Setul 8de probleme �si exercit�ii de matematic�a

( relative la funct�ii reale, aplicat�ii liniare, a�ne �si forme p�atratice - a doua parte )

S8.1 S�a se determine o form�a liniar�a nenul�a f : R3 ! R astfel �ncat f(0; 1; 1) = f(�1; 1; 1) = 0.S�a se arate apoi c�a mult�imea tuturor formelor liniare pe R3, cu valori reale, a�sa �ncat au valori nule�n punctele (0; 1; 1) �si (�1; 1; 1), formeaz�a un subspat�iu vectorial unidimensional.

S8.2 S�a se g�aseasc�a baza dual�a bazei B = f(1; 0; 2); (2;�1;�1); (0; 1; 3)g a lui R3. S�a se a ecoordonatele formei f = �v�1 + 3v�2 � 4v�3 �n baza B�.

S8.3 Fie g : R3 � R3 ! R de�nit�a prin:

g(x; y) = 2x1y1 + 3x2y2 +28

5x3y3 � x1y2 � 2x1y3 � x2y1 + 4x2y3 � 2x3y1 + 4x3y2;

8x = (x1; x2; x3); y = (y1; y2; y3) 2 R3:

a) S�a se arate c�a aplicat�ia g este o form�a biliniar�a �si simetric�a pe R3.

b) S�a se g�aseasc�a matricea �si discriminantul formei g �n raport cu baza canonic�a a lui R3. S�a sea e rang(g).

c) S�a se determine Ker(g).

d) S�a se g�aseasc�a matricea �si discriminantul formei g �n raport cu baza f(1; 1; 1), (2;�1; 2), (1; 3;�3)ga lui R3.

e) S�a se scrie forma p�atratic�a h, corespunz�atoare lui g �si s�a se stabileasc�a forma normal�a a lui h.S�a se a e indicele pozitiv �si cel negativ de inert�ie pentru h, cat �si signatura lui h. S�a se deduc�aforma biliniar�a ce corespunde formei normale a lui h.

f) S�a se determine o baz�a din R3 �n care se realizeaz�a forma normal�a a lui h. S�a se stabileasc�a ceeste, din punct de vedere geometric, nucleul lui h.

S�a se reia acelea�si cerint�e �si pentru aplicat�iile urm�atoare:

g1(x; y) = x1y1 + 5x2y2 + x3y3 + x1y2 + 3x1y3 + x2y1 + x2y3 + 3x3y1 + x3y2;

g2(x; y) = x1y1 + x2y2 + 4x3y3 + x1y2 + 2x1y3 + x2y1 + 2x2y3 + 2x3y1 + 2x3y2;

g3(x; y) = 2x1y1 + x2y2 + 2x3y3 � x1y2 � x2y1 + x2y3 + x3y2;

8x = (x1; x2; x3); y = (y1; y2; y3) 2 R3:

S8.4 Fie g : R3 �R3 ! R forma biliniar�a a c�arei matrice �n raport cu baza canonic�a a lui R3 este

A =

24 2 1 0�1 �1 �10 �1 �2

35 :a) S�a se precizeze o scriere sub forma matriceal�a a lui g �si s�a se calculeze g((�1; 0; 1); (1;�1; 0)).

b) S�a se determine forma biliniar�a simetric�a (respectiv antisimetric�a) asociat�a lui g.

c) S�a se evident�ieze g0 �si g00 (aplicat�iile liniare asociate lui g) �si s�a se a e Ker(g0) �si Ker(g00).

d) S�a se stabileas�a forma normal�a a formei p�atratice corespunz�atoare lui gs (forma simetric�a asociat�alui g) �si s�a se precizeze o baz�a a lui R3 �n care se realizeaz�a aceast�a form�a normal�a.

S�a se reia acest exercit�iu �si pentru forma biliniar�a a c�arei matrice �n baza canonic�a a lui R3 este:

A =

24 1 �1 21 2 0

�1 1 �1

35 :S8.5 Fie g : R3 � R3 ! R forma biliniar�a de�nit�a prin:

g(x; y) = 3x1y1 + 13x2y2 + 14x3y3 � 3x1y2 + 2x1y3 � 3x2y1 � 12x2y3 + 2x3y1 � 12x3y2;

8x = (x1; x2; x3); y = (y1; y2; y3) 2 R3:

a) S�a se arate c�a g determin�a pe R3 o structur�a de spat�iu euclidian (real), �n raport cu care vectorii(1; 0; 0) �si (1; 1; 0) sunt perpendiculari.

b) S�a se ortonormalizeze sistemul de vectori f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g �n raport cu structura euclid-ian�a determinat�a de g pe R3.

S8.6 Pe spat�iul euclidian canonic R3, se consider�a formele p�atratice h1 �si h2 : R3 ! R, de�niteprin:

h1(x) = x21 + x

22 + x

23 + 2x1x3

h2(x) = x21 + x

22 + x

23 �

p2x1x2 +

p2x1x3; 8x = (x1; x2; x3) 2 R3:

a) S�a se veri�ce c�a h1 �si h2 sunt euclidian echivalente.

b) S�a se aduc�a cele dou�a forme p�atratice la forma canonic�a, prin schimb�ari ortogonale de baz�a.

S8.7 In spat�iul a�n R4, raportat la reperul cartezian canonic, se consider�a punctele A(1;�1; 0; 1),B(0; 1;�1; 0), C(1; 0;�1; 0) �si D(1; 2; 0; 1). Se cer urm�atoarele:

a) Ecuat�ia dreptei ce trece prin A �si este paralel�a cu dreapta prin B �si C.

b) Ecuat�ia hiperplanului determinat de A, B, C, D.

c) Ecuat�ia hiperplanului ce trece prin punctul (�1; 1; 2;�1) �si este paralel cu hiperplanul de la b).

S8.8 In spat�iul a�n real R3, raportat la reperul cartezian uzual fO; e1; e2; e3g, se consider�a punctulP (2;�1; 2).

a) S�a se stabileasc�a ecuat�iile simetriei pe R3, fat��a de P , �n raport cu reperul considerat.

b) S�a se g�aseasc�a ecuat�iile omotetiei de centru P �si raport 5=2, fat��a de reperul din enunt�.

c) S�a se a e coordonatele, �n raport cu reperul ment�ionat, ale transformatelor punctului A =3

4B +

1

4C prin cele dou�a transform�ari de la a) �si b), unde B(2;�4; 5) �si C(6;�8; 1).

S8.9 S�a se stabileasc�a ce este, din punct de vedere geometric, nucleul �ec�areia dintre urm�atoareleaplicat�ii p�atratice reale:

a) h1(x) = 4x21 + 6x1x2 � 4x22 � 26x1 + 18x2 � 39, 8x = (x1; x2) 2 R2.

b) h2(x) = 5x21 + 8x1x2 + 5x

22 � 18x1 � 18x2 + 9, 8x = (x1; x2) 2 R2.

c) h3(x) = x21 � 4x1x2 + 4x22 � 14x1 � 2x2 + 3, 8x = (x1; x2) 2 R2.

d) h4(x) = x21+2x

22�3x23+12x1x2�8x1x3�4x2x3+14x1+16x2�12x3�33, 8x = (x1; x2; x3) 2 R3.

e) h5(x) = 4x21 + 2x

22 + 3x

23 + 4x1x3 � 4x2x3 + 6x1 + 4x2 + 8x3 + 2, 8x = (x1; x2; x3) 2 R3.

f) h6(x) = x21 + x

22 + x

23 + 2x1x2 � 2x1x3 � 2x2x3 + 2x1 + 2x2 � 2x3 � 3, 8x = (x1; x2; x3) 2 R3.

g) h7(x) = x21 � 2x1x2 � 2x1x3 + 2x1 � 4x2 + 4, 8x = (x1; x2; x3) 2 R3.

h) h8(x) = x1x2 � x1x3 + x2x3 � 1, 8x = (x1; x2; x3) 2 R3.

S8.10 Se consider�a un spat�iu vectorial V bidimensional �si o baz�a a sa fu1; u2g. In dualul s�au V �,se consider�a baza fv�1; v�2g, dual�a celei din V . S�a se calculeze f(x+ y) �si f(x� y), unde f este formaliniar�a f = 2v�1 +3v

�2, iar x = u1+4u2 �si y = �2u1+u2. S�a se scrie expresia lui f �n baza dual�a bazei

fv1; v2g, unde v1 = u1 + 2u2 �si v2 = u1 � u2.S8.11 Fie g : R4 � R4 ! R forma biliniar�a de�nit�a prin

g(x; y) = 5x1y1+x2y2+4x3y3�x4y4+x1y2�x1y3�2x1y4+x2y1+2x2y3�x2y4�x3y1+2x3y2+x3y4�2x4y1�x4y2+x4y3;

8x = (x1; x2; x3; x4); y = (y1; y2; y3; y4) 2 R4

a) S�a se determine g0; g00 �si Ker(g).

b) S�a se g�aseasc�a matricea �si discriminantul formei p�atratice h, asociat�a lui g. S�a se a e rang(h).

c) S�a se stabileasc�a forma normal�a a lui h �si o baz�a din R4 �n care se realizeaz�a aceast�a form�anormal�a.

d) S�a se precizeze indicele pozitiv, indicele negativ de inert�ie �si signatura lui h.

S8.12 S�a se a e ce reprezint�a din punct de vedere geometric nucleul �ec�areia dintre aplicat�iile alec�aror expresii sunt date mai jos:

a) h(x) = 3x1 � 4x2 + x3 � x4 + 2, 8x = (x1; x2; x3; x4) 2 R4.

b) h(x) = x1 � x3, 8x = (x1; x2; x3) 2 R3.

c) h(x) = 7x21 � 8x1x2 + x22 � 6x1 � 12x2 � 9, 8x = (x1; x2) 2 R2.

d) h(x) = 2x21+5x22+11x

23�20x1x2+4x1x3+16x2x3�24x1�6x2�6x3�180, 8x = (x1; x2; x3) 2 R3.

e) h(x) = 2x21 + 3x1x2 + x22 � x1 � 1, 8x = (x1; x2) 2 R2.

f) h(x) = x22 � x23 + 4x1x2 � 4x1x3 � 3, 8x = (x1; x2; x3) 2 R3.

Bibliogra�e selectiv�a

1. M. Craioveanu, I. D. Albu - Geometrie a�n�a �si euclidian�a, Ed. Facla, Timi�soara, 1982.2. Veronica Teodora Borcea, C�at�alina Ileana Davideanu, Corina For�ascu - Algebr�a liniar�a, Ed.

\Gh. Asachi", Ia�si, 2000.