7/22/2019 siruri_ formule

1/2

FORMULE- SIRURI / DEINVATAT!!!!!Definitia limitei finite a unuisir de numere reale:

Un numar real L este limita aunui sir(xn) daca oricevecinatate a lui L contine totitermenii sirului, exceptnd(eventual) un numar finitde termeni, sau, echivalent:n afara oricarei vecinatati a lui Lse afla (cel mult) un numar finitde termeni ai sirului.Se spune, n acest caz, ca siruleste convergent la L.Definitia limitei infinite a unui sir

de numere reale:1) Un sir (xn) are limita +oo, dacapentru orice M > 0, existanumarul natural k, astfelincat xk> M.Se spune, in acest caz, ca siruleste nemarginit la dreapta, sauca sirul tinde la +00;2) Un sir (xn) are limita -oo, dacapentru orice M > 0, existanumarul natural k, astfelincat xk< -M;

Se spune, in acest caz, ca siruleste nemarginit la stanga, sau casirul tinde la -oo.Observatii:

Un sir care nu esteconvergent senumeste divergent;

Un sir convergent are osingura limita;

Orice subsir al unui sirconvergent esteconvergent si are aceeasi

limita; Daca un sir contine doua

subsiruri convergente catrelimite diferite, atunci siruleste divergent;

Orice sir convergent estemarginit; deci orice sirnemarginit este divergent;

Orice sir monoton arelimita finita, daca sirul estesi marginit, sau infinita,daca sirul nu este marginit;

Un sir convergent nu este

obligatoriu si monoton;exemplu:

unde n estenatural;

Orice sir periodic estedivergent.

Teorema de convergenta:Sirul (xn) este convergent laL daca si numai daca pentru orice > 0,exista n N,astfel incat

pentru orice n mai mare sauegal cu n : |xn - L|< .Criteriul majorarii:Daca

atunci

Teorema clestelui:Daca

si

atunci

Teorema lui Weierstrass:Orice sir monoton si marginiteste convergent.Lema Stolz - Csaro:Fie sirurile (xn), si (yn), primularbitrar, iar al doilea strictcrescator si nemarginit,yn nenul oricare ar fi n natural.Daca exista

atunci:

Criteriul Cauchy - d'Alembert:Fie sirul (xn), cu xn > 0, oricare arfi n natural nenul.Daca exista

atunci:

7/22/2019 siruri_ formule

2/2

Criteriul raportului:Fie sirul (xn), cu xn > 0, oricarear fi n N*. Daca

si1) L < 1, atunci lim(xn) = 02) L > 1, atunci lim(xn) = +oo.Limite remarcabile:

(sirul numarului e = 2,7182...,numar irational).

(n N*, c = 0,5772156649... -

constanta lui Euler, numarirational).

SIRURI CONVERGENTE LA 0