S.I.4. Elemente de circuit ideale, liniare, în r.p.s.

Rezistorul ideal liniar în regim permanent sinusoidal

Rezistorul ideal liniar, este caracterizat de o rezistenţă R ( ), invariabilă în timp, prin care întreaga energie se transformă în căldură prin efect Joule-Lenz; inductivitatea proprie şi curenţii de deplasare prin dielectric se pot neglija (L, C 0). Poate fi considerat construit dintr-un fir conductor din aliaj rezistiv, bobinat sub formă de spire, pe un suport izolator (tip reostat).

Formula de calcul a rezistenţei unui conductor filiform:,

unde ρ - rezitivitatea materialului; l şi s - lungimea şi aria secţiunii conductorului. Rezistenţa se măsoară în Ohm,( ). (Exemple de aliaje rezistive: nichelină, constantan etc.

Legea Joule-Lenz : Puterea transformată/disipată ireversibil în căldură prin efect electrocaloric este: Pe =Ri2

Fig. 1

Fie circuitul de c.a. (fig.1a) constituit prin înserierea rezistorului ideal R cu o sursă de t.e.m. având la borne tensiunea cunoscută de formă normală în sinus (1) şi se cere a determina valoarea instantanee a intensităţii curentului iR care se stabileşte prin rezistor.

u u U tR u 2 sin( ) . (1)

1) Rezolvare cu folosirea valorilor instantanee: aplicând rezistorului R legea conducţiei (Ohm), pentru curentul iR

rezultă relaţia:

. (2)

Prin identificare cu forma normală în sinus a curentului obţinut,

rezultă expresiile pentru valoarea efectivă IR, faza iniţială i a curentului iR şi defazajul dintre tensiune şi curent , care în acest caz este zero :

, i = u , = u - i = 0 (3)

Variaţia în timp a celor două semnale uR şi iR ( în valori instantanee) este redată în fig.1.b..

2) Rezolvare folosind valori efective complexe (v.e.c.), în complex simplificat (R.C.S.):

(4)

Prin identificare cu forma normală a f.p.c.. curent se obţin rezultate identice cu cele de mai sus, fiind un f.p.c. coliniar cu , conform fig.1c.:

(5)

Valoarea instantanee a curentului i căutat se obţine conform regulii de trecere inversă, :

(6)

Prin urmare, dacă tensiunea aplicată unui rezistor ideal liniar este sinusoidală , curentul prin rezistor este sinusoidal şi este în fază cu tensiunea aplicată la borne, iar valoarea sa efectivă este limitată de valoarea rezistenţei, R; curentul prin rezistor şi tensiunea la bornele rezistorului sunt în fază.

Legea lui Ohm este valabilă în c.a. sinusoidal, exprimată în valori efective sau în v.e.c. conform relaţiilor:

respectiv, (7)

Bobina ideală liniara în regim permanent sinusoidal

Bobina ideală liniară este caracterizată doar de parametrul inductivitate proprie, L (H), de valoare constantă; este construită dintr-un fir conductor înfăşurat sub formă de N spire, care atunci când bobina este parcursă de curentul

, produc fluxul magnetic total şi singurul fenomen care are loc la alimentarea sa în c.a. este fenomenul de autoinducţie electromagnetică. Pentru o bobină ideală rezistenţa ohmică şi capacitatea dintre spire (curenţii de deplasare) sunt neglijabile (R, C 0).

Inductivitatea proprie a unei bobine este prin definiţie: ,

se măsoară în Henry, =H şi se calculează cu formula :

unde: μ-permeabilitatea miezului feromagnetic al bobinei; - lungimea şi secţiunea circuitului magnetic al bobinei.

Dat fiind circuitul de c.a. (fig. 2.a) alcătuit din bobina ideală de inductivitate L şi sursa de t.e.m. având tensiunea la borne u cunoscută, de forma normală în sinus (1) se va determina curentul stabilit prin bobină, folosind valori instantanee şi apoi v.e.c. în complex simplificat (R.C.S.).

. (1)

1) Rezolvare cu folosirea valorilor instantanee. Conform legii inducţiei electromagnetice, fluxul magnetic total, (t) , variabil în timp, produs de solenaţia NiL a bobinei, induce în spirele acesteia o t.e.m de autoinducţie, eL care are expresia:

. (2)

Legea conducţiei ( legea lui Ohm), sau teorema a II-a lui Kirchhof( t. de tensiuni), aplicată circuitului cu bobină ideală furnizează ecuaţia:

, (3)

din care se obţine imediat intensitatea curentului, ţinând cont de forma cunoscută a tensiunii aplicate, u, (1):

. (4)

. (5)

Prin identificare cu forma normală în sinus a curentului necunoscut,,

Fig. 2

se obţin: - valoarea efectivă, , faza iniţială, i şi - defazajul curentului faţă de tensiunea aplicată la bornele bobinei ideale, = u - i:

:

, i = u - /2 , = u - i = + /2; unde [ ](6)

Mărimea

(7)

se numeşte reactanţă inductivă şi se măsoară, ca şi rezistenţa electrică, în ohmi ().

Variaţia în timp a semnalelor uL şi iL ( în valori instantanee) caracteristică bobinei ideale este redată în fig.1.b, iar fazorii lor polari (f.p.c.), corespunzători în planul complex, sunt redaţi în fig.1.c.

2) Rezolvare folosind valori efective complexe (v.e.c.), în complex simplificat (R.C.S.).

Valoarea efectivă complexă (v.e.c.) a tensiunii aplicate bobinei, luată ca mărime de referinţă, respectiv v.e.c. (forma canonică ) a curentului prin bobină – mărimea necunoscută, care se determină, reprezentate în planul complex în fig.2, c, au expresiile:

(8)

Aplicând corespondenţa operaţiilor în relaţia (4) se determină v.e.c. a curentului prin bobină şi, prin identificare cu forma canonică (7), se obţin aceleaşi valori ca mai sus, pentru

- modulul IL şi argumentul i ale fazorului ( f.p.c.) I L , precum şi pentru - defazajul dintre tensiune şi curent, = u - i::

,

(9)

, i = u - /2, = u - i = + /2.

Valoarea instantanee a curentului iL căutat se obţine conform regulii de trecere inversă,

. (10)

Rezultă aceleaşi concluzii , stabilite după relaţia (6) de mai sus.

Prin urmare, aplicând la bornele unei bobine ideale liniare o tensiune sinusoidală, curentul prin bobnă este tot sinusoidal, dar defazat în urma tensiunii cu un unghi de /2 rad ( = u - i = +/2), iar amplitudinea sa este limitată de reactanţa inductivă, .

Defazajul dintre tensiune şi curent la bornele unei bobine ideale liniare este de = u - i = +/2. Semnul „+” indică defazajul în urmă, inductiv, al curentului faţă de tensiune.

Legea lui Ohm în valori efective, respectiv în valori efective complexe aplicată unei bobine ideale în r.p.s. furnizează aşadar următorele relaţii:

respectiv, (10)

Condensatorul ideal liniar în regim permanent sinusoidal

Condensatorul ideal liniar este caracterizat exclusiv prin parametrul capacitate, C (F), de o valoare constantă; rezistenţa de pierderi în dielectric şi inductivitatea proprie a armăturilor se pot neglija (R, L 0). La aplicarea unei tensiuni uC la bornele condensatorului, pe fiecare armătură se acumulează cantităţi de electricitate, de valori egale, şi semne contrare.Capacitatea unui condensator, C se măsoară în Farad, = F şi - prin definiţie - este raportul:

;

Formula de calcul a capacităţii: unde: -permitivitatea materialului dielectric dintre armături; S şi d – suprafaţa armăturii şi distanţa dintre armături.

Fiind dat circuitul de c.a. (Fig.3.a) alcătuit din condensatorul ideal de capacitate C şi sursa de t.e.m. având tensiunea la borne de formă sinusoidală, cunoscută (1) şi se va determina curentul prin condensator, iC folosind valori instantanee şi apoi folosind v.e.c în complex simplificat (R.C.S.).

u u U tC u 2 sin( ) . (1)

1) Rezolvare cu folosirea valorilor instantanee. Aplicând legea conservării sarcinii în interiorul unei suprafaţe închise care înconjoară complet o armătură a condensatorului de capacitate C, curentul de conducţie iC

care intră în suprafaţa rezultă a fi egal cu viteza de creştere a cantităţii de sarcină acumulată pe armătura respecticvă:

iq

tC

d

d , în care, conform definiţiei capacităţii: q Cu CuC . (2)

Conform principiului continuităţii curentului, curentul de conducţie prin conductoare este continuat de un

curent de deplasare egal, prin dielectricul condensatorului ,

iD = dD/dt = iC = dq/dt. (3)

Din (2), ţinând cont de expresia cunoscută a tensiunii aplicate, rezultă relaţia de calcul a curentului iC , valoare instantanee:

. (4)

Prin identificare cu forma normală în sinus a curentului iC :,

se obţin: - valoarea efectivă, şi - faza iniţială, i ale curentului iC precum şi -defazajul dintre tensiunea la bornele condensatorului şi curentul prin condensator, =u-i:

, i = u + /2, = u - i= - / 2, unde (5)

Mărimea:

, (6)

Fig. 3

se numeşte reactanţă capacitivă şi se măsoară în ohmi.Variaţia în timp a semnalelor uc şi ic ale condensatorului ideal este redată în fig.3 b , iar fazorii lor polari

(f.p.c.) , corespunzători în planul complex, sunt redaţi în fig.3. c. 2) Rezolvare folosind valori efective complexe în complex simplificat (RCS)

Imaginile complexe simplificate corespunzătoare acestor semnale (fig. 3. c) au expresiile:

(7)

Aplicând corespondenţa operaţiilor în complex simplificat din relaţia (4) se obţine v.e.c. a curentului prin condensator:

(8)

Prin identificare cu forma generală (7) se obţin aceleaşi valori pentru modulul şi argumentul f.c.p. precum şi pentru defazajul dintre tensiune şi curent:

, i = u + /2, = u - i= - /2;

Valoarea instantanee a curentului iC căutat se obţine conform regulii de trecere inversă,

(9)

(10)

Prin urmare, aplicând unui condensator ideal liniar o tensiune sinusoidală, curentul prin condensator este tot sinusoidal, dar defazat înaintea tensiunii cu /2 , iar amplitudinea sa este limitată de reactanţa capacitivă, XC=1/

Defazajul dintre tensiune şi curent la bornele unui condensator ideal este = u - i= - /2.; Semnul „ - ” indică defazajul în avans, capacitivv, al curentului faţă de tensiune.

Legea lui Ohm în valori efective, respectiv Legea lui Ohm în valori efective complexe pentru un condensator ideal oferă relaţiile:

respectiv (11)

Notă: Analogia dintre reactanţe şi rezistenţe se reduce la proprietatea lor comună de a limita intensitatea curentului

prin circuitele de c.a., ele având dimensiuni identice ( aceeaşi unitate de măsură , ). Reactanţele diferă calitativ în raport cu rezistenţele prin faptul că introduc un defazaj egal cu /2 între

semnalele u şi i. Mai mult, din punct de vedere energetic (S.I.1), reactanţele şi rezistenţele se deosebesc esenţial: în timp ce trecerea curentului printr-o rezistenţă este însoţită de transformarea ireversibilă a energiei electromagnetice în căldură (element disipativ), reactanţele se caracterizează prin înmagazinarea energiei în câmpurile electromagnetice ale acestora (elemente conservative):câmpul magnetic la bobine, respectiv câmpul electrostatic la condensatoare.