2. Valori caracteristice semnalelor sinusoidale

S.I.2. Semnale periodice. Semnale sinusoidale. Definiţii.Valori caracteristice (Valoare instantanee. Amplitudine. Fază.

Fază iniţială. Defazaj. Valoare medie. Valoare efectivă. Factor de formă)

IntroducereCircuite electrice liniare de curent alternativ în regim

permanent sinusoidal (c.a. r.p.s.)

Cele mai răspândite sisteme de producere, transport, distribuţie şi utilizare a energiei electrice sunt sistemele de curent alternativ sinusoidal (c.a.) de frecvanţă industrială, 50(sau 60) Hz. Utilizarea lor extinsă  este justificată de avantajele tehnice şi economice pe care aceste sisteme le oferă, precum următoarele  :

1. - pentru producerea energiei electrice de c.a. se folosesc generatoare sincrone, mai simple, mai robuste şi mai economice decât generatoarele de c.c. (pentru care prezenţa comutatorului mecano-galvanic constituie un dezavantaj) ;

2. - transportul şi distribuţia în c.a. se realizează mai economic, cu un cost mai mic şi randament superior; pierderile electrocaloriceJoule-Lenz şi căderile de tensiune sunt diminuate utilizând valori înalte pentru tensiune şi valori reduse pentru curent, obţinute convenabil prin folosirea transformatoarelor electrice care funcţionează exclusiv în c. a. ;

3. - adoptarea sistemului trifazat de c.a. introduce avantaje suplimentare în transport şi utilizare ;

4. - o parte din cele mai importante aplicaţii de forţă, industriale, ca de exemplu acţionările electrice cu motoare asincrone şi sincrone, se realizează în c.a. monofazat sau trifazat ;

5. - în alte domenii de aplicaţie precum : încălzirea prin inducţie sau încălzirea în câmp electrostatic etc. în telecomunicaţii, radio-tv, automatizări, instrumentaţie, transmisii de date, se folosesc de asemenea circuite şi semnale de c.a. într-un domeniu larg de frecvenţe, de la cele mai mici, la ordinul MHz.

Semnale periodice. Definiţii. Valori caracteristice

Mărimile de stare electrică şi magnetică (t.e.m., curenţi, tensiuni, fluxuri magnetice etc.), numite generic semnale, ce caracterizează funcţionarea circuitelor de c.a. de utilizare generală sunt mărimi variabile în timp, cu formă de undă sinusoidală, care fac parte din categoria semnalelor periodice.

Valoarea instantanee a unui semnal variabil, m(t) este valoarea semnalului la un moment oarecare, t şi se notează cu litera mică a simbolului consacrat pentru mărimea respectivă (de exemplu: e,u.i, pentru t.e.m., tensiune, curent, flux). Mărimea periodică – este o mărime variabilă pentru care orice valoare instantanee se reproduce după un interval de timp fix (fig.1) :

I.2.Valori caracteristice semnalelor sinusoidale

m(t) = m (t+kT) ; (1)

a) b) c)

Fig.1 Mărimi periodice: a) mărime periodică oarecare; b) mărime pulsatorie : m(t) 0, sau m(t) 0,:

c) mărime alternativă :

Perioada, T este intervalul de timp minim după care se reproduce orice valoare instantanee a unei mărimi periodice ; se măsoară în secunde; [T ]=1s ;

Frecvanţa , f - numărul de perioade descrise de semnal în unitatea de timp; se exprimă în Hertz :

f =1/T [ f ]=1Hz. (2)

Pulsaţia (sau viteza unghiulară ), unei mărimi periodice se defineşte prin relaţia :

; (3)

Amplitudinea (sau valoarea de vârf ), Mm este valoarea maximă a unei mărimi periodice realizată într-un ciclu de variaţie, T (fig.1, fig.2); se notează cu litera mare a simbolului consacrat, urmată de indicele m ( ex : Em, Um, Im etc).

Valoarea medie, Mmed, a unei mărimi periodice reprezintă media aritmetică a valorilor instantanee pe durata unei perioade T. Se notează prin majusculă şi indicele med ( ex : Emed, Umed, Imed etc):

(4)

Valoarea efectivă ( valoarea eficace ), M a unei mărimi periodice este definită ca radical din media pătratelor valorilor instantanee pe timp de o perioadă, T. Se notează cu majusculă fară nici un indice ( ex : E, U, I etc):

(5)

Mărimile periodice pot fi mărimi pulsatorii (Fig.1b) sau mărimi bipolare (Fig.1a, 1c), respectiv alternative (Fig.1c).

2. Valori caracteristice semnalelor sinusoidale

Mărimea pulsatorie (fig.1.b) este o mărime periodică ale cărei valori instantanee îşi păstrează semnul pe parcursul întregii perioade , m(t) 0, sau m(t) 0, iar mărimea bipolară (fig.1.a) este o mărime care prezintă atât valori pozitive cât şi valori negative pe parcursul unei perioade.

O mărime alternativă (fig.1.c) este o mărime periodică a cărei valoare medie pe o perioadă este egală cu zero:

(6)

Circuitele electrice caracterizate de asemenea semnale se numesc circuite de c.a.

Alternanţa pozitivă a unei mărimi alternative este formată din totalitatea valorilor pozitive m(t) > 0 pe care le ia mărimea într-o perioadă, iaralternanţa negativă – din mulţimea valorilor negative m(t) < 0.

În cadrul semnalelor alternative semnalele sinusoidale au importanţă deosebită.În cele ce urmează se prezintă circuitele de c.a. liniare, de frecvenţă industrială (50Hz), în regim permanent cvasistaţionar, cu semnale sinusoidale, care corespund reţelelor electrice cu cea mai mare răspândire.

Semnale sinusoidale. Valori caracteristice : Valoare instantanee. Amplitudine. Fază. Fază iniţială. Defazaj.

Valoare efectivă. Factor de formă

Un semnal armonic, uzual denumit sinusoidal, fig. 2, are variaţia în timp descrisă de funcţia sinus sau cosinus . Forma normală în sinus are expresia:

(7))

`n care: m(t) reprezintă valoarea instantanee a semnalului (valoarea sa la un moment dat); Mm - amplitudinea (valoarea maximă) a semnalului m(t); (t + ) - faza semnalului m(t), reprezentând argumentul, liniar variabil în timp al funcţiei sinus ; - faza iniţială a semnalului m(t), reprezentând valoarea fazei, (t + ) la momentul t = 0.

Fig. 2.

I.2.Valori caracteristice semnalelor sinusoidale

Se consideră două semnale sinusoidale m1 şi m2, de aceeaşi pulsaţie (aceeaşi frecvenţă, f), dar de fază iniţială diferită, respectiv:

m t M tm1 1 1( ) sin( ) , (8)

(9)

Fig.3 Fig.4

Diferenţa dintre fazele (sau fazele iniţiale) ale celor două semnale, efectuată în ordinea prestabilită, 1-2 se numeşte defazaj, se notează cu (sau 12 ) şi se calculează cu relaţia:

(10)

În practică, defazajul poate fi:a) pozitiv: > 0 - semnalul m1 este defazat în avans faţă de m2 ,

(înaintea semnalului m2); săgeata indicând este orientată spre stânga, în sens contrar axei timpului (Fig.3);b) negativ: < 0 - semnalul m1 este defazat în întârziere faţă de m2

(în urma semnalului m2); săgeata indicând este orientată spre dreapta, în sensul pozitiv al axei timpului (Fig.4);

c) = 0- cele două semnale sunt în fază (simfazice) (11)

d) = - semnalele sunt în opoziţie de fază;e) = /2 - semnalele sunt în cuadratură.Observaţii:• Se respectă sensul săgeţilor reprezentând faza iniţială şi defazajul pentru semnul pozitiv: - săgeata indicând faza/defazajul orientată spre stânga, în sens contrar axei timpului → valoare pozitivă;- săgeata indicând faza/defazajul orientată spre dreapta în sensul axei timpului → valoare negativă.

• Defazajul dintre tensiune şi curent este definit conform relaţiei: (12)

2. Valori caracteristice semnalelor sinusoidale

• Un avantaj important al semnalelor sinusoidale este acela că prin operaţiiele de integrare şi derivare nu îşi modifică forma de undă , ci doar defazajul faţă de semnalul iniţial: - semnalul derivat este defazat în avans cu iar - semnalul integrat este defazat în urmă cu :

(13)

Valoarea efectivă

efectivă a unei mărimi sinusoidale se obţine substituind valoarea sa instantanee în relaţia de definiţie (5); se obţine :

(14)

Semnifica]ia fizică a valorii efective rezultă din echivalenţa efectului termic al curenţilor continuu şi alternativ. Pe această cale, valoarea efectivă a unui curent alternativ este numeric egală cu valoarea unui curent continuu care parcurgând aceeaşi rezistenţă R ca şi curentul alternativ, în acelaşi interval de timp egal cu o perioadă T, produce prin efect Joule-Lentz aceeaşi cantitate de căldură, .

Intr-adevăr, egalând expresiile cantităţilor de căldură produse în condiţiile de mai sus, de către curentul alternativ, i şi cel continuu, I,

(15)

Respectiv,(16)

rezultă pentru valoarea efectivă a curentului alternativ i, expresia:

, (17)

similară cu relaţia de definiţie (5).

I.2.Valori caracteristice semnalelor sinusoidale

Observaţii:- Valoarea efectivă se notează prin litera mare corespunzătoare simbolului literal al semnalului reprezentat (exemplu: I, U, E etc).- Majoritatea aparatelor de măsurare electrice utilizate în c.a. sunt etalonate în valorile efective ale mărimilor măsurate.- Valorile efective permit scrierea relaţiilor fundamentale (legi, teoreme) în c.a. prin expresii analoge cu cele din c.c.

Valoarea medie Prin relaţia de definiţie, (6) valoarea medie a unui semnal alternativ,

calculată pe o perioadă T, este egală cu zero. De aceea, în mod frecvent, în circuitele de c.a. se utilizează valoarea medie calculată pe o semiperioadă T/2, respectiv:

(18)Valoarea medie a unui semnal sinusoidal, m(t), rezultă prin înlocuirea

valorii sale instantanee în (7), în expresia (16), obţinându-se relaţia:

(19)

Notă: Valoarea medie se noteză prin litera mare corespunzătoare simbolului literal al semnalului reprezentat, urmată de indicele med (exemplu: Imed , Umed etc.).

Fig.5

Factorul de formăPrin definiţie, factorul de formă al unui semnal alternativ este dat de raportul:

(20)

Ţinând cont de (2.12) [i (2.14), factorul de formă al unui semnal sinusoidal are valoarea:

2. Valori caracteristice semnalelor sinusoidale

(21)