7/17/2019 Sirul Lui Fibonacci

http://slidepdf.com/reader/full/sirul-lui-fibonacci-568d5952815c0 1/2

Sirul lui Fibonacci

Sirul lui Fibonaci (f n

)0n

este definit prin relatia de recurenta f n

= f 1n + f 

2n , f 

0= 0 si f 

1= 1.

Termeni sirului sunt:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...... .

 Numele acestui sir a fost dat in onoarea matematicianului Leonardo Pisano cunoscut sub numele de

Fibonacci.

Conform lui O’Connor si Robertson (1998), Leonardo Pisano s-a nascut in 1175, intro familie de

comercianti din Pisa, Italia. Leonardo a fost educat in Africa de Nord deoarece tatal sau a detinut o

 pozitie diplomatica acolo, fiind reprezentantul comerciantilor din Pisa in portul mediteranean Bugia, in

nord-estul Algeriei.

In adolescenta sa Fibonacci a calatorit cu tatal sau in reginea mediteraneana intrand in contact cuvariate culturi si sisteme matematice folosite in aceste regiuni, largindu-si astfel aria de cunstiinte.

In 1200 Fibonacci s-a reintors in Pisa. Acolo a scris numeroase si importante materiale care aucontribuit la dezvoltarea matematicii. Astazi se mai pastreaza copii dupa lucrarile  Liber abaci (1202),

 Practica geometriae (1220), Flos (1225), si Liber quadratorum.

Lucrarea  Liber abaci (1202) se bazeaza pe cunostiintele de aritmetica si algebra acumulate in timpul

calatoriilor sale. In aceasta lucrare este prezentat numerele indo - arabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

sistemul zecimal (cu impact semnificativ in evolutia ulterioara a matematicii), alte elemente de teoria

numerelor precum si un sir particular de numere, cu caracteristicii interesante, denumit ulterior Sirul

lui Fibonacci. 

Prezentarea sirului lui Fibonacci pleaca de la urmatoarea problema:

O pereche de iepuri este pusa intr-un spatiu total inchis de un zid. Cate perechi de iepuri se vor obtineintr-un an din aceasta pereche daca se stie ca in fiecare luna, fiecare pereche da nastere unei noi

 perechi de iepuri, care devin productivi incepand cu luna urmatoare.

Presupunand ca perioada de gestatie a iepurilor est 1 luna se obtine un sir de numere astfel:

In prezentarea lui Fibonacci nu apare termenul f 0 = 0.

P 1

P 1

P 2P 1

P 2P 1 P 3

P 2 P 5P 1

P 4

P 3

P 2 P 8 P 5P 3 P 7P 1 P 6

P 4

luna 1 - 1 pereche

luna 2 – 1 pereche

luna 3 – 2 perechi

luna 4 – 3 perechi

luna 5 – 5 perechi

luna 6 – 8 perechi

7/17/2019 Sirul Lui Fibonacci

http://slidepdf.com/reader/full/sirul-lui-fibonacci-568d5952815c0 2/2

Plecand de la Sirul lui Fibonacci se construieste sirul (an

)0n cu a

n=

n

1n

f 

f   . Acest sir este convergent si

n

lim

n

1n

f 

f   = , unde  =

2

51 cunoscut ca numarul de aur .

 Numarul  a aparut pentru prima oara in lucrarea lui Euclid,  Elementele, in anul 300 i.e.n.Grecii au fost fascinati de acest numar deoarece aparea foarte des in geometrie.

Pornind de la sirul lui Fibonacci se pot construi dreptunghiurile de aur  si spirala de aur

Fig. 1: dreptunghiul de aur   Fig. 2: spirala de aur  

 Dreptunghiul de aur se construieste astfel:

-  se construieste un dreptunghi in care raportul dintre 2 laturi consecutive este .

-  dreptunghiul se imparte intr-un patrat cu latura egala cu cea mai mica latura a dreptunghiului si

un nou dreptunghi.- 

operatia se repeta in dreptunghiul obtinut si se ajunge la fig. 1

Acest numar se regaseste in operele multor artisti (picturi, sculpturi) din motive estetice. De asemenea

gasim numarul de aur in proportiile a numeroase structuri arhiectonice din intreaga lume (piramideleegiptene, temple, Catedrala Notre Dame) .

Una din cele mai spectaculoase caracteristici a sirului lui Fibonacci si a numarului de aur este

frecventa foarte mare cu care il regasim in natura:-  in aranjamentul petalelor florilor (cand floarea prezinta mai multe straturi de petale)

- 

numarul petalelor celor mai multe fori se afla printre termenii sirului lui Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8...),

- 

in dispunerea in spirala a conurile de pin, a ananasului si a semintelor (modul de dispunere a

semintelor de floarea soarelui) - conform lui Knott (2007) numarul de spirale este in general un

numar Fibonacci,

-  dispunerea in spirala a frunzelor pe o tulpina – plecand de la o frunza asezata intr-o anumita

 pozitie, numarul de rotatii efectuate pana a gasi o alta frunza in aceeasi pozitie este in modgeneral un numar Fibonacci. De asemenea numarul de frunze intalnite in aceste rotatii este tot

un numar Fibonacii (Knott, 2007),

-  dispunerea crengilor in copaci,-  cochiliile de melci,

-  galaxia noastra are de asemenea incorporata spirala de aur.

Sirul lui Fibonacci este intalnit si in muzica - clapele pianului sunt impartite dupa sirul lui Fibonacci.

De asemenea multe compozitii muzicale clasice au implementat numarul de aur (Beer, 2005).

Sirul lui Fibonacci este utilizat in analiza tehnica de care traderii care tanzactioneaza pe pietele

financiare.