului sunt:x = a sin θ cosϕ

y = b sin θ sinϕ

z = c cos θ

ϕ ∈ [0, 2π] , θ ∈ [0, π] .

Sfera este un elipsoid cu semiaxe egale a = b = c = R.

Ecuatiile parametrice ale sferei sunt:x = R sin θ cosϕ

y = R sin θ sinϕ

z = R cos θ

ϕ ∈ [0, 2π] , θ ∈ [0, π]

128

Figura 1 - Elipsoidul

7.2.2 Hiperboloidul

7.2.2.1 Hiperboloidul cu o panza

Este cuadrica de ecuatie:x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1.

Ecuatiile parametrice ale hiperboloidului cu o panza sunt:x = a cosu ch v

y = b sinu ch v

z = c sh v

u ∈ [0, 2π] , v ∈ R.

Figura 2 - Hiperboloidul cu o panza

129

7.2.2.2 Hiperboloidul cu doua panze

Este cuadrica de ecuatie:

−x2

a2− y2

b2+z2

c2= 1.

Ecuatiile parametrice ale hiperboloidului cu doua panze sunt:x = a cosu sh v

y = b sinu sh v

z = c ch v

u ∈ [0, 2π] , v ∈ R.

Figura 3 - Hiperboloidul cu doua panze

7.2.3 Paraboloidul

7.2.3.1 Paraboloidul eliptic

Paraboloidul eliptic este cuadrica de ecuatie:

x2

a2+y2

b2= 2cz, c > 0.

Ecuatiile parametrice ale paraboloidului eliptic sunt:

x = au cos v

y = bu sin v

z = u2

2c.

u ∈ R, v ∈ R.

130

Figura 4 - Paraboloidul eliptic

7.2.3.2 Paraboloidul hiperbolic

Este cuadrica de ecuatie:x2

a2− y2

b2= 2cz, c < 0.

Ecuatiile parametrice ale paraboloidului hiperbolic sunt:x = au ch v

y = bu sh v

z = u2

2c

u ∈ R, v ∈ R.

Figura 5 - Paraboloidul hiperbolic

131

7.2.4 Conul

Se numeste con cuadrica de ecuatie:

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0.

Ecuatiile parametrice ale conului sunt:x = a cos v

y = b sin v

z = c

u ∈ R, v ∈ R.

Figura 6 - Conul

7.2.5 Cilindrul

7.2.5.1 Cilindrul eliptic

Se numeste cilindru eliptic cuadrica de ecuatie:

x2

a2+y2

b2− 1 = 0.

132

Ecuatiile parametrice ale cilindrului eliptic sunt:x = a cos v

y = b sin v

z = z

z ∈ R, v ∈ R.

Figura 7 - Cilindrul eliptic

7.2.5.2 Cilindrul hiperbolic

Se numeste cilindru hiperbolic cuadrica de ecuatie:

x2

a2− y2

b2− 1 = 0

Ecuatiile parametrice ale cilindrului hiperbolic sunt:x = a sh v

y = b ch v

z = z

z ∈ R, v ∈ R.

133

Figura 8 - Cilindrul hiperbolic

7.2.5.3 Cilindrul parabolic

Se numeste cilindru parabolic cuadrica de ecuatie:

y2 = 2px.

Figura 9 - Cilindrul parabolic

CAPITOLUL 8MODEL SUBIECT DE EXAMEN

8.1 Model subiect de examen ETC

D1

1p din oficiu

1)

0,75p a) Definiti sistemul de generatori.

0,75p b) Enuntati teorema de diagonalizare.

2) Fie B1 = {p1 = mX + 1, p2 = X − 1} , B2 = {q1 = −2X, q2 = 3X + 1}.1,25p a) Sa se gaseasca m ∈ R pentru care B1 este baza si pentru m = 1 sa se scrie

matricea de trecere T←−−−B1B2

. Pentru valoarea lui m pentru care B1 este liniar dependent gasiti

relatia de dependenta.

1,25p b) Sa se scrie vectorul p = 4X ın bazele B1, B2 si Bc-baza canonica din R1[X].

3) Fie aplicatia f : M2×1(R) → R3, f

([x1

x2

])= (2x1 − x2, x1 + x2, x1) si bazele

B1 =

{[1

1

],

[1

−1

]}si B2 = {(−3, 0,−1), (−2, 0, 0), (4, 2, 2)}.

1,25p a) Sa se scrie [f ]B1B2 .

1,25p b) Sa se calculeze Ker(f), Im(f).

sau

1,25p b) Sa se studieze pentru ce valori ale lui m urmatoarele multimi sunt subspatii

vectoriale si pentru valorile gasite sa se scrie cate o baza a lor:

S1 = {(x, y, z) ∈ R3|2mx+ (27m3 + 1)yz + 9m2 = 1},

135

S2 = {(x, y, z) ∈ R3|x− 2z = 0, y + 3z = 0}.4) Fie operatorul liniar f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x, 2x+ y + z, 3x− z).

1,25p a) Sa se studieze daca f este diagonalizabil si ın caz afirmativ sa se gaseasca o

baza ın care are aceasta forma.

1,25p b) Folosind teorema lui Hamilton-Cayley sa se calculeze [f ]−1Bc.

sau

4)

1,25p a) Sa se aduca la forma canonica forma patratica corespunzatoare formei bilinare

ϕ : R3 × R3 → R,

ϕ [(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)] = 2x1y1 − x2y2 − x3y3 + 3x2y3 + 3x3y2.

1,25p b) Sa se precizeze baza ın care are aceasa forma.

D2

1p din oficiu

1,5p 1) Sa se scrie ecuatiile planului tangent la o suprafata si ecuatiile canonice ale unei

drepte ce are directia v = (l,m, n) si trece prin punctul A(xA, yA, zA).

2,5p 2) Sa se scrie ecuatia dreptei d perpendiculara pe planul 3x− y+ 2z+ 3 = 0 si trece

prin punctul de intersectie al dreptelor d1 :x− 1

4=

y

−1=z

2si d2 :

{x− 2y − 3z + 1 = 0,

2x− 5y − z − 2 = 0.

2,5p 3) Fie curba

x(t) = ln(3t+ 1),

y(t) = t3 + t,

z(t) = 6t.

Sa se calculeze lungimea arcului de curba AB,

unde A(ln4, 2, 6) si B(ln7, 9, 12) si ecuatia planului rectificant ın punctul C(t = 1).

2,5p 4) Fe suprafata

x(u, v) = eu+v,

y(u, v) = e2u,

z(u, v) = e3v.

Sa se scrie coeficientii primei forme fundamentale

ın punctele ın care normala la suprafata este paralela cu dreapta d :x− 1

6=y + 2

−3=z − 4

−2.

136

8.2 Model subiect de examen ET+EE, INFO, CT

P1

1p din oficiu

4,5p 1) Fie B1 = {p1 = mX2, p2 = −3X2 + 2mX − 4, p3 = 5X2 + 3X − 2},B2 = {q1 = 2X2, q2 = 3X − 6, q3 = 3X2 + 5X − 6} . Pentru ce valori ale lui m B1 este

o baza? Gasiti m pentru care B1 este liniar dependent si scrieti ın acest caz relatia de

dependenta. Pentru m = 1 sa se gaseasca matricea de trecere de la baza B1 la baza B2 si sa

se scrie vectorul p = p1 − p2 − 2p3 ın bazele B1, B2 si Bc-baza canonica din R2[X].

4,5p 2) Fie aplicatia liniara

f : R2[x]→ R2[x], f(a, b, c) = aX2 + (−3a− b− c)X + a+ b+ c si bazele

B1 = {p1 = X2, p2 = −3X2 + 2X − 4, p3 = 5X2 + 3X − 2},B2 = {q1 = 2X2, q2 = 3X − 6, q3 = 3X2 + 5X − 6} .Sa se calculeze [f ]B1B2 si Ker(f). Este f izomorfism? Justificati raspunsul.

sau

4,5p 2) Sa se studieze pentru ce valori ale lui m urmatoarele multimi sunt subspatii

vectoriale si pentru valorile gasite sa se scrie cate o baza a lor: S1 = {(x, y, z) ∈ R3|2mx +

(27m3 + 1)yz + 9m2 = 1}, S2 = {(x, y, z) ∈ R3|x− 2z = 0, y + 3z = 0}.P2

1p din oficiu

4,5p 3) Sa se studieze daca urmatoarea matrice este diagonalizabila si ın caz afirmativ

sa se gaseasca o baza ın care are aceasta forma: A =

3 0 0

1 3 2

−1 0 1

4,5p 4) Sa se scrie forma polara si matricea formei patratice f : R2 → R, f(x1, x2) =

5x22 − 2x1x2 ın baza B = {(1, 0), (1,−2)}.P3

1p din oficiu

4,5p 5) Fie curba

x(t) = cos t,

y(t) = t,

z(t) = t2.

Sa se scrie ecuatia tangentei ın punctul M0(t = 0) la

curba si a planului ce trece prin punctul A(1,−1, 0) si este paralel cu binormala ın M0(t = 0)

la curba.

137

4,5p 6) Fie suprafata

x(u, v) = u v,

y(u, v) = sinu,

z(u, v) = uv2.

Sa se scrie coeficientii primei forme fundamen-

tale ın punctul M0(u = π, v = 0) la suprafata.