1 6. Solicitarea la torsiune

Capitolul 6

SOLICITAREA LA TORSIUNE (RĂSUCIRE)

CURS 12 18.05.2020 + 13 25.05.2020

1. Definiţii

O bară, este solicitată la torsiune (răsucire) atunci când în secţiunea normală apare un singur

efort – momentul de torsiune: Mt, celelalte eforturi fiind nule, conform condiţiei matematice: Mt 0,

N = 0, T = 0, Mî = 0.

Cea mai explicită ilustrare a solicitării la torsiune este cazul unei bare încastrate la un capăt

şi solicitată la capătul liber de un cuplu de forţe, care determină un moment de torsiune, conform

fig. 1. Efectul mecanic al momentului de torsiune constă în rotirea secţiunii normale în jurul axei

longitudinale a barei.

Fig. 6 Solicitarea la torsiune – efectul mecanic al momentului de torsiune

2 Rezistenţa materialelor I – Note de curs

În general, torsiunea pură apare doar în cazul în care momentul de torsiune are valori mari,

în raport cu greutatea proprie a arborelui – greutatea este neglijabilă. În realitate, atât datorită

greutăţii proprii, cât şi a cuplului de forţe care transmit torsiunea, pot apărea forţe tăietoare, care

determină momente încovoietoare, uneori şi eforturi axiale.

Frecvent, în cazul arborilor sunt cunoscute: puterea – P [kW] şi turaţia – n [rot/min], care

permit calculul momentului de torsiune:

n

P1055,9M 3t = [N∙m] ;

n

P1055,9M 5t = [daN∙mm] . (1)

Sensul atribuit momentului de torsiune nu prezintă importanţă din punct de vedere al

calculului de rezistenţă, întrucât este indiferent dacă sensul este orar sau antiorar. În general,

momentul de torsiune într-o secţiune este considerat pozitiv dacă este orientat în sensul normalei

exterioare la secţiune.

Dacă asupra unui arbore acţionează mai multe momente de torsiune este necesară trasarea

diagramei momentelor de torsiune, pentru determinarea secţiunilor în care acţionează momentul

maxim, deci secţiunile cele mai solicitate. În fig. 2, se consideră un arbore asupra căruia acţionează

mai multe momente de torsiune: motoare şi rezistente, precum şi un moment uniform distribuit –

mt.

Fig. 2 Solicitarea la torsiune – diagrama momentului de torsiune

3 6. Solicitarea la torsiune

La trasarea diagramei momentelor de torsiune se ţine cont de următoarele indicaţii:

- se adoptă sensul pozitiv al momentului de torsiune (în general, după normala

exterioară la secţiune – sens antiorar);

- se începe de la un capăt pentru care momentul de torsiune este cunoscut, ţinând

cont de semnul algebric al acestuia;

- într-o secţiune normală oarecare, momentul de torsiune este egal cu suma

algebrică a momentelor de torsiune care acţionează asupra tronsonului înlăturat;

- momentul de torsiune este constant între două secţiuni normale succesive de

aplicare a momentelor de torsiune;

- în secţiunile de aplicare ale momentelor de torsiune, diagrama are o discontinuitate

(salt) egală cu valoarea momentului de torsiune, ţinându-se cont de semnul algebric al

acestuia.

Organele de maşini şi elementele de structură se comportă diferit la torsiune în funcţie de

forma secţiunii – secţiuni circulare, comparativ cu cele dreptunghiulare sau profile, bare cu pereţi

subţiri, profile închise sau deschise, etc.

Întrucât, în domeniul ingineriei instalaţiilor majoritatea semifabricatelor au secţiune circulară

sau inelară, se va trata cazul acestor secţiuni.

2. Tensiunea tangenţială, deformaţii

Se consideră o bară de secţiune circulară, încastrată la un capăt şi la capătul liber

acţionează un moment de torsiune: Mt, conform fig. 3. Pe suprafaţa exterioară a barei se trasează:

- generatoare – paralele cu axa longitudinală a barei;

- cercuri – reprezintă secţiunea normală.

Solicitând bara la torsiune, se observă:

- axa barei rămâne dreaptă;

- generatoarele devin spire elicoidale;

- dreptunghiurile se deformează astfel încât devin paralelograme;

- distanţele dintre două cercuri după deformare rămân egale cu distanţele inţiale.

4 Rezistenţa materialelor I – Note de curs

Fig. 3 Deformarea barei solicitată la torsiune

În consecinţă, este valabilă ipoteza lui Bernoulli: secţiunile plane şi normale la axa barei

nedeformate rămân plane şi normale la axa barei deformate.

Deoarece distanţa dintre două secţiuni normale rămâne constantă, deci deformaţia

specifică: = 0, conform legii lui Hooke: = E∙ = 0, rezultă că la solicitarea la torsiune nu apar

tensiuni normale.

Datorită modificării unghiului drept – dreptunghiurile devin paralelograme, apare o lunecare

(rotire) a secţiunilor normale, deci la solicitarea la torsiune apar numai tensiuni tangenţiale.

● Deformaţii, Tensiunea tangenţială

Fie o bară de secţiune circulară din fig. 4, încastrată la un capăt şi solicitată la torsiune. La

distanţa: x, faţă de încastrare se consideră un element infint mic: dx.

5 6. Solicitarea la torsiune

a – deformaţia barei solicitată la torsiune

b – deformaţia suprafeţei exterioare a elementului de bară: dx solicitat la torsiune

Fig. 4 Deformarea barei solicitată la torsiune

În absenţa solicitării – corespunzător elementului dx, avem generatoarea: AB. După

deformare generatoarea: AB = A1B’ = dx, devine o spiră elicoidală: A1B1, deci secţiunea normală:

B se roteşte faţă de secţiunea: A, unghiul drept se modifică cu lunecarea specifică, unghiul: 0:

6 Rezistenţa materialelor I – Note de curs

01

10

'BA

'BBtg = . (2)

În planul secţiunii normale: A, punctul: A se roteşte în punctul: A1, cu unghiul: - unghi de

răsucire relativ sau unghi de rotire [rad]. Similar, în planul secţiunii normale: B (la distanţa: dx faţă

de: A), punctul: B se roteşte în punctul: B1, cu unghiul: +d, deci în planul secţiunii: B, arcul: B1B’

este:

= dR'BB1 ;

înlocuind în rel. (2), se obţine:

=

=

= Rdx

dR

dx

dR0 ; (3)

în care: dx

d= - este unghiul de răsucire specific, [rad/m; rad/mm].

Ca sens fizic, unghiul de răsucire specific este egal cu unghiul de rotire (unghiul de răsucire

relativ) a două secţiuni normale situate la o distanţă egală cu unitatea (dx=1 → = d).

Având în vedere că suntem în domeniul deformaţiilor elastice, este valabilă legea lui Hooke:

max0 RGG === ;

evident, tensiunea tangenţială are valoarea maximă pentru că pe suprafaţa exterioară, raza: R este

maximă.

Se presupune că şi fibrele din interiorul barei suferă aceleaşi deformaţii, la raza oarecare: r,

fibra nedeformară CD = C1D’ = dx, devine spira elicoidală: C1D1, similar se obţine lunecarea

specifică:

=

=

== rdx

dr

dx

dr

'DC

'DDtg

1

1 ;

scriind legea lui Hooke, se obţine:

== rGG . (4)

Se observă că, tensiunea tangenţială variază liniar cu raza curentă:

- în axa barei: r = 0 → 0=

- pe suprafaţa exterioară: R – raza exterioară este maximă → max .

7 6. Solicitarea la torsiune

Fig. 5 Deformarea barei solicitată la torsiune – lunecarea fibrelor interioare

Conform fig. 5, se presupune că şi fibrele din interiorul barei suferă aceleaşi deformaţii, la

raza oarecare: r, fibra nedeformară CD = C1D’ = dx, devine spira elicoidală: C1D1, similar se obţine

lunecarea specifică:

=

=

== rdx

dr

dx

dr

'DC

'DDtg

1

1 ;

scriind legea lui Hooke, se obţine:

== rGG . (4)

Se observă că, tensiunea tangenţială variază liniar cu raza curentă:

- în axa barei: r = 0 → 0=

- pe suprafaţa exterioară: R – raza exterioară este maximă → max .

8 Rezistenţa materialelor I – Note de curs

În fig. 6.a, este prezentată variaţia liniară a tensiunii tangenţiale în secţiunea circulară a

barei. Se consideră la raza curentă: r, un element de arie: dA, pe care acţionează tensiunea

tangenţială: . Acţiunea tensiunii tangenţiale determină o forţă elementară: dF, care acţionând la

raza curentă determină un moment de torsiune elementar:

rdArdFdM t == ;

integrând pe întreaga suprafaţă şi ţinând cont de rel. (6.4), rezultă momentul de torsiune:

=====A A A A

p2

tt IGdArGdArrGdArdMM ; (5)

la integrare s-a ţinut cont de faptul că pentru o anumită solicitare: - unghiul de răsucire specific

este constant pe întreaga suprafaţă a secţiunii.

a – bara cu secţiune circulară b – bara cu secţiune inelară

Fig. 6 Solicitarea la torsiune – variaţia tensiunii tangenţiale

Acţiunea tensiunii tangenţiale determină o forţă elementară: dF, care acţionând la raza

curentă determină un moment de torsiune elementar:

9 6. Solicitarea la torsiune

rdArdFdM t == ;

integrând pe întreaga suprafaţă şi ţinând cont de rel. (4), rezultă momentul de torsiune:

=====A A A A

p2

tt IGdArGdArrGdArdMM ; (5)

la integrare s-a ţinut cont de faptul că pentru o anumită solicitare: - unghiul de răsucire specific

este constant pe întreaga suprafaţă a secţiunii.

Determinarea tensiunii tangenţiale se face pe baza rel. (5) şi (4):

p

tpt

I

MGIGM =→= ;

care se introduce în (4):

rI

MrG

p

t == . (6)

Din punct de vedere al calculelor de rezistenţă, prezintă importanţă valoarea maximă a

tensiunii care corespunde razei exterioare (raza maximă): 2

DRr == , rezultă relaţia fundamentală

a solicitării la torsiune:

p

t

p

tmax

W

M

2

D

I

M== ;

în care: Wp – este modulul de rezistenţă polar, fiind egal cu raportul dintre momentul de inerţie polar

şi raza maximă a secţiunii:

16

D

2

D32

D

2

D

IW

3

4

pp

=

== . [m3; mm3] (7)

Similar, în cazul secţiunii inelare, prezentată în fig. 6.b: D – diametru exterior, d – diametru

interior, D

dk = , se obţine modulul de rezistenţă polar:

10 Rezistenţa materialelor I – Note de curs

( )( )4

344

pp k1

16

D

2

D

dD32

2

D

IW −

=

−

== .

● Deformaţii

În cazul barei solicitate la torsiune, apar următoarele deformaţii:

● unghiul de răsucire specific se obţine din rel. (5):

p

t

IG

M

= . [rad/m; rad/mm] (8)

Produsul: G∙Ip – este rigiditatea barei la solicitarea la torsiune, principial similară rigidităţii

barei la solicitarea axială.

● unghiul de răsucire relativ (rotire) se obţine prin integrarea unghiului de răsucire specific

pe lungimea barei, considerând că momentul de torsiune şi momentul de inerţie polar sunt

constante:

→=→

==→

=

l

0

l

0 p

t

p

t dxIG

Mddx

IG

Mdxd

dx

d

lIG

M

p

t

= . [rad] (9)

Dacă, bara de secţiune circulară este neomogenă longitudinal, adică corespunzător

diferitelor tronsoane de lungime: li, bara are secţiuni diferite – momente de inerţie polare diferite: Ipi,

respectiv acţionează momente de torsiune diferite: Mti, bara se împarte în tronsoane omogene

pentru care se determină unghiul de răsucire relativ (rotire):

ipi

tii l

IG

M

= .

Determinarea unghiului de răsucire relativ (rotire) a întregii bare neomogene se obţine prin

însumarea algebrică - ţinând cont de sensul unghiului:

11 6. Solicitarea la torsiune

=

= ipi

tii

pi

ti lI

M

G

1l

IG

M.

3. Calculul barelor solicitate la torsiune

Calculul barelor solicitate la torsiune constă în rezolvarea celor trei probleme fundamentale:

dimensionarea, verificarea şi determinarea capacităţii portante.

a. Dimensionarea barelor – specifică proiectării, constă în determinarea formei

geometrice şi a dimensiunilor astfel încât piesa să poată prelua în condiţii de rezistenţă şi siguranţă

solicitarea la torsiune, la care este supusă.

Sunt cunoscute: momentele de torsiune care acţionează asupra barei;

Se adoptă: materialul şi implicit caracteristicile mecanice ale acestuia;

Se cere: determinarea modulului de rezistenţă polar necesar şi implicit dimensiunile secţiunii

normale;

a.1. Dimensionarea barelor pe baza condiţiei de rezistenţă

Constă în calculul modulului de rezistenţă polar necesar pe baza relaţiei fundamentale a

solicitării la torsiune:

aT

tpnec

MW

= ;

ceea ce permite determinarea dimensiunilor geometrice ale secţiunii:

● secţiune circulară:

3aT

tnec

3nec

aT

tpnec

M16D

16

DMW

=→

=

= ;

● secţiune inelară – se adoptă raportul diametrelor: D

dk = :

( ) 34

aT

tnec

43nec

aT

tpnec

)k1(

M16Dk1

16

DMW

−

=→−

=

= .

12 Rezistenţa materialelor I – Note de curs

a.2. Dimensionarea barelor pe baza condiţiei de rigiditate

Constă în calculul momentului de inerţie polar necesar pe baza unghiului de răsucire specific

admisibil: a utilizând rel. (8):

a

tpnec

G

MI

= .

Dimensiunile secţiunii: circulare sau inelare, se calculează pe baza relaţiilor momentului de inerţie

polar.

Notă: După dimensionare este necesară efectuarea calculului de verificare corespunzător

secţiunii celei mai solicitate.

b. Verificarea barelor – constă în a determina dacă piesa poate prelua în condiţii de

rezistenţă şi siguranţă solicitarea la torsiune, la care este supusă.

Sunt cunoscute: forma geometrică şi dimensiunile efective ale secţiunii normale;

- materialul şi implicit caracteristicile mecanice ale acestuia;

- momentul de torsiune;

Se cere: verificarea secţiunii normale la solicitarea la torsiune la care este supusă piesa:

b.1. Verificarea barelor pe baza condiţiei de rezistenţă

Constă în calculul tensiunii tangenţiale efective pe baza relaţiei fundamentale ale solicitării

la torsiune care se compară cu rezistenţa admisibilă la torsiune:

aTpef

tefT

W

M= .

b.2. Verificarea barelor pe baza condiţiei de rigiditate

Constă în calculul unghiului de răsucire specific care se compară cu unghiul de răsucire

specific admisibil: a:

apef

tefT

IG

M

= .

13 6. Solicitarea la torsiune

Notă: Verificarea se efectuează în secţiunea normală cea mai solicitată, în situaţia în care

piesa nu rezistă se majorează secţiunea normală sau se adoptă un material cu caracteristici

mecanice superioare.

c. Capacitatea portantă – constă în determinarea momentului de torsiune maxim pe

care îl poate prelua piesa în condiţii de rezistenţă şi siguranţă.

Sunt cunoscute: forma geometrică şi dimensiunile efective ale secţiunii normale;

- materialul şi implicit caracteristicile mecanice ale acestuia;

Se cere: momentul de torsiune maxim pe care îl poate prelua piesa:

c.1. Capacitatea portantă pe baza condiţiei de rezistenţă

Constă în calculul momentului de torsiune capabil pe baza relaţiei fundamentale ale

solicitării la torsiune:

aTeftcap WM = ;

c.2. Verificarea barelor pe baza condiţiei de rigiditate

Constă în calculul momentului de torsiune capabil pe baza deformaţiei specifice admisibile:

apeftcap IGM = .

Notă: Capacitatea portantă se calculează în secţiunea normală având modulul de rezistenţă

polar minim.